IL PROBLEMA DELL’AREA

Nella matematica greca calcolare l’area di una figura (ovvero quadrarla) significa costruire con riga e compasso un quadrato equivalente alla figura data.

IL PROBLEMA DELL’AREA

Per le figure rettilinee è in genere semplice: ad esempio, grazie al secondo teorema di Euclide si riduce facilmente un rettangolo a un quadrato equivalente

QUADRATURA DEL CERCHIO

In molti casi l’equivalenza è risolta con l’equiscomponibilità: è il caso per esempio del parallelogramma e del triangolo.

Una figura può essere scomposta in un numero finito di parti: non era ammessa la divisione in infinite parti

QUADRATURA DEL CERCHIO

Tutto ciò funziona bene per figure rettilinee, mentre per figure curvilinee le cose cambiano: il più famoso problema della matematica greca è quello della quadratura del cerchio

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QUADRATURA DEL CERCHIO

I matematici greci dimostrarono rigorosamente che l’area del cerchio è proporzionale al quadrato del raggio

A

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2

'' R

R

A

A

METODO DI ESAUSTIONE

La dimostrazione data da Eudosso e Archimede si basa sul “metodo di esaustione”. Nel cerchio vengono inscritti dei poligoni con numero di lati arbitrari e per mezzo di essi si dimostra per assurdo che il rapporto delle aree non può essere né maggiore né minore di quello dei quadrati dei raggi

POSTULATO DI EUDOSSO-ARCHIMEDE

Il metodo di esaustione è basato sul seguente postulato, detto oggi di Eudosso-Archimede:

Questa assunzione, tra l’altro, esclude che possano esistere grandezze “infinitamente piccole”: qualsiasi grandezza, moltiplicata per un opportuno fattore, può essere resa grande a piacere

DATE DUE GRANDEZZE NON NULLE ESISTE SEMPRE UN MULTIPLO DELLA MINORE CHE SUPERA LA MAGGIORE

PI GRECO

E’ da notare che col metodo di esaustione non viene calcolato il rapporto tra l’area del cerchio e il quadrato, ovvero il famoso : si dimostra solo che questo rapporto deve esistere

2R

A

PI GRECO

Il valore di può essere calcolato solo approssimativamente sostituendo al cerchio un poligono con un numero molto grande di lati: è così che si trova

14,3

IL METODO

Il metodo di esaustione ha un altro punto debole: essendo basato su dimostrazioni per assurdo il risultato deve essere già noto, ovvero non è un metodo per scoprire le cose ma solo per dimostrare cose già presupposte

I MODERNI

I matematici moderni affrontarono con metodi nuovi i problemi di equivalenza delle figure curvilinee, portando alla nascita del calcolo integrale.

UN SEMPLICE TEOREMA

Questo teorema fu dimostrato da Archimede col metodo di esaustione.

Vedremo come fu invece dimostrato da due grandi matematici del ‘600, Keplero e Torricelli, e come l’area del semicerchio viene invece ottenuta nel moderno calcolo integrale

UN SEMICERCHIO E’ EQUIVALENTE AL TRIANGOLO CHE HA LA BASE UGUALE AL SEMIPERIMETRO E L’ALTEZZA UGUALE AL RAGGIO DEL CERCHIO DATO

DIMOSTRAZIONE: KEPLERO

Keplero suddivide il semicerchio C in tanti piccoli settori circolari, tanto piccoli da poter immaginati come triangoli aventi come basi un piccolo arco di circonferenza e come altezza il raggio

DIMOSTRAZIONE: KEPLERO

I triangoli vengono poi ricollocati in modo da formare un unico triangolo avente come altezza r e come base B la somma delle basi di tutti i triangolini, ovvero C (non importa che i triangolini siano deformati, se mantengono la stessa base e la stessa altezza la loro area non cambia)

DIMOSTRAZIONE: KEPLERO

Il punto debole della dimostrazione è che i settori circolari non sono veramente dei triangoli e quindi l’equivalenza non è mai esatta, a meno che ogni triangolo non sia immaginato “infinitamente piccolo”

DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI

Torricelli usò in modo innovativo il concetto di “indivisibile” introdotto da Cavalieri, ovvero che una figura possa essere ridotta a elementi fondamentali, gli indivisibili appunto, e che l’equivalenza di due figure possa essere dimostrata dal confronto di tali elementi

DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI

Il triangolo avente base B=C è collocato come in figura: si considera poi un qualunque segmento B’ parallelo a B (un indivisibile del triangolo) e la corrispondente semicirconferenza C’ (un indivisibile del semicerchio)

DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI

E’ facile dimostrare che sia B’ che C’ sono proporzionali al raggio r’, e quindi sono proporzionali tra loro: ma poiché B=C, allora B’=C’. Siccome questo vale per tutte le coppie di indivisibili di cui sono formati il triangolo e il semicerchio, questi sono equivalenti

DIMOSTRAZIONE: TORRICELLI

La dimostrazione di Torricelli è apparentemente più rigorosa di quella di Keplero, ma di fatto, per evitare che questo procedimento porti a risultati assurdi, è necessario attribuire agli indivisibili uno “spessore infinitesimo”

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L’INTEGRALENella moderna definizione di integrale, prima di tutto, la semicirconferenza, o in generale la curva, viene considerata come il grafico di una funzione: nel nostro caso tale funzione non è altro che l’equazione della circonferenza con centro nell’origine in forma esplicita

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L’INTEGRALE

Si comincia con l’inscrivere nella curva una serie di n rettangoli e con il calcolarne l’area totale, diciamo A(n)

La stessa cosa viene poi fatta con n rettangoli circoscritti: sia B(n) l’area totale

L’INTEGRALE

Naturalmente l’area del semicerchio, S, è compresa tra le due aree così calcolate:

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L’INTEGRALE

A questo punto la matematica moderna non ha più nessun imbarazzo a far diventare n infinito, e quindi a trasformare l’approssimazione in un calcolo esatto, grazie alla nozione di limite introdotta nella prima metà dell’800 da Cauchy

L’INTEGRALE

Rigorosamente si dimostra che le due aree A(n) e B(n), al tendere di n all’infinito, tendono allo stesso valore limite, che è poi l’area del semicerchio S. Ovvero in notazioni moderne

)()( nBLimnALimSnn

L’INTEGRALE

Il valore di questo limite viene chiamato “integrale definito della funzione sull’intervallo dato”

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r

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L’INTEGRALE

A questo punto il calcolo dell’area è ridotto al calcolo dell’integrale: ciò può essere fatto grazie a un teorema dimostrato per la prima volta da proprio da Torricelli e da Isaac Barrow che lega tra loro aree e tangenti.

Tutto ciò sarà oggetto dello studio del quinto anno di liceo