FUNZIONI RAZIONALI

Si chiama funzione razionale una funzione esprimibilecome rapporto tra due polinomif(x)=[an xn +an-1 xn-1 +…+a0 ]/[bm xm +bm-1 xm-1 +…+b0 ]m,n ∈N an , an-1, …, a0 , bm, bm-1, …, b0 ∈R , an , bm≠0Il numero max(n,m) è detto grado della funzionerazionale

Esempi: f(x) = ( 3x3- x2 +2)/(x4 -2x2 -1); f(x) = 2/x ; f(x)= (x3 -1) /(x+1)

FUNZIONI RAZIONALI

f(x) = k /x = kx-1 , a≠0Rappresenta la relazione di proporzionalità inversaun punto (x,y) appartiene al grafico di f se e solo se xy=k iperbole equilateraDominio: R/{0}Per k>0 ed x>0, quando x diventa “molto piccolo”, 1/xdiventa “molto grande”

∀M>0 ∃ δ>0 : 0 < x < δ ⇒ f(x) > M

limx→0+ k/x = +∞ limite destro

FUNZIONI RAZIONALI

Per k>0 ed x<0, quando x diventa “molto piccolo” invalore assoluto, 1/x diventa “molto grande” in valoreassoluto, rimanendo negativo

∀M> 0 ∃ δ>0 : − δ < x < 0 ⇒ f(x) < − M

limx→0- k/x = −∞ limite sinistro

Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempredi più all’asse delle ordinate. Si dice che l’asse delleordinate è asintoto verticale della funzione.Per k<0, ovviamente i segni dei due limiti si scambiano

FUNZIONI RAZIONALIPer k>0 (ma anche per k<0), quando x diventa “moltogrande” in valore assoluto, 1/x diventa “molto piccolo”in valore assoluto, rimanendo positivo o negativo aseconda che x >0 oppure x<0 rispettivamente (con segnocontrario per k<0).

∀ ε> 0 ∃ Μ>0 : x >M o x< -M ⇒ |f(x)| < ε limx→±∞ k/x = 0Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempredi più, al crescere di x in valore assoluto, all’asse delleascisse . Si dice che l’asse delle ascisse è asintotoorizzontale della funzione. Analogamente per k<0.

FUNZIONI RAZIONALI 0< x1 < x2 ⇒ 0 < 1/x2 < 1/x1

Se k>0, ⇒ 0 < k/x2 < k/x1quindi f è strettamente decrescente sulla semiretta (0, +∞)analogamente, f risulta strettamente decrescente anchesulla semiretta (-∞, 0).

Quando k<0, f risulta strettamente crescente (dimostralo!)su entrambe le semirette.Attenzione! f(x)=k/x, k>0, non è strettamentedecrescente (o per k<0, strettamente crescente) sull’interodominio (perché?)

La funzione 1/x

f(x) = 1/x, zoom intorno all’origine…

FUNZIONI RAZIONALI Le funzioni potenza f(x) = kxp , con p razionalenegativo, p∈Q− , si comportano in modo analogo allefunzioni k/x sulla semiretta (0, +∞)

Sulla semiretta (-∞, 0) sono definite solo per p∈Z− , in talcaso, se p è dispari, hanno andamento analogo a k/x su (-∞, 0), e a quello di |k/x| se p è pari

Esempi: f(x)= 2x-2/3 : f(x)= -x-3/4 ; f(x) = x-3 ; f(x) = x-4

Confronta i grafici di funzioni potenza conesponente intero negativo….

Confronta i grafici di funzioni potenza conesponente intero positivo….

Confronta i grafici di funzioni potenza conesponente p razionale, 0<p<1….

