OSSERVABILI

dal punto di vista PROGETTUALE ovvero

individuata la variabile FISICA significativa del PROCESSO

cercare il METODO

e lo STRUMENTO

Ottimali per “estrarre” la variabile

cioè gli

Affrontare i Problemi connessi con la Fisica sperimentale

Obiettivo del Corso Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

SISTEMIQuali ?

ATTIVI ?

Auto-evolutivi ?

Come ad es.

Cioè

PASSIVI ?

Transistor ?

Evolutivi ?

Come si possono studiareper capirne il funzionamento ?

Attraverso le risposte che essiforniscono ad una variabile Fisica, s (t), che chiameremo :

SEGNALI

Per esempio

Allora dovremo studiare

primail comportamento di questi nei diversi domini [ t, ] di appartenenza e nei diversi modelli e solo

dopo

studiare le Risposte dei Sistemi alla Eccitazione del Segnale

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Automi ?

Cellule ?

Neuroni ?

Termometro ?

Circuiti ?

SEGNALE Cos’è ? Segnale Messaggio Informazione

Processo semplice Campanello Busta Lettera

si distinguono facilmente

Processo complesso Fotone Ionizzazione Luminescenza

oppure

Lampada (......................) Luminescenza

Def. SEGNALE: VARIAZIONE TEMPORALE dello VARIAZIONE TEMPORALE dello

STATO FISICO di UN SISTEMA: STATO FISICO di UN SISTEMA: s(t)s(t)

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Calcolare l’Energia E e la fase di due segnali esponenziali, V1(t) e V2(t) aventi la stessa costante di tempo, 1/k, traslati del tempo di uguale ampiezza V e definiti dal Modello Matematico :V1(t)= V exp (-kt)(t), V2(t)= V exp (-k(t-)(t-)

??

SEGNALE TEORICOSPERIMENTALE

MODELLO MATEMATICO

SPAZIO RAPPR. Strutt. L

Separa l’Osservatore dal Processo

Stesso Modelloper + Processi

Vettore a ∞ dimensioni

con definito prodotto scalare

SPAZIO di HILBERT

CLASSIFICAZIONE

Deterministici

ContinuiDiscretiDigitali

Misurabili ad t Misurabili solo a certi t

Utili x campionamento

b ) t fisso , V proporzionale al valore al tempo t

a ) V fisso, t proporzionale al valore dell’ampiezza

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2

4

V t( )

t

Esempi:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0.5

1

V t( )

V1 t( )

V2 t( )

V3 t( )

t

una relazione funzionale il cui argomento è il tempo s(t), f(t), u(t),... che rappresenta

l’evoluzione del processo fisico, in generale,del segnale in particolare

(t)dtu(t)u, vv

v

vcos uv

u

u,

a

Mathcad Document

b

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Stocastici es. un tuono, un lampo, un viso umano

Mathcad Document

SPAZIO RAPPR. Per u,v L, w=u+v, w L

Strutt. L :

Valgono le proprietà :

u+v = v+u (commutativa) (u+v) + s = (u + s) + v (associativa)

ed altre

BASE:

NORMA:

METRICA:

Se u1,u2, u3, …un ,….sono LINEARMNTE IND

e se n+1 numeri a R o C :aou+ a1u1+a2u2+….anun = 0 ALLORA :

o

kko

n

kkk a

acaucu

e 0con 1

Definiamo allora : uk vettori di base ck componenti

È la lunghezza del vettore s(t) Se ad s(t) è assegnato un unico numero R :

NEGATIVA -NON è norma la

0s se solo e se 0con 0 ss

È la norma della distanza

vuvu ),(

2/1

2 )(

dttss

2/1

* )()()(

dttststsPer Num. R Per Num. C

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Energia di un Segnale : Il Quadrato della NORMA è l’Energia “portata” dal segnale s(t)

dttstsEs22

)()(

Se il segnale è rappresentato da una tensione V espressa in volt allora l'energia del segnale è espressa in volt2*s e rappresenta l'energia dissipata dal segnale su un carico resistivo pari ad 1 ohm.

