ONDE GRAVITAZIONALI...Dato che le onde gravitazionali esistono anche in assenza di materia, ci...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA

DIPARTIMENTO DI FISICA E GEOLOGIA

Corso di Laurea in Fisica

TESI DI LAUREA

ONDE GRAVITAZIONALI

Laureando:Nicolò Primi

Relatore:Prof. Gianluca Grignani

Anno Accademico 2015/2016

Indice

1 Introduzione 3

2 Teoria Linearizzata 52.1 Equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gradi di libertà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Soluzioni di tipo onda gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Moto di particelle sottoposte a un’onda piana . . . . . . . . . . . 12

3 Teoria completa 173.1 Onda piana esatta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Caso particolare: onda piana di durata finita . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Moto di particelle nella teoria completa . . . . . . . . . . 223.3 Onde più generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Energia delle onde gravitazionali 274.1 Energia gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Tensore energia-impulso per le onde gravitazionali . . . . . . . . 29

5 Generazione di Onde Gravitazionali 315.1 Natura quadrupolare delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Risoluzione delle equazioni di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Potenza irradiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Valutazione dell’energia irradiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.4.1 Stime qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.4.2 Sistema di stelle binario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Bibliografia 43

1

2 INDICE

Capitolo 1

Introduzione

Un’onda gravitazionale è una deformazione della curvatura dello spaziotempoche si propaga alla velocità della luce, ed è in particolare una soluzione radiativadelle equazioni di campo di Einstein. L’esistenza di tali onde fornisce la con-ferma sperimentale del fatto che l’interazione gravitazionale non sia un’azionea distanza tra corpi massivi, come asseriva la teoria newtoniana, ma implical’esistenza di un campo gravitazionale che si può propagare anche in assenza dimateria o energia.

All’interno della struttura geometrica dello spaziotempo, le onde gravita-zionali possono essere immaginate come piccole increspature che si propaganosu una curvatura di sottofondo; esse vengono originate da una moltitudine diprocessi cosmologici (come sistemi binari di stelle, pulsar, esplosioni di super-novae o processi di formazione delle galassie) e viaggiano allontanandosi dallaloro sorgente.

La teoria della radiazione gravitazionale viene complicata dalla non linea-rità delle equazioni di Einstein1: un’onda gravitazionale trasporta energia emomento che contribuiscono al campo gravitazionale ad essa associato, e ciò ciimpedisce di trovare facilmente soluzioni generali esatte e radiative. Ci sono dueapprocci per superare tali difficoltà:

• Localmente si può ignorare l’interazione delle onde con la curvatura dellospaziotempo scegliendo un sistema di coordinate localmente inerziale, esupponendo che il campo radiativo sia debole le onde non trasporterannoabbastanza energia e momento per influenzare la loro propagazione: sipotrà dunque supporre che esse si propaghino su uno spaziotempo piatto,descrivibile ad esempio attraverso la metrica di Minkowski. Questa è lateoria della gravità linearizzata.

• Se si vuole analizzare il fenomeno da un punto di vista globale, cioè sudistanze tali che la curvatura su larga scala dello spaziotempo non sia tra-scurabile, o nei casi in cui il campo trasportato dall’onda non è debole, lateoria linearizzata non sarà più applicabile e si dovranno cercare soluzionispeciali per le equazioni di Einstein esatte: si vedranno dei fenomeni nonlineari come l’interazione tra la curvatura e l’onda, che provocherà redshift

1In generale non si può asserire che la combinazione lineare di due loro soluzioni sia ancorauna soluzione valida

3

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

e deformazione dei fronti d’onda, e la produzione di curvatura da partedell’energia trasportata dall’onda.

Capitolo 2

Teoria Linearizzata

La teoria della gravità linearizzata è il limite per un campo gravitazionale deboledella relatività generale; nel caso delle onde gravitazionali essa è molto utile inquanto le radiazioni osservabili sulla Terra sono sempre di piccola intensità, acausa dell’accoppiamento debole tra materia e gravità e per le grandi distanzeche ci separano dalle sorgenti astronomiche principali.

In tale teoria, lo spaziotempo è costituito da un background piatto, perdescrivere il quale si utilizza la metrica di Minkowski ηµν = diag(−1, 1, 1, 1),sulla quale si propaga, come un campo, una piccola perturbazione hµν , cherappresenta l’onda gravitazionale nel caso in esame.

La metrica sarà dunque scrivibile come:

gµν = ηµν + hµν con |hµν | << 1 (2.1)

Sottoposta a una trasformazione di Lorentz della relatività speciale, ηµν noncambia, mentre:

hµν → hµ′ν′ = Λµ′

µΛν′

νhµν

Dunque hµν è un tensore di rango 2.Essendo la perturbazione piccola, sarà usata l’approssimazione linare (al

primo ordine in h); per determinarla dovranno essere risolte le equazioni linearidi campo, ovvero le equazioni di Einstein linearizzate. Potremo usare gµν peralzare e abbassare gli indici di gµν e hµν , in quanto:

gµνhµν = (ηµνhµν) + (hµνhµν) = hµµ (2.2)

Dove il termine hµνhµν è trascurabile in quanto del secondo ordine in h.

2.1 Equazioni di Einstein

Si passa ora al calcolo esplicito delle equazioni di Einstein linearizzate, a partiredalla metrica perturbata.

5

6 CAPITOLO 2. TEORIA LINEARIZZATA

Simboli di Christoffel

A partire dall’ipotesi di connessione compatibile con la metrica, è possibilecalcolare i simboli di Christoffel a partire da gµν :

Γµαβ =

=1

2gµν(gαν,β + gβν,α − gαβ,ν)

=1

2(ηµν + hµν)(hαν,β + hβν,α − hαβ,ν)

=1

2(hµα,β + hµβ,α − h

ναβ, )

(2.3)

Dove è stato usato il fatto che le derivate della metrica di Minkowski ηµν sonotutte nulle e sono stati cancellati i termini del secondo ordine nella perturbazio-ne.1

Tensore e Scalare di Ricci

Il Tensore di Ricci è dato dall’espressione:

Rµν = Γαµν,α − Γαµα,ν − ΓβµαΓαβν + ΓβµνΓαβα = Γαµν,α − Γαµα,ν

In quanto i termini quadratici in Γ sono del secondo ordine nella metrica.Usando i simboli di Christoffel (2.3), si ottiene:

Rµν =1

2(−h α

µν,α + h αµ ,να + h α

ν ,µα + h αµα, ν − hαµ,αν − hαα,µν)

=1

2(−h α

µν,α + h αν ,µα + h α

µα, ν − hαα,µν)

Nel primo passaggio, i termini h αµ ,µα e hαµ,αν (secondo e quinto membro)

si cancellano in quanto: h αµ ,να−hαµ,αν = hα µ,να−hαµ,αν = hα µ,αν −hαµ,αν =

hα µ,αν − hα µ,αν = 0Nel secondo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che le derviate parziali

commutano per invertire gli indici del primo membro Ora, se si rinomina h ≡ hααe ≡ ∂αα ≡ −∂2

t + ~∇2 si ottiene in definitiva:

Rµν =1

2(−hµν + h α

ν ,µα + h αµα, ν − h,µν) (2.4)

Lo scalare di Ricci è la traccia del tensore di Ricci (2.4):

R = Rµµ = Rµνgµν = Rµνη

µν =1

2(−hµνηµν+h α

ν ,µαηµν+h α

µα, νηµν−h,µνηµν)

Ed effettuando le opportune contrazioni si ottiene:

R =1

2(−h+ hµα,µα + hµα,µα −h) = hµα,µα −h (2.5)

1nell’approssimazione lineare, la derivata covariante è approssimabile alla derivata parziale,perché i termini proporzionali ai simboli di Christoffel in essa sono del secondo ordine

2.1. EQUAZIONI DI EINSTEIN 7

Tensore e Equazioni di Einstein

Il tensore di Einstein nella teoria linearizzata è dato dalla formula

Gµν = Rµν −1

2Rηµν

Nelle equazioni di Einstein andrà utilizzato tale tensore, e si avrà pertanto:2

Gµν = Rµν −1

2Rηµν = 8πTµν (2.6)

Facendone la traccia si ottiene:

ηµνRµν −1

2Rηµνηµν = 8πηµνTµν →

→ R− 1

2R ∗ 4 = 8πT →

→ R = −8πT

dove T è la traccia del tensore energia-impulso.

Inserendo questa espressione nell’equazione di Einstein 2.6 se ne ottiene la forma:

Rµν = 8π(Tµν −1

2ηµνT ) (2.7)

Dato che le onde gravitazionali esistono anche in assenza di materia, ci po-niamo nel vuoto, dove le componenti del tensore energia-impulso sono tuttenulle e quindi Tµν = T = 0; le equazioni di Einstein nel vuoto saranno dunquesemplicemente:

Rµν = 0 (2.8)

Trasformazioni di gauge

Le perturbazioni della metrica di Minkowski, rappresentate da hµν , possonoessere originate sia da una perturbazione fisica della curvatura dello spaziotempodi Minkowski, sia da una perturbazione del sistema di coordinate scelto. Talecambiamento infinitesimo del sistema di coordinate, chiamato trasformazione diGauge e generato da un campo vettoriale ξµ

xµ → xµ′

= xµ − εξµ

genera la seguente traformazione per la perturbazione:

h(ε)µν = hµν + 2ε∂(µξν) (2.9)

Gli spaziotempi fisicamente equivalenti sono quelli che differiscono di 2ε∂(µξν)

per un qualche campo vettoriale ξµ; ciò deriva dal fatto che le due metriche h(ε)µν

e hµν hanno stesso tensore di Riemann, cioè descrivono due spazi con la stessacurvatura, poichè una generica trasformazione di gauge modifica il tensore diRiemann di un quantità:

δRµνρσ =1

2(∂ρ∂ν∂µξσ + ∂ρ∂ν∂σξµ + ∂σ∂µ∂νξρ + ∂σ∂µ∂ρξν−

− ∂σ∂ν∂µξρ − ∂σ∂ν∂ρξµ − ∂ρ∂µ∂νξσ − ∂ρ∂µ∂σξν) = 0(2.10)

Ciò vale in quanto le derivate parziali commutano sempre.2si usano le unità geometriche in cui G=c=1


2.2 Gradi di libertà

Il tensore hµν è di tipo (0,2) e simmetrico in 4 dimensioni, e dunque avrà10 componenti indipendenti. Vogliamo ora capire quali sono i gradi di libertàeffettivi, cioè il numero di componenti indipendenti non sottoposte a vincoli;conviene scegliere un sistema di riferimento fisso e scomporlo in componenti,anche se così facendo ne perderemo l’invarianza per trasformazioni di coordinategeneriche.

hµν =

h00 h01 h02 h03

h11 h12 h13

h22 h23

h33

Divideremo tale tensore in componenti che saranno invarianti solamente perrotazioni spaziali; in particolare si ha che:

• h00 è uno scalare;

• h0i = hi0 sono le componenti di un 3-vettore;

• hij è un tensore 3x3 simmetrico, che può essere a sua volta diviso in unatraccia Ψ e in un tensore senza traccia sij simmetrico 3x3, chiamato strain.

