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Capitolo 5 - Filtri Passivi

1 PREMESSA............................................................................................................................2

2 FATTORE DI MERITO DI UN INDUTTORE..................................................................2

2.1 CIRCUITO EQUIVALENTE DI TIPO SERIE..................................................................................3 2.2 CIRCUITO PARALLELO...........................................................................................................3

3 RISONANZA..........................................................................................................................5 3.1 CIRCUITO RISONANZA DI TIPO PARALLELO............................................................................5 3.2 CIRCUITI RISONANTI DI TIPO SERIE........................................................................................7 3.3 PARAMETRI DEI CIRCUITI RISONANTI RLC SERIE E PARALLELO ............................................9 3.4 CIRCUITI RISONANTI RLC DI TIPO IBRIDO ...........................................................................10 3.5 APPLICAZIONE DEI CONCETTI AI SISTEMI INDUSTRIALI........................................................14

4 TIPOLOGIE DI FILTRI PASSIVI....................................................................................15

5 FILTRI ACCORDATI ........................................................................................................17 5.1 RISONANZE .........................................................................................................................17

5.1.1 Calcolo della frequenza di risonanza parallelo filtro/rete ................................................................................. 20 5.2 POTENZA REATTIVA EROGATA ............................................................................................21 5.3 PROGETTO SEMPLIFICATO ...................................................................................................23 5.4 PROGETTO COMPLETO: DISACCORDO DEL FILTRO ...............................................................25

6 FILTRI PASSA ALTO........................................................................................................29

7 DIMENSIONAMENTO DEI COMPONENTI DEL FILTRO .......................................32

8 VALUTAZIONE ECONOMICA DEL FILTRO .............................................................34

9 SISTEMI MISTI ..................................................................................................................38

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1 Premessa Per eliminare o attenuare le armoniche nelle reti per il trasporto dell’energia elettrica i filtri sono tra i componenti più utilizzati. Tra questi ci sono i filtri passivi, che impiegano solo componenti passivi (induttori e condensatori), risultano molto più semplici e comuni dei filtri attivi costituiti da componenti elettrici di potenza comandati da opportune tecniche di controllo.

Per il corretto dimensionamento di un filtro passivo è fondamentale considerare gli elementi che costituiscono il filtro stesso come componenti non ideali.

A rigore, condensatore e induttore non rappresentano una capacità ed una induttanza pura presenti nei circuiti reali, infatti, dissipazione di potenza (si pensi ad esempio alle perdite dielettriche di un condensatore o alle perdite joule di un induttore) che impongono di tenere in conto di una parte resistiva nel circuito equivalente del componente reale (vedi circuito equivalente di Debye per un dielettrico). Se per un condensatore in bassa tensione per frequenze fino a qualche KHz le perdite dielettriche possono essere trascurate e quindi il condensatore può essere considerato una capacità pura in buona approssimazione, per un induttore tali perdite costituiscono una frazione rilevante della potenza di alimentazione per cui se ne dovrà tenere conto nella schematizzazione circuitale, come spiegato nel prossimo paragrafo, mediante il fattore di merito. Prima di analizzare in dettaglio i filtri passivi, vengono richiamati alcuni utili concetti sulla risonanza serie e parallelo (paragrafo 3).

2 Fattore di merito di un induttore L'induttore reale, cioè il componente utilizzato per la realizzazione di circuiti elettrici, si differenzia dal componente ideale (nel campo di frequenze fra i 50 ed i 2500 Hz) per la dissipazione di energia al proprio interno. Tale dissipazione è dovuta a:

1. Perdite per effetto Joule nel rame;

2. Perdite per correnti parassite ed isteresi nel ferro (quando l'induttore abbia nucleo ferromagnetico, visto che in media tensione si tende a realizzare induttori in aria).

Al fine di quantificare tali fenomeni, si introduce il concetto di fattore di merito. Il fattore di merito può essere definito come :

Fattore di merito = D

Af W

tWQ ))(max(2π= (2.1)

Dove max (WA(t)) è il massimo dell'energia accumulata in un ciclo, WD l'energia dissipata in un ciclo. Il fattore di merito tende all'infinito tanto più il componente si avvicina all'induttore ideale, oppure tende a 0 al crescere delle perdite al proprio interno.

Si noti che, la definizione di fattore di merito può essere applicata a qualunque regime periodico. Tuttavia, il fattore di merito si intende, normalmente, come una quantità atta a caratterizzare un induttore reale operante in regime sinusoidale. Per l'induttore operante in regime sinusoidale, date la tensione, V, e la corrente, I, ai terminali, è possibile ottenere:

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1. Una rappresentazione mediante un circuito equivalente di tipo serie caratterizzato dall'impedenza Z=V/I=R+jX. 2. Una rappresentazione mediante un circuito equivalente di tipo parallelo caratterizzato dall'ammettenza Y = I/V = G - jB.

Il fattore di merito può essere espresso mediante la resistenza, R, e l'induttanza, X, per il circuito serie, oppure mediante la conduttanza, G, e la suscettanza, B, per il circuito parallelo. Nel seguito si procederà a derivare le espressioni per il calcolo di tali parametri. Prima di procedere, si osservi però che, a prescindere dal circuito equivalente utilizzato:

Il fattore di merito dipende dalla frequenza del regime sinusoidale cui è sottoposto l'induttore.

2.1 Circuito equivalente di tipo serie Per questo tipo di circuito è abbastanza semplice calcolare max(WA(t)) e WD in quanto entrambe le grandezze si possono esprimere in funzione della corrente massima circolante nella serie:

fIR

TIRW

IX

ILtW

SSD

SSA

2max2

max

2max

2max

21

21

21

21))(max(

⋅=⋅⋅=

⋅=⋅=ω

Dunque:

Fattore di merito circuito serie = S

Sf R

XQ =

(2.2)

2.2 Circuito parallelo Per il circuito di tipo parallelo è necessario esprimere max (WA(t)) e WD come funzione del massimo valore della tensione. Infatti, è immediato calcolare l'energia dissipata come:

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fVG

TVGW PPD

2max2

max 21

21 ⋅

=⋅⋅= (2.3)

L'energia accumulata è esprimibile mediante il massimo valore della corrente nell'induttore come:

2max,

2max, 2

121))(max( L

PLPA I

XILtW ⋅=⋅=

ω

(2.4)

tuttavia, poiché

maxmax, VBI PL ⋅= (2.5)

L’energia accumulata può essere riscritti come:

2max,2

1))(max( LP

A VB

tWω

= (2.6)

dunque:

Fattore di merito circuito parallelo = P

Pf G

BQ =

(2.7)

Si osservi che, al variare della frequenza, il circuito di tipo serie presenta un fattore di merito variabile in modo lineare con la frequenza:

fRL

QS

Sf ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= π2

(2.8)

Per gli induttori impiegati nella realizzazione di filtri si utilizza normalmente la rappresentazione di tipo serie in quanto le perdite nel rame sono sempre maggiori rispetto a quelle nel ferro (ammesso che l'induttore abbia nucleo in ferro).