])(

)*([][Joule

212

2243222

ohmQTML

svoltQLTMTMLE

Verifichiamo scrivendo l’equazione dimensionale dell’Energia :

Esempio : Trovare l'energia del segnale s(t),definito dal Modello Matematico s(t)=Vo*t/nell’ intervallo di definizione [0, ]

3

V

3

VV 2o

3

2

2o

0

22

2o dttEs

Poiché il segnale è limitato all’intervallo [0, ], l’integrale va esteso a : t < 0 : 0M.M. 0 <= t <= : Vo*t/ t > : 0

Vo 1 1

Se Vo=1 volt, s Es = 0.3 J Energia trasportata dal segnale

Notare che un segnale con M.M. impulsivo

trasporta una Es = V2o cioè 3 volte maggiore

Cross Energy :Qual è l’energia di due vettori, u(t) e v(t), che si sommano ?

uvdtEEdtvu vu 2)( 2

Quindi non è solo la somma delle energie di u e v ma c’è anche un

altro termine la cosiddetta Energia di incrocio (Cross Energy)

Mathcad Document

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Mathcad Document

Mathcad Document

Calcolo dell’ Energia e della fase di due segnali esponenziali

2 1 0 1 2 3

0.5

1MOD. MAT. RAMPA

V t( )

t

4 2 0 2 4

0.5

1MOD. MAT. IMPULSO

1

0

t( ) t

33 t

Mathcad Document

RAPPRESENTAZIONIDINAMICAs(t)

Heaviside (t)

Dirac (t)

SPETTRALES()

Serie di Fourier Segnali periodici

Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi

Funzioni elementari

Funzioni elementari

Walsh ……..

Z-Trasformata …………….

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

DESCRIZIONE t

Heaviside

(t)

M.M.

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Consideriamo la funzione s(t) definita dal seguente Modello Matematico :

allora essa prende il nome di funzione di Heaviside (t) o Switching Function

- 0 t

t

t1

2

1)(ts

1 t

1 0.75 0.5 0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

0.5

1Heaviside [Diversi valori pendenze]

time [a. u.]

s1 t( )

s2 t( )

s3 t( )

s4 t( )

t

1

.75

.5

.25

s t( )1

2

t

1 2 3 41

Mathcad Document

Rappresenta la transizione di un sistema fisico dallo stato definito "0" allo stato definito "1“tale che la transizione sia lineare nell’intervallo temporale 2

Se facciamo tendere la variabile → 0 si ottiene una transizione istantanea

4 2 0 2 4

0.5

1Heaviside [Transizione a t = to]

t to( )

t

to 2

4 2 0 2 4

0.5

1Heaviside [Transizione a t = 0 ]

t( )

t

in sintesi:se l’argomento è negativo ritorna “0”se l’argomento è positivo ritorna “1”se l’argomento è 0 (zero) ritorna “0.5”

0 t1,

0 t,5.0

0 t,0

)(t

RAPPRESENTAZIONIDINAMICAs(t)

Heaviside (t)

Funzioni elementari

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Prendiamo una funzione qualsiasi del tempo s(t) tale che :

110 )()(

kkk tktsststs

Se ora facciamo tendere l’intervallo temporale a zero (t → 0), la variabile discreta k t tende alla variabile continua :(k t → ) e l’intervallo delle ampiezze (sk - sk-1) → ds , possiamo scrivere

d=

d

dsds

d)(t

d

ds(t)s(t)=s

0quindi

Rappresentazione Dinamica dei

segnali tramite la funzione di Heaviside (t)Walsh ……..

