Note di studio su Economia dei Mercati Finanziari · Economia dei Mercati Finanziari Dipartimento...
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Economia dei Mercati Finanziari
Dipartimento di Economia e Management
Universita di Pisa
Note di studio su
Economia dei Mercati Finanziari∗
Davide Fiaschi e Nicola Meccheri
Dipartimento di Economia e Management
Universita di Pisa
[email protected] – [email protected]
Versione aggiornata al 9/12/2018
∗Queste dispense sono da considerarsi una versione provvisoria e incompleta con fini esclusivamentedidattici. Segnalazioni di eventuali errori o refusi sono davvero gradite e benvenute.
2
Indice
1 Aspetti introduttivi 7
I Mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II Tasso di rendimento dei titoli finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III Intermediazione finanziaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
IV Efficienza dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
V Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
A.1 Concetti elementari di statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Scelte in condizioni di incertezza 35
I Definizione del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II Valore atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
III Utilita attesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
III.A Atteggiamento nei confronti del rischio . . . . . . . . . . . . . . . . 40
IV Domanda di assicurazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
V Scelte di portafoglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
VI Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio . . . . . . . . . . . 53
A.2 Utilita attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica . . . . 55
3 Il modello media-varianza 57
I Preferenze degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
II Portafoglio che minimizza il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.A Tre casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III.A Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 67
III.B Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi . . . . . . . . . . . 72
IV Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V Indici di performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
VI Teorema di separazione e portafoglio ottimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3
4
VII Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
A.1 Dall’utilita attesa VNM all’utilita media-varianza . . . . . . . . . . 87
A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli . . . . . . . . 89
4 Il modello CAPM 93
I Assunzioni del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
I.A Equilibrio nei mercati dei capitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
I.B Scelte degli investitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
I.C Aspettative omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
II Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali . . . . . . . . . . . . 95
III Linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
III.A Derivazione della linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . 99
III.B Prezzi di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
III.C Disequilibrio e aggiustamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IV Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio . . . . . . . . . . . . . 107
V Indici di performance basati sul CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Arbitraggio, modello a fattori e l’APT 113
I Arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
I.A Ambiente incerto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
I.B Arbitraggio e rendimento delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . 120
II Il modello a fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
II.A Il modello ad un fattore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
II.B Il modello multifattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
II.C Quali fattori considerare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
III APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
III.A Derivazione dell’APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
III.B I prezzi di equilibrio nell’APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
III.C Premio per il rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
III.D Il rendimento e la varianza di portafoglio nell’APT . . . . . . . . . 144
III.E La relazione fra CAPM e APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 L’analisi empirica 149
I Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata . . . . . . . . . 149
I.A La stima via minimi quadrati ordinari (OLS ) . . . . . . . . . . . . 150
I.B Le proprieta della stima OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
II Statistiche descrittive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
II.A La frontiera dei portafogli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5
III La stima del modello CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
III.A La stime del CAPM per alcune azioni della Borsa Italiana . . . . . 157
III.B Linea del mercato delle attivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
III.C Stima del rischio di mercato e rischio idiosincratico per un portafoglio161
III.D Indici di performance basati sul CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . 162
IV APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7 La teoria del NPV 169
I Il NPV di un’attivita senza incertezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
I.A Orizzonte infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
II Incertezza nella teoria del NPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
III Volatilita nel prezzo delle azioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
III.A Critiche all’analisi di Shiller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
IV Finanza comportamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
V Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8 L’efficienza informativa 195
I L’ipotesi di mercati efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
II Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti . . . . . . . . . . . . . . . . 197
III Varieta dei concetti di efficienza dei mercati . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
III.A Il paradosso di Grossman-Stiglitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV La dinamica dei prezzi e dei rendimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
IV.A Efficienza dei mercati come gioco equo . . . . . . . . . . . . . . . . 201
IV.B L’efficienza dei mercati come martingala nei prezzi . . . . . . . . . 202
IV.C Camminata casuale nel prezzo dei titoli . . . . . . . . . . . . . . . . 203
V L’evidenza empirica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
V.A Test sull’efficienza in forma debole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
V.B Test sull’efficienza in forma semi forte . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
V.C Altre anomalie dei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9 Finanza comportamentale 213
I Errori comportamentali ed euristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
II Evidenza sperimentale e teoria del prospetto . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
III Fenomeni osservati nei mercati finanziari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
IV Limiti all’arbitraggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
V Finanza classica e finanza comportamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6
10 Le obbligazioni 241
I Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
II Le obbligazioni zero-coupon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
II.A Le obbligazioni reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
III Le obbligazioni con cedole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
III.A La Macaulay duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
IV La valutazione di obbligazioni non quotate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
V Il rischio per portafogli obbligazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
VI L’immunizzazione di portafogli obbligazionari . . . . . . . . . . . . . . . . 253
VI.A Alcune osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
VII La struttura a termine dei tassi di interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
VII.A La stima del tasso di inflazione atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
VII.B I tassi forward impliciti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
VII.C La teoria della struttura a termine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11 Le opzioni 269
I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
II Ritorno, guadagno e valore di un’opzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
II.A Portafogli con opzioni call e put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
III La varieta dei contratti di opzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
IV Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni . . . . . . . . . . . . . . . 282
IV.A I limiti nel prezzo dell’opzione call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
IV.B I limiti nel prezzo dell’opzione put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
IV.C La parita tra opzioni call e put europee . . . . . . . . . . . . . . . . 288
V La teoria del prezzo delle opzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Capitolo 1
Economia dei mercati finanziari:
aspetti introduttivi
I Mercati finanziari
I mercati finanziari sono i mercati in cui si scambiano fondi prestabili o, piu sem-
plicemente, risorse finanziarie. Tali mercati svolgono la funzione essenziale di trasferire
risorse finanziarie da chi ne dispone in eccesso, rispetto ai suoi bisogni del momento, a
chi, viceversa, ne necessita un ammontare maggiore rispetto a quelle che ha attualmente
disposizione. I primi soggetti, cioe coloro che risparmiano e danno a prestito fondi, ven-
gono sovente definiti unita in surplus o creditori, mentre i secondi, che prendono a
prestito fondi, sono detti unita in deficit o debitori. In altri termini, nell’ambito dei
mercati finanziari, i primi soggetti esprimono l’offerta, mentre i secondi la domanda di
fondi prestabili. Dal lato dell’offerta, tra i principali creditori si annoverano generalmen-
te le famiglie, ma talvolta anche le imprese o certe amministrazioni pubbliche (governi
nazionali o esteri) possono disporre di eccedenze finanziarie rispetto ai propri effettivi
bisogni e decidere di investirle prestandole a chi ne fa domanda.1 Dal lato della domanda,
invece, i piu importanti debitori sono le imprese e i governi. Le prime, infatti, necessitano
di ingenti risorse per finanziare gli investimenti connessi alla propria attivita produttiva
e commerciale, mentre i secondi ricorrono all’indebitamento per finanziare la spesa pub-
blica che eccede le entrate fiscali. Peraltro, non raramente anche le famiglie ricorrono
all’indebitamento per finanziare livelli di consumo superiori ai propri redditi correnti o
l’acquisto di beni durevoli (ad esempio, contraendo un mutuo per l’acquisto della casa).
I mercati finanziari possono svolgere un ruolo fondamentale per il buon funzionamento
1Un esempio e costituito dai cosiddetti fondi sovrani che rappresentano speciali istituzioni di inve-stimento pubbliche controllate direttamente dai governi dei relativi paesi per investire surplus fiscali oriserve di valuta estera.
7
I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
dell’economia. Cio in quanto, spesso, i soggetti che dispongono di risorse finanziarie in
eccesso rispetto al loro fabbisogno non coincidono con quelli con le opportunita di investi-
mento piu vantaggiose (che, peraltro, non disponendo delle risorse necessarie, potrebbero
non essere in grado di realizzarle). In questi casi, dunque, un trasferimento di risorse dai
primi soggetti ai secondi potrebbe rappresentare l’unica soluzione per sfruttare le oppor-
tunita di investimento, con potenziali conseguenze positive per i soggetti coinvolti nello
scambio e, piu in generale, per l’economia nel suo complesso.
I mercati finanziari oltre a configurarsi come luogo “fisico” o, sempre piu frequentemen-
te, per effetto dello sviluppo delle transazioni via computer (e-finance), “virtuale”, dove
si incontrano soggetti che offrono e domandano risorse finanziarie, costituiscono (al pari
di ogni mercato di qualsiasi bene o servizio) anche un insieme di meccanismi e strumenti
istituzionali che facilitano gli scambi tra tali soggetti. In generale, uno strumento finan-
ziario e un titolo emesso da un soggetto che domanda risorse finanziarie e che conferisce
a colui che l’“acquista” (prestando cosı risorse al soggetto che lo ha emesso) un diritto
sui redditi futuri dell’emittente o sul suo patrimonio. Chiaramente, tale titolo costituisce
un’attivita finanziaria per il soggetto che l’ha acquistato (o sottoscritto) e, viceversa,
una passivita finanziaria per quello che lo ha emesso. Per effetto dell’innovazione fi-
nanziaria che, a seguito dei cambiamenti tecnologici e istituzionali, ha introdotto nuove
tipologie di strumenti finanziari, esistono oggi diversi titoli finanziari che differiscono, an-
che sostanzialmente, gli uni dagli altri; per tale motivo si parla espressamente di mercati
finanziari (al plurale), in quanto, almeno in linea concettuale, e possibile individuare un
distinto mercato (con un proprio peculiare funzionamento) per ognuno dei diversi titoli di
riferimento. La lista che segue, sebbene non esaustiva, individua alcuni mercati dei titoli
finanziari piu importanti, evidenziandone alcune delle caratteristiche peculiari.
Mercati delle azioni (equity). Le azioni2 sono titoli che rappresentano quote di pro-
prieta di una societa e, in virtu di cio, attribuiscono diritti a chi le sottoscrive su una quota
dell’utile netto (reddito al netto di costi e imposte) della societa, nonche sul suo patrimo-
nio (attivita). L’emissione di azioni rappresenta uno dei principali strumenti attraverso
cui le imprese (quotate in borsa) reperiscono risorse finanziarie da destinare alla propria
attivita produttiva. Per chi le sottoscrive costituiscono un investimento il cui rendimen-
to dipende essenzialmente da due elementi: a) il prezzo delle azioni e b) i dividendi
distribuiti dalla societa agli azionisti.
2Esistono, in realta, diversi tipi di azioni (azioni ordinarie, azioni privilegiate, azioni di risparmio, ecc.)le quali presentano tra loro differenze anche rilevanti. Per i nostri scopi, in cio che segue l’attenzione saraconcentrata essenzialmente sul tipo piu comune dell’azione ordinaria.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari
Il prezzo unitario delle azioni si determina nei mercati borsistici, in cui si ha la com-
pravendita di tali titoli, in base alla legge della domanda e dell’offerta.3 Ovviamente, per
chi ha sottoscritto delle azioni a un dato prezzo, un aumento sul mercato di quel prezzo
puo produrre un rendimento positivo (in quanto e possibile rivendere sul mercato ciascuna
azione a un prezzo maggiore di quello speso per il suo acquisto), e viceversa. I dividendi,
invece, costituiscono la parte dell’utile (profitti) della societa che vengono distribuiti ai
suoi proprietari (azionisti), in rapporto alla rispettiva quota di proprieta. Ad esempio, se
si e acquistato un numero di azioni che corrispondono, rispetto al numero totale di quelle
emesse dalla societa, ad una quota pari a un milionesimo e i dividendi complessivamente
distribuiti ammontano a un milione di euro, avremo diritto a ricevere una somma pari a
un euro. Detenendo azioni, in quanto proprietari della societa, avremo inoltre diritto di
voto (nuovamente in rapporto alla quota proprietaria) nelle decisioni societarie, tra cui,
particolarmente importante, quella sulla scelta degli amministratori.
Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono azioni, il principale inconveniente
legato all’acquisto di tale titolo e legato al fatto che il diritto sugli utili che esso conferisce
e un diritto residuale (per usare un’espressione anglosassone, un’azionista e residual
claimant). Cio vuol dire che la societa e legalmente obbligata a rimborsare tutti gli altri
creditori prima di distribuire risorse finanziarie ai suoi azionisti. Inoltre, anche rispetto
alla distribuzione del residuo, la decisione ultima spetta, in generale, al management della
societa. Gli amministratori, ad esempio, potrebbero decidere di non distribuire l’utile
netto agli azionisti, per reinvestirlo nell’attivita produttiva della societa. In piu, in virtu
del fatto che il prezzo di mercato delle azioni puo variare sostanzialmente anche per pe-
riodi relativamente brevi, l’acquisto di azioni e generalmente considerato un investimento
relativamente rischioso.
Mercati delle obbligazioni (bonds). Un’obbligazione e un titolo di debito che con-
tiene la promessa di pagamenti periodici a scadenze prestabilite. Essi sono ampiamente
utilizzati sia dalle imprese private che dai governi e le pubbliche amministrazioni per
reperire risorse finanziarie. Nel caso particolare delle imprese, la scelta di finanziare la
propria attivita ricorrendo all’emissione di obbligazioni piuttosto che a quella di azioni,
ossia, in altri termini, ricorrere al debito piuttosto che all’aumento del capitale proprio
(equity), costituisce in concreto una scelta strategica particolarmente rilevante. Oltre al-
l’importante distinzione tra obbligazioni emesse da imprese private o da enti pubblici,
un’altra rilevante classificazione e quella che distingue le obbligazioni a seconda della loro
3Una distinzione importante in relazione ai mercati in cui i titoli finanziari, non solo le azioni, sonoscambiati e quella tra mercati primari e secondari. Nei primi si acquistano titoli di nuova emissione (adesempio, nel caso delle azioni, nuove azioni emesse dalla societa a fronte di un aumento di capitale). Neisecondi, invece, si (ri)vendono e si acquistano titoli gia in circolazione.
9
I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
scadenza, o momento del rimborso, in obbligazioni a breve termine (scadenza inferiore
all’anno), a medio termine (scadenza compresa tra uno e dieci anni) e a lungo termine
(scadenza a oltre dieci anni dall’emissione).4
Dal punto di vista degli investitori che sottoscrivono un titolo obbligazionario, pre-
stando cosı denaro al soggetto che lo ha emesso, il rendimento e legato agli interessi che
rappresentano la remunerazione corrisposta a fronte del prestito. Gli interessi sono cal-
colati sul valore nominale (o valore di rimborso) del titolo, sono corrisposti a scadenze
prefissate, spesso semestrali, e sono espressi in termini percentuali (tassi di interesse)
ipotizzando un “prestito” di 100.5 I tassi di interesse sono particolarmente importanti
in quanto in grado di influenzare numerose decisioni economiche (quali quelle di rispar-
mio delle famiglie e di investimento delle imprese), da cui dipende la crescita economica
complessiva di intere nazioni.
Sebbene il rendimento di un’obbligazione dipenda dagli interessi che percepiscono i
suoi possessori, le due cose non coincidono necessariamente (si veda la sezione II). Analo-
gamente alle azioni, infatti, le obbligazioni, una volta emesse e sottoscritte, possono poi
essere scambiate sul mercato (secondario) ad un certo prezzo, il quale dipende dall’anda-
mento dei tassi di interesse. In particolare, un aumento del tasso di interesse implica una
riduzione del prezzo dell’obbligazione (e viceversa).6 Di conseguenza, se un soggetto che
ha sottoscritto un’obbligazione decide poi di non attendere il momento della scadenza,
ma, invece, di rivendere prima l’obbligazione sul mercato, il suo rendimento dipendera,
oltre che dagli interessi percepiti fino a quel momento, anche dal guadagno o la perdita
in conto capitale (capital gain o capital loss), legata alla differenza tra il prezzo a
cui l’obbligazione e stata sottoscritta e quello a cui e stata poi rivenduta.
Un investimento in un titolo obbligazionario e generalmente considerato meno rischioso
rispetto a quello in azioni. Cio in quanto, a differenza che per le azioni, ai detentori
di obbligazioni spetta il diritto di ricevere pagamenti (in relazione agli interessi e/o al
rimborso finale) certi e a scadenze prefissate contrattualmente. Peraltro, tale investimento
raramente e del tutto privo di rischio: il soggetto emittente, infatti, potrebbe trovarsi
nell’impossibilita di far fronte agli impegni contrattuali, sia in relazione al pagamento degli
interessi che a quello del rimborso finale. In questi casi si parla di rischio di bancarotta
4Talvolta, il termine obbligazione viene utilizzato con riferimento esclusivo agli strumenti di debito amedio e lungo termine emessi dalle societa (obbligazioni corporate) e dai governi, mentre per gli strumentidi debito a breve termine si parla piu specificatamente di strumenti monetari.
5Per alcune obbligazioni, quelle cosiddette senza cedola (o titoli a sconto), non e previsto un vero eproprio pagamento di interessi. In particolare, tali titoli sono acquistati a un valore inferiore a quellonominale e vengono poi rimborsati a quel valore. Un noto esempio di titoli senza cedola e rappresentatodai Buoni Ordinari del Tesoro (BOT).
6Piu specificatamente, i prezzi delle obbligazioni si formano in funzione dei rendimenti a scadenzarichiesti dal mercato.
10
1. ASPETTI INTRODUTTIVI I. Mercati finanziari
(default) del soggetto emittente. In generale, tale rischio e maggiore quando il prestito
obbligazionario e stato emesso da societa private, ma non puo escludersi in assoluto tale
evenienza anche per emissioni da parte di governi o altre amministrazioni pubbliche.
Mercati delle valute. Le risorse finanziarie da trasferire da una nazione a un’altra de-
vono essere convertiti dalla valuta del paese di origine a quella del paese di destinazione.
La conversione di una valuta in un’altra avviene nel mercato valutario, in cui, general-
mente, si determina anche il prezzo di una valuta in termini di quello di un’altra, ossia
il tasso di cambio. Il rendimento di un investimento all’estero come, ad esempio, l’ac-
quisto di azioni di una societa statunitense, dipendera, quindi, non solo dall’andamento
del prezzo delle azioni (quotate in dollari), ma anche dall’andamento del tasso di cambio
tra l’euro ed il dollaro. Piu in generale, investire denaro in un valuta estera significa
“scommettere” sull’apprezzamento di quella valuta rispetto a quella del proprio paese.
Mercati dei prestiti ipotecari. La natura essenziale dei prestiti ipotecari e quella di
essere dei titoli di debito strettamente connessi ad un bene fisico (quello su cui e accesa
l’ipoteca). Tipico e il caso dei mutui ipotecari per l’acquisto di abitazioni, il cui valore
garantisce il creditore per il rimborso del finanziamento.
Mercati dei titoli assicurativi e derivati. Come avremo modo di analizzare detta-
gliatamente, il rischio e l’incertezza sono fattori che pervadono i mercati finanziari. Allo
stesso tempo, esistono strumenti finanziari che consentono a un soggetto di modificare il
profilo di rischio del proprio reddito e/o della propria ricchezza. Piu esattamente, attra-
verso lo scambio di attivita finanziarie e la stipulazione di contratti finanziari, e possibile
il trasferimento del rischio e dell’incertezza dai soggetti meno propensi ad affrontarli ad
altri soggetti piu propensi a farlo.
I titoli assicurativi (o polizze di assicurazione) costituiscono l’esempio piu sem-
plice e diffuso. Acquistando tali strumenti, infatti, i soggetti possono “proteggersi” da
fluttuazioni del proprio reddito o della propria ricchezza che sono in larga parte indipen-
denti dai loro comportamenti (ad esempio, in relazione al rischio di incendio della propria
abitazione, di furto dell’auto o di malattia). In questa prospettiva, un titolo assicurativo
puo produrre un rendimento positivo, per colui che lo ha sottoscritto, se si verifica l’evento
dannoso (per cui la polizza assicurativa e stata sottoscritta) e cio determina il diritto al
rimborso. Contrariamente, il titolo produce un rendimento negativo nel caso contrario,
in cui l’evento dannoso non si realizza, per cui, a fronte del pagamento di sottoscrizione
della polizza, l’assicurato non riceve alcun rimborso.
11
I. Mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
Altri titoli finanziari, piu complessi, che consentono di modificare il profilo di rischio
di investimento, potendo contribuire a ridurlo, sono i titoli derivati. Un titolo derivato e
un’attivita finanziaria costituita da un contratto, definito su di un’altra attivita finanziaria
preesistente (quale un’azione, un’obbligazione, un prestito ipotecario, una valuta estera o
un indice di borsa), oppure su un’attivita reale, che viene definita attivita sottostante o
primitiva. Gli esempi piu noti di titoli derivati sono i contratti forward (o contratti
a termine) e le opzioni.
Con i contratti forward due parti si impegnano a realizzare una transazione finan-
ziaria in un momento futuro a un prezzo prefissato.7 In gergo, la parte che si impegna
a vendere l’attivita sottostante in futuro assume una posizione corta (short position),
mentre la parte che si impegna ad acquistare l’attivita assume una posizione lunga (long
position). Ad esempio, due soggetti potrebbero concordare di scambiarsi tra un anno dei
titoli obbligazionari attualmente in possesso di una delle parti a un prezzo predefinito
in funzione del tasso di interesse di oggi. Poiche il contratto “blocca” oggi i termini (il
prezzo) dello scambio futuro, cio mette al riparo i due soggetti da fluttuazioni dei tassi
di interesse (e quindi dei prezzi delle obbligazioni) che si dovessero produrre da oggi ad
un anno. Le opzioni sono, invece, contratti che offrono all’acquirente la possibilita, o il
diritto, di acquistare o vendere l’attivita finanziaria sottostante a un prezzo specificato,
chiamato prezzo di esercizio, per un determinato periodo di tempo. La sostanziale dif-
ferenza tra le opzioni e i contratti a termine e la seguente: con le opzioni, se, da un lato,
il venditore e obbligato ad acquistare o a vendere il titolo sottostante qualora l’acquirente
eserciti il diritto di opzione, quest’ultimo non e costretto ad esercitare tale opzione, ma
puo decidere di lasciarla scadere senza usarla.
I limiti dei titoli derivati sono essenzialmente due: il primo e che puo non essere
semplice per un soggetto che intende stipulare un contratto di un certo tipo trovare una
controparte con esigenze che si “sposano” esattamente con le proprie. Il secondo problema
con i derivati e che, se da un lato, riducono il rischio di fluttuazioni dei prezzi, dall’altro,
sono soggetti al rischio di insolvenza. Ad esempio, se un soggetto si e impegnato ad
acquistare tra un anno un certo titolo ad un dato prezzo e se poi tra un anno il prezzo di
mercato del titolo risulta molto piu basso di quello concordato per l’acquisto, tale soggetto
potrebbe decidere di non onorare il contratto. Oppure, se il soggetto e una societa, egli
potrebbe non essere in grado di rispettare il contratto semplicemente perche nel corso
dell’anno e fallita.
7Titoli derivati del tutto analoghi ai contratti forward sono i contratti futures. La differenza sostanzialetra i due strumenti finanziari sta nel fatto che, mentre i contratti forward sono negoziati bilateralmentetra i contraenti (che dispongono quindi di maggiori margini di autonomia nel definirne i termini), i futuressono contratti con caratteristiche standard per i quali esiste un mercato ufficiale.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
II Tasso di rendimento dei titoli finanziari
Ovviamente, un soggetto che investe in un certo titolo o attivita finanziaria lo fa per
ottenere (o perche si aspetta di ottenere) un certo rendimento da quel titolo. Come
e stato gia accennato nella sezione precedente, la natura del rendimento di un titolo
dipende dal tipo di titolo considerato. Inoltre, il rendimento si riferisce anche all’orizzonte
temporale per cui il titolo e detenuto dall’investitore (o piu in generale, alla durata del
periodo presa in considerazione per calcolare il rendimento). Ad esempio, se vogliamo
calcolare il rendimento di un’attivita dal tempo t, ad esempio oggi, al tempo t + 1, ad
esempio tra un anno oppure tra due anni, ecc., esso dipendera, nel caso di un’azione, dalla
differenza di prezzo dell’azione al tempo t e a quello t+ 1 nonche dai dividendi percepiti
in tale arco temporale, nel caso di un’obbligazione, ancora dalla differenza di prezzo del
titolo nei due periodi e dagli interessi incassati tra t e t+ 1, nel caso di una valuta estera,
dall’andamento del tasso di cambio tra valuta estera e nazionale nell’intervallo di tempo
considerato, e cosı via.
Esiste, comunque, un’espressione generale per calcolare il rendimento, o piu corretta-
mente il tasso di rendimento, dei titoli, che ben si presta, quindi, anche per effettuare
confronti tra i rendimenti di attivita finanziarie diverse tra loro. In particolare, se ci rife-
riamo ad un generico titolo i in un dato arco temporale, da t a t + 1, avremo che il suo
tasso di rendimento ri,t+1 e dato da:
ri,t+1 =vi,t+1 − pi,t
pi,t
dove pi,t rappresenta il prezzo del titolo al tempo t, mentre vi,t+1 rappresenta il payoff
che l’investitore ottiene dal titolo (o puo ottenere se vende il titolo) al tempo t + 1. In
particolare, tale payoff e dato dal pagamento che l’investitore otterrebbe dalla vendita (o
dal rimborso) del titolo al tempo t+1 piu i pagamenti gia incassati dal titolo (ad esempio,
per dividendi o interessi) nell’arco del periodo considerato (da t a t+ 1).
Esempio 1 (Tasso di rendimento di un’azione)
Un investitore possiede azioni della societa “Alfa” acquistate al tempo t al prezzo unitario
di 1, 50 euro. Dopo un anno (tempo t+1) incassa un dividendo pari a 0, 15 euro per azione
e decide di rivendere le azioni ad un prezzo di mercato di 1, 80 euro. Si calcoli il tasso di
rendimento del suo investimento.
rAlfa,t+1 =(1, 80 + 0, 15)− 1, 50
1, 50=
0, 45
1, 50= 0, 3
per cui l’investimento ha fruttato un (tasso di) rendimento del 30%.
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II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
Esempio 2 (Tasso di rendimento di un’obbligazione rimborsata alla scadenza)
Un investitore sottoscrive obbligazioni della societa “Beta” a 1000 euro. Le obbligazioni
hanno scadenza ad un anno e un tasso annuo di interesse del 5%. Si calcoli il tasso di
rendimento che ottiene l’investitore se detiene le obbligazioni fino alla scadenza.
In questo caso individuare il tasso di rendimento che ottiene l’investitore e molto
semplice: esso e chiaramente pari al 5% annuo.8 Ovviamente, esso sarebbe emerso (con
qualche calcolo in piu) anche utilizzando la formula generale. Si noti, infatti, che l’inve-
stitore paga l’obbligazione 1000 euro, ottiene un rimborso finale pari alla stessa cifra e
percepisce un ammontare di interessi pari a 50 euro, per cui:
rBeta,t+1 =(1000 + 50)− 1000
1000=
50
1000= 0, 05.
In alcuni casi, il calcolo del tasso di rendimento per un’obbligazione non e cosı imme-
diato; si consideri il caso seguente.
Esempio 3 (Tasso di rendimento di un’obbligazione venduta prima della scadenza)
Un investitore sottoscrive obbligazioni della societa “Gamma” a 100 euro. Le obbligazioni
hanno scadenza a tre anni e un tasso annuo di interesse del 5%. Alla fine del primo
anno, per sopravvenute necessita di denaro liquido, l’investitore decide di rivendere le
obbligazioni sul mercato; il prezzo di mercato e, in quel momento, 85 euro. Si calcoli il
tasso di rendimento che ottiene l’investitore.
rGamma,t+1 =(85 + 5)− 100
100=−10
100= −0, 1
per cui, nell’anno l’investimento ha fruttato un rendimento negativo del 10%.
In questo esempio, non deve sorprendere il fatto che, sebbene l’obbligazione abbia un
tasso di interesse positivo, il rendimento che ottiene l’investitore dal titolo e negativo. Il
tasso di interesse, infatti, non tiene conto di eventuali differenze tra il prezzo a cui il titolo
e stato acquistato e quello a cui il titolo viene smobilizzato (ossia dei guadagni o delle
perdite in conto capitale).
8In taluni casi gli interessi sono capitalizzati piu volte in un anno e il tasso di interesse e espresso inrelazione alla frazione di anno a cui si riferisce. In questi casi, ai fini di un confronto tra alternative diinvestimento con tassi di interesse per periodi diversi, e utile trasformare i tassi in modo che si riferiscanoallo stesso periodo, ad esempio un anno. Utilizzando la formula dell’interesse composto, si ha che:
iA = (1 + ik)k − 1
dove iA e il tasso annuo di interesse, mentre k e il numero di volte in cui l’interesse viene capitalizzatonel corso dell’anno (ad esempio, se il tasso di interesse ik e semestrale, k e pari a 2). Un tasso di interessesemestrale del 4, 16% corrisponde, ad esempio, ad un tasso annuo pari a iA = (1+0, 0416)2−1 = 0, 0849,ossia 8, 49%.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
Esempio 4 (Tasso di rendimento di un’azione in valuta estera)
Si consideri un investitore italiano che al tempo t converte euro in dollari al tasso di cambio
euro/dollaro di 1, 3 (con un euro si acquistano 1, 3 dollari) per acquistare azioni della
societa statunitense “MG” al prezzo unitario di 2, 6 dollari. Al tempo t + 1 l’investitore
rivende le azioni della societa al prezzo di 2, 8 dollari per azione. Si calcoli il tasso di
rendimento che l’investitore ottiene al tempo t+ 1 se il tasso di cambio e passato a 1, 4.
In questo caso, per calcolare correttamente il rendimento dell’investimento e opportuno
innanzitutto esprimere i prezzi delle azioni in euro (la valuta del paese dell’investitore)
anziche in dollari. Al tempo t, al tasso di cambio euro/dollaro di 1, 3, il prezzo delle azioni
di 2, 6 dollari corrisponde a 2, 6/1, 3 = 2 euro. Al tempo t+1, invece, al tasso di cambio di
1, 4, il prezzo delle azioni in euro e pari a 2, 8/1, 4 = 2. Si puo adesso calcolare facilmente
il tasso di rendimento dell’investimento che e pari a:
rMG,t+1 =2− 2
2= 0.
Non deve sorprendere il fatto che, sebbene il prezzo (in dollari) dell’azione sia salito, il
rendimento dell’investimento e risultato nullo. Cio e dipeso dal fatto che nel frattempo
l’euro si e apprezzato rispetto al dollaro e, poiche l’investimento era espresso in dolla-
ri, cio ha completamente “annullato” l’effetto positivo connesso all’aumento del prezzo
dell’azione.
Esempio 5 (Tasso di rendimento di un titolo assicurativo)
Si consideri un soggetto che acquista al tempo t una polizza assicurativa contro il furto
dell’auto pagando un premio di 100 euro. La polizza assicurativa prevede che nel caso di
furto dell’auto il soggetto abbia diritto ad un rimborso di 1.000 euro. Si calcoli il tasso di
rendimento del titolo assicurativo al tempo t+ 1 nelle ipotesi che, a quella data: i) l’auto
non sia stata rubata; ii) l’auto sia stata rubata.
Nel caso l’auto al tempo t+1 non sia stata rubata, il tasso di rendimento della polizza
assicurativa e pari a:
rass,t+1 =0− 100
100= −1.
Il titolo assicurativo ha dato un tasso di rendimento negativo del 100%.
Viceversa, nel caso l’auto al tempo t+ 1 sia stata rubata, il tasso di rendimento della
polizza assicurativa e pari a:
rass,t+1 =1000− 100
100= 9
per cui il titolo ha fornito un tasso di rendimento pari al 900%.
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II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
Finora abbiamo discusso del tasso di rendimento di un titolo finanziario senza fare
alcuna distinzione tra tasso nominale di rendimento e tasso reale di rendimen-
to. Il tasso reale di rendimento si ottiene “correggendo” il tasso nominale dall’effetto
dell’inflazione (tasso di variazione percentuale del livello generale dei prezzi). Piu esat-
tamente, il tasso reale di rendimento di un’attivita finanziaria i nell’arco del periodo
t− t+ 1, indicato con ri,t+1, e dato da:
ri,t+1 ' ri,t+1 − πt+1 (1.1)
dove πt+1 rappresenta il tasso di inflazione nell’arco del periodo considerato. Ad esem-
pio, un tasso (nominale) di rendimento del 5%, ottenuto da un investitore dal possesso di
un certo titolo finanziario nell’arco di un dato periodo, equivale (all’incirca) ad un tasso
reale del 3%, se, nell’arco di quel periodo, si e registrato un tasso di inflazione del 2%.
L’Equazione (1.1), spesso indicata come equazione di Fisher, dal nome del noto eco-
nomista americano dell’Universita di Yale, Irving Fisher, assume particolare rilevanza
nell’ambito delle discipline di economia monetaria e macroeconomia.9
Un ultimo aspetto rilevante, per quanto concerne il tasso di rendimento di un titolo
finanziario, e il seguente. Fino ad ora abbiamo ragionato in termini di tasso effettivo di
rendimento o tasso di rendimento ex-post, ossia calcolato al tempo t+ 1. Peraltro,
quando un soggetto deve decidere al tempo t in quale titolo investire, conoscera (ad esem-
pio, dai quotidiani finanziari) il prezzo dei titoli in quel momento (pi,t), ma, generalmente,
non avra la possibilita di conoscere con certezza i payoffs che potra ottenere dai vari ti-
toli fino a t + 1 (vi,t+1).10 Eppure, al momento dell’acquisto, formarsi delle aspettative
su tali payoffs, e quindi sul tasso di rendimento dei titoli, e essenziale per effettuare un
investimento “oculato”. Si parla, dunque, di tasso atteso di rendimento o tasso di
rendimento ex-ante in relazione al tasso di rendimento di un titolo atteso o “stimato”
al tempo t, indicato formalmente come:
E [ri,t+1] =E [vi,t+1]− pi,t
pi,t(1.2)
dove il simbolo E rappresenta l’aspettativa, o speranza, matematica.11
9L’equazione di Fisher e piu spesso presentata in termini di tasso di interesse (reale e nominale),piuttosto che in quello, piu generale, di tasso di rendimento. Inoltre, in tale contesto, il tasso di inflazioneche rileva non e principalmente quello effettivo, ma quello atteso.
10Cio e chiaramente vero per le azioni, il cui prezzo varia nel tempo in base al mercato. Peraltro, ancheper le obbligazioni, l’investitore, generalmente, non puo escludere al tempo t di trovarsi successivamentenelle condizioni di dover rivendere sul mercato i titoli. In tale evenienza, quindi, anche il payoff delleobbligazioni diventa incerto al momento dell’acquisto, potendo poi dipendere anch’esso dall’andamentodel mercato obbligazionario.
11Nell’Appendice A.1 in fondo al capitolo saranno presentati e analizzati alcuni concetti elementari distatistica, quale il valore atteso di una variabile casuale o aleatoria (un cui esempio e proprio rappresentato
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari
Esempio 6 (Metodi di calcolo del tasso atteso di rendimento)
I metodi piu semplici per calcolare il tasso atteso di rendimento di un’attivita finanziaria
sono due: quello che fa riferimento ai possibili “stati del mondo” e alle relative probabilita
e quello che fa riferimento ai dati storici.
Il primo metodo richiede di prevedere ex-ante tutti i possibili risultati (rendimenti)
che possono prodursi ex-post detenendo un certo titolo e stimare per ciascun risultato
la probabilita che questo possa effettivamente realizzarsi. Ad esempio, consideriamo un
investitore che ha investito al tempo t in un certo titolo azionario i e, sempre al tempo
t, prevede che al tempo t + 1, in cui liquidera l’investimento, possano verificarsi cinque
differenti scenari (tecnicamente anche definiti “stati del mondo” o “stati di natura”) ad
ognuno dei quali corrisponde un certo risultato, rappresentato dal rendimento ottenuto
sul proprio investimento. A ciascun stato di natura, poi, l’investitore associa una certa
probabilita con cui lo stato di natura puo realizzarsi. La tabella seguente, sintetizza tutte
le informazioni relative ai possibili scenari e ai corrispondenti risultati e probabilita.12
Scenari Risultati (Rendimenti) Probabilita
1 50% 0, 1
2 30% 0, 2
3 0 0, 4
4 −10% 0, 2
5 −30% 0, 1
A questo punto e possibile calcolare il tasso atteso di rendimento dell’investimento
come media ponderata dei rendimenti associati ai vari scenari, dove i pesi sono le pro-
babilita con cui ciascun scenario puo verificarsi. In particolare, la formula generale e la
seguente:
E [ri,t+1] =m∑
k=1
ri,t+1,k · πk
dove m rappresenta il numero di scenari considerati (e k lo scenario generico), mentre πk
la probabilita che si verifichi lo scenario k. Nel nostro esempio, quindi, il tasso atteso di
rendimento e:
dal rendimento di un titolo finanziario), che saranno ampiamente utilizzati nei capitoli successivi.12Ovviamente, dal momento che i rendimenti delle attivita finanziarie rappresentano una variabile
casuale continua, questa rappresentazione discreta dei possibili valori che puo assumere il rendimento deltitolo e una semplificazione. La stessa logica dell’esempio, peraltro, puo essere estesa (seppur utilizzandouna matematica piu complessa) al caso con distribuzione continua dei rendimenti.