Questa rappresentazione consente di estrapolare il fattore di merito a frequenze differenti. Ad esempio, quando si intende operare alla frequenza armonica di ordine h, il fattore di merito dell'induttore può essere derivato da quello a 50 Hz facendo riferimento al circuito equivalente di tipo serie mediante:

)50()50( ff QhhQ ⋅=⋅ (2.9)

Il fattore di merito degli induttori per applicazioni industriali di potenza, calcolato a 50 Hz, è normalmente variabile nell'intervallo 10-50.

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3 Risonanza La risonanza è un concetto che si applica a reti in regime sinusoidale. In particolare, si defInisce:

Frequenza di risonanza:

Frequenza a cui una rete a due terminali priva di generatori interni appare ad un generatore esterno come un bipolo puramente resistivo.

In altre parole, gli scambi di potenza reattiva fra componenti capacitivi e componenti induttivi si compensano fra loro, azzerando il flusso di potenza reattiva dalla sorgente collegata ai terminali della rete. Si noti che, reti complesse, contenenti molti elementi induttivi e capacitivi, possono presentare un insieme di frequenze di risonanza. Nel seguito ci si riferirà a reti contenenti un singolo induttore ed un singolo condensatore, per le quali esiste un unico valore di frequenza di risonanza.

3.1 Circuito risonanza di tipo parallelo

Fig. 1 - Circuito RLC parallelo e diagramma vettoriale in risonanza

I circuiti di tipo RLC parallelo (Figura 1) sono caratterizzati da un'ammettenza pari a:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

LCjGY

ωωω 1)(

(3.1)

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La condizione di risonanza è:

01))(Im( =−=L

CYω

ωω (3.2)

Cioè:

Pulsazione di risonanza del circuito di tipo parallelo LC1

0 =ω (3.3)

In risonanza, la suscettanza dell' induttore e quella del condensatore sono uguali, e pari a:

LCB

000

1ω

ω == (3.4)

E' facile verificare che, in risonanza, l’ammettenza di tale circuito è la minima possibile, pertanto l'impedenza è massima. Nella tabella 1 sono riassunte le caratteristiche principali di un circuito RLC in risonanza parallelo.

Circuito alimentato mediante generatore di corrente

Circuito alimentato mediante generatore di tensione Impedenza Ammettenza

Tensione Corrente Tensione Corrente

Massima Minima Massima Fissata dal gen. Fissata dal gen. Minima

Tab. 1 - Caratteristiche di un circuito RLC in risonanza parallelo

Dalla tabella si può osservare che la risonanza di un circuito RLC parallelo è particolarmente pericolosa quando il circuito è alimentato mediante un generatore di corrente. In tali condizioni si manifestano sovratensioni ai morsetti della rete e, corrispondentemente, sovracorrenti nei dispositivi. Dunque le sollecitazioni elettrica (tensione) e termica (corrente) possono portare velocemente al degrado dei componenti costituenti la rete stessa, eventualmente anche di quelli interni al generatore che alimenta la rete. Si noti che, in risonanza, la tensione ai capi della rete si calcola come:

IBQ

GIV f

0

== (3.5)

Le correnti nell' induttore e nel condensatore sono calcolabili come:

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IQG

IBVBII fOCL ⋅=⋅

=⋅== 0 (3.6)

Dunque, il circuito risonante parallelo alimentato da un generatore di corrente si comporta come un amplificatore di corrente per quanto concerne le correnti nell'induttore e nel condensatore. In particolare, tanto maggiore è il fattore di merito del filtro, tanto più alte saranno le correnti e le tensioni.

3.2 Circuiti risonanti di tipo serie

Fig. 2 - Circuito RLC serie e diagramma vettoriale in risonanza

Per i circuiti di tipo RLC serie (Figura 2), caratterizzati da un 'impedenza pari a:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

CLjRZ

ωωω 1)(

(3.7)

La condizione di risonanza è:

01))(Im( =−=C

LZω

ωω (3.8)

Cioè:

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Pulsazione di risonanza del circuito di tipo parallelo LC1

0 =ω (3.9)

In risonanza, la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono uguali, e pari a:

CLX

000

1ω

ω == (3.10)

E' facile verificare che, in risonanza, l'impedenza di tale circuito è la minima possibile, pertanto l'ammettenza è massima. Nella tabella 2 sono riassunte le caratteristiche principali di un circuito RLC in risonanza serie:

Circuito alimentato mediante generatore di corrente

Circuito alimentato mediante generatore di tensione Impedenza Ammettenza

Tensione Corrente Tensione Corrente

Minima Massima Minima Fissata dal gen. Fissata dal gen. Massima

Tab. 2 - Caratteristiche principali di un circuito RLC serie

La risonanza di un circuito RLC serie è particolarmente pericolosa quando il circuito è alimentato mediante un generatore di tensione. In tali condizioni si manifestano sovracorrenti ai morsetti della rete e, corrispondentemente, sovratensioni nei dispositivi. Dunque le sollecitazione elettrica (tensione) e termica (corrente) possono portare velocemente al degrado dei componenti costituenti la rete stessa, eventualmente anche di quelli interni al generatore che alimenta la rete. Si noti che, in risonanza la corrente in ingresso alla rete si calcola come:

VX

QRVI f ⋅==

(3.11)

Le tensioni ai capi dell'induttore e del condensatore sono calcolabili come:

VQR

VXIXVV fCL ⋅=⋅

=⋅== 00

(3.12)

Dunque, il circuito risonante serie alimentato da un generatore di tensione si comporta come un amplificatore di tensione per quanto concerne le tensioni sull'induttore e sul condensatore. In particolare, tanto maggiore è il fattore di merito del filtro, tanto più alte saranno le correnti e le tensioni.

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3.3 Parametri dei circuiti risonanti RLC serie e parallelo La trattazione dei circuiti risonanti RLC serie e parallelo ha mostrato sostanziali analogie fra le due tipologie di circuiti (teorema di dualità). In particolare, è stato mostrato che la frequenza di risonanza è calcolabile nello stesso modo per le due topologie:

Pulsazione di risonanza LC1

0 =ω (3.13)

Conseguentemente, per entrambe le topologie si ha:

Frequenza di risonanza LC

f 121

0 ⋅=π

(3.14)

Ordine armonico di risonanza LC

h 13141

0 ⋅= (3.15)

Al fine di caratterizzare ulteriormente i circuiti risonanti, si definisce la banda passante.

Definizione di banda passante per circuiti di tipo parallelo

La banda passante è la differenza ω2 - ω1 , essendo ω1 ed ω2 i valori di pulsazione per cui l'impedenza del circuito si riduce di un fattore pari 2 rispetto al valore assunto in risonanza (l/G).

