Progetto‘‘ LAUREE SCIENTIFICHE ’’

Laboratorio di ProbabilitàProf. Aniello Buonocore

Liceo Scientifico G. Galilei Napoli

a.s. 2011/2012

Paradossi: viaggio tra numeri e parole

Il Paradosso: etimologia

Per paradosso s’ intende «una conclusione apparentemente inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili per mezzo di un ragionamento apparentemente accettabile». (Mark Sainsbury)

Una dimostrazione, quindi, che parte da presupposti generalmente concordanti con l’esperienza per giungere a conclusioni ad essa contrastanti.

Il suo significato etimologico è reso da due parole greche :

PARA + DOXA contro opinione

A causa di questo suo "andare contro opinione”, il paradosso mette in discussione le nostre idee ed infine induce a ridefinire i nostri concetti.

Tipologie di paradossi

logico o negativo se intende rifiutare le premesse su cui si basa, mediante una riduzione all'assurdo.Paradosso presentato: Problema dei tre prigionieri;

retorico o nullo se intende semplicemente esibire la sottigliezza del ragionamento.Paradosso presentato: Paradosso di Bertrand;

ontologico o positivo se intende rafforzare le conclusioni a cui arriva, mediante un ragionamento inusuale. Paradosso presentato: Paradosso del forte e del debole.

La storia dei paradossi: gli Stoici

Focalizzando l’attenzione sulla nascita dei paradossi possiamo dire che sin dall'inizio della storia del pensiero si hanno precisi riferimenti: dai ragionamenti di Zenone alle antinomie di Immanuel Kant, fino a giungere ai paradossi della meccanica quantistica e della teoria della relatività generale.

Anche gli esponenti dello Stoicismo, corrente filosofica fondata da Zenone di Cinzio, ponevano fra le forme di ragionamento l’insieme dei discorsi definiti insolubili, che prendevano il nome di paradossi o antinomie. I più famosi tra questi erano quelli di origine megarica. Tra i più noti ricordiamo:

Paradosso del Mentitore Paradosso del Coccodrillo

Paradosso del Mentitore

Il cretese Epimenide proclamava “tutti i cretesi sono bugiardi”.

Ma Epimenide diceva il vero o il falso?

Se diceva il vero mentiva, in quanto cretese, asserendo che tutti i cretesi erano bugiardi: quindi diceva il falso.

Se diceva il falso, non mentiva, come cretese, quindi diceva il vero.

Da ciò l’insolubile paradosso:

Se Epimenide diceva il vero mentiva, se mentiva diceva il vero.

Un coccodrillo, rubato un bimbo, promise alla madre di renderglielo, a patto che ella avesse indovinato la sua intenzione o meno di restituirglielo.

Avendo la madre risposto che il coccodrillo non l’avrebbe restituito, il predone cadde in un terribile dilemma.Infatti, non restituendolo, avrebbe reso vera la risposta della madre, quindi avrebbe dovuto, in base al patto, procedere alla consegna del bimbo. Viceversa restituendolo, avrebbe reso falsa la risposta della madre e quindi non avrebbe dovuto consegnarle il bambino.

In ambedue i casi, il coccodrillo si sarebbe trovato in una paralizzante contraddizione con se stesso.

Paradosso del Coccodrillo

Il problema dei tre prigionieri

“Nel braccio della morte, tre prigionieri aspettano l’alba della fucilazione. In onore del compleanno del re, si sa che uno dei tre sarà graziato, e il guardiano sa chi dei tre avrà salva la vita, ma non lo vuole svelare.Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall’angoscia, gli dice: «Dato che uno solo dei tre sarà graziato, certamente uno degli altri due (B e C) dovrà morire. Se mi dici il nome di uno tra B e C, destinato a morire domani all’alba, ti regalo il mio orologio d’oro. Tu non tradisci il segreto, perché non sveli il graziato, e io avrò meno angoscia». Il guardiano si fa convincere e svela: «B morirà».Dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: aveva il 33% di chance di salvarsi, ora restano solo lui e C quindi le sue possibilità sono cresciute al 50%.”Aveva ragione “ A “ a sentirsi sollevato?

(M. Gardner, Enigmi e giochi matematici, BUR 1987)

Paradosso logico

Formalizziamo il problema:Indichiamo con SA l’evento: A si salverà e con SB e SC gli eventi analoghi relativi agli altri due prigionieri.

