OTTICA ONDULATORIA NEI DIELETTRICI Modello classico di ... · fisica intuitiva e convincente, che...

1/16 – OTTICA ONDULATORIA NEI DIELETTR. - C. Calì - DIEET-UNIPA (2007-rev_10/11) - Pubblicato in www.dieet.unipa.it/cali/didattica

OTTICA ONDULATORIA NEI DIELETTRICI

Modello classico di propagazione delle onde nei dielettrici. I fenomeni legati alla propagazione delle onde nei mezzi dielettrici isotropi o anisotropi, lineari o non-lineari purché passivi, ossia non in grado di amplificare, possono essere spiegati con un semplice modello elettromeccanico, dove le cariche (elettrone) sono vincolate alla struttura del materiale da forze di richiamo di tipo elastico o, in certi casi, quasi elastico. La sollecitazione sulle cariche è il campo elettrico E dell'onda elettromagnetica e l'effetto è la variazione della posizione, ossia la polarizzazione P del materiale. La bontà del modello è evidenziata dal modo semplice con cui è possibile spiegare e quantificare il fenomeno conosciuto con il nome di "angolo di Brewster". Angolo di Brewster L'angolo di Brewster è quello per cui l'incidenza sulla superficie di discontinuità fra due dielettrici di un'onda elettromagnetica polarizzata con il campo elettrico sul piano di incidenza genera esclusivamente un'onda rifratta e non un'onda riflessa. La spiegazione analitica può essere trovata mediante considerazioni sull'adattamento di impedenza fra onda incidente e rifratta, tuttavia è possibile dare una spiegazione fisica intuitiva e convincente, che consente di determinare anche il valore dell'angolo, nel modo seguente. L'onda rifratta può essere vista come generata da dipoli indotti ad oscillare all'interno del materiale. Ma è noto che un dipolo oscillante irradia principalmente lungo la direzione ortogonale al suo asse e non irradia del tutto lungo il suo asse. Quindi se la direzione di propagazione all'interno del mezzo rifrangente è ortogonale alla direzione della potenziale onda riflessa, come in figura 1, non si può avere onda riflessa.

Fig. 1

Dalla figura 1 la relazione fra iB e i'B è: i'B = π – iB - π/2 = π/2 – iB


e nell'ipotesi che il mezzo da cui proviene l'onda ha indice unitario (aria) ed il mezzo in cui penetra ha indice n, per la legge di Snell: sin iB = n sin i'B = n sin (π/2 – iB) = n cos iB e quindi l'angolo di Brewster è dato da: iB = tan-1n Mezzi otticamente isotropi ed anisotropi Un mezzo è detto otticamente isotropo quando le sue caratteristiche ottiche sono indipendenti dalla direzione. Quando si verifica il contrario il mezzo è detto anisotropo. I liquidi e le sostanze solide amorfe, come il vetro, sono normalmente isotrope, se non sollecitate dall'esterno, a causa della distribuzione casuale delle molecole. In diversi cristalli invece le proprietà ottiche, così come altre proprietà fisiche, dipendono dalla direzione. Nel modello elettromeccanico precedentemente delineato, se le forze di richiamo sono differenti al variare della direzione il comportamento è anisotropo, in caso contrario è isotropo. Essendo il campo elettrico E dell'onda elettromagnetica la sollecitazione sulle cariche e l'effetto la variazione della loro posizione, ossia la polarizzazione P del materiale, se il materiale è isotropo, il vettore P ha la stessa direzione di E: P = ε0 χ E dove ε0 è la costante dielettrica nel vuoto e χ la suscettività dielettrica del materiale. Se il materiale non è isotropo solo in casi particolari il vettore P ha la stessa direzione di E. In genere la direzione è differente ed è espressa da una relazione del tipo: P = ε0 [χ] E dove la [χ] è una matrice 3x3:

[ ]

χχχχχχχχχ

=χ

333231

232221

131211

Il vettore induzione elettrica è definito da: D = ε0E + P quindi nel caso di materiali isotropi: D = ε0E + ε0 χ E = ε0 (1+ χ) E mentre nel caso di materiali anisotropi: D = ε0E + ε0 [χ] E = ε0 ([1] + [χ]) E = [ε] E dove:

[ ]( )

( )( )

χ+χχχχ+χχχχ+

ε=

χχχχχχχχχ

+

ε=

εεεεεεεεε

=ε

333231

232221

131211

0

333231

232221

131211

0

333231

232221

131211

1

1

1

100

010

001


e di conseguenza:

εεεεεεεεε

=

z

y

x

333231

232221

131211

z

y

x

E

E

E

D

D

D

Quindi in un materiale anisotropo i vettori E e D non sono in genere paralleli. L'onda (dovuta al moto delle cariche elementari presente nel dielettrico) si propaga perpendicolarmente al vettore D (reazione dielettrica del mezzo) e l'energia, per il teorema di Poynting, fluisce perpendicolarmente al vettore E, ossia obliquamente rispetto al fronte d'onda. Quindi il fascio è inclinato rispetto alla direzione di propagazione del fronte d'onda dello stesso angolo che sussiste fra i vettori E e D. Dipendentemente dalla polarizzazione si possono avere inclinazioni differenti del fascio. Anisotropia indotta L'anisotropia può non essere naturale ma indotta o accentuata dall'esterno da una sollecitazione elettrica (effetto elettroottico), meccanica (effetto meccanoottico), termica (effetto termoottico) o magnetica (effetto magnetoottico). Le sollecitazioni di tipo elettrico sono di particolare interesse perché consentono la realizzazione di efficienti e veloci modulatori della radiazione luminosa. Le sollecitazioni di tipo meccanico, se indotte da onde acustiche, ossia di deformazione elastica del materiale, possono essere ben localizzate, distribuite in modo regolare e quindi tali da generare nel materiale dielettrico dei gradienti di indice periodici, di passo dell'ordine di alcuni micron, che possono essere utilizzati per diffrangere un fascio luminoso (reticolo di diffrazione). Per effetto della temperatura l'indice di rifrazione varia. In particolare nei cristalli anisotropi la variazione con la temperatura degli indici dipende dalla direzione che si considera. Alcuni materiali dielettrici sottoposti ad intensi campi magnetici diventano non reciproci e conseguentemente la radiazione che li attraversa si comporta in modo differente a seconda il verso di attraversamento. Mediante questo effetto è possibile realizzare modulatori o isolatori ottici; tuttavia questi dispositivi hanno poco interesse per le notevoli dimensioni dei magneti o per le elevate correnti necessarie a produrre i campi magnetici richiesti. Indice ellissoidale Se il materiale è privo di perdite la matrice [ε] è reale e simmetrica. Una matrice simmetrica può sempre essere diagonalizzata, ossia è possibile effettuare una rotazione degli assi tale che si abbia:


[ ]

εε

ε=ε

33

22

11

00

00

00

Di conseguenza: Dx = ε11Ex, Dy = ε22Ey, Dz = ε33Ez da cui: Ex= Dx/ε11, Ey= Dy/ε22, Ez= Dz/ε33, (1) La densità di energia elettrica immagazzinata nel dielettrico è:

ε+

ε+

ε=⋅=

33

2

z

22

2y

11

2

xe

DDD

21

21

U ED

Definendo le quantità:

e0

x

U2

DX

ε=

e0

y

U2

DY

ε=

e0

z

U2

DZ

ε=

la precedente diventa:

( ) ( ) ( ) 1/

Z

/

Y

/

X

033

2

022

2

011

2

=εε

+εε

+εε

Poiché la velocità della luce nel vuoto è:00

1c

εµ=

e quella in un mezzo di data costante dielettrica ε: εµ

=0

1v

ed avendo definito l'indice di rifrazione come il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto ed il mezzo:

0v

cn

εε== (2)

si ha:

1n

Z

n

Y

n

X233

2

222

2

211

2

=++ (3)