Se so è il valore a t=0 allora: il valore del segnale a qualsiasi t è s(t)=so(t) + (s1-so)(t - t)+(s2-s1)(t-2t)......,

in sintesi:si prendono intervalli di tempo identici, te la corrispondente “variazione” dell’ampiezza del segnale

s(t)=0 per t < 0 e sia {t, 2t, 3t,...} la sequenza di intervalli temporali alla quale corrisponde la sequenza {s1, s2, s3,...}dei rispettivi valori della s(t)

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Calcolare il valore di una funzione arbitraria s(t) per t = t cioè al primo gradino.

Sia s(t) un segnale arbitrario avente il seguente modello matematico

s(t) = 0 per t < 0

s(t) = A t2 per t > 0Trovare la sua rappresentazione dinamica in termini di funzione di Heaviside.

Essendo s(t)= 0 per

t < 0 allora so = 0 e quindi la rappresentazione dinamica del segnale risulta :

dtAts )(2)(0

che può essere facilmente verificata sostituendo un valore qualsiasi di t.

Tutti i termini della somma che contengono la per tempi maggiori di t, cioè 2t, 3t...., sono nulli perché è

nulla la funzione di Heaviside , mentre tutti quelli che contengono la a tempi inferiori sopravvivono perché la

funzione di Heaviside ha valore unitario.

ricordare [ s(t)=so(t) + (s1-so)(t - t)+(s2-s1)(t-2t)......,]

Allora il valore della funzione per t = t sarà : s(t = t)= s0*1+ (s1-s0)*1+(s2-s1)*0+....0 quindi: s(t = t)=s1

Esempio

Esempio

RAPPRESENTAZIONIDINAMICAs(t)

Heaviside (t)

d)(td

ds(t)s(t)=s

0ricordando che la formula è

Mathcad Document

Costruzione Impulso con due Heaviside :

Costruzione Rampa

Esercitazioni Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Mathcad Document

Heaviside (t)

1. Heaviside (t) Metodo : Gradini ad intervalli temporali, t, uguali ;

Ampiezza proporzionale alla variazione del

segnale nell’intervallo t

y t( ) s 0( ) t( ) 2 A0

t

d

z t( ) s 0( ) t( )

1

n

k

s k( ) s k 1( )( ) t k

y t( ) s 0( ) t( ) 2 A0

t

d

Esempio : A=1 ; t = tt ;n=10

Modello Matematico

Rappresentazioni Dinamiche

x t( ) s 0( ) t( ) s 1( ) s 0( )( ) t s 2( ) s 1( )( ) t 2 s 3( ) s 2( )( ) t 3

s t( ) A t2

0 5 10

50

100MODELLO MATEMATICO s(t)

100

0

s t( )

100 t

0 5 10

50

100RAPPRESENTAZIONI

100

0

y t( )

x t( ) x1 t( )

100 t

0 5 10

50

100RAPPRESENTAZIONE DISCRETA

100

0

z t( )

100 t

s t( ) A t2

y t( ) s 0( ) t( ) 2 A0

t

d

z t( ) s 0( ) t( )

1

n

k

s k( ) s k 1( )( ) t k

y t( ) s 0( ) t( ) 2 A0

t

d

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e SistemiRAPPRESENTAZIONIDINAMICA

s(t) Heaviside

(t)

DESCRIZIONE t

Dirac

(t)

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Consideriamo la funzione V(t,) definita dal Modello Matematico:

M.M.

Espressa come differenza tra due Heaviside che effettuano la transizione a tempi diversi

))2

()2

(1

),(V

ttt

1 0.5 0 0.5 1

0.5

1HEAVISIDE

t2

t1 0.5 0 0.5 1

0.5

1HEAVISIDE

t2

t

1 0.5 0 0.5 1

0.5

1IMPULSO DIRAC

V t

t

Mathcad Document

Esso ha l'ampiezza pari a 1/ e durata . Infatti

(t + /2) = 0 per t <-/2 (t + /2) = 1 per t >-/2 (t - /2) = 0 per t </2 (t - /2) = 1 per t >/2