Definizione di banda passante per circuiti di tipo serie

La banda passante è la differenza ω2 - ω1, essendo ω1 ed ω2 i valori di pulsazione per cui l'ammettenza del circuito si riduce di un fattore pari a 2 rispetto al valore assunto in risonanza (l/R).

Si consideri un circuito di tipo serie. Calcolando rapporto fra la generica ammettenza e quella in risonanza si ha:

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RjXR

CLjR

/)(11

1

11

ωω

ω

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

(3.16)

Dunque, alle pulsazioni ω1 ed ω2 deve essere

1)()( 21 ==R

XR

X ωω (3.17)

Per circuiti con fattore di merito (calcolato alla frequenza di risonanza) superiore a 10, le pulsazioni ω1 ed ω2 si considerano disposte simmetricamente attorno alla pulsazione di risonanza e la banda passante (PB, da pass-band) vale, approssimativamente:

fQPB 0ω

≈(3.18)

(Espressione valida per circuiti con ) 10≥fQ

3.4 Circuiti risonanti RLC di tipo ibrido

Fig. 3 - Circuito RLC ibrido

Per circuiti di tipo ibrido si intende circuiti non completamente serie o parallelo. Si consideri come esempio il circuito di Figura 3, rappresentativo di un induttore reale (schematizzato mediante un equivalente serie) posto in parallelo ad un condensatore. Tale circuito può modellare, ad esempio, il parallelo fra un trasformatore ed un banco di condensatori.

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Per tale circuito, l'ammettenza è facilmente calcolabile come:

CjLRLjRCj

LjRY ω

ωωω

ωω +

+−

=++

= 22 )(1)(

(3.19)

In risonanza, deve essere:

011

1

1

1)(

))(Im(

2

222 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=+

−=

fQL

C

LRL

CLR

LCYω

ω

ωω

ωω

ωωω (3.20)

Dove l'ultima espressione è stata ottenuta inserendo (arbitrariamente) il fattore di merito dell'induttore calcolato alla frequenza di risonanza (non nota). Si osservi, comunque, che per valori di fattore di merito superiori a 10 il termine entro parentesi tende a 1,01 e, pertanto, può essere trascurato. Dunque, ammesso che il fattore di merito dell'induttore alla frequenza di risonanza sia superiore a 10, si può tranquillamente calcolare la frequenza di risonanza come se ci si riferisse ad un circuito RLC parallelo. La procedura da seguire è quindi la seguente:

1. Calcolare il valore approssimato di pulsazione di risonanza LC1ˆ0 =ω

2. Calcolare il fattore di merito dell'induttore per il valore approssimato di pulsazione di risonanza:

RLQ f⋅

= 00

ˆ)ˆ( ωω

3. Se 10)ˆ( 0 ≥ωfQ si accetti come buona approssimazione della pulsazione di risonanza il valore calcolato in modo approssimato, altrimenti si proceda a determinare il valore esatto.

Per calcolare il valore esatto deve essere risolta la seguente equazione:

01112

22

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

LCRLC

LRLC ωω

ω(3.21)

Da cui si ottiene:

LCLCR2

0

1−=ω

(3.22)

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Nota la pulsazione di risonanza (vera o approssimata) il circuito può essere ricondotto ad un circuito RLC parallelo imponendo che il parallelo RP, LP abbia ammettenza (alla frequenza di risonanza) identica alla serie RS, LS.

PPSS

S

SS

SS

SS Lj

RLRR

LjRLjR

LjR 022

0222

02

0

0

111ωωω

ωω

−=+

=+−

=+

(3.23)

Da questa espressione è possibile ricavare il valore dei parametri del circuito equivalente parallelo utilizzando il fattore di merito dell'induttore (si noti che la serie RS LS deve avere lo stesso fattore di merito alla frequenza di risonanza del parallelo RP LP ):

( )

SS

SS

S

SSP

fSfSS

SSP

LL

RLL

LRL

QRQRR

LRR

0220

2

00

220

2

0

2222

02

1

1

ωω

ωωωω

ω

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

⋅≈+=+

=

(3.24)

Le ultime due approssimazioni sono state ottenute nell'ipotesi che il fattore di merito sia non inferiore a 10.

Riassumendo, dal circuito RLC ibrido è stato ricavato un circuito RLC parallelo con stessa frequenza di risonanza e stesso fattore di merito. Dal circuito RLC parallelo è possibile calcolare la banda passante secondo la consueta relazione:

fQPB 0ω

= (3.25)

Si noti che la larghezza di banda così definita è teoricamente valida solo per il circuito RLC parallelo. Tuttavia, i due circuiti presentano risposte in frequenza simili (in prossimità della frequenza di risonanza), per alti valori del fattore di merito. Come al solito, si accetta questa soluzione approssimata (cioè calcolare la banda del circuito RLC ibrido come quella del circuito RLC parallelo equivalente alla frequenza di risonanza), solo per fattori di merito non inferiori a 10.

La Figura 4 mostra come, al crescere del fattore di merito, la differenza fra le risposte in frequenza (impedenze) del circuito RLC parallelo ed RLC ibrido sia praticamente trascurabile.

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235 240 245 250 255 260 2650.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Risposta in frequenza del circuito RLC ibrido con Qf = 100Risposta in frequenza del circuito RLC parallelo con Qf = 100Risposta in frequenza del circuito RLC ibrido con Qf = 50Risposta in frequenza del circuito RLC parallelo con Qf = 50Risposta in frequenza del circuito RLC ibrido con Qf = 10Risposta in frequenza del circuito RLC parallelo con Qf = 10

f

Fig. 4 - Risposta del circuito RLC parallelo e del circuito RLC ibrido in un intervallo di ampiezza pari alla banda

passante e centrato sulla frequenza di risonanza (250Hz) e per differenti fattore di merito. Per fattori di merito superiori a 10 le due curve sono indistinguibili

Come detto in precedenza, per fattori di merito superiori a 10 le due curve sono indistinguibili, infanti imponendo un fattore di merito pari a 5 le due curve sono differenti (vedi fig. 4.1) quindi non è più buona l’approssimazione fatta precedentemente.

235 240 245 250 255 260 2650.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

f Fig. 4.1 – Risposta del circuito RLC parallelo e del circuito RLC ibrido con un fattore di merito pari a 5,

centrato sulla frequenza di risonanza

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3.5 Applicazione dei concetti ai sistemi industriali

Ih

Vh

Trafo #1

Impianto #1

Impedenzac.to c.to50 Hz

Rete distribuzione

Impianto #2

Trafo #2

Sistema industriale

Ih

Vh

VEDERE PARTE SU APPUNTI DI MONTANARI

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4 Tipologie di Filtri Passivi

YN Z→0

Filtro Rete ReteFiltro

Z→∞

YN

Parallelo Serie

Fig. 5 - Tipologie di filtri passivi (parallelo, o shunt, a sinistra, serie a destra). YN: Ammettenza del circuito equivalente di Norton.