FUNZIONI RAZIONALI Lo studio di funzioni razionali fratte può esserericondotto a quello di f(x)=k/x , infatti

f(x) = (ax +b)/(cx+d) = [(a/c)x+b/c]/[x+d/c]=[(a/c)(x+d/c) +b/c −ad/c2 ]/[x+d/c]== a/c +[(bc-ad)/c2 ]/(x+d/c)

Posto k = (bc-ad)/c2 , dal grafico di k/x si passa a quellodi k/(x+d/c) spostando il grafico di k/x a destra, sed/c<0, a sinistra, se d/c>0. Dunque la singolarità che k/xha per x=0, diventa per k/(x+d/c) il punto x=-d/c(asintoto verticale). Dominio, quindi, R/{-d/c}

FUNZIONI RAZIONALIf(x)=(ax +b)/(cx+d) = a/c +[(bc-ad)/c2 ]/(x+d/c)

Basta ora traslare di a/c verticalmente il grafico dik/(x+d/c) verso l’alto se a/c>0, verso il basso se a/c <0.Quindi y=a/c diventa asintoto orizzontale per f(x).

limx→±∞ f(x) =a/c

∀ ε> 0 ∃ Μ>0 : x >M o x< -M ⇒ |f(x)-a/c| < ε

FUNZIONI RAZIONALIL’asintoto verticale x =-d/c = x0 , per bc-ad >0, avrà il significato di limx→x0 + f(x) = +∞

∀M> 0 ∃ δ>0 : 0< x- x0 < δ ⇒ f(x) > M

e limx→x0 - f(x) = -∞

∀M> 0 ∃ δ>0 : − δ < x- x0 < 0 ⇒ f(x) < − M

Inoltre tutti i punti del grafico soddisfano alla condizione(x+d/c)(y-a/c) = (bc-ad)/c2

ESEMPIO GRAFICO: f(x) = 1/(x+2)

ESEMPIO GRAFICO: f(x)=(2x+1)/(x-1)

FUNZIONI RAZIONALIEsempio: v(p)= 0.95·(70-p)/(p+12) , esprime la velocità(in cm/sec) con cui un muscolo sartorio della coscia diuna rana si estende per sollevare un peso p (in grammi).(Dispense Prof.Abate, esempio 4.12)Come funzione v(p) è definita per p≠-12; per il suosignificato biologico deve essere p≥0;a=−0.95, b=70·(0.95)=66.5, c=1, d=12, dunque k=(bc-ad)/c2 = 77.9>0 per cui v è strettamente decrescente perp>-12 e quindi per p≥0 (maggiore è il peso, minore lavelocità di estensione), quindi la velocità massima diestensione si ha per p=0, v(0)≈5.54 cm/sec. v(p)=0 perp=70, la rana non riesce a sollevare un peso p≥70 grammi

LIMITIQuale significato dare a limx→x0

f(x)=l ?

∀ε>0, ∃δ>0 tale che 0<|x-x0 |<δ ⇒ |f(x) - l|<ε

Possiamo usare il concetto di limite per definire lacontinuità di una funzione

f: I⊆R→R, dove I è un intervallo, è continua in un puntox0 ∈I, se limx→x0

f(x)= f(x0 ).

La funzione è continua in I se lo è per ogni punto di I.

LIMITIProprietà algebriche dei limiti, valide per limiti finiti:limx→x0

[f(x) ± g(x)] = limx→x0 f(x) ± limx→x0

g(x)

limx→x0 [f(x)· g(x)] = limx→x0

f(x)· limx→x0 g(x)

limx→x0 f(x)/ g(x) = limx→x0

f(x)/ limx→x0 g(x)

Quest’ultima valida se limx→x0 g(x)≠0

Alcune di queste regole valgono anche per limiti infiniti,ad esempio vale±∞ ±∞ = ±∞ , ma non vale, in generale per +∞ −∞ !

LIMITINon creano problemi:±∞ ±∞ = ±∞

l ±∞ = ±∞

l / ±∞ =0

l·(±∞) =±∞/l=±∞ , per l>0

l·(+∞) = +∞/l = −∞ , l·(–∞) = –∞/l = +∞ , per l<0

LIMITIForme indeterminate (quando abbiamo bisogno di averemaggiori informazioni per decidere se il limite esiste e, seesiste, quanto vale):

+∞ −∞

±∞ ·0

±∞ / ±∞

0/0

FUNZIONI RAZIONALINel caso delle funzioni razionalif(x)=[an xn +an-1 xn-1 +…+a0 ]/[bm xm +bm-1 xm-1 +…+b0 ]Quando x tende all’infinito, il numeratore si comportacome an xn ed il denominatore come bm xm , quindi f(x) sicomporta come an xn / bm xm = an/ bm xn-m

0 se n<mlimx→±∞ f(x) = limx→±∞ an/ bm xn-m = an/ bm se n=m ±∞ se n > m