Matematica

LA PARABOLA

Parabola................................................................................................................................................3Definizione.......................................................................................................................................3Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y..................................................4Concavità della parabola..................................................................................................................4Equazione della parabola con asse parallelo asse y.........................................................................7Vertice, Fuoco e direttrice della parabola........................................................................................7Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x......................................................................11Concavità parabola con asse parallelo asse x.................................................................................12Casi particolari...............................................................................................................................12Posizioni di una retta rispetto ad una parabola...............................................................................12Tabella riassuntiva..........................................................................................................................13Rette tangenti alla parabola............................................................................................................15

1. Il punto è esterno alla parabola...............................................................................................152. Il punto appartiene alla parabola............................................................................................153. Il punto è interno alla parabola...............................................................................................15

Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabola.................................................15Segmento parabolico......................................................................................................................16Generalizzazione............................................................................................................................16Dimostrazioni.................................................................................................................................16Formulario......................................................................................................................................17

Antonella GrecoRosangela Mapelli

ParabolaÈ stato osservato che i corpi lanciati, ovverossia i proiettili, descrivono una linea curva di un qualche tipo; però, che essa sia una parabola, nessuno l'ha mostrato. Che sia così, lo dimostrerò insieme ad altre non poche cose, né meno degne di essere conosciute…..(Galileo Galilei)

Il percorso che compie un pallone lanciato dal calciatore, l’acqua che zampilla dalla fontana, il proiettile sparato dal cannone, la pallina che rimbalza, ha la stessa forma in tutti i casi, si tratta di una curva particolare che in m viene chiamata parabola che vuol dire "mettere accanto"

Consideriamo un punto A nel piano cartesiano equidistante da un punto F e da una retta d, parallela all' asse x. Supponiamo che il punto A disti 12 sia da F (-3, 4) che da d di equazione y=-4, cioè la distanza di A da E sia 12.

Spostiamo il punto E lungo la retta d e osserviamo il luogo che disegna il punto A

Come puoi osservare dalle immagini riprodotte, il punto A disegna una curva Tale curva è un luogo geometrico ed è chiamato parabola

DefinizioneSi definisce Parabola il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto Fuoco e da una retta d detta direttrice.

Parabola con vertice nell’ origine e asse coincidente con l’ asse y.

Consideriamo il punto generico appartenente all’ asse y F(0, p) e la retta d: y=-p.Indichiamo con A (x; y) un punto generico del piano cartesiano. Il punto A deveessere equidistante da F e dalla retta d.Calcoliamo , otteniamo

eleviamo al quadrato entrambi i membri

Ricavando y otteniamo

Poniamo l’ equazione diventa

equazione della parabola con vertice nell’ origine

Dalla relazione ricaviamo p in funzione di a e determiniamo le coordinate del fuoco

e l’ equazione della direttrice , e d: .

La parabola ammette asse di simmetria, in questo caso coincidente con l’ asse y, passante per il vertice e per il fuoco.

Concavità della parabola

Osserva le parabole nella figura 1. Possiamo dedurre che: Hanno tutte la concavità verso l’altoIl coefficiente a è positivoAl crescere del valore di a l’apertura della parabola diminuisce

Figura 1

Osserva le parabole nella figura 2. Possiamo dedurre che: Hanno tutte la concavità verso il bassoIl coefficiente a è negativoAl decrescere del valore di a l’ apertura della parabola diminuisce

Generalizzazione Se a>0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto, e al crescere di a la apertura diminuisce.Se a<0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso, e al decrescere di a l’ apertura

Equazione della parabola con asse parallelo asse yConsideriamo la parabola con vertice nell’ origine di equazione .

Prendiamo un punto nel piano

Applichiamo una traslazione di vettore ,

otteniamo un nuovo sistema di assi cartesiani .In tale sistema l’equazione della parabola traslata , congruente a quella data, è

Le equazioni della traslazione sono:

Dimostrazione

Sostituiamo nell’equazione della parabola e troviamo la sua equazione rispetto al sistema xOy.

Poniamo

otteniamo

Equazione della parabola con asse parallelo all’ asse y.

Vertice, Fuoco e direttrice della parabolaDalle equazioni determiniamo le coordinate del vertice.