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II. Tasso di rendimento dei titoli finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
E [ri,t+1] = (0, 5)·(0, 1)+(0, 3)·(0, 2)+(0)·(0, 4)+(−0, 1)·(0, 2)+(−0, 3)·(0, 1) = 0, 1 = 10%.
Chiaramente, i problemi maggiori con questo metodo si legano al fatto che, general-
mente, stimare le probabilita con cui i differenti scenari possono realizzarsi non e semplice
e potrebbero differire da soggetto a soggetto. Per questo motivo, nella pratica, per calco-
lare il rendimento atteso di un titolo finanziario si ricorre tipicamente al secondo metodo,
basato sui dati storici.
In particolare, supponiamo nuovamente che l’investitore al tempo t (es. inizio dell’an-
no) voglia nuovamente calcolare il rendimento atteso del titolo i al tempo t + 1 (es. fine
dell’anno) e supponiamo adesso che conosca i rendimenti annui (effettivi) fatti registrare
dal titolo i nei sei anni passati, cioe nei periodi t− 1, t− 2, ..., t− 6, come indicato nella
tabella seguente:
Periodi Rendimenti
t− 1 12%
t− 2 8%
t− 3 −10%
t− 4 12%
t− 5 −5%
t− 6 −13%
In questo caso, l’investitore puo sfruttare le informazioni sui rendimenti passati dei
titoli per calcolare il suo rendimento atteso per l’anno successivo come media aritmetica
(semplice) dei rendimenti passati:
E [ri,t+1] =
∑Tx=1 ri,t−xT
dove T e il numero di osservazioni passate (o dati storici utilizzati).13 Per cui, nel nostro
esempio, il rendimento atteso del titolo i e:
E [ri,t+1] =0, 12 + 0, 08− 0, 1 + 0, 12− 0, 05 + 0, 13
6= 0, 05 = 5%.
13Talvolta, i dati storici disponibili non si riferiscono immediatamente ai rendimenti ma ai prezzi (o piuin generale ai payoffs) passati dei titoli. In questo caso, una formula analoga (con vi,t−x al posto di ri,t−x)puo essere utilizzata per calcolare il prezzo atteso futuro del titolo, ossia E[vi,t+1]. Una volta calcolatoE[vi,t+1] (e conoscendo pi,t) e possibile utilizzare la formula generale del tasso atteso di rendimento (1.2)per calcolare questo ultimo.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria
Come emerge dall’Esempio 6, una questione rilevante e quali informazioni possono
utilizzare gli investitori per formarsi delle aspettative su vi,t+1 (e quindi, conoscendo pi,t,
su ri,t+1). A tale riguardo, un’informazione che potrebbero utilizzare e proprio il prezzo
del titolo che osservano al momento dell’acquisto, pi,t. Cio esprime un aspetto cruciale
per quanto concerne il funzionamento dei mercati finanziari e, piu specificatamente, sul
ruolo peculiare che assumono i prezzi dei beni scambiati (titoli e attivita finanziarie) in
tali mercati. Nei mercati finanziari, infatti, i prezzi svolgono una duplice funzione:
1. funzione allocativa. Questa e la tipica funzione che i prezzi svolgono nei mercati di
qualsiasi bene: far fronte, tramite adeguati “aggiustamenti”, a momentanei squilibri
tra domanda e offerta;
2. funzione di trasmissione delle informazioni. Nei mercati finanziari i prezzi odierni
dei titoli trasmettono informazioni su quelli che saranno i loro prezzi futuri (e quindi
sui rispettivi tassi di rendimento).
La seconda funzione dei prezzi nei mercati finanziari, oltre a rivestire un’enorme im-
portanza, si caratterizza per alcune implicazioni non banali. Una di queste fu indivi-
duata per primo dall’economista inglese John Maynard Keynes in un noto passaggio (sul
“concorso legato alla gara di bellezza”) della sua opera piu famosa: la Teoria Generale.
Poiche i prezzi correnti delle attivita finanziarie agiscono (trasmettendo informazioni) sul-
le aspettative degli investitori su quelli che saranno i loro prezzi futuri, essi influiranno
sulle decisioni di acquisto e di vendita di tali investitori. Ma tali decisioni determineranno,
di fatto, i prezzi futuri delle attivita finanziarie. In sostanza, il processo che lega i prezzi
dei titoli e le aspettative degli investitori su tali prezzi e circolare e mal si presta, quindi,
ad esprimere una chiara relazione di causa-effetto tra di essi.
III Intermediazione finanziaria
Il “circuito” attraverso cui le risorse finanziarie si trasferiscono dalle unita in surplus
(creditori) a quelle in deficit (debitori) puo essere duplice: si parla, infatti, di circui-
to diretto quando, attraverso l’emissione di titoli, i debitori prendono a prestito fondi
direttamente dai creditori; si parla, invece, di circuito indiretto quando nel processo
interviene un intermediario finanziario, cioe un soggetto che si interpone tra debitori
e creditori, agevolando il trasferimento di fondi dagli uni agli altri. L’esempio tipico di
intermediari finanziari sono le banche, che prendono a prestito dalle unita in surplus per
concedere finanziamenti a quelle in deficit, ma lo sono anche le societa finanziarie e quelle
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III. Intermediazione finanziaria 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
assicurative, i fondi comuni d’investimento e i fondi pensione, nonche i dealer e i broker
che operano nei mercati secondari.14
Gli intermediari finanziari possono svolgere un ruolo essenziale nell’ambito dei mer-
cati finanziari, dal momento che nel circuito indiretto transita la parte relativamente piu
importante delle risorse finanziarie scambiate. Un punto centrale dell’economia dei mer-
cati finanziari e dunque quello di comprendere l’importanza del ruolo che svolgono in tali
mercati gli intermediari finanziari; esso concerne aspetti legati ai costi di transazione,
all’allocazione del rischio e alla presenza di asimmetrie informative, che caratterizzano i
mercati in questione.
Costi di transazione. I costi di transazione sono tutti quei costi, sia di natura mo-
netaria che non monetaria (quali, ad esempio, la perdita di tempo), che debitori e creditori
devono sostenere per realizzare uno scambio (transazione). Ad esempio, due soggetti che
intendono realizzare uno scambio di fondi, dovranno innanzitutto accordarsi sui termi-
ni del contratto che regola la transazione (durata del finanziamento, remunerazione del
creditore, modalita del rimborso, ecc.). Tutto questo puo richiedere tempo! Inoltre, una
volta decisi i termini contrattuali, le parti potrebbero decidere di renderli legalmente piu
“robusti” di fronte ad un notaio. Cio, oltre che tempo, imporrebbe loro anche un esborso
monetario.
Gli intermediari finanziari possono ridurre i costi di transazione nei mercati dei fondi
prestabili, innanzitutto in virtu dell’esperienza maturata nei rapporti, da un lato, con chi
offre risorse finanziarie e, dall’altro, con chi le domanda. Inoltre, cosa piu importante, essi
hanno la possibilita di ridurre i costi unitari di transazione, potendo sfruttare la presenza
di economie di scala. Per capire come, riflettiamo su questo fatto: un intermediario
finanziario, ad esempio una banca, propone uno stesso contratto “tipo”, cioe con le stesse
clausole contrattuali, a tutti i soggetti interessati a stipulare con essa quel tipo di con-
tratto (pensiamo, ad esempio, a un deposito di risparmio). Ovviamente, progettare quel
contratto sara per la banca fonte di costi di transazione (ad esempio, per assumere un
esperto finanziario e/o un avvocato che individuino la forma contrattuale piu conveniente
e legalmente praticabile per la banca), ma e ragionevole supporre che tali costi non dipen-
dano dal numero di contratti che poi la banca sara effettivamente in grado di stipulare
con i suoi clienti; in altri termini, si tratta di un costo fisso. Proprio perche e un costo
fisso, tanto maggiore e poi il numero di contratti stipulati, tanto piu basso sara il costo
14I dealer facilitano l’incontro tra venditori e compratori acquistando i titoli dai primi e vendendoli aisecondi, mentre i broker si limitano a mettere in contatto potenziali acquirenti con potenziali venditori,ma non effettuano operazioni di compravendita.
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1. ASPETTI INTRODUTTIVI III. Intermediazione finanziaria
unitario di transazione per la banca (in quanto, ovviamente, il costo si ripartisce su un
numero maggiore di contratti).
In sostanza, proprio grazie al fatto che gli intermediari finanziari stipulano numerosi
contratti finanziari sia con chi presta loro denaro, sia con chi riceve da loro dei finan-
ziamenti, riescono piu facilmente, rispetto ai singoli soggetti, ad “ammortizzare” i loro
costi di transazione. Tutto cio, inoltre, puo favorire un miglior funzionamento dei mercati
finanziari, dal momento che, con costi unitari di transazione piu bassi, gli intermediari
sono piu inclini a realizzare scambi (es. concessione di prestiti) che i singoli soggetti, da
soli, non avrebbero convenienza a fare.
Allocazione del rischio. Il rischio e un elemento centrale nei mercati di cui stiamo
discutendo. Coloro che investono risorse finanziarie si aspettano di ricevere un dato ren-
dimento e sperano di riuscire a ottenerlo col rischio piu basso possibile. Gli intermediari
finanziari possono consentire di ridurre l’esposizione degli investitori al rischio in diverse
modi.
In primo luogo, emettendo e scambiando titoli con profili diversi di incertezza sui ren-
dimenti, gli intermediari finanziari consentono il trasferimento di risorse tra soggetti con
atteggiamenti differenti rispetto al rischio, attuando quel processo noto come ridistri-
buzione del rischio. Inoltre, un modo ulteriore per ridurre il rischio di investimento
e rappresentato dalla sua diversificazione. Essa implica la scelta da parte dell’investi-
tore di una combinazione di attivita finanziarie, detta portafoglio, i cui rendimenti si
muovono in modo diverso gli uni dagli altri, con il risultato che il rischio complessivo e
minore di quello delle singole attivita che compongono il portafoglio. In tale prospettiva,
la presenza degli intermediari finanziari puo essere di ausilio per i singoli soggetti. Essi,
infatti, potrebbero ottenere i benefici della diversificazione investendo in fondi comuni o
in fondi pensione, dato che usano i fondi raccolti da una molteplicita di individui per
investirli in un insieme particolarmente ampio di attivita finanziarie.
Si noti, infine, che le funzioni, generalmente collegate, di ridistribuzione del rischio e
di diversificazione possono essere svolte piu efficientemente dagli intermediari, anche in
virtu dei piu bassi costi (unitari) di transazione che essi devono sopportare.
Asimmetrie informative. Con riferimento al funzionamento dei mercati, si utilizza
l’espressione asimmetria informativa quando i soggetti coinvolti in uno scambio non
sono tutti informati allo stesso modo. In altri termini, un soggetto dispone di alcune in-
formazioni, rilevanti per la transazione, che non sono a conoscenza dell’altro, o degli altri,
soggetto(i). La presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali
e piu diffuse di fallimento del mercato, in quanto la loro presenza puo impedire la rea-
21
III. Intermediazione finanziaria 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
lizzazione concreta di transazioni mutuamente vantaggiose (cioe che potrebbero produrre
un beneficio per tutti i soggetti in esse coinvolti).
Quelli finanziari sono tra i mercati in cui i problemi legati alla presenza di asimme-
trie informative sono maggiormente pressanti. A tale riguardo e importante distinguere
tra due diverse forme di asimmetria informativa, le quali possono generare due problemi
di diversa natura. Una prima forma e quella definita di asimmetria informativa pre-
contrattuale, in quanto relativa ad una situazione in cui un soggetto dispone di infor-
mazioni private, che gli altri soggetti non hanno, gia prima di stipulare un contratto
finanziario con gli altri soggetti. Ad esempio, consideriamo un contratto di finanziamento
tra un’unita in surplus e un’impresa (unita in deficit). Ovviamente, prima di concedere
il finanziamento, cioe prima di stipulare il contratto, l’unita in surplus avra interesse a
conoscere il grado di “rischiosita” effettiva del progetto di investimento per cui l’impresa
richiede il finanziamento. In generale, peraltro, questa informazione e “privata” per le
imprese che richiedono il prestito. Inoltre, tali imprese potrebbero aver convenienza a
non rivelare correttamente l’effettivo grado di rischiosita dei loro progetti se cio riduce la
probabilita di ottenere il finanziamento. Tale situazione puo generare un problema par-
ticolare sul funzionamento del mercato, che e noto con il termine di selezione avversa
(adverse selection). Per capire di cosa si tratta, riprendiamo l’esempio del contratto di
finanziamento e consideriamo che se l’unita in surplus fosse perfettamente informata sulla
rischiosita di ogni progetto di investimento per cui le imprese richiedono un finanziamento,
opererebbe una politica di tassi di interesse bassi per i progetti a basso rischio e di tassi di
interesse alti per i progetti ad alto rischio. Ma se invece non e in grado di stabilire a priori
con certezza il grado di rischiosita effettiva di un dato progetto di investimento, potrebbe
non trovare altra alternativa che fissare un tasso di interesse unico sulla base di un rischio
atteso (o medio) di fallimento del progetto. Peraltro, dal momento che generalmente tasso
di rendimento e rischio sono correlati positivamente, un tasso di interesse cosı determinato
potrebbe risultare troppo alto per le imprese che intendono realizzare investimenti a basso
rischio (e basso tasso di rendimento). Tali imprese accantonerebbero il proprio proget-
to. Invece, le uniche imprese a presentare richieste di finanziamento sarebbero quelle i
cui progetti di investimento risultano ad alto rischio (ed alto tasso di rendimento), cioe
proprio quelle meno “appetibili” dal punto di vista dell’unita in surplus.
Oltre a potersi presentare gia prima della conclusione del contratto, influenzando la
selezione delle proposte di finanziamento, il problema dell’asimmetria informativa puo
prodursi anche successivamente alla stipula dell’accordo tra i soggetti. In tali circostanze,
si parla di asimmetria informativa post-contrattuale e riguarda, piu specificatamente, certe
azioni, scelte e/o comportamenti che un soggetto mette in essere in seguito all’accordo e
che possono condizionare fortemente il risultato ottenuto dai soggetti coinvolti nell’ambito
22
1. ASPETTI INTRODUTTIVI IV. Efficienza dei mercati finanziari
della transazione. Tale situazione puo generare un problema concettualmente distinto
dalla selezione avversa e denominato azzardo morale (moral hazard). In generale, nei
mercati finanziari tale problema si ricollega al rischio che coloro che prendono a prestito
fondi attuino dei comportamenti che, per accrescere i propri rendimenti, aumentano anche
la loro probabilita di insolvenza (ad esempio, un’impresa che di fronte ad un insieme
possibile, o menu, di progetti sceglie quello con piu alto rendimento atteso, ma maggior
rischio).
Le problematiche della selezione avversa e dell’azzardo morale, proprio perche perva-
dono i mercati finanziari, contribuiscono a spiegare molti fenomeni che caratterizzano tali
mercati, quali, ad esempio, le crisi finanziarie, le politiche di finanziamento delle banche e
le scelte relative alla struttura finanziaria delle imprese. Inoltre, essi possono fornire una
giustificazione del ruolo e della presenza degli intermediari finanziari. Infatti, quando ope-
rano in modo efficiente e corretto, gli intermediari possono ridurre sostanzialmente i rischi
legati alle problematiche in questione. Ad esempio, in virtu della sua specializzazione e
dell’esperienza maturata nelle operazioni di finanziamento, i costi che una banca sostiene
per acquisire informazioni sul rischio di fallimento di un’impresa e/o per monitorare le
scelte di investimento attuate, successivamente al finanziamento, dal suo management so-
no, in generale, sostanzialmente piu bassi di quelli che dovrebbe sostenere, per tali scopi,
un piccolo risparmiatore che prestasse i suoi fondi direttamente all’impresa.
IV Efficienza dei mercati finanziari
Sui media spesso si dibatte sulla questione se i mercati finanziari funzionino o meno in
modo efficiente. Dal punto di vista degli economisti, il concetto di efficienza nei mercati
finanziari non e unico, prestandosi ad essere analizzato sotto diversi punti di vista. Come
sara illustrato qui di seguito, tali concetti, sebbene distinti, non sono indipendenti gli uni
dagli altri.
Efficienza allocativa (o Pareto-efficienza). Il concetto di efficienza allocativa o
nel senso di Pareto, dal nome dell’economista italiano Vilfredo Pareto, e quello piu
ampiamente utilizzato nella teoria economica. Esso e un concetto molto (forse troppo)
generale: una data allocazione (o distribuzione) delle risorse e detta Pareto-efficiente se
non e possibile modificarla (cioe attuare un processo di ridistribuzione di quelle risorse)
in modo da migliorare il benessere di qualche soggetto senza peggiorare quello di qualche
altro soggetto.
Nell’ambito dei mercati finanziari, una questione rilevante e quella se tali mercati
sono in grado di conseguire un risultato Pareto-efficiente e in che modo. Un importante
23
IV. Efficienza dei mercati finanziari 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
risultato della teoria economica, noto come Primo Teorema dell’Economia del Benessere,
afferma che, se i mercati sono perfettamente concorrenziali, essi sono sempre in grado di
produrre un’allocazione delle risorse Pareto-efficiente. Molti economisti hanno sostenuto
che, grazie al numero molto elevato sia di creditori che di debitori che operano nei mercati
finanziari, tali mercati presentino un grado di concorrenza sufficientemente elevato (molto
piu elevato di quello che caratterizza molti altri mercati). Questo ne assicurerebbe il
miglior funzionamento possibile. Inoltre, sulla base di questo presupposto, varie forme
di intervento e di regolamentazione pubblica in tali mercati sarebbero sconsigliabili e
dovrebbero essere contenute al minimo possibile.
D’altro canto, affinche i mercati funzionino in modo concorrenziale, sono necessari
ulteriori presupposti oltre quello dell’elevato numero di compratori e venditori. Tra essi,
vi e quello che i soggetti che operano nel mercato siano tutti perfettamente informati.
Come abbiamo discusso nella Sezione III, la presenza di asimmetrie informative pervade
i mercati finanziari e costituisce una delle cause principali di “fallimento” nel loro funzio-
namento.15 Per tale motivo, altri economisti ritengono che una qualche forma (per alcuni
anche “robusta”) di intervento e di regolamentazione pubblica sia del tutto necessaria
per consentire un’allocazione delle risorse piu efficiente rispetto a quella che i mercati
finanziari garantirebbero se lasciati liberi di funzionare senza alcun intervento dello Stato.
Efficienza operativa. Il concetto di efficienza operativa e un concetto che concerne
principalmente l’efficienza tecnica (connessa, ad esempio, alla riduzione dei costi) con cui
operano i vari soggetti che agiscono nei mercati finanziari tra cui, soprattutto, gli inter-
mediari finanziari. Il concetto di efficienza operativa, sebbene piu specifico, si ricollega
comunque a quello di efficienza allocativa. Ad esempio, il grado di concorrenza tra gli
intermediari finanziari, elemento centrale nella prospettiva dell’efficienza allocativa, gioca
un ruolo importante anche per l’efficienza operativa. Infatti, solo un grado piu elevato
di concorrenza tra gli intermediari finanziari puo creare gli adeguati incentivi affinche, da
un lato, essi riducano i costi di produzione dei loro servizi e, dall’altro, offrano condizioni
(ad esempio, in termini di commissioni, spese, ecc.) piu vantaggiose agli altri soggetti,
loro clienti, che operano nel mercato. Inoltre, come abbiamo discusso nella Sezione III, la
presenza degli intermediari nei mercati finanziari e strettamente legata al ruolo che essi
svolgono nella riduzione dei costi di transazione, nella ridistribuzione del rischio e nella
riduzione delle asimmetrie informative. Dal momento che tali aspetti sono centrali per
il conseguimento di un’allocazione Pareto-efficiente, il grado di efficienza operativa con
15Tecnicamente, la presenza di asimmetrie informative costituisce una delle cause principali di incom-pletezza dei mercati finanziari, che ne puo pregiudicare la possibilita di conseguire un’allocazione dellerisorse Pareto-efficiente.
24
1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice
cui gli intermediari assolvono tali compiti assume chiara rilevanza non soltanto fine a se
stesso, ma anche dal punto di vista allocativo.
Efficienza informativa. Il concetto di efficienza informativa e un concetto molto
piu specifico dei precedenti e concerne il modo con cui i prezzi dei titoli finanziari riflettono
informazioni rilevanti. In prima approssimazione, i mercati finanziari sono detti efficien-
ti in senso informativo quando i prezzi correnti dei titoli riflettono perfettamente tutta
l’informazione disponibile utile per le decisioni di investimento. Il concetto di efficienza
informativa, sebbene relativamente semplice dal punto di vista concettuale, presenta di-
versi aspetti non banali dal punto di vista applicativo, che meritano un approfondimento
piu specifico (cio sara fatto nel Capitolo 8).
Efficienza di portafoglio (portfolio efficiency). Un portafoglio efficiente e un
investimento in una combinazione di titoli che consente all’investitore di ottenere un dato
rendimento atteso con il rischio piu basso e, al contempo, di massimizzare il rendimen-
to atteso dell’investimento per un dato livello di rischio. Tale questione sara indagata
dettagliatamente nel Capitolo 4.
V Appendice
A.1 Concetti elementari di statistica di uso comune in economia finanziaria
In questa appendice riportiamo alcune definizioni e formule relative a statistiche de-
scrittive e di variabili casuali che possono risultare utili allo studente in quanto ampia-
mente utilizzate nei capitoli che seguono.16
Statistiche descrittive
• Media aritmetica: la media aritmetica (o media) di una variabile X, denotata da
X, di cui sono disponibili n osservazioni e definita come:
X =
∑ni=1Xi
n, (A1)
dove Xi rappresenta l’osservazione i-esima della variabile X.
16Per un riferimento utile per eventuali approfondimenti si rimanda a Mood, Graybill e Boes (1974),Introduction to the Theory of Statistics, 3ed, New York: McGraw-Hill o a Wonnacott e Wonnacott(2011), Introduzione alla statistica, Roma: Franco Angeli.
25
V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
• Media geometrica: la media geometrica di una variabile X, denotata da XGEO
,
di cui sono disponibili n osservazioni e definita come:
XGEO
= (Πni=1Xi)
1/n . (A2)
• Mediana: la mediana di X si ottiene ordinando in senso crescente gli Xi e pren-
dendo il valore corrispondente al (n+ 1)/2 elemento di questa lista ordinata se n e
dispari, mentre si prende la media degli elementi n/2 e n/2 + 1 se n e pari.
• Moda: la moda e il valore che compare con frequenza piu alta fra gli Xi.
• Varianza: la varianza di X, indicata con varX o σ2X , rappresenta un indice sintetico
di dispersione ed e definita come la media delle deviazioni delle osservazioni dalla
loro media, ossia:
varX = σ2X =
∑ni=1
(Xi −X
)2
n. (A3)
• Deviazione standard: la deviazione standard σX di X e la radice quadrata della
varianza, ossia:
σX =
√∑ni=1
(Xi − X
)2
n. (A4)
• Coefficiente di variazione: il coefficiente di variazione CV o coefficiente di di-
spersione e una misura di dispersione relativa e, in relazione a una variabile X, e
definito come:
CVX =σX
X. (A5)
• Variabile standardizzata: data la variabile originaria X, la variabile standardiz-
zata X e definita come:
Xi ≡Xi −XσX
. (A6)
Per definizione la variabile standardizzata ha media zero e varianza unitaria.
• Indice di asimmetria (skewness) di una distribuzione: un indice sinteti-
co della asimmetria della distribuzione degli Xi e dato dal momento terzo della
distribuzione, denominato skew e cosı definito:
skew ≡∑n
i=1
(Xi−XσX
)3
n=
∑ni=1
(Xi
)3
n. (A7)
26
1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice
Per una distribuzione normale con media zero e varianza unitaria l’indice di asim-
metria e pari a 0; un indice minore di zero significa generalmente che la coda sinistra
della distribuzione e piu ”spessa” (si parla di distribuzioni asimmetriche a sinistra)
e che X < Mediana di X < Moda di X (attenzione: non e sempre cosı). L’opposto
vale per distribuzione asimmetriche a destra.
• Curtosi (kurtosis): la curtosi misura quanto le code della distribuzione siano
spesse, ossia quanti eventi estremi posso osservare dato X. L’indice di curtosi, kurt,
e cosı definito:
kurt ≡∑n
i=1
(Xi−XσX
)4
n=
∑ni=1
(Xi
)4
n(A8)
ossia rappresenta il momento quarto della distribuzione. Per una distribuzione nor-
male con media zero e varianza unitaria kurt assume valore pari a 3. Una distri-
buzione il cui valore di curtosi e superiore a 3 si dice leptocurtica perche appare
generalmente “appuntita”, ossia concentrata intorno alla sua moda, e con code
“spesse”; viceversa una distribuzione con curtosi inferiore a 3 si dice platicurtica
ed appare poco concentrata intorno alla sua moda, ossia “piatta”, con code poco
spesse. Nella pratica alcuni autori considerano kurt − 3 come indice di curtosi di
una distribuzione, perche la distribuzione normale ha un indice di curtosi pari a 3.
Nella parte alta della Figura 1.1 sono riportati due esempi di distribuzioni con 1000
osservazioni, la prima estratta da una distribuzione log-normale (il nome e dovuto al fatto
che e il logaritmo delle osservazioni ad essere distribuito normalmente), la seconda che ha
gli stessi elementi della prima solo con il segno cambiato. Nella parte bassa della Figura
1.1 sono riportai gli istogrammi delle stesse due distribuzioni per un possibile confronto.
La prima distribuzione come atteso ha un indice di skewness pari a circa 38, mentre la
seconda pari a circa -38, che e esattamente il segno atteso; mentre entrambi le distribuzioni
hanno una curtosi pari a circa 606, segnalando la presenza di code molto spesse.
Nel seguito riportiamo alcune delle statistiche descrittive piu usate quando siamo
interessati a come due variabili X ed Y (ad esempio il tasso di rendimento di due titoli
finanziari) si comportano fra loro.
• Covarianza: prese una sequenza di lunghezza n di coppie di osservazioni (Xi, Yi),
la covarianza e definita come:
covXY = σXY =
∑ni=1
(Xi −X
) (Yi − Y
)
n. (A9)
La covarianza puo assumere qualsiasi valore fra −∞ e +∞.
27
V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00
.10
0.2
00
.30
X
De
nsità
ma
rgin
ale
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0
0.0
00
.04
0.0
8
X
De
nsità
ma
rgin
ale
X
Pro
ba
bili
tà
0 2 4 6 8 10
0.0
0.2
0.4
0.6
X
Pro
ba
bili
tà
−10 −8 −6 −4 −2 0
0.0
0.2
0.4
0.6
Figura 1.1: Distribuzioni con asimmetrie e curtosi diverse dalla distribuzione normale
28
1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice
• Coefficiente di correlazione: misura la correlazione fra due variabili X ed Y
come la covarianza, ma e calcolato sulle variabili normalizzate X e Y , ossia:
ρXY =
∑ni=1 XiYin
=σXYσXσY
. (A10)
Il principale vantaggio di usare il coefficiente di correlazione e che questo e definito
nell’intervallo [−1, 1].
Variabili casuali, distribuzione di probabilita e loro proprieta
Nel seguito riportiamo alcune definizioni relative alle variabili casuali.
• Variabile casuale: una variabile casuale si dice tale quando il suo valore e il risulta-
to di un esperimento casuale. Molti fenomeni economici possono essere rappresentati
come variabili casuali quando esiste un elemento di incertezza o alea nella loro de-
terminazione, come ad esempio i rendimenti osservati di un certo titolo finanziario.
Le variabili casuali sono dette continue nel caso in cui la variabile puo assumere un
numero infinito di valori all’interno di un certo intervallo (esempio un rendimento di
un titolo); mentre sono dette discrete nel caso in cui i valori che possono assumere
sono in numero finito (ad esempio il numero di volte che esce croce in 10 lanci).
• Distribuzione di probabilita: la distribuzione di probabilita di una variabile ca-
suale discreta rappresenta il vettore di tutti i possibili risultati o esiti (tecnicamente
si parla di stati di natura) che puo assumere la variabile a cui viene associato un al-
tro vettore contenente le probabilita con cui ciascuno stato si verifica. La somma di
tutte queste probabilita deve fare uno ed ogni probabilita deve essere non negativa.
Ad esempio la Tabella 1.1 fornisce un esempio di distribuzione di probabilita con 6
possibili stati e le relative probabilita:
Stato 2 3 5 6 8 10Probabilita 0.1 0.35 0.05 0.15 0.1 0.25
Tabella 1.1: Esempio di distribuzione di probabilita
• Funzione di densita di probabilita: data una variabile casuale continua, e un
intervallo di possibili valori (stati), l’area sottostante la funzione di densita di pro-
babilita relativa a questo intervallo, fornisce la probabilita di osservare una realizza-
zione della variabile casuale che sia contenuta nell’intervallo stesso. E’ molte volte
29
V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
chiamata pdf (probability density function), funzione di densita o semplicemente
densita e si indica con f(X).17
• Funzione di ripartizione: essa fornisce la probabilita che la variabile causale
sia minore od uguale ad un particolare valore X. e chiamata anche distribuzione di
probabilita cumulata o cdf (da cumulative density function) e si indica generalmente
con F (X).18
Nella Figura 1.2 abbiamo riportato un esempio di: i) funzione di distribuzione di
probabilita pdf (si veda l’area individuata dall’intervallo [X1, X2] e la relativa associata
probabilita); e ii)funzione di ripartizione cdf (si veda l’area individuata dal limite superiore
X3 e la relativa associata probabilita).
pdf di X
XX2X1X3
Pr(X ≤ X3) = cdf(X3)
Pr(X ≥ X1 & X ≤ X2)
Figura 1.2: Funzione di densita di probabilita pdf e di funzione di ripartizione cdf
Valore atteso, varianza, covarianza e correlazione di variabili casuali
Nel seguito riportiamo alcune definizioni relative al valore atteso, varianza, covarianza
e correlazione di variabili casuali.
• Valore atteso: il valore atteso di una variabile casuale X, indicato con E[X] o µX ,
e il valore medio della variabile causale calcolato sulla base della distribuzione di
17Essendo f(X) una pdf deve valere che∫ +∞−∞ f(X)dX = 1.
18In particolare F (X) =∫ X−∞ f(X)dX.
30
1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice
probabilita o della funzione di densita di probabilita pdf nel caso, rispettivamente,
di variabili discrete o continue. Si parla anche di aspettativa o speranza matematica
di X.
Nel caso di variabile causale discreta, indicando con (π1, π2, ..., πm) il vettore delle
probabilita associato a m possibili stati di natura (con k l’indice riferito al generico
stato, k = 1, 2, ...,m), abbiamo che:
E [X] = µX =m∑
k=1
πkXk (A11)
mentre nel caso di variabile casuale continua, indicando con f(X) la pdf abbiamo
che:
E [X] = µX =
∫ +∞
−∞f(X)XdX. (A12)
Elenchiamo adesso alcune utili proprieta del valore atteso di X:
⊗ presa una costante a, allora E[a] = a;
⊗ prese due costanti a e b, allora E[a+ bX] = a+ bE [X].
• Varianza e deviazione standard: la varianza di X, indicata con var(X) o σ2X ,
e la derivata deviazione standard, indicata con σX , misurano la dispersione della
distribuzione di X calcolata tramite il valore atteso del quadrato degli scarti dalla
media, ossia:
var(X) = σ2X = E[(X − µX)2] (A13)
mentre la deviazione standard e pari a :
σX =
√E[(X − µX)2]. (A14)
Per una variabile discreta abbiamo quindi che:
var(X) = σ2X =
m∑
k=1
πk (Xk − µX)2 (A15)
mentre per una variabile continua:
var(X) = σ2X =
∫ +∞
−∞f(X) (X − µX)2 dX. (A16)
Elenchiamo adesso alcune utili proprieta della varianza di X:
31
V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
⊗ la varianza di una costante a e pari a zero, ossia var(a) = 0;
⊗ var(X) = E[(X − µX)2] = E[X2]− µ2X ;
⊗ prese due costanti a e b, allora var(a+ bX) = b2var(X).
• Covarianza fra due variabili casuali: prese due variabili causali X ed Y abbiamo
che la loro covarianza, indicata con cov(X, Y ) o σXY , e definita come:
cov(X, Y ) = σXY = E [(X − µX) (Y − µY )] = E [XY ]− µXµY . (A17)
Elenchiamo adesso alcune utili proprieta della covarianza di X e Y :
⊗ se X ed Y sono indipendenti allora E[XY ] = µXµY (per definizione stessa di
indipendenza fra X ed Y ), e quindi cov(X, Y ) = 0;
⊗ prese quattro costanti a, b, c e d, allora cov (a+ bX, c+ dY ) = bdcov(X, Y )
• Coefficiente di correlazione: analogamente a quanto gia visto in precedenza,
date due variabili casuali X e Y , e possibile definire il coefficiente di correlazione
fra X ed Y , ρXY , come:
ρXY =σXYσXσY
(A18)
che e compreso nell’intervallo [−1, 1].
• Varianza di somma di variabili casuali: presi X e Y e due costanti a e b, allora:
var (aX + bY ) = a2var(X)+b2var(Y )+2abcov(X, Y ) = a2σ2X+b2σ2
Y +2abρXY σXσY .
(A19)
Notiamo che se X ed Y sono indipendenti allora ρXY = 0 e quindi var(aX + bY ) =
a2σ2X + b2σ2
Y . Inoltre, e possibile generalizzare l’Espressione (A19) al caso di somma
di J variabili casualiX(1), X(2), ..., X(J) e un vettore di parametri a(1), a(2), ..., a(J),
ossia:
var
(J∑
j=1
a(j)X(j)
)=
J∑
j=1
a(j)2σ2X(j) +
J∑
j=1
J∑
q=1,q 6=j
a(j)a(q)ρX(j)X(q)σX(j)σX(q).
(A20)
• Stimatore del valore atteso, della varianza e della covarianza da un cam-
pione casuale: nell’analisi dei dati reali si osserva, tranne in poche eccezioni, un
campione di dati e non l’universo del fenomeno che si vuole studiare. Da questo
32
1. ASPETTI INTRODUTTIVI V. Appendice
campione e tuttavia possibile stimare la media, la varianza ed altre proprieta dell’u-
niverso da cui proviene, sotto l’ipotesi che il campione osservato sia stato estratto
in maniera causale dall’universo stesso.
In particolare, dato un campione causale (X1, ..., Xn) di n osservazioni estratto
dall’universo X, allora la media campionaria e lo stimatore corretto della media
dell’universo, ossia:
µX =
∑ni=1 Xi
n, (A21)
dove µX e la stima corretta della media dell’universo; lo stimatore corretto della
varianza dell’universo e invece dato da:19
σ2X =
∑ni=1 (Xi − µX)2
n− 1; (A22)
infine lo stimatore corretto della covarianza tra due variabili casuali X ed Y , dato
un campione di coppie ((X1, Y1) , ..., (Xn, Yn)), e dato da:
σX,Y =
∑ni=1 (Xi − µX) (Yi − µY )
n− 1. (A23)
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 1.
• Mishkin F.S., Eakins S.G., Forestieri G., Istituzioni e mercati finanziari, Pearson,
2007; Cap. 2.
19Notiamo come lo stimatore corretto richieda di correggere la varianza del campione per un fattorepari a n/(n− 1).
33
V. Appendice 1. ASPETTI INTRODUTTIVI
34
Capitolo 2
Elementi di teoria delle scelte in
condizioni di incertezza
Il rischio e l’incertezza sono elementi che pervadono i mercati finanziari. Un investi-
mento finanziario, generalmente, comporta sempre che colui che lo realizza debba soppor-
tare un certo grado, piu o meno ampio, di rischio. Questo in quanto una serie di eventi,
indipendenti dai comportamenti degli investitori, potranno condizionare il rendimento as-
sociato all’investimento. Per comprendere i comportamenti dei soggetti e i fenomeni che si
osservano nei mercati finanziari e innanzitutto necessario dotarsi, dunque, di un apparato
teorico che ci consenta di analizzare le decisioni dei soggetti in condizioni di incertezza.1
In questo capitolo ci occuperemo di gettare le basi per costruire un tale approccio teorico.
Nel capitolo successivo, applicheremo (con alcuni accorgimenti) il modello qui analizzato
alle cosiddette scelte di portafoglio, cioe allo studio del mix ottimale di titoli finanziari in
cui i risparmiatori decidono (o, piu esattamente, dovrebbero decidere) di investire la loro
ricchezza.
I Definizione del problema di scelta in condizioni di incertezza
Immaginiamo un soggetto che debba fare una certa scelta, tra diverse alternative pos-
sibili, in relazione ad un evento incerto. L’incertezza consiste nel fatto che, al momento
della scelta, il soggetto non ha la possibilita di conoscere il risultato finale dell’evento.
1In seguito, i concetti di rischio e di incertezza saranno utilizzati quasi indifferentemente l’uno dall’al-tro. e importante pero sottolineare come nell’ambito della teoria economica essi abbiano spesso assuntoconnotati ben distinti. In particolare, nella sua opera del 1920 Risk, Uncertainty and Profit, l’economistaamericano Frank Knight per primo fece riferimento al concetto di “rischio” in relazione ad eventi noncerti, ma alle cui possibili realizzazioni e sensato assegnare delle probabilita, mentre accosto il concettodi “incertezza” a eventi talmente imprevedibili per cui non e in alcun modo possibile associare delleprobabilita alle loro realizzazioni. E al primo concetto che sara fatto riferimento in cio che segue.