Questa equazione rappresenta un ellissoide, ellissoide degli indici, e permette di individuare l'indice di rifrazione di un mezzo anisotropo dipendentemente dalla direzione di propagazione della luce. La forma dell'ellissoide dipende dalle proprietà del materiale, che solitamente è un cristallo. I cristalli sono classificati in tre tipi differenti:

a) a simmetria cubica (n11= n22= n33): l'ellissoide si riduce ad una sfera ed il comportamento è isotropo;

b) con un asse di simmetria (n11= n22= no ≠ n33= ne): si ha un ellissoide di rivoluzione attorno all'asse di simmetria, il cristallo è detto uniassico, positivo o negativo a secondo del segno della differenza degli indici ne-no; l'asse di


simmetria, ossia quello lungo il quale si ha l'indice n33= ne, è detto asse straordinario; gli altri due, lungo i quali n11= n22= no, assi ordinari;

c) privi di asse di simmetria (n11≠n22≠n33): il cristallo è detto biassico. La figura 2 riporta l'ellissoide degli indici di un cristallo biassico.

Fig. 2

Un'onda che si propaga lungo una direzione di un cristallo anisotropo vede indici di rifrazione diversi dipendentemente dalla polarizzazione. Con riferimento ad un cristallo uniassico positivo (ne=n33> n11=n22= no), rappresentato in figura 3, le due direzioni di polarizzazione e i corrispondenti indici di rifrazione si trovano nel modo seguente. Dal centro dell'ellissoide si traccia una retta nella direzione di propagazione dell'onda (OP in figura) ed un piano ortogonale alla retta. L'intersezione di questo piano con l'ellissoide è un'ellisse i cui assi sono paralleli alle due direzioni di polarizzazione e la lunghezza è uguale all'indice di rifrazione in quella direzione di polarizzazione. Una di queste direzioni è necessariamente ortogonale all'asse ottico. L'onda che ha questa polarizzazione è detta ordinaria e l'indice di rifrazione no, come si può vedere dalla figura 3, è indipendente dalla direzione di propagazione. L'onda polarizzata nell'altra direzione è detta straordinaria ed il corrispondente indice di rifrazione ne(θ) varia da no (quando OP è parallelo all'asse z) a ne (quando OP è ortogonale all'asse z).


Fig. 3 Fig. 4 Un modo equivalente per descrivere la propagazione dell'onda è attraverso le cosiddette superfici (ad indici) normali, rappresentate, per lo stesso cristallo uniassico positivo, in figura 4 e facilmente ricavabili dall'ellissoide di figura 3. In questo caso, per una data direzione di propagazione, l'intersezione della semiretta OP con le due superfici dà direttamente (questo è il motivo per cui l'ellissoide è ruotato di π/2 rispetto a quello riportato in figura 3) l'indice di rifrazione. La superficie normale per l'onda ordinaria è una sfera, per quella straordinaria è un ellissoide di rivoluzione attorno all'asse z. La tabella seguente riporta le caratteristiche ottiche di alcuni cristalli birifrangenti uniassici di uso comune in ottica. Nome Formula indice ordinario indice straordinario

Calcite CaCO3 1,658 1,486

Zaffiro Al2O3 1,764 1,756

Quarzo SiO2 1,54 1,553

KDP KH2PO4 1,507 1,467

Niobato di Litio LiNbO3 2,286 2,200

Polarizzatori Per polarizzare linearmente la luce non polarizzata o polarizzata ellitticamente è possibile utilizzare una coppia di prismi birifrangenti uniassici disposti come in figura 5, dove con z è indicato l'asse ottico, ossia l'asse lungo il quale l'indice è straordinario. Il funzionamento è basato sulla differenza degli indici di rifrazione, ordinario e straordinario.