.:

v )dt=(tA 1;V

Questa funzione è caratterizzata dal fatto che per

scelta del parametro l'area è sempre unitaria1 )

1( ampiezza x )( durata

VA

Se facciamo tendere , per mantenere l'area unitaria, l'ampiezza crescerà indefinitamente. Allora definiamo:

(t))(t

;vlim0Funzione Impulsiva o Delta di Dirac

Essa è nulla ovunque tranne che nel punto che annulla l'argomento,

1=(t)dte gode della proprietà :

cioè, ad es., in t = 0 per (t) o t = to per (t - to)

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Ricordando l'espressione della rappresentazione (di Heaviside) come somma di infiniti "gradini" elementari, possiamo esprimere il k-esimo impulso elementare, k(t), come :

ora possiamo esprimere un segnale continuo arbitrario s(t) come somma di infiniti impulsi k :

tttttsts kkk

k

)(

)()( ttsk

k

RAPPRESENTAZIONIDINAMICAs(t)

Funzioni elementari

Dirac (t)

ttttttst kkkk )()(

ttttttt

sts kkk

k

1

)(moltiplicando e dividendo per t

passando al limite per t→0 si ha che t , )( 1

lim0

ttttttt kk

t

per cui si può scrivere:

)d-(t)()( sts

Rappresentazione Dinamica dei

segnali tramite la di Dirac.

Importante: moltiplicando una qualsiasi funzione s(t) per la (t - t0) ed

integrando, otteniamo proprio il valore della funzione al tempo t0 cioè s(t0):

La ha la cosiddetta proprietà di filtro cioè riesce a selezionare un solo valore

della funzione nel punto in cui è "concentrato" l'impulso.

Notare la variabile a “sinistra” (t) e la variabile d’integrazione (dal che si intravede la proprietà di “filtro” della

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

s(t)

(t - t0)

s(t0)MoltiplicatoreIntegratore

Realizzando un sistema come schematizzato nella figura costituito da un semplice moltiplicatore analogico e da un integratore possiamo "estrarre" il valore del segnale fornito in ingresso, s(t) all'istante t = tO.

In pratica al posto della (t – tO) si utilizzerà un impulso sufficientemente "stretto" per avere il valore istantaneo

del segnale s(t).

RAPPRESENTAZIONIDINAMICAs(t)

Dirac (t)

Funzioni elementari

M.M.

Walsh ……..

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

2. Dirac (t) Impulsi contigui tali da formare una sequenza circoscritta o inscritta del Modello Matematico del segnale

Modello Matematico

Rappresentazioni Dinamiche

10 5 0 5 10

50

100MODELLO MATEMATICO s(t)=At^2

100

0

s t( )

1010 t10 5 0 5 10

50

100RAPPRESENTAZIONE di DIRAC z(t)

z t( )

s t( )

t

10 5 0 5 10

50

100RAPPRESENTAZIONE CONTINUA

100

0

A t2

1010 t

z t( )

20

20

k

s k( )

t k( ) t k

t A 2

d A t2

Esempio : A=1 ; tt ;

s t( ) A t2

Rappresentazione

Metodo :

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

DINAMICAs(t)

Dirac (t)

RAPPRESENTAZIONI SPETTRALES()

Serie di Fourier Segnali periodici

Trasformata di Fourier Segnali aperiodici, impulsi

Funzioni elementari

Z-Trasformata …………….

Rappresentazione Spettrale

Se nell’intervallo [t1, t2] è possibile definire un insieme di funzioni [u1,u2,u3….un] mutuamente ORTO-NORMALI :

Cioè ORTOGONALI : (u,v) = 0

e a NORMA unitaria :

Allora un qualsiasi segnale s(t)di H si può sviluppare in serie di Fourier generalizzata :

j i se

i=j se,uu ji 0

1

1iii (t)ucs(t)

Serie di Fourier Generalizzata

I Coefficienti ci sono i “Pesi” della corrispondente funzione i-esima.

Per identificarli occorre moltiplicare scalarmente la funzione s(t) per la k-esima base :

k

t

t ikiikk cdtuucusc

2

1

)( Infatti ),(

In quanto le funzioni ui sono orto-normali

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

ii

ii u(t)ucs(t) e 1

Se Sono funzioni Armoniche : s(t) si dice che è RISOLTA nel suo SPETTRO

Perché armoniche ?

1.Sono Invarianti rispetto alle Trasformazioni effettuate dai SISTEMI LINEARI

Time

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(Vout)

-1.0V

0V

1.0V

Time

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(Vin)

-1.0V

0V

1.0V

Cambia solo Ampiezza e Fase

● Funzioni periodiche s(t) = s(t + nT ) con T periodo e con n = ±1, ±2, ±3,……in [-∞, ∞] t

Time

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(R1:2)

-1.0V

0V

1.0V

Time

0s 5us 10us 15us 20us 25us 30usV(Vin)

0V

0.5V

1.0V

Cambia TuttoCambia Tutto DiversamenteDiversamente

Armoniche

● 1 : pulsazione fondamentale = 2/T

● Funzioni di BASE : T

uo

1 )2sin(

212 T

tn

Tu n )2cos(

22 T

tn

Tu n

I:\My Didattica\LabSistemiSegnali_2005\E

I:\My Didattica\LabSistemiSegnali_2005\E

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Un vettore s(t) si può allora rappresentare in Serie di Fourier :

1

11 ))sin()cos((2

)(n

nno tnbtna

ats

I Coefficienti, a,b, si calcolano, come visto, moltiplicando scalarmente il vettore s(t) per la n-sima armonica

2/

2/

1 )cos()(2 T

T

n dttntsT

a

2/

2/

1 )sin()(2 T

T

n dttntsT

b

2/

2/

)(2 T

T

o dttsT

a

Semplificazioni :

Se il segnale è una funzione PARI [ s(t)=s(-t) ], TUTTI i termini dello sviluppo che contengono la funzione armonica SENO (dispari ) si annullano (il prodotto di una funzione pari, s(t), per una dispari E’ dispari e quindi integrata in un intervallo simmetrico [-T/2, T/2 ] è NULLA), allora i coefficienti bn = 0

1.

Lo sviluppo si riduce a :

1

1 )cos(2

)(n

no tna

ats

2/

2/

1 )cos()(2

ticoefficien icon T

T

n dttntsT

a

2. Analogamente se la funzione è DISPARI, [s(t)= -s(-t) ] , TUTTI i termini che contengono la funzione Armonica COSENO (pari) si annullano, e quindi i coefficienti ao = an = 0.

Lo sviluppo si riduce a :

1

1 )sin()(n

n tnbts

2/

2/

1 )sin()(2

ticoefficien icon T

T

n dttntsT

b

Serie di FourierCorso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato .

La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante.

Esempio : Utile per considerare l’importanza dell’ampiezza delle armoniche nella ricostruzione del segnale

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Esempio : Utile per considerare l’importanza delle ALTE FREQUENZE nella ricostruzione del segnale , in particolare dei FRONTI di SALITA e di DISCESA (trailing e falling edge).

Calcoliamo lo sviluppo di Fourier per un segnale periodico di impulsi rettangolari con il M.M. indicato .

La funzione è pari s(t) = s(-t) rispetto a t = 0, quindi va sviluppata in termini di coefficienti che contengono solo coseni e il termine costante.

Mathcad Document

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Serie di Fourier Complessa

i

eex

eex

ixixixix

2)sin( ;

2)cos(

Riscrivendo lo Sviluppo in Serie di Fourier con le formule di Eulero :

1

)22

(2

)(1111

n

tintin

n

tintin

no

i

eeb

eea

ats

si ottiene : ,... dopo una serie di semplici passaggi algebrici

si può riscrivere la serie in una forma Complessa di maggiore significato (per chiarimenti vedere gli appunti)

tinneCts 1)(

2/

2/

1)(1 T

T

tinn dtets

TC

2

1tie

2

1tie

Re

Im

un Vettore Re somma di due fasori di ampiezza ½ ruotanti in verso opposto con la stessa velocità angolare 1

ottiene si 1 n per 22

)cos(11

1 tintin ee

tn

Motori a Induzione Motori a Induzione (Campo Rotante ) (Campo Rotante )

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

1

11 ))sin()cos((2

)(n

nno tnbtna

ats

1

1

c-1

c1 coo

1

1

c2

c-2

c3

c-3

1

1

§

§

C+

C-

C+ = c1 + c2 + c3+……..

C- = c-1 + c-2 + c-3+……..C+ + C- ISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALEISTANTE PER ISTANTE è UN VETTORE REALE

tinneCts 1)(

Re

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Consideriamo un impulso s(t) qualsiasi di durata finita.

Trasformata di Fourier

Supponiamo che ad esso siano associati, in modo virtuale, altri impulsi identici ricorrenti con periodo T

Allora possiamo rappresentare s(t) attraverso la serie in armoniche di Fourier

tinneCts 1)(

con i coefficienti

2/

2/

1)(1 T

T

tinn dtets

TC

Facciamo alcune semplici posizioni :T

21 Prima armonica: 1 nn ; n-sima armonica :

intervallo unitario :Tnn

21 dtets

TC

T

T

ti

nn

2/

2/

)(2

1)

2(

; allora

(n)

: )(2

)(nnC

e la s(t) diventa :

ti

nnets

)(2

)(

Se ora torniamo alla realtà, cioè all’impulso, dobbiamo far tendere T ∞ d, n, n))

Cn

otteniamo la Coppia di Trasformate : l’impulso s(t)s(t) e la corrispondente densità spettrale ))

dets ti)(2

1)(

dtets ti )()( Trasformata Trasformata AntitrasformataAntitrasformata

che Collegano i due mondi del tempo e delle frequenze

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

La trasformata e l'antitrasformata ci permettono di trasformare delle funzioni e/o segnali dal dominio delle frequenze [] a quello del tempo [t] e viceversa.

dttf )(

dttff )()(

~

dfdttf

22 )(~

)(

Queste espressioni hanno senso preciso solo se: ed è finito.

In questo caso la trasformata è:

1) Continua

3) Nulla all'infinito per ±∞

2) Limitata

e vale l'identità di Parseval:

Quando è necessario, per esempio se un modello è “difficile” da trattare in un dominio, tramite l’operazione di trasformazione di Fourier si può cambiare dominio.

La rappresentazione nel dominio di , cioè la rappresentazione spettrale del segnale, offre un approccio molto significativo nell'analisi della risposta in una larga fascia di sistemi usati, in generale nell'elettronica,in particolare nelle telecomunicazioni.

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Spettro di un impulso rettangolare

Sia s(t), un segnale con ampiezza A e durata in [-/2,/2] il cui M. M. è :

2sin

2111)( 22

2

2

2

2

Ae

ie

iAe

iAdteAs

iititi

Ponendo /2 si ha: sin

)( As

Esempio

s(t)= A[(t-/2) - (t+/2)]

Il suo spettro , ovvero la sua trasformata sarà:i

eex

ixix

2)sin(

Ricordando Eulero

Esempio:Esempio:Trasformata di Fourier di una funzione Impulsiva con Modello Matematico s(t) = (t+/2) – (t-/2)

1. Utile per mettere in evidenza la trasformata della (t) = cost. ( ad una durata infinitesima in t corrisponde una larghezza infinita in

2. Utile per mettere in evidenza il prodotto banda x durata . Assumiamo che la frequenza massima limite di uno spettro sia quella per cui si ha il " primo " zero nel rapporto |S()| m / |S(0)|= 0 che si ha per : = /2 ossia in termini di frequenza = 2f/2 ; 1=f

Allora si ha la seguente relazione di indeterminazione: f up = 1 Il prodotto banda * durata è una costante e dipende solo

dalla forma dell'impulso. Quindi, ad esempio, la (t) che ha una durata infinitesima, ha una banda infinita.

Mathcad Document Mathcad DocumentCorso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

0

2

2

)0(

)(

sin

S

S

Corso di Laboratorio di Segnali e Sistemi

Proprietà della parte reale e della parte immaginaria dello spettro

)( tsPoiché la funzione del tempo t la sua Trasformata: )()()( iBAS C

gode della proprietà che la sua parte è una funzione pari )()( AA

è una funzione disparie quella )()( BB

In generale il suo spettro sarà rappresentato da una funzione complessa:

tdttsitdttsS sin)(cos)()(

Facciamo ora l‘ anti - trasformata cioè ricaviamo la s(t):

dtitiBAts sincos)()(

2

1)(

dtBtsinAitsinBtAts )cos()()()([)]()()cos()(

2

1)(

affinché 0cos)( 0sin)(

tdBtdA

Queste condizioni sono verificate se:A() è pari (infatti il seno è una funzione dispari)B() è dispari (infatti il coseno è una funzione pari)

1. La parte reale A() dello spettro è una funzione pari della frequenza. A() = A(-) 2. La parte immaginaria B() è una funzione dispari della frequenza. B() = -B(-)

)( ts : 0

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Spettro di un segnale traslato

Supponiamo che esista, del segnale s(t), la sua trasformata, cioè S()

)(~ottss

La sua trasformata sarà:

dtettsS tio

)()( Ponendo: x = t - to ; allora dt = dx si avrà:

otieS )(

1 otie

otie

Poiché

Questa informazione è contenuta nel fattore di fase

.

Prendiamo un segnale traslato nel tempo della quantità to

dxexsS otxi )()()(

dxeexs otixi )(

dxexse xiti )(0

le ampiezze delle armoniche sono indipendenti

dalla posizione nel tempo del segnale

:

otio eStts )()()()( Sts

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Dipendenza dello spettro da un fattore di scala temporale

Supponiamo che il segnale s(t) sia soggetto ad una trasformazione della scala dei

tempi (compressione o espansione) ossia t kt con k ε R

Se k > 1 si ha compressione e se 0 < k < 1 si ha dilatazione

Allora se t kt segue che s(t) s(kt) e il suo spettro

dtektsS ti )()( Ponendo: x = kt ; dx = k dt, si ha:

kS

kdxexs

kS k

xi 1

)(1

)(cioè lo spettro di un segnale, ad esempio, compresso (k > 1) che

mantiene la stessa forma, distribuisce le stesse componenti spettrali su un intervallo più esteso di frequenze con una ampiezza minore ( S/k)

Compressione k > 1

kS minori ampiezze

k allargato spettro

Dilatazione k < 1

k Smaggiori ampiezze

k ristretto spettro

Stringendo temporalmente, si allarga lo Spettro

Le Ampiezze dello Spettro, sono Minori

Allargando temporalmente, si restringe lo Spettro

Le Ampiezze dello Spettro, sono Maggiori

Spettro della derivata di un segnale

dteitssedtedt

tds tititi )()(

)()(0)()( Sidtetsidtetsiets tititi

Sia s(t) un segnale e supponiamo che esista la sua trasformata e sia S() , calcoliamo la sua )()( Sitsdt

d

Risolto per parti, si vede che l'integrale si riduce a due termini: il primo svanisce per t ± ∞ in quanto s(t) 0 per la condizionedi integrabilità del segnale s(t)

Spettro dell' integrale di un segnale

Basta osservare che: )()( tsdsdt

d t

In seguito ad una operazione di differenziazione il segnale, nel dominio del tempo, diventa più "rapido", come conseguenza lo spettro della derivata ha maggiori valori nella regione delle alte frequenze.

EsempioEsempio : :

dt

d=

2 0 2 4

0.5

1Mod. Mat. Rampa

4 2 0 2 4

0.5

1Heaviside

)(1

Si

dst

Quindi :

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Spettro di un segnale esponenziale

)(tAe tSia s(t) per> 0 il M. M. del segnale. Calcoliamo il suo Spettro S()

0

)( dteeAS tit

0

)( dteA ti

0

)( tiei

A

i

A

C'è da notare che:1. Lo spettro va a zero solo per ∞∞2. Lo spettro è una funzione complessa:

)()()( ieSS 22)(

AS

tanarc

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Mathcad DocumentStudio RC

Spettro exp

La parte reale A() dello spettro è una funzione pari della frequenza. A() = A(-) La parte immaginaria B() è una funzione dispari della frequenza. B() = -B(-)

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Spettro del prodotto ordinario di due segnali

dtu(t)v(t)e)S( ti

Siano u(t) e v(t) i segnali in t e U() , V() i rispettivi spettri. Sia s(t) = u(t) v(t) il loro prodotto ordinario.

Lo spettro sarà :

deVtv i t)(2

1)(sostituiamo, al posto di v(t) , la sua Anti

dte)e(

2

1)( ti

+

-

ti

dVu(t)S Scambiamo l’ordine di integrazione

ddtu(t)VS

+

-

t)-i(-e)(2

1)(

dVS )-)U((2

1)(Possiamo riscrivere lo spettro :

Questo è l’Integrale del Prodotto di Convoluzione delle funzioni V() e U() che si indica anche V() * U()

Lo spettro del prodotto ordinario tra i segnali u(t) x v(t) è = al prodotto di convoluzione degli spettri U() * V()

il prodotto ordinario tra gli spettri U() x V() è = al prodotto di convoluzione dei segnali u(t) * v(t)

Ed è anche vero il teorema reciproco che

Concludiamo

Corso di Laboratorio di Segnali e SistemiUna interessante conseguenza di questo è il teorema della convoluzione.

)()(*)()]()([)]([ SVUtvtuts

Per dimostrarlo riscriviamo in modo sintetico indicando con la trasformata di Fourier F ,

il teorema già dimostrato: se s(t)= u(t)v(t)

se ora facciamo la trasformata (anti) dell'espressione precedente, otteniamo:

)]([)](*)([)()()( 11 SVUtvtuts

se al posto delle due funzioni del tempo u(t)v(t), sostituiamo le loro trasformate F-1 otteniamo

)](*)([)]([)]([ 111 VUVU è ovviamente possibile dimostrare, ed è valido, il teorema inverso:

)](*)([)]([)]([ tvtutvtu

L'importanza di questo teorema è enorme in quanto molti processi fisici si presentano come convoluzione di altri e quindi tramite l'applicazione di questo teorema è possibile risalire ai processi primari. Questa metodo è noto come deconvoluzione (unfolding) delle componenti

la trasformata di Fourier, F, del prodotto di convoluzione

è equivalente al prodotto ordinario delle trasformate

F [U() * V()]

F [U()] F [V()]x

1

Spettro della (t)

Sia s(t) = A (t) il Modello Matematico nel dominio del tempo. Il suo spettro S(), ovvero la sua trasformata, sarà:

dtteAS ti )()( Abbiamo già visto le proprietà di " filtro " della (t)

L'integrale è uguale al valore della funzione nel punto in cui la (t) è "concentrata “ In questo caso a t = 0

Quindi S() = A

La trasformata di Fourier di una - function è una funzione indipendente da

Il suo spettro ha una larghezza infinita

con tutte le frequenze con la stessa ampiezza A [ - ∞, + ∞ ]

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