35
I. Definizione del problema 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
Piu specificatamente, ipotizziamo che il soggetto possa scegliere tra diversi atti o azioni
ognuno dei quali puo produrre per lui dei risultati incerti. Ad esempio, potrebbe trattarsi
di un risparmiatore che deve decidere come investire i suoi risparmi tra diversi titoli (o
tra diverse combinazioni di titoli), non sapendo a priori quali saranno i rendimenti che
potra ottenere da essi. Per semplificare l’analisi, immaginiamo che, sebbene il soggetto
non possa sapere con certezza quale risultato si produrra in concreto, esso conosca l’in-
sieme dei possibili risultati finali o, piu specificatamente, dei livelli della sua ricchezza
finale complessiva associati a ciascun atto che puo scegliere: indichiamo con il vettore
(W1,W2, ...,Wm) gli m risultati (livelli di ricchezza finale) possibili associati ad una qual-
siasi azione appartenente all’insieme di scelta del soggetto. Ad esempio, nel caso di un
investimento finanziario, (W1,W2, ...,Wm) potrebbero rappresentare il valore complessivo
dell’investimento (che dipende ovviamente dai payoffs che l’investimento puo consentire
di ottenere) nei differenti stati di natura (o stati del mondo) che si possono verificare
ex-post, ossia al termine dell’investimento.
Ipotizziamo, inoltre, che il soggetto conosca le probabilita con cui ciascun risultato si
puo realizzare in concreto. Indichiamo con (π1, π2, ..., πm) il vettore delle probabilita: data
l’azione generica scelta dal soggetto, il risultato Wk (connesso a quell’azione) si produrra
con probabilita πk, con k = 1, 2, ...,m, che rappresenta l’indice con cui sono identificati i
differenti possibili stati di natura.
Definiamo, adesso, un concetto rilevante per l’analisi successiva, cioe quello di lotteria:
Definizione 1 (Lotteria)
Data un’azione scelta dal soggetto, la lotteria L ad essa associata e il vettore casuale
L ≡ (W1,W2, ...,Wm; π1, π2, ..., πm)
dove Wk e un risultato possibile e πk e la probabilita che, data l’azione compiuta dal
soggetto, quel risultato si verifichi (con k = 1, 2, ...,m e∑
k πk = 1).
In sostanza, per ogni azione che il soggetto puo scegliere, avremo una lotteria ad
essa associata. La lotteria riassume l’insieme dei risultati finali, e le probabilita che essi si
realizzino, connessi ad una certa azione che appartiene all’insieme di scelta del soggetto. Il
problema di scelta di quest’ultimo, quindi, puo essere impostato nei termini di scelta della
lotteria che meglio soddisfa le sue preferenze. Individuando la lotteria preferita, infatti,
e possibile individuare la scelta migliore del soggetto (quella a cui la lotteria preferita e
associata). Ovviamente, a questo punto si tratta di definire un criterio che ci consenta di
“ordinare” le lotterie in funzione delle preferenze del soggetto.
36
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA II. Valore atteso
II Valore atteso
Da qui in poi considereremo che i risultati (W1,W2, ...,Wm) di ogni lotteria, trattandosi
di livelli di ricchezza finale, siano sempre espressi in termini monetari. Un primo semplice
modo per ordinare le lotterie e quello in base al loro valore atteso, indicato con E[W ],
che puo essere calcolato nel modo seguente:
E[W ] = W1π1 +W2π2 + ...+Wmπm =m∑
k=1
Wkπk.
Esempio 7 (Valore atteso e titoli finanziari)
Guardiamo di utilizzare il concetto di valore atteso, descritto precedentemente, per un
titolo finanziario, mettendolo in relazione con quello di tasso atteso di rendimento del
titolo, cosı come definito nel Capitolo 1 (Sezione II).2 A tale scopo, si consideri un rispar-
miatore che sta valutando la possibilita di investire i suoi risparmi nel titolo azionario
della societa “X”. Al momento dell’investimento, gli analisti finanziari prevedono che tra
un anno il prezzo dell’azione “X” possa valere 1, 20 euro con probabilita 13, 1, 50 euro con
probabilita 13
e 1, 80 euro con probabilita 13. Se l’investitore acquistasse oggi 100 azioni
della societa “X” per rivenderle tra un anno, quale sarebbe il valore atteso della ricchezza
finale prodotta dall’investimento sulla base delle previsioni degli analisti (e previsto che
nel corso dell’anno non vengono distribuiti dividendi)? Inoltre, se oggi il prezzo dell’azio-
ne e pari a 0, 90 euro, qual’e il tasso atteso di rendimento dell’investimento da oggi a un
anno?
Consideriamo che nel caso dei titoli finanziari, il generico risultato Wk in termini di
ricchezza finale, che un risparmiatore ottiene ad una certa data dal possesso dei titoli,
e pari al prodotto tra il prezzo (o piu in generale il payoff) del titolo a quella data e il
numero di unita di quel titolo possedute dall’investitore. Nel nostro esempio, indicando
con x la quantita delle azioni acquistate dall’investitore e con vk il prezzo dell’azione
all’atto del disinvestimento (che puo variare in base allo stato del mondo che si realizza),
avremo quindi che Wk = vkx. Tenendo, inoltre, conto che, al momento dell’investimento,
le previsioni degli analisti individuano tre possibili “scenari” le cui rispettive probabilita
sono π1 = π2 = π3 = 13, applicando la formula del valore atteso, otteniamo:
E[W ] = 120
(1
3
)+ 150
(1
3
)+ 180
(1
3
)= 150.
2Per semplificare il testo, rispetto alle definizioni del Capitolo 1, di seguito, per il tasso atteso direndimento non viene riportato l’indice temporale e quello che identifica il particolare titolo.
37
II. Valore atteso 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
Per calcolare il tasso atteso di rendimento possiamo fare riferimento alla formula in-
dividuata nella Sezione II del Capitolo 1 (E[r] = (E[v] − p)/p). In particolare, tenendo
conto delle probabilita con cui i vari payoff (prezzi) vk si realizzano avremo che:
E[r] =
[(1, 20)
(13
)+ (1, 50)
(13
)+ (1, 80)
(13
)]− 0, 90
0, 90' 0, 66 = 66%.
Si noti, infine, che chiaramente saremmo arrivati allo stesso risultato facendo riferi-
mento, anziche ai valori unitari E[v] e p, ai corrispondenti valori complessivi, ossia al
valore atteso della ricchezza finale derivante dall’investimento E[W ] = E[v]x e la ric-
chezza iniziale investita, che possiamo indicare come W = px, utilizzando la formula
E[r] = (E[W ]−W )/W . Infatti:
E[r] =150− 90
90' 0, 66 = 66%.
Definito il concetto di valore atteso di una lotteria, potremmo essere tentati di affer-
mare che cio e tutto quello che ci serve per ordinare differenti lotterie secondo le preferenze
dei soggetti. Ciascun soggetto potrebbe preferire la lotteria che, rispetto a tutte le altre,
garantisce il valore atteso piu alto. Tale ragionamento, in generale, non e corretto in
quanto non e in grado di tener conto del differente atteggiamento nei confronti del
rischio da parte dei soggetti.
Immaginiamo le due seguenti lotterie: L′ = (−900, 300, 900; 13, 1
3, 1
3) e L′′ = (50, 150; 1
2, 1
2).
Entrambe le lotterie hanno lo stesso valore atteso, pari a 100, e quindi potremmo essere
tentati di affermare che siano tra loro indifferenti per i vari soggetti. Peraltro, le due lot-
terie sono tra loro ben diverse. Nella prima esiste una probabilita positiva di ottenere sia
un risultato positivo elevato, sia un risultato sempre positivo ma piu contenuto. Al tempo
stesso, pero, esiste una probabilita non trascurabile di ottenere un risultato fortemente
negativo (−900 con probabilita 13). Nella seconda lotteria, invece, vi e una probabilita pari
al 50% di ottenere un risultato positivo piu o meno elevato, ma comunque relativamente
modesto. In altri termini, a parita di valore atteso, L′ e molto piu rischiosa di L′′; d’altro
canto L′ puo consentire al soggetto dei risultati che con L′′ non e assolutamente in grado
di raggiungere. In virtu di cio, e lecito aspettarsi che ci siano soggetti che preferiscano
L′ a L′′, altri soggetti che preferiscono L′′ a L′, e altri ancora per cui le due lotterie sono
effettivamente equivalenti. Inoltre, sebbene la lotteria L′ abbia un valore atteso stretta-
mente positivo, e del tutto probabile che vi siano soggetti non disposti a “giocare” L′, in
quanto assolutamente contrari alla possibilita che si verifichi un risultato negativo pari a
−900. Questi ultimi soggetti, inoltre, potrebbero perfino preferire alla lotteria L′ un’altra
lotteria molto simile a L′′, ma con un valore atteso leggermente piu basso (ad esempio, la
lotteria L′′′ = (50, 149; 12, 1
2)).
38
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa
In conclusione, la scelta dei soggetti dipendera anche (soprattutto) dalla loro propen-
sione ad accettare il rischio e il solo criterio del valore atteso, come abbiamo dimostrato,
non e assolutamente in grado di cogliere tale aspetto. Un altro famoso esempio che rias-
sume l’inadeguatezza del concetto di valore atteso come base per descrivere le scelte dei
soggetti in condizioni di incertezza fu proposto per la prima volta dal matematico svizzero
Daniel Bernoulli ed e noto con il nome di Paradosso di San Pietroburgo.
Esempio 8 (Paradosso di San Pietroburgo)
Supponiamo di partecipare al seguente gioco (lotteria). Si lancia una moneta non truccata,
per cui la probabilita che esca testa (croce) e pari a 1/2, fino a che non esce testa. La prima
volta che esce testa si smette di lanciare la moneta e si determinano i premi nel modo
seguente: se esce testa al primo lancio si vince una somma pari a 2 (euro, ad esempio).
Se esce testa al secondo lancio si ottiene una somma pari a 22 = 4. Se esce testa al terzo
lancio si ottiene 23 = 8, al quarto lancio 24 = 16 e cosı via. Poiche, se necessario, la
moneta viene lanciata un numero infinito di volte, i lanci sono indipendenti tra loro e la
probabilita che esca testa e 1/2, il valore atteso della vincita di questa lotteria e pari a:
2
(1
2
)+ 22
(1
2
)2
+ 23
(1
2
)3
+ ... = 1 + 1 + 1 + ... =∞.
In sostanza, poiche il valore atteso della vincita di questo gioco e infinito, se un soggetto
facesse le sue scelte esclusivamente sulla base del valore atteso, dovrebbe essere disposto
a pagare una grande somma di denaro pur di partecipare a questa lotteria. In realta,
ovviamente, le persone non sono disposte a pagare una grande somma di denaro per
partecipare ad un gioco, come quello appena descritto, che da loro una probabilita molto
piccola di vincere una grande somma di denaro.
III Utilita attesa
Per ovviare ai problemi connessi al valore atteso, descritti precedentemente, si puo
fare riferimento al concetto di utilita attesa, che rappresenta l’ipotesi di comporta-
mento maggiormente utilizzata dagli economisti nell’analisi delle scelte in condizioni di
incertezza. La teoria dell’utilita attesa von Neumann-Morgenstern (VNM), dal nome del
matematico John von Neumann e da quello dell’economista Oskar Morgenstern che per
primi l’hanno elaborata,3 afferma che le preferenze dei soggetti rispetto a certe azioni,
3Von Neumann e Morgenstern elaborarono tale teoria nel 1944 nel loro libro Theory of Games andEconomic Behavior come teoria normativa, cioe come una teoria che definisce le scelte ottimali degliagenti in condizioni di incertezza, date certe ipotesi di comportamento. Peraltro, tale approccio vienespesso utilizzato (compreso nell’ambito dei mercati finanziari) come teoria positiva, cioe come teoria chedescrive gli effettivi comportamenti degli agenti. In tale prospettiva, peraltro, essa non e esente da critiche
39
III. Utilita attesa 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
o lotterie che le rappresentano, possono essere rappresentate tramite una funzione che
assegna alla generica lotteria L un valore, indicato con U(L), dato da:
U(L) = u(W1)π1 + u(W2)π2 + ...+ u(Wm)πm =m∑
k=1
u(Wk)πk (2.1)
dove u(Wk) e la funzione che associa un dato livello di utilita alla generica somma di
denaro (livello di ricchezza finale) Wk ottenuta con certezza.4 In base all’ipotesi di utilita
attesa VNM, date due lotterie qualsiasi L′ e L′′, un soggetto preferira (strettamente) la
prima lotteria alla seconda se e solo se l’utilita attesa che egli attribuisce alla prima lotteria
e maggiore di quella che attribuisce alla seconda, ossia se e solo se vale U(L′) > U(L′′).
Come emerge chiaramente dall’Equazione (2.1), con il criterio dell’utilita attesa cio
che conta per attribuire un “valore” alla lotteria L non e semplicemente il suo valore
atteso (ossia la media ponderata, in base alle rispettive probabilita, dei risultati della
lotteria), ma si deve tener conto anche di come e fatta la funzione u. Come vedremo,
e proprio tale funzione, che puo differire da soggetto a soggetto, che consentira di tener
conto dell’atteggiamento nei confronti del rischio, nell’ambito del processo con cui vengono
valutate e ordinate le varie lotterie. In particolare, U(L) e una funzione lineare ponderata
dell’utilita che i soggetti percepiscono in condizioni di certezza, in generale u(W ), dove i
pesi sono dati dalle probabilita associate ai vari risultati. In altri termini, essa esprime
l’aspettativa dei soggetti sull’utilita che otterranno dall’esito finale della lotteria; per tale
motivo, in cio che segue, sara anche indicata con E[u(W )] (cioe U(L) ≡ E[u(W )], per cui,
di qui in avanti, U(L) e E[u(W )] saranno utilizzati indifferentemente per indicare l’utilita
attesa della lotteria considerata).5
III.A Atteggiamento nei confronti del rischio
Una volta definita la funzione di utilita attesa VNM che rappresenta le preferenze
dei soggetti su lotterie, ossia su alternative incerte, e necessario approfondire la forma e
e contraddizioni come sara ampiamente discusso nel Capitolo 9.4E opportuno ribadire ulteriormente la differenza sostanziale che esiste tra le funzioni U e u. Mentre
la funzione di utilita attesa U e definita su un “bene” incerto quale una lotteria, ossia esprime l’utilitache un soggetto ottiene “giocando” la lotteria L, la funzione di utilita u e definita su un “bene” certoquale una somma di denaro, ossia esprime l’utilita che un soggetto ottiene disponendo con certezza dellasomma Wk, che rappresenta un risultato possibile della lotteria L.
5Analogamente a quanto studiato nel corso di microeconomia per la funzione di utilita del consumatorenei problemi di scelta in condizioni di certezza, l’esistenza della funzione di utilita attesa VNM si fondasu alcune ipotesi, o assiomi, relativi al comportamento dei soggetti. Inoltre, e possibile dimostrare chetale funzione e unica a meno di trasformazioni affini positive. Non ci concentreremo qui su tali aspetti,che esulano in larga parte dai nostri scopi, per i quali rimandiamo il lettore interessato ad un manuale dimicroeconomia (es. Kreps (1993, Cap. 3)).
40
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa
le proprieta della funzione u(W ), soprattutto per quanto concerne la predisposizione dei
soggetti ad accettare il rischio.
Innanzitutto, poiche stiamo considerando i risultati delle lotterie come livelli di ricchez-
za finale espressi in termini monetari, generalmente si suppone che la funzione in questione
sia sempre crescente; formalmente, avremo sempre che u′(W ) = du(W )/dW > 0. Piu
interessante e analizzare la curvatura della funzione (ossia se cresca piu o meno propor-
zionalmente rispetto ai risultati) dal momento che cio esprime proprio l’atteggiamento
nei confronti del rischio dei vari soggetti. Prima di fare questo, e opportuno definire due
concetti che saranno utili nell’analisi successiva: quello di equivalente certo e quello di
premio per il rischio.
Definizione 2 (Equivalente certo)
Data una lotteria L, si definisce equivalente certo di L il risultato CEL che, se ottenuto
con certezza, fornisce un’utilita esattamente uguale all’utilita attesa di L, ossia
u(CEL) = E[u(W )]. (2.2)
La definizione di equivalente certo implica un confronto tra risultati certi ed incerti.
Infatti, per un soggetto, “partecipare” ad una lotteria comporta sempre l’assunzione di un
certo grado di rischio. L’equivalente certo ci dice quale sarebbe la situazione non rischiosa
che sarebbe per lui indifferente a partecipare alla lotteria.
Definizione 3 (Premio per il rischio)
Data una lotteria L, si definisce premio per il rischio la somma PRL per cui risulta
u(E[W ]− PRL) = E[u(W )]. (2.3)
Anche l’intuizione che sta dietro al concetto di premio per il rischio e relativamente
semplice. Se il soggetto gioca la lotteria L sa che otterra in media un risultato pari a
E[W ], ma potrebbe anche ottenere un risultato peggiore (o migliore). La questione che
si puo dunque porre e la seguente: quale somma massima il soggetto e disposto a pagare
per “assicurarsi” e ottenere il valore medio (atteso) della lotteria con certezza anziche
“partecipare” alla lotteria? Tale somma e proprio quella rappresentata dal premio per il
rischio.
Si noti, infine, un ultimo aspetto rilevante connesso alle definizioni di equivalente certo
e premio per il rischio. Considerando congiuntamente le Equazioni (2.2) e (2.3) notiamo
che u(CEL) = u(E[W ] − PRL), che implica CEL = E[W ] − PRL o, equivalentemente,
PRL = E[W ]−CEL.6 In sostanza, il premio per il rischio associato ad una lotteria L e dato
6Tecnicamente, cio richiede che la funzione u sia invertibile, il che e assicurato dal fatto che u e unafunzione monotona crescente (u′(W ) > 0).
41
III. Utilita attesa 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
dalla differenza tra il valore atteso della lotteria e il suo equivalente certo (nell’Appendice
A.1 in fondo al capitolo viene fornita una derivazione matematica piu dettagliata del
premio per il rischio associato a una data lotteria).
Avversione al rischio
Partiamo dall’analisi del comportamento di un soggetto che non ama il rischio; piu
tecnicamente si parla in questo caso di soggetto avverso al rischio. Immaginiamo, come
esempio di riferimento, la seguente lotteria con due possibili risultati: L = (W1,W2; π1, π2),
con W1 < W2. Indichiamo, inoltre, con µL il valore atteso della lotteria, ossia µL ≡E[W ] = W1π1 + W2π2. In relazione alla lotteria in questione, la funzione di utilita di un
soggetto avverso al rischio e rappresentata graficamente in Figura 2.1. Si noti subito la
forma della funzione u(W ), che, come specificato in precedenza, esprime l’utilita del sog-
getto in corrispondenza di risultati certi. Tale funzione, oltre ad essere sempre crescente
(in quanto u′(W ) > 0), ha una curvatura concava verso il basso; di seguito capiremo
perche e soprattutto le implicazione che ne derivano.
u (W )
W
u (W )
W1 W2
u (W2)
u (W1)
CELµL
u (µL)
u (CEL) = E [u (W )]
a
e
b
d
c
Figura 2.1: Avversione al rischio
In particolare, u(W1) e u(W2), sull’asse delle ordinate, rappresentano l’utilita che il
nostro soggetto otterrebbe potendo disporre con certezza delle somme di denaro W1 e W2,
rispettivamente. u(µL), che equivale a u(E[W ]), rappresenta invece l’utilita che il soggetto
42
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa
otterrebbe ottenendo una somma certa pari al valore atteso della lotteria L.7 Ma come
si trova il valore che il soggetto attribuisce alla lotteria L? Ossia, in altri termini, come
si trova l’utilita attesa E[u(W )] (o U(L)) che il soggetto avverso al rischio attribuisce alla
possibilita di “giocare” la lotteria L? Per rispondere a questa domanda, consideriamo, in
Figura 2.1, il segmento che unisce i punti a e c, corrispondenti ai livelli di utilita u(W1)
e u(W2). Indichiamo, poi, con d il punto su tale segmento in corrispondenza, sull’asse
delle ascisse, del valore atteso della lotteria, µL. L’utilita attesa attribuita dal soggetto
(avverso al rischio) alla lotteria L, indicata con E[u(W )], si trova sull’asse delle ordinate
proprio in corrispondenza del punto d. Si notino i seguenti aspetti.
1. Poiche risulta E[u(W )] < u(µL) (o, equivalentemente, E[u(W )] < u(E[W ])) l’utilita
attesa che un soggetto avverso al rischio ottiene giocando una lotteria il cui valore
atteso e µL e inferiore all’utilita che avrebbe ottenuto potendo disporre con certezza
di una somma esattamente pari al valore atteso della lotteria (tale utilita corrispon-
de, sull’asse delle ordinate in Figura 2.1, al punto b). In sostanza, l’avversione al
rischio esprime la preferenza per la certezza a scapito della dispersione della ricchez-
za. E importante sottolineare come tale risultato dipenda strettamente dalla forma
concava della funzione u(W );8 cio dunque spiega il perche si utilizzi una funzione
u fatta in questo modo per rappresentare le preferenze di un soggetto avverso al
rischio.
2. In Figura 2.1 e anche riportato sull’asse delle ascisse, con CEL, l’equivalente certo
associato alla lotteria L. In base alla Definizione 2, esso rappresenta la somma
certa che fornisce un livello di utilita, sull’asse delle ordinate, tale per cui risulta
u(CEL) = E[u(W )] (utilita corrispondente al punto e sulla funzione u(W )). Si
noti che, in questo caso, l’equivalente certo e inferiore al valore atteso della lotteria
(CEL < µL). In virtu di cio, considerando la definizione di premio per il rischio
(PRL = µL − CEL), si puo anche affermare che, nel caso di soggetti avversi al
rischio, il premio per il rischio e positivo (PRL > 0).
In conclusione, possiamo riassumere questa sezione con la seguente definizione generale
di soggetto avverso al rischio individuando, successivamente, le tre condizioni equivalenti
che contraddistinguono tale atteggiamento nell’ambito dell’approccio teorico dell’utilita
7Ovviamente, sull’asse delle ascisse µL si colloca tra W1 e W2, trattandosi di una loro media ponderata.8Infatti, dati due numeri reali W1 e W2 e fissati 0 ≤ π1, π2 ≤ 1, con π1 + π2 = 1, una funzione
u si definisce (strettamente) concava se risulta π1u(W1) + π2u(W2) < u(π1W1 + π2W2). Si noti che,nel nostro caso, il termine di sinistra della disuguaglianza (nota anche come disuguaglianza di Jensen)corrisponde all’utilita attesa associata alla lotteria (E[u(W )]), mentre il termine di destra corrispondeall’utilita associata al valore atteso della lotteria (u(E[W ])).
43
III. Utilita attesa 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
attesa VNM (nell’Appendice A.1 in fondo al capitolo sono discusse piu dettagliatamente
alcune misure di avversione al rischio dei soggetti).
Definizione 4 (Avversione al rischio)
Un soggetto si definisce avverso al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un
risultato certo e maggiore dell’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)
atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto avverso al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilita sui risultati certi e concava (formalmente, u′′(W ) < 0);
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e inferiore al suo valore atteso;
• il premio per il rischio e positivo.
Esempio 9 (Utilita attesa con soggetto avverso al rischio)
Ad un soggetto viene offerto un titolo finanziario che si prevede possa produrre una
ricchezza finale pari a 64 euro con probabilita 12
e 100 euro con probabilita 12. Il soggetto e
avverso al rischio e le sue preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) =√W . Si determini l’utilita attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo e il
premio per il rischio.
L’acquisto del titolo corrisponde all’acquisto di una lotteria L = (64, 100; 12, 1
2), per cui
l’utilita attesa che il soggetto ottiene e:
E[u(W )] =1
2u(64) +
1
2u(100) =
1
2
√64 +
1
2
√100 = 4 + 5 = 9.
Per calcolare l’equivalente certo occorre individuare quella somma certa CEL che
fornisce al soggetto un’utilita pari a quella attesa dalla lotteria, ossia per cui risulta:
u(CEL) =√CEL = 9.
Tale somma e ovviamente CEL = 92 = 81.
Infine, il premio per il rischio PRL non e altro che la differenza tra il valore atteso del
titolo ed il suo equivalente certo, per cui:
PRL = E[W ]− CEL =1
2(64) +
1
2(100)− 81 = 82− 81 = 1.
Neutralita al rischio
Consideriamo la stessa lotteria L della sezione precedente, ma analizziamo adesso il
caso di un soggetto ne avverso, ne amante del rischio: tecnicamente si parla in questo caso
44
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa
di soggetto neutrale al rischio. In questo caso, la sua funzione di utilita e rappresentata
graficamente in Figura 2.2.
u (W )
W
u (W )
W1 W2
u (W2)
u (W1)
µL = CEL
u (µL) = u (CEL) = E [u (W )]
Figura 2.2: Neutralita al rischio
Come e possibile notare, la funzione u(W ) adesso e lineare. Cio comporta che il sog-
getto sia indifferente tra ricevere una somma certa µL oppure giocare la lotteria L, il cui
risultato atteso e µL. Formalmente, E[u(W )] = u(µL) (o E[u(W )] = u(E[W ])). Inoltre,
proprio per questo motivo, l’equivalente certo associato alla lotteria coincide esattamente
con il suo valore atteso (CEL = µL) e il premio per il rischio e nullo (PRL = 0). Analoga-
mente a quanto fatto per un soggetto avverso al rischio, tutto cio puo essere sintetizzato
come segue.
Definizione 5 (Neutralita al rischio)
Un soggetto si definisce neutrale al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un
risultato certo e esattamente uguale all’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato
(valore) atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto neutrale al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilita sui risultati certi e lineare (formalmente, u′′(W ) = 0);
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e uguale al suo valore atteso;
• il premio per il rischio e nullo.
Esempio 10 (Utilita attesa con soggetto neutrale al rischio)
Si riprenda l’Esempio 9, ma assumiamo adesso che il soggetto sia neutrale al rischio: le sue
preferenze sono rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) = W . Si determini l’utilita
attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.
45
III. Utilita attesa 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
L’utilita attesa, che coincide adesso con il valore atteso della lotteria associata al titolo
finanziario, e data da:
E[u(W )] =1
2u(64) +
1
2u(100) =
1
2(64) +
1
2(100) = 32 + 50 = 82.
L’equivalente certo CEL che fornisce al soggetto un’utilita pari a quella attesa dalla
lotteria risulta adesso:
u(CEL) = CEL = 82.
Tale somma coincide con il valore atteso del titolo (E[W ] = CEL), per cui il premio
per il rischio PRL e pari a zero.
Propensione al rischio
L’ultimo caso da considerare e quello di un soggetto amante del rischio, ossia quello
che e tecnicamente definito soggetto propenso al rischio. L’andamento della funzione
di utilita nel caso di propensione al rischio e presentata in Figura 2.3.
Come era logico attendersi, questo caso e l’esatto contrario di quello con avversione al
rischio. In primo luogo, la funzione u(W ) per un soggetto propenso al rischio e convessa
verso il basso. Il soggetto preferisce, quindi, giocare la lotteria L piuttosto che ottenere con
certezza µL. Formalmente, E[u(W )] > u(µL) (o E[u(W )] > u(E[W ])). Cio ovviamente ha
perfettamente senso. Soggetti amanti del rischio preferiranno “giocarsi” la possibilita di
disporre di una somma elevata piuttosto che accontentarsi di una somma certa inferiore,
anche se questo gli espone al rischio di rimanere alla fine con una somma molto bassa di
quella certa. Inoltre, con propensione al rischio, l’equivalente certo associato alla lotteria
e maggiore del suo valore atteso (CEL > µL), ossia il premio per il rischio e negativo
(PRL < 0). Anche questo e facilmente spiegabile: mentre nel caso di avversione al rischio
il soggetto, pur di ottenere una somma certa, e disposto a pagare un premio per eliminare
il rischio associato alla lotteria, un soggetto propenso al rischio, viceversa, chiede lui di
essere pagato (premio negativo) per privarsi del rischio insito nella lotteria.
Definizione 6 (Propensione al rischio)
Un soggetto si definisce propenso al rischio ogni qual volta l’utilita che ottiene da un
risultato certo e inferiore all’utilita attesa di una lotteria con lo stesso risultato (valore)
atteso.
Le condizioni che individuano un soggetto propenso al rischio sono le seguenti:
• la funzione di utilita sui risultati certi e convessa (formalmente, u′′(W ) > 0);
46
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA III. Utilita attesa
• l’equivalente certo di una qualsiasi lotteria e superiore al suo valore atteso;
• il premio per il rischio e negativo.
u (W )
W
u (W )
W1 W2
u (W2)
u (W1)
CELµL
u (µL)
u (CEL) = E [u (W )]
Figura 2.3: Propensione al rischio
Esempio 11 (Utilita attesa con soggetto propenso al rischio)
Riprendiamo nuovamente l’Esempio 9, ma consideriamo adesso un soggetto propenso al
rischio con preferenze rappresentate dalla funzione di utilita u(W ) = W 2. Si determini
l’utilita attesa del titolo per il soggetto, il suo equivalente certo ed il premio per il rischio.
Data la funzione utilita u(W ) = W 2, l’utilita attesa che ottiene il soggetto e:
E[u(W )] =1
2u(64) +
1
2u(100) =
1
2(64)2 +
1
2(100)2 = 2048 + 5000 = 7048.
Per calcolare l’equivalente certo corrispondente al titolo occorre individuare quella
somma certa CEL che soddisfa:
u(CEL) = (CEL)2 = 7048.
Tale somma e CEL =√
7048 ' 83, 95.
Il premio per il rischio PRL, infine, e (come ci si attendeva) negativo in quanto pari
a:
PRL = E[W ]− CEL ' 82− 83, 95 ' −1, 95.
47
IV. Domanda di assicurazione 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
IV Avversione al rischio e domanda di assicurazione
Come abbiamo illustrato precedentemente, pur di ottenere una somma certa piutto-
sto che quella incerta associata alla lotteria, il soggetto avverso al rischio e disposto a
pagare una somma positiva (il premio per il rischio). In questa sezione affronteremo piu
dettagliatamente tale questione, analizzando come tutto cio si traduca nella domanda di
assicurazione (o di titoli assicurativi) che un tale soggetto chiede al mercato per far fronte
all’incertezza legata al futuro.
Immaginiamo un soggetto avverso al rischio che in un dato istante temporale t disponga
di una data ricchezza pari a W . Supponiamo che esista una probabilita positiva π che il
soggetto subisca un certo evento dannoso che produca per lui una perdita di un ammontare
monetario pari a D, cosı che la sua ricchezza complessiva possa diventare W −D al tempo
t+1. Il soggetto puo pero rivolgersi al mercato per assicurarsi contro l’evento dannoso. In
particolare, puo “acquistare” unita di denaro come rimborso al tempo t+1 condizionato al
verificarsi dell’evento dannoso. Indichiamo con w le unita di denaro/rimborso acquistate
dal soggetto (che esprimono, quindi, l’entita della copertura assicurativa contro l’evento
dannoso) e assumiamo che ognuna di esse abbia un prezzo pari a 0 < p < 1.9 Il problema
da analizzare concerne, quindi, la scelta ottimale di w da parte del nostro soggetto.
A tale scopo, consideriamo innanzitutto quali sono i risultati per il soggetto in corri-
spondenza dei due eventi possibili: quello in cui il danno si verifica e quello in cui non
si verifica. Immaginando che il soggetto si assicuri per una somma generica w, nel caso
si verifichi il danno, il risultato (o ricchezza finale) che ottiene e W − D + w − pw (la
ricchezza che residua piu il rimborso dell’assicurazione meno il pagamento o premio assi-
curativo). Se, viceversa, il danno non si verifica, il risultato per il soggetto e W − pw (la
ricchezza iniziale meno il premio). Dati questi risultati, il soggetto scegliera l’ammontare
ottimale di copertura assicurativa in modo da massimizzare la sua utilita attesa associata
alla particolare “lotteria” che stiamo esaminando. Formalmente:
maxw
πu(W −D + w − pw) + (1− π)u(W − pw). (2.4)
La condizione del primo ordine per il problema (2.4) e data da:
π(1− p)u′(W −D + w − pw)− p(1− π)u′(W − pw) = 0
che, tramite semplici passaggi algebrici, puo essere riscritta come:10
9Ovviamente, p non puo assumere un valore maggiore di uno, altrimenti nessun soggetto avrebbeconvenienza ad assicurarsi.
10Si noti che, con soggetti avversi al rischio, la condizione del secondo ordine per il problema di massi-mizzazione, descritto dall’espressione (2.4), e sempre soddisfatta. Infatti, la condizione del secondo ordine
48
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA IV. Domanda di assicurazione
u′(W −D + w − pw)
u′(W − pw)=p(1− π)
π(1− p) . (2.5)
A questo punto, con lo scopo di approfondire ulteriormente la questione, e opportuno
introdurre la definizione seguente:
Definizione 7 (Contratto assicurativo attuarialmente equo)
Un contratto assicurativo si definisce attuarialmente equo, o piu semplicemente equo, se
il valore atteso del rimborso per l’assicurato e pari al premio assicurativo che deve pagare
per assicurarsi.
Poiche, chiaramente, la scelta ottima del soggetto dipende da p, il prezzo dell’assicu-
razione, e importante chiedersi, a questo punto, qual’e il prezzo che rende il contratto (o
titolo) assicurativo equo per il soggetto. In effetti, dal punto di vista del soggetto, possia-
mo considerare il titolo assicurativo come una lotteria con risultati w−pw (rimborso meno
pagamento iniziale), nel caso di danno, e −pw (perdita pari al pagamento) nel caso in cui
il danno non si verifichi; formalmente, tale lotteria puo essere rappresentata dal seguente
vettore (w − pw,−pw; π, 1 − π). Posta la questione in questi termini, e semplice adesso
individuare il valore di p che rende equo il titolo assicurativo. Esso e dato da p = π: il
prezzo di un’unita di denaro ottenuto come rimborso per il verificarsi dell’evento dannoso
deve essere pari alla probabilita che l’evento dannoso si verifichi.11
Assumiamo che il contratto assicurativo sia equo e individuiamo la scelta ottima di w
(la copertura assicurativa) da parte del soggetto. A tale scopo, notiamo che con p = π il
lato destro della condizione espressa dall’Equazione (2.5) e pari a uno. Di conseguenza,
affinche tale condizione sia soddisfatta, anche il rapporto che si trova al lato sinistro deve
essere uguale a uno. Cio comporta12 che W −D+w− pw = W − pw, che, a sua volta, e
soddisfatta per w = D. Qualunque soggetto avverso al rischio decide sempre di assicurarsi
completamente contro il rischio di un evento dannoso, se il contratto di assicurazione che
gli viene offerto e attuarialmente equo.
Potendo stipulare contratti assicurativi equi, chi e avverso al rischio decide sempre
per un’assicurazione che copre completamente il danno e, cosı facendo, stabilizza la sua
ricchezza.13 Infatti, e facile calcolare come, con assicurazione completa, la ricchezza finale
e data da π(1− p)2u′′(W −D+w− pw) + p2(1−π)u′′(W − pw) < 0, che e sempre soddisfatta per u′′ < 0(soggetto avverso al rischio).
11Dal punto di vista della compagnia di assicurazione che offre il titolo assicurativo, un prezzo p = πimplica un profitto atteso nullo: cio equivale all’ipotesi di concorrenza perfetta nel settore assicurativo.
12Si ricordi che la funzione u e sempre strettamente concava.13Una copertura assicurativa non totale da parte di soggetti avversi al rischio, che si puo osservare
frequentemente nella realta, puo essere spiegata in vari modi. Ad esempio, e facile verificare che se ilcontratto non e equo, perche risulta p > π, il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie un livellodi copertura assicurativa solo parziale (w < D). Anche gli aspetti connessi alla presenza di asimmetrie
49
IV. Domanda di assicurazione 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
(al tempo t+1) del soggetto sia costante, e pari a W −pw, indipendentemente dall’evento
che si produce in concreto. Cio avviene, di fatto, perche acquistando il titolo assicurativo
il soggetto sfrutta un effetto di diversificazione: per lui, infatti, il “rendimento” del titolo
e positivo quando si verifica l’evento negativo (il danno) e negativo quando si ha l’evento
positivo (il danno non si realizza). e proprio sottoponendosi a due fonti di rischio correlate
negativamente che egli riduce il suo rischio complessivo. Tale questione diventa centrale
per la scelta dei titoli nei mercati finanziari (le cosiddette scelte di portafoglio), che sara
introdotta nella sezione seguente e analizzata piu dettagliatamente nel Capitolo 3.
Esempio 12 (Domanda di assicurazione)
Si consideri un soggetto avverso al rischio la cui funzione di utilita assume la forma
seguente: u(W ) =√W . Tale soggetto dispone di una ricchezza iniziale pari a 100 euro,
ma esiste la possibilita che un evento dannoso (ad esempio, un furto) possa ridurla a
30 euro. Supponiamo che la probabilita con cui il danno si verifichi sia stimata al 30%.