Fig. 5

Sempre con riferimento alla figura 5, nell'ipotesi in cui l'indice straordinario è superiore all'indice ordinario (ne > no), l'onda, la cui polarizzazione "vede" l'indice straordinario, subisce la riflessione interna totale ed è deviata. L'altra onda di polarizzazione ortogonale "vede" un indice più basso, si trova nella discontinuità in una situazione al di sotto dell'angolo critico, e prosegue verso il prisma di destra che invia il fascio rifratto lungo la direzione originale. L'asse ottico del secondo prisma è diretto in modo tale che il fascio "vede" in ogni caso, ossia anche se la polarizzazione non fosse quella giusta, un indice ordinario. Nella figura la polarizzazione sul piano è indicata con dei segmenti, quella ortogonale al piano con dei puntini. Il campo angolare con cui è possibile immettere un fascio luminoso all'interno del dispositivo affinché questo continui a funzionare nel modo corretto dipende dalla differenza degli indici di rifrazione. Infatti l'angolo di incidenza θ deve essere compreso fra l'angolo critico relativo all'indice ordinario θco e l'angolo critico relativo all'indice straordinario θce. Essendo θco= sin-1 (1/no) e θce= sin-1 (1/ne) si deve avere che: sin-1 (1/no) > θ > sin-1 (1/ne) La disposizione dell'asse ottico del secondo prisma fa sì che la polarizzazione non desiderata che dovesse passare per effetto di un invio del fascio con un angolo non corretto, sarebbe separato angolarmente, anche se di poco, dall'altra polarizzazione. A titolo di esempio, per un cristallo di quarzo alla lunghezza d'onda di 700nm ne=1,55, no=1,54 ed i corrispondenti angoli critici sono 40,18° e 40,49°. Per la Calcite la differenza degli indici è maggiore: alla lunghezza d'onda di 590nm ne=1,49, no=1,66 ed i corrispondenti angoli critici sono 42,16° e 37,04°. Un altro modo per realizzare un polarizzatore è utilizzare un materiale in grado di assorbire molto una polarizzazione e pochissimo l'altra ortogonale. Le lastre Polaroid hanno questo comportamento e sono costruite in modo tale da avere all'interno molecole polimeriche molto allungate ed orientate tutte nella stessa direzione e il movimento delle cariche lungo differenti direzioni avviene con "attrito", e quindi assorbimento, diverso. L'inconveniente di questi polarizzatori è che, assorbendo una


polarizzazione anziché deviarla, non possono essere utilizzati su fasci luminosi di elevata intensità. Una polarizzazione, anche se parziale, può essere ottenuta utilizzando una lamina dielettrica posta all'angolo di Brewster: una polarizzazione è totalmente trasmessa, l'altra lo è parzialmente. Spesso una lamina all'angolo di Brewster è inserita all'interno dei risuonatori ottici per bloccare le possibili oscillazione di un polarizzazione non desiderata. Lamina ritardante Si consideri una lamina di materiale anisotropo tagliata in modo tale che gli assi ottici siano paralleli ai suoi spigoli e, per massimizzare il comportamento, gli assi (y e z) individuati dall'indice più alto e da quello più basso si trovino sulla faccia della lamina. Un'onda polarizzata linearmente che incide normalmente (direzione x) sulla superficie della lamina può essere scomposta nelle due direzioni (y e z) degli assi. Le due onde, viaggiando nell'interno del cristallo con velocità differenti a causa dei differenti indici di rifrazione (ny e nz), in uscita presentano uno sfasamento fra loro e quindi la loro composizione dà una polarizzazione ellittica. Analiticamente, nel caso in cui il campo elettrico Ei dell’onda in ingresso formi un angolo π/4 con gli assi y e z, le componenti del campo elettrico lungo le direzioni y e z, dopo avere attraversato lo spessore d, sono:

ϕ−ω=−ω=

ϕ−ω=−ω=

)tcos(2

E)dnktcos(

2

E)d,t(E

)tcos(2

E)dnktcos(

2

E)d,t(E

zi

z0i

z

yi

y0i

y

avendo posto φy = k0nyd e φz = k0nzd. Si consideri un sistema di assi y'-z', ruotati di π/4 rispetto al sistema y-z e sul cui asse y' giace il campo elettrico in ingresso Ei, come rappresentato in figura 6.