Gli eventi SA , SB e SC sono necessari, esaustivi e incompatibili e pertanto:

Dal punto di vista di A risulta:

SA SB SC

Probabilità

SA SB U SC

Probabilità

SA SB SC

Probabilità 0

Dopo aver avuto l’informazione che “B morirà” il prigioniero A deve solo effettuare la seguente modifica:

Il problema dei tre prigionieriParadosso logico

Da ciò si evince che A non aveva alcun motivo di sentirsi sollevato in quanto l’informazione ricevuta non aggiunge nulla a quello di cui era già a conoscenza: uno degli altri due prigionieri sicuramente sarà giustiziato. Il fatto di poter assegnare probabilità nulla all’evento B morirà fa aumentare la probabilità che C si salvi, ma non che si salvi A.

Ovviamente tutto questo è valido dal punto di vista di A, ma lo stesso ragionamento si può ripetere per ciascuno dei tre prigionieri. Essi non possono comunicare tra loro e quindi ciascuno valuta in modo soggettivo la probabilità di salvezza del terzo prigioniero, dopo aver conosciuto il nome del compagno che sicuramente sarà giustiziato.

Il problema dei tre prigionieriParadosso logico

Il risultato precedente può essere ottenuto applicando il teorema di Bayes. Se il graziato è il prigioniero C il guardiano non può fare altro che dire che B sarà giustiziato. Se il graziato è il prigioniero B il guardiano non può dire che B sarà giustiziato .Se, infine, il graziato è il prigioniero A allora sia B che C saranno giustiziati e il guardiano, nel rispondere al prigioniero A, avrà scelto “a caso” tra gli altri due. Pertanto se si indica con MB l’evento :il guardiano rivela che B morirà si ha:

Il problema dei tre prigionieriParadosso logico

Pertanto:

e

e quindi, come già sapevamo, si ha che per A non è aumentata la probabilità di salvarsi.Invece, per C aumenta la probabilità di salvarsi, dal momento che :

Il paradosso presentato è un chiaro esempio di paradosso negativo, in quanto, attraverso un ragionamento logico-matematico, giunge a confutare una conclusione apparentemente ovvia.

Il problema dei tre prigionieriParadosso logico

“Se si traccia a caso una corda in un cerchio di raggio r, qual è la probabilità che la corda sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto nel cerchio dato?”Bertrand propose tre modi differenti di interpretare la locuzione “si traccia a caso”, ottenendo tre diverse soluzioni che esamineremo di seguito. 1) Metodo risolutivo degli estremi casuali:Si sceglie un punto qualsiasi sulla circonferenza e, fissato questo come primo estremo della corda, facendo ruotare casualmente un ago imperniato attorno al primo estremo,

una volta fermo, stabiliamo il secondo estremo.

Il triangolo equilatero divide la circonferenza in tre archi congruenti. Posto l’aghetto in A, affinché la corda risulti maggiore del lato del triangolo si dovrà verificare che il secondo estremo cada nell’arco BC.

Pertanto lo spazio degli eventi è Ѱ= (x,y)є R2 :x2+y2=r2 e la probabilità è:

Paradosso retorico

Il Paradosso di Bertrand

2) Metodo risolutivo del raggio casualeCon un esperimento aleatorio prendiamo un numero L compreso tra 0 ed r, in tal modo verrà individuata la corda perpendicolare al raggio OD, avente distanza da O pari ad L.

Nel caso in cui la distanza della corda dal centro sia minore di la sua lunghezza sarà maggiore del lato del triangolo. Pertanto

lo spazio degli eventi è Ѱ= (L є R : 0 ≤ L ≤ r e la probabilità è :

Paradosso retorico

Il Paradosso di Bertrand

3) Metodo risolutivo del punto medio casuale

Preso un triangolo equilatero, costruiamo la circonferenza inscritta e circoscritta ad esso. Sia P un qualsiasi punto del cerchio grande Ω , si costruisca il cerchio concentrico a Ω, passante per P , detto Φ . Preso un qualsiasi punto su Φ , si conduca da esso la tangente che rappresenterà la corda casuale.

La probabilità che la corda trovata sia più lunga del lato del

triangolo, è che essa intersechi il cerchio inscritto nel triangolo.