Supponiamo che per ogni euro di copertura assicurativa che il soggetto puo acquistare da
una compagnia di assicurazione, sia richiesto il pagamento di un premio di 0, 40 euro. Per
quanto sceglie di assicurarsi il nostro soggetto?
Per rispondere alla domanda, consideriamo che, data la funzione di utilita u(W ) =√W , con un certo livello w di copertura assicurativa, se il danno si verifica (con probabilita
π = 0, 3), il nostro soggetto ottiene una ricchezza finale pari a 30+w−0, 4w = 30+0, 6w,
a cui corrisponde un’utilita data da√
30 + 0, 6w. Viceversa, se il danno non si verifica
(con probabilita (1 − π) = 0, 7), il soggetto ottiene una ricchezza finale 100 − 0, 4w, a
cui corrisponde un’utilita pari a√
100− 0, 4w. Quindi, applicando l’Equazione (2.5), con
semplici passaggi algebrici otteniamo:
√100− 0, 4w√30 + 0, 6w
=0, 4(0, 7)
0, 3(0, 6)
che implica 18√
100− 0, 4w = 28√
30 + 0, 6w (dove entrambi i termini sono stati mol-
tiplicati per cento). Elevando entrambi termini al quadrato e risolvendo rispetto a w
otteniamo w = 14, 8. Il soggetto, sebbene avverso al rischio, sceglie in questo caso una
copertura assicurativa solo parziale, cioe sceglie di assicurarsi per un ammontare inferiore
all’entita del danno (14, 8 < 70). Cio era prevedibile in quanto con un premio di 0, 40 euro,
il titolo assicurativo non e una lotteria equa, bensı una lotteria attuarialmente svantag-
giosa per l’assicurato. Infatti, per avere una lotteria equa (che avrebbe spinto l’assicurato
a scegliere la copertura totale) il premio sarebbe dovuto essere pari a 0, 30 euro.
informative nei mercati possono contribuire a spiegare contratti assicurativi sottoscritti da soggetti avversial rischio con grado di copertura non totale.
50
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA V. Scelte di portafoglio
V Utilita attesa e scelte di portafoglio
Consideriamo adesso in che modo l’apparato teorico dell’utilita attesa VNM, descritto
in precedenza, possa essere utilizzato per studiare il problema delle scelte di portafoglio.
In sostanza, tale problema consiste nell’analizzare come un soggetto investa in modo
ottimale (cioe nel modo che meglio risponde alle proprie preferenze) la ricchezza di cui
dispone in un portafoglio (o mix) di titoli o attivita finanziarie.
Indichiamo con P il generico portafoglio di investimento. Esso puo essere rappresen-
tato come un vettore (x1, x2, ..., xn), dove xi rappresenta la quantita del titolo generico i
presente nel portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Rappresentia-
mo, invece, con il solito vettore (W1,W2, ...,Wm) i possibili risultati (in termini ricchezza
finale) che l’investitore puo ottenere investendo la sua ricchezza iniziale in un dato por-
tafoglio. Come al solito, a tali risultati e associato il vettore (π1, π2, ..., πm), che esprime
le probabilita con cui i diversi risultati possono realizzarsi. Consideriamo, inoltre, che il
generico risultato Wk dipende, adesso, da: i) la quantita xi di ciascun titolo contenuta nel
portafoglio e ii) il payoff ottenuto dall’investitore per ciascuna unita posseduta del titolo
i. Poiche quest’ultimo valore e una variabile aleatoria, nel senso che puo variare a seconda
dell’evento che si realizza in concreto, esso sara indicato con vki. Ad esempio, se il titolo i
e un’azione, vki rappresenta il prezzo (payoff ) dell’azione in corrispondenza dell’“evento”
(possibile andamento di borsa) k. In virtu di cio, il generico risultato relativo alla ric-
chezza finale associata ad un dato portafoglio puo essere riscritto, piu specificatamente,
come:
Wk = vk1x1 + vk2x2 + ...+ vknxn =n∑
i=1
vkixi. (2.6)
Il problema dell’investitore nella scelta del portafoglio ottimale puo dunque essere
espresso nei termini seguenti:
max(x1,x2,...,xn)
E[u(W )] =m∑
k=1
πku(Wk) (2.7)
s. a:
p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = W. (2.8)
Il problema rappresentato dalle Espressioni (2.7) e (2.8) puo essere sintetizzato come
segue: l’investitore sceglie il portafoglio di investimento P = (x1, x2, ..., xn) in modo
da massimizzare la sua utilita attesa E[u(W )] (dove i vari Wk corrispondono a quelli
51
V. Scelte di portafoglio 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
dell’Espressione (2.6)) dato il vincolo (2.8). Quest’ultimo rappresenta il vincolo di bilancio
dell’investitore: la sua ricchezza iniziale, indicata con W , uguaglia la spesa complessiva
per l’acquisto del portafoglio, data da∑
i pixi (dove pi rappresenta il prezzo unitario del
titolo i). Piu in generale, il vincolo espresso dalla Condizione (2.8) deve valere con il segno
di disuguaglianza, ≤, nel senso che l’ammontare delle risorse spese dall’investitore non
puo superare le risorse a sua disposizione (la sua ricchezza iniziale); peraltro, sulla base
di certe assunzioni, in particolare quella che il soggetto preferisca sempre un’ammontare
superiore, anziche inferiore, di ricchezza finale, la disuguaglianza puo essere sostituita con
l’uguaglianza.
La soluzione del problema espresso dalle Espressioni (2.7)-(2.8) e derivata analitica-
mente nell’Appendice A.2 a questo capitolo. Qui ci limiteremo a considerare la soluzione
finale. In particolare, in corrispondenza della scelta ottima dell’investitore deve essere
soddisfatta la condizione seguente:
E[(v1/p1)u′(W )] = E[(v2/p2)u′(W )] = ... = E[(vn/pn)u′(W )]. (2.9)
L’Espressione (2.9) puo essere facilmente rappresentata in termini di tassi di rendi-
mento dei vari titoli. In effetti, tale trasformazione puo tornare utile dal momento che la
valutazione e le scelte dei diversi titoli, da parte degli investitori, si basa generalmente sui
loro tassi (attesi) di rendimento (si veda la Sezione II del Capitolo 1). Poiche il tasso di
rendimento di un generico titolo i e ri = (vi − pi)/pi, otteniamo che vi/pi = 1 + ri, per
cui l’Espressione (2.9) puo essere riscritta come:
E[(1 + r1)u′(W )] = E[(1 + r2)u′(W )] = ... = E[(1 + rn)u′(W )]. (2.10)
L’Espressione (2.10) puo essere interpretata nel modo seguente. Un soggetto che
investe un’unita addizionale della sua ricchezza nel generico titolo i ottiene un payoff
(ponderato per il prezzo del titolo) (1 + ri) che gli produce un incremento di utilita pari
a (1 + ri)u′(W ). Ovviamente, dal momento che tale incremento puo variare a seconda
dell’evento che si realizza ex-post, al momento dell’investimento il soggetto valutera l’in-
cremento atteso di utilita, rappresentato da E[(1+ri)u′(W )]. L’Espressione (2.10) indica,
appunto, che la scelta del portafoglio ottimo di investimento si ha quando il soggetto
sceglie le quantita dei diversi titoli in modo tale che l’incremento atteso di utilita (o uti-
lita marginale attesa) derivante dall’investire un’unita addizionale di ricchezza e uguale
per tutti i titoli. Perche questo? Perche se cosı non fosse, cioe se E[(1 + ri)u′(W )] fosse
maggiore per alcuni titoli e minore per altri, l’investitore non starebbe facendo la scelta
ottimale, dal momento che gli converrebbe disinvestire ricchezza dai titoli con utilita mar-
ginale attesa piu bassa per investirla nei titoli con utilita marginale attesa piu elevata.
52
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice
Cosı facendo, infatti, aumenterebbe la sua utilita attesa.
Le Condizioni (2.9) e (2.10), che sono equivalenti, costituiscono un insieme di condi-
zioni necessarie per la soluzione del problema di scelta del portafoglio di investimento da
parte di un soggetto; esse, peraltro, in generale non sono sufficienti. La sufficienza e assi-
curata dall’ipotesi di avversione al rischio (u′′(W )) dell’investitore.14 Peraltro, anche con
soggetto avverso al rischio, l’approccio seguito in questa sezione rimane troppo generale
per sviluppare considerazioni piu specifiche. A tale scopo occorre necessariamente fare
ricorso a delle forme particolari della funzione di utilita u(W ). Nel capitolo che segue ci
muoveremo in tale direzione. Cio ci permettera di scendere piu in profondita nell’analisi
delle scelte ottimali di investimento dei risparmiatori nei mercati finanziari.
VI Appendice
A.1 Derivazione matematica del premio per il rischio e misure di avversione
al rischio
Il concetto di premio per il rischio e quello, connesso, di equivalente certo di una
lotteria, introdotti in questo capitolo, si riferiscono ad una particolare funzione di utilita
u definita su risultati certi. In questa appendice, il concetto di premio per il rischio
sara derivato esplicitamente da una particolare lotteria e dalla funzione di utilita di un
soggetto. In particolare, assumiamo adesso che i risultati della lotteria L considerata siano
una variabile aleatoria continua, il cui valore atteso e E[W ] ≡ µL.
Indicando con PRL il premio per il rischio associato alla lotteria L, dalla definizione
di premio per il rischio, abbiamo che:
u(µL − PRL) = E[u(W )]. (A1)
Indichiamo adesso con W la realizzazione di una certo risultato della lotteria. Utiliz-
zando l’espansione di Taylor centrata sul valore atteso della lotteria, µL, fino al secondo
ordine otteniamo che l’utilita che il soggetto ottiene dalla realizzazione di W e:15
u(W ) ' u(µL) + (W − µL)u′(µL) +1
2(W − µL)2u′′(µL). (A2)
Sostituendo W conW , nell’espressione (A2), e calcolandone il valore atteso, otteniamo:
14In particolare, l’ipotesi di avversione al rischio garantisce che la Condizione (2.10) definisca un’unicasoluzione del problema di massimizzazione dell’utilita attesa in termini di ricchezza e un insieme disoluzioni in termini di portafoglio. Ulteriori proprieta sono richieste per l’unicita del portafoglio ottimo.
15Si noti che in cio che segue si assume che la funzione u sia due volte differenziabile. Inoltre, fer-marsi al secondo ordine dell’espansione di Taylor equivale ad assumere che la differenza tra W e µL sia“sufficientemente” piccola.
53
VI. Appendice 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
E[u(W )] ' u(µL) + E[W − µL]u′(µL) +1
2E[(W − µL)2]u′′(µL)
che, considerando che E[W −µL] = E[W ]−µL = µL−µL = 0 e che E[(W −µL)2] = σ2L
(dove σ2L rappresenta la varianza dei risultati della lotteria L), puo essere riscritta come:
E[u(W )] ' u(µL) +1
2σ2Lu′′(µL). (A3)
Se, come abbiamo ipotizzato finora, le differenze tra i diversi risultati della lotteria
L e il suo valore atteso, µL, sono sufficientemente piccoli, allora anche il premio per
il rischio PRL sara sufficientemente piccolo. Possiamo allora applicare l’espansione di
Taylor, sempre centrandola in µL, fino al primo ordine all’Espressione (A1) ottenendo:
u(µL − PRL) ' u(µL)− PRLu′(µL). (A4)
Considerando, dall’Equazione (A1), che u(µL−PRL) = E[u(W )], usando le Espressioni
(A3) e (A4) e risolvendo rispetto a PRL, otteniamo un’espressione analitica per il premio
per il rischio, che dipende dalla lotteria L e dalla funzione di utilita u del soggetto:
PRL ' −1
2σ2L
u′′(µL)
u′(µL). (A5)
L’Espressione (A5) indica che il premio per il rischio dipende dalla variabilita dei
risultati della lotteria (espressa da σ2L) e dal rapporto u′′(µL)/u′(µL). In particolare,
tale rapporto (che dipende dalla funzione di utilita u) esprime una misura del grado di
avversione al rischio del soggetto, definita coefficiente assoluto (Arrow-Pratt) di
avversione al rischio. Piu precisamente, tale coefficiente e dato da:
Ra(W ) = −u′′(W )
u′(W ). (A6)
In particolare, dall’Espressione (A6), si noti che se il soggetto e avverso il rischio,
per cui u′′(W ) < 0, il coefficiente (assoluto) di avversione al rischio, Ra(W ) e positivo.
Inoltre, in questo caso, dall’Espressione (A5) e possibile verificare che, come gia sapevamo,
il premio per il rischio e positivo. In sostanza, come e logico attendersi, il premio per il
rischio che un soggetto avverso al rischio e disposto a pagare per eliminare l’incertezza
associata a una data lotteria e positivo e tanto piu elevato tanto maggiore e l’incertezza
della lotteria (ossia la variabilita dei suoi risultati espressa da σ2L) e tanto piu il soggetto
e avverso al rischio (ossia tanto piu elevato e il suo coefficiente di avversione al rischio
Ra(W )). Infine, utilizzando sempre le Espressioni (A5) e (A6), e facile verificare che,
in linea con quanto gia discusso nella Sezione III.A, nel caso di soggetto propenso al
54
2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA VI. Appendice
rischio (u′′(W ) > 0) valgono considerazioni esattamente opposte rispetto a quelle per un
soggetto avverso al rischio, mentre nel caso di un soggetto neutrale al rischio (u′′(W ) = 0)
il coefficiente di avversione al rischio e pari a zero e, conseguentemente, il premio per il
rischio e nullo.
Una misura alternativa, rispetto al coefficiente assoluto di avversione al rischio, e la
seguente, definita coefficiente relativo (Arrow-Pratt) di avversione al rischio:
Rr(W ) = −W u′′(W )
u′(W ). (A7)
Il vantaggio di Rr(W ) rispetto a Ra(W ), nel misurare il grado di avversione al rischio
di un soggetto, sta nel fatto che la prima (a differenza della seconda) non dipende dalla
scelta dell’unita di misura utilizzata per misurare i risultati della lotteria.
A.2 Utilita attesa e scelte di portafoglio: derivazione matematica
La soluzione del problema di scelta di portafoglio, presentato nella Sezione V e definito
dalle Espressioni (2.7) e (2.8), comporta, in primo luogo, la costruzione della seguente
funzione Lagrangiana:
L = π1u(W1) + π2u(W2) + ...+ πmu(Wm) + λ(W − p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn). (A8)
Tenendo conto che Wk = vk1x1 +vk2x2 + ...+vknxn, calcoliamo le derivate parziali della
Funzione (A8) rispetto alla quantita da acquistare dei diversi titoli (i vari xi) e rispetto al
termine λ, che rappresenta il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di bilancio.
Otteniamo cosı le seguenti n+ 1 condizioni (necessarie) del primo ordine (n per i vari xi
e una in relazione al termine λ):
π1v11u′(W1) + π2v21u
′(W2) + ...+ πmvm1u′(Wm) = λp1
π1v12u′(W1) + π2v22u
′(W2) + ...+ πmvm2u′(Wm) = λp2
...
π1v1nu′(W1) + π2v2nu
′(W2) + ...+ πmvmnu′(Wm) = λpn
p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn = W.
Le prime n condizioni del primo ordine possono essere riscritte, in forma piu compatta,
nel modo seguente:16
16Si noti che le condizioni del primo ordine appena definite valgono tutte con il segno di uguaglianza
55
VI. Appendice 2. SCELTE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA
E[viu′(W )] = λpi con i = 1, 2, ..., n.
Adesso, dividendo ambo i lati per pi, otteniamo:
E[(vi/pi)u′(W )] = λ con i = 1, 2, ..., n. (A9)
Ovviamente, poiche tutti i valori di E[(vi/pi)u′(W )] (con i = 1, 2, ..., n) devono essere
uguali ad una stessa costante λ, dall’Espressione (A9) otteniamo:
E[(v1/p1)u′(W )] = E[(v2/p2)u′(W )] = ... = E[(vn/pn)u′(W )]
che e l’Espressione (2.9), utilizzata e descritta nella Sezione V di questo capitolo.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 4.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 2.
• Kreps D., Corso di microeconomia, il Mulino, 1993; Cap. 3.
• Schotter A., Microeconomia, Giappichelli, 2002; Cap. 14.
sotto l’ipotesi che l’investitore possa “acquistare” una quantita anche negativa di qualche titolo. Talesituazione e resa possibile, nell’ambito dei mercati finanziari, dalla possibilita di effettuare vendite alloscoperto, cioe prendere dei titoli a prestito per venderli, impegnandosi al tempo stesso a restituirli a unacerta scadenza (tale aspetto sara discusso e analizzato piu dettagliatamente nel Capitolo 3). Se viceversala vendita di titoli allo scoperto e esclusa, altri vincoli (di non-negativita delle quantita xi) andrebberoconsiderati e non sarebbe possibile escludere che le condizioni del primo ordine valgano, per qualchetitolo, con il segno di disuguaglianza (<). Cio, in particolare, varrebbe per i titoli per cui l’investitore e“forzato” a sceglierne un ammontare nullo, mentre avrebbe preferito acquistarne un ammontare negativo(venderli allo scoperto).
56
Capitolo 3
Il modello media-varianza delle
scelte di portafoglio
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto il problema della scelta ottimale di un
portafoglio di investimento da parte di un soggetto. In questo capitolo approfondiremo
piu nel dettaglio tale questione. In particolare, assumeremo che i soggetti, nelle scelte
dei titoli finanziari da “inserire” nei loro portafogli di investimento, preferiscano un ren-
dimento atteso piu elevato, ma non amino il rischio (cioe siano avversi al rischio). In
tali circostanze, e sulla base di certe ipotesi che analizzeremo, il problema di scelta del
portafoglio ottimo di investimento puo essere espresso in termini di massimizzazione di
una funzione di utilita che dipende esclusivamente dalla media e dalla varianza dei rendi-
menti dei vari possibili portafogli di titoli.1 Nell’ambito di tale modello, infatti, la media e
la varianza dei rendimenti esprimono le aspettative degli investitori, rispettivamente, sul
rendimento e sul rischio dei vari portafogli e sono quindi tutte le informazioni che servono
loro per effettuare la scelta del portafoglio ottimale.2
Oltre che per la sua rilevanza teorica, il modello media-varianza acquisisce anche
un’importanza pratica dal momento che, tramite adeguate tecniche statistiche, le medie,
le varianze e le covarianze (che acquisiscono anch’esse rilevanza nell’ambito del modello)
dei rendimenti delle attivita finanziarie possono essere calcolate o stimate concretamente
sulla base degli andamenti passati dei prezzi dei titoli e/o utilizzando ulteriori informazioni
disponibili. Le scelte degli investitori che studieremo in questo capitolo, quindi, possono
1L’origine e lo sviluppo del modello media-varianza per l’analisi delle scelte di portafoglio si deveall’economista americano Harry Markowitz, premiato, insieme a William Sharpe e Merton Miller, con ilNobel nel 1990 per i contributi agli studi teorici ed empirici in campo finanziario.
2Il modello media-varianza delle scelte di portafoglio, che analizzeremo in questo capitolo, si fondasu alcune ipotesi semplificatrici tra cui, in particolare, la durata uniperiodale degli investimenti (cioe,nell’ambito del periodo di tempo considerato, gli investitori scelgono un certo portafoglio di investimentoe non modificano la loro scelta), l’assenza di (o, piu in generale, la neutralita delle) imposte e di costi ditransazione e la perfetta competitivita dei mercati finanziari.
57
I. Preferenze degli investitori 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
essere lette in questi termini: presa conoscenza, tramite le informazioni disponibili, delle
medie (rendimenti attesi) e delle varianze (rischi) dei diversi titoli finanziari, gli investitori
ne scelgono la combinazione (portafoglio) che meglio soddisfa le loro preferenze.3
I Preferenze degli investitori
Definiamo con P un generico portafoglio di titoli o attivita finanziarie (cioe un
insieme di diversi titoli o attivita finanziarie possedute da un investitore). In particolare,
come nella Sezione V del capitolo precedente, il portafoglio P puo essere pensato come un
vettore (x1, x2, ..., xn), dove xi rappresenta la quantita del titolo generico i presente nel
portafoglio (con n titoli a disposizione su cui poter investire). Immaginiamo poi che le pre-
ferenze degli investitori (avversi al rischio) rispetto ai vari portafogli siano rappresentate
dalla seguente funzione di utilita:
V = V (µP , σ2P ), (3.1)
dove µP ≡ E [rP ] rappresenta il (tasso di) rendimento medio o atteso del portafoglio
generico P (con rP il rendimento effettivo del portafoglio) e σ2P ≡ E [(rP − µP )2] e la
varianza del rendimento del portafoglio (cioe una misura di quanto il rendimento effettivo
di P puo variare rispetto alla sua media o rendimento atteso).4 Inoltre, sempre con
riferimento all’Espressione (3.1), ha senso interpretare la varianza del portafoglio, σ2P ,
come una misura del rischio a cui va incontro l’investitore “acquistando” il portafoglio
P : tanto piu il rendimento di P puo variare rispetto alla sua media, tanto piu e rischioso
scegliere la composizione di titoli rappresentata da quel portafoglio.
Poiche stiamo assumendo che gli investitori siano avversi al rischio, avremo che la
funzione V e crescente in µP (maggiore e il rendimento atteso di P maggiore e l’utilita
che l’investitore ottiene investendo in quel portafoglio) e decrescente in σ2P (maggiore e
il rischio associato a P minore e l’utilita che l’investitore ottiene investendo in esso la
3Peraltro, e importante sottolineare che i concetti teorici di media e varianza a cui ci riferiremo nelresto del capitolo e le loro stime statistiche, che e possibile ricavare dai dati a disposizione, sono dueconcetti distinti. Dal punto di vista dell’analisi economica che svilupperemo e sufficiente assumere che gliinvestitori si comportino secondo il criterio media-varianza, indipendentemente dal fatto che ne conoscanoi valori.
4Nell’Appendice A.1 di questo capitolo sara mostrato come la funzione di utilita V possa essere deri-vata analiticamente da una funzione di utilita attesa VNM nel caso la funzione u assuma la particolareforma quadratica nella ricchezza finale. In realta, l’ipotesi di funzione di utilita quadratica, non e ne-cessaria per giustificare il criterio media-varianza. Quest’ultimo, infatti, puo essere anche motivato, piuin generale, nell’ambito della teoria dell’utilita attesa nel caso i rendimenti dei titoli siano distribuiticome una variabile casuale normale. Peraltro, anche l’ipotesi di normalita della distribuzione dei rendi-menti, sebbene sufficiente, non e necessaria (teoricamente, infatti, l’utilizzo del criterio media-varianza ecompatibile con altri tipi di distribuzione statistica in relazione ai rendimenti dei titoli).
58
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA I. Preferenze degli investitori
sua ricchezza), cioe, se V rappresenta le preferenze di un investitore, per esso µP e un
“bene”, mentre σ2P e un “male”. Formalmente, cio puo essere espresso con ∂V/∂µP > 0 e
∂V/∂σ2P < 0. In altri termini, a parita di rendimento atteso, investitori avversi al rischio
preferiranno sempre investimenti con minor variabilita del rendimento.5
Nel modello media-varianza delle scelte di portafoglio, le curve di indifferenza di
un investitore rappresentano l’insieme di tutte le combinazioni (µP , σ2P ) che danno all’in-
vestitore un uguale livello di utilita e che sono, quindi, per lui indifferenti. Inoltre, poiche
ogni coppia (µP , σ2P ) si riferisce a uno specifico portafoglio, ogni punto su una data curva
di indifferenza individua proprio un certo portafoglio di investimento. In altri termini,
una curva di indifferenza puo essere considerata come l’insieme dei portafogli che danno
all’investitore lo stesso livello di utilita.
µP
µPC′PC′
PCµPC
σ2PC′σ2
PCσ2P
PB′
PBµPB
µPA
PA
σ2PB′σ2
PB
µPB′
Figura 3.1: Curve di indifferenza dell’investitore nel modello media-varianza
In Figura 3.1 sono rappresentate, nello spazio (µP , σ2P ), le curve di indifferenza di un
investitore con preferenze rappresentate dall’Espressione (3.1), che rispecchiano il criterio
media-varianza. In relazione a tali curve di indifferenza, tre aspetti meritano di essere
sottolineati:
1. le curve di indifferenza sono inclinate positivamente. Cio dipende dal fatto che gli
argomenti della funzione V sono uno un “bene” (µP ) e l’altro un “male” (σ2P ): se ne
5Si noti come questo non sia vero se gli investitori fossero neutrali al rischio (per cui conterebbesolo il rendimento atteso, mentre, a parita di rendimento atteso, la variabilita dell’investimento nonrileverebbe) o propensi al rischio (che, a parita di rendimento atteso, preferirebbero investimenti conmaggiore variabilita del rendimento, in quanto, a fronte di perdite maggiori, potrebbero consentire diottenere guadagni piu alti).
59
I. Preferenze degli investitori 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
aumenta uno, per rimanere su una stessa curva di indifferenza (stesso livello di uti-
lita per l’investitore), deve necessariamente aumentare anche l’altro. Consideriamo,
ad esempio, i due portafogli rappresentati dai punti PB e PC che si trovano su una
stessa curva di indifferenza. PC rispetto a PB da all’investitore un rendimento atteso
maggiore. Di conseguenza, per trovarsi sulla stessa curva di indifferenza di PB, PC
deve essere anche piu rischioso di PB (cio e possibile solo con curve di indifferenza
inclinate positivamente); se cosı non fosse, infatti, darebbe necessariamente all’inve-
stitore un’utilita maggiore di PB e quindi, per definizione, dovrebbe trovarsi su una
diversa curva di indifferenza. Formalmente tutto cio puo essere riassunto dicendo
che il saggio marginale di sostituzione tra rendimento atteso e rischio dµP/dσ2P (os-
sia il saggio al quale l’investitore sarebbe disposto ad accettare un rischio piu alto a
fronte di un maggior rendimento), che misura graficamente l’inclinazione della curva
di indifferenza in ogni suo punto, e sempre positivo;6
2. l’utilita dell’investitore aumenta quando ci si sposta verso curve di indifferenza piu
alte. Consideriamo, ad esempio, i portafogli PA e PB. Essi sono caratterizzati
dallo stesso rischio (σ2PA
= σ2PB
), ma PB da un rendimento atteso maggiore di PA
(µPB> µPA
). PB e quindi certamente preferito dall’investitore rispetto a PA, cioe PB
da all’investitore un’utilita maggiore di PA. Inoltre, per definizione, tutti i portafogli
che si trovano sulla stessa curva di indifferenza (piu alta) di PB danno all’investitore
un’utilita maggiore di tutti i portafogli che si trovano sulla curva di indifferenza (piu
bassa) di PA;
3. le curve di indifferenza sono convesse verso l’origine degli assi. Intuitivamente,
tale proprieta puo essere spiegata nel modo seguente.7 Consideriamo nuovamente i
portafogli di investimento PB e PC . Immaginiamo di cambiare la composizione dei
titoli che compongono i due portafogli in modo da aumentare in egual misura (al
margine) il loro rischio (in Figura 3.1, da σ2PB
a σ2PB′ , per il portafoglio PB, e da σ2
PC
a σ2PC′ , per il portafoglio PC , con (σ2
PB′ − σ2
PB) = (σ2
PC′ − σ2
PC)). Ci potremmo allora
chiedere: di quanto deve aumentare il rendimento atteso dei due portafogli, quando
aumenta nella stessa misura il loro rischio, per ottenere due nuovi portafogli (PB′
e PC′) che rimangono sulla stessa curva di indifferenza di PB e PC? Con curve di
indifferenza convesse verso l’origine degli assi, avremo che l’aumento di rendimento
atteso del portafoglio ottenuto da PB (da µPBa µPB
′) e minore rispetto a quello del
6Cio puo essere verificato utilizzando la formula del saggio marginale di sostituzione: dµP /dσ2P =
−(∂V/∂σ2P )/(∂V/∂µP ). Poiche, in base alle nostre ipotesi, vale sempre ∂V/∂µP > 0 e ∂V/∂σ2
P < 0,necessariamente avremo che dµP /dσ
2P > 0.
7La convessita verso l’origine degli assi delle curve di indifferenza nello spazio(µP , σ
2P
)puo essere
dimostrata, piu rigorosamente, come implicazione della forma quadratica della funzione VNM.
60
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
portafoglio ottenuto da PC (da µPCa µPC
′). Cio in quanto il grado di rischio di PC e
maggiore di quello di PB: per accettare un ulteriore incremento di rischio (e rimanere
sulla stessa curva di indifferenza) l’investitore richiede quindi un maggior incremento
di rendimento atteso “partendo” da PC (che ha gia un rischio relativamente alto)
piuttosto che da PB. Formalmente, il saggio marginale di sostituzione dµP/dσ2P e
crescente rispetto a σ2P , cioe rispetto al rischio.
II Scelta del portafoglio che minimizza in assoluto il rischio
Nella sezione precedente, abbiamo definito uno strumento, quello delle curve di indif-
ferenza nello spazio (µP , σ2P ), che ci servira per trovare il portafoglio di titoli o attivita
finanziarie che un investitore sceglie in base alle sue preferenze. Il passo successivo e quello
di definire un criterio per individuare l’insieme di tutti i portafogli tra cui l’investitore
sceglie il suo preferito. Prima di fare questo, e interessante (e anche utile per l’analisi
successiva) analizzare un caso molto particolare: quello in cui l’investitore e interessa-
to esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investimento (ossia, il caso di
massima avversione al rischio da parte dell’investitore). In altri termini, consideriamo un
investitore che si disinteressa completamente del rendimento atteso e vuole investire la
sua ricchezza nel portafoglio che gli consente di ridurre al minimo il rischio, ossia σ2P .8
A tale scopo, indichiamo con ai la porzione di ricchezza dell’investitore investita nel
titolo i presente nel portafoglio P (con∑n
i=1 ai = 1), con µi il suo tasso atteso di rendi-
mento e con σij ≡ E[(ri − µi)(rj − µj)] la covarianza tra il tasso di rendimento del titolo
i e quello del titolo j (anch’esso presente nel portafoglio P ). Allora, il tasso atteso di
rendimento di P e il suo rischio (varianza) possono essere scritti come:9
µP =n∑
i=1
aiµi (3.2)
e
σ2P =
n∑
i=1
n∑
j=1
aiajσij. (3.3)
8Si noti che, in questo caso, l’investitore non sara mai disponibile a scambiare un maggior rischio diinvestimento con un piu elevato rendimento atteso. Formalmente, il saggio marginale di sostituzione trarischio e rendimento (atteso) per tale investitore e sempre pari a dµP /dσ
2P = ∞, che implica curve di
indifferenza perfettamente verticali.9In generale, la varianza complessiva di un portafoglio con n titoli sara data dalla somma di n termini
connessi alle varianze dei rendimenti dei singoli titoli piu altri n(n− 1)/2 termini connessi alle covarianzetra i rendimenti dei titoli.
61
II. Portafoglio che minimizza il rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
Esempio 13 (Rendimento atteso e varianza di un portafoglio)
Si consideri un portafoglio di investimento composto da tre tipi di azioni: quelle della
societa “1-Alfa”, quelle della societa “2-Beta” e quelle della societa “3-Gamma” (i =
1, 2, 3). Le quote dei tre titoli presenti nel portafoglio sono, rispettivamente, del 20%,
30% e 50%. Supponiamo, inoltre, che i rendimenti attesi delle tre azioni, µ1, µ2 e µ3,
siano 10%, 20% e 8% e che le varianze dei rendimenti, σ21, σ2
2 e σ23, siano 16, 9, 4. Infine,
consideriamo che le covarianze tra i diversi titoli sono, rispettivamente, σ12 = 3, σ13 = −2
e σ23 = 0. Si calcolino il rendimento atteso del portafoglio, µP , e la sua varianza (grado
di rischio), σ2P .
Poiche con tre diversi titoli, in generale, abbiamo che:
µP = a1µ1 + a2µ2 + a3µ3,
nel caso del nostro esempio avremo che:
µP = 0.2(0.1) + 0.3(0.2) + 0.5(0.08) = 0.12
per cui il rendimento atteso del portafoglio e del 12%.
Nel caso di tre titoli la formula generale della varianza di portafoglio e data da:
σ2P = a1a1σ11+a1a2σ12+a1a3σ13+a2a1σ21+a2a2σ22+a2a3σ23+a3a1σ31+a3a2σ32+a3a3σ33,
da cui, considerando che σii = σ2i e σij = σji, otteniamo:
σ2P = a2
1σ21 + a2
2σ22 + a2
3σ23 + 2a1a2σ12 + 2a1a3σ13 + 2a2a3σ23.
Piu specificatamente, nel caso del nostro esempio abbiamo che:
σ2P = 0.64 + 0.81 + 1 + 0.36− 0.4 + 0 = 2.41,
per cui la varianza complessiva del portafoglio (che misura il suo grado di rischio) e 2.41.
Si noti subito un aspetto che sara approfondito dettagliatamente in seguito: in questo
caso il portafoglio “diversificato” (cioe composto da tre differenti azioni) ha un rischio
minore rispetto al caso in cui l’investitore avesse investito tutta la sua ricchezza in un
solo tipo di azione (infatti, il rischio di portafoglio, misurato dalla rispettiva varianza dei
rendimenti, e pari a 2,41 contro 16, 9 e 4 delle singole azioni).
Per semplificare ulteriormente l’analisi che segue, immaginiamo una situazione in cui
esistono due soli titoli, ad esempio, le azioni emesse da due distinte societa, in cui l’inve-
62
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
stitore puo investire la sua ricchezza. La questione che si pone e dunque: per minimizzare
il rischio di investimento, conviene investire in un solo titolo o in entrambe le azioni?
E ancora, come si determinano esattamente le quote della ricchezza a disposizione da
destinare ai due titoli finanziari?
Consideriamo innanzitutto che, con due sole attivita finanziarie, il rendimento atteso
del portafoglio e µP = a1µ1 + a2µ2. Peraltro, nel caso particolare che stiamo adesso
considerando, µP non e rilevante per l’investitore, in quanto il suo solo interesse e il
rischio di portafoglio che, con due soli titoli, e misurato da σ2P = a2
1σ21 + a2
2σ22 + 2a1a2σ12.
E’ utile, a questo punto, introdurre un concetto di statistica particolarmente importan-
te in campo finanziario: il coefficiente di correlazione. In particolare, siamo qui interessati
alla correlazione tra i rendimenti delle diverse attivita finanziarie: nel caso che stiamo
analizzando, il coefficiente di correlazione tra i tassi di rendimento dei due titoli, indicato
con ρ12, e dato da ρ12 ≡ σ12/σ1σ2(dove σ1 e σ2 sono le deviazioni standard dei rendimen-
ti dei due titoli). Inoltre, tenendo conto che, con due sole attivita finanziarie, abbiamo
a2 = 1−a1, il problema di scelta dell’investitore (portafoglio che minimizza il rischio) puo
essere cosı rappresentato:
mina1
σ2P = a2
1σ21 + (1− a1)2σ2
2 + 2a1(1− a1)ρ12σ1σ2. (3.4)
Ovviamente, trovando il valore ottimo di a1 che risolve il problema definito dall’e-
spressione (3.4), e possibile individuare automaticamente anche il valore di a2 (pari al
complemento a uno rispetto a a1) e quindi la composizione del portafoglio che minimizza
il rischio di investimento.10
A tale scopo, occorre calcolare la derivata prima di σ2P rispetto a a1 e uguagliarla a
zero (condizione del primo ordine):
dσ2P
da1
= 2a1σ21 − 2(1− a1)σ2
2 + 2(1− 2a1)ρ12σ1σ2 = 0,
da cui, risolvendo per a1, otteniamo il suo valore ottimo:11
a∗1 =σ2
2 − ρ12σ1σ2
σ21 + σ2
2 − 2ρ12σ1σ2
. (3.5)
10Inoltre, poiche ai e la porzione di ricchezza spesa dal soggetto per l’acquisto del titolo i, una voltaindividuato ai e semplice individuare la quantita xi che il soggetto acquista del titolio i. Essa, infatti, epari a xi = aiW/pi, dove W e pi sono dati e corrispondono, rispettivamente, alla la ricchezza complessivainvestita dal soggetto e al prezzo di mercato del titolo i.
11Si noti che la condizione del secondo ordine affinche la quota sotto indicata di ricchezza investitanel titolo 1 sia effettivamente quella che minimizza (anziche massimizza) il rischio, ossia d2σ2
P /da21 =
2(σ21 + σ2
2 − 2ρ12σ1σ2) > 0, e sempre soddisfatta.
63
II. Portafoglio che minimizza il rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
Si noti come nel caso in cui un titolo fosse privo di rischio (risk-free), la scelta del-
l’investitore (interessato esclusivamente al rischio di investimento) diventerebbe banale:
investire tutta la sua ricchezza nel titolo privo di rischio. Cio e chiaramente confer-
mato dall’Espressione (3.5). Ad esempio, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 1
(σ1 = σ21 = 0), dall’Espressione (3.5) otterremmo a∗1 = 1 e, conseguentemente, a∗2 = 0. Al
contrario, se il titolo privo di rischio fosse il titolo 2 (σ2 = σ22 = 0) otterremmo a∗1 = 0 e
a∗2 = 1. Inoltre, in entrambi i casi, il rischio dell’investimento sarebbe ovviamente nullo.