I filtri passivi sono utilizzati al fine di ridurre la distorsione armonica nella rete quando ad essa sia collegato un carico distorcente. Basicamente, si possono distinguere due tipi di filtri: il filtro parallelo(shunt) ed il filtro serie. Il filtro shunt è preferibile quando l'impedenza della rete è alta. Il filtro serie può essere impiegato quando l'impedenza della rete è bassa e l'ammettenza equivalente di Norton del carico distorcente è alta (o l'impedenza interna 1/YN è più bassa dell'impedenza del filtro). Normalmente i filtri serie non sono impiegati in quanto debbono trasportare tutta la corrente del carico e, pertanto, sono più costosi dei filtri di tipo parallelo.

I filtri parallelo, a loro volta, possono essere realizzati come filtri accordati (Figura 6) o filtri passa-alto (Figura 7). Una analisi qualitativa del comportamento in frequenza dei due filtri mostra che, il filtro accordato presenta:

1. Impedenza infinita in corrente continua;

2. Impedenza infinita per frequenze tendenti all'infinito;

3. Impedenza minima (nulla quando si consideri un filtro ideale) alla frequenza di risonanza;

Il filtro passa-alto presenta:

1. Impedenza infinita in corrente continua;

2. Impedenza pari alla resistenza del resistore in parallelo all'induttore per frequenze tendenti all'infinito;

3. Impedenza minima alla frequenza di risonanza

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ZF

ff 0

Fig. 6 - Filtro parallelo accordato e rappresentazione schematica dell'andamento dell'impedenza del filtro in funzione della frequenza

ZF

f Fig. 7 - Filtro passa-alto e rappresentazione schematica dell'andamento dell'impedenza del filtro in funzione

della frequenza

L'utilizzo di tali topologie di filtri è il seguente:

• I filtri accordati vengono utilizzati per eliminare o limitare il valore di corrente entrante nella rete per una ben specifica armonica (esempio, compensazione della 5a armonica).

• I filtri passa-alto vengono utilizzati per eliminare o limitare il valore di corrente entrante nella rete per le armoniche a partire da un certo ordine (esempio, riduzione delle armoniche di ordine superiore o uguale ad Il).

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5 Filtri accordati

5.1 Risonanze In un sistema industriale ove sia inserito un filtro accordato in parallelo ad un trasformatore (elemento prevalentemente induttivo) si verificano due tipi di risonanze: la risonanza serie del filtro e la risonanza parallelo del parallelo filtro/trasformatore.

2πf Cf

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

Xl f( )

Xc f( )

Z f( )

f Fig. 8 - Risonanza serie del filtro: quando la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono identiche il

filtro presenta l'impedenza minima (pari alla resistenza interna dell'induttore)

La risonanza serie del filtro si verifica quando la reattanza dell'induttore e quella del condensatore sono identiche. Come in un caso standard di risonanza in un circuito RLC serie, questo si verifica alla armonica di ordine:

LCh 11

10 ⋅=

ω

(5.1)

In risonanza serie, il filtro presenta l'impedenza minima (pari alla resistenza interna dell' induttore, vedi Figura 8) e, pertanto, tende a formare un percorso a bassa impedenza per le correnti armoniche, che si richiudono attraverso il filtro interessando solo marginalmente la rete.

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50 100 150 200 250 300 350 400 450 5004

2

0

2

Xl f( ) Xc f( )−

Xl f( )

Xc f( )−

f Fig. 9 - Reattanze in un filtro accordato. Prima della frequenza di risonanza (250 Hz, quando la reattanza totale è

nulla) il filtro è prevalentemente capacitivo, dopo la frequenza di risonanza è prevalentemente induttivo

Si deve tuttavia osservare che il filtro è un carico prevalentemente capacitivo prima della frequenza di risonanza serie (come si evince dalla Figura 9) e, dunque, entrerà in risonanza parallelo con la rete (elemento prevalentemente induttivo). La Figura 10 mostra come, in effetti, per un circuito di questo tipo si verifichi una risonanza parallelo con un picco massimo di impedenza (fra i 100 ed i 150 Hz) seguita da una risonanza serie (a 250 Hz) in cui l'impedenza presenta valore minimo.

50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

1

2

3

4

5

Zp f( )

f Fig. 10 - Risonanza parallelo filtro/rete (fra i 100 ed i 150 Hz) e risonanza serie del filtro (250 Hz)

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Si noti infine che, asintoticamente, l'impedenza del parallelo rete/filtro tende a comportarsi come un induttore la cui induttanza è calcolabile come il parallelo fra l'induttanza del filtro e quella della rete.

Nel seguito si riporta lo script Octave (Matlab) utilizzato per generare i grafici delle Figure 8-10.

% Risposta in frequenza di filtro accordato a 250 Hz

Lr = 1.1768e-3; % rete

Lf = 0.484e-3; % Filtro

Cf = 0.838e-3;

Rf = 25.33e-3;

Lparallelo = (Lr*Lf)/(Lr+Lf); % Per il valore asintotico di Zp

h = linspace(1,10,1000) ';

w = 314*h;

f = 50*h;

Xl = w*Lf;

Xc = 1.0. / (w*Cf);

Zf = Rf + i*(XI-Xc);

Xr = w*Lr;

Zr = i*Xr;

Zp = (Zf. * Zr) ./ (Zf+Zr);

Zi = abs (Zf);

Zp = abs (Zp) ;

plot(w,Zf,w,Xl,w,Xc)

pause

plot(w,Xl,w,-Xc,w,Xl-Xc)

pause

plot (w, Zp,w,w*Lparallelo)

pause

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5.1.1 Calcolo della frequenza di risonanza parallelo filtro/rete

Il calcolo della frequenza di risonanza parallelo fra filtro e rete può essere condotto in modo abbastanza semplice se si trascura sia la resistenza equivalente dell'induttore che quella della rete. Sotto questa semplificazione (accettabile ai fini pratici) è possibile scrivere l'ammettenza del bipolo semplificato che rappresenta il parallelo rete/filtro nel modo seguente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−⋅

+−−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=)1()(

11

1

1

1122

22

2fff

frff

ff

f

r

ff

r CLLCLCL

jCLC

Lj

CLj

LjY

ωωωω

ωω

ω

ωω

ω

(5.2)

dove:

= induttanza della rete. rL

= induttanza del filtro. fL

Poiché la risonanza si manifesta quando la parte immaginaria dell'ammettenza (o dell'impedenza, equivalentemente) di un bipolo è nulla, è facile verificare che la risonanza paralleo si osserva alla frequenza angolare (pulsazione) data da:

Pulsazione di risonanza parallelo filtro/rete ffr

p CLL ⋅+=

)(1ω

(5.3)

Nei filtri realizzati con condensatori autoripristinanti, la capacità del filtro tende a diminuire con il tempo, spostando via via tale risonanza parallelo a valori più alti. Il caso più critico è quando tale valore coincide con la frequenza armonica per cui il filtro dovrebbe avere impedenza minima: in queste condizioni il filtro, invece di sopprimere le armoniche nella rete, si comporterà come. un amplificatore della corrente armonica iniettata dal carico. Per calcolare quale è la frazione ρ della capacità iniziale che porta in tali condizioni si ponga:

*ff CC ⋅= ρ (5.4)

*r

r

LL

=λ (5.5)

(essendo e i valori di induttanza e capacità calcolati durante il progetto del filtro). Queste definizioni permettono di riscrivere la frequenza di risonanza parallelo come:

*kfC *

kfL

Pagina 21 di 38

ρλω

ρλρω

)1()1(1)(

*0

**

*

+=

⋅⋅+=

ff

pCL

(5.6)

Essendo ω0* la pulsazione di risonanza serie del filtro scelta in sede progettuale. Evidentemente, la

risonanza parallelo si verificherà in corrispondenza della risonanza serie ω0* quando si verificherà la

condizione:

1)1( =+ ρλ (5.7)

Cioè quando

fr

f

LLL+

=+

=λ

ρ1

1 (5.8)

È chiaro che, al crescere del valore di λ, cioè al crescere dell'induttanza della rete, tale condizione richiederà un maggiore degrado del condensatore stesso, in quanto ρ tende asintoticamente a 0 quando λ tende all'infinito.

5.2 Potenza reattiva erogata La potenza reattiva capacitiva richiesta dal filtro non coincide esattamente con quella nominale del banco di condensatori con cui il filtro stesso è stato realizzato. Schematizzando il filtro come un bipolo privo di perdite, la potenza reattiva richiesta dal filtro è calcolabile come:

2

0

1

21

1

21

11

22

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=−

=−

==

ωω

ωωω

ωω

ECCL

EC

CL

EXEQ f

ff

f

ff

f

(5.9)

il termine a numeratore è la potenza reattiva capacitiva che il banco di condensatori assorbirebbe se non fosse collegato in serie all’induttore:

2

1 ECQ fC ω−= (5.10)

Dunque, è possibile sintetizzare la potenza reattiva capacitiva assorbita dal filtro come:

Potenza reattiva capacitiva richiesta dal filtro CQh

hQ ⋅−

=12

0

20

(5.11)

Pagina 22 di 38

Da cui è immediato derivare l’equazione che permette di dimensionare la potenza reattiva del banco di condensatori.

Equazione di progetto Qh

hQC ⋅−

= 20

20 1

(5.12)

Assumendo QC = l , la tabella seguente mostra i valori della potenza reattiva capacitiva richiesta dal banco in funzione dell'ordine armonico di accordo del filtro. Come si vede, per bassi valori dell'ordine armonico esiste uno scostamento che può arrivare al 4% circa.

h0 Q (QC = 1) Q (QC = 1)

5 25 / 24 1,041666667

7 49 / 48 1,020833333

11 122 / 121 1,008264463

13 170 / 169 1,00591716

17 290 / 289 1,003460208

19 362 / 361 1,002770083

23 530 / 529 1,001890359

25 626 / 625 1,0016

Intuitivamente si potrebbe pensare che la presenza dell’induttore diminuisce la potenza reattiva capacitiva rispetto al valore erogato dal banco di condensatori. Cosa giustifica questo eccesso di potenza reattiva capacitiva? Per capirlo si valutino le tensione su induttori e condensatore.

EEV

EEXX

XV

LCL

CLC

CC

⋅=⋅−=

⋅=⋅+

=

ηη

η

)1(

(5.13)

Esplicitando i coefficienti ηC ed ηL in funzione dell’ordine armonico:

2

2

2

21

11

1

11

11

1

1

oL

o

o

ff

ff

fC

h

hh

CLC

L

C

−=

−−=−=

−−=

η

ωω

ω

ωη

(5.14)

Pagina 23 di 38

5 10 15 20 25

0

0.5

1

nc h0( )

nl h0( )

h0

Fig. 11 - Andamento dei coefficienti ηC ed ηL in funzione dell’ordine armonico di accordo

Come mostrato nella figura 11, la tensione sull’induttore è prossima allo 0, mentre sul condensatore è leggermente superiore ad 1. Questa sovratensione sul condensatore e, corrispondentemente, bassa tensione sull’induttore, giustificano il comportamento del filtro.

5.3 Progetto semplificato Verrà presentato ora un approccio semplificato al progetto di un filtro accordato. Tale approccio non considera la variabilità dei componenti del filtro (ad esempio, deriva della capacità) o della frequenza di rete. L'approccio completo sarà trattato nel paragrafo successivo.

Per il progetto semplificato di un filtro accordato è necessario specificare:

1. la potenza reattiva capacitiva che il filtro deve generare, Q;;

2. l'ordine di accordo h0;

3. la frazione ε della corrente armonica generata che entra nella rete;

4. la reattanza di cortocircuito della rete (calcolata a 50 Hz);

5. la frequenza della fondamentale (f1 o ω1);

L'obiettivo è calcolare:

1. la capacità del filtro,

2. l'induttanza del filtro,

3. il fattore di merito dell' induttore.

Dalla potenza reattiva Q (si suppone di progettare un filtro trifase, Q è la somma delle potenze re attive generate nelle tre fasi) è possibile calcolare la potenza reattiva richiesta al banco di condensatori, QC:

Pagina 24 di 38

Qh

hQC ⋅−

= 20

20 1

(5.15)

e da questa la capacità del filtro (sia U il valore efficace della tensione concatenata):

21

20

20 1

UQ

hhC f ω

⋅−

= (5.16)

Nota la capacità del filtro, l'ordine di accordo h0 permette di determinare immediatamente il valore dell'induttanza.

Infatti:

0111

00

11h

CLCL

h ffff ωωω

ω=⋅→

⋅==

(5.17)

Quindi:

ff Ch

L 112

01

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ω

(5.18)

jh0 X cc

I hI hr

Rf

Fig. 12 - Parallelo rete/filtro alla frequenza di risonanza serie del filtro accordato

A questo punto deve essere calcolato il fattore di merito dell'induttore o, alternativamente, il valore di resistenza presentato dal filtro, Rf. Quando si considera la rete all'armonica h0, il filtro è rappresentabile come un bipolo puramente resistivo, di resistenza Rf (Figura 12). Dunque, alla frequenza di risonanza, la frazione ε di corrente che entra nella rete è calcolabile come:

220

2CCf

f

h

hr

XhR

RII

⋅+==ε

(5.19)

Da questa equazione è possibile esplicitare la resistenza del filtro:

Pagina 25 di 38

( ) 220

22222

02

22 1 CCf

CCf

f XhRXhR

R⋅⋅=−→

⋅+= εεε

(5.20)

Quindi:

CCCC

f XhXhR ⋅⋅≈−

⋅⋅= 02

0

1ε

ε

ε (5.21)

dove l’approssimazione si può fare quando ε è abbastanza piccola (<10%). Se si desidera calcolare direttamente il fattore di merito:

CC

ff L

LQ

ε1

=(5.22)

essendo LCC l’induttanza di cortocircuito della rete.

