OTTAVIO SERRA

OGGETTI AUREI,metalliciE Spirali

Cosenza 20121

Sezione aurea secondo Euclide

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La sezione aurea è AS media ragione tra AB e la parte restante SB (estrema ragione). SB è sezione aurea della sezione aurea etc.

Determinare AB conoscendo la sua sezione aurea AC

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(Lo gnomone è il quadrato ACGF)

Questa costruzione implica che si conosca il valore numerico della sezione aurea.

Rettangoli aurei

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Come si dimostra che i segmenti AB e CD sono perpendicolari?

• Introdurre un opportuno sistema di assi cartesiani e calcolare i coefficienti angolari delle due rette. (vedi figura precedente).

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Vediamo ora la spirale aurea

I rettangoli aurei convergono al punto di inter_sezione di AB e CD, che è anche polo della spirale

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Spirale aurea e numeri di Fibonacci

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Nella precedente diapositiva ho nominato due cose: la spirale logaritmica e i numeri di Fibonacci.Per i numeri di Fibonacci vedi il mio articolo “Sezione aurea e successioni di Fibonacci” sull’Annuario dello Scorza o sul mio sito(Digilander.libero.it/ottavioserra0), per le spirali vedi le diapositive seguenti.

Spirale aurea triangolare

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Spirale di Archimede (o a passo costante) = r b.q

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Spirale logaritmica: d =r b.rd q

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be

Costruisco ora il rettangolo argenteoABCD a partire dal suo gnomone APND

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Nel riferimento cartesiano ABD di origine A si calcolino i coefficienti angolari di AC e BN. Vedi diapositiva precedente.

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Se come gnomone si prende un rettangolo di altezza 1 e base n, si ottiene l’ennesimo rettangolo metallico, in particolare, per n=3, il

rettangolo bronzeo di base 3 13

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Tolto lo gnomone, resta ancora un rettangolo metallico di ordine n e vale ancora la proprietà che la diagonale del rettangolo metallico è perpendicolare alla diagonale del rettangolo metallico residuo che non abbia un estremo comune con la prima.

(e altezza 1).

Vediamo ora il rettangolo “DIN”.

• Il formato DIN della carta per stampanti deriva da “Deutsches Institute fur Normung”, Istituto tedesco di normalizzazione. Questo formato è stato introdotto nel 1922 dall’Ing. Walter Porstmann. Si parte da un rettangolo di in cui il rapporto tra il lato maggiore e il minore è

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21m2

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Si divide poi il foglio a metà con l’asse dei lati maggiori. Si ottengono ancora rettangoli “DIN”; si continua con questa iterazione ottenendo una serie A0, A1, A2, A3, A4, A5, …Verificare che se A0 è un foglio “DIN” di allora A4 ha le dimensioni 297 x 210 mm dei fogli A4 delle vostre stampanti. Vedi diapositive seguenti.

21m

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Vedi diapositiva precedente

La più bella figura aurea della geometria: il pentagono

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Vediamo ora rapporti aurei in opere d’arte.

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Il Partenone ad Atene (Fidia)

“Flagellazione” di Piero della Francesca

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La Gioconda di Leonardo

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Disegno di Leonardo per il “De divina proportione” di Luca Pacioli

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“Annunciazione” di Leonardo basata sul triangolo aureo

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E ora alcuni disegni di spirali “auree” prese dalla natura.

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Infine spirali auree emergenti dalla matematica della

complessità

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Le immagini seguenti sono 5 “variazioni sul tema”. Col mio programma “Frattali” ho disegnato la panoramica dell’insieme di Mandelbrot: ( x in [-2; 1], y in [-1.5; 1.5]. Poi ho isolato il “puntino” evidenziato all’interno del rettangolo bianco : un quadratino con x in [-0.74591, -0.744480] e y in [0.11196; 0.11339]. Vedi qui sotto)

Il programma ha ingrandito questo minuscolo puntino come un potente microscopio: vedi le 5 diapositive seguenti. Nota la struttura a spirale.

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Immagine a16 colori;le seguentia 256 colori.

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