Costruzione, con riga e compasso, e calcoli analitici dell'orologio solare orizzontale,verticale e declinante su parete verticale

Orologio Orizzontale e Verticale meridionale

La costruzione del quadrante deriva dalla figura attraverso due operazioni di ribaltamento:

1. Il ribatamento del triangolo stilare attorno al lato sottostilare2. Il ribaltamento del piano equatoriale attorno alla sua intersezione con il piano del quadrante,

cioè la linea equinoziale

Due rette perpendicolari individuano l'orizzontale e la verticale rispettivamente. Sulla verticale sicostruisce il triangolo rettangolo stilare, avente un angolo acuto uguale alla latitudine f e l'ipotenusauguale allo stilo polare, che è inclinato sul piano orizzontale di un angolo uguale alla latitudine,dovendo puntare sul Polo Nord Celeste. Con riferimento anche alla figura seguente, AE= L lo stilo polare, EH= Ln = Lsen(f) lo stilo normale, AH = Lcos(f), la sottostilare edAD=L/cos(f).

HD=AD-AH=L/cos(f) – Lcos(f) = (L-Lcos2(f))/cos(f) = (L/cos(f))(1-cos2(f)) = Lsen2(f)/cos(f)

HD=Lsen(f)tan(f)

Ed ancora, essendo HA l'angolo orario e g l'angolo tra una linea oraria e la verticale, cioè la linea di mezzogiorno

DO = DE = Ltan(f) BD = Ltan(f)tan(HA) BD = (L/cos(f))tan(g)

Uguagliando ed eliminando BD si ricava g in funzione di HA

g=atan[sen(f)tan(HA)]

Sostituendo f con il suo complemento 90-f, si ottiene l'orologio solare verticale meridionale

g=atan[cos(f)tan(HA)]

In entrambi i casi le linee orarie sono perfettamente simmetriche rispetto alla linea del mezzogiorno,dal momento che tan/HA = -tan(HA)

Orologio Verticale Declinante

La costruzione deriva anche in questo caso da operazioni di ribaltamento e rotazione. In particolarevengono sviluppati i seguenti triangoli sul piano del quadrante:

1. Il triangolo X3F1B1 giace su un piano parallelo a quello orizzontale della tavoletta, essendoX1X3 parallela allo spigolo e quindi orizzonatle. Il triangolo va ribaltato attorno al latoX3F1 sul piano del quadrante. I due triangoli X3F1B1 e DCB3 sono simili e quindi l'angoloX3B1F è uguale alla declinazione d del muro.

2. Il triangolo AGB1 rettangolo in B1 giace nel piano del meridiano. L'altezza B1X3 lo dividein due triangoli rettangoli simili aventi angoli acuti pari a f e 90-f. Nella costruzione i duetriangoli vengono ribaltati separatamente attorno alla verticale AG.

3. Il triangolo B1FG è rettangolo in F e giace sul piano equatoriale. Viene ribaltato attorno allato FG che giace sull'intersezione del piano equatoriale con il piano del quadrante

4. Il triangolo FB1A, rettangolo in B1 e giacente sul piano normale a quello del quadrante,viene ribaltato attorno al lato AF, cioè attorno alla retta che contiene la sottostilare.

Da qui la costruzione:

1. Su una linea orizzontale XX1, si prende un punto X2 e si traccia la perpendicolare ad XX1passante per esso. Su di essa si prende un segmento uguale a Ln e si individua il punto T. Sicostruisce quindi il triangolo rettangolo X2TX3 in modo che l'angolo X2TX1 sia uguale alladeclinazione d. Il punto X3 cade a sinistra di X2 se d è negativa e a destra se positiva, cioèse il quadrante declina a est o a Ovest rispettivamente. La figura rappresenta la costruzioneper un quadrante declinante ad Est, mentre la figura precedente si riferisce alla situazioneopposta, declinante ad Ovest.