Peraltro, cio che risultera meno banale sara dimostrare, come faremo in seguito, che, in
certe circostanze, grazie alla diversificazione di portafoglio e possibile azzerare il rischio
di investimento anche quando i titoli sono entrambi rischiosi.
Esempio 14 (Portafoglio che minimizza in assoluto il rischio)
Si consideri un soggetto che intende investire la sua ricchezza in titoli azionari emessi
da due distinte societa (la societa A e la societa B) ed immaginiamo che l’investitore
sia interessato esclusivamente a minimizzare il rischio di investimento. Quale dovrebbe
essere la composizione ottimale del portafoglio dell’investitore nel caso si abbia σ2A = 0, 16,
σ2B = 0, 25 e ρAB = 0, 25 (cioe i rendimenti delle due azioni sono correlati positivamente)?
Quale e il grado di rischio che l’investitore sopporta in corrispondenza di tale portafoglio?
Applicando la formula (3.5) e facile calcolare la quota di ricchezza che l’investitore
deve spendere, per minimizzare il rischio di investimento, nell’acquisto del titolo A. Essa
e data da:
a∗A =0.25− 0.25(0.4)(0.5)
0.16 + 0.25− 2(0.25)(0.4)(0.5)=
20
31.
Per minimizzare il rischio di investimento il soggetto deve quindi spendere 20/31 della
sua ricchezza nell’acquisto delle azioni emesse dalla societa A e la restante parte, pari a
11/31, nell’acquisto di quelle emesse dalla societa B.
Utilizzando i valori ottimali di aA e aB nella formula della varianza di portafoglio,
otteniamo il rischio associato al portafoglio ottimo:
σ2P∗
=
(20
31
)2
0, 16 +
(11
31
)2
0.25 + 2
(20
31
)(11
31
)(0.25)(0.4)(0.5) ' 0.121,
che, anche in questo caso, e inferiore a quello dei portafogli con un solo titolo, σ2A = 0.16
e σ2B = 0.25.
II.A Tre casi particolari
In relazione all’Espressione (3.5) e importante analizzare tre casi particolari che ci
consentiranno di ottenere alcuni risultati particolarmente importanti per quanto concerne
la possibilita di ridurre, tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio, il rischio di
64
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA II. Portafoglio che minimizza il rischio
investimento; i casi particolari sono quelli in cui il coefficiente di correlazione ρ12 assume
i valori (a) ρ12 = −1, (b) ρ12 = 0 e (c) ρ12 = 1.
Caso a: ρ12 = −1 Nel caso con ρ12 = −1, in cui i rendimenti dei due titoli sono
perfettamente correlati negativamente, l’Espressione (3.5) diventa:
a∗1 =σ2
2 + σ1σ2
σ21 + σ2
2 + 2σ1σ2
=σ2(σ1 + σ2)
(σ1 + σ2)2=
σ2
σ1 + σ2
, (3.6)
per cui a∗2 = 1− a∗1 = σ1σ1+σ2
.
Sostituendo i valori di a∗1 e 1 − a∗1 nella formula della varianza del rendimento di
portafoglio σ2P (con ρ12 = −1), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:
σ2P∗
=σ2
2
(σ1 + σ2)2σ2
1 +σ2
1
(σ1 + σ2)2σ2
2 − 2
(σ2
σ1 + σ2
)(σ1
σ1 + σ2
)σ1σ2 =
=σ2
2σ21
(σ1 + σ2)2+
σ21σ
22
(σ1 + σ2)2− 2
σ21σ
22
(σ1 + σ2)2= 0. (3.7)
Si puo quindi concludere che, in questo caso, tramite un’adeguata diversificazione
del portafoglio e addirittura possibile azzerare il rischio di investimento, sebbene i titoli
utilizzati per costruire il portafoglio costituiscano di per se investimenti rischiosi.
Caso b: ρ12 = 0 Nel caso con ρ12 = 0, in cui non c’e correlazione tra i rendimenti dei
due titoli, l’Espressione (3.5) diventa semplicemente:
a∗1 =σ2
2
σ21 + σ2
2
(3.8)
e quindi a∗2 = 1− a∗1 =σ21
σ21+σ2
2.
Sostituendo i valori di a∗1 e 1 − a∗1 nella formula della varianza del rendimento di
portafoglio σ2P (con ρ12 = 0), che compare nell’Espressione (3.4), otteniamo:
σ2P∗
=
(σ2
2
σ21 + σ2
2
)2
σ21 +
(σ2
1
σ21 + σ2
2
)2
σ22 =
σ42σ
21 + σ4
1σ22
(σ21 + σ2
2)2=
=σ2
1σ22(σ2
1 + σ22)
(σ21 + σ2
2)2= σ2
1
(σ2
2
σ21 + σ2
2
). (3.9)
Innanzitutto si noti che(
σ22
σ21+σ2
2
)< 1, per cui dall’Espressione (3.9) emerge che σ2
P∗<
σ21; il rischio associato al portafoglio (ottimo) “diversificato” e sempre inferiore a quello
dell’investimento nel solo titolo 1. Inoltre, considerando che l’Espressione (3.9), nella sua
65
II. Portafoglio che minimizza il rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
forma finale, puo anche essere riscritta come σ2P∗
= σ22
(σ21
σ21+σ2
2
)(e ricordando nuovamente
che(
σ21
σ21+σ2
2
)< 1), avremo anche che σ2
P∗< σ2
2.
In conclusione, quindi, anche quando i tassi di rendimento dei titoli non sono af-
fatto correlati, e possibile costruire adeguatamente un portafoglio diversificato che con-
sente sempre di ridurre (ma non azzerare) il rischio di investimento rispetto a quello
corrispondente a entrambi i soli titoli che lo compongono.
Caso c: ρ12 = 1 L’ultimo caso particolare da analizzare e quello con ρ12 = 1 (perfetta
correlazione positiva tra i rendimenti dei due titoli). Per stabilire adesso se la diversifica-
zione del portafoglio puo consentire di ridurre il rischio di investimento non e necessario
fare riferimento all’Espressione (3.5), ma e sufficiente utilizzare la formula della varianza
del rendimento di portafoglio che, con ρ12 = 1, e data da:
σ2P = a2
1σ21 + (1− a1)2σ2
2 + 2a1(1− a1)σ1σ2 = (a1σ1 + (1− a1)σ2)2, (3.10)
che comporta σP = (a1σ1+(1−a1)σ2). Ovviamente, la deviazione standard del rendimento
del portafoglio σP puo essere considerata, analogamente alla varianza σ2P , una misura del
rischio di portafoglio, nel senso che tanto piu grande e σP , tanto piu grande sara σ2P e
quindi il rischio associato al portafoglio P . Inoltre, poiche, con ρ12 = 1, σP e una media
ponderata delle deviazioni standard dei rendimenti dei due titoli, σ1 e σ2 (dove i pesi sono
rappresentati dalle quote, a1 e 1 − a1), che ne esprimono il rispettivo rischio, per una
nota proprieta della media aritmetica, σP si collochera necessariamente tra σ1 e σ2. In
particolare, se σ1 < σ2 avremo σ1 < σP < σ2, mentre se σ1 > σ2 risultera σ2 < σP < σ1,
per cui in questo caso non sara mai possibile sfruttare la diversificazione del portafoglio
per ridurre il rischio di investimento (converra infatti investire sempre tutta la propria
ricchezza nel solo titolo meno rischioso).
Ovviamente, gli investitori raramente hanno il solo obiettivo di ridurre al minimo il
rischio di investimento, disinteressandosi completamente del rendimento. Piu in genera-
le, essi ricercano quel portafoglio di investimento in grado di fornire quel giusto mix tra
rendimento e rischio che meglio soddisfa le loro preferenze. Prima di proseguire in tale di-
rezione, e pero opportuno sintetizzare i risultati piu importanti raggiunti in questa sezione
(si tenga presente che i risultati relativi ai tre casi particolari, analizzati in un contesto
semplificato con due soli titoli, possono essere estesi e valgono anche in un contesto piu
generale con n titoli), dal momento che torneranno poi utili anche nell’analisi successiva:
• tramite un’adeguata diversificazione di portafoglio e generalmente (ma non
sempre) possibile ridurre il rischio di investimento rispetto a quello delle singole
attivita possedute in portafoglio;
66
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZAIII. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
• a parita di altre condizioni, tanto piu c’e correlazione positiva tra i tassi di rendi-
mento delle attivita facenti parte del portafoglio di investimento, tanto maggiore e
il rischio ad esso associato (tale affermazione puo essere chiaramente verificata uti-
lizzando l’espressione generale (3.3) per il rischio (varianza) di portafoglio, riscritta
utilizzando i coefficienti di correlazione tra i rendimenti: σ2P =
∑i
∑j aiajρijσiσj;
poiche il coefficiente di correlazione assume valori compresi tra ±1, il rischio (va-
rianza) di portafoglio sara tanto maggiore tanto piu i vari ρij tendono al loro valore
massimo (+1) e tanto minore tanto piu essi tendono al loro valore minimo (-1));
• nel caso di correlazione negativa perfetta tra i tassi di rendimento delle attivita
finanziarie ( ρij = −1), tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio e perfino
possibile ridurre a zero il rischio di investimento.
III Frontiera dei portafogli con solo titoli finanziari rischiosi (e
assenza di titoli privi di rischio)
III.A Frontiera dei portafogli con n = 2 titoli rischiosi
Iniziamo adesso l’analisi che consentira di definire scelta ottima dell’investitore (quan-
do e interessato non solo al rischio, ma anche al rendimento di portafoglio). Per individuare
l’insieme di scelta dell’investitore, cioe i possibili portafogli di investimento tra cui sceglie
quello preferito, il primo passo da compiere e quello di costruire la cosiddetta frontiera
dei portafogli (portfolio frontier) o frontiera rischio-rendimento, che, in termini
generali, puo essere definita nel modo seguente:
Definizione 8 (Frontiera dei portafogli)
La frontiera dei portafogli (o frontiera rischio-rendimento) individua tutti i portafogli
(combinazioni di titoli o attivita finanziarie) che consentono all’investitore di ottenere un
certo tasso atteso di rendimento al rischio piu basso.
In sostanza, la frontiera dei portafogli individua i portafogli di investimento che un
consulente finanziario dovrebbe proporre al nostro investitore (avverso al rischio) in base
al rendimento atteso da lui richiesto al consulente. A tale riguardo, si noti innanzitutto
una cosa: a differenza del caso analizzato nella sezione precedente, in cui l’investitore
si disinteressava completamente del rendimento atteso e si preoccupava solo del rischio
dell’investimento, con la frontiera dei portafogli e possibile individuare la combinazione di
titoli che consente di minimizzare il rischio, ma in relazione ad un dato tasso di rendimento
che l’investitore si prefigge di conseguire.
67
III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
Procederemo nella costruzione della frontiera di portafoglio per tappe successive. In
primo luogo, continuiamo per il momento a considerare il caso particolare di un’economia
con due soli titoli finanziari assumendo che si tratti di titoli rischiosi (ad esempio, azioni
di due societa). Inoltre, seguendo una prassi consolidata, esprimeremo adesso il rischio di
portafoglio in termini di deviazione standard (σP ) piuttosto che in termini di varianza (σ2P )
dei rendimenti. Ai nostri scopi, poiche la varianza e il quadrato della deviazione standard,
cio non produrra alcun rilevante cambiamento.12 In generale, la frontiera dei portafogli per
il caso particolare che stiamo considerando, ossia di sole due attivita rischiose, assumera
la forma grafica rappresentata dalla curva in grassetto che unisce i punti P1 e P2 in Figura
3.2.
µP
σP
P1
P2
PZρ12 = 1
ρ12 = −1
Figura 3.2: Frontiera dei portafogli con due titoli rischiosi
I punti P1 e P2 rappresentano i due portafogli in cui l’investitore investe tutta la
sua ricchezza, rispettivamente, nelle azioni della prima societa e in quelle della seconda
societa. Ogni punto sulla curva che unisce i due punti rappresenta invece un portafoglio
per cui l’investitore spende la sua ricchezza per acquistare, in una certa combinazione,
sia azioni della prima che della seconda societa. Inoltre, in base alla Definizione 8, ogni
punto sulla frontiera individua il portafoglio che consente di ottenere un dato (tasso di)
rendimento atteso (µP sull’asse verticale) al rischio piu basso (espresso dal corrispondente
valore di σP sull’asse orizzontale).
12In particolare, poiche la costruzione della frontiera dei portafogli implica la minimizzazione del rischio(per ogni dato livello di rendimento atteso), minimizzare rispetto alla deviazione standard e equivalentea farlo rispetto alla varianza.
68
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZAIII. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
Per chiarire ulteriormente come la frontiera di portafoglio e stata costruita in Figura
3.2, puo essere utile considerare che ogni frontiera e disegnata per un dato valore del
coefficiente di correlazione tra i rendimenti delle due azioni e individuare la forma della
frontiera per i due casi particolari (estremi) in cui i rendimenti sono perfettamente correlati
positivamente e negativamente (ρ12 = ±1). A seconda del caso, in tali circostanze la
deviazione standard del portafoglio e pari a:13
σP =| a1σ1 ± (1− a1)σ2 | .
Consideriamo dapprima il caso con perfetta correlazione positiva per cui σP = a1σ1 +
(1− a1)σ2; in questo caso, come abbiamo gia analizzato nella Sezione II.A, la deviazione
standard del generico portafoglio P , in cui sono presenti contemporaneamente sia azioni
della prima che della seconda societa (0 < a1 < 1), e una combinazione lineare convessa
delle deviazioni standard dei due portafogli “estremi” (in cui sono presenti azioni di una
sola societa). Inoltre, poiche la stessa cosa vale per il tasso di rendimento atteso del
portafoglio, µP = a1µ1 + (1− a1)µ2, la frontiera dei portafogli e rappresentata, in Figura
3.2, dal segmento tratteggiato che unisce i portafogli P1 e P2.
Consideriamo adesso il caso con perfetta correlazione negativa. In tale circostanza,
dalla sezione precedente, sappiamo che tramite un’adeguata composizione (diversificazio-
ne) di portafoglio e addirittura possibile azzerare il rischio di investimento. Graficamente,
cio comporta che la frontiera di portafoglio che unisce i punti P1 e P2 passi per un punto
(portafoglio) sull’asse delle ordinate (dove abbiamo σP = 0). Immaginiamo che tale por-
tafoglio sia il punto indicato con la lettera PZ in Figura 3.2. Per cui, tenendo conto che
con ρ12 = −1 la frontiera e lineare e che, per definizione, σP non puo essere negativa, la
frontiera dei portafogli che unisce P1 e P2, nel caso di perfetta correlazione negativa, avra
la forma rappresentata, in Figura 3.2, dalla spezzata P1 PZ P2.
Ovviamente per valori intermedi di ρ12 (−1 < ρ12 < 1) la frontiera (che non sara
piu lineare) si trovera “nel mezzo” alle forme assunte nei due casi estremi, collocandosi
all’interno del triangolo che unisce i punti P1, PZ e P2 e potendo, quindi, assumere (per
un dato valore di ρ12) la forma della curva in grassetto rappresentata in Figura 3.2.
Prima di estendere il caso qui analizzato, e importante approfondire alcuni altri aspetti
connessi a tale economia (con due sole attivita finanziarie rischiose). In Figura 3.2 la fron-
tiera dei portafogli che unisce i punti P1 e P2 non “prosegue” oltre quelli. In altri termini,
se l’investitore decide di investire tutta la sua ricchezza nell’acquisto di un solo tipo di
13Tale formula si ottiene considerando che, con due titoli e ρ12 = ±1, la varianza di portafoglio eσ2P = a21σ
21 + (1 − a1)2σ2
2 ± 2a1(1 − a1)σ1σ2, che puo essere riscritta come σ2P = (a1σ1 ± (1 − a1)σ2)2.
La formula in questione si ricava, dunque, considerando che la deviazione standard (che, per definizione,non puo essere negativa) e la radice quadrata della varianza.
69
III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
azione, ne potra acquistare un numero massimo pari a W/pi (con W la ricchezza iniziale
dell’investitore e pi il prezzo di mercato dell’azione i) e non piu di quello. In generale,
tutto cio appare sensato, ma nell’ambito dei mercati finanziari esiste uno “strumento” che
puo permettere di aggirare il vincolo della ricchezza iniziale dell’investitore e consentirgli
di costruirsi un portafoglio con un numero di azioni superiore a quello massimo che la sua
ricchezza iniziale gli avrebbe permesso di acquistare: si tratta delle cosiddette vendite
allo scoperto (short-sales).
µP
σP
P1
P2
PE
PS
PMR
PX
Figura 3.3: Frontiera dei portafogli con short-sales
Tramite le vendite allo scoperto un investitore puo vendere dei titoli che non possiede
(prendendoli a prestito, ad esempio, da un investitore finanziario) per poi riacquistarli e
restituirli alla scadenza pattuita (per tale motivo, analogamente ai contratti a termine, si
parla di posizione corta per l’investitore che deve restituire i titoli ottenuti in prestito).
Nel caso particolare che stiamo considerando, tramite le vendite allo scoperto, l’investitore
puo utilizzare il ricavato derivante dalla vendita allo scoperto di un certo tipo di azione
per acquistare un numero maggiore, rispetto a quello che si sarebbe potuto permettere
con la sua sola ricchezza iniziale, dell’altro tipo.14 La Figura 3.3 estende la frontiera dei
14In generale le vendite allo scoperto sono utilizzate nei mercati finanziari dagli investitori per otteneredei rendimenti aggiuntivi. Ad esempio, se un soggetto si aspetta che un certo titolo possa subire infuturo una riduzione di prezzo, avra interesse a farselo prestare per rivenderlo immediatamente. Se lesue previsioni si rivelano poi corrette, potra riacquistarlo in futuro al prezzo piu basso per restituirlo alpossessore originario, lucrando cosı sulla differenza di prezzo. Ovviamente, colui che presta titoli ad unaltro soggetto, generalmente, richiedera in cambio il pagamento di una commissione, che, peraltro, nonsara considerata espressamente nella nostra analisi (cio non produce importanti conseguenze sui risultati
70
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZAIII. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
portafogli vista precedentemente al caso in cui sono ammesse vendite di azioni allo sco-
perto. In particolare, poiche attraverso le vendite allo scoperto e possibile costruirsi dei
portafogli di investimento, e quindi raggiungere combinazioni rischio-rendimento (grafi-
camente, punti nel piano σP − µP ), che non si potevano ottenere senza tale strumento,
la frontiera comprendera adesso nuovi portafogli (come quello indicato con PS) che si
collocano “oltre” i punti P1 e P2 e che, quindi, non facevano parte della frontiera rappre-
sentata in Figura 3.2, in cui le vendite allo scoperto non erano ammesse. Si noti, peraltro,
che, anche utilizzando le vendite allo scoperto, non tutti portafogli (combinazioni rischio-
rendimento) sono “raggiungibili” dall’investitore; ad esempio, date le caratteristiche, in
termini di tassi attesi di rendimento, varianze e covarianze, dei titoli disponibili (il titolo
1 e il titolo 2) per formare portafogli di investimento, la combinazione rischio-rendimento
rappresentata dal portafoglio PX non e conseguibile.
Un altro importante portafoglio rappresentato in Figura 3.3 e il punto PMR. Esso,
infatti, e il portafoglio con minor rischio (σP piu basso) tra tutti quelli situati sul-
la frontiera. Si noti la differenza tra questo e qualsiasi altro portafoglio sulla frontiera:
mentre in ogni altro portafoglio diverso da PMR il rischio di investimento e minimizzato
per un dato rendimento atteso, il portafoglio PMR e quello che minimizza il rischio di
investimento indipendentemente dal rendimento. In sostanza, il portafoglio PMR corri-
sponde a quello individuato nella Sezione II, che sceglierebbe un investitore interessato
esclusivamente alla minimizzazione del rischio.
Un ultimo importante aspetto da sottolineare riguarda la relazione tra i portafogli
situati nel tratto crescente e quelli situati nel tratto decrescente della frontiera. A tale
riguardo, si considerino i portafogli P2 e PE in Figura 3.3: essi sono caratterizzati dallo
stesso rischio, ma PE fornisce un rendimento atteso maggiore di P2. Per tale motivo,
pur essendo situati entrambi sulla frontiera, solo PE e un portafoglio efficiente. In
particolare, un portafoglio efficiente puo essere definito nel modo seguente:
Definizione 9 (Portafoglio efficiente)
Un portafoglio P si definisce efficiente se si trova sulla frontiera dei portafogli (quindi
consente di minimizzare il rischio per un dato tasso atteso di rendimento) e al contempo
massimizza il tasso atteso di rendimento per un dato grado di rischio.
L’insieme (o frontiera) dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente
(a partire dal portafoglio PMR) della frontiera dei portafogli. Come avremo modo di
vedere in seguito, quando gli investitori hanno preferenze che soddisfano il criterio media-
che analizzeremo). Infine, occorre sottolineare che, anche per i rischi che tale pratica puo implicare, lapossibilita di effettuare vendite allo scoperto e generalmente assoggettata a precisi vincoli istituzionali enon tutti gli investitori finanziari possono ricorrere abitualmente a tale strumento.
71
III. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
varianza, sceglieranno sempre un portafoglio di investimento che appartiene all’insieme
dei portafogli efficienti.
III.B Frontiera dei portafogli con n > 2 titoli rischiosi
La prima estensione della semplice economia con due attivita finanziarie rischiose, che
abbiamo analizzato nella sezione precedente, consiste nell’introdurre un numero n > 2 di
titoli finanziari, tra cui l’investitore puo scegliere. Manteniamo per il momento, invece,
l’ipotesi che si tratti di tutti titoli rischiosi (ad esempio, tutte azioni di n distinte societa).
Ovviamente la prima questione da affrontare e come la frontiera dei portafogli cambi
rispetto al caso con due sole azioni. A tale proposito, una prima intuizione di come sia fatta
la frontiera di portafoglio con n > 2 azioni si puo ottenere considerando che all’aumentare
del numero delle azioni aumenta la possibilita dell’investitore di diversificare il proprio
portafoglio di investimento. Cio, come abbiamo visto, puo consentire di ridurne il rischio.
In altri termini, all’aumentare del numero dei titoli disponibili, e possibile investire la
ricchezza disponibile in modo da ottenere un certo rendimento (atteso) con un rischio
piu basso. Graficamente, cio implica che, in generale, all’aumentare di n la frontiera di
portafoglio si sposta sempre piu verso l’asse delle ordinate (valori sempre piu bassi di σP
per dati valori di µP ).15
Per approfondire graficamente ulteriormente la cosa, consideriamo la Figura 3.4. In
essa e riportata nuovamente la frontiera dei portafogli costruita con due soli titoli finanziari
rischiosi, che comprende i portafogli P1 e P2. Il portafoglio PC , che appartiene anch’esso
a quella frontiera, e, quindi, un portafoglio ottenuto con una data combinazione delle
azioni delle due societa di partenza. Immaginiamo adesso che l’investitore possa scegliere
tra tre azioni e che, in virtu di cio, il portafoglio P3 sia per lui una scelta possibile. In
particolare, “acquistando” il portafoglio P3, egli investe tutta la sua ricchezza nell’acquisto
delle azioni di una terza societa. Inoltre, adesso e anche possibile costruire nuovi portafogli
diversificati che contengono azioni della terza societa. Ad esempio, il portafoglio PD e
ottenuto combinando in certe proporzioni le azioni della terza societa con quelle della
seconda societa (si collocherebbe, quindi, sulla frontiera dei portafogli dell’“economia”
in cui fossero presenti solo titoli di tali societa). Allora, lo stesso ragionamento che, a
partire dai portafogli P1 e P2, avevamo utilizzato per costruire la frontiera dei portafogli
nella Sezione III.A, puo essere adesso ripetuto partendo da PC e PD, costruendo cosı
portafogli in cui sono contenute contemporaneamente azioni di tutte e tre le societa: cio
15Piu rigorosamente, la frontiera dei portafogli non si sposta mai verso destra (non si allontana maidall’asse delle ordinate) all’aumentare di n. Lo spostamento verso sinistra, infatti, potrebbe non realizzarsicon l’introduzione nell’insieme di scelta di nuovi titoli, i cui rendimenti sono perfettamente correlatipositivamente con quelli di attivita finanziarie ottenute come combinazioni di titoli gia presenti.
72
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZAIII. Frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi
µP
σP
PC
PD P3
P2
P1
Figura 3.4: Frontiera dei portafogli con tre titoli rischiosi
che otteniamo e la frontiera in grassetto di Figura 3.4, la quale, come ci attendevamo,
si colloca, per ogni dato valore di µP , “piu vicina” (o, in generale, “non piu lontana”)
all’asse delle ordinate rispetto a quelle con due sole attivita finanziarie. Inoltre, come per
il caso con due soli titoli, l’insieme dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente
della frontiera.
L’idea di come si costruisce la frontiera dei portafogli con n attivita rischiose si puo
esprimere anche in termini analitici. Come abbiamo avuto piu volte modo di ricordare,
ogni portafoglio sulla frontiera rappresenta la combinazione di titoli o attivita finanzia-
rie che minimizza il rischio di investimento σ2P (o, equivalentemente, σP ) per ogni dato
livello di rendimento (atteso) µP . Formalmente, un portafoglio sulla frontiera puo essere
individuato dalla combinazione di titoli espressa dalle quote (a1, a2, ..., an) che soddisfano
il problema seguente:
min(a1,a2,...,an)
σ2P =
n∑
i=1
n∑
j=1
aiajσij (3.11)
s. a:n∑
i=1
aiµi = µP (3.12)
n∑
i=1
ai = 1. (3.13)
In particolare, i Vincoli (3.12) e (3.13) esprimono, rispettivamente, che: i) il portafoglio
73
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
individuato dalla soluzione del problema minimizza il rischio di investimento dato un
certo tasso atteso di rendimento (obiettivo) µP che l’investitore intende realizzare, e ii)
la somma delle quote di ricchezza investita nei vari titoli e pari a uno. Si noti che,
quando sono ammesse vendite allo scoperto, per alcuni titoli potra anche risultare ai > 1.
Ovviamente, a fronte di cio, per qualche altro titolo (venduto allo scoperto) j 6= i dovra
risultare aj < 0. Nel caso, invece, le vendite allo scoperto fossero vietate, un ulteriore
vincolo andrebbe inserito nel problema di minimizzazione, ossia ai ≥ 0,∀i.Dalla soluzione matematica del Problema (3.11), sotto i Vincoli (3.12) e (3.13), sara
possibile individuare (dalle quote di ricchezza investite nei vari titoli) un portafoglio che
appartiene alla frontiera. Ripetendo tale procedimento per ogni possibile valore “obiet-
tivo” del rendimento (atteso) µP , otterremo tutti i portafogli (uno per ogni µP ) che
costituiscono la frontiera.
IV Frontiera dei portafogli con titoli finanziari rischiosi e un
titolo privo di rischio
Introduciamo adesso nell’economia, insieme ai titoli finanziari rischiosi, un’attivita
priva di rischio (risk-free), ad esempio un deposito bancario o un titolo obbligaziona-
rio “sicuro” emesso dallo Stato (ad esempio un BOT).16 A tale riguardo, consideriamo,
innanzitutto, che introdurre la presenza di tale titolo puo consentire ai soggetti, non solo
la possibilita di investire i loro risparmi (concedendo cosı prestito ad altri soggetti) in
un’attivita senza rischio, ma anche quella di prendere denaro a prestito (ad esempio, da
una banca) al tasso di rendimento, o di interesse, privo di rischio.
Se indichiamo con r0 il tasso effettivo di rendimento del titolo privo di rischio, chia-
ramente, avremo che µ0 ≡ E[r0] = r0 e σ20 = σ0 = 0, dove µ0, σ2
0 e σ0 rappresentano,
rispettivamente, il tasso atteso di rendimento dell’attivita priva di rischio, la sua varianza
e la sua deviazione standard.
Adesso, e possibile affermare che la frontiera dei portafogli in un’economia in cui sono
presenti attivita finanziarie rischiose e un titolo privo di rischio e una semiretta inclina-
ta positivamente che origina dall’asse delle ordinate. Per dimostrare tale affermazione,
immaginiamo che l’investitore abbia, in qualche modo (possibilmente, ma non necessaria-
mente, in modo efficiente), gia individuato un portafoglio di investimento composto da
sole attivita rischiose: indichiamo con PR tale portafoglio (con µR e σ2R, rispettivamente,
16Si noti che se, da un lato, e del tutto sensato considerare senza rischio tali investimenti qualorasi faccia riferimento al rendimento nominale, d’altro lato, la questione risulta senz’altro piu discutibilein relazione al rendimento reale (in quanto l’inflazione potrebbe risultare un fenomeno particolarmenteincerto e complesso da prevedere).
74
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
il suo tasso atteso di rendimento e la varianza). Ammettiamo che adesso si apra la pos-
sibilita di investire anche nel titolo privo di rischio. A partire dal portafoglio PR, quindi,
l’investitore puo adesso costruirsi un nuovo portafoglio in cui sono presenti sia attivita
rischiose che l’attivita priva di rischio. Piu specificatamente, egli ha adesso la possibilita
di scegliere quanto della sua ricchezza mantenere investita nel portafoglio PR e quanto,
viceversa, disinvestire da PR e destinare all’acquisto del titolo privo di rischio.
Indichiamo con a0 la quota di ricchezza disinvestita da PR per l’acquisto del titolo
risk-free e con P il nuovo generico portafoglio “costruito” dall’investitore combinando il
portafoglio rischioso PR con il titolo risk-free. Tenendo presente che la covarianza e, quindi,
il coefficiente di correlazione tra i rendimenti di un’attivita priva di rischio e un qualsiasi
altro portafoglio di investimento sono pari a zero, avremo, allora, che il rendimento atteso
e il rischio del portafoglio P saranno dati, rispettivamente, da:
µP = a0r0 + (1− a0)µR (3.14)
e
σ2P = (1− a0)2σ2
R. (3.15)
L’Espressione (3.15) implica, chiaramente, σP = (1 − a0)σR, che possiamo riscrivere
come:
1− a0 =σPσR, (3.16)
da cui si ottiene:
a0 =σR − σPσR
. (3.17)
Sostituendo per a0 e 1 − a0 (Espressioni (3.17) e (3.16)) nell’Equazione (3.14), tramite
semplici passaggi algebrici, otteniamo:
µP = r0 +
(µR − r0
σR
)σP . (3.18)
L’Espressione (3.18) esprime il fatto che, per portafogli di investimento in cui sono
presenti attivita rischiose e un’attivita priva di rischio, vale sempre una relazione linea-
re tra il tasso atteso di rendimento (µP ) e la deviazione standard, ossia il rischio, del
portafoglio (σP ).
Poiche, per costruzione, l’Equazione (3.18) vale per ogni generico portafoglio P (con
titoli rischiosi e un titolo privo di rischio), essa puo essere riscritta piu in generale come
µP = a + bσP (con a = r0 e b = (µR − r0)/σR) da cui emerge chiaramente come tutti i
portafogli costruiti combinando, in proporzioni differenti, un portafoglio di titoli rischiosi
(PR) con il titolo privo di rischio si collochino su una semiretta con intercetta positiva
75
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
sull’asse delle ordinate pari a r0 (il tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio) e
inclinazione data da (µR − r0)/σR. A tale riguardo, si noti anche che, dal momento
che nessuno avrebbe convenienza a detenere attivita rischiose se il titolo senza rischio
offrisse anche un rendimento superiore, in generale, ha senso concentrarsi esclusivamente
sui portafogli che si collocano sulle semirette per cui vale µR−r0 > 0, le semirette, cioe, con
inclinazione positiva (si ricordi che la deviazione standard, σP , e positiva per definizione).
Cio esprime chiaramente la presenza di un trade-off tra rendimento e rischio: i portafogli
con un rendimento (atteso) piu alto presenteranno anche un maggiore rischio.17
µP
σP
PD
PT
PR
P0
r0
Figura 3.5: Frontiera dei portafogli efficienti con titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
A tal punto, si tratta di stabilire quale, tra le tante semirette che originano da r0 e che
si ottengono combinando il titolo risk-free con i diversi portafogli rischiosi, costituisca la
frontiera dei portafogli efficienti. A tale riguardo si consideri la Figura 3.5 dove e riportato
il portafoglio P0 riferito a un investimento in cui tutta la ricchezza dell’investitore e spesa
per acquistare l’attivita priva di rischio: le sue coordinate, infatti, sono µ0 = r0 e σ0 = 0.
PR e PT , invece, sono due portafogli in cui l’investitore spende, in proporzioni diverse,
tutta la sua ricchezza nell’acquisto di soli titoli rischiosi (si noti che tali portafogli si
collocano sul tratto crescente della frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi per
cui, se non fosse presente il titolo risk-free, sarebbero entrambi portafogli efficienti). Le
due semirette che originano da P0 e passano per PR e PT rappresentano, dunque, tutti i
17Piu specificatamente, in base all’Espressione (3.18), µP cresce al crescere del rapporto σP /σR. Cioha chiaramente senso: poiche, come abbiamo visto, σP /σR e uguale a (1 − a0), che rappresenta laquota di titoli rischiosi presenti nel portafoglio P , al crescere di tale quota aumenta il rendimento attesodell’investimento µP in quanto µR > r0.
76
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio
portafogli che si ottengono combinando, in proporzioni differenti, il titolo privo di rischio
e, rispettivamente, i (le combinazioni di titoli presenti nei) portafogli rischiosi PR e PT .18
Peraltro, e facile mostrare che per ogni portafoglio situato sulla semiretta passante per
PR, esiste un altro portafoglio su quella passante per PT che:
i. consente di ottenere un dato rendimento atteso con un rischio minore; oppure
ii. a parita di rischio consente di ottenere un rendimento atteso maggiore.
Ovviamente, dal punto di vista grafico, tali risultati dipendono dal fatto che la semi-
retta passante per PT si colloca sempre a sinistra e al di sopra di quella passante per PR.
e semplice dimostrare, inoltre, che i portafogli sulla semiretta passante per PT dominano,
nel senso prima definito, tutti i portafogli che si collocano su una qualsiasi altra semiretta
che origina da P0 e che passa per un portafoglio qualsiasi sulla frontiera con solo titoli
rischiosi. Cio in quanto la semiretta passante per PT e l’unica che e tangente a quella
frontiera; per tale motivo, il portafoglio PT si definisce portafoglio di tangenza. In
sostanza, quindi, in presenza di un titolo senza rischio la frontiera dei portafogli efficienti
e la semiretta inclinata positivamente che origina dal portafoglio senza rischio P0 ed e
tangente alla frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi (in Figura 3.5, essa coincide,
dunque, con la semiretta in grassetto passante proprio per il portafoglio di tangenza PT ),
per cui l’equazione che la caratterizza sara:
µP = r0 +
(µT − r0
σT
)σP (3.19)
dove µT e σT sono, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard)
del portafoglio di tangenza.
In relazione alla frontiera efficiente di Figura 3.5, si noti anche che per ciascun por-
tafoglio che si colloca tra P0 e PT (compreso P0, ma non PT ), spendendo parte della
sua ricchezza nell’acquisto del titolo privo di rischio, l’investitore, di fatto, sta conceden-
do denaro a prestito. Consideriamo, invece, il portafoglio PD. Esso si colloca oltre PT .
L’investitore, quindi, non avrebbe potuto raggiungerlo con la sola sua ricchezza. Per riu-
scirci, puo adesso sfruttare la presenza dell’attivita priva di rischio. In particolare, puo
18A questo punto si potrebbe porre la seguente domanda: consideriamo, ad esempio, la semirettapassante per PR (discorso analogo potrebbe essere fatto per quella passante per PT ); se in P0 l’investitorespende tutta la sua ricchezza per acquistare il titolo risk-free, in PR spende tutta la sua ricchezza peracquistare il portafoglio rischioso e tra P0 e PR spende tutta la sua ricchezza per acquistare portafogliche sono un mix dei portafogli precedenti, come puo l’investitore acquistare portafogli che si trovano sullasemiretta a destra di PR? Per rispondere a tale domanda si veda, tra un attimo, quanto argomentato inrelazione ai portafogli con debito.
77
IV. Titoli rischiosi e un titolo privo di rischio 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
indebitarsi (cioe prendere denaro a prestito al tasso risk-free) e utilizzare le risorse aggiun-
tive cosı ottenute per potersi permettere un investimento altrimenti non realizzabile: per
tale motivo, un portafoglio oltre PT , come PD, e anche detto portafoglio con debito
(levered portfolio).
Infine, analogamente a quanto visto nella Sezione III.B in assenza del titolo risk-
free, la frontiera (efficiente) dei portafogli puo essere ricavata analiticamente risolvendo il
seguente problema, che e del tutto simile al precedente, con l’unica (importante) differenza
che adesso “l’insieme di scelta” dell’investitore e piu ampio, comprendendo anche l’attivita
priva di rischio; in particolare, in cio che segue, a0 si riferisce alla scelta dell’investitore
sulla quota di ricchezza destinata all’acquisto dell’attivita risk-free (in Appendice A.2
al capitolo, il procedimento matematico per il calcolo della frontiera dei portafogli sara
sviluppato analiticamente per il caso particolare in cui sono presenti due attivita rischiose
e una priva di rischio):19
min(a0,a1,a2,...,an)
σ2P =
n∑
i=1
n∑
j=1
aiajσij (3.20)
s. a:
a0r0 +n∑
i=1
aiµi = µP (3.21)
a0 +n∑
i=1
ai = 1. (3.22)
Esempio 15 (Frontiera efficiente)
Si assuma che µT = 0, 1 e σT = 0, 5 siano, rispettivamente, il rendimento atteso e il rischio
del portafoglio di tangenza, mentre il tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia del
5%. Se un investitore intende realizzare un investimento con rendimento atteso del 20%,
qual’e il rischio piu basso che deve sopportare? Inoltre, come si compone il portafoglio
che gli consente di ottenere il rendimento atteso desiderato con il rischio piu basso?