Fig. 6

La somma algebrica delle proiezioni di Ey (t,d) e di Ez (t,d) su questi nuovi assi è:


ϕ−ω−ϕ−ω=−=

ϕ−ω+ϕ−ω=+=

2

)tcos(E

2

)tcos(E

2

)d,t(E

2

)d,t(E)d,t(E'

2

)tcos(E

2

)tcos(E

2

)d,t(E

2

)d,t(E)d,t(E'

yiziyzz

yiziyzy

Da queste, applicando la relazione goniometrica cos (α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ:

ϕ⋅ω−ϕ⋅ω−ϕ⋅ω+ϕ⋅ω=

ϕ⋅ω+ϕ⋅ω+ϕ⋅ω+ϕ⋅ω=

yyzzi

z

yyzzi

y

sintsincostcossintsincostcosE

)d,t(E' 2

sintsincostcossintsincostcosE

)d,t(E' 2

Raccogliendo a fattore comune:

( ) ( )

( ) ( )

ϕ−ϕω+ϕ−ϕω=

ϕ+ϕω+ϕ+ϕω=

yzyzi

z

yzyzi

y

sinsintsincoscostcosE

)d,t(E' 2

sinsintsincoscostcosE

)d,t(E' 2

utilizzando le formule di prostaferesi e dividendo per 2 entrambe le equazioni:

ϕ+ϕ⋅ω+

ϕ+ϕ⋅ω−=ϕ−ϕ

ϕ+ϕ⋅ω+

ϕ+ϕ⋅ω=ϕ−ϕ

2costsin

2sintcos

2sinE

)d,t(E'

2sintsin

2costcos

2cosE

)d,t(E'

yzyz

yzi

z

yzyz

yzi

y

Applicando poi le relazioni goniometriche: cosα cosβ + sinα sinβ = cos (α-β) e sinα cosβ - cosα sinβ = sin (α-β) si ottiene:

ϕ+ϕ−ω=

ϕ−ϕ

ϕ+ϕ−ω=

ϕ−ϕ

2tsin

2sinE

)d,t(E'

2tcos

2cosE

)d,t(E'

yz

yzi

z

yz

yzi

y

e per la relazione fondamentale della goniometria, e avendo posto φz – φy = ∆φ, si ottiene l’equazione di una ellisse riferita agli assi y'- z':

1

2sinE

)d,t(E'

2cosE

)d,t(E'

2

i

z

2

i

y =

ϕ∆+

ϕ∆ (4)

ossia l’onda in uscita è polarizzata ellitticamente. Si osservi che i semiassi dell'ellisse sono Ei cos ∆ϕ/2 e Ei sin ∆ϕ/2.


Nel caso in cui ∆φ = 0 l’onda in uscita è polarizzata linearmente nella stessa direzione dell’onda incidente, ossia E'y(t,d)=Ei. Nel caso in cui ∆φ = π/2 l’onda in uscita è polarizzata circolarmente. Questo si verifica quando (nz - ny)·d = λ/4 e si parla di lamina a quarto d'onda. Nel caso in cui ∆φ = π l’onda in uscita è polarizzata linearmente nella direzione ortogonale a quella dell’onda incidente, ossia E'z(t,d) = Ei. Questo si verifica quando (nz – ny)·d = λ/2 e si parla di lamina a mezz'onda. Si deve sempre tenere presente che per effetto della dispersione [n(λ)] una lamina cambia il suo comportamento ritardante al variare della lunghezza d'onda. L'aggiustamento può essere fatto utilizzando l'effetto termoottico, ossia la differente variazione con la temperatura degli indici di rifrazione lungo gli assi, quindi la deformazione dell'ellissoide. Modulatore elettroottico Per effetto di un campo elettrico esterno l'ellissoide degli indici può subire una deformazione, ossia ruotare e variare la lunghezza dei suoi assi. Tuttavia è sempre possibile, nell'ipotesi di materiale privo di perdite, effettuare una rotazione degli assi, ossia diagonalizzare la matrice e conseguentemente affrontare il problema della propagazione di un'onda in modo analogo a quanto già visto. In casi particolari di orientazione della sollecitazione l'ellissoide non ruota, quindi varia soltanto la lunghezza (∆nx, ∆ny, ∆nz) degli assi e non è necessario effettuarne una rotazione.