5.4 Progetto completo: disaccordo del filtro Si supponga di avere progettato un filtro secondo la procedura indicata sopra. Se i dati di progetto sono indicati da:

1. h0* ordine di accordo,

2. f1* frequenza fondamentale della rete (esempio, 50 Hz)

ed i valori calcolati di induttanza e capacità sono C*f e L*

f allora sussiste la relazione:

***1

*0

12

1

ff CLfh ⋅=

π

(5.23)

Tra i dati di progetto e le condizioni di applicazione del filtro sussistono però differenze. Le principali sono imputabili a:

• Variazioni della frequenza fondamentale della rete (normalmente contenute entro un ±2%).

• Scostamenti fra induttanza e capacità reali rispetto a quelli specificati in sede di progetto. Tali scostamenti possono essere causati, ad esempio, ad imperfezioni nella realizzazione.

• Deriva della capacità dei condensatori (fenomeno molto marcato quando si considerino condensatori autoripristinanti).

Pagina 26 di 38

Per trattare questi fenomeni si introduce il fattore di disaccordo:

Fattore di disaccordo = *0

*00

hhh −

=δ (5.24)

Il fattore di disaccordo è una funzione non lineare rispetto al vettore dei parametri che specificano l'ordine di accordo:

),,( 1 ff CLf=θ (5.25)

Per consentire una trattazione semplificata di questi fenomeni, è possibile utilizzare la serie di Taylor:

( ) ( ) ( ) ....),,( *

*

0*

*

0*11

*1

0*010 +−

∂∂

+−∂∂

+−∂∂

+====

fff

fff

ff CCChLL

Lhff

fhhCLfh

θθθθθθ

(5.26)

Le derivate parziali nella serie di Taylor possono essere calcolare come:

**0

*1*

0

**0****

1

*

*****1

*1*

0

*1

*0*

1***

12*

1**

*11*1

0

21

21

21

211

21

21

21

21

1112

11121

21

*0

*0

fffff

ff

h

ff

f

ffffffff

h

ffffff

Ch

CLfLLh

Lh

LCLfC

CLCLfCLfLLh

fh

fCLffCLCLfffh

⋅=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=∂∂

⋅=−=−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=∂∂

⋅=−=−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

=∂∂

==

==

==

θθθθ

θθθθ

θθθθ

π

πππ

πππ

4434421

4434421

A questo punto, è immediato approssimare il fattore di disaccordo troncando la serie di Taylor ai termini del primo ordine, ottenendo la seguente relazione:

*

*

*

*

*1

*11

21

21

f

ff

f

ff

CCC

LLL

fff −

+−

+−

≈δ(5.27)

Pagina 27 di 38

È possibile dimostrare che l’impedenza del filtro è funzione del disaccordo secondo la seguente espressione approssimata:

)21()21()( 0f

ffff Qj

QXQjRZ δδδ +=+=

(5.28)

(essendo X0 la reattanza dell’induttore alla frequenza di accordo)

Fig. 13 - Andamento dell’impedenza del filtro per due soluzioni aventi stessa efficienza nella soppressione delle

armoniche alla frequenza di progetto (quindi stessa resistenza dell’induttore) ma diverso valore del fattore di merito.

E' interessante osservare che, a parità di efficienza del filtro alla frequenza di accordo progettuale (ovvero a parità di resistenza dell'induttore) è possibile progettare filtri aventi diverso fattore di merito e, conseguentemente, diverso valore di reattanza dell'induttore alla frequenza di accordo. I filtri caratterizzati da fattori di merito più bassi, avranno le seguenti caratteristiche:

1. Maggiore stabilità dell'efficienza nella soppressione delle armoniche rispetto al disaccordo (l'impedenza del filtro, come mostrato dalla figura 13, cresce lentamente in funzione del disaccordo),

2. Minore taglia dell'induttore e, conseguentemente,

3. Maggiore taglia del condensatore.

Al fine di completare il progetto del filtro, è quindi necessario verificare cosa succede in caso di disaccordo. Per fare ciò bisogna specificare il valore massimo di disaccordo per cui si prevede che il filtro debba conservare una efficienza adeguata, δmax.

Pagina 28 di 38

In teoria, si dovrebbe verificare cosa accade a + δmax ed a - δmax. Tuttavia, ciò che interessa è verificare il valore di:

)2()21(

00

max

0 CCf

ff

CCf

f

h

hr

XhXjRQjR

XjhZZ

II

++

+≈

⋅+==

δδ

ε(5.29)

che, chiaramente, assume il valore massimo per δ = -δmax. Dunque, è necessario verificare che:

εδ

δ≤

+−+

+

)2()21(

00max

max

CCf

ff

XhXjRQjR

(5.30)

Qualora ciò non fosse verificato è possibile riprogettare il filtro modificando il valore di potenza reattiva capacitiva fornita alla frequenza fondamentale, In generale, se si aumenta la potenza reattiva si aumenta Cf quindi, a parità di frequenza di risonanza serie, si diminuisce Lf e, conseguentemente Rf (a parità di fattore di merito). Quindi è più facile conseguire una maggior efficienza nella soppressione delle armoniche anche riducendo il fattore di merito, In particolare, è possibile riscrivere ε mettendo in evidenza la potenza reattiva del banco di condensatori ed il fattore di merito dell'induttore:

220

2

0

02

0 1

1

1

1

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

≈

CC

fCfCC

f

CC

SQQh

XQXh

RXh

ε(5.31)

(dove l'ultima equazione è stata ottenuta moltiplicando e dividendo per il quadrato della tensione nominale del sistema). Come si vede, per conseguire un adeguato livello di soppressione delle correnti armoniche, si deve incrementare il prodotto:

FC QQ ⋅

Dunque, in generale, se si riscontrano problemi di efficienza del filtro (soppressione armonica inadeguata), è possibile aumentare la potenza reattiva del banco di condensatori. Inoltre, qualora si abbiano problemi con il disaccordo, è possibile aumentare la potenza reattiva del banco di condensatori riducendo contemporaneamente il fattore di merito del filtro.

Pagina 29 di 38

6 Filtri passa alto Sono state prese in esame finora le diverse condizioni di risonanza che si possono presentare in un impianto elettrico quando si vuole compensare la potenza reattiva con soli filtri o con sistemi misti di filtri più gradini di capacità.

L 'utilizzo di soli filtri, pur presentando innegabili vantaggi (compensazione del fattore di potenza, riduzione della distorsione armonica, controllo delle condizioni di risonanza parallelo) non soddisfa tuttavia l' esigenza di inseguire laddove è richiesta, la dinamica della potenza reattiva; in tali condizioni i filtri rappresentano solamente una soluzione parziale del problema.