Pertanto lo spazio degli eventi risulta

Ω = (x,y) є R2 :x2+y2≤ r2

e la probabilità è:

Paradosso retorico

Il Paradosso di Bertrand

Il paradosso di Bertrand

Questa pluralità di risposte ( 1/3, 1/2 e 1/4 ) è paradossale. Solo una dovrebbe essere quella giusta. Eppure il procedimento è ineccepibile in ognuno dei quattro casi. Dov’è l’errore? L’errore sta a monte, cioè nel pensare che basti dire “tracciare a caso” perché ogni soggetto razionale interpreti tale espressione in modo univoco. Occorre quindi specificare con maggiore precisione il modo con cui si deve procedere nell’estrazione.Ognuno dei quattro modi indicati è perfettamente legittimo come metodo di estrazione casuale di una corda e, a seconda di quale metodo si usi, la risposta trovata è quella giusta. Il paradosso di Bertrand non ha quindi una soluzione univoca. Esso illustra il pericolo di un uso troppo leggero dei termini e mostra in modo esemplare come sia privo di senso parlare di probabilità di un evento, qualora l’esperimento di cui si parla non sia stato chiaramente specificato.

Il paradosso di Bertrand è un esempio di paradosso retorico, in quanto non vuole né confutare né dimostrare la tesi, bensì mostrare l’ambiguità linguistica. Pertanto viene considerato un vero e proprio sofisma.

Paradosso retorico

Il paradosso del forte e del debole

“Se io dico che il forte domina il debole, dico una banalità.Tuttavia ci chiediamo: perché lo vuole dominare? Magari per sfruttarlo? D’accordo. Quindi, se il forte vuole sfruttare il debole, ha bisogno di esso, per lui è una necessità, e dunque caratterizza se stesso in relazione al debole. Dunque, se il forte non è autonomo, ma cerca il debole per dominarlo, non è perciò tanto forte, ma addirittura è egli stesso debole (in quanto la vera forza è l’autonomia) . E’ allora il debole che identifica in tal modo il forte , divenendo egli stesso forte.”

Come argomenta Hegel, la dinamica del rapporto servo signore è destinata a mettere capo ad una paradossale inversione di ruoli, ossia a una situazione per cui il signore diviene servo del servo e il servo signore del signore. Infatti , il signore, che inizialmente appariva indipendente, nella misura in cui si limita a godere passivamente del lavoro altrui, finisce per rendersi dipendente dal servo.Invece quest’ultimo, che inizialmente appariva dipendente, finisce per rendersi indipendente grazie al lavoro.

Questo è un esempio di paradosso ontologico, poiché, mediante un ragionamento inusuale, riesce a confermare la tesi che, inizialmente, appare errata in quanto smentita dall’esperienza comune.

Paradosso ontologico

Importanza storica dei paradossi

I paradossi rappresentano delle autentiche antinomie della ragione. Essi hanno esercitato una benefica influenza sulla storia del pensiero umano, poiché, obbligando gli studiosi ad escogitare degli appositi schemi di soluzione, hanno finito per contribuire al progresso delle ricerche logiche.Spesso infatti paradossi basati su concetti semplici hanno portato a grandi progressi intellettuali, giungendo alla scoperta di nuove regole matematiche o nuove leggi fisiche che hanno reso accettabili conclusioni che all’inizio erano "apparentemente inaccettabili”.

Qualsiasi forma di paradosso è comunque un potente stimolo per la riflessione. Ci rivela sia la debolezza della nostra capacità di discernimento sia i limiti di alcuni strumenti intellettuali per il ragionamento:"Studiarli e confrontarcisi è un occasione non solo per rimettere in discussione i pregiudizi più radicati, ma anche per scoprire il ruolo che idee semplici e divertenti hanno avuto nello sviluppo delle scienze più disparate, dalla matematica all'economia”. [ cit. Odifreddi, tempi (e luoghi) dei paradossi 1996 ]

Presentato da:

Prof.ssa Liliana Lombardi e dagli studenti:

Aversano ValentinaBelaeff Chiara

Caiazzo AndreaDe Biase NicolaDi Dio Antonio

Moricone FrancescoPellegrino StefanoRomano FedericoSannipoli Rossano

De Felice EmmanueleDe Vito Vincenzo

Ferraro ChiaraFerrigno AntonioMinieri VincenzoNugnes ElisabettaPalermo Francesco

Russo CarloSantangelo Andrea

Troiano MatteoUccello Francesca

Venturino Luigi