Fig. 7

Un modulatore elettroottico può essere realizzato utilizzando un cristallo che sollecitato da un campo elettrico esterno lungo un asse, z ad esempio, varia linearmente il suo indice lungo quella direzione (effetto Pockels). Se un'onda luminosa incide sul cristallo come indicato in figura 7, ossia con una polarizzazione


tale che le sue componenti viaggino con velocità differenti in presenza di campo elettrico esterno, e dopo il cristallo si inserisce un polarizzatore, detto anche analizzatore, si è realizzato un modulatore di ampiezza. Infatti la componente del campo elettrico che esce dall'analizzatore presenta ancora una polarizzazione lineare ma di ampiezza minore. Se si vuole che in assenza di campo elettrico applicato lungo z, nell'ipotesi che il cristallo sia isotropo (ny = nz) o la sua lunghezza sia tale che si comporti da lamina a 2·λ/2, la radiazione in uscita sia nulla è necessario che l'analizzatore sia orientato ortogonalmente alla polarizzazione in ingresso, come rappresentato in figura 7. Nell'ipotesi in cui l'analizzatore si lasci attraversare soltanto dalla componente del campo elettrico E lungo la direzione z', il campo elettrico dopo l'analizzatore è, per la (4):

2sinE)d,t(E' iz

ϕ∆=

e il rapporto fra l'intensità della radiazione in uscita e quella in ingresso, essendo l'intensità proporzionale al quadrato del modulo del campo elettrico:

( )ϕ∆−=ϕ∆= cos121

2sin

II 2

in

out

Se si vuole una modulazione la più lineare possibile ∆φ deve assumere valori prossimi a π/4. Un modulatore di fase può essere realizzato semplicemente eliminando l'analizzatore nel modulatore descritto in figura 7 e polarizzando l'onda in ingresso con il campo elettrico orientato lungo l'asse z. Angolo fra i vettori E e D in un cristallo uniassico Si consideri un cristallo uniassico con n11=nx=n22=ny=no≠n33=nz=ne ossia con l'asse straordinario lungo la direzione z ed un'onda piana la cui direzione di propagazione giace sul piano xz. Un'onda polarizzata con il campo elettrico ortogonale al piano xz, ossia lungo y, "vede", indipendentemente dalla direzione di propagazione sul piano xz, un indice ordinario no e, per le (1) ed essendo Ex=Ez=0 i vettori E e D sono paralleli fra loro; viceversa l'indice di rifrazione è una funzione della direzione nel caso in cui il campo elettrico si trova sul piano xz e, sempre per le (1) ed essendo in genere Ex≠Ez≠0, i vettori E e D formano un angolo δ fra loro. Questo angolo può essere facilmente determinato osservando la figura 8, nell'ipotesi in cui il vettore induzione elettrica D formi un angolo α con l'asse x. Infatti:

α−

=δ −

x

z1

E

Etg


Fig. 8

Per le (1), osservando che Dz/Dx=tgα:

α−

α=α−

α

εε=α−

εε=δ −−− tg

n

ntgtgtg

DD

tg 2z

2x1

z

x1

zx

xz1

e per la (2):

α−

α=δ − tg

n

ntg 2

e

2o1 (5)

Utilizzando la nota identità goniometrica tg(α-β)=[tgα-tgβ]/[1+ tgα·tgβ] può essere posta nella forma:

( )

α+α−=δ −

220

2e

2e

2o1

tgnn

tgnntg

Per determinare il valore che massimizza l'angolo δ è necessario imporre che si annulli la derivata di δ, ossia la (5), rispetto ad α:

01

tgn

n1

1

cos

1nn

dd

24

e

o

2

2

e

o =−

α

+

⋅α

=

αδ

essendo noto che:

21

)x(f1

)x('f)x(ftg

dxd

+=− e

xcos

1xtg

dxd

2=

Dall'eguaglianza precedente, ricordando anche che sin2α + cos2α = 1, segue che il valore di α per cui si ha il massimo di δ è:

2e

2o

e1

nn

nsin

−=α −

Birifrangenza Si analizza ora il comportamento di un'onda piana polarizzata ellitticamente che incide normalmente sulla superficie di una lamina di cristallo uniassico orientato in


modo tale che un asse ordinario giace sulla faccia della lamina (ortogonale al piano della figura 9) e gli altri due assi, uno ordinario e l'altro straordinario (asse ottico), su un piano ortogonale alla faccia della lamina, ossia sul piano della figura 9.