2. Tracciare la perpendicolare alla X1 in X3 e riportare il segmento X2X3 sulla XX1 in mododa individuare il punto B4.

3. Costruire il triangolo rettangolo X3B4A dove l'angolo X3B4A=f. In questo modo vieneindividuato il punto A.

4. Da B4 tracciare la la perpendicolare alla AB4 che incontra la verticale da A nel punto G. 5. Da A tracciare la retta AX2 e da G la sua perpendicolare che la incontra in F, in modo quindi

che l'angolo X2FG sia retto. La retta G2G1 è l'equinoziale, la AX2 la sottostilare.6. Con centro in G e apertura di compasso GB4 sia B2 il punto d'incontro del cerchio con la

sottostilare. 7. Da X2 tracciare la perpendicolare alla sottostilare e riportare su di essa il segmento

B1X2=TX2. Una buona verifica dell'accuratezza del disegno sta nell'uguaglianza B1F=B2F8. Con centro in B2 e raggio B2F tracciare il cerchio equatoriale e a partire dal raggio B2G,

dividerlo in settori aventi angoli al centro di 15o o7.5o a seconda che si voglia tracciare lelinee orarie, quelle delle mezz'ore, quelle del quarto d'ora ecc.

9. Prolungare i raggi dei settori fino ad incontrare l'equinoziale GG1. Congiungere i puntid'incontro con il piede dello stilo polare A. Sono queste le linee orarie dell'orologio solaremeridionale declinante.

Le dimensioni del disegno dipendono dal valore di ϕ, latitudine, di d, declinazione del muro e dallalunghezza dello stilo polare Lp. Possiamo usare lo stilo polare Lp o quello normale Ln, dalmomento che sono legati dalla relazione

Ln=Lp cos(ϕ) cos(d)

La costruzione richiede lo stilo normale e da questo noi partiremo.

Vediamo ora la soluzione analitica

AX3 = AB4sen(f) X3B4 = AB4cos(f) X2X3 = X3B4sen(d) X2X3 = AX3tan(a)

Da queste relazioni si ottiene:

AB4cos(f)sen(d) = AB4sen(f)tan(a)

tan(a) = cotan(f)sen(d)

B1X2 = AB1sen(b)TX2=B1X2 = X3B4cos(d) = AB4cos(f)cos(d)AB1sen(b) = AB4cos(f)cos(d) ed essendo AB1 = AB4

sen(b) = cos(f)cos(d)

Definiamo H l'angolo orario del quadrante, cioè l'angolo orario per il quale l'ombra dello stilo cadesulla sottostilare. Dovrebbe dipendere solo e soltanto dall'orientamento del muro rispetto al Sole equindi da f e d.

B1F = AFsen(b) AF = B1F/sen(b) AF = B1F/sen(b) = B1F/cos(d)cos(f)

FG = Aftan(a) = (B1F/cos(d)cos(f))sen(d)cotan(f) = (B1F/cos(f))[sen(d)cos(f))/(cos(d)sen(f))]

FG = B2Ftan(d) e FG = B2Ftan(H) essendo B1F = B2F si ottiene

tan(H) = tan(d)/sen(f)

Definiamo ora x l'angolo tra la sottostilare e una qualsiasi linea oraria, vogliamo calcolare una

relazione tra x e HA.

Con riferimanto alla figura consideriamo la linea delle 13 ed i triangoli FAG1 e B2FG1

FG1 = FB2tan(HA-H) FB1 = FB2 = AFsen(b) AF = FB2/sen(b) = FB2/[(cos(d)cos(f)]

FG1 = AFtan(x) = FB2tan(x )/[cos(d)cos(f)]

FG1 = FB2tan(H-HA) = FB2tan(x )/[cos(d)cos(f)]

tan(x ) = cos(f)cos(d)tan(H-HA)

La formula fornisce analiticamente i limiti dell'orologio in angolo orario: |HA-H| = 90o . Per valoridi |HA-H| > 90o, la formula descrive le linee orarie sull'altra faccia del quadrante.

