NumericomplessiiltrartiI NUMERI REALI li possiamo RAPPRESENTARE

geometricamente come i Punti di RNA RETTAEssendo COPPIE DI NUMERI REALI possiamoRAPPRESENTARE i NUMERIcomplessi come puntiNEL PIANO CARTE SIANOil NUMERO a t bi 2Con a b e IR corrisponderà 7Al Punto e b 1

MOLTE OPERA zio TRAI NUMERI COMPLESSIHANNO UNA CHIARARAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

2 sti S si

SOMMA E TRASLAZIONI

LA SOMMA HA UNA 2 tvINTERPRETAZIONE GEOMETRICASEMPLICE il

i

SE Z e ALLORAIL QUADRILATERO di vertici

Z0 Z 2 tv ht

UN PARALLELO GRANMAL

POSSIAMO UTILIZZARE la somma Z 6 t 3 iI NUMERI COMPLESSI ANCHE 2 t 5 iPER DE SCRIVE RI LE TRASLAZIONIDEL PIANO

FISSIAMO UN NUMERO COMPLESSO TowNE nz.twCONSIDERI AMA LA SEGUENTE 2 tvTRASFORMAZIONE DEL PIANO 2

7

Tw E z

z Ztl zza

CIOÈ LA TRASFORMAZIONE CHE PRE UD EUN NUMERO COMPLESSO Z E LO MANDAIN Z tv QUESTA È UNA TRASLAZIONE EOGNI TRASLAZIONE può ESSERE DESCRITTAIN QUESTO MODO

CON1UGIOzCowsIdERiArOADEss.i li

L'OPERAZIONE DIi i

CONIUGI 0 I gali

z Z

a b e b e

ANCHE questa HA UNACHIARA INTERPRETAZIONE GEOMETRICA E CORRISPONDEALLA SIMMETRIA RISPETTO ALL'ASSE DELLE R

COORDINATE POLARI MODULO E ARGOMENTO

Sia 2 at bi E Cl con a b e IRquesto CORRISPONDE AL PUNTO DEL PIANO a bE SIANO R E LE COORDINATE POLARIDEL PUNTO a b quindiR di torna da e b dico o z

TI R

TOO è l'angolo che il 7SEGMENTO o o e bFORMA CON IL SEN ASSEDELLE 27 0 MISURATO IN SENSOANTIORARIO COME IN FIGURA

QUANDO SI PARLA DI UN NUMERO COMPLESSO Z

R SI CHIAMA IL MODULO di Z

E SI INDICA con Z

29 SI CHIAMA L'ARGOMENTO di Z

E SI INDICA CON Cry Z È un ANGOLO

RICORDO CHE SE Z CORRI s po DE ALPUNTO e b ABBI A RO LE SEGUENTIRELAZIONI TRA COORDINATE CARTESIANEE COORDINATE POLARI

a R cosa b Rain E

QUINDI

2 R cos O Rain O i

R co O ti sia 0come E DRE no questo modo di SCRIVERE Inumeri COMPLESSI È molto utile in variesituazioni

È vero anche il viceversa ovvero SE

2 R un 0 e sin 0

con R il c Mi E R 70 ALLORA R 2 E D org zinfatti

121 Raccare t R giuro

riti Tra r

e se pongo a org Z abbiano

R core R cos aµ 4

con il a

R sino Raina rin D sin 2

DA cui 2 COME ANGOLO

interpretazione GEOMETRICA del prodotto

PROPOSIZIONESIANOZ E ALLORA

z.ro zl w

org Z v org z t org ci

2

Sia R I 2 I R lo

O org z la orgMin

QUINDIw

2 R cos 0 ti sin 0 riM2 Ri z

R urlati sin da ft YFacciano il PRODOTTO

z.ro R cos 0 ti sia 0 R cos 0 l'aula

R Ra cos 0 cos da l con 0 sin

tisia 0 con t il sin 0 sei e

R R cosa co 0 sina.si ti corre un

un 0 cos

R R cos re tre ti sia l re 02

da cui Z R R I z Iv

org z v 0 0 org Z t org

q u E STO MODO DI d E scrive R E IL PRODOTTOÈ UTILE IN MOLTI CASI E di A MO q a CHEE SE nn io