Questo scopo può essere raggiunto invece aggiungendo ai filtri accordati per le armoniche più basse (dalla 5a alla 13a) un sistema automatico di rifasamento con condensatore. Ciò tuttavia costituisce una ulteriore causa di risonanze non sempre determinabili a priori, con conseguenti sovraccarichi sulla impedenza serie della rete e sui condensatori stessi.

Una interessante soluzione alternativa, intesa a risolvere il problema nei suoi aspetti più generali, potrebbe essere la sostituzione di parte dei gradini di capacità con opportuni gradini costituiti da filtri passa alto, calcolati in modo che l'impedenza equivalente abbia un minimo in corrispondenza di armoniche superiori a quelle di accordo dei filtri selettivi.

I filtri passa alto hanno la duplice funzione di ridurre l'ampiezza delle armoniche di tensione e di corrente di ordine più elevato e di inseguire la potenza reattiva senza dare luogo a spostamenti significativi delle frequenze di accordo stabilite e dei punti di risonanza parallelo.

Nella seguente Fig 14 è riportato lo schema unifilare della rete vista dal convertitore con un filtro fisso accordato per la prima armonica significativa ed un solo gradino passa alto.

I h hf

L a

Iha I

fhC

L hpIfh

aR R fh

phC

phL

R1ph

R2ph

Fig. 14 - Circuito elettrico equivalente dell'impianto visto dal carico distorcente. Ra, La : resistenza ed induttanza

equivalente di rete. Rfh, Lfh, Cfh : parametri del filtro selettivo. R1ph, R2ph, Lph, Cph : parametri del filtro passa alto. Ih, Iha, Ihf, Ihp, rispettivamente corrente generata dal carico distorcente, corrente in rete, correte sul filtro

selettivo, corrente sul filtro passa alto.

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Con Lp, Cp sono indicate l'induttanza e la capacità per fase, con R1P ed R2P rispettivamente la resistenza serie del induttore e quella parallelo.

Questa ultima viene introdotta per realizzare la condizione che il fattore di merito complessivo del filtro alla frequenza per cui l'impedenza del filtro è minima, assuma un valore prossimo ad 1, il che corrisponde ad un ampliamento della banda passante del filtro alle frequenze superiori rispetto a quella del minimo.

Nella seguente Fig. 15 è riportata la caratteristica del filtro passa alto:

Fig. 15 - Andamento di ZF del filtro passa alto in funzione di h

La scelta della frequenza di accordo è un punto importante per il corretto funzionamento del filtro passa alto: un valore basso della frequenza di accordo, ad esempio h = 13 (che consentirebbe di comprendere entro la banda passante un maggior numero di armoniche), dà luogo a valori della impedenza equivalente normalmente troppo alti rispetto a quelli della rete, con conseguente perdita di efficacia del filtro stesso. D'altra parte, valori troppo alti dell'armonica d’accordo spostano la caratteristica del filtro verso armoniche di ordine elevato, di scarso interesse. In conclusione, dipendentemente dallo spettro armonico si accetta una soluzione di compromesso che colloca la frequenza di accordo fra h = 15 ed h = 17.

La scelta della frequenza di accordo dei filtri passa alto è fortemente condizionata dallo spettro armonico della corrente circolante nell’impianto. Occorre, infatti, assicurarsi che la condizione di risonanza parallelo fra filtri parallelo e l’ultimo filtro selettivo (accordato per la frequenza più alta) dia luogo ad armoniche di corrente e tensione di ampiezza contenuta. Questo problema costituisce quindi un'ulteriore condizione che interviene nel metodo di calcolo, quando si dovrà procedere alla minimizzazione del numero di filtri selettivi impiegati e alla scelta della frequenza di accordo del filtro passa alto.

Fissati i valori del fattore di merito e dell'armonica di accordo, che derivano, come visto, dalla esigenza di avere la caratteristica più favorevole del filtro, restano così fissati i gradi di libertà per il dimensionamento del filtro stesso.

Pagina 31 di 38

Le espressioni per il progetto del filtro passa alto sono le medesime, già riportate, per il progetto di un filtro selettivo.

La resistenza parallelo R2p viene calcolata, come già accennato, in modo da realizzare la caratteristica tipica del filtro passa alto, costituita da una banda passante il più possibile costante al crescere della frequenza rispetto quella di accordo. Questa condizione viene normalmente soddisfatta assumendo il valore 1 per il fattore di merito del filtro passa alto, che viene definito come:

Ph

PhFPh Lh

RQ

⋅⋅=

0

2

ω ( 3.6.1 )

in cui ω0 è la pulsazione alla frequenza di rete e h = ωr / ω0 (ωr è la pulsazione alla frequenza di accordo). Inoltre occorre osservare che la relazione utilizzata per determinare il valore della frequenza di accordo:

PhPh CLh

⋅=

0

1ω

( 3.6.2 )

non corrisponde alla reale condizione di risonanza serie, a causa della resistenza R2P; tuttavia l'armonica così individuata è maggiormente vicina al minimo reale della impedenza equivalente del filtro.

Pagina 32 di 38

7 Dimensionamento dei componenti del filtro

Sia l'induttore che il condensatore debbono essere progettati per lavorare in un regime misto, costituito da tensioni e correnti aventi frequenza 50 Hz e h0*50 Hz (trascurando le componenti dovute alle rimanenti armoniche, che inevitabilmente saranno presenti, anche se in misura ridotta).

L'isolamento del condensatore sarà sottoposto ad una tensione a 50 Hz ed una alla armonica di accordo date da:

Eh

hVC ⋅

−= 2

0

20

1 1

(7.1)

f

hCh Ch

IV

10

1ωε−

= (7.2)

Il valore efficace della tensione sarà dato da:

221, ChCrmsC VVV += (7.3)

Tuttavia, a scopo precauzionale, converrà dimensionare l'isolamento per la somma aritmetica di questi due valori, corrispondente al caso peggiore di somma della componente a 50 Hz e alla frequenza armonica, cioè il caso in cui i picchi delle due onde sono in fase:

ChCpiccoC VVV += 1, (7.4)

(Nota: qualunque sia la fase delle due onde, il valore efficace rimane costante, anche nel caso peggiore. L'ultima equazione fornita è di tipo empirico, e consente di valutare il sovradimensionamento dell'isolamento del condensatore necessario per consentirgli di lavorare in regime armonico).

La corrente nel filtro, e quindi sia nell'induttore che nel condensatore, sarà data, in valore efficace, da:

222

120

2022

1 11 hffhfRMS IEC

hhIII εω −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−=+=

(7.5)

Per quanto riguarda l'induttore, si osservi che, la tensione a 50 Hz è data da:

Pagina 33 di 38

Eh

VL 11

20 −

= (7.6)

ed è normalmente molto limitata (per un filtro di 5a armonica operante in un sistema a 380 V tale tensione è di 9.16 V). La tensione armonica, essendo il filtro un sistema risonante serie, è circa uguale a quella sul condensatore (trascurando le cadute sulla resistenza interna dell’induttore)

ChLh VV ≈ (7.7)

La corrente ha valore efficace identico a quello calcolato per dimensionare il condensatore.