Definiamo ora g l'angolo tra una qualunque linea oraria e la linea verticale del quadrante. Dallafigura risulta x = a – g e quindi

tan(a - g) = cos(f)cos(d)tan(H-HA)

Sviluppando questa relazione e semplificando si ottiene:

tan(g) = cos(f)/[cos(d)cotan(HA) + sen(d)sen(f)]

Curve di declinazione

Resta ora da costruire e calcolare le curve di declinazione. Per farlo osserviamo prima di tutto chead ogni linea oraria (si vede bene nella figura tridimensionale) corrisponde un triangolo rettangolo icui cateti sono lo stilo polare e la linea oraria sul disco equatoriale e la cui ipotenusa è data dalladistanza del piede dello stilo dal punto d'incontro della linea oraria equatoriale con l'equinoziale.Tutti i triangoli hanno lo stesso cateto, lo stilo polare. Se ribaltiamo sul piano del quadranteciascuno di questi triangoli con una rotazione (verso destra o verso sinistra indifferentemente)attorno alla rispettiva linea oraria, otteniamo il generico triangolo rettangolo AbnEn, dove A per tuttiil piede comune dello stilo, En l'ennesimo punto d'incontro della linea oraria n con l'equinoziale eBn giace sulla circonferenza di centro A e raggio AB. Il lato EnBn di ciascun triangolo è tangente inBn a questa circonferenza. Se da Bn tracciamo una rette che forma con ABn un angolo pari alladeclinazione di un determinato giorno, esse incontra la linea oraria corrsipondente nei puntid'incontro con la corrispondentecurva giornaliera.

Costruzione geometrica

Una volta disegnate le varie linee orarie sul quadrante, si traccia la circonferenza di centro A eraggio AB. Individuati i punti d'incontro di ciascuna linea oraria con l'equinoziale, En, si costruisceil triangolo EnBnA tangente alla circonferenza e quindi rettangolo in Bn. A partire dal vertice Bn sicostruiscono gli angoli InBnEn e SnBnEn uguali in valore assoluto alla declinazione d di undeterminato giorno. I punti In e Sn appartengono alla linea oraria n e alla curva di declinazione d.Unendo i vari punti In e Sn si ottengono le corrispondenti curve di declinazione. Tutte le porzioni di linea oraria, di equinoziale e di curva di declinazione superiori, sul quadrante,alla linea orizzontale, possono essere eliminate in quanto il Sole non genera ombre quando si trovasotto l'orizzonte!

Soluzione analitica. Per le linee orarie, l'aver trovato la relazione tra l'angolo g formato da una linea oraria con la lineaverticale, equivale ad avere l'equazione delle rette sulle quali giacciono le linee orarie, riferite ad unsistema di assi cartesiane con l'origine nel piede dello stilo polare, l'asse delle ordinate coincidentecon la verticale e l'asse delle ascisse parallela all'orizzontale.Per le curve di declinazione, possiamo fare la stessa cosa, ma in coordinate cartesiane rettangolari siottengono equazioni voluminose e risulta pertanto più agevole, utilizzarando ancora la geometriaproiettiva, calcolare la distanza dal piede dello stilo polare A di ciascun punto d'incontro tra unacurva di declinazione e una linea oraria. In questo modo il generico punto d'intersezione P viene adessere determinato in coordinate polari dall'anomalia g e la distanza r da A.Con riferimento alla figura precedente e prendendo il punto E3 come generico punto d'incontrosull'equinoziale:

AF = AB/cos(b)

FE3 = AFtan(x) = ABtan(x)/cos(b)

AE3 = AF/cos(x) = AB/[cos(b)cos(x)] = AB/cos(q)

essendo cos(q) = cos(b)cos(x) e x = a-g

cos(q) = cos(b)-cos(a-g)

AE3 = AB/cos(q)

Consideriamo ora i triangoli AB3S3 e AB3I3 con d il valore della declinazione solare in undeterminato giorno dell'anno. Applicando in essi il teorema dei seni abbiamo:

AS3:sen(90-d)=AB:sen[90-(q-d)]

AI3:sen(90+d)=AB:sen[90-(q+d)]

AS3 = ABcos(d)/sen(q-d)

AI3 = ABcos(d)/cos(q+d)