Il portafoglio che minimizza il rischio in corrispondenza di un rendimento atteso
del 20% si trova chiaramente sulla frontiera efficiente, per cui occorre far riferimento
19Oltre a quello rappresentato di seguito, un metodo matematico alternativo per individuare la frontieraefficiente (con un titolo risk-free) si basa sull’osservazione che quest’ultima coincide con la semirettaavente intercetta r0 sull’asse delle ordinate e con inclinazione piu elevata (compatibilmente con l’insiemedi scelta dei portafogli, rispetto al quale la semiretta e tangente). In virtu di tale osservazione, la frontieraefficiente puo essere costruita individuando i portafogli che, per ogni dato tasso atteso di rendimento µP ,massimizzano l’inclinazione della semiretta (µP−r0)/σP , sotto il vincolo che le quote di ricchezza investitenei vari titoli sommino a uno (a0 +
∑i ai = 1).
78
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance
all’Equazione (3.19). In particolare, risolvendo rispetto a σP otteniamo:
σP =
(µP − r0
µT − r0
)σT ,
da cui, il rischio minimo per µP = 0.2 (considerando i valori di µT e σT ) e pari a:
σP =
(0.2− 0.05
0.1− 0.05
)0.5 = 1.5.
Per calcolare poi la composizione del portafoglio, possiamo fare riferimento alla formula
del rendimento atteso dello stesso, ossia µP = a0r0 + (1− a0)µT , che implica a0 = (µP −µT )/(r0 − µT ), da cui otteniamo che:
a0 =0.2− 0.1
0.05− 0.1= −2
e 1−a0 = 3. In altri termini, l’investitore si indebita (al tasso risk-free) per un ammontare
di risorse pari al doppio della sua ricchezza iniziale al fine di investire una somma pari a
tre volte la sua ricchezza iniziale nel portafoglio rischioso (di tangenza). Cio (cioe il fatto
che debba indebitarsi) era attendibile, dal momento che l’investitore ambisce a ottenere
un rendimento atteso piu elevato rispetto a quello del portafoglio di tangenza.
V Frontiera dei portafogli e indici di performance delle attivita
finanziarie
La frontiera dei portafogli puo essere utile di per se anche a definire, indipendente-
mente dalle preferenze dei singoli investitori, la performance di un’attivita finanziaria o
di un portafoglio di investimento contenente piu titoli finanziari contemporaneamente. In
particolare, in letteratura sono stati proposti vari indici per misurare le performance di
un’attivita che tenesse conto sia del rendimento atteso che della sua rischiosita che si ri-
chiamano esplicitamente al concetto di frontiera efficiente. Fra questi, assume particolare
interesse l’indice di Sharpe (Sharpe ratio), dal nome dell’economista William Sharpe
che per primo lo ha proposto, che, in relazione all’attivita i-esima, e definito come:
si =µi − r0
σi. (3.23)
L’indice di Sharpe valuta quindi un’attivita, che puo essere un singolo titolo oppu-
re un intero portafoglio, in relazione sia al suo rendimento atteso in eccesso rispetto al
rendimento dell’attivita risk-free, sia alla sua rischiosita, misurata da σi, la deviazione
79
V. Indici di performance 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
µP
σP
r0
P2
P1
s2 =µP2
−r0σP2
σP2σP1
µP1
µP2
PT
P3
FPE
s1 =µP1
−r0σP1
Figura 3.6: Indice di Sharpe
standard del suo rendimento. In Figura 3.6, ad esempio, il portafoglio P1 ha un rendi-
mento maggiore di P2, ma associato anche a un livello maggiore di rischio. Peraltro, se
valutiamo tramite l’indice di Sharpe i due portafogli P2 risulta preferito rispetto P1. Cio
e facilmente intuibile considerando anche che l’indice di Sharpe non e altro che l’inclina-
zione della semiretta (gia discussa nella Sezione IV) che origina dall’asse delle ordinate
in corrispondenza di r0, il tasso di rendimento del titolo privo di rischio, e passante per
il particolare portafoglio considerato. Poiche il portafoglio P2 si colloca su una semiretta
piu inclinata di quella su cui si colloca P1, in base all’indice di Sharpe, la performance di
P2 e migliore a quella di P1.
Ovviamente, se calcolato per due portafogli che si collocano sulla frontiera dei por-
tafogli efficienti (in Figura 3.6, la semiretta FPE), ad esempio PT (il “portafoglio di
tangenza”) e P3, l’indice di Sharpe risulta uguale, dal momento che i portafogli efficienti
si trovano tutti sulla stessa semiretta. Inoltre, per motivi che adesso dovrebbero risultare
chiari, l’indice e massimo proprio per i portafogli efficienti (si confronti l’indice di Sharpe
per i portafogli P1 e P2 con quello per i portafogli PT e P3). Possiamo dunque concludere
che, dati due portafogli, se l’indice di Sharpe del primo e superiore a quello del secon-
do, siamo sicuri che il secondo portafoglio non potra appartenere alla frontiera efficiente
(peraltro, a priori, non possiamo concludere che il primo vi appartenga).
Un altro indice di performance finanziaria, derivato dall’indice di Sharpe, e l’indice
RAP (Risk-Adjusted Performance), proposto dall’economista Franco Modigliani,
80
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA V. Indici di performance
che fa riferimento ad un generico portafoglio ”benchmark” PBENCH ed e definito come:
RAPi = r0 +σBENCH
σi(µi − r0) ,
ossia, in termini dell’indice di Sharpe:
RAPi = r0 + σBENCHsi. (3.24)
Si noti, innanzitutto, che dal momento che l’indice RAP e una funzione lineare po-
sitiva dell’indice di Sharpe, i due indici mantengono esattamente lo stesso “ordine” di
performance dei vari titoli (portafogli). Inoltre, l’indice RAPi e pari al rendimento at-
teso dell’attivita i se il rischio dell’attivita i (ossia σi) e pari a quello del portafoglio
benchmark, mentre, a parita di rendimento atteso µi, cresce mano a mano che il rischio
”relativo” dell’attivita i diminuisce (ossia σi decresce rispetto a σBENCH). E’ immediato
che tale indice possa essere calcolato anche per un generico portafoglio.
µP
σP
r0
P2
P1
σBENCH
PT
RAP1
RAP2
RAPFPE
FPE
s1
Figura 3.7: Indice RAP
Graficamente, per un dato portafoglio, l’indice RAP si ottiene fissando sull’asse delle
ascisse il “rischio” del portafoglio benchmark, σBENCH , e individuandone il relativo va-
lore sull’asse delle ordinate in corrispondenza del punto di intersezione tra σBENCH e la
semiretta con intercetta r0 su cui si colloca il portafoglio considerato. Ad esempio, nella
Figura 3.7 l’indice RAP dei due portafogli P1 e P2 (RAP1 e RAP2), quando σBENCH
rappresenta il rischio del portafoglio benchmark, conferma che il portafoglio P2 dovrebbe
essere preferito a P1. Osserviamo che il RAP massimo viene raggiunto per i portafoglio
81
VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
sulla frontiera efficiente (vedi RAPFPE nella figura), cosı che anche questo indice puo
essere utilizzato per scartare portafogli inefficienti.
Esempio 16 (Indici di Sharpe e RAP)
Si considerino i tre seguenti portafogli finanziari, caratterizzati dalle coppie tasso atteso
di rendimento-rischio: P1) µ1 = 15.5%, σ1 = 0.2; P2) µ2 = 9.2%, σ2 = 0.09; P3) µ3 =
12%, σ3 = 0.12. Si calcolino i rispettivi indici di Sharpe e RAP , ipotizzando che il
tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia r0 = 5% e che il rischio del portafoglio
benchmark sia σBENCH = 0.1, e si indichi quali portafogli non appartengono alla frontiera
efficiente.
Applicando la formula dell’indice di Sharpe otteniamo:
s1 =0.155− 0.05
0.2= 0.525
s2 =0.092− 0.05
0.09' 0.467
s3 =0.12− 0.05
0.12' 0.583.
Applicando la formula dell’indice RAP otteniamo:
RAP1 = 0.05 +0.1
0.2(0.155− 0.05) = 0.1025
RAP2 = 0.05 +0.1
0.09(0.092− 0.05) ' 0.0967
RAP3 = 0.05 +0.1
0.12(0.12− 0.05) ' 0.1083.
Sulla base dei risultati degli indici possiamo dedurre che i portafogli P1 e P2 non
appartengono alla frontiera dei portafogli efficienti.
VI Teorema di separazione e scelta del portafoglio ottimo
Prima di passare ad analizzare la scelta del portafoglio ottimo (tra i tanti che si col-
locano sulla frontiera efficiente) da parte dell’investitore, e importante sottolineare un
ultimo aspetto. In effetti, in base al ragionamento con cui la frontiera efficiente e stata
individuata, tutti gli investitori con le stesse “credenze” riguardo ai rendimenti attesi e
alle varianze, o deviazioni standard, (e covarianze) dei rendimenti dei vari titoli, saranno
caratterizzati dalla stessa frontiera efficiente e avranno sempre convenienza a scegliere un
portafoglio che si colloca su quella stessa frontiera. Peraltro, per come la frontiera e stata
82
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
costruita (combinando, in proporzioni diverse, il portafoglio risk-free e quello rischioso),
ogni suo portafoglio, limitatamente alla sola componente rischiosa, sara caratterizzato
dalla stessa combinazione di titoli. In particolare, considerando specificatamente la Fi-
gura 3.5 della Sezione IV, tale combinazione di titoli rischiosi sara quella corrispondente
al portafoglio “di tangenza” PT . Le preferenze degli investitori, dunque, determineranno
i punti (portafogli) in cui essi si posizioneranno lungo la frontiera (che, chiaramente, sa-
ranno diversi per investitori con preferenze diverse)20, ossia la particolare combinazione
tra titolo privo di rischio e portafoglio PT , ma non influiranno sulle proporzioni con cui
gli investitori deterranno titoli rischiosi. In altri termini, le preferenze degli investitori in-
fluiranno sull’ammontare assoluto di denaro investito in ciascun titolo rischioso (e quindi
nella componente rischiosa dell’investimento nel suo complesso), ma non nelle proporzioni
con cui il denaro viene investito tra i diversi titoli rischiosi. Tutto cio, ci porta a enunciare
un risultato fondamentale della teoria delle scelte di portafoglio, noto come teorema di
separazione o del fondo comune (separation or mutual fund theorem):
Teorema 1 (Teorema di separazione)
Per ogni investitore interessato soltanto alla media e alla varianza (deviazione standard)
dei rendimenti, il portafoglio ottimo consiste in una certa combinazione del titolo privo di
rischio e di un particolare portafoglio di attivita rischiose (il fondo comune) che e lo stesso
per tutti gli investitori con le stesse aspettative (o credenze) sulle medie, le varianze e le
covarianze dei rendimenti dei vari titoli.
L’asserto del teorema non e banale: qualunque siano le preferenze individuali (e la
ricchezza) degli investitori, questi ultimi distribuiranno la loro ricchezza tra il titolo privo
di rischio e un portafoglio rischioso che e indipendente dalle loro preferenze. In altri
termini, la scelta di portafoglio di ciascun investitore, concettualmente, puo essere separata
in due distinte fasi:
1. individuare la composizione efficiente del portafoglio relativa ai soli titoli rischiosi,
ossia individuare il portafoglio di tangenza; questa scelta e indipendente dalle prefe-
renze degli investitori ed e la stessa per tutti gli investitori con le stesse aspettative
o credenze sulle medie, varianze e covarianze dei rendimenti dei titoli (ossia, questa
scelta dipende dalle aspettative, ma non dalle preferenze degli investitori);
20Ad esempio, mentre un investitore piu avverso al rischio scegliera, verosimilmente, un portafogliosenza debito e in larga parte composto dal titolo privo di rischio (cioe, graficamente, un punto moltovicino a P0), un altro investitore, meno avverso al rischio, potrebbe scegliere il portafoglio PD, prendendoa prestito denaro per investirne un ammontare maggiore della propria ricchezza nel portafoglio PT .
83
VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
2. individuare la composizione ottimale della ricchezza tra il portafoglio rischioso (di
tangenza) e il titolo privo di rischio; questa scelta dipende dalle preferenze dei singoli
investitori e, quindi, differira da soggetto a soggetto.
Ai fini pratici, inoltre, tutto questo puo avere implicazioni interessanti. Ad esempio,
un consulente finanziario che dovesse consigliare a un soggetto come investire in modo
ottimale la sua ricchezza, non dovrebbe preoccuparsi di individuare esattamente il porta-
foglio che meglio soddisfa le preferenze del suo cliente; potrebbe, invece, proporgli, insieme
al titolo risk-free, un solo portafoglio, quello corrispondente al portafoglio di tangenza, e
lasciare che il cliente scelga la combinazione tra i due che piu lo soddisfa!21
Esempio 17 (Quote dei titoli nel portafoglio di tangenza)
Si assuma un’economia composta da due titoli rischiosi, il titolo 1 e il titolo 2, e un titolo
privo di rischio. Un investitore A con preferenze media-varianza sceglie in modo ottimale
di investire la sua ricchezza nei tre titoli in base alle seguenti quote: aA∗0 = 0.5, aA∗1 = 0.3
e aA∗2 = 0.2. Un altro investitore B, che condivide le stesse aspettative (o “credenze”) di
A sulle medie, le varianze e le covarianze dei rendimenti dei titoli, ma e piu avverso al
rischio, sceglie in modo ottimale di investire nel titolo privo di rischio una quota maggiore
pari a aB∗0 = 0, 8. Facendo riferimento al Teorema di separazione, si calcolino le quote
investite da B nei titoli 1 e 2.
Utilizzando le quote investite da A nei tre titoli, tramite una semplice proporzione, e
possibile calcolare la composizione dei titoli rischiosi 1 e 2 rispetto alla sola componente
rischiosa del suo portafoglio (si noti che la componente rischiosa del portafoglio di A
ammonta al 50% del totale). In particolare, indicando con zA∗1 , la quota del titolo 1
rispetto alla sola componente rischiosa del portafoglio di A, avremo che:
zA∗1 =aA∗1
1− aA∗0
=0.3
0.5= 0.6
e analogamente:
21Sotto assunzioni particolari, che saranno analizzate dettagliatamente nello studio del modello CAPM(Cap. 4), il compito del consulente finanziario risulterebbe ancora piu facile in quanto, come portafogliorischioso, potrebbe semplicemente fare riferimento a un generale indice di borsa (quale, ad esempio, ilFTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti). Si noti, inoltre, che un risultato del tuttoanalogo a quello enfatizzato con il teorema di separazione vale anche per un’economia con solo titolirischiosi (in taluni casi, si parla infatti di primo e di secondo teorema di separazione, a seconda del tipodi economia considerata). In questo caso, la scelta ottima dell’investitore potrebbe essere individuataproponendogli, indipendentemente dalle sue preferenze, due portafogli (rischiosi) qualsiasi sulla frontieraefficiente, lasciando che lui scelga la combinazione tra i due che meglio lo soddisfa. Peraltro, in tal caso,i due “fondi comuni” (e tutti portafogli ottenuti combinandoli in proporzioni differenti) non sarannoovviamente caratterizzati dalla stessa proporzione di titoli rischiosi.
84
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo
zA∗2 =aA∗2
1− aA∗0
=0.2
0.5= 0.4.
Quindi, considerando solo (facendo quota 100) la componente rischiosa del portafoglio
di A, i titoli 1 e 2 sono presenti nella misura del 60% e del 40%, rispettivamente. In base
al Teorema di separazione, possiamo dedurre che: i) tale portafoglio rischioso rappresenta
proprio il portafoglio di tangenza di A, e ii) poiche B ha le stesse aspettative di A, e
il portafoglio di tangenza non dipende dalle preferenze (grado di avversione al rischio)
degli investitori, il portafoglio di tangenza di A coincide con quello di B: anche per B,
limitatamente alla sola componente rischiosa del suo investimento, le quote investite nei
due titoli saranno zB∗1 = 0.6 e zB∗2 = 0.4.
Noi dobbiamo calcolare pero aB∗1 e aB∗2 , cioe le quote investite da B nei titoli rischio-
si rispetto al portafoglio complessivo di investimento (si noti anche in questo caso che
la componente rischiosa dell’investimento complessivo di B e pari al 20% del totale).
Nuovamente, tramite una semplice proporzione, e possibile calcolare tali quote:
aB∗1 = zB∗1 (1− aB∗0 ) = (0.6)(0.2) = 0.12
aB∗2 = zB∗2 (1− aB∗0 ) = (0.4)(0.2) = 0.08.
Rispetto al portafoglio complessivo di investimento, B investe il 12% della sua ricchezza
nel titolo 1 e l’8% nel titolo 2.
Adesso, l’ultimo passo da compiere e quello di derivare il portafoglio ottimo per
l’investitore, cioe quello che si caratterizza per la combinazione rendimento atteso, µP ,
e rischio, σ2P (o σP ), che meglio soddisfa le sue preferenze (ossia, che massimizza la sua
funzione di utilita V , cosı come definita nella Sezione I). Come e stato appena specificato,
per gli investitori che si formano le stesse idee o credenze (perche dispongono, ad esempio,
delle stesse informazioni) sulle medie e le varianze (e le covarianze) dei rendimenti dei vari
titoli, la frontiera dei portafogli efficienti, e, conseguentemente, la combinazione ottimale
di titoli con specifico riferimento alla sola componente rischiosa, e la stessa. Peraltro,
la scelta “definitiva” di ciascun investitore non sara generalmente la stessa in quanto,
in presenza di un titolo privo di rischio, la quota di ricchezza da destinare all’acquisto
di quest’ultimo (e quindi quella residua da destinare alla componente rischiosa) potra
differire da investitore ad investitore in funzione delle diverse preferenze sulla combinazione
rischio-rendimento. Inoltre, in base al teorema di separazione, enunciato precedentemente,
sappiamo che per individuare il portafoglio che meglio soddisfa le preferenze di un certo
investitore, e sufficiente proporgli due soli portafogli (di cui uno quello privo di rischio e
85
VI. Teorema di separazione e portafoglio ottimo 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
l’altro scelto adeguatamente) e lasciare che decida come ripartire la sua ricchezza nella
combinazione di tali portafogli che piu lo soddisfa.
µP
σP
PT
r0
P ∗µP∗
σP∗
Figura 3.8: Scelta ottima del portafoglio di investimento
Al fine di individuare il portafoglio ottimo per un certo investitore (in base alle sue
preferenze), facciamo riferimento alla Figura 3.8. In essa e rappresentata la frontiera
dei portafogli efficienti che ha origine dal portafoglio risk-free ed e tangente, in corri-
spondenza del portafoglio PT , alla frontiera dei portafogli con soli titoli rischiosi. Date le
preferenze dell’investitore, espresse dalle curve di indifferenza rappresentate in Figura 3.8,
il portafoglio ottimo e P ∗ (a cui e associato un rendimento atteso µP ∗ e un rischio σP ∗).
Esso corrisponde al punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la curva di indifferenza
piu lontana dall’origine degli assi, che rappresenta, quindi, il livello di utilita piu elevato
che, dato l’insieme dei portafogli efficienti, l’investitore puo conseguire. In questo caso,
inoltre, poiche il portafoglio ottimo si colloca tra il portafoglio senza rischio e quello di
tangenza, l’investitore sceglie di investire la sua ricchezza in parte nel titolo senza rischio
e in parte in titoli rischiosi; la combinazione di questi ultimi e quella corrispondente al
portafoglio PT . Infine si noti che, in base all’usuale interpretazione geometrica di un punto
di tangenza (per cui, in quel punto, la pendenza delle due curve e la stessa), il portafoglio
(punto) ottimo, P ∗, puo essere identificato con l’uguaglianza tra il saggio marginale di
sostituzione tra rendimento e rischio (dµP/dσP ) dell’investitore, che misura la pendenza
delle sue curve di indifferenza, e quella della frontiera efficiente; formalmente:
dµPdσP
|P=P ∗=µT − r0
σT. (3.25)
86
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
In relazione alla condizione di equilibrio relativa alla scelta del portafoglio ottimo,
rappresentata dall’Espressione (3.25), meritano di essere sottolineati i seguenti aspetti:
1. a parita di altre condizioni, tanto maggiore e il rendimento atteso del portafoglio
rischioso (di tangenza) rispetto a quello del titolo risk-free (cioe tanto piu grande e
la differenza µT − r0) e tanto minore e il rischio associato al portafoglio di mercato,
σT , tanto maggiore sara la quota di ricchezza spesa dall’investitore nel portafoglio
rischioso (e viceversa). Cio in quanto, in tali circostanze, il lato destro dell’Espres-
sione (3.25) sara relativamente piu elevato (la frontiera efficiente sara relativamente
piu inclinata) e, in equilibrio, questo dovra valere anche per il lato sinistro. Ma
poiche il saggio marginale di sostituzione tra rendimento e rischio, dµP/dσP , e cre-
scente rispetto al rischio di portafoglio (si veda la Sezione I di questo capitolo),
questo si verifichera in corrispondenza di portafogli in cui la componente rischiosa
e (relativamente) piu elevata;
2. a parita di altre condizioni, tanto piu l’investitore e avverso al rischio, tanto minore
sara la quota di ricchezza che investira nel portafoglio rischioso (e viceversa). Cio,
oltre che intuitivamente, puo essere spiegato considerando che tanto piu un soggetto
e avverso al rischio, tanto maggiore sara (per ogni dato grado di rischio σP ) il “suo”
saggio marginale di sostituzione dµP/dσP (cioe maggiore sara la compensazione, in
termini di rendimento atteso, che richiedera per accettare un incremento marginale
del rischio di investimento). Tutto cio implica, graficamente, curve di indifferenza
dell’investitore piu inclinate e, conseguentemente, un punto di tangenza (portafoglio
ottimo) con una data frontiera efficiente piu vicino all’asse delle ordinate (in cui i
portafogli sono caratterizzati da una minore quota della componente rischiosa).22
VII Appendice
A.1 Dall’utilita attesa VNM all’utilita media-varianza: la funzione di utilita
con forma quadratica
La funzione di utilita media-varianza V = V (µP , σ2P ), utilizzata in questo capitolo
per rappresentare le preferenze dei risparmiatori nelle loro scelte dei portafogli di inve-
stimento, puo essere ricavata formalmente da una particolare funzione di utilita definita
22Il caso estremo, di un investitore interessato esclusivamente alla minimizzazione del rischio di investi-mento, comporta curve di indifferenza perfettamente verticali, con incrementi di utilita che si ottengonospostandosi verso curve di indifferenza piu vicine all’asse delle ordinate. Ovviamente, in tale situazione, ilportafoglio ottimo sara quello che minimizza il rischio di investimento indipendentemente dal rendimentoatteso, che coincidera con il portafoglio composto esclusivamente dal titolo risk-free.
87
VII. Appendice 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
sulla ricchezza (sui risultati) finale(i) dell’investitore, quella avente forma quadratica. In
particolare, qualsiasi funzione di utilita con forma quadratica puo essere rappresentata,
genericamente, nel modo seguente:
u(W ) = W − bW 2, (A1)
dove b > 0 e un parametro relativo alle preferenze dell’investitore.
Con riferimento all’Espressione (A1) si notino, innanzitutto, i seguenti aspetti. In
primo luogo, la derivata prima di u rispetto a W e u′(W ) = 1 − 2bW , per cui non e
necessariamente sempre positiva. Poiche nel Capitolo 2, in cui abbiamo introdotto la
funzione di utilita attesa VNM per analizzare le scelte dei soggetti in condizioni di incer-
tezza, si e assunto che valga sempre u′(W ) > 0 (i soggetti preferiscono sempre livelli piu
elevati di ricchezza), un’ipotesi aggiuntiva sulla funzione quadratica che, in tale contesto,
si assume generalmente soddisfatta e 2bW < 1, che assicura che u′(W ) > 0 sia sempre
rispettata.23 In secondo luogo, calcolando la derivata seconda della funzione quadratica,
otteniamo u′′(W ) = −2b < 0, per cui tale funzione esprime le preferenze di soggetti av-
versi al rischio;24 infatti, e proprio a tali tipi di soggetti che ci siamo riferiti nell’analisi
delle scelte di portafoglio basate sul criterio media-varianza. Ma come e possibile arrivare
alla funzione di utilita media-varianza partendo dalla funzione u con forma quadratica?
Calcolando l’aspettativa sull’utilita rappresentata nell’espressione (A1) (ossia la cor-
rispondente utilita attesa VNM), otteniamo:
E[u(W )] = E[W ]− bE[W 2] = E[W ]− b(var[W ] + E[W ]2), (A2)
dove var[W ], la varianza dei risultati finali, e definita come var[W ] ≡ E[(W−E[W ])2].
Dall’espressione (A2) risulta chiaro come, in questo caso, l’utilita attesa E[u(W )] di-
penda esclusivamente (b e un parametro) dalla “media” (valore atteso) della ricchezza
finale, E[W ], e dalla sua varianza, var[W ]; formalmente, E[u(W )] = F (E[W ], var[W ]),
dove F e una particolare forma funzionale.
Per passare dalla funzione F (E[W ], var[W ]) alla funzione V (µP , σ2P ), che e espressa
non in termini di ricchezza finale W prodotta dal portafoglio di investimento, ma in
quelli del suo (tasso di) rendimento (µP ≡ E [rP ], σ2P ≡ E [(rP − µP )2]), si noti che tra
la ricchezza finale e il rendimento prodotto da un dato portafoglio esiste la relazione
23Piu esattamente, poiche u e definita sui “risultati” di una lotteria, la condizione aggiuntiva deveessere soddisfatta per ogni possibile risultato, cioe 2bWk < 1, con k = 1, 2, ...,m.
24Si noti, peraltro, che se calcoliamo il coefficiente assoluto di avversione al rischio Arrow-Pratt (si vedal’Appendice A.1) per la forma funzionale in oggetto otteniamo Ra(W ) = −[u′′(W )/u′(W )] = 2b/(1 −2bW ), che implica R′a(W ) > 0; il grado di avversione (assoluta) al rischio aumenta all’aumentare dellaricchezza (premio) finale. Tale proprieta della funzione quadratica e stata spesso criticata in quantoritenuta controintuitiva.
88
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
seguente: W = (1 + rP )W , dove W e la ricchezza (pagamento) iniziale investita(o) dal
risparmiatore. Da cio, calcolando l’aspettativa su W (e ricordando le definizioni di µP e
σ2P ), deriva che E[W ] = (1 + µP )W e var[W ] = σ2
PW2. Sostituendo nella funzione F , da
quest’ultima si ottiene la definizione della funzione media-varianza V :25
F ((1 + µP )W,σ2PW
2) ≡ V (µP , σ
2P ). (A3)
A.2 Derivazione matematica della frontiera dei portafogli con due titoli ri-
schiosi e un titolo risk-free
Consideriamo un’economia composta da tre attivita finanziarie, di cui due rischiose (i
titoli 1 e 2) e una priva di rischio (il titolo 0). Il rischio del portafoglio P composto dalle
tre attivita, identificato con la varianza del rendimento σ2, e dunque pari a:
σ2P = a2
1σ21 + a2
2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2. (A4)
Il rendimento atteso del portafoglio, µP , e invece pari a:
µP = a0r0 + a1µ1 + a2µ2. (A5)
Infine occorrera tener conto del vincolo che assicura che tutta la ricchezza dell’investi-
tore W venga allocata, ossia:
a0 + a1 + a2 = 1. (A6)
L’investitore dovra quindi trovare la combinazione di (a0, a1, a2) tale per cui σ2P e
minimizzato per un dato livello di rendimento atteso µP . Per fare questo impostiamo il
problema di minimo:
min(a0,a1,a2)
(1
2
)σ2P =
(1
2
)(a2
1σ21 + a2
2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2
)
s. a:
µP = a0r0 + a1µ1 + a2µ2
a0 + a1 + a2 = 1
25Si noti come la funzione F , oltre che da µP e σ2P dipenda, in generale, anche da W , la ricchezza
iniziale dell’investitore, che, essendo data, costituisce un parametro che non compare nella funzione V .In particolare, per quanto concerne le curve di indifferenza dell’investitore, e possibile dimostrare che,ceteris paribus (cioe per ogni data coppia µP -σ2
P ), tanto maggiore e la sua ricchezza iniziale tanto menoinclinate sono le curve di indifferenza che rappresentano le sue preferenze.
89
VII. Appendice 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
dove nella minimizzazione abbiamo inserito la costante (1/2) semplicemente per facilitare
i calcoli.
Formuliamo quindi la Lagrangiana del problema sostituendo direttamente il vincolo
per le quote nel vincolo relativo al rendimento atteso di modo da eliminare una delle
variabili di scelta. In particolare sostituiamo per a0 = 1− a1 − a2, per cui:
L =
(1
2
)σ2P + λ [µP − r0 − a1 (µ1 − r0)− a2 (µ2 − r0)] .
Le condizioni del primo ordine per la massimizzazione del portafoglio sono:
∂L∂a1
= a1σ21 + a2ρ12σ1σ2 − λ (µ1 − r0) = 0 (A7)
∂L∂a2
= a2σ22 + a1ρ12σ1σ2 − λ (µ2 − r0) = 0 (A8)
∂L∂λ
= µP − r0 − a1 (µ1 − r0)− a2 (µ2 − r0) = 0. (A9)
Dalle Condizioni (A7) e (A8) otteniamo che:
a1σ21 + a2ρ12σ1σ2 = λ (µ1 − r0) (A10)
a2σ22 + a1ρ12σ1σ2 = λ (µ2 − r0) (A11)
da cui, moltiplicando entrambi i lati dell’Equazione (A10) per a1 ed entrambi i lati
dell’Equazione (A11) per a2, otteniamo:
a21σ
21 + a1a2ρ12σ1σ2 = a1λ (µ1 − r0) (A12)
a22σ
22 + a1a2ρ12σ1σ2 = a2λ (µ2 − r0) . (A13)
Infine, sommando lato a lato le due equazioni risulta:
a21σ
21 + a2
2σ22 + 2a1a2ρ12σ1σ2 = λ [a1 (µ1 − r0) + a2 (µ2 − r0)]
ossia, tenendo conto delle Equazioni (A4) e (A5):
σ2P = λ (µP − r0)
da cui:
λ =σ2P
µP − r0
. (A14)
Stabilito il valore di λ possiamo adesso ricavarci il valore di a2 dall’Equazione (A11),
90
3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA VII. Appendice
ossia:
a2 =λ (µ2 − r0)− a1ρ12σ1σ2
σ22
che sostituito nell’Equazione (A10) porta a:
a1σ21 +
[λ (µ2 − r0)− a1ρ12σ1σ2
σ22
]ρ12σ1σ2 = λ (µ1 − r0)
da cui, dopo alcuni passaggi algebrici, si ottiene:
a1
(1− ρ2
12
)σ2
1σ22 = λ
[(µ1 − r0)σ2
2 − ρ12σ1σ2 (µ2 − r0)]. (A15)
In ultimo, sostituendo per λ (Equazione (A14)) nell’Equazione (A15), e ricordando
che ρ12σ1σ2 = σ12, otteniamo:
a∗1 =σ2P
(µP − r0) (1− ρ212)σ2
1
[µ1 − r0 −
σ12
σ22
(µ2 − r0)
](A16)
ed analogamente:
a∗2 =σ2P
(µP − r0) (1− ρ212)σ2
2
[µ2 − r0 −
σ12
σ21
(µ1 − r0)
]. (A17)
Infine, dal Vincolo (A6) abbiamo quindi che:
a∗0 = 1− a∗1 − a∗2. (A18)
Come era logico aspettarsi, la quota dell’attivita i-esima nel portafoglio efficiente P
aumenta all’aumentare del suo rendimento, µi, e diminuisce all’aumentare del rischio del
suo rendimento, ossia σ2i . Tuttavia l’effetto del rendimento dell’attivita j-esima, ossia µj,
sulla quota detenuta dell’attivita i-esima passa attraverso la covarianza delle due attivita,
ossia σij. Nel caso questa sia negativa, ossia σij < 0, allora un aumento di µj porta ad un
aumento di ai. La ragione ormai dovrebbe essere chiara, ossia covarianza negativa di un
rendimento significa per chi detiene quell’attivita un minor rischio di portafoglio.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 5.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 4.
91
VII. Appendice 3. IL MODELLO MEDIA-VARIANZA
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;
Cap. 5.
• Elton E.J. e Gruber M.J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, John
Wiley, 1995.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Capp.
6, 7, 8.
92
Capitolo 4
Il modello CAPM
Studiando come agiscono (o dovrebbero agire razionalmente) gli investitori nel formare
i loro portafogli di investimento, nel capitolo precedente abbiamo di fatto analizzato la
domanda di titoli finanziari in base a un particolare modello (quello media-varianza) di
comportamento degli investitori.1 Peraltro, nel modello media-varianza, gli investitori,
nel decidere i loro portafogli di investimento, considerano i prezzi e i rendimenti attesi
delle singole attivita finanziarie come dati. In altri termini, il modello media-varianza, di
per se, non dice niente su come si formano sul mercato i prezzi (e i rendimenti attesi) dei
singoli titoli. Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model), che analizzeremo
in questo capitolo, si propone invece di spiegare proprio come si formano, in equilibrio, i
prezzi e i rendimenti attesi delle attivita finanziarie.2
Le ipotesi fondamentali del CAPM sono che gli investitori: i) prendano le proprie
decisioni di investimento in base a quanto prescritto dal modello media-varianza delle
scelte di portafoglio; e ii) condividano tutti le stesse aspettative (o credenze) sulla media,
la varianza e le covarianze dei rendimenti delle attivita; si parla a questo proposito di
“homogeneous beliefs”. I prezzi di equilibrio delle attivita, che poi determineranno i
rendimenti di equilibrio, dovranno essere tali da eliminare possibili eccessi di domanda e
di offerta nel mercato. L’interesse e capire come si comportino i rendimenti in equilibrio
e come gli investitori decidano quanto rischio sopportare nei propri portafogli; in altri
1Si noti che la domanda di titoli finanziari riflette l’offerta di fondi prestabili. Sottoscrivendo (do-mandando) titoli finanziari, infatti, gli investitori offrono risorse finanziarie ai soggetti che li hannoemessi.
2Gli economisti William Sharpe e John Lintner hanno fornito, negli anni 60 dello scorso secolo, imaggiori contributi a questo filone di letteratura, tanto che Sharpe, insieme a Markovitz, ha ricevutonel 1990 il premio Nobel per l’economia. Esistono vari sviluppi ed estensioni del modello di base delCAPM. Ad esempio, se si considera un contesto in cui non e presente alcuna attivita priva di rischioallora abbiamo il ”Black CAPM ”, chiamato cosı in onore dell’economista Fischer Black, che piu ne haapprofondito le proprieta. Esistono poi versioni piu complicate del CAPM, come la versione con scelteintertemporali, il cosiddetto ICAPM (intertemporal CAPM ) e anche un modello che include le scelte diconsumo, il cosiddetto CCAPM (consumption CAPM ).
93
I. Assunzioni del modello 4. IL MODELLO CAPM
termini, che relazione sussiste in equilibrio tra i rendimenti (attesi) e il rischio delle varie
attivita finanziarie.
I Le assunzioni alla base del CAPM
Nel seguito presentiamo e vagliamo in dettaglio le ipotesi alla base del modello CAPM.
Divideremo tali ipotesi in tre gruppi principali, ossia i) le ipotesi relative all’equilibrio di
tutti i mercati delle attivita, ii) le ipotesi sul comportamento degli investitori e iii) le
ipotesi sulle aspettative degli investitori. L’esplicitazione delle ipotesi alla base del CAPM
dovrebbero servire a chiarire i suoi limiti applicativi alla realta, cioe quanto questi limiti
pregiudichino la capacita del modello nello spiegare i comportamenti degli investitori e i
prezzi osservati nei mercati.
I.A Equilibrio nei mercati dei capitali
1. Nei mercati non sono presenti frizioni di alcun tipo. Questo significa assenza di
costi di transazione e nessun limite allo scambio di attivita (ad esempio divieto di
vendite allo scoperto). Sebbene tale situazione non si verifica sostanzialmente mai
nella realta, il CAPM dara indicazioni tanto piu precise tanto minori sono le frizioni
presenti nel mercato (cioe tanto piu ci si avvicina al contesto ideale su cui il CAPM
si fonda).
2. Gli investitori non incontrano mai limiti nel prendere a prestito o nell’investire
nell’attivita priva di rischio. Se sono presenti dei limiti, ad esempio perche non e
possibile per un investitore prendere a prestito al tasso privo di rischio piu di un
certo ammontare di risorse, allora il CAPM potrebbe non essere adeguato a spiegare
i rendimenti di equilibrio.