Tali quantità sono definite dalle formule:

h00 = −2Φ (2.11)h0i = ωi (2.12)

hij = 2sij − 2Ψδij (2.13)

sij =1

2(hij −

1

3δklhklδij) (2.14)

Ψ = −1

6δijhij (2.15)

Dunque la perturbazione può essere scritta come:

hµν =

−2Φ ~ω

2s11 − 2Ψ 2s12 2s13

~ω 2s12 2s22 − 2Ψ 2s23

2s13 2s23 2s33 − 2Ψ

(2.16)

L’elemento di linea per questa metrica si scriverà quindi:

ds2 = gµνdxµdxν = −(1+2Φ)dt2+ωi(dtdx

i+dxidt)+[(1−2Ψ)δij+2sij)]dxidxj

Dovremo adesso risolvere le equazioni di Einstein 2.6 per trovare i vincoli a cuisono sottoposte le componenti di hµν ; per farlo occorre calcolare i simboli di

2.2. GRADI DI LIBERTÀ 9

Christoffel a partire dalla formula 2.3:

Γ000 = ∂0Φ

Γi00 = ∂iΦ + ∂0ωi

Γ0j0 = ∂jΦ

Γij0 = ∂[jωi] +1

2∂0hij

Γ0jk = −∂(jωk) +

1

2∂0hjk

Γijk = ∂(jhk)i −1

2∂ihjk

Da qui si ottengono le componenti del tensore di Riemann:

R0j0l = ∂j∂lΦ + ∂0∂(jωl) −1

2∂0∂0hjl

R0jkl = ∂j∂[kωl] − ∂0∂[khl]j

Rijkl = ∂j∂[khl]i − ∂i∂[khl]j

Contraendo si ottengono le componenti del tensore di Ricci:

R00 = ∇2Φ + ∂0∂k + 3∂20Ψ

R0j = −1

2∇2ωj +

1

2∂j∂kω

k + 2∂0∂jΨ + ∂0∂kskj

Rij = −∂i∂j(Φ−Ψ)− ∂0∂(iωj) + Ψδij −sij + 2∂k∂(isk

j)

Il tensore di Einstein sarà dunque formato dalle seguenti componenti:

G00 = 2∇2Ψ + ∂k∂lskl (2.17)

G0j = −1

2∇2ωj +

1

2∂j∂kω

k + 2∂0∂jΨ + ∂0∂kskj (2.18)

Gij =(δij∇2 − ∂i∂j)(Φ−Ψ) + δij∂0∂kωk − ∂0∂(iωj) + 2δij∂

20Ψ−

−sij + 2∂k∂(isk

j) − δij∂k∂lskl

(2.19)

Usando queste espressioni per Gµν nelle equazioni di Einstein, si può capire chesolo una piccola parte delle 10 componenti indipendenti (1 dallo scalare, 3 dalvettore e 6 dal tensore simmetrico 3x3) della metrica sono veri gradi di libertàdel campo gravitazionale; le altre saranno invece determinate in funzione di altricampi. Analizziamo in dettaglio le componenti di Gµν = 8πTµν :

(µ, ν) = (0, 0)→ ∇2Ψ = 4πT00 −1

2∂k∂ls

kl (2.20)

Questa è un’equazione differenziale per Ψ, cioè per la traccia di hij , in cui nonsono presenti derivate temporali; conoscendo T00 e sij a un istante qualunquepossiamo ricavarla: Ψ non sarà dunque un grado di libertà dinamico poichè èdeterminato univocamente e a qualunque istante dal tensore energia-impulso edallo strain gravitazionale.

(µ, ν) = (0, j)→ (δjk∇2 − ∂j∂k)ωk = −16πT0j + 4∂0∂jΨ + 2∂0∂kskj (2.21)


Questa è un’equazione differenziale per ωi in cui non sono presenti sue deri-vate temporali: varrà lo stesso discorso fatto in precedenza e nemmeno le 3componenti di ~ω saranno veri gradi di libertà.

(µ, ν) = (i, j)→ (δij∇2 − ∂i∂j)Φ =8πTij + (δij∇2 − ∂i∂j − 2δij∂20)Ψ−

− δij∂0∂kωk + ∂0∂(iωj) + sij−

− 2∂k∂(isk

j) − δij∂k∂lsjl

(2.22)

Questa è un’equazione differenziale per Φ, cioè per la componente (0,0) di hµν ,in cui non compaiono sue derivate temporali; dunque nemmeno Φ è un grado dilibertà dinamico.

Gli unici gradi di libertà che si possono propagare sono quelli nello straingravitazionale sij , cioè un tensore 3x3 simmetrico e con traccia nulla che ha 5componenti indipendenti3, e verranno usati per descrivere le onde gravitazionali.

Cerchiamo adesso un gauge in cui queste equazioni si semplifichino. Attra-verso la trasformazione di gauge 2.9 con ε = 1 le componenti 2.11 diventano:

Φ→ Φ + ∂0ξ0

ωi → ωi + ∂0ξi − ∂iξ0

Ψ→ Ψ− 1

3∂iξ

i

sij → sij + ∂(iξj) −1

3∂kξ

kδij

(2.23)

Imporremo il gauge trasverso, simile al gauge di Coulomb elettromagnetico, percui il tensore sij è un tensore spazialmente trasverso4, cioè a divergenza nulla:

∂isij = 0 (2.24)

per ottenere ciò bisogna scegliere le 3 componenti spaziali del vettore generatoredella trasformazione ξj tali che risolvano le 3 equazioni differenziali:

∇2ξj +1

3∂j∂iξ

i = −2∂isij

Ciò impone tre ulteriori condizioni sul tensore sij , che avrà solamente 2 gradidi libertà "fisici", cioè non associati alle libertà di gauge.

Possiamo utilizzare l’ultima libertà di gauge rimasta ξ0 per imporre cheanche ~ω sia trasverso:

∂iωi = 0 (2.25)

Per avere questa condizione ξ0 deve risolvere:

∇2ξ0 = ∂iωi + ∂0∂iξ

i

Queste equazioni per le componenti del generatore della trasformazione richie-dono condizioni al contorno per fissarne i valori, ma per gli scopi in esame

3un tensore simmetrico di dimensione N ha N(N+1)2

componenti indipendenti, e lacondizione che abbia traccia nulla impone un vincolo che elimina uno di questi gradi di libertà.

4un tensore si dice trasverso quando è "ortogonale" ai vettori d’onda ~k associati allasua trasformata di Fourier; se esso è a divergenza nulla infatti è immediato verificare che:F [∂is

ij ] = F [ikisij ] = F [0] → kis

ij = 0

2.3. SOLUZIONI DI TIPO ONDA GRAVITAZIONALE 11

è sufficiente dire che tali valori esistono senza esplicitarli. Imponendo questecondizioni, il sistema di riferimento è stato completamente fissato.

Nel gauge trasverso appena visto quindi le equazioni di Einstein 2.20,2.21,2.22diventano:

G00 = 2∇2Ψ = 8πT00 (2.26)

G0j = −1

2∇2ωj + 2∂0∂jΨ = 8πT0j (2.27)

Gij = (δij∇2 − ∂i∂j)(Φ−Ψ)− ∂0∂(iωj) + 2δij∂20Ψ−sij = 8πTij (2.28)

2.3 Soluzioni di tipo onda gravitazionaleRisolviamo adesso le 2.26 nel vuoto, dove Tµν = 0 ∀µ, ν.

(µ, ν) = (0, 0)→ ∇2Ψ = 0→ Ψ = 0 (2.29)

(µ, ν) = (0, j)Ψ=0−−−→ ∇2ωj = 0→ ωj = 0 (2.30)

Tr(Gij)ωj ,Ψ=0−−−−−→ 2∇2Φ = 0→ Φ = 0 (2.31)

Ψ, ω,Φ sono evidentemente funzioni armoniche e il loro annullamento derivadal teorema di massimo modulo delle funzione armoniche, il quale enuncia chetali funzioni hanno un massimo assoluto nel bordo del dominio in cui sono de-finite; se assumiamo che lo spaziotempo sia asintoticamente piatto, come saràcomunque necessario fare più avanti, esse saranno nulle all’infinito, che rappre-senta il bordo del loro dominio: dunque il modulo massimo di Ψ, ω,Φ è zero econseguentemente esse dovranno essere nulle in tutto lo spaziotempo. Rimarràdunque solamente l’equazione per la parte spaziale a traccia nulla, che sarà:

sij = 0 (2.32)

che è evidentemente un’equazione d’onda per lo strain gravitazionale.Usando nuovamente hµν , nel vuoto con (Ψ,Φ, ωi) nulli e sij a divergenza

nulla si può scrivere:

hTTµν =

0 0 0 000 2sij0

(2.33)

con le condizioni:

hTT0ν = 0→ puramente spaziale (equivalente a ωi = Φ = 0)

hTT = 0→ a traccia nulla (equivalente a Ψ = 0)∂µh

µνTT = 0→ trasverso

Questo è chiamato gauge trasverso a traccia nulla (TT) e le equazioni di Einsteinnel vuoto saranno semplicemente le equazioni d’onda:

hµν = 0 (2.34)

Si può notare che nel gauge TT le componenti del tensore di Riemann non nullesono:

R0j0k = −Rj00k = −R0jk0 = Rj0k0 = −1

2∂0∂0h

TTjk


Questa formula ci dice che le onde gravitazionali producono curvatura e che nonpossono quindi essere eliminate da trasformazioni di gauge.

L’insieme più semplice di soluzioni sono le onde piane (di cui si prende solola parte reale):

hTTµν = Cµνeikσx

σ

(2.35)

Cµν , che rappresenta l’ampiezza dell’onda, è un tensore (0,2) costante, simmetri-co, puramente spaziale e a traccia nulla. kσ = (ωc ,

~k) è il quadrivettore d’onda;inserendo la forma 2.35 in 2.34 si ottiene:

0 = hTTµν = ηρσ∂ρ∂σhTTµν = ηρσ∂ρ(ikσh

TTµν ) = −ηρσkρkσhTTµν = −kσkσhTTµν

Per avere una soluzione fisicamente interessante, non tutte le componenti dihµν possono essere nulle (se lo fossero, lo spaziotempo sarebbe piatto e non siavrebbe alcuna onda gravitazionale), dunque si dovrà avere necessariamente:

kσkσ = 0→ ω2

c2= |~k|2 (2.36)

Un’onda piana è soluzione delle equazioni di Einstein nel vuoto se il suo quadri-vettore d’onda kσ è di tipo luce, e ciò implica che le onde gravitazionali nel vuotosi propagano alla velocità della luce; esse inoltre hanno relazione di dispersionelineare nel vuoto, come le onde elettromagnetiche.