Esercizio Sia Z NÉ t l

CALCOLA R E Z 5

Calcoli saro 71 E cerca z

ABBIAMO Z

INOLTRE SE 29 org Z Abbiano

1 con il E2

i uno Eovvero 29 I

6

QUINDI PER la proposizione È 25 15 1

5 ITE org 2 5 5 org z

6

5Tquindi 25 1 cos

gti sia FI

VI il2 2

Esercizio Riso ER E L'equazione 2 3 I

Sia R I ZI E 0 org Z E

INOLTRE posso ASSUMERE E 0 2T

PER LA PRO DO SI 21 O E APPENA Dimostrata

ZI m3

org Z 30

L'equazione Z E Equivalente

2 l I M

org z or i 30 0 come angolo

POICHE R c IR DALLA PRIMA E A ZONE

RI CA VI AMO R L

DALLA SECONDA EQUAZIONE RI CH NI ta no INVECE

30 2h it con le c 22 hitOvvero 293

INOLTRE DA 29 e 0 2T Ricavo

2ITL0 E C 2M

3

OVVERO Of Le C 3 quindi ABBIA 3 POSSIBILITÀ

o 29 O Z coso e sino 1

I D I z Ces 7 ti sia c B2 23

4 2 D SI z as It ti sia I c'E2

ESPONENZIALE complesso

D E Finiamo Adesso cosa vuol dire CZ quando2 È un Numero complesso A noi interesseràsoprattutto il caso in cui Z yi con y c IR

LA definizione che daremo sembrerà ARBITRARIA ein effetti noi lo utilizzeremo solo come Formalismo

conveniente PER USARE LE COORDINATE POLARI ci sono dei

motivi più sostanziali PER DEFINIRE L'ESPONENZIALEcomplesso in questo Modo CHE vedrete più avanti

NEL corso analisi

Definizione sia 2 c'y con y e 112Allora definisco

CZ co y ii sin

aquesto È l'usuale Esponenziale a un numeroREALE in particola cane se otteniamo C'Eil se con o Fattore è uguale a 1 E ce casi

il nuovo esponenziale complesso e ugualeAll sua e esponenziale di un numero REALE

Esempiottiti IC e co it ti sin it e

PROPOSIZIONE

1 e 1 e e

2 Se z i y con y e IR

ei

cos X l Sc n

3 SE Z E E ALLORA

Z V Ze e e

II i E 2 sono ovvie

3 È un conto del tutto simile a

quello della DIMOSTRAZIONE DELLA proposizionein cui si è descritto il PRODOTTO E lolasciano per esercizio

L'osservazione che utili 22 E RE no spesso È cueDIRE CHE 121 R E org Z O è equivalenteA DIRE

2 R girlcon R e IR E RJ 0 PER noi c'E spowen a LEconnesso sarà soprattutto questo un modo

conveniente di scrivere LE coordinate POLARI

ESEMPIO

RISOLVERE L'Equazione Z è L 6

Sia Re 171 e 0 org z con il c o 25

quindi Z R e ll

105 SERVIAMO CLIE È R R Z

i taE cerca è org zi d a1 i RQUINDI È R e Z

que è un fa generale e e pyongyang

L e qu AZIONE INIZI A E di E WTA quindi

Rein Re io 16

R e3in io

OVVERO 16

ovvero R elite 16

quali R 16 e 20 0 comeANGOLO

DA R 16 otteniamo R 2 PER crei

R c IR e RIO

Da O COME A N GO lo TTF ai A no

O o it

QUINDI ABBIAMO DUE soluzioni

ao 2 2alt Z 2

RADICI n Esine DELL'UNITÀ

O GLI AMO STUDIARE l'Equazione 2 1

PONIAMO I 2 I R org Z 0 con 29 E 0 È

quindi z Reid E Z R ell

L E qu a zoo NE Z È quindi Equivalente

Apietà

nel org za o come angolo

Poiche R c IR E R 70 DALLA PRIMA

E GUALCO NE RICAVIAMO R DALLA

SECONDA

nel 2 kit con LE 2

2Tovvero te

n

DALLA COW DI ZIONE Of C 2 it RI CAVIAMO

INOLTRE Of he n quindi Esistono

SOLUZIONI DELL EQUAZIONE 2 1

i o4 0 0 0 Z e

ZaynI D 2 In Z e

sei In2 D SEI n 2 e

2 n c in i 0 Sit n 1 In zu e

GEOMETRICAMENTE questi SONO i E RTI cc

DEL POLIGONO RE GOLA RE CON h A TI

ISCRITTO NELLA CIRCONFERENZA UNITARIA

COME I N FIGURA Zzzo8

z

µ 12zos

2g ne 52 s

SIMILMENTE SI PUÒ RISOLVERE L'EQUAZIONE

Z lo Do E È UN NUMERO COMPLESSO

QUALSIASIi 2Sia w A e con A IVI d org v

Sia R FA E sia 29 E siain

2 o Reidl 2

Allora Zo R e0

A e

Zo È UNA SOLUZIONE DELL EQUAZIONE2 ht

CERCHIAMO ORA LE ALTRE soluzioni

PONIAMO Z zo le a ORA

z zo u conn

quindi z SE E solo se le

QUINDI LE SOLUZIONI DI Z sono

TUTTE LE 2 DELLA FORMA

2 Fa eft II

CON 4 0 2 n I