3. Le attivita sono infinitamente divisibili. Il CAPM quindi potrebbe non essere ade-
guato se gli investitori hanno un patrimonio limitato ed esistano alcune attivita non
facilmente divisibili (si pensi all’investimento in beni immobili).
4. Tutti gli scambi devono avvenire ai prezzi di equilibrio di mercato. Non e quin-
di compatibile con il CAPM la possibilita che avvengano scambi a prezzi non di
equilibrio, come avviene di solito nei mercati. Tuttavia se tali scambi influenzano
marginalmente la ricchezza degli investitori l’ipotesi non si rivela cruciale.
5. Gli investitori devono comportarsi da price-taker, ossia non devono esistere situazio-
ni di monopolio nel mercato. Anche in questo caso e possibile che in alcuni mercati
94
4. IL MODELLO CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
esistano investitori che abbiano un certo potere di mercato, ossia abbiano il potere
di condizionare i prezzi di equilibrio (o pensino di poterlo fare).
6. Le imposte devono essere neutrali. Questo non significa che le tasse debbano essere
zero, ma che invece tutti gli investitori siano tassati alla medesima aliquota e che
non vi sia una tassazione differenziale fra guadagni in conto capitale e dividendi
(come invece e nella realta). In generale si richiede quindi che la tassazione sia non
distorsiva delle scelte individuali di investimento.
I.B Scelte degli investitori
1. Tutti gli investitori adottano un orizzonte uniperiodale. Quello che rileva per loro e
quindi la ricchezza alla fine del periodo considerato. Esistono estensioni del CAPM
che permettono di superare tale ipotesi (il cosiddetto ICAMP).
2. Tutti gli investitori si comportano in accordo al modello media-varianza. Tale ipotesi
e quella che ha dato ambito a un largo dibattito e a una notevole mole di contributi,
che mirano a dimostrare come gli investitori spesso non usino regole di decisione
ottimizzanti ma ispirate al buon senso o all’esperienza passata.3
I.C Aspettative omogenee
1. Tutti gli investitori condividono le stesse stime delle aspettative sul rendimento
atteso, varianza e covarianza delle diverse attivita. Questa ipotesi risulta cruciale
ai fini del CAPM e anch’essa ha dato origine a molte controversie in letteratura.
II Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
Come gia sappiamo dal modello media-varianza delle scelte di portafoglio, analizzato
nel capitolo precedente, investitori con aspettative omogenee sulle medie, le varianze e le
covarianze dei titoli finanziari condividono la stessa frontiera efficiente (FPE). Ossia, per
investitori con le stesse aspettative, i portafogli efficienti sono situati nello stesso luogo
geometrico nel piano (σP , µP ). Dal teorema di separazione sappiamo, inoltre, che tali
investitori detengono un portafoglio che, limitatamente alla sola componente rischiosa, e
uguale per tutti. Le differenze fra gli investitori, dovute a diverse attitudini al rischio (e
alla diversa ricchezza), si esplicano invece nelle diverse proporzioni in cui essi dividono la
propria ricchezza fra il portafoglio rischioso e l’attivita priva di rischio.
3Tale letteratura prende il nome di finanza comportamentale (behavioral finance) e sara trattata nelCapitolo 9.
95
II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali 4. IL MODELLO CAPM
In base alle assunzioni del CAPM, tutti gli investitori che operano sul mercato dei ca-
pitali hanno aspettative omogenee e, conseguentemente, detengono attivita rischiose nelle
stesse proporzioni. Peraltro, dal momento che il mercato dei capitali e, chiaramente, un
aggregato di tutti gli investitori, logicamente ogni investitore deterra titoli rischiosi nella
stessa proporzione del mercato. Per tale motivo, sotto le assunzioni del CAPM, il por-
tafoglio di tangenza, che identifica proprio la combinazione di titoli rischiosi detenuta
da ciascun investitore, viene anche definito portafoglio di mercato e, analogamente, la
frontiera efficiente, costruita combinando in proporzioni differenti il portafoglio di mercato
con il titolo privo di rischio, viene anche indicata come linea del mercato dei capitali
o capital market line (CML).
Definizione 10 (Linea del mercato dei capitali)
La linea del mercato dei capitali, o CML, esprime la relazione di equilibrio tra il rendi-
mento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.
In base alla Definizione 10 e dall’analisi sviluppata nel Capitolo 3 si puo facilmente
dedurre che l’equazione che caratterizza la CML e data da:
µP = r0 +
(µM − r0
σM
)σP (4.1)
dove µP e σP rappresentano il rendimento atteso e la deviazione standard di un generico
portafoglio efficiente P , mentre µM e σM esprimono il rendimento atteso e la deviazione
standard del portafoglio di mercato. La CML, quindi, e rappresentata da una retta con
intercetta verticale pari a r0 e coefficiente angolare (positivo) dato da (µM − r0)/σM .
La Figura 4.1 riporta la linea del mercato dei capitali (CML) che rappresenta, quindi,
il luogo geometrico nello spazio (σP , µP ) dei portafogli efficienti. Il portafoglio di mercato,
indicato con PM , e costituito invece dal portafoglio di tangenza tra la CML e la frontiera
efficiente con soli titoli rischiosi. Ovviamente, tutti i portafogli scelti in equilibrio dagli
investitori devono appartenere alla CML. In particolare, nella figura sono stati indicati
tre portafogli ottimali, P ∗1 , P ∗2 e P ∗3 , per tre possibili investitori con diverse preferenze.
96
4. IL MODELLO CAPM II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali
µP
σP
r0
PM
µPM
σPM
CML
P ∗1
P ∗2
P ∗3
Figura 4.1: Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali (CML)
Esempio 18 (CML)
Assumete che nel mercato esistano due sole attivita rischiose, il titolo A e il titolo B, i cui
tassi attesi e le deviazioni standard dei rendimenti sono riportati nella seguente tabella,
insieme alle proporzioni con cui tali titoli sono detenuti nel portafoglio di mercato:
Titolo µ σ Quote in PM
A 0,1 0,2 0,4
B 0,15 0,28 0,6
Dato un livello di correlazione fra i rendimenti delle attivita A e B pari a ρAB = 0, 3 e
un tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio r0 = 0, 05, si calcoli l’equazione della
CML.
Per definire l’equazione della CML occorre innanzitutto calcolare µM e σM . In
particolare, il rendimento atteso del portafoglio di mercato e dato da:
µM = aAµA + aBµB = 0, 4(0, 1) + 0, 6(0, 15) = 0, 13
97
II. Portafoglio di mercato e linea del mercato dei capitali 4. IL MODELLO CAPM
mentre σM si puo ottenere nel modo seguente:
σM =√a2Aσ
2A + a2
Bσ2B + 2ρABaAaBσAσB =
=√
(0, 4)2(0, 2)2 + (0, 6)2(0, 28)2 + 2(0, 3)(0, 4)(0, 6)(0, 2)(0, 28) ≈ 0, 2.
Da tali dati, considerando l’Equazione (4.1), si deduce che, in questo esempio, l’equa-
zione della CML e data da: µP = 0, 05 +(
0,13−0,050,2
)σP = 0, 05 + 0, 4 σP .
Prima di passare ad analizzare piu dettagliatamente la relazione che sussiste, in equi-
librio, tra rendimento atteso di un singolo titolo e il suo rischio in base alle ipotesi del
CAPM, e opportuno evidenziare ulteriormente alcune importanti proprieta del portafoglio
di mercato che ci porteranno anche a fornirne una definizione piu precisa. In primo luogo,
e possibile affermare che tutte le attivita finanziarie (rischiose) disponibili sul mercato
saranno presenti nel portafoglio di mercato. In altri termini, non sara mai possibile che
un’attivita finanziaria disponibile abbia una quota pari a zero nel portafoglio di mercato.
Per capire questa affermazione occorre tener presente che il concetto di portafoglio di
mercato e un concetto di equilibrio. Se un’attivita fosse presente sul mercato ma non
fosse detenuta dagli investitori, si determinerebbe un’eccesso di offerta per quel titolo.
Questo produrrebbe una caduta del suo prezzo e, conseguentemente, un aumento del suo
rendimento atteso (si ricordi la formula generale del rendimento di un titolo). Ma cio
spingerebbe gli investitori a domandare l’attivita per cui, in equilibrio (domanda uguale
all’offerta), il relativo titolo entrera certamente a far parte, in una qualche proporzione
positiva, del portafoglio di mercato. Analogamente, se un’attivita fosse domandata in
una quantita maggiore rispetto a quella disponibile (offerta) sul mercato, il suo prezzo
salirebbe, mentre il rendimento scenderebbe. Cio spingerebbe gli investitori a ridurre la
domanda del titolo fino a quando domanda e offerta non si equilibrano. Nel portafoglio
di mercato, quindi, il titolo sara presente proprio nella proporzione per cui il prezzo e il
rendimento (atteso) sono tali da garantire l’uguaglianza tra domanda e offerta.4
Definizione 11 (Portafoglio di mercato)
Il portafoglio di mercato e il portafoglio composto da tutti i titoli (rischiosi) presenti sul
mercato, dove le quote dei diversi titoli sono quelle detenute in equilibrio dal mercato nel
suo complesso, ossia quelle per cui, per ciascun titolo, la domanda e l’offerta di mercato
sono uguali.5
4Ovviamente, la condizione di equilibrio dovra essere soddisfatta anche per il titolo risk-free. Inparticolare, il tasso di rendimento di tale titolo dovra essere tale per cui l’ammontare di risorse prese aprestito e quelle prestate a quel tasso sono le stesse.
5Sebbene l’idea di portafoglio di mercato sia piuttosto intuitiva e, ai fini pratici, molto rilevante(ad esempio, nel portafoglio di mercato dovrebbe investire un fondo comune che intendesse attuare una
98
4. IL MODELLO CAPM III. Linea del mercato delle attivita
III Linea del mercato delle attivita
In base alla Definizione 10, la linea del mercato dei capitali esprime la relazione di
equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio (deviazione standard) dei portafogli efficienti.
Peraltro, di per se, essa non fornisce alcuna indicazione sulla relazione tra il rendimento
atteso e il rischio delle singole attivita finanziarie. Infatti, in generale, i singoli titoli
finanziari (o, piu precisamente i portafogli composti esclusivamente da un solo titolo)
non si collocheranno sulla CML, in quanto, come sappiamo dal capitolo precedente,
portafogli composti da un solo titolo sono generalmente inefficienti. Per approfondire la
relazione che sussiste (in equilibrio) tra il rendimento e il rischio dei singoli titoli occorre
quindi sviluppare un’analisi piu dettagliata che, in primo luogo, consistera nel derivarne
formalmente l’equazione.
III.A Derivazione della linea del mercato delle attivita
Si consideri la Figura 4.2 dove il portafoglio Pi e composto dal solo titolo generico
i. Chiaramente, dal momento che con il portafoglio Pi i vantaggi della diversificazione
non sono sfruttati, esso non e un portafoglio efficiente per cui non si colloca sulla CML
e neppure sulla frontiera efficiente con soli titoli rischiosi (si trova infatti all’interno del-
la frontiera dei portafogli con solo titoli rischiosi). Esistono cioe altri portafogli (anche
composti da soli titoli rischiosi) che, rispetto a Pi, consentono, a parita di rischio, di otte-
nere un rendimento atteso maggiore oppure, a parita di rendimento atteso, conferiscono
all’investitore un piu basso rischio.
Ammettiamo adesso di combinare in quote ai e (1 − ai) il portafoglio Pi con il por-
tafoglio di mercato PM , ottenendo cosı un nuovo portafoglio P con rendimento atteso e
varianza dati da:
µP = aiµi + (1− ai)µM (4.2)
σ2P = a2
iσ2i + (1− ai)2σ2
M + 2ai(1− ai)σiM . (4.3)
Per ragioni che dovrebbero essere adesso chiare, in base al valore assunto da ai, il
nuovo portafoglio P si collochera in un punto sulla curva tratteggiata che unisce i punti
strategia passiva di investimento, non scommettendo cioe su un particolare titolo, ma puntando sulla piuampia diversificazione possibile), individuarlo esattamente, in concreto, non e compito facile. Ad esempio,quali titoli rischiosi dovrebbero essere inclusi nel portafoglio di mercato (solo azioni o anche obbligazioni)?Solo titoli nazionali o anche stranieri? Altri investimenti rischiosi non prettamente finanziari, come quelliin capitale umano, immobili, metalli preziosi e opere d’arte, andrebbero considerati nel portafoglio dimercato? E in che modo? A causa di tali questioni, di non semplice soluzione, generalmente viene fattoriferimento ad alcune proxy del portafoglio di mercato che consistono negli indici azionari della borsa nelsuo complesso (quale, ad esempio, il FTSE MIB per l’Italia o lo S&P 500 per gli Stati Uniti).
99
III. Linea del mercato delle attivita 4. IL MODELLO CAPM
µP
σP
PM
r0
CML
Pi
Figura 4.2: Derivazione della linea del mercato delle attivita
Pi e PM (si tenga presente che sia Pi che PM sono portafogli composti da soli titoli
rischiosi). In particolare, nello spazio (σP , µP ), l’inclinazione della curva tratteggiata e
data da dµP/dσP ,6 che puo essere anche riscritta nel modo seguente:
dµPdσP
=dµP/daidσP/dai
. (4.4)
Utilizzando l’Espressione (4.2) e semplice calcolare che:
dµPdai
= µi − µM . (4.5)
Per calcolare invece dσP/dai occorre considerare che:
dσ2P
dσP· dσPdai
=dσ2
P
dai⇔ dσP
dai=
dσ2P/dai
dσ2P/dσP
(4.6)
dove, utilizzando l’Espressione (4.3), abbiamo che:
dσ2P
dai= 2aiσ
2i − 2(1− ai)σ2
M + 2(1− 2ai)σiM (4.7)
e
dσ2P
dσP= 2σP (4.8)
6Si noti che, trattandosi di una curva, l’inclinazione varia in ogni suo punto.
100
4. IL MODELLO CAPM III. Linea del mercato delle attivita
per cui:
dσPdai
=2aiσ
2i − 2(1− ai)σ2
M + 2(1− 2ai)σiM2σP
. (4.9)
L’ultimo passo da compiere consiste nel considerare che in corrispondenza del porta-
foglio di mercato PM , la curva tratteggiata in Figura 4.2 e tangente alla linea del mercato
dei capitali,7 per cui la sua inclinazione, in quel punto, coincide proprio con quella della
CML, ossia (µM − r0)/σM . Peraltro, in corrispondenza di PM , avremo anche che ai = 0
e P = PM , per cui, utilizzando le Espressioni (4.4), (4.5) e (4.9) (con ai = 0 e σP = σM)
otteniamo:
dµPdσP|P=PM
=(µi − µM)σMσiM − σ2
M
=µM − r0
σM(4.10)
da cui, risolvendo con alcuni passaggi algebrici rispetto a µi:
E[ri] ≡ µi = r0 +
(µM − r0
σ2M
)σiM . (4.11)
L’Equazione (4.11) rappresenta una linea retta con intercetta r0 e inclinazione (µM −r0)/σ2
M . Poiche l’inclinazione e certamente positiva, essa indica che, in equilibrio, le atti-
vita finanziarie che presentano covarianze con il rendimento del mercato nel suo complesso
σiM piu elevate saranno caratterizzate da rendimenti attesi maggiori. La relazione espres-
sa dall’Equazione (4.11) e nota come linea del mercato delle attivita o security
market line (SML).
Definendo con βi ≡ σiM/σ2M , la SML puo anche essere riscritta nel modo seguente:
µi = r0 + βi (µM − r0) (4.12)
dove il termine βi e noto come beta dell’attivita i-esima ed esprime la reattivita del
rendimento di tale attivita rispetto a variazioni del rendimento medio del mercato nel suo
complesso (cioe rispetto a variazioni del rendimento del portafoglio di mercato).
Definizione 12 (Linea del mercato delle attivita)
La linea del mercato delle attivita, o SML, esprime la relazione di equilibrio tra il ren-
dimento atteso e il rischio delle singole attivita finanziarie, dove il rischio e espresso dal
beta delle attivita.
L’Equazione (4.12), che, in Figura 4.3, e stata rappresentata graficamente nello spazio
(βi,µi), e il nocciolo del CAPM. Essa esprime il fatto che per calcolare il rendimento
7Chiaramente, la curva tratteggiata non puo “tagliare” la CML. Se cosı non fosse, infatti, non tuttii portafogli sulla CML sarebbero efficienti, il che contrasterebbe con la sua stessa definizione.
101
III. Linea del mercato delle attivita 4. IL MODELLO CAPM
µi
βi
r0
SML
µM − r0
Figura 4.3: Linea del mercato delle attivita (SML)
atteso di un titolo finanziario e necessario conoscere due sole cose (oltre all’informazione,
facilmente disponibile, sul tasso di rendimento del titolo privo di rischio): i) il rendimento
atteso del mercato nel suo complesso e ii) il beta del titolo considerato. Essa stabilisce,
inoltre, che in equilibrio sussiste una relazione lineare tra il rendimento atteso di un titolo
e il rischio (espresso dal beta del titolo) ad esso associato.
E’ importante evidenziare alcune interessanti proprieta dei beta delle attivita finan-
ziarie e della SML. In primo luogo, considerando che σ0M = 0 e σMM = σ2M e immediato
stabilire che β0 = 0 e βM = 1, ossia il beta dell’attivita priva di rischio e nullo, mentre
il beta di mercato e pari a uno. Puo poi essere utile ricavare il premio per il rischio
(risk premium) dell’attivita i-esima, definito come la differenza fra il rendimento at-
teso dell’attivita i e il rendimento dell’attivita senza rischio, ossia µi − r0. Utilizzando
l’Equazione (4.12), esso e dato da:
µi − r0 = (µM − r0)βi. (4.13)
In base all’Equazione (4.13) emerge come per investimenti rischiosi (cioe in attivita
caratterizzate da un beta positivo), il premio per il rischio prevede un tasso di rendimento
aggiuntivo proporzionale alla reattivita rispetto al mercato. Titoli con coefficienti di
reattivita inferiori alla media (βi < 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio
inferiore a quello del mercato nel suo complesso. Viceversa, titoli con coefficienti di
reattivita superiori alla media (βi > 1) dovrebbero comportare un premio per il rischio
superiore a quello del mercato.
102
4. IL MODELLO CAPM III. Linea del mercato delle attivita
Inoltre, dall’Espressione (4.13) emerge anche che potrebbe (raramente) accadere che
un’attivita presenti un premio per il rischio negativo. Cio potrebbe succedere perche
il suo beta e negativo, ossia se il suo rendimento atteso e correlato negativamente al
rendimento atteso del portafoglio di mercato, ossia ρiM ≡ σiM/(σiσM) < 0 (in Figura 4.3
si tratterebbe dei titoli che si collocano sulla SML a sinistra di r0). Dal grafico della
SML, si noti anche come in equilibrio i titoli con un beta negativo siano caratterizzati da
un rendimento atteso inferiore a quello del titolo privo di rischio. Cio potrebbe apparire
controintuitivo. Per quale motivo dovrebbero essere presenti nel portafoglio di mercato
(quindi detenuti in equilibrio dagli investitori) titoli rischiosi che presentano un rendimento
(atteso) piu basso del titolo risk-free? La risposta a tale domanda si ricollega proprio al
fatto che il rendimento di questi titoli e correlato negativamente a quello del mercato
nel suo complesso. Come sappiamo dal Capitolo 3, inserire questi titoli nel portafoglio
di mercato potra consentire di ridurre il rischio complessivo dell’investimento ancor di
piu che inserendo il titolo privo di rischio, il cui rendimento presenta una correlazione
nulla con quello del mercato. Per tale motivo, e in virtu del trade-off rischio/rendimento
che determina i valori di equilibrio delle singole attivita, i titoli con beta negativo si
caratterizzeranno (in equilibrio) da un rendimento atteso persino inferiore di quello del
titolo risk-free.
Infine, oltre al beta di un’attivita e possibile calcolare anche quello di un intero porta-
foglio: quest’ultimo e uguale alla media ponderata dei beta delle attivita incluse nel por-
tafoglio, dove i pesi sono dati dalle quote delle singole attivita sul totale del portafoglio.
Formalmente, il beta di un generico portafoglio P e dato da:
βP =n∑
i=1
aiβi. (4.14)
Di conseguenza, non solo ogni singola attivita finanziaria si collochera sulla SML, ma
anche ciascun portafoglio formato con le attivita presenti sul mercato. In particolare,
la relazione di equilibrio tra il rendimento atteso e il rischio di ogni generico portafoglio
P sara definita dall’equazione µP = r0 + (µM − r0)βP . Tutto cio inoltre consente di
chiarire meglio una delle differenze sostanziali che sussistono tra la linea del mercato dei
capitali (CML) e la linea del mercato delle attivita (SML): nella prima sono inclusi
esclusivamente i portafogli efficienti, mentre quelli inefficienti si collocano al di sotto della
linea; nella seconda, invece, si collocano tutti i portafogli, siano essi efficienti o inefficienti
(compresi quelli formati con un solo titolo).
Infine, proprio con riferimento ai portafogli efficienti, cioe i portafogli che si collocano
sulla CML, e possibile utilizzare l’Espressione (4.14) per calcolarne facilmente il relativo
beta. Infatti, per ciascun portafoglio efficiente, PEFF , composto per una quota a0 dal
103
III. Linea del mercato delle attivita 4. IL MODELLO CAPM
titolo risk-free e una quota aM = 1− a0 dal portafoglio di mercato, avremo che il relativo
beta sara dato da (si ricordi che β0 = 0 e βM = 1):
βEFF = a0β0 + aMβM = aM . (4.15)
Dall’Espressione (4.15) emerge chiaramente come per portafogli efficienti composti in
parte dal titolo privo di rischio e in parte dal portafoglio di mercato (per cui vale a0 > 0)
avremo che 0 < βEFF = aM < 1, per cui in equilibrio saranno caratterizzati da un premio
per il rischio positivo, ma inferiore a quello del portafoglio di mercato. Viceversa, per
portafogli efficienti con debito (per cui vale a0 < 0) avremo che βEFF = aM > 1 e,
in equilibrio, il relativo premio per il rischio sara maggiore di quello del portafoglio di
mercato.
Esempio 19 (SML)
Si considerino i dati esposti nella seguente tabella in relazioni ai singoli titoli A e B, al
portafoglio di mercato (M) e al titolo risk-free (RF ):
Attivita ρiM σ
A 0,9 0,2
B 0,8 0,09
M 1 0,12
RF 0 0
Considerando che il rendimento del titolo privo di rischio e r0 = 0, 05 mentre quello
atteso del mercato e µM = 0, 12, si definisca l’equazione della SML, si calcolino i beta e
i premi per il rischio delle attivita A e B e quelli di un portafoglio composto per il 40%
dall’attivita A e per il 60% dall’attivita B.
Utilizzando l’Equazione (4.12), la SML e data da:
µi = 0, 05 + 0, 07βi.
Inoltre, considerando che σiM ≡ ρiMσiσM , con i dati a disposizione e facile calcolare i
beta delle due attivita:
βA =0, 9(0, 2)(0, 12)
(0, 12)2= 1, 5; βB =
0, 8(0, 09)(0, 12)
(0, 12)2= 0, 6
che implicano i seguenti premi per il rischio:
104
4. IL MODELLO CAPM III. Linea del mercato delle attivita
µA − r0 = 1, 5(0, 07) = 0, 105; µB − r0 = 0, 6(0, 07) = 0, 042.8
Infine, considerando l’Espressione (4.14), avremo che il beta e il premio per il rischio
del portafoglio saranno, rispettivamente:
βP = 0, 4(1, 5) + 0, 6(0, 6) = 0, 96; µP − r0 = 0, 96(0, 07) = 0, 0672.
III.B Prezzi di equilibrio
Stabiliti come si comportano i rendimenti attesi in equilibrio e possibile esprimere
il tutto anche in termini dei prezzi di equilibrio delle attivita. Ricordando la formula
generale per calcolare il tasso atteso di rendimento di un’attivita generica i, ossia:
E[ri] ≡ µi =E [vi]− pi
pi(4.16)
sostituendola nell’equazione della SML, cioe nell’Espressione (4.12), otteniamo:
E [vi]− pipi
= r0 + βi (µM − r0) (4.17)
da cui, risolvendo rispetto a pi:
pi =E [vi]
1 + r0 + βi (µM − r0). (4.18)
L’Equazione (4.18) afferma che, in equilibrio, il prezzo dell’attivita i, pi, deve essere
pari al valore “scontato” del suo prezzo atteso (o, piu in generale, del totale dei suoi payoffs
attesi) E[vi], dove il tasso di sconto tiene conto del rendimento dell’attivita priva di rischio
r0 (come sarebbe nel caso con investitori neutrali al rischio), ma anche del rischio che il
detenere tale attivita comporta per l’investitore, ossia βi (µM − r0); come abbiamo visto
in precedenza, infatti, quest’ultimo termine rappresenta proprio il premio per il rischio
associato all’attivita i-esima.
III.C Disequilibrio e aggiustamento
Come abbiamo visto, la linea del mercato delle attivita o SML rappresenta tutte le
combinazioni di rendimento atteso e beta che le attivita mostrano in equilibrio se vale
la teoria del CAPM. L’equazione che la caratterizza (Equazione (4.12)) si presta inoltre
8Si noti come, alternativamente, i premi per il rischio si sarebbero potuti ottenere calcolando irendimenti attesi di equilibrio dei due titoli utilizzando l’equazione della SML e sottraendo il tassorisk-free.
105
III. Linea del mercato delle attivita 4. IL MODELLO CAPM
a essere verificata empiricamente una volta fissato r0 e calcolato (tramite dati storici)
il rendimento atteso e il beta di ogni attivita. In particolare, il CAPM predice che le
combinazioni effettivamente osservate tra i rendimenti attesi e i beta di tutte le attivita
dovrebbero posizionarsi intorno alla SML (la possibilita di un errore statistico nella
realizzazione del rendimento puo implicare che la combinazione effettivamente osservata
di rendimento/rischio non si collochi esattamente sulla SML).
µi
βi
r0
SMLPA
βA
µOA
µA
PB
Figura 4.4: Disequilibrio nel modello CAPM
La SML fornisce anche l’intuizione di cosa dovrebbe succedere se il mercato non fosse
in equilibrio, ossia se si osservasse una combinazione (µi, βi) situata fuori della SML. Si
consideri a questo riguardo la Figura 4.4. Come rappresentato in figura, ammettiamo, ad
esempio, che il portafoglio PA, composto solo dal titolo A (ma considerazioni del tutto
analoghe valgono anche per un portafoglio “diversificato”, cioe composto da diversi titoli),
presenti una combinazione rendimento atteso/rischio che risulta essere sopra la SML.
In tale situazione, dato βA, il rendimento atteso di equilibrio sarebbe dovuto essere µA
(quello corrispondente sulla SML). Invece il rendimento atteso corrente che si osserva
sul mercato e µOA (l’apice O si riferisce proprio al fatto che si tratta del rendimento atteso
effettivamente osservato) che e maggiore di µA. In questa situazione l’attivita A appare
sottovalutata (undervalued) o sottoprezzata (underpriced). Infatti, ricordando che il tasso
atteso di rendimento di un titolo generico i e dato da µi = (E[vi]− pi)/pi = (E[vi]/pi)− 1,
dato il valore atteso del prezzo dell’attivita A, E[vA], avremo che:
µOA =E [vA]
pOA− 1 > µA =
E [vA]
pA− 1⇔ pOA < pA (4.19)
106
4. IL MODELLO CAPM IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
dove pA e il prezzo dell’attivita A corrispondente a µA, ossia il suo prezzo di equilibrio.
Ovviamente, in tutto questo ragionamento e implicita l’assunzione (alla base del CA-
PM) che gli investitori abbiano aspettative omogenee su E[vA]. In questo caso, quindi,
poiche l’attivita A e sottovalutata, tutti gli investitori (se credono al CAPM) tenderanno
a domandarne una quantita maggiore e cio produrra un aumento del prezzo corrente pOA;
cio proseguira fino a che pOA = pA che implica µOA = µA, per cui l’attivita A si collochera
adesso sulla SML (in equilibrio). Di converso la coppia rendimento atteso/rischio relativa
all’attivita B (rappresentata dal portafoglio PB nella figura), che risulta sotto la SML,
segnala che l’attivita B e sopravalutata (overvalued) o sovraprezzata (overpriced). In tale
caso, in base ad un ragionamento analogo al precedente, il prezzo corrente dell’attivita B
dovrebbe diminuire, e il suo rendimento atteso salire, fino a che il punto B non sara sulla
SML.
IV Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
Una questione che e importante approfondire e la seguente. In base alle predizioni
del CAPM, in equilibrio, il rendimento atteso di un titolo finanziario dovrebbe dipendere
dal beta del titolo. In altri termini, il beta del titolo esprime il rischio rilevante ai
fini della determinazione del rendimento atteso di equilibrio del titolo. Ma il beta di
un’attivita finanziaria non coincide in realta con il suo rischio complessivo, che e invece
rappresentato dalla varianza del suo rendimento. In particolare, in base al modello CAPM,
indicando con εi un termine di errore statistico con valore atteso nullo (E[εi] = 0) relativo
al rendimento del titolo i-esimo, in equilibrio, il rendimento effettivamente osservato di
tale titolo dovrebbe risultare pari a:
ri = r0 + βi (rM − r0) + εi (4.20)
che, sotto l’ipotesi che le variabili rM (il tasso di rendimento del portafoglio di mercato)
e εi non siano correlate (ossia, E[rMεi] = 0), implica che la varianza dei rendimenti del
titolo i, σ2i , puo essere espressa come:9
9Infatti:
σ2i = E
[(ri − µi)2
]= E
[(ri − r0 − βi (µM − r0))
2]
=
= E[(r0 + βi (rM − r0) + εi − r0 − βi (µM − r0))
2]
=
= E[(βi (rM − µM ) + εi)
2]
= E[β2i (rM − µM )
2+ ε2i + 2βi (rM − µM ) εi
]=
= β2i σ
2M + σ2
εi + 2βiE [(rM − µM ) εi] .
107
IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio 4. IL MODELLO CAPM
σ2i = β2
i σ2M + σ2
εi. (4.21)
L’Equazione (4.21) mostra che il rischio complessivo associato all’attivita i puo essere
scomposto nella somma di un rischio connesso alle fluttuazioni del mercato, chiamato
anche rischio sistematico o rischio di mercato, ossia β2i σ
2M , e di un rischio specifico
della sola attivita i-esima, chiamato anche rischio idiosincratico o rischio non di mer-
cato, ossia σ2εi
. La questione che quindi puo sorgere spontanea e perche, in equilibrio, il
rendimento atteso del titolo non dipende dal suo rischio complessivo o, in altri termini,
perche la componente di rischio non di mercato (che non dipende dal beta del titolo) non
contribuisce a determinarne il rendimento atteso?
Per fornire l’intuizione sulla risposta a tale questione, si consideri innanzitutto che,
poiche l’Espressione (4.21) vale per ogni singola attivita finanziaria, essa deve valere anche
per ciascun portafoglio P composto da differenti titoli:
σ2P = β2
Pσ2M + σ2
εP(4.22)
dove σ2εP
rappresenta la varianza del termine di errore relativo al rendimento dell’intero
portafoglio P , con εP =∑
i aiεi (dove ai e la quota del titolo i presente nel portafoglio
P ).
Sotto certe condizioni e tramite un’adeguata scelta delle quote ai che compongono
il portafoglio (in altri termini, tramite un’adeguata diversificazione dell’investimento), si
puo adesso dimostrare come sia possibile eliminare la componente idiosincratica del rischio
associato al portafoglio (che si ricollega alla componente idiosincratica, o non di mercato,
del rischio delle singole attivita che lo compongono). In particolare, assumiamo che: i) il
numero di attivita presenti in portafoglio sia N con ai = 1/N (ad esempio, se N = 100
ciascun titolo e presente in una quota pari all’ 1% dell’intero portafoglio); e ii) i termini
di errore dei rendimenti dei diversi titoli siano tra loro non correlati (σεiεj = 0,∀i, j con
i 6= j). In tali circostanze, avremo che:
σ2εP
=N∑
i=1
a2iσ
2εi
=N∑
i=1
(1
N
)2
σ2εi
=1
N
N∑
i=1
σ2εi
N. (4.23)
In base all’Espressione (4.23), sotto condizioni molto generali, ossia che la media delle
varianze dei termini di errore,∑
i σ2εi/N , sia limitata al crescere di N (questo succede se
le varianze sono finite), otteniamo che quando N → ∞ allora σ2εP→ 0. In altri termini,
tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio di investimento, il ruolo della com-
Sotto l’ipotesi che E[(rM − µM ) εi] = 0, ossia che E[rMεi] = 0, otteniamo il risultato riportatonell’Equazione (4.21).
108
4. IL MODELLO CAPM IV. Rischio di mercato e diversificazione del portafoglio
ponente idiosincratica di rischio delle singole attivita che compongono il portafoglio puo
essere completamente eliminata.10 Cio, inoltre, fornisce anche una spiegazione del perche,
in base al modello CAPM, solo il rischio di mercato di un’attivita finanziaria determina il
suo rendimento atteso di equilibrio: infatti, in equilibrio (dove sono sfruttate tutte le op-
portunita di ridurre il rischio tramite un’adeguata diversificazione del portafoglio), solo la
componente di rischio dell’attivita che non puo essere eliminata tramite la diversificazione
(ossia la componente di rischio di mercato) giochera un ruolo rilevante nel determinarne
il rendimento atteso (e, con esso, il prezzo e il premio per il rischio).
Dobbiamo infine osservare che diversificare il portafoglio puo non essere l’unico mo-
do per diminuire il rischio idiosincratico. In effetti, l’investitore potrebbe decidere di
impiegare delle risorse per ottenere un’informazione piu precisa sulle caratteristiche di al-
cune particolari attivita. Questo comporterebbe una diminuzione della varianza relativa
al rendimento atteso di queste particolari attivita e quindi una riduzione della varianza
complessiva del portafoglio.
Esempio 20 (Rischio di mercato e idiosincratico)
Ipotizzando che la deviazione standard del rendimento del portafoglio di mercato sia
σM = 15, 2, si calcolino il rischio di mercato e quello idiosincratico (non di mercato) delle
tre attivita A, B e C, i cui dati rilevanti sono riportati nella tabella sottostante:
Attivita β σ
A 0,66 14,6
B 1,11 28,9
C 1,02 85,4
Innanzitutto, con i dati a disposizione e semplice calcolare il rischio di mercato delle
tre attivita:
β2Aσ
2M = (0, 66)2(15, 2)2 ' 100, 64
β2Bσ
2M = (1, 11)2(15, 2)2 ' 284, 66
β2Cσ
2M = (1, 02)2(15, 2)2 ' 240, 37.
10Si osservi che se esiste una covarianza non nulla fra i termini di errore dei rendimenti allora none possibile, in generale, concludere che il rischio idiosincratico possa essere annullato. A tal proposito,e interessante notare che, rigorosamente, l’ipotesi assoluta di covarianze nulle non e coerente con ilmodello CAPM. Infatti, nel CAPM, esiste in equilibrio una correlazione positiva fra le diverse componentiidiosincratiche dei rendimenti delle attivita. In realta, la conclusione che abbiamo appena raggiunto valeanche nel CAPM, ma la dimostrazione risulta piu complicata in quanto implica l’applicazione di unaversione della Legge dei Grandi Numeri che permetta una minima covarianza fra i rendimenti.
109
V. Indici di performance basati sul CAPM 4. IL MODELLO CAPM
Inoltre, utilizzando l’Espressione (4.21), in generale, il rischio idiosincratico di un titolo
puo essere calcolato come σ2εi
= σ2i − β2
i σ2M , per cui avremo che:
σ2εA' (14, 6)2 − 100, 64 = 103, 76
σ2εB' (28, 9)2 − 284, 66 = 550, 55
σ2εC' (85, 4)2 − 240, 37 = 7052, 79.
Si noti come, sebbene il rendimento del titolo C abbia una varianza complessiva molto
alta, gran parte di tale variabilita e riconducibile alla componente non di mercato del
rischio del titolo. Siccome la componente di rischio non di mercato puo essere eliminata
con la diversificazione, cio comporta che, sebbene nel complesso C sia piu rischioso di B,
il rendimento atteso di equilibrio del primo titolo sara meno elevato di quello del secondo.
V Indici di performance basati sul CAPM
Nel capitolo precedente abbiamo introdotto e analizzato alcuni indici di performance
per singole attivita finanziarie o per interi portafogli di investimento collegati al concetto di
frontiera efficiente. Adesso, presenteremo ulteriori indici di performance piu strettamente
connessi al modello CAPM. A tale riguardo, un primo indice utilizzato in letteratura e
l’indice di Treynor che, per una generica attivita (o un generico portafoglio) i e definito
come segue:
ti =µOi − r0
βi(4.24)
da cui emerge che tale indice esprime il premio per il rischio osservato dell’attivita con-
siderata, µOi − r0, normalizzato per il rischio dell’attivita in termini del suo beta. Ad
esempio, poiche il beta del portafoglio di mercato e uguale a uno, in equilibrio, il suo
indice di Treynor sara µM − r0. Inoltre, in equilibrio, tutte le attivita finanziarie saranno
caratterizzate dallo stesso indice di Treynor del portafoglio di mercato. Di conseguenza,
un’attivita (o un portafoglio) il cui indice di Treynor e maggiore di µM−r0 sta mostrando
un rendimento “anormalmente” alto rispetto all’equilibrio del CAPM. Questo dovrebbe
spingere gli investitori a comprare tale attivita. Inoltre, analogamente per gli altri indi-
ci analizzati nel capitolo precedente, e anche possibile utilizzare l’indice di Treynor per
classificare attivita/portafogli alternativi, preferendo quelle/i con l’indice piu elevato.
