Convegno Origami Didattica e Dinamiche Educative - Bellaria 5-7 Aprile 2013

Oltre la riga e il compasso, piegando la carta

Emma FrigerioDipartimento di MatematicaUniversità degli Studi di Milano

Maria Luisa Sonia SpreaficoDipartimento di Scienze MatematichePolitecnico di Torino

2

2

A

B

b

a

B1

B3

B2

A3

A2

A1

r1

r2

r3

INDICE

La geometria dell’origami:

regole per costruzioni riga e compasso regole per costruzioni con l’origami esempi di nuove costruzioni (trisezione e

duplicazione del cubo).

L’algebra dell’origami:

numeri costruibili ed equazioni esempi figure costruibili.

Regole di rc-costruzioni(euclide)

RC1: si può tracciare una retta per due punti. RC2: si può trovare il punto di intersezione di

due rette (se esiste). RC3: assegnati due punti P e Q si può tracciare

la circonferenza di centro P e passante per Q. RC4: si possono trovare (se esistono) i punti di

intersezione di due circonferenze. RC5: si possono trovare (se esistono) i punti di

intersezione di una retta con una circonferenza.

Situazione iniziale: 2 punti retta e circonferenze

Nuovi punti

nuove rette ...

… E CIRCONFERENZE (QUANTE?)

Costruzioni impossibili

Trisezione di un angolo noto θ

Duplicazione del cuboDato un cubo C di lato a, trovare il lato L di un cubo C' di volume doppio rispetto a C; cioè:

L³ = 2 a³

Costruzione dell’ettagono regolare

Regole di o-costruzioni (H. Huzita – H. HATORI)

O1: si può piegare una retta per due punti P e Q. O2: si può piegare un punto P su di un punto Q ottenendo come

piega l'asse del segmento PQ. O3 : assegnati un punto P e una retta r, si può piegare la retta

per P perpendicolare ad r. O4 : assegnate due rette, r ed s, è possibile piegare r su s.

O5 : assegnati due punti, P e Q, e una retta r, si può piegare (se esiste) una retta per P che porti Q su r .

O6 : assegnati due punti, P e Q, e due rette, r ed s, si può piegare (se esiste) una retta che porti contemporaneamente P su r e Q su s.

O7 : assegnato un punto P e due rette, r ed s, è possibile piegare una retta che porti P su r e sia contemporaneamente ortogonale ad s.

Interpretazione 1assioma O5

Interpretazione 2assioma O5

due parabole con 3 tangenti comuni

2

2

AB

b

a

B1

B3

B2

A3 A2A1

r1

r2

r3

Costruzioni possibili

Trisezione di un angolo noto θ

Duplicazione del cuboDato un cubo C di lato a, trovare il lato L di un cubo C' di volume doppio rispetto a C; cioè:

L³ = 2 a³

Costruzione dell’ettagono regolare

TRISEzione dell’angoloSTEp 1

TRISEzione dell’angoloSTEp 2

Trisezione dell’angolo STEp 3

Duplicazione del cubo STEp 1

O(0,0) va sulla retta v: x=2;R(1, - 2) va sulla retta r: y= 2.

Duplicazione del cubo STEp 2

I triangoli OLH, HLK e KLR sono simili si deduce che LH = ³√2

Rc-NUMERI e o-numeri

I numeri riga-compasso (risp. i numeri origami) corrispondono all'ascissa e all'ordinata di punti costruiti con riga e compasso(risp. con le regole origami).

NUMERI COSTRUIBILI ed equazioni

C'è una corrispondenza tra:

i numeri costruibili con riga e compasso e le soluzioni di equazioni di grado 1 e 2.

i numeri costruibili con le pieghe origami e le soluzioni di equazioni polinomiali di grado 1,2, e 3.

NUMERI COSTRUIBILISiano (*) K0 < K1< … Ki < Ki+1<… Kn e [Ki+1:Ki] = di

rispettivamente una catena di estensione di campi e il grado dell’estensione. Allora:

Teorema RC (Klein, 1895): Un numero reale u è costruibile con riga e compasso a partire da K0 se e solo se esiste una catena dicampi (*) con u є Kn e con di=2.(anche Wantzel 1837, non completa e Petersen, 1863).

Teorema O (Scimemi, ~1990): Un numero reale u è costruibile con le pieghe origami a partire da K0 se e solo se esiste una catena di campi (*) con u є Kn e con di=2,3.(anche Piazzolla Beloch ~1930).

Equazione per la trisezioneSia θ=3α un angolo noto.

Trisecare l'angolo equivale a trovare un punto Q dicoordinate Q(cos(α), sin(α)). Abbiamo:

cos(3α)= cos( 2α + α) = … = 4cos³(α) - 3cos(α)

In definitiva avremo l'angolo (o il suo coseno) risolvendo l'equazione di terzo grado:

4cos³(α) - 3cos(α) = cos(3α)

(esempio di equazione di terzo grado con 3 soluzioni reali)

Equazione per le tangenticomuni alle parabole

Cerchiamo la tangente comune alle parabole: 2y=x2 e y2= - 4x.

Intersechiamo le parabole con la generica retta y=mx+q ottenendo:

x2-2mx-2q=0 e m2x2+2(mq+2)x+q2=0.

Ponendo il Δ=0 in entrambe le equazioni abbiamo:

q=-m2/2 e (mq+2)2-m2q2 =0.

Sostituendo q nella seconda equazione e semplificando abbiamo m3=2.

(esempio di equazione di terzo grado con 1 soluzione)

Legame tra equazioni di grado 3 e parabole di o6

Teorema (Geretschläger,1995) Le soluzioni dell’equazione

x3+ax2+bx+c=0

sono i coefficienti angolari delle tangenti comuni alle dueparabole π1 e π2,

di fuochi F1=( (c-a)/2, b/2) e F2=(0,1/2)e direttrici l1 : x= - (c+a)/2 e l2 : y= - 1/2,rispettivamente.

Figure costruibili

Teorema RC (Gauss, 1799) Si possono costruire con riga ecompasso i poligoni regolari di n lati con n=2kp1…ps dove inumeri pj sono primi distinti della forma pj =2r(i)+1.

(Per esempio n= 3, 5, 17).

Teorema O (Scimemi, ~1990) Si possono costruire conpieghe origami i poligoni regolari di n lati con n=2k3hp1…ps

dove i numeri pj sono primi distinti della forma pj=2r(i)3s(i)+1.

(Anche n = 7).

L’algebra delL’ettagono

Vertici dell’ettagono: punti della circonferenza soluzioni complesse dell’equazione z7-1=0 Dividendo per z-1 si ottiene:(z6+ z5 +z4 +z3 +z2 +z+1)=0.

Se z è soluzione, anche il coniugato z*=1/z lo è.Dividendo per z3 il secondo fattore abbiamo:

z3+z2+z+1+z*+z*2+z*3=0E, definendo t = z+z*=2 Re(z), con alcuni conti si ottiene: t3 + t2 – 2t – 1 = 0.Determinando t (con le tangenti comuni a due parabole,comedice l’assioma 06), si risale alla corrispondente coppia z , z* intersecando la circonferenza unitaria con la retta x=Re(z).

la geometria delL’ettagono scimemi

AB

b

a

B1

B3

B2

A3 A2A1

r1

r2

r3