Figura 2

Le coordinate del vertice sono

L’ asse di simmetria ha equazione

Il fuoco ha coordinate

La direttrice ha equazione

Casi particolari

Osserva la figura al lato. La parabola passa per l’origine degli assi cartesiani. Le coordinate di O devono soddisfare l’ equazione della parabola

Sostituiamo e otteniamo: .

L’ equazione della parabola diventa

Osserva la figura al lato. La parabola ha il vertice sull’asse y, conseguentemente l’ ascissa del vertice è nulla, quindi:

Le coordinate del vertice sono

e l’equazione della parabola diventa

Osserva la figura al lato. La parabola ha il vertice nell’ origine. La parabola è passante per l’ origine e ha il vertice sull’ asse y contemporaneamente, quindi valgono le due condizioni .L’ equazione della parabola è

Tabella Riassuntiva

Parabola Generica nel piano

Vertice

Fuoco

direttrice;

asse di simmetria

Parabola con il vertice sull’ asse y

VerticeParabola passante per l’ origine

Parabola con il vertice nell’ origine

Parabola con asse di simmetria parallelo all’ asse x

Consideriamo la parabola di equazione e la bisettrice del I e III quadrante di equazione .Determiniamo la parabola simmetrica a quella data, rispetto a tale retta.Le equazioni della simmetria sono

Dimostrazione

Applichiamole alla parabola e otteniamo

Le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni dell’ asse di simmetria e della direttrice si determinano applicando la medesima simmetria alle corrispondenti formule relative alla parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, secondo la corrispondenza che segue:

il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è

il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è

il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è

il simmetrico rispetto alla bisettrice y=x è

Concavità parabola con asse parallelo asse x

Alla parabola con asse parallelo all’asse y e concavità verso l’alto corrisponde, nella simmetria rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, una parabola con asse parallelo all’ asse x e concavità rivolta verso destra.

Generalizzazionese a>0 la concavità della parabola è verso destrase a<0 la concavità della parabola è verso sinistra

Casi particolariPer la parabola con asse parallelo all’asse x valgono le medesime proprietà viste per la parabola con asse parallelo all’asse y.

Tabella Riassuntiva

Parabola Generica nel piano

Vertice

Fuoco

direttrice;

asse di simmetria

Parabola con il vertice sull’asse x

VerticeParabola passante per l’origine

Parabola con il vertice nell’origine

Posizioni di una retta rispetto ad una parabola

Una retta rispetto ad una parabola può essere:Secante, se retta e parabola si incontrano in due puntiTangente, se retta e parabola si incontrano in un puntoEsterna, se retta e parabola non si incontrano in alcun punto

Per determinare la posizione della retta di equazione rispetto alla parabola di equazione bisogna svolgere il sistema tra l’equazione della retta e quella della parabola

risolvendo si ottiene un’equazione di secondo grado, per la quale si può verificare uno dei casi seguenti:

, l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte. La retta incontra la parabola in due punti, quindi è secante.

, l’equazione ammette due soluzioni coincidenti. La retta incontra la parabola in un punto, quindi è tangente.

, l’equazione non ammette soluzioni reali. La retta non incontra la parabola in nessun punto, quindi è esterna.

Tabella riassuntiva

SecanteLa retta incontra la parabola in due punti distinti.

TangenteLa retta incontra la parabola in un punto

EsternaLa retta non incontra la parabola

Rette tangenti alla parabola

1. Il punto è esterno alla parabolaData l' equazione di una parabola

e un punto esterno alla parabola, determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola passanti per A.Per risolvere questo problema dobbiamo procedere nel seguente modo:determinare il fascio di rette di centro A

mettere in sistema l' equazione della parabola con il fascio proprio

si ottiene un' equazione di II grado. Ricordando che una retta è tangente ad una parabola quando il discriminante dell' equazione di II grado è nullo, poniamo la condizione otteniamo un’ equazione di II grado in m. Si risolve e si determinano i due valori di m che, sostituiti nell’ equazione del fascio daranno le due rette tangenti.

2. Il punto appartiene alla parabolaDeterminare l' equazione della retta tangente alla parabola di equazione in un

suo punto Determiniamo l' equazione del fascio di centro A

il coefficiente angolare della retta tangente si trova con l’equazione oppure si utilizza la regola dello sdoppiamentoEquazione retta tangente in un punto appartenente alla parabola

3. Il punto è interno alla parabolaSe il punto è interno alla parabola non esistono rette tangenti alla parabola, ma solo secanti.