Fig. 9

Premesso che un'onda polarizzata ellitticamente può sempre essere scomposta in due componenti polarizzate linearmente, la polarizzazione ortogonale al piano della figura "vede" un indice ordinario, i campi E e D sono paralleli fra loro, conseguentemente viaggia attraverso la lamina in modo "ordinario". L'onda polarizzata con il campo elettrico sul piano della figura "vede" un indice di rifrazione che può essere determinato mediante l'ellissoide di figura 3 o 4 e si propaga ortogonalmente al vettore D (reazione dielettrica del mezzo) poiché è dovuta fondamentalmente al moto delle cariche elementari presenti nel dielettrico, sollecitate dal campo elettrico presente nell'interfaccia aria-dielettrico. Ma l'energia, per il teorema di Poynting, fluisce perpendicolarmente al vettore E, ossia obliquamente rispetto al fronte d'onda. Quindi il raggio "straordinario" è inclinato rispetto alla direzione di propagazione del fronte d'onda dello stesso angolo (δ) che sussiste fra i vettori E e D. Dopo avere attraversato la lamina i vettori E e D tornano ad essere paralleli fra loro e quindi l'onda riprende un percorso "ordinario". Con una lamina così fatta è possibile ottenere la separazione delle due polarizzazioni di un fascio. Mezzi lineari e non lineari In qualsiasi materiale il campo elettrico, e quindi anche quello di un'onda elettromagnetica, se sufficientemente intenso, produce una polarizzazione che non dipende più linearmente dallo stesso campo. Con riferimento al modello elettromeccanico, se la sollecitazione (campo elettrico) supera un certo livello la forza elastica di richiamo aumenta più che linearmente e quindi lo spostamento delle cariche (polarizzazione) è inferiore a quello previsto. Il campo di linearità dipende dal materiale utilizzato. In figura 10a è rappresentato un comportamento lineare mentre in figura 10b un comportamento non lineare (e non simmetrico).


Nella forma più generale la relazione fra sollecitazione (campo elettrico) e spostamento (polarizzazione del materiale) è:

...ExDxCxBxAxF 5432 −−−−−−= (6) Se si è in presenza di un comportamento lineare, e questo si verifica per sollecitazioni di bassa intensità dove x è piccolo e molto più piccole sono le quantità x2, x3, x4, x5, ..., mancano i termini successivi ad Ax e la precedente si riduce a:

AxF −= Cristalli centrosimmetrici e non centrosimmetrici Un cristallo è detto centrosimmetrico se un suo elettrone che, per effetto di un campo elettrico orientato in una certa direzione e verso, subisce uno spostamento "vede" una struttura cristallina identica a quella che vedrebbe se fosse sottoposto allo stesso campo ma orientato in verso opposto. Se si verifica il contrario il cristallo è detto non-centrosimmetrico. La figura 10b è riferita ad un cristallo non centrosimmetrico. Nei cristalli centrosimmetrici devono mancare, per ovvi motivi, le potenze pari presenti nella (6) che quindi diventa:

...ExCxAxF 53 −−−−=

Generazione di seconda armonica

Nell'ipotesi di inviare un'onda elettromagnetica sinusoidale di ampiezza tale che siano trascurabili i termini di potenza superiore a 2, la relazione (6) per un cristallo centrosimmetrico si riduce a:

AxF −= mentre per un cristallo non centrosimmetrico:

2BxAxF −−= ed i cui andamenti sono ancora rappresentabili con i diagrammi di figura 10a e 10b. L'andamento della polarizzazione è differente nei due casi. Nel caso di cristallo centrosimmetrico la polarizzazione ha un andamento sinusoidale, come rappresentato in figura 11a e desumibile osservando la figura 10a, mentre nel caso di cristallo non centrosimmetrico l'andamento è periodico, come rappresentato in figura 11b e desumibile osservando la figura 10b. L'analisi di Fourier dell'andamento periodico della polarizzazione di figura 11b mostra che questa può essere scomposta in un'onda sinusoidale alla stessa frequenza dell'onda periodica, in un'onda sinusoidale a frequenza doppia e in un livello di continua, come mostrato in figura 12. E' pertanto prevedibile che vengano generate dai dipoli oscillanti sia la frequenza fondamentale sia la seconda armonica, oltre ad un livello di continua. Poiché il livello di continua dipende dall'ampiezza dell'onda incidente, è possibile finalizzare il fenomeno alla rivelazione della forma di impulsi veloci, purché di notevole intensità.


Fig. 10 Fig. 11

Fig. 12

Affinché l'efficienza di conversione sia buona è necessario che all'interno del cristallo l'onda fondamentale e la seconda armonica viaggino con la stessa velocità (phase matching); solo così si può avere la somma in fase delle onde di seconda armonica


generate in rapida successione all'interno del cristallo via via che l'onda fondamentale si propaga. Ma la velocità delle onde dipende dall'indice di rifrazione e quest'ultimo dipende dalla frequenza (dispersione) quindi apparentemente il problema è irrisolvibile. Il problema può essere risolto utilizzando per la generazione di seconda armonica cristalli non solo non lineari ma anche anisotropi e facendo in modo che l'onda fondamentale e la seconda armonica siano polarizzate in modo tale da "vedere" lo stesso indice di rifrazione. Per ottenere un effetto apprezzabile è necessario utilizzare campi molto intensi, ottenibili soltanto con un oscillatore laser. I primi esperimenti sono stati fatti inviando impulsi luminosi emessi da un laser al Rubino su un cristallo di quarzo, con un'efficienza di conversione di circa 10-8. Oggi, utilizzando cristalli più idonei, impulsi di più elevata potenza di picco ed ottimizzando il "phase matching", si può raggiungere un'efficienza di conversione di 0,3. Da un punto di vista quantistico la spiegazione del fenomeno della generazione di seconda armonica è che avviene, per effetto del cristallo non lineare, la scomparsa di due fotoni di energia hν e la contemporanea generazione di un fotone di energia h2ν. Non viene pertanto leso il principio della conservazione dell'energia. Bibliografia - A. Yariv: Laser Electronics - HRW - S. Ramo, J.R. Whinnery, T.V. Duzer: Fields and Waves in Communication

Electronics – Wiley - M. Young: Optics and Laser – Springer-Verlag - D. Meschede: Optics, Light and Lasers – Wiley-VCH Problemi.

1. Modificare la figura 5 in modo che una polarizzazione prosegua lungo la direzione di ingresso nel caso in cui ne < no.

2. Supponendo di utilizzare nel problema precedente prismi di KDP, determinare il campo di valori ammissibili per l'angolo ϑ.

3. Si determini lo spessore di una lamina di quarzo affinché questa trasformi la polarizzazione da lineare a circolare di un fascio la cui lunghezza d'onda è 6328 Ǻ.

4. Dimensionare un cristallo elettroottico caratterizzato da ∆(ne-no)/∆E = 10-10 m/V in modo tale che questo possa fare ruotare di 90° la polarizzazione lineare di un fascio laser (λ0=6328 Ǻ) la cui sezione è 1mm, nell'ipotesi di disporre di un alimentatore in grado di erogare al massimo 200V.

5. Si determini lo spessore minimo di una lamina di Calcite affinché si possano separare totalmente, utilizzando la birifrangenza, le due polarizzazioni di un fascio la cui sezione è di 2 mm.

OTTICA ONDULATORIA NEI DIELETTRICI Modello classico di ... · fisica intuitiva e convincente, che...

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