Un altro indice simile a quello di Treynor e l’indice di Jensen che, per l’attivita
i-esima, deriva dalla seguente espressione:
110
4. IL MODELLO CAPM V. Indici di performance basati sul CAPM
µOi − r0 = Ji + βi (µM − r0) (4.25)
e, piu precisamente, e dato da:
Ji = µOi − r0 − βi (µM − r0) . (4.26)
Valori dell’indice di Jensen maggiori di zero significano che l’attivita considerata sta
facendo meglio di quanto dovrebbe rispetto all’equilibrio (ossia, ha un rendimento atteso
osservato anormalmente alto rispetto all’equilibrio previsto dal CAPM) e quindi vi e
convenienza a comprarla; viceversa se Ji e negativo. Anche l’indice di Jensen puo essere
utilizzato per classificare diverse attivita o portafogli e, a questo proposito, e utile osservare
che esso fornisce lo stessa classificazione dell’indice di Treynor per le attivita (portafogli)
con beta positivo, ma non per quelle con beta negativo (infatti, e immediato verificare
che ti = Ji/βi + µM − r0 ossia Ji = βi (ti − µM + r0)).
Esempio 21 (Indice di Jensen)
Ipotizzando che il rendimento atteso di mercato (in equilibrio) sia µM = 0, 15, mentre il
tasso di rendimento del titolo privo di rischio sia r0 = 0, 05, si stabilisca, in base ai valori
stimati (osservati) riportati nella seguente tabella, quale delle attivita A e B presenta la
migliore performance in base all’indice di Jensen.
Titolo µO σ β
A 0,12 0,4 0
B 0,18 0,3 1,5
Calcolando l’indice di Jensen delle due attivita otteniamo:
JA = 0, 12− 0, 05− (0, 15− 0, 05)0 = 0, 07
e
JB = 0, 18− 0, 05− (0, 15− 0, 05)1, 5 = −0, 02,
da cui emerge chiaramente come, in base alla teoria del CAPM, il titolo A abbia una
performance migliore di quella del titolo B.
Si noti come non saremmo certamente arrivati a tale conclusione se si fossero conside-
rati soltanto i valori del rendimento atteso e della deviazione standard (senza considerare i
beta) dei due titoli. Infatti, il titolo B ha un rendimento atteso maggiore e una deviazione
111
V. Indici di performance basati sul CAPM 4. IL MODELLO CAPM
standard minore del titolo A. Ma, come sappiamo, nel CAPM cio che rileva come rischio
di un titolo e il suo beta e non la deviazione standard!
Da cio deriva anche che per confrontare il rendimento atteso di due titoli a parita
di rischio, occorre farlo tra due titoli con lo stesso beta. Tale considerazione ci aiuta
ulteriormente a capire perche il titolo A e un “buon titolo” (cioe un titolo con una buona
performance), mentre lo stesso non vale per il titolo B (che addirittura presenta un indice
di Jensen negativo). Infatti, il rendimento atteso del titolo A puo essere confrontato con
quello del titolo privo di rischio (entrambi infatti hanno un beta pari a zero e, quindi,
sono comparabili dal punto di vista del rischio) notando come il rendimento del titolo A
sia relativamente elevato (0, 12 contro 0, 05).
Invece, il rendimento atteso del titolo B deve essere confrontato con quello di un’at-
tivita (portafoglio) con lo stesso beta. Ad esempio, potrebbe essere confrontato con il
rendimento atteso di un portafoglio composto per una quota pari a 1, 5 dal portafoglio
di mercato e una quota pari a −0, 5 dal titolo privo di rischio; infatti, il beta di questo
portafoglio (con debito) e proprio 1, 5. Inoltre, (ricordando che µM = 0, 15 e r0 = 0, 05)
il suo rendimento atteso sara −0, 5(0, 05) + 1, 5(0, 15) = 0, 2; quindi, a parita di rischio,
fornisce un rendimento maggiore di quello del titolo B (che e 0,18).
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 6.
• Barucci E., Teoria dei mercati finanziari, il Mulino, 2000; Cap. 5.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999; Cap.
9.
112
Capitolo 5
Arbitraggio, modello a fattori e
l’APT
In questo capitolo esporremo la teoria dell’Arbitrage Price Theory (APT). Nel fare
questo abbiamo prima bisogno di definire meglio cosa si intende per arbitraggio in un am-
biente incerto (Sezione I) e introdurre il modello a fattori (Sezione II), che rappresentano
i due pilastri teorici alla base dell’APT (Sezione III).
I Arbitraggio
Per capire il significato di arbitraggio possiamo riportare in sintesi una storiella con-
tenuta in Varian (1987):
Un professore di economia ed un contadino stanno aspettando l’autobus. Per
ingannare il tempo il contadino propone al professore di fare un gioco. Il
professore accetta e chiede che tipo di gioco ha in mente. Il contadino pron-
tamente propone di fare una domanda a testa all’altro; nel caso di risposta
corretta chi ha fatto la domanda dovra pagare un euro al rispondente, mentre
nel caso di risposta errata l’opposto. Il professore apprezza la proposta, ma fa
notare che egli, essendo un professore (di economia), partirebbe avvantaggiato
rispetto al contadino. Quest’ultimo concorda, e propone quindi che nel caso
lui non sappia rispondere paghera solo 50 centesimi. Il professore a questo
punto accetta ritenendo il gioco piu equo. Il contadino allora chiede: “Che
cosa sale una collina con sette gambe e la scende con tre?” Il professore dopo
aver pensato a lungo senza trovare la risposta:“Non lo so. Ma allora rispondi
te: che cosa sale una collina con sette gambe e la scende con tre?” Al che il
113
I. Arbitraggio 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
contadino:“Non lo so neppure io, ma se tu mi dai il tuo euro io ti daro i tuoi
50 centesimi”.
Il contadino e quindi riuscito, senza alcun impegno di denaro, a guadagnare 50 cen-
tesimi scegliendo una domanda impossibile che gli garantiva un guadagno a quel punto
certo. Questo non dovrebbe essere possibile in equilibrio, ossia il professore di economia
dopo essere stato raggirato una volta non dovrebbe piu accettare un simile gioco. In altre
parole in equilibrio non dovrebbero essere presenti situazioni in cui un individuo possa
conseguire dei guadagni senza sopportare alcun rischio, non investendo a sua volta alcuna
somma di denaro. Questa situazione viene chiamata condizione di non arbitraggio.1
In generale, la condizione di non arbitraggio e una proprieta che viene piu volte invo-
cata quando si considera l’equilibrio di un mercato. Per capire cosa significa la presenza
di arbitraggio si consideri un mercato di un certo bene dove il prezzo di domanda sia
superiore a quello di offerta e le quantita domandata sia superiore a quella offerta; allora
un investitore potrebbe acquistare a debito una certa quantita del bene al prezzo corrente
di offerta e rivendere tale quantita al prezzo corrente di domanda piu elevato. Tale ope-
razione resa possibile dalle condizioni di mercato portera al soggetto un guadagno senza
che questo corra alcun rischio. Nell’equilibrio di mercato tali opportunita di guadagno
dovrebbero essere assenti, altrimenti gli investitori operando su tali possibilita di arbi-
traggio fra i prezzi di domanda ed offerta porterebbero anche ad una variazione dei prezzi
e delle quantita domandate ed offerte.
La presenza di possibilita di arbitraggio puo essere vista anche come una violazione
della Legge del Prezzo Unico, ossia che in un mercato lo stesso bene possa venire scambiato
a prezzi differenti (ricordiamo che l’investitore nell’arbitraggio acquista ad un prezzo e
vende ad un altro). L’assenza di arbitraggio e quindi vista come una condizione cruciale
dell’equilibrio e questa condizione e chiamata Principio di Arbitraggio.
In realta non succede sempre che i mercati soddisfino il Principio di Arbitraggio. La
ragione piu comunemente indicata e la presenza di frizioni. Queste, ad esempio, potrebbe-
ro essere rappresentate dalla diversita geografica fra dove il bene viene domandato e dove
questo viene offerto (ossia esistono dei costi di trasporto che non possono essere trascu-
rati). Esistono casi in cui, tuttavia, e difficile trovare una spiegazione del perche, almeno
nel breve periodo, la possibilita di arbitraggio sembra presente e questo avviene anche nei
mercati finanziari piu sviluppati ed, all’apparenza, efficienti. In questa eventualita si fa
riferimento alla possibile non piena razionalita degli agenti, a vincoli all’operativita per
alcuni di questi (ad esempio al divieto di vendita allo scoperto, a vincoli di liquidita, etc.).
1L’articolo di Hal Varian contiene una discussione molto approfondita delle implicazioni profondedell’assenza di arbitraggio in equilibrio.
114
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT I. Arbitraggio
L’idea generale e che comunque, almeno nel lungo periodo, il Principio di Arbitraggio
dovrebbe valere a meno di frizioni.
I.A Arbitraggio in un ambiente incerto
Per definire esattamente una possibilita di arbitraggio in un ambiente incerto e ne-
cessario introdurre il concetto di portafoglio di arbitraggio. In sostanza un portafoglio
di arbitraggio deve i) non richiedere alcun esborso iniziale di moneta (ossia e costruito
comprando alcune attivita e vendendone allo scoperto altre) e, allo stesso tempo, ii) avere
un rendimento positivo indipendentemente dalle circostanze che possono accadere, o, in
termini piu tecnici, in ogni stato del mondo possibile.
Quindi, la condizione che il portafoglio di arbitraggio debba non richiedere risorse
aggiuntive di moneta (in inglese questa condizione e chiamata condizione di zero initial
outlay) implica che:
p1x1 + p2x2 + ...+ pnxn =n∑
i=1
pixi = 0, (5.1)
dove pi rappresenta il prezzo corrente dell’attivita i e xi la quantita detenuta dell’attivita
i (e chiaro che alcune attivita saranno vendute allo scoperto per poter acquistare con il
ricavato della altre, cosı che alcuni xi saranno negativi).
Inoltre, il fatto che un portafoglio di arbitraggio richieda un rendimento non negativo
(non il tasso di rendimento, ma si potrebbe facilmente estendere la condizione) in ogni
possibile stato del mondo implica che:
vk1x1 + vk2x2 + ...+ vknxn =n∑
i=1
vkixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m, (5.2)
dove vkj e il prezzo dell’attivita i nello stato del mondo k.
Avremo quindi profitti di arbitraggio se nel mercato esiste ai prezzi correnti p =
(p1, ..., pn) un portafoglio x = (x1, x2, ..., xn) tale che valga la Condizione (5.1) e che,
dati i prezzi v, in tutti gli m possibili stati del mondo valga anche:
n∑
i=1
vkixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m en∑
i=1
vkixi > 0 per almeno uno stato k. (5.3)
La presenza di profitti di arbitraggio implica l’esistenza di opportunita di arbitraggio.
Di converso l’assenza di opportunita di arbitraggio si ha quando:
1. on∑
i=1
vkixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m; (5.4)
115
I. Arbitraggio 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
2. o
n∑
i=1
vkixi ≥ 0 per qualche stato k en∑
i=1
vkixi < 0 per qualche altro stato k. (5.5)
Possiamo quindi definire piu precisamente il Principio di Arbitraggio:
Definizione 13 (Principio di Arbitraggio)
Il Principio di Arbitraggio stabilisce che nell’equilibrio di mercato non esistono profitti di
arbitraggio, ossia deve valere o la Condizione 5.4 o la Condizione 5.5.
In altre parole, il Principio di Arbitraggio afferma che le opportunita di arbitraggio
sono assenti nell’equilibrio di mercato.
Esempio 22 (Il Principio di Arbitraggio)
Supponiamo che nel mercato esistano solo due attivita A e B e che siano possibili solo
due stati, 1 e 2. La Tabella 5.1 riporta i valori attesi dei prezzi delle due attivita nei due
stati (ossia (vkA, vkB) con k = 1, 2) e i prezzi correnti pA e pB.
Attivita A BPrezzi stato 1 (v1A, v1B) 10 8Prezzi stato 2 (v2A, v2B) 8 1Prezzi correnti (pA, pB) 4 2
Tabella 5.1: Verifica del Principio di Arbitraggio
Possiamo verificare che il Principio di Arbitraggio valga partendo dalla condizione di
zero initial outlay, la quale richiede che (vedi Equazione (5.1)):
pAxa + pBxB = 4xa + 2xB = 0, (5.6)
dove xA e xB sono le quantita detenute dell’attivita A e B e verificando che le condizioni
per l’esistenza di profitti di arbitraggio, ossia:
10xA + 8xB ≥ 0;
8xA + xB ≥ 0,(5.7)
con almeno una delle due con un >, non siano mai soddisfatte (vedi Condizione (5.3)).
Ricavando xB come funzione di xA dall’Equazione (5.6) e sostituendo nella Condizione
(5.7) otteniamo che:
10xA + 8xB = −6xA ≥ 0;
8xA + xB = 6xA ≥ 0,(5.8)
116
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT I. Arbitraggio
che non potranno mai essere verificate congiuntamente con almeno una delle due con
un > (xA = 0 non rispetta quindi la condizione per avere profitti di arbitraggio). Cio
significa che ai prezzi correnti non esiste nessun portafoglio che mi faccia guadagna-
re indipendentemente dallo stato e quindi i prezzi correnti soddisfano il Principio di
Arbitraggio.
Supponiamo adesso che il prezzo atteso di A nello stato 1 sia pari a 20. La Condizione
(5.6) non risulta modificata, mentre le condizioni per i profitti di arbitraggio diventano:
20xA + 8xB = 4xA ≥ 0;
8xA + xB = 6xA ≥ 0,(5.9)
e quindi per xA > 0 otterrei sempre dei profitti di arbitraggio. Cio significa che i prezzi
correnti non possono essere di equilibrio. Infatti possiamo osservare come gli investitori
hanno interesse a comprare quanto piu possibile dell’attivita A finanziandosi vendendo allo
scoperto quanto piu possibile dell’attivita B. Il tutto dovrebbe determinare un aumento
del prezzo corrente di A (tendenzialmente abbiamo un eccesso di domanda infinito) ed
una diminuzione del prezzo corrente di B (tendenzialmente abbiamo un eccesso di offerta
infinito).
Seguendo questa linea di ragionamento chiediamoci quale dovrebbe essere il prezzo
corrente di A, pA che elimini i profitti di arbitraggio. Partendo sempre dalla condizione
di zero initial outlay
pAxa + pBxB = pAxa + 2xB = 0, (5.10)
ricavandoci xB = −pA/2xA e sostituendo il tutto nella condizione per i profitti di arbi-
traggio otteniamo:
20xA + 8xB = 4xA(5− pA) ≥ 0;
8xA + xB = 12xA(16− pA) ≥ 0,
(5.11)
il che significa che per pA compreso nell’intervallo (5, 16) varra il Principio di arbitraggio,
mentre al di fuori di tale intervallo esisteranno profitti di arbitraggio; in particolare per
pA ≤ 5 converra acquistare quanto piu possibile dell’attivita A, mentre per pA ≥ 16
converra acquistare quanto piu possibile dell’attivita B (e vendere allo scoperto la A).
Possiamo anche estendere il Principio di Arbitraggio ad una situazione in cui il porta-
foglio di arbitraggio considera un impiego positivo di capitale W (ossia non assumiamo che
valga la Condizione (5.1)) e che sia presente un’attivita priva di rischio il cui rendimento
sia r0.
117
I. Arbitraggio 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
In tale eventualita, il portafoglio di arbitraggio deve soddisfare la condizione seguente:
n∑
i=1
vkixi ≥ (1 + r0) W per ogni stato k = 1, ...,m,
con la stretta diseguaglianza per almeno uno stato.
Quindi l’assenza di opportunita di arbitraggio, ossia affinche il Principio di Arbitraggio
sia soddisfatto, richiede che:
1. o:n∑
i=1
vkixi = (1 + r0) W per ogni stato k = 1, ...,m;
2. o:
n∑
i=1
vkixi ≥ (1 + r0) W per qualche stato k en∑
i=1
vkixi < (1 + r0) W per qualche altro stato k.
Chiarito il concetto del Principio di Arbitraggio, un risultato importante e dato nella
Proposizione 1, la cui dimostrazione e intuitiva e non riportata.
Proposizione 1
In un mercato senza frizioni il Principio di Arbitraggio vale se e solo se esiste un investitore
che preferisce piu ricchezza a meno; e che tale investitore possa costruire il suo portafoglio
ottimale senza vincoli.
L’intuizione economica alla base della Proposizione 1 e immediata: se esistono inve-
stitori interessati a massimizzare la loro ricchezza allora in equilibrio non devono esistere
opportunita di arbitraggio; se queste ultime esistono allora vuol dire che i prezzi attuali
non sono di equilibrio. La presenza di tali opportunita di arbitraggio, infatti, spingereb-
bero gli investitori a modificare le proprie scelte di portafoglio, ossia la propria domanda
di attivita, con un conseguente effetto sui livelli dei prezzi delle attivita stesse.
Tutto questo ragionamento tiene se ogni investitore puo sempre costruire il suo porta-
foglio ottimale; infatti, potrebbero esserci dei casi estremi in cui tale possibilita non puo
verificarsi, come quando gli investitori formulano una domanda infinita di una certa atti-
vita ma le condizioni di mercato non permettono di soddisfare tale domanda. Si pensi al
caso in cui tutti gli investitori vogliano liberarsi di tutte le attivita finanziarie detenute per
ottenere moneta, indipendentemente dal prezzo a cui riescono a vendere tali attivita. In
tal caso il Principio di Arbitraggio potrebbe non valere (gli investitori si dicono vincolati
nelle loro scelte).
118
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT I. Arbitraggio
Il Principio di Arbitraggio puo essere utilizzato per calcolare i prezzi di equilibrio delle
attivita. Un esempio numerico dovrebbe aiutare a chiarire meglio questo aspetto.
Esempio 23 (Principio di Arbitraggio e prezzo dei titoli)
Si consideri la Tabella 5.2, dove abbiamo riportato il prezzo corrente delle attivita A, B
(cioe pA e pB) e i prezzi nei soli due possibili stati del mondo (cioe v1A, v1B e v1C e v2A, v2B
e v2C). La domanda che ci poniamo e quale dovrebbe essere il livello del prezzo corrente
dell’attivita C, pC , perche valga il Principio di Arbitraggio.
Attivita A B CPrezzi stato 1 (v1A, v1B, v1C) 10 8 9Prezzi stato 2 (v2A, v2B, v2C) 8 0 12Prezzi correnti (pA, pB, pC) 3 2 ?
Tabella 5.2: Esempio di applicazione del Principio di Arbitraggio per la determinazionedei prezzi delle attivita.
Per calcolare il livello del prezzo dell’attivita C tale per cui vale il Principio di
Arbitraggio poniamo innanzitutto la Condizione (5.1) di zero initial outlay, ossia:
3xA + 2xB + pCxC = 0. (5.12)
Poi imponiamo che non esistano opportunita di arbitraggio, ossia in ogni stato il rendi-
mento del portafoglio sia pari a zero (vedi la Condizione (5.4)):
10xA + 8xB + 9xC = 0 (5.13)
8xA + 12xC = 0 (5.14)
Abbiamo quindi xA/xC = −3/2 dall’Equazione (5.14), che sostituita nell’Equazione
(5.13) porta a xB/xC = 3/4; sostituendo nell’Equazione (5.12) per xA e xB in funzione di
xC , otteniamo il prezzo di equilibrio dell’attivita C, ossia:
pC = 3.
E’ immediato verificare che se pC fosse diverso da 3 allora nel mercato esisterebbero
profitti di arbitraggio. Per convincervi fissate pC diverso da 3, ad esempio 2, mantenete la
Condizione (5.12) e la Condizione (5.14), e verificate che 10xA+8xB+9xC > 0 per xC > 0.2
Esiste quindi una combinazione di (xA, xB, xC) tale da avere profitti di arbitraggio.2Ricavate xA in funzione di xC dalla Condizione (5.12) ed utilizzate tale relazione per ricavare xB
in funzione di xC dalla Condizione (5.12); infine sostituite il tutto nella Condizione (5.13), che risulterasempre violata per xC diverso da zero
119
I. Arbitraggio 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
I.B Arbitraggio e rendimento delle attivita
Puo essere interessante riesprimere le condizioni che implicano l’assenza di arbitraggio
in termini del tasso di rendimento delle attivita.
Il rendimento dell’attivita i nello stato k e definito da:
rki ≡vki − pipi
=vkjpi− 1,
dove vki e il prezzo dell’attivita i nello stato k; allora abbiamo che il prezzo futuro
dell’attivita i nello stato k puo essere espresso come:
vki = (1 + rki) pi. (5.15)
Dalle Equazioni (5.1) e (5.2) un portafoglio x e un portafoglio di arbitraggio se:
n∑
i=1
pixi = 0 e (5.16)
n∑
i=1
(1 + rki) pixi ≥ 0 per ogni stato k = 1, ...,m, (5.17)
dove abbiamo usato l’Equazione (5.15) per esprimere il prezzo futuro dell’attivita vki in
termini del suo rendimento rki.
Dato che∑n
i=1 pixi = 0, l’Equazione (5.17) puo essere riespressa come:
n∑
i=1
(1 + rki) pixi =n∑
i=1
pixi +n∑
i=1
rkipixi =n∑
i
rkipixi ≥ 0 per ogni stato k. (5.18)
Il Principio di Arbitraggio riespresso in termini di rendimento delle attivita afferma
quindi nell’equilibrio di mercato per ogni possibile portafoglio x tale che:
n∑
i=1
pixi = 0 (5.19)
deve anche valere che
1. o:n∑
i=1
rkipixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m (5.20)
120
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
2. o:
n∑
i=1
rkipixi ≥ 0 per qualche stato k en∑
i=1
rkipixi < 0 per qualche altro stato k.
Esempio 24 (La determinazione dei prezzi via Principio di Arbitraggio)
Si consideri la Tabella 5.3 che riporta i prezzi, le quantita detenute e i rendimenti di
due attivita A e B per i due possibili stati del mondo. Il Principio di Arbitraggio ci
Attivita A BRendimenti stato 1 (r1A, r1B) 5% ?Rendimenti stato 2 (r2A, r2B) 3% ?Prezzi correnti (pA, pB) 1 1Quantita detenute (xA, xB) 1 ?
Tabella 5.3: Esempio di applicazione del Principio di Arbitraggio per la determinazionedei rendimenti delle attivita
permette di calcolare i valori mancanti in tabella, in particolare i rendimenti dell’attivita
B. Osserviamo infatti che se vige il Principio di Arbitraggio allora la quantita detenuta
dell’attivita B dovra essere pari a −1 per soddisfare la Condizione (5.19)
Inoltre per soddisfare la Condizione (5.20) dovremo avere che rkB = rkA per k = 1, 2,
ossia r1B = 5% e r2B = 3%.
II Il modello a fattori
Il modello a fattori assume che il rendimento di un’attivita i possa essere spiegato da
un insieme comune di fattori esplicativi, in breve chiamati fattori (factors), piu una parte
stocastica che e specifica ad ogni titolo. Il tutto definisce il cosiddetto processo generatore
dei rendimenti (return-generating process). In genere si assume, inoltre, che il rendimento
di ogni titolo sia una funzione lineare dei fattori.
In prima battuta considereremo il modello ad un solo fattore (chiamato anche single-
index model), per poi estendere l’analisi al modello con piu fattori (multi-index model).3
II.A Il modello ad un fattore
Supponiamo che il seguente modello descriva bene il rendimento dell’attivita i:
ri = b0i + b1
iF1 + εi, per i = 1, ..., n; (5.21)
3Vedi Elton et al. (2002)
121
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
in particolare:
• F 1 denota il fattore esplicativo comune a tutti i rendimenti. In molti lavori empirici
tale fattore si identifica con un indice di mercato (ad esempio l’indice FTSE per la
Borsa Italiana o l’indice S&P 500 per il NYSE). Questa fattore comune portera ad
un co-movimento nei rendimenti di tutte le attivita;
• b0i e la componente specifica non stocastica del rendimento dell’attivita i;
• b1i misura l’impatto del fattore F 1 sul rendimento dell’attivita i;
• εi e la componente stocastica idiosincratica del rendimento, ossia rappresenta un
errore casuale (non osservato):
– con valore atteso zero, ossia E[εi] = 0;
– con varianza costante, ossia E[ε2i ] = σ2
εi;
– con covarianza con il fattore F 1 pari a zero, ossia:
E[(F 1 − µF 1
)εi]
= E[F 1εi
]− µF 1E [εi] = E
[F 1εi
]= 0; (5.22)
– con covarianza con i termini di errore delle altre attivita pari a zero, ossia:
E[εiεj] = 0 per ogni i 6= j; (5.23)
e
– con auto-covarianza nulla, ossia E[εi,tεi,t−1] = 0 per ogni i e t, dove t e un
indice temporale.
Riguardo alle molteplici assunzioni sulla componente stocastica, osserviamo come l’as-
sunzione E[εi] = 0 non sia restrittiva. Di fatto per costruzione del modello questa viene
sempre rispettata; se, infatti, il valore atteso fosse diverso da zero potrei definire un’altra
variabile casuale pari a εi ma cui tolgo tale valore atteso; il valore atteso di εi andrebbe
ad aggiungersi a b0i e la nuova variabile causale avrebbe le stesse proprieta di εi ma con
valore atteso nullo.
Altre assunzioni potrebbero essere abbandonate senza grandi conseguenze, come l’ipo-
tesi di varianza costante. L’ipotesi di covarianza con i termini di errore delle altre attivita
pari a zero potrebbe non avere conseguenze su la stima di b1i , ma nondimeno pone dei
problemi; infatti, E[εiεj] 6= 0 suggerisce la presenza di un qualche fattore omesso nella
122
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
stima (ad esempio il rendimento medio del settore industriale quando consideriamo due
titoli appartenenti allo stesso settore).4
Si rivela al contrario cruciale nella logica del modello l’assunzione di covarianza zero fra
F 1 e εi: infatti nel modello ad un fattore solo quest’ultimo deve spiegare il rendimento. Se
dell’errore invece ci fosse “qualcosa” correlato a F 1, presumibilmente cio significherebbe
che esistono altri fattori significativi, oppure che la specificazione lineare non e una buona
rappresentazione del processo generatore dei rendimenti.
Infine, l’ipotesi di auto-covarianza nulla e rilevante nel momento in cui vado a stimare
il modello, ma dal punto di vista teorico non e rilevante.
Il Modello (5.21) viene anche chiamato il modello a fattori approssimato perche il
rendimento dell’attivita ri e spiegato dal fattore F 1 a meno della componente stocastica
εi; cio significa che il rendimento corrente osservato e non perfettamente spiegato in
termini del solo fattore F 1, ma ha una componente aleatoria.
Se b1i e positivo avremo che il rendimento dell’attivita i risulta in una relazione cre-
scente con F 1. La Figura 5.1 rappresenta tale situazione, assumendo che b0i (graficamente
esso rappresenta l’intercetta sull’asse delle ordinate) sia positivo.
F 1
ri
b0i b1i
µF 1
µi
Figura 5.1: Modello ad un fattore e possibili realizzazioni dei rendimenti dell’attivita i
Nella Figura 5.1 abbiamo riportato possibili realizzazioni dei rendimenti dell’attivita i,
che dovrebbero posizionarsi in maniera uniforme e casuale intorno alla retta di equazione
b0i + b1
iF1 (se il Modello (5.21) e corretto).
4Quest’ultima ipotesi e quella che distingue il modello ad un fattore dal cosiddetto modello di mercato,dove F 1 e identificato con un indice di mercato ed i termini di errore possono essere correlati.
123
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
Se poi considero il valore atteso di F 1, ossia µF 1 , possa individuare graficamente il
rendimento atteso dell’attivita i, µi, ossia:
µi = b0i + b1
iµF 1 . (5.24)
La varianza di ri, σ2i , si puo calcolare come segue:
σ2i = E
[(b0i + b1
iF1 + εi − µi
)2]
= E[b1i (F
1 − µF 1) + εi2]
=(b1i
)2σ2F 1 + σ2
εi+ 2b1
iE[(F 1 − µF 1)εi
]
=(b1i
)2σ2F 1 + σ2
εi, (5.25)
dove abbiamo usato l’ipotesi che F 1 ed εi abbiano covarianza zero.
Il primo termine dell’Equazione (5.25), ossia (b1i )
2σ2F 1 , e chiamato factor risk, in quanto
legato alla variabilita del fattore F 1 (espressa dalla varianza σ2F 1), mentre il secondo
termine, ossia σ2εi
, e chiamato non factor risk (o rischio idiosincratico). Abbiamo quindi
che la varianza del rendimento dell’attivita i e la risultante di due fonti di shock, una
comune a tutte le attivita, ed una specifica dell’attivita i. Il modello e completamente
silente per quello che riguarda la spiegazione di un alto o basso b1i , ma e intuibile che tale
parametro possa essere preso come una misura della rischiosita del rendimento dell’attivita
i (in questo caso si sta implicitamente assumendo che il rischio idiosincratico sia di norma
uguale per tutte le attivita ovvero non molto rilevante).
Notiamo come l’ipotesi di covarianza zero fra F 1 e ε1 sia cruciale anche per il cal-
colo della varianza del rendimento. Allo stesso modo se σ2ε dipendesse da F 1 avremo
un’importante informazione sulla varianza del rendimento.
Esempio 25 (Modello ad un fattore)
Si consideri un’attivita i il cui rendimento, riportato in Tabella 5.4, e ben rappresentato
dal seguente modello ad un fattore e dove quest’ultimo e identificato dal rendimento di
mercato rM :5
ri = 2 + 1.5rM + εi. (5.26)
In particolare, nella Tabella 5.4 abbiamo riportato 5 osservazioni mensili del rendimen-
to nell’attivita i, del rendimento di mercato rM e, sulla base del Modello (5.26) abbiamo
5Il lettore deve pazientare fino al prossimo Capitolo 6 per la discussione di come e possibile tramite irendimenti dell’attivita i stimare il Modello (5.26) via una metodologia detta di regressione basata sullaminimizzazione delle distanza tra i dati osservati e la retta che abbiamo riportato in Figura 5.1 (vedi inparticolare la Sezione I del Capitolo 6).
124
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
calcolato i residui εi (il simbolo “ˆ“ sta ad indicare che sono valori stimati e non gli εi
del modello teorico, che per loro natura sono non osservabili).
Mese ri rM εi1 10 4 22 3 2 -23 15 8 14 9 6 -25 3 0 1
Tabella 5.4: Tabella dei rendimenti di un’attivita per un modello ad un fattore
La somma dei εi e pari a zero in accordo con l’ipotesi E [εi] = 0.6 Possiamo poi
stimare µM sulla base dei cinque dati disponibili come media delle stessi, da cui risulta
che µM = 4. Possiamo, infine, stimare il valore atteso del rendimento dell’attivita i, pari
a µi = 2 + 1.5µM = 8 (vedi Equazione (5.24)), che coincide con la stima che ottengo dalla
media delle 5 osservazioni di ri riportate nella Tabella 5.4.
Infine posso decomporre la varianza del rendimento ri nelle sue due componenti; in
particolare dalla Tabella 5.4 posso calcolare σ2rM
= 10 e σ2εi
= 3.5 ossia:7
σ2i =
(b1i
)2σ2rM
+ σ2εi
= (1.5)2(10) + 3.5 = 26, (5.27)
che e la stessa varianza che otterrei calcolando direttamente dalle 5 osservazioni di ri la
varianza (corretta) del rendimento dell’attivita i σ2i .
Tramite il Modello (5.21) e possibile calcolare anche la covarianza fra due attivita i e
j indicata con σij. Infatti:
σij = E [(ri − µi)(rj − µj)] = E[b1i (F
1 − µF 1) + εib1j(F
1 − µF 1) + εj]
=
= b1i b
1jE[(F 1 − µF 1)2
]+ b1
iE[(F 1 − µF 1)εj
]+ b1
jE[(F 1 − µF 1)εi
]+ E [εiεj] =
= b1i b
1jσ
2F 1 , (5.28)
essendo gli ultimi tre termini (covarianze fra rumore e fattori e covarianza fra rumori)
pari a zero per ipotesi.
6Come vedremo nel prossimo capitolo questo risultato deriva direttamente dalla procedura usata perstimare b0i e b1i .
7La stima corretta della varianza dell’universo dei rendimenti richiede una correzione della varianzacampionaria ottenuta moltiplicando la stessa per 5/4 (in generale per n/(n − 1), si veda l’Appendice alCapitolo 1).
125
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
Mese ri rM εi rj εj1 10 4 2 6 0.42 3 2 -2 5 13 15 8 1 10 1.24 9 6 -2 5 -2.25 3 0 1 2 -0.4
Tabella 5.5: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello ad un fattore
Osserviamo come il possibile andamento congiunto dei rendimenti delle attivita i e j
passi solo attraverso il fattore comune F 1. Questo aspetto vedremo si rivelera cruciale nel
calcolo della varianza del rendimento di un portafoglio nella successiva Sezione II.A.
E’ inoltre possibile estendere l’analisi al caso in cui i rumori delle due attivita abbiano
una covarianza non nulla, ossia E [εiεj] 6= 0. Quest’ultima ipotesi puo anche essere sotto-
posta a test; nel caso l’ipotesi di covarianza nulla fosse rifiutata viene naturale chiedersi
se il Modello (5.21) non esaurisca tutti i fattori rilevanti nella spiegazione dei rendimenti,
ovvero che esista qualche fattore omesso nella spiegazione dei rendimenti.
Esempio 26 (Modello ad un fattore (continua))
Nella Tabella 5.5 riportiamo i dati della Tabella 5.4 con l’aggiunta di un’ulteriore attivita
j , di cui riportiamo nelle ultime due colonne, rispettivamente, il rendimento rj e i residui
εj calcolati dal seguente modello:8
rj = 2.4 + 0.8rM + εj. (5.29)
Osserviamo come l’attivita j sia meno correlata all’andamento dell’indice di mercato
rM rispetto all’attivita i (0.8 contro 1.5).
Possiamo stimare la covarianza fra i rendimenti dell’attivita i e j direttamente dalle
osservazioni, ottenendo un valore di σij pari a 13.9 Possiamo tuttavia anche calcolare la
covarianza dei rendimenti via le stime dei Modelli (5.4) e (5.5) applicando l’Equazione
(5.28) ottenendo un stima di σij pari a 12.10 L’Equazione (5.28) suggerisce che la discre-
panza tra le due stime possa essere giustificata sulla base di una possibile correlazione
fra i rumori εi e εj. In effetti la covarianza fra i residui εi e εj risulta proprio pari ad
8Anche in questo caso i coefficienti 2.4 e 0.8 sono stati ottenuti tramite un’analisi di regressione surendimenti dell’attivita j.
9Ricordiamo che per avere una stima statisticamente corretta della covarianza bisogna dividere per 4e non 5 la somma degli scarti dalla media, ossia correggere la covarianza campionaria per n/(n− 1) (vediAppendice al Capitolo 1).
10Anche qui ricordiamo che la stima corretta della varianza del rendimento di mercato σ2M richiede di
correggere la varianza campionaria per 5/4.
126
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
1, che potrebbe indicare la presenza di un fattore omesso nell’analisi (andrebbe tuttavia
verificato che la covarianza fra εi e εj sia statisticamente diversa da zero).
Rendimento e varianza di portafoglio nel modello ad un fattore
In base al modello ad un fattore introdotto nella sezione precedente, e possibile
calcolare il rendimento atteso e la varianza di un portafoglio di investimento.
Preso un portafoglio P con n attivita, indicando con ai la quota dell’attivita i in
portafoglio (e quindi∑n
i=1 ai = 1), avremo che il rendimento del portafoglio sara dato da:
rP =n∑
i=1
airi =n∑
i=1
aib0P +
n∑
i=1
aib1iF
1 +n∑
i=1
aiεi = b0P + b1
PF1 +
n∑
i=1
aiεi, (5.30)
dove
b0P =
n∑
i=1
aib0i
e
b1P =
n∑
i=1
aib1i
rappresentano rispettivamente una media ponderata dei b0i e dei b1
i delle attivita presenti
in portafoglio.
Il rendimento atteso del portafoglio µP e quindi dato da:
µP = E[rP ] = b0P + b1
PµF 1 , (5.31)
dato che E[εi] = 0 per ogni i. La varianza del rendimento del portafoglio e invece data
da:
σ2P = E
[(rP − µP )2] = E
b1P
(F 1 − µF 1
)+
n∑
i=1
aiεi
2 =
= E
(b1
P
)2 (F 1 − µF 1
)2+
(n∑
i=1
aiεi
)2
+ 2b1P
(F 1 − µF 1
) n∑
i=1
aiεi
=
=(b1P
)2E[(F 1 − µF 1
)2]
+ E
(
n∑
i=1
aiεi
)2+ 2b1
PE
[(F 