Condizioni generali per determinare l’equazione di una parabolaL'equazione di una parabola, sia quella con asse parallelo all’asse delle y, sia

quella con asse parallelo all’asse delle x, dipende dai tre parametri a,b,c quindi per ricavare l'equazione dobbiamo avere tre relazioni indipendenti fra loro che ci permettano di determinare i parametri.

Alcuni casi che possono presentarsi più frequentemente:1.Passaggio per tre punti2.Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco3.Conoscenza delle coordinate del vertice e passaggio per un punto4.Conoscenza delle coordinate del vertice e dell’equazione della direttrice5.Passaggio per due punti e tangenza ad una data retta6.Conoscenza dell’equazione dell’asse e della direttrice, e passaggio per un punto.

Segmento parabolicoTeorema di Archimede (area del segmento parabolico)Consideriamo la parabola con vertice nell’origine O (0,0) e che ha come asse quello delle ordinate (a > 0); consideriamo una retta r parallele all’asse delle ascisse che interseca la parabola nei punti A e B.

DefinizioneLa regione finita S del piano delimitata dall’arco AVB di parabola e dal segmento AB viene detta segmento parabolico.Vogliamo trovare l’area del segmento parabolico. Questa area S risulta uguale alla differenza tra l’area del rettangolo AA’BB’e quella della regione delimitata dall’arco A’VB’ e dai segmenti AA’, BB’ e A’B’, che per simmetria rispetto all’asse delle y risulta doppia della regione T delimitata dall’arco AV e dai segmenti AA’ e VA’.I punti hanno coordinate: , , , avremo:

Dove

Per calcolare l’area della regione T si può utilizzare o un metodo di approssimazione o un

metodo mediante l’integrale definito di funzione, che dà come risultato .

Troviamo perciò che non è altro che i dell’area

del rettangolo AA’BB’

GeneralizzazioneL’area del segmento parabolico AVB è

uguale ai dell’area del rettangolo AA’BB’

(teorema di Archimede).Questo risultato vale anche quando la retta che interseca la parabola non è perpendicolare al suo asse.Consideriamo una parabola di equazione

e una generica retta r che interseca la parabola nei punti A e B. Tracciamo la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta r; tracciamo le proiezioni di A e B sulla retta tangente,

l’area del segmento parabolico ABV è uguale a

dell’area del rettangolo AA’BB’

DimostrazioniDimostrazione: Regola dello sdoppiamento"Determinare l' equazione della retta tangente alla parabola di equazione in un suo punto "

Determiniamo l' equazione del fascio di centro P: e svolgiamo il sistema con l'equazione della parabola

Il punto P appartiene alla parabola, quindi l' equazione di II grado ammette due soluzioni coincidenti con .Per la relazione esistente tra le soluzioni di un' equazione di II grado e i suoi coefficienti sappiamo che:

ricaviamo m e otteniamo sostituiamo nell'equazione

del fascio di rette

Consideriamo la condizione di appartenenza di P alla parabola

moltiplichiamo entrambi i membri per 2 e otteniamo

Sommiamo membro a membro e

otteniamo raccogliamo b e dividiamo per 2

che è l’equazione per determinare la retta tangente in un punto appartenente alla parabola

Formulario

PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ORDINATE

Equazione della parabola

Coordinate del vertice

Equazione asse di simmetria

Equazione della direttrice

Coordinate del fuoco

Equazione parabola con vertice nell’origine degli assi

Equazione parabola che passa per origine degli assiEquazione parabola con asse di simmetria asse delle ordinate, vertice Equazione retta tangente in un punto appartenente alla parabola

Coefficiente angolare della retta tangente

PARABOLA CON ASSE PARALLELO ALL’ASSE DELLE ASCISSE

Equazione della parabola

Coordinate del vertice

Equazione asse di simmetria

Equazione della direttrice

Coordinate del fuoco

Equazione parabola con vertice nell’origine degli assi

Equazione parabola che passa per origine degli assiEquazione parabola con asse di simmetria asse delle ordinate, vertice Equazione retta tangente in un punto appartenente alla parabola