AI fine di minimizzare il rischio di rottura è conveniente:

• Dimensionare i componenti per il 110% della tensione nominale della rete,

• Considerare una frequenza di rete pari al 95% della frequenza nominale,

• Assumere un valore conservativo per la corrente armonica nel filtro (ad esempio, ipotizzare che si verifichi una risonanza)

• Le sovratensioni impulsive si verranno a manifestare, essenzialmente, sull'induttore: il livello di isolamento di questo componente deve essere coordinato con quello della rete.

• Porre uno scaricatore in parallelo all'induttore.

Pagina 34 di 38

8 Valutazione economica del filtro

Di notevole importanza è la scelta della taglia del filtro che minimizza il costo, a parità di prestazione. Si tratta quindi di considerare gli elementi che, dissipando energia, contribuiscono ad incrementare il costo del filtro:

• Perdite nel condensatore.

• Perdite nell’induttore:

Fig. 16 - Circuito equivalente di un impianto elettrico visto dal carico distorcente

Se del filtro è alto, si possono suddividere le cadute di tensione sui soli componenti reattivi: FQ

SLC VVV += (8.1)

Posto LX L 0ω= , C

X C0

1ω

= ed

=0ω pulsazione di rete, per un filtro accordato all’armonica h, in condizioni di risonanza si ha:

2hX

Xh

XXhX C

LC

Lh =⇒=⋅= (8.2)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

==RXh

RX

Q LhF

(8.3)

di conseguenza:

221

1 hV

hIX

IXV CCLL =

⋅=⋅=

(8.4)

dove è la corrente a 50 Hz. 1I

Pagina 35 di 38

Se ora si definisce la taglia del filtro S (size) come la potenza alla frequenza fondamentale:

LC

S

XXV

S−

=2

, dalle equazioni ( 8.1 ), ( 8.2 ), ( 8.4) si ricava:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

=111

2

22

2

2

hh

XV

hX

VS

C

S

C

S [ ]MVar(8.5)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=−= 2

11h

VVVV CLCS [ ]kV(8.6)

quindi:

SC Vh

hV ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=12

2

[ ]kV(8.7)

Si valutino, ora, i singoli componenti del filtro:

CONDENSATORE

Il carico alla fondamentale è:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=11 2

22

2

222

hhS

hh

XV

XV

C

S

C

C [ ]MVar(8.8)

Il carico alla armonica di accordo è:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=

12

2222

hh

hSVI

hX

I ShCh [ ]MVar

(8.9)

posto il fattore di perdita del condensatore espresso in CLK ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

MVarkW , le perdite dovute al

condensatore sono:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+=⋅12

222

hh

hSVI

SKcaricoK ShCLCL [ ]kW

(8.10)

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INDUTTORE

Il carico alla fondamentale è:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

12

2

22

22

2

22

hh

hS

XhV

Xh

hV

XV

C

C

C

C

C

L [ ]MVar (8.11)

Il carico alla armonica di accordo: è uguale a quella del condensatore, poiché le reattanze sono identiche alla frequenza di accordo.

Le perdite nella resistenza equivalente, osservando che F

C

F

h

QhX

QX

R⋅

== e che [kAVSI

S

=1 ] , sono:

( )

32

222

2

222

2

222

2

222

1

101

111

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+=+

hh

SQhVI

hQS

hh

SQhVI

hh

ShQS

hQXI

hQX

VSIIR

F

Sh

F

F

Sh

FF

Ch

F

C

Sh

[ ]kW

(8.12)

Per fare una valutazione del costo dovuto alle perdite di energia nei due componenti si devono esprimere le perdite in termini di costo capitale equivalente, cioè attualizzarle ad oggi. Posto i il tasso di interesse ed N la vita prevista per il filtro, il tasso di attualizzazione è:

( )( )N

N

U iiiP+⋅

−+=

111

(8.13)

Il costo attualizzato dell’energia dissipata annualmente del filtro vale quindi:

( )perditeFUPC UUUA ⋅⋅⋅⋅⋅= 24365 (8.14)

dove si è indicato con il costo delle perdite di energia per kWh e con il fattore di utilizzazione del filtro.

UU UF

Il costo totale è dato da tre contributi: il costo costante del filtro, il costo incrementale per il carico cui è sottoposto e il costo attualizzato dell’energia dissipata; ed è dato dalla seguente espressione:

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⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅+

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅+⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

+⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

SQhVI

QhS

ShVI

SK

FUPSh

VI

hSU

ShVI

SU

hhUC

F

Sh

F

ShCL

UUUS

hLSh

C

TT 223

22

22

2

22

2

2

10

8760

1

(8.15)

Dove è il costo costante del filtro, è il costo incrementale del condensatore per MVar e è il costo incrementale dell’induttore per MVar.

TU CU LU

Se si indicano con A e B le seguenti espressioni:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅⋅⋅⋅++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=F

CLUUUL

C QhKFUP

hUU

hhA

3

2

2 1087601

(8.16)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅⋅⋅++⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=F

CLUUULChS

QKFUPUU

hIV

hhB

322

2

2 1087601

(8.17)

otteniamo la semplice espressione del costo totale in funzione della taglia:

SBSAUC TT +⋅+=

(8.18)

Al variare della taglia S, il costo minimo totale si ricava annullando la derivata prima della (12.1-17):

( )ABS

dSCd

MINT =⇒= 0 [ ]kVar

(8.19)

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9 Sistemi misti A volte, al fine di inseguire le variazioni di potenza reattiva, si progetta un filtro che sia in grado di compensare solo la potenza reattiva minima del carico e, in parallelo a tale filtro, si pone una batteria di condensatori inseribili a gradini.

Questa configurazione corrisponde a mettere in parallelo un bipolo LC parallelo (parallelo rete/batteria di condensatori) ed un bipolo LC serie (filtro). Detta ω0 la frequenza di risonanza di uno di questi bipoli, si osserva che:

Il bipolo LC serie è: • Capacitivo per ω< ω0 • Induttivo per ω> ω0

Il bipolo LC parallelo è:

• Induttivo per ω< ω0 • Capacitivo per ω> ω0

Come schematicamente mostrato nelle figure a lato (Figura 17).

In funzione della posizione reciproca delle pulsazioni di risonanza dei due bipoli e del loro fattore di merito, in un sistema misto, si possono avere una o più risonanze in parallelo fra il bipolo LC serie ed il bipolo LC parallelo (Figura 15). È quindi consigliabile, quando si utilizzano tali sistemi, verificare che per ogni valore di capacità del banco di condensatori, non si verifichino condizioni di risonanza pericolose per sistema elettrico.

Fig. 17 - Comportamento dei bipoli LC serie ed LC

parallelo in funzione della frequenza

Fig. 18 - Varie possibilità di risonanza parallelo fra un bipolo LC serie ed un bipolo LC parallelo