Essendo le equazioni d’onda 2.34 lineari, una qualunque combinazione linearedi sue soluzioni (come le onde piane) sarà ancora una soluzione.

Imponiamo adesso che hµν sia trasversa; ciò implica che:

0 = ∂µhTTµν = iCµνkµe

ikσxσ

→ kµCµν = 0 (2.37)

Il vettore d’onda è ortogonale all’ampiezza del campo, il che costituisce un’ul-teriore analogia con le onde elettromagnetiche.

2.4 Moto di particelle sottoposte a un’onda piana

Prendiamo ora un’onda che viaggia su z, cioè con kµ = (ω, 0, 0, ω) = (ω, 0, 0, ω).Le condizioni che l’ampiezza dell’onda sia puramente spaziale e trasversa, cioèche kµCµν = 0 e che C0ν = 0, implicano che:

ωC31 + ωC32 + ωC33 = 0 ∀ω → C3ν = 0

Le uniche componenti di Cµν non nulle sono C11, C12, C21, C22; ciò, unito alfatto che esso è un tensore simmetrico e a traccia nulla, implica che per un’ondapiana che si propaga sull’asse z:

Cµν =

0 0 0 00 C11 C12 00 C12 −C11 00 0 0 0

(2.38)

Per un’onda piana che viaggia sull’asse z le due componenti indipendenti C11 eC12, che rinomineremo rispettivamente h+ e h×, caratterizzano completamente

2.4. MOTO DI PARTICELLE SOTTOPOSTE A UN’ONDA PIANA 13

l’onda insieme alla frequenza ω, e rappresentano i due gradi di libertà fisici delcampo gravitazionale nel vuoto.

Analizzare una singola particella sottoposta a tale onda piana non ha moltosenso, perchè è sempre possibile trovare un sistema di coordinate in cui essa èstazionaria al primo ordine in hµν . Analizziamo dunque inizialmente un sistemadi due particelle vicine A e B, con 4-velocità descritta dal campo vettoriale Uµ(x)e con vettore di separazione Sµ. L’equazione di deviazione dalla geodetica perquesto sistema, che descrive quanto si avvicinino o si allontanino i due oggettisottoposti al campo gravitazionale oscillante dell’onda, è:

D2

dτ2Sµ = RµνρσU

νUρSσ (2.39)

Al primo ordine in hTTµν si può sostituire la derivata covariante con una derivataparziale. Se le particelle sono in moto lento, si può scrivere Uµ = (1, 0, 0, 0) piùcorrezioni di ordine hTTµν e superiore; essendo il tensore di Riemann del primoordine, tali correzioni saranno trascurabili e nelle equazioni per (ν, ρ) 6= (0, 0)RHS sarà nullo. Inoltre se il moto è lento τ = x0 = t, dunque:

∂2Sµ

∂t2= Rµ00σS

σ

Le componenti del tensore di Riemann in funzione della metrica, a partire daisimboli di Christoffel e dalla compatibilità della metrica con la connessione,saranno:

Rµ00σ =1

2(∂0∂0h

TTµσ + ∂σ∂µh

TT00 − ∂σ∂0h

TTµ0 − ∂µ∂0h

TTσ0 )

Poichè i termini non puramente spaziali di h sono nulli, hTTµ0 = 0, il che implica:

Rµ00σ =1

2∂0∂0h

TTµσ

Dunque l’equazione 2.39 per due particelle in moto lento e al primo ordine è:

∂2Sµ

∂t2=

1

2Sσ

∂2

∂t2hTT µσ (2.40)

Da qui è immediato verificare che se l’onda si propaga lungo la direzione z laseparazione lungo t e lungo z tra le due particelle non viene alterata, infatti:

hTT µσ = Cµσe−iω(t−z) =

0 0 0 00 h+ h× 00 h× −h+ 00 0 0 0

e−iω(t−z) →

∂2S0

∂t2=

1

2Sσ

∂2

∂t2hTT 0

σ = 0

∂2S3

∂t2=

1

2Sσ

∂2

∂t2hTT 3

σ = 0

Vediamo gli effetti delle due componenti indipendenti separatamente:


Figura 2.1: Gli effetti dei due modi di polarizzazione indipendenti di un’onda suun anello di particelle situato nel piano ortogonale alla direzione di propagazione.

1) h× = 0

∂2S1

∂t2=

1

2S1 ∂

2

∂t2(h+e

−iω(t−z)) = 0→ S1(t) = (1 +1

2h+e

−iω(t−z))S1(0)

∂2S2

∂t2=

1

2S2 ∂

2

∂t2(h+e

−iω(t−z)) = 0→ S2(t) = (1 +1

2h+e

−iω(t−z))S2(0

Particelle inizialmente separate nella direzione x1(x2) oscillano nella dire-zione x1(x2) se sottoposte a un’onda gravitazionale con h× = 0.

2) h+ = 0

S1(t) = S1(0) +1

2h×e

−iω(t−z)S2(0)

S2(t) = S2(0) +1

2h×e

−iω(t−z)S1(0)

Particelle inizialmente separate nella direzione x1(x2) oscillano nella dire-zione x2(x1) se sottoposte a un’onda gravitazionale con h+ = 0.

Le quantità h+ e h× sono i due modi indipendenti di polarizzazione lineare delleonde gravitazionali ; il loro effetto su particelle disposte a forma di cerchio èvisibile nella Figura 2.1. Si possono definire le polarizzazioni circolari oraria eantioraria come:

hR =1√2

(h+ + ih×)

hL =1√2

(h+ − ih×)

Sottoposte a un’onda con polarizzazione circolare, particelle disposte a formadi anello assumono una forma ellittica che pare ruotare in senso orario (hR)

2.4. MOTO DI PARTICELLE SOTTOPOSTE A UN’ONDA PIANA 15

o antiorario(hL); le particelle in realtà non ruotano ma compiono piccoli epi-cicli attorno alla loro posizione iniziale: è solo il loro moto collettivo che dàl’impressione della rotazione.

È possibile mettere in relazione gli stati di polarizzazione indipendenti delcampo con le particelle ad esso associate dopo la quantizzazione: in particolare,lo spin delle particelle è correlato alle proprietà del campo sotto rotazioni spa-ziali; se θ è l’angolo di rotazione per il quale i modi di polarizzazione rimangonoinvariati, varrà la relazione:

S =360o

θ(2.41)

Ad esempio le onde elettromagnetiche, polarizzate linearmente lungo x e y, sonoinvarianti per rotazioni di 360o e le particelle quantistiche ad esse associate, ifotoni, avranno spin S = 360

360 = 1.Le onde gravitazionali hanno polarizzazione lineare h+ e h×, che sono in-

varianti per rotazioni di 180o: le particelle quantistiche associate al campogravitazionale, i gravitoni, avranno spin S = 360

180 = 2.

Capitolo 3

Teoria completa

Nella teoria della relatività generale completa, si dovranno risolvere le equazionidi Einstein generali per trovare la metrica che descriva le onde gravitazionali. Inessa compaiono molti fenomeni che sfuggono alla teoria linearizzata, ad esempio:

• La curvatura dello spaziotempo di sottofondo, cioè quello su cui si propa-gano le onde, dovuta all’energia da esse trasportata;

• Damping gravitazionale: poichè le onde trasportano energia, la sorgenteche le emette dovrà corrispondentemente perdere energia per garantirne laconservazione; ciò rende impossibile l’esistenza di onde esattamente perio-diche, anche se la perdita energetica della sorgente può essere trascurabilein certe condizioni e le onde emesse possono dunque essere consideratepraticamente periodiche;

• Rifrazione (modificazione della forma dei fronti d’onda), redshift (cam-biamento della λ) e backscattering (l’onda "rimbalza") dovute alla pro-pagazione e all’interazione delle onde gravitazionali con la curvatura dellospaziotempo; se l’onda è un impulso di durata finita, il backscattering creadelle code che si propagheranno con velocità minore di quella della luce.

Finchè l’ampiezza dell’onda A è piccola, questi effetti sono praticamente invi-sibili localmente, e verranno percepiti solo su grandi distanze: ciò ci confermache la teoria linealizzata rimane molto accurata sotto certe condizioni.

3.1 Onda piana esattaUna soluzione esatta alle equazioni di Einstein che rappresenti un’onda gravi-tazionale, viste le complicate interazioni appena descritte, è necessariamenteun’idealizzazione.

La metrica che prenderemo in considerazione descrive un’onda gravitazionalepiana che si propaga nella direzione z con polarizzazione h+, e ha elemento dilinea:

ds2 = L2(e2βdx2 + e−2βdy2) + dz2− dt2 = L2(e2βdx2 + e−2βdy2)− dudv (3.1)

con u = t− z e v = t+ z.L e β sono funzioni unicamente di u, e sono chiamate rispettivamente fattore

di background e fattore d’onda.

17

18 CAPITOLO 3. TEORIA COMPLETA

Tensore di Ricci

Cerchiamo di ricavare da questa metrica la curvatura dello spaziotempo, sotto-forma del tensore di Ricci. A partire dall’equazione geodetica:

d2xµ

dλ2+ Γµαβ

dxα

dλ

dxβ

dλ= 0 (3.2)

è possibile ricavare direttamente i simboli di Christoffel, dai quali si possono poicalcolare il tensore di curvatura di Riemann e quello di Ricci. Ricaviamo oratale equazione dal principio variazionale, per cui la geodetica in uno spaziotempodotato di tensore metrico gµν è la curva che rende estremale l’integrale di linea:

I =1

2

∫λ

gµν xµxνdλ

Per la metrica dell’onda piana esatta 3.1 tale integrale diventa:

I =

∫ [L2

2

(e2β x2 + e−2β y2

)− uv

]dλ

Per trovare le componenti della equazione geodetica, occorre fare la variazio-ne dell’integrale rispetto alle coordinate x(λ), y(λ), u(λ) e v(λ), una per volta.Partiamo da x(λ):

δI =

∫L2e2β xδxdλ = −

∫d

dλ

(L2e2β x

)δxdλ = 0→

→ 0 =d

dλ

(L2e2β x

)→ L2e2β x+ xu

∂

∂u(L2e2β)︸︷︷︸

ddλ= ∂u

∂λ∂∂u

= 0

Per le altre coordinate si avrà:

y(λ)→ 0 =d

dλ(L2e−2β y)→ L2e−2β y + yu

∂

∂u

(L2e−2β

)= 0

u(λ)→ v +1

2x2 ∂

∂u

(L2e2β

)+

1

2y2 ∂

∂u

(L2e−2β

)= 0

v(λ)→ u = 0

Denotiamo la derivata rispetto a u = t − z attraverso l’apice ’ e riscriviamo leequazioni precedenti evidenziando il termine xµ:

µ = x→ x+ 2

(L′

L + β′

)xu = 0

µ = y → y + 2

(L′

L − β′

)yu = 0

µ = u→ v +(L2e2β

)(L′

L + β′

)x2 +

(L2e−2β

)(L′

L − β′

)y2 = 0

µ = v → u = 0

(3.3)

3.1. ONDA PIANA ESATTA 19

È possibile interpretare queste equazioni come le equazioni della geodetica 3.2,da cui ricavare direttamente i simboli di Christoffel; gli unici non nulli saranno:

Γxxu = Γxux =L′

L+ β′ (3.4)

Γyyu = Γyuy =L′

L− β′ (3.5)

Γvxx = (L2e2β)(L′

L+ β′

)(3.6)

Γvxx = (L2e−2β)(L′

L− β′

)(3.7)

Da qui si calcola il tensore di Riemann, ricordando che Rµναβ = Rαβµν =−Rµνβα = Rνµβα, attraverso la nota formula:

Rµναβ =∂Γµνβ∂xα

− ∂Γµνα∂xβ

+ ΓµραΓρνβ − ΓµρβΓρνα

Le componenti indipendenti del tensore di Riemann saranno:

Rvαβγ = −Ruαβγ = 0 (3.8)

Ruxux = −Rvxux = −(Γvxx)′ + Γvzz + Γxxu = −(L2e2β)(L′′

L+ β′′ + 2

L′

Lβ′ + β′2

)(3.9)

Ruxxy = −Rvxxy = 0 (3.10)

Ruxyu = −Rvxyu = 0 (3.11)

Ruyuy = −Rvyuy = −(Γvyy)′ + Γvyy + Γyyu = −(L2e−2β)(L′′

L− β′′ − 2

L′

Lβ′ + β′2

)(3.12)

Ruyxy = −Rvyxy = 0 (3.13)

Rxyxy =(L2e2β

)Rxyxy = 0 (3.14)

Effettuando la contrazione degli indici Rµαµβ si ottiene il tensore di Ricci; soloµ = x e µ = y danno contributo poichè nessun indice basso può essere v e nessunindice alto u: guardando le componenti del tensore di Riemann, appare evidenteche l’unica componente non nulla del tensore di Ricci sia Ruu; procediamodunque al suo calcolo esplicito, utilizzando la nota espressione:

Rij = Rkikj = ∂lΓlji − ∂jΓl li + Γl lλΓλji − Γl jλΓλli

Ponendo (i,j)=(u,u) si ottiene:

Ruu = ∂lΓluu − ∂uΓl lu + Γl lλΓλuu − Γl uλΓλlu (3.15)

Usando i simboli di Christoffel calcolati in precedenza, si può notare che:

Γαuu = 0 ∀αΓl uλΓλlu 6= 0 ⇐⇒ l, λ = x o l, λ = y

Γl lu 6= 0 ⇐⇒ l = x o l = y


Da qui si ottiene, per l’espressione 3.15, la forma:

Ruu = ∂uΓxxu − ∂uΓyyu − ΓxuxΓxxu − ΓyuyΓyyu =

= − ∂

∂u

(L′

L+ β′

)− ∂

∂u

(L′

L− β′

)−(L′

L+ β′

)2

−(L′

L− β′

)2

=

= −[LL′′ − (L′)2

L2+ β′′ +

LL′′ − (L′)2

L2− β′′ + 2

(L′)2

L2+ 2(β′)2

]=

= −[2L′′

L− 2

(L′

L

)2

+ 2

(L′

L

)2

+ 2(β′)2

]Da cui si ottiene la semplice espressione per le componenti del tensore di Ricci:

Ruu = −2

[L′′

L+ β′2

]ogni altro Rαβ = 0 (3.16)

Equazioni di Einstein

Nel vuoto lo scalare di curvatura R è nullo, e quindi il tensore di Einstein èsemplicemente Gµν = Rµν . Le Equazioni di Einstein nel vuoto sono quindi:

Gµν = Rµν = 0→ Ruu = L′′ + (β′)2L = 0 (3.17)

Esse descrivono l’effetto del fattore d’onda β sul fattore di background L.Facendone il limite per la teoria linearizzata, è facile trovare i risultati visti

in precedenza: essendo (β′)2 una quantità del secondo ordine, l’equazione 3.17diventa semplicemente L′′ = 0; essendo il background della teoria linearizzatapiatto, scegliamo come soluzione:

L = 1 β(u) << 1

Sviluppando al primo ordine l’esponenziale nell’elemento di linea 3.1 si ottiene:

ds2 = (1 + 2β)dx2 + (1− 2β)dy2 + dz2 − dt2 β = β(t− z)

che corrisponde alla metrica:

gµν =

−1 0 0 00 1 + 2β 0 00 0 1− 2β 00 0 0 1

che è esattamente quella di un’onda piana che si propaga lungo la direzione zcon polarizzazione +, se si rinomina 2β in h+.

3.2 Caso particolare: onda piana di durata finitaCerchiamo ora di risolvere l’equazione 3.17 per un caso fisico semplice; in par-ticolare prenderemo in esame un impulso di durata finita 2T che arriva in unacerta regione, vi passa attraverso e poi se ne va. Ipotizziamo inoltre che all’in-terno dell’impulso ci siano diverse lunghezze d’onda; con queste condizioni lasoluzione esatta è (vedi figura 3.1):

3.2. CASO PARTICOLARE: ONDA PIANA DI DURATA FINITA 21

Figura 3.1:

1) Per u < −T , l’onda non è ancora arrivata e lo spaziotempo (suppostovuoto) è ancora piatto:

β = 0 L = 1

2) Per −T < u < T , ci si trova all’interno dell’impulso:

β = β(u) è arbitrario con la condizione |β|′ < T−1

L(u) = 1−∫ u

−T

[∫ u

−T[β′(¯u)]2d¯u

]du+O

([β′T ]4

)3) Per u > T , l’onda è passata e si ha:

β = 0 L = 1− u

acon a ≡ 1∫ T

−T (β′)2du+

O([β′T ]2

)∫ T−T (β′)2du

Occorre notare che si ha una singolarità nei coefficienti della metrica per u =a >> T , punto in cui L = 0 e gxx = gyy = 0 , poichè l’elemento di linea èds2 = L2(e2βdx2 + e−2βdy2)− dudv.

Cerchiamo di capire se è una singolarità essenziale o è una singolarità delsistema di coordinate; le uniche componenti non nulle del tensore di Riemann,come visto nelle equazioni 3.8, sono:

Rxuxu = −(L2e2β)

[L′′

L+ β′2 + β′′ + 2

L′

Lβ′]


Ryuyu = −(L2e−2β)

[L′′

L+ β′2 − β′′ − 2

L′

Lβ′]

Queste componenti inoltre si annullano in ogni regione estesa in cui il fattored’onda β sia nullo, cioè ovunque al di fuori della regione di spaziotempo in cuiè presente l’onda1 ; in particolare, ciò implica che lo spaziotempo è piatto nellevicinanze del punto u = a, e la singolarità ivi presente sarà una singolaritàdel sistema di coordinate, eliminabile effettuando, nella regione u > T dove

l’elemento di linea è ds2 =(

1 − ua

)2

(dx2 + dy2) − dudv, la trasformazione dicoordinate:

x =X

1− Uay =

Y1− Ua

u = U v = V +X 2 + Y2

a− U

Nelle nuove coordinate X , Y, U , V l’elemento di linea è:

ds2 = dX 2 + dY2 − dUdV per U = u > T

Rappresenta evidentemente uno spaziotempo piatto.Lo spaziotempo quindi è piatto nelle regioni esterne all’onda: ciò accade

solamente perchè i fronti d’onda (superfici con u e v, cioè z e t costanti) sonocompletamente piatti, poichè se non lo fossero l’energia trasportata genererebbecurvatura anche all’infuori dell’onda.

3.2.1 Moto di particelle nella teoria completaVediamo adesso il moto di due particelle sottoposte all’onda gravitazionale pianaappena vista: prendiamone una famiglia a riposo nel sistema di coordinatex,y,z,t prima del passaggio dell’onda. La metrica all’interno dell’onda sarà taleche (∆s)2 = L2

[e2β(∆x)2+e−2β(∆y)2

]+(∆z)2−(∆t)2, dove L e β sono funzioni

unicamente di t e z, dunque si ha:

gµν =

−1 0 0 00 L2e2β 0 00 0 L2e−2β 00 0 0 1

Se le particelle sono inizialmente separate unicamente nella stessa direzione

di propagazione dell’onda, cioè ∆x = ∆y = 0 et ∆z 6= 0, si ha che:

(∆s)2 = gµν∆xµ∆xν = gzz(∆z)2 = (∆z)2

è evidente che l’onda piana non influisce sulla separazione di due particel-le giacenti nella sua direzione di propagazione, come succedeva nella teorialinearizzata.

Per particelle giacenti nel piano ortogonale alla direzione di propagazione(∆x 6= 0, ∆y 6= 0, ∆z = 0) si ha invece:

∆s = L(t−z)[e2β(t−z)(∆x)2+e−2β(t−z)(∆y)2

] 12 ∼ L

[(1+2β)(∆x)2+(1−2β)(∆y)2

] 12

1dalle formule 1), 2) e 3) si vede infatti che se β = 0 allora L = 1, cioè L′′ = L′ = β′′ =β′ = 0

3.2. CASO PARTICOLARE: ONDA PIANA DI DURATA FINITA 23

La separazione tra le due particelle oscilla mentre passa l’onda; rispetto oscilla-zione nella teoria linearizzata, rappresentata qui dal fattore d’onda β, c’è in piùuna piccola accelerazione delle particelle l’una verso l’altra, dovuta al fattore dibackground L: essa si origina per la forza gravitazionale dovuta all’energia chel’onda gravitazionale trasporta mentre passa in mezzo alle particelle. L’effettototale di tutta l’energia trasportata dall’onda di durata finita è quello di farpassare le particelle da uno stato di quiete relativa a uno stato di moto relativocon velocità finale:

vfin =d∆s

dt=d(L∆sini)

dt

La curvatura dello spaziotempo causata dall’energia trasportata da un’ondagravitazionale è analoga a quella provocata dall’energia trasportata da un’ondaelettromagnetica.

Possiamo pensare a un’onda gravitazionale piana come a delle increspature,descritte da β(u), che si propagano su uno spaziotempo di sottofondo legger-mente curvo descritto da L(u). La più grande differenza tra le due cose non stanell’ampiezza delle curvature da esse generate, ma nelle lunghezze caratteristichedi tali curvature:

• Le increspature hanno lunghezza caratteristica λ = λ2π ;

• Il background ha raggio di curvatura pari a R ∼ | LL′′ |12 ∼ 1

|β′| , dove Lviene valutato all’interno dell’onda.

Dall’ultima affermazione discende il fatto che:

R−2 ∼ componenti di RBαβγδ

∼ A

2

λ2 se le onde sono la sorgente principale della curvatura>> A2

λ2 se le onde non sono la sorgente principale della curvatura

Dunque in generale:1

R2≥ A

2

λ2→ A ≤ λ

RIl concetto di piccole increspature che si propagano su un background smette diavere senso se λ ∼ R, cioè se l’ampiezza adimensionale dell’onda A ∼ 1: deveessere necessariamente λ << R, ed è questa differenza in scala che permette didistinguere il sottofondo dalle oscillazioni dell’onda.

In un’increspatura la curvatura locale ad essa dovuta è molto più grande diquella di background, infatti varranno le relazioni:

(Rxuxu)Background ∼ −L′′

L ∼1R2

(Rxuxu)Onda ∼ −β′′ ∼ |β′|λ∼ 1

λR = Rλ

1R2 ∼

>>1︷︸︸︷Rλ

(Rxuxu)Background

In base a questi argomenti, possiamo riscrivere la metrica per lo spaziotempocome:

ds2 = (gBµν+hµν)dxµdxν =

[−1 0 0 00 L2 0 00 0 L2 00 0 0 1

+

0 0 0 00 2βL2 0 00 0 −2βL2 00 0 0 0

]dxµdxν


All’interno di un’onda è preponderante il fattore d’onda, dunque se β 6= 0 alloraL ∼ 1; in questo caso si ha hxx = −hyy = 2β e tutti gli altri hµν = 0. Si puòdunque pensare alle increspature come un campo tensoriale trasverso, a traccianulla e simmetrico che si propaga sulla geometria di background, che è curva adifferenza della teoria linearizzata.

Le onde inoltre producono curvatura secondo le equazioni di Einstein 3.17,che possiamo riscrivere in prima approssimazione come:

GBuu = −2L′′

L= 8πT effuu dove T effuu ≡

1

4π(β′)2 =

1

32πhjk,uhjk,u

3.3 Onde più generaliConsideriamo ora onde gravitazionali generiche, ma sempre nel vuoto e tali cheA << 1 e λ << R. I coefficienti della metrica saranno scrivibili come:

gµν = gBµν + hµν

Con le condizioni:

1) hµν ≤ (valore di gBµν) ∗ A

2) La scala in cui la curvatura di background varia è ≥ R, cioè varrà:

gBµν,α ≤(valore di gBµν)

R

3) La scala in cui varia la curvature delle increspature è ∼ λ, cioè varrà:

hµν,α ∼(valore di hµν)

λ

Per una metrica di questo genere, il tensore di Ricci può essere scritto come:

Rµν = RBµν︸︷︷︸?

+R(1)µν (h)︸︷︷︸Aλ2

+R(2)µν (h)︸︷︷︸A2

λ2

+ errore︸︷︷︸A3

λ2

(3.18)

Dove si ha:R(1)µν (h) ≡ 1

2(−h;µν − h α

µν;α + h ααµ;ν + h α

αν;µ )

R(2)µν (h) ≡1

2

[1

2hαβ;µh

αβ;ν + hαβ

(hαβ;µν + hµν;αβ − hαµ;νβ − hαν;µβ

)+

+ h α;βν

(hαµ;β − hβµ;α

)−(hαβ;β −

1

2h;α

)(hαµ;ν + hαν;µ − hµν;α

)](3.19)

Dove si è supposta la connessione compatibile con la metrica di background gBµν .Cerchiamo di risolvere l’equazione di Einstein nel vuoto Rµν = 0.

Prendiamo da 3.18 la parte lineare in A e poniamola uguale a zero; la cur-vatura del background da parte delle onde è un fenomeno non lineare (non ce

3.3. ONDE PIÙ GENERALI 25

n’è traccia nella teoria linearizzata), dunque RBµν non può essere lineare in A.Rimarrà dunque:

R(1)µν = 0 ordine lineare in A (3.20)

Suddividiamo i rimanenti termini di Rµν in una parte priva di increspature, chevaria su scala >> λ, e una parte che contiene la fluttuazione, mediata su moltelunghezze d’onda per la non localizzabilità dell’energia (un argomento sul qualetorneremo nel capitolo successivo). Si avrà quindi:

RBµν︸︷︷︸?

+< R(2)µν (h) >︸︷︷︸A2

λ2


λ2

= 0 parte liscia

R(1)µν (j)︸︷︷︸A2

λ2

+R(2)µν (h)︸︷︷︸A2

λ2

−< R(2)µν (h) >︸︷︷︸A2

λ2


λ2

= 0 parte oscillante(3.21)

j è in questo caso la correzione non lineare ad h, che inserita nel tensore di Riccilineare genera quantità del secondo ordine in A.

L’equazione 3.20 è un’equazione per la propagazione delle onde hµν .La parte liscia dell’equazione 3.21 mostra come l’energia-impulso trasportata

dalla onde crei la curvatura di sottofondo, e può essere scritta:

GBµν ≡ RBµν −1

2RBgBµν = 8πTGWµν

Dove si è definito:

TGWµν = − 1

8π

[< R(2)

µν (h) > −1

2gBµν < R(2)(h) >

](3.22)

La parte oscillante dell’equazione 3.21 mostra come le onde gravitazionalicreino correzioni nonlineari (rappresentate da j) a loro stesse, causate sia dallacurvatura di sottofondo sia dalla curvatura delle icnrespature; tra questi effetti èpresente lo scattering tra onde e la creazione di armoniche rispetto alla frequenzafondamentale.

Effetto della curvatura di background sulla propagazione delle onde

Studiamo l’equazione di propagazione R(1)µν = 0 nel vuoto, utilizzando però la

perturbazione a traccia opposta hµν ≡ hµν − 12hg

Bµν (si chiama così in quanto

effettuando la contrazione si ottiene h = h− 2h = −h).La principale differenzatra questa equazione e quella analoga della teoria linearizzata è che in questocaso le derivate covarianti non commutano tra loro, e dunque non si è liberi discambiarle come accadeva con le derivate parziali, ma si dovrà usare la formula(valida per un generico tensore di rango 2), con R tensore di Riemann dellospaziotempo di background:

Sµν;αβ = Sµν;βα +RµρβαSρν +RνρβαS

µρ

La forma più comoda per l’equazione di propagazione è:

h αµν;α + gBµν h

αβ;βα − 2h α

α(µ; ν) + 2RBαµβν hαβ − 2RBα(µh

αν) = 0 (3.23)


Si può definire una trasformazione di gauge allo stesso modo della gravità linea-rizzata, cioè come una variazione infinitesima delle coordinate che descrivono laperturbazione e che ne modifica la metrica in modo tale che:

hµ′ν′ = hµν − 2ξ(µ;ν)

Scegliendo il generatore ξ in maniera appropriata si può imporre anche qui ilgauge di Lorentz gravitazionale, per cui h α

µ ;α; ciò, unito al fatto che il tensorehµν è simmetrico, ci permette di eliminare il secondo e il terzo termine nell’e-quazione 3.23. Inoltre, essendo nel vuoto, l’unica sorgente per il tensore di Ricciche compare nell’ultimo termine è l’energia delle onde gravitazionali, dunqueRαβ ∼ A2

λ22 e dunque la quantità Rα(µh

αν) ∼

A3

λ2 è una quantità di ordine su-periore alle altre e può dunque essere trascurata. Dunque l’equazione per lapropagazione delle onde è, nel gauge di Lorentz:

h αµν;α + 2RBαµβν h

αβ = 0

In questa equazione sono contenuti unicamente gli effetti lineari dell’azione dellacurvatura del background sull’onda, come il redshift gravitazionale, la rotazionedel tensore di polarizzazione e la deflessione della direzione di propagazione.

2L’energia trasportata delle onde gravitazionali, che genera la curvatura, è infatti unfenomeno non lineare.

Capitolo 4

Energia delle ondegravitazionali

4.1 Energia gravitazionale

La definizione di energia nel campo gravitazionale porta in sè grandi problemi.Quello principale è che l’energia gravitazionale non è localizzabile, nono-

stante essa esista e contribuisca attivamente alla massa/energia di un sistema.Questa proprietà fondamentale può essere derivata dal principio di equivalenzaforte, che asserisce che in un campo gravitazionale qualsiasi è sempre possibi-le scegliere un sistema di riferimento nell’intorno di ogni punto dove gli effettidell’accelerazione dovuti al campo gravitazionale sono nulli. Ciò implica che èsempre possibile scegliere un sistema di coordinate in cui i simboli di Christof-fel siano nulli, il che implica l’annullamento di una qualunque forma di energiao momento gravitazionali locali in senso stretto: l’energia gravitazionale è unfenomeno che si manifesta a livello globale.

Integrali di flusso

Ci sono comunque difficoltà anche nel definire l’energia/massa di un sistemamacroscopico nella relatività generale: nella teoria classica newtoniana, si puòinfatti valutare la massa di un certo sistema a partire dall’integrale di flussoattraverso una superficie chiusa che lo circondi:

M =1

4π

∮S

Φ,j d2Sj Φ potenziale gravitazionale newtoniano

Ciò deriva dal fatto che la massa di un sistema caratterizza il campo che lacirconda; sembra ragionevole quindi cercare espressioni simili in relatività ge-nerale per la massa, il quadrimomento e il momento angolare di un sistema,poichè queste sue proprietà sono direttamente collegate al campo gravitazionaleda esso generato.

Partiamo dalle equazioni di campo, per le quali hµν ≡ gµν − ηµν :

h αµν,α − ηµν h

αβαβ, + h α

µα, ν + h ανα, µ = 16πTµν (4.1)

27

28 CAPITOLO 4. ENERGIA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI

Possiamo riscriverle utilizzando in LHS una quantità con simmetrie analoghe aquelle di T, cioè:

Hµανβ ≡ −(hµνηαβ + ηµν hαβ − hανηµβ − hµβηαν)

H ha le stesse simmetrie del tensore di Riemann, ovvero:

Hµανβ = H [µα][νβ] et Hµ[ανβ] = 0

Questo è un tensore invariante per trasformazioni di Lorentz nella teoria linea-rizzata, ma non è invariante di gauge. Le equazioni 4.1 diventano così:

2Gµν = Hµανβ,αβ = 16πTµνeff

Dove si definiscono le due quantità:

Tµνeff ≡ Tµν + tµν

16π tµν ≡ Hµανβαβ − 2Gµν

tµν rappresenta le correzioni non lineari alla curvatura dovute all’energia gravi-tazionale ed è anch’esso antisimetrico negli indici ν e β; inoltre esso è definitocome pseudotensore in quanto dipende esplicitamente dalla scelta di coordinateed è possibile annullarlo in un certo sistema di riferimento, come ci si aspet-ta sapendo che l’energia gravitazionale non è locale. Le equazioni di campodiventano:

Hµανβαβ = 16π(tµν + Tµν)

Da questa equazione e dalla definizione di H segue immediatamente la legge diconservazione (analoga alla legge di conservazione generale in uno spaziotempopiatto):

(Tµν + tµν),ν =1

16πHµαβν

,αβν = 0 (4.2)

Inoltre si avrà che:

Pµ =

∫Tµ0effd

3x =1

16π

∫Hµα0β

,αβd3x =

1

16π

∫Hµα0j

,αjd3x

Jµν =

∫(xµT ν0

eff − xνTµ0eff )d3x =

1

16π

∫(xµHνα0j

,αj + xνHµα0j,αj)d

3x

Questi integrali di volume possono essere trasformati in integrali di flusso attra-verso il teorema di Gauss, ma solo se la superficie spaziotemporale attraverso laquale si calcola il flusso è situata in una regione piatta, ponendo tale superficieall’infinito: per poter definire integrali di flusso correttamente, e attraverso essile nozioni di massa, energia, momento di un sistema, è necessario che lo spa-ziotempo sia asintoticamente piatto. Sotto questa fondamentale condizione gliintegrali di volume possono essere trasformati in integrali di flusso in una regionesufficientemente lontana dal sistema di modo che in essa non ci sia gravità:

Pµ =1

16π

∫Hµα0j

,αjd3x =

1

16π

∮S

Hµα0j,αd

2Sj (4.3)

Jµν =1

16π

∮S

(xµHνα0j,α + xνHµα0j

,α +Hµj0ν −Hνj0µ)d2Sj (4.4)

Conoscendo queste due quantità è possibile calcolare la massa totale M e ilmomento angolare intrinseco S del sistema; le quantità definite dagli integrali4.3 sono tensori unicamente nello spaziotempo piatto, poichè sono invariantiunicamente per trasformazioni di Lorentz e di gauge della relatività speciale.

4.2. TENSORE ENERGIA-IMPULSO PER LE ONDE GRAVITAZIONALI29

4.2 Tensore energia-impulso per le onde gravita-zionali

Il tensore energia-impulso per le onde elettromagnetiche è quadratico nei campielettrico E e magnetico B. Date le strette analogie tra la radiazione elettroma-gnetica e quella gravitazionale, ci aspettiamo che anche le onde gravitazionaliabbiano un tensore energia-impulso quadratico nel campo gravitazionale cherappresenta le onde hµν ; tale argomento, unito al fatto che l’energia delle ondeè un fenomeno non lineare, esclude naturalmente la teoria linearizzata.

Una definizione del tensore energia impulso gravitazionale è stata già datanell’equazione 3.22, che riscriviamo per comodità:

TGWµν = − 1

8π

[< R(2)

µν (h) > −1

2gBµν < R(2)(h) >

](4.5)

in quanto nell’equazione 3.21 tali quantità assumevano il ruolo di sorgente dellacurvatura di sottofondo nel vuoto attraversato da onde gravitazionali; i simboli<...> rappresentano la mediazione delle quantità in essi racchiuse su moltelunghezze d’onda.

Tale operazione è necessaria per superare il problema di non localizzabilitàdell’energia gravitazionale: calcolando i tensori di Ricci che compaiono nelladefinizione 3.22 in una regione abbastanza ampia, sarà impossibile trovare unsistema di riferimento localmente inerziale, in cui i simboli di Christoffel, daiquali dipendono le componenti di Rµν , siano identicamente nulli: occorre però"catturare" abbastanza curvatura nel processo di mediazione.

All’interno dei simboli <...> ci sono alcune proprietà fondamentali:

• Le derivate covarianti commutano: < hµν;αβ >=< hµν;βα >;

• I gradienti sono nulli: < (hαhµν);β >= 0;

• L’integrazione per parti è libera: < hhµν;αβ >=< −h;βhµν;α >.

A partire da queste proprietà, valutiamo il tensore energia impulso per le on-de gravitazionali, usando le definizioni 3.19 e 3.22; per semplicità di calcolo,ci poniamo in una regione in cui vale il gauge di Lorentz h α

µ ;α e in cui laperturbazione h è priva di traccia. Si ha dunque:

TGWµν =1

32π< hαβ;µh

αβ;ν + hαβhαβ;µν + h α;β

ν hαµ;β − h α;βν hβµ;α >

effettuando la contrazione al secondo membro di RHS si ricava la traccia di hche è nulla; inoltre integrando per parti il quarto membro si ottiene:

TGWµν =1

32π< hαβ;µh

αβ;ν + h α;β

ν hαµ;β − h α;βν hαµ;β >=

1

32π< hαβ;µh

αβ;ν >

(4.6)Il tensore è quadratico nel campo, proprio come volevamo. Con questo calcologli errori dominanti sono dell’ordine λ

R ; a questo livello di precisione inoltreT effµν si conserva anche in senso proprio, e non solo nello spaziotempo piatto.

30 CAPITOLO 4. ENERGIA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI

Applicazione a un’onda piana nella teoria linearizzata

Utilizziamo la formula 4.6 nella teoria linearizzata, per cui potremo sostituirealle derivate covarianti delle semplici derivate parziali. Si avrà:

TGWµν =1

32π< (∂µh

TTρσ )(∂νh

ρσTT ) > (4.7)

Come metrica useremo quella dell’onda piana nel gauge TT, ovvero:

hTTµν = Cµνsin(kλxλ)

È stata presa solamente la parte reale e si è scelto la fase di modo da avere unseno, ma non cambierebbe nulla se avessimo un coseno.

Inserendo la metrica nel’espressione per il tensore energia impulso si ha:

TGWµν =1

32πkµkνCρσC

ρσ < cos2(kλxλ) >︸︷︷︸

= 12

Se l’onda si muove nella direzione z, si ha che kλ = (−ω, 0, 0, ω) e inoltre:

Cµν =

0 0 0 00 h+ h× 00 h× −h+ 00 0 0 0

→ CρσCρσ = 2(h2

+ + h2×)

Usando, oltre a queste quantità, la relazione ν = ω2π , si ottiene:

TGWµν =π

8ν2(h2

+ + h2×)

1 0 0 −10 0 0 00 0 0 0−1 0 0 1

Il flusso di energia nella direzione z, riportato in unità non geometriche, è:

−TGW0z ∼ 10−4

(ν

Hz

)2 (h2+ + h2

×)

(10−21)2

erg

cm2 s

Dove h+ e h× sono le ampiezze delle due polarizzazioni indipendenti dell’onda.Questa, in particolare, è la quantità di energia che potrebbe in linea di principioessere depositata in ogni centimetro quadro di un rivelatore al secondo; taleenergia può essere molto grande, soprattutto per frequenze elevate1, ma bisognatenere conto che nella maggior parte dei fenomeni astronomici l’emissione dionde gravitazionali di grande ampiezza dura un tempo molto breve ed è dunquedifficilmente rilevabile.

1Sulla Terra in genere arrivano onde gravitazionali di frequenza compresa tra i 10−4 e i 104Hz.

Capitolo 5

Generazione di OndeGravitazionali

Vorremmo ora capire i meccanismi di produzione delle onde gravitazionali ecapire la potenza emessa attraverso di esse da parte di un sistema isolato.

5.1 Natura quadrupolare delle ondePer stimare in prima approssimazione la potenza irradiata, è possibile fare unparallelo con la radiazione elettromagnetica: sostituire a q2 la massa −m2 con-verte la legge elettrostatica di Coulomb nella legge di attrazione gravitazionaledi Newton, dunque si può fare la stessa sostituzione per la teoria radiativa; ciòtratta la gravità come se fosse un campo a spin 1 (cioè vettoriale) invece checome un campo a spin 2 (tensoriale), quindi introdurrà errori e sarà utile soloper fare una prima stima.

Nella teoria elettromagnetica la radiazione dominante è quella di dipoloelettrico, che produce la potenza (chiamata anche luminosità) pari a:

Ld.e. =2

3e2~a2 per particella singola con ~

ed = e~x = e~a

Ld.e. =2

3~de per sistema con momento di dipolo elettrico ~de

L’analogo gravitazionale è il momento di dipolo di massa ~dg =∑Ai=1mi~xi. Dalla

definizione è evidente che la sua variazione nel tempo è il momento del sistema:

~dg =∑i

mi~xi = ~p

Dunque la derivata seconda è ~dm = ~p = 0 poichè il momento totale in unsistema isolato si conserva; essendo la derivata seconda del momento di dipolo iltermine proporzionale alla luminosità della radiazione, è evidente che non esisteradiazione di dipolo di massa.

La radiazione elettromagnetica dominante successiva è quella associata almomento di dipolo magnetico, per la quale

Ld.m. ∝ ~µmag dove µmag è il momento di dipolo magnetico

31

32 CAPITOLO 5. GENERAZIONE DI ONDE GRAVITAZIONALI

L’analogo gravitazionale del momento di dipolo magnetico è:

~µg =∑i

((posizione di i) x (corrente dovuta a i) =∑i

~ri × (m~vi) = ~J

Anche il momento angolare ~J si conserva in un sistema isolato, per cui

Ld.m.g. ∝ ~J = 0

Non esiste radiazione di dipolo gravitazionale di alcun tipo. La radiazione suc-cessiva nello sviluppo di multipolo è quella di quadrupolo elettrico; la potenzaemessa attraverso di essa nella teoria elettromagnetica è:

Lq.e =1

20

...~Q

2

≡ 1

20

...Qjk

...Qjk

Dove Qjk è la componente jk del tensore di quadrupolo elettrico, definita come:

Qjk ≡∑A

eA(xAjxAk −1

3δjkr

2A)

La sua controparte gravitazionale ha una forma simile, cioè:

Jjk ≡∑A

mA(xAjxAk −1

3δjkr

2A)

Naturalmente, nel caso di sorgenti continue, la definizione diventa:

Jjk ≡∫ρ(xjxk −

1

3δjk|~r|2)d~r (5.1)

Al momento di quadrupolo gravitazionale non sono associate leggi di conserva-zione che ne implichino l’annullamento delle derivate, dunque per sorgenti inmoto lento si può asserire che la radiazione gravitazionale ha prevalentementenatura quadrupolare. Per questo motivo, oltre all’accoppiamento debole tra ma-teria e gravità, la radiazione gravitazionale è generalmente molto più debole diquella elettromagnetica.

Dato che sistemi caratterizzati da simmetria sferica hanno tutte le compo-nenti del tensore di momento di quadrupolo nulle (come è possibile verificareeffettuando l’integrale 5.1 in coordinate sferiche ∀j, k), si può affermare che essinon possono emettere radiazione gravitazionale.

Il fatto che la radiazione elettromagnetica sia prevalentemente dipolare e chequella gravitazionale sia prevalentemente quadrupolare è una conseguenza di unteorema generale: consideriamo un campo di radiazione classico, per il quale leparticelle quantistiche associate hanno spin S intero e massa nulla. Se se nefa lo sviluppo in momenti di multipolo (proporzionali ad armoniche sferiche),tutte le componenti con indice di momento angolare l < S sono nulle; inoltreper sorgenti in moto lento domina la radiazione corrispondente all’armonicasferica con indice l più basso, che sarà dunque quella con l = S. Per il campoelettromagnetico, nel quale i fotoni hanno spin 1, domina la radiazione dipolo(l = 1); per il campo gravitazionale, nel quale i gravitoni hanno spin 2, dominala radiazione di quadrupolo (l = 2).

5.2. RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI EINSTEIN 33

5.2 Risoluzione delle equazioni di EinsteinDato che le onde vengono prodotte da sorgenti materiali, occorre risolvere leequazioni di Einstein accoppiate alla materia, cioè:

Gµν = 8π(Tµν + tµν)

Dove T è il tensore energia impulso per materia e/o campi non gravitazionali,t è il tensore energia impulso associato alla gravità. Per semplificare, si imponeil gauge di Lorentz alla perturbazione a traccia opposta h, cioè:

∂µhµν = 0

In esso il tensore di Einstein diventa semplicemente:

Gµν = −1

2hµν

Per cui le equazioni di Einstein diventano:

hµν = −16π(Tµν + tµν) = −16πT totµν (5.2)

Questa è un’equazione d’onda in presenza di una sorgente, risolvibile attraversoil metodo della funzione di Green.

Definiamo la funzione di Green G(xσ − yσ) per il d’alambertiano come lasoluzione dell’equazione d’onda in presenza di una sorgente deltiforme:

G(xσ − yσ) = δ(4)(xσ − yσ) (5.3)

La soluzione generica dell’equazione 5.2 può dunque essere scritta:

hµν(xσ) = −16π

∫G(xσ − yσ)T totµν (yσ)d4y (5.4)

Le soluzioni di 5.3 dovranno essere soluzioni ritardate (il potenziale in un puntox dipende dallo stato della sorgente a un istante precedente) e rappresenterannodunque onde che viaggiano in avanti nel tempo:

G(xσ − yσ) = − 1

4π|~x− ~y|δ[|~x− ~y| − (x0 − y0)

]θ(x0 − y0)

Inserendo questa forma in 5.4 e integrando in y0 la delta di Dirac si ottiene:

hµν(t, ~x) = 4

∫1

|~x− ~y|T totµν (t− |~x− ~y|, ~y)d3y (5.5)

Il tempo ritardato compare nel tensore energia impulso della sorgente, cometr = t− |~x− ~y|: il campo gravitazionale nel punto (t, ~x) dipende dal contributodi tutte le sorgenti (l’integrale) nel punto dello spaziotempo (tr, ~x− ~y).

Se la sorgente è isolata, lontana e in moto non relativistico, si possono fareapprossimazioni utili. Essendo le onde fenomeni oscillatori, è utile definire latrasformata e l’antitrasformata di Fourier rispetto al tempo come:

φ(ω, ~x) =1√2π

∫dt eiωtφ(t, ~x) (5.6)

φ(t, ~x) =1√2π

∫dω e−iωtφ(ω, ~x) (5.7)


Figura 5.1:

Facendo la trasformata di h si ottiene:

˜hµν(ω, ~x) =1√2π

∫dt eiωthµν(t~x) =

4√2π

∫dtd3y eiωt

T totµν (t− |~x− ~y|, ~y)

|~x− ~y|=

=4√2π

∫dtrd

3y eiωtreiω|~x−~y|T totµν (tr, ~y)

|~x− ~y|=

= 4

∫d3y eiω|~x−~y|

T totµν (ω, ~y)

|~x− ~y|(5.8)

Dove T totµν è la trasformata di Fourier del tensore energia-impulso.Consideriamo ora la sorgente molto distante; Come si vede nella 5.1, essa può

essere considerata come centrata a distanza ~r = rispetto al punto che percepiscel’onda prodotta, con le sue parti a distanza ~δr da tale centro, con | ~δr| << |~r|: sipotrà dunque approssimare all’interno dell’integrale 5.8 ~x− ~y = ~s = ~r + ~δr = ~r

e dunque tirare fuori il termine eiω|~x−~y|

|~x−~y| ∼eiωr

r . Si avrà dunque:

˜hµν(ω, ~x) = 4eiωr

r

∫d3y T totµν (ω, y) (5.9)

Nello spazio di Fourier il gauge di Lorentz diventa:

∂µhµν = 0→ Fω[∂0h

0ν ] + Fω[∂ihiν ] = 0→ iω˜h0ν + ∂i

˜hiν = 0→ ˜h0ν =i

ω∂i

˜hiν

Basterà dunque trovare le componenti puramente spaziali del tensore energiaimpulso per ottenere automaticamente anche le altre. Valuteremo dunque lecomponenti spaziali nell’integrale 5.9; manipolando l’integrazione per parti di∫d3y yi(∂kT

kjtot) si ottiene:∫d3 yT ij(ω, ~y) =

∫∂k(yiT kjtot) d

3y −∫yi(∂kT

kjtot) d

3y

Il primo membro a RHS è nullo perchè è un integrale di superficie all’infinito peril teorema di Gauss; l’integranda del secondo membro, grazie alla conservazione

5.2. RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI EINSTEIN 35

di T, nello spazio di Fourier diventa ∂µTµνtot = 0→ −∂kT kµtot = iωT 0µ

tot. Si ha:∫d3y T ijtot(ω, ~y) = iω

∫yiT 0j

tot d3y = 1 iω

2

∫(yiT 0j

tot + yj T 0itot)

Manipolando nuovamente l’integrazione per parti del termine∫d3y yiyj(∂lT

0ltot)

si ottiene: ∫d3y T ijtot(ω, ~y) =

iω

2

∫[∂l(y

iyj T 0ltot)− yiyj(∂lT 0l

tot)]d3y

Il primo membro a RHS è nuovamente un integrale di flusso, e per il secon-do si utilizza nuovamente la conservazione del tensore energia impulso per cui−∂lT kltot = iωT k0

tot. In definitiva si ottiene:∫d3y T ijtot(ω, ~y) = −ω

2

2

∫yiyj T 00

tot d3y

Si può dunque definire il momento di quadrupolo della densità di energia dellasorgente come:

Iij(t) =

∫yiyjT 00

tot(t, ~y) d3y =

∫yiyj(T 00(t, ~y) + t00(t, ~y)) d3y (5.10)

Nell’approssimazione quasi newtoniana, la gravità non ha un ruolo preponde-rante nell’energia di un sistema, per cui t00 << T00. Si potrà quindi scrivere:

Iij(t) =

∫yiyjT 00(t, ~y) d3y (5.11)

Nei termini della sua trasformata di Fourier, l’espressione di hµν è:

˜hij(ω, ~x) = −2ω2 eiωr

rIij(ω)

Facendone l’antitrasformata, −ω2 diventa una doppia derivata temporale; inol-tre si ha il termine eiωtr = eiωre−iωt che la rende una trasformata di Fourier infunzione del tempo ritardato tr. In definitiva si ha:

hij(t, ~x) =2

r

d2Iijdt2

(tr) (5.12)

L’onda gravitazionale prodotta da una sorgente isolata non relativistica è pro-porzionale alla derivata seconda nel tempo del momento di quadrupolo delladensità di energia nel punto in cui il cono luce del passato dell’osservatore in-terseca la sorgente. Il problema di questa formula è che Iij non è una quantitàosservabile direttamente.

Conviene dunque utilizzare il momento di quadrupolo ridotto, che è la partesenza traccia del momento di quadrupolo I:

Jij = Iij −1

3δijδ

klIkl

1yiT 0jtot è simmetrico negli indici i,j


Infatti in una regione di spaziotempo abbastanza vicina alla sorgente ma incui la gravità sia quasi newtoniana, si può effettuare lo sviluppo in serie delpotenziale gravitazionale e ottenere:

φ = −Mr

+djn

j

r2+

3Jjknjnk

2r3+ . . .

Dove M è la massa gravitazionale attiva, d è il momento di dipolo (statico,poichè come già detto non può variare), e J il momento di quadrupolo ridotto:si preferisce dunque utilizzare J al posto di I poichè esso è il termine in r−3 nellosviluppo in potenze di r−1 del potenziale newtoniano.

Allontanandosi dalla sorgente, i primi due termini (statici) di questo svilup-po svaniscono, mentre la parte dinamica assume man mano la forma di ondegravitazionali uscenti dalla sorgente.

La formula 5.12 diventa quindi:

hij(t, ~x) =2

r

d2Jijdt2

(tr) (5.13)

Questa espressione è nota come formula di quadrupolo e fu derivata per laprima volta da A. Einstein nel 1916.

5.3 Potenza irradiata

Per valutare la potenza irradiata attraverso le onde gravitazionali da parte diuna sorgente, ci serviremo del tensore energia impulso 4.6. L’energia totalegravitazionale che passa attraverso una sfera all’infinito (di tempo costante)chiusa attorno alla sorgente, che equivale all’energia totale emessa, è:

∆E =

∫P dt =

∫dt

∫S2∞

TGW0µ nµr2dΩ = 2∫dt

∫S2∞

TGW0r r2dΩ (5.14)

Nel vuoto, lontano dalla sorgente, è possibile usare la teoria linearizzata eimporre il gauge TT, per cui il tensore energia impulso diventa quello dell’e-quazione 4.7. Per calcolare hTTjk a partire dalla formula 5.13 si dovrà utilizzareil momento di quadrupolo ridotto nel gauge TT. Per ottenerlo, si utilizzerà l’o-peratore di proiezione spaziale Pjk = δjk − njnk, che proietta le componenti diun tensore in una superficie ortogonale al versore ni, che sceglieremo puntarenella direzione di propagazione dell’onda, di modo che Pij proietti sulla sferaall’infinito; essendo J la parte a traccia nulla di I, non si dovrà cancellare latraccia. si avrà che:

JTTjk = PjaJabPbk

Calcoliamo la componente (0,r) del tensore energia impulso:

TGW0r =1

32π< (∂0h

TTρσ )(∂rh

ρσTT ) >

2nµ è un versore ortogonale alla superficie sferica, dato in coordinate sferiche da (0,1,0,0)

5.3. POTENZA IRRADIATA 37

valutiamo ora le due derivate di h a partire dalla formula di quadrupolo, chedipende dal tempo ritardato tr = t− r. Si avrà:

∂0hTTij =

∂

∂t

(2

r

d2JTTij (t− r)dt2r

)=

2

r

d3JTTij (tr)

dt3r

∂rhTTij =

∂

∂r

(2

r


)= − 2

r2


+2

r

dtrdr

∂

∂tr


=

= − 2

r2

d2JTTij (tr)

dt2r− 2

r

d3JTTij (tr)

dt3r

Dato che il flusso dell’onda è valutato in una superficie localizzata a r → ∞,nella seconda espressione possiamo trascurare il termine proporzionale a r−2 eottenere:

∂rhTTij = −2

r

d3JTTij (tr)

dt3r

Inserendo queste espressioni nella componente (0,r) di T si ottiene dunque:

TGW0r = − 1

8πr2

⟨(d3JTTijdt3

)

)(d3J ijTTdt3

)⟩(5.15)

Utilizzando la definizione di JTT si ottiene:

JTTij J ijTT = JijJij − 2J j

i J iknjnk +1

2J ijJklninjnknl

La potenza è quindi:

P = − 1

8π

∫S2∞

⟨d3Jijdt3

d3J ij

dt3− 2

d3J ji

dt3d3J ik

dt3njnk +

1

2

d3J ij

dt3d3Jkl

dt3ninjnknl

⟩dΩ

(5.16)I tensori di momento di quadrupolo, essendo definiti da integrali, non dipendonodalle coordinate angolari e dunque possono essere tirati fuori dagli integrali. Pas-sando a coordinate cartesiane, i versori saranno definiti come ni = xi

r , dunquevarranno le identità:∫dΩ = 4π

∫ninj dΩ =

4π

3δij

∫ninjnknl dΩ =

4π

15(δijδkl+δikδjl+δilδjk)

Usandole in 5.16 si ottiene dunque:

P = −1

5

⟨d3Jij(tr)

dt3d3J ij(tr)

dt3

⟩(5.17)

Per ottenere l’energia totale irradiata in un intervallo di tempo occorre integrarequesta espressione in t. Il segno - che vi compare è corretto, in quanto la potenzarappresenta il cambiamento dell’energia nel tempo e l’energia cala nella sorgenteche sta emettendo: tale perdita di energia è stata osservata nei sistemi di stellebinarie, le cui orbite si avvicinano quando perdono energia, e fu la prima provadell’esistenza delle onde gravitazionali.


Figura 5.2:

5.4 Valutazione dell’energia irradiata

5.4.1 Stime qualitativeIn genere le onde gravitazionali vengono prodotte dai moti interni di grandimasse, che sono dunque associati a momenti di quadrupolo di massa variabili.Una prima stima fornisce:

...J jk ∼

(massa in moto del sistema)*(dimensione sistema)2

(tempo impiegato dalle masse per attraversare il sistema)3=

=MR2

T 3=M(R/T )2

T∼ parte non sferica dell’energia cinetica

T

Dunque...J jk è direttamente proporzionale al flusso di potenza interno al sistema,

e dall’equazione 5.17 segue che:

PGW ∝...J

2jk ∼ (P 2

int)

Questa è una potenza adimensionale, che può essere convertita in unità conven-zionali (erg/s) utilizzando il fattore di conversione P0 ≡ c5

G = 3, 63 ∗ 1059 erg/se scrivendo:

PGWPint

∼ PintP0

Solo i flussi di potenza interni associati a una variazione del momento di qua-drupolo irradiano; ad esempio in una stella si ignorano i flussi associati a unapulsazione sferica o a rotazioni della matteria con simmetria assiale.

Consideriamo come primo esempio una sbarra cilindrica rotante (figura 5.2),con r = 1m, l = 20m, M = 4, 9 ∗ 108 g = 490 t che ruota con velocità angolareω = 28 rad/s. Si avrà:

Pint =K

T=

(1

2Iω2

)ω =

1

24Ml2ω3 ∼ 2 ∗ 1018erg/s ∼ 10−41P0

PGW ∼ (10−41)2P0 ∼ 10−23erg/s

Questo flusso di potenza per le onde gravitazionali è piccolissimo: per emettere1 µerg di energia la sbarra dovrebbe ruotare per ∼ 1017s, un tempo confrontabile

5.4. VALUTAZIONE DELL’ENERGIA IRRADIATA 39

Figura 5.3:

con l’età dell’universo; per tale motivo non esistono sorgenti di laboratorio perle onde gravitazionali.

Consideriamo un sistema astrofisico molto dinamico di massa M e raggioR: la sua energia cinetica sarà dell’ordine M2

R per il teorema del viriale, cioè2 < T >= −U = GM2

R2 .La scala di tempo in cui la massa si muove da una parte all’altra del sistema

è T ∼ Rv ∼

R

E12k

∼ R

(M/R)12

= (R3

M )12 , cioè all’incirca il tempo di caduta libera.

Si avrà dunque:

Pint ∼EkT∼ M2

R

(M

R3

) 12

=

(M

R

) 52

PGW ∼ (Pint)2 ∼ G3

(M

R

)5

P0 =G4

c5

(M

R

)5

La potenza emessa attraverso le onde gravitazionali varia molto rapidamentecon la frazione di massa in moto nel sistema.

5.4.2 Sistema di stelle binario

Calcoliamo la radiazione gravitazionale emessa da due stelle in orbita l’una at-torno all’altra; per semplicità consideriamo due stelle di massa M che percorronoun’orbita circolare nel piano x1 − x2 a distanza R dal centro di massa (figura5.3). Supponiamo che esse possano essere descritte usando l’approssimazionenewtoniana; le orbite circolari implicano per ogni stella l’uguaglianza tra forza


centrifuga e attrazione gravitazionale:

M2

(2R)2=Mv

R

Da qui si ricava la velocità delle due stelle, pari a:

v =

(M

4R

) 12

Il tempo necessario a percorrere una rivoluzione attorno al centro di massa èquindi:

T =2πR

v= 4π

(R3

M

) 12

Sa cui segue immediatamente la frequenza angolare Ω:

Ω =2π

T=

(M

4R3

) 12

(5.18)

Nei termini di tale frequenza si possono determinare le posizioni delle due stelle:

x1a = R cos Ωt x2

a = R sin Ωt

x1b = −R cos Ωt x2

b = −R sin Ωt

La densità di energia sarà dunque:

T 00(t, ~x) = Mδ(x3)[δ(x1 −R cos Ωt)δ(x2 −R sin ΩT )+

+ δ(x1 +R cos Ωt)δ(x2 +R sin ΩT )]

Utilizzando la formula per il momento di quadrupolo 5.11, le delta di Diracpermettono di integrare direttamente ottenendo le componenti:

I11 = 2MR2 cos2 Ωt = MR2(1 + cos 2Ωt)

I22 = 2MR2 sin2 Ωt = MR2(1− cos 2Ωt)

I12 = I21 = 2MR2 cos Ωt sin Ωt = MR2 sin 2Ωt

Ii3 = 0

(5.19)

Che si possono riscrivere come:

Iij = MR2

1 + cos 2Ωt sin 2Ωt 0sin 2Ωt 1− cos 2Ωt 0

0 0 0

(5.20)

Inserendo queste espressioni nell’equazione 5.12 si possono ottenere le compo-nenti spaziali della perturbazione della metrica generata dal sistema binario,h:

hij(t, ~x) =8M

rΩ2R2

− cos 2Ωtr − sin 2Ωtr 0− sin 2Ωtr cos 2Ωtr 0

0 0 0

(5.21)

In essa si riconosce una perturbazione oscillante che viaggia sul piano x1 −x2 in cui è collocato il sistema, analoga a quella trovata nell’espressione 2.38

5.4. VALUTAZIONE DELL’ENERGIA IRRADIATA 41

Figura 5.4: Fronti d’onda per un sistema di stelle binario

della teoria linearizzata3. In particolare la parte cosinusoidale rappresenta lapolarizzazione h×, quella sinusoidale la polarizzazione h+; è opportuno inoltrenotare che le onde emesse avranno una frequenza doppia rispetto alla frequenzaangolare del sistema Ω. Ci interessa ora calcolare la potenza emessa attraversoquesta radiazione gravitazionale; per utilizzare la formula 5.17 occorre passareal momento di quadrupolo ridotto, che è la parte priva di traccia del momentodi quadrupolo. Si avrà dunque che:

Tr(Iij) = Ii i = MR2(1 + cos 2Ωt+ 1− cos 2Ωt) = 2MR2

Jij = Iij −1

3δijTr(Iij) =

MR2

3

1 + 3 cos 2Ωt 3 sin 2Ωt 03 sin 2Ωt 1− 3 cos 2Ωt 0

0 0 −2

(5.22)

La sua derivata terza nel tempo è quindi:

d3Jijdt3

= 8MR2Ω3

sin 2Ωt − cos 2Ωt 0− cos 2Ωt − sin 2Ωt 0

0 0 0

Per la potenza irraggiata si utilizza la formula 5.17, ottenendo il risultato:

P = −64M2R4Ω6

52(cos2 2Ωt+ sin2 2Ωt) = −128M2R4Ω6

5(5.23)

Si può utilizzare, in maniera del tutto equivalente, l’espressione 5.18 per trovare:

P = −2

5

M5

R5

Che è un risultato del tutto coerente con quanto stimato nel paragrafo pre-cedente; si noti che anche in questo caso la potenza non è espressa in unitàconvenzionali, e per convertirla in unità di energia/s (ad esempio J/s) occorreràusare il fattore di conversione G4

c5 ∼ 8 ∗ 10−84 m7 kg−4 s−3.

3ciò non sorprende in quanto si è utilizzata l’approssimazione quasi newtoniana.


A questa emissione, per la conservazione dell’energia, corrisponderà un calodell’energia del sistema, che provocherà un rafforzamento del legame gravita-zionale tra le due stelle, che diminuiranno progressivamente la loro distanzacompiendo un moto a spirale.

Questo moto genera onde con fronte d’onda a forma di spirale nel pianoequatoriale del sistema stellare, come viene rappresentato nella figura 5.4.

Per stelle binarie in orbita ellittica, la radiazione emessa non sarà costantenel moto, ma avrà un picco nel periastro. Ciò implica che in quel momento laforza di frenamento agirà con massima intensità, rendendo l’orbita più circolare:l’eccentricità del sistema evolve nel tempo.

Bibliografia

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[2] Carroll S. (2003), Spacetime and Geometry: an Introduction to GeneralRelativity, Pearson.

[3] Wald R. (1984), General Relativity, University of Chicago Press.

[4] Barone V. (2004), Relatività: Principi e Applicazioni, Bollati e Borghieri.

[5] Thorne K. (1989), Gravitational Radiation: A New Window onto theUniverse, http://elmer.caltech.edu/ph237/week6/KipNewWindow5.pdf

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ONDE GRAVITAZIONALI...Dato che le onde gravitazionali esistono anche in assenza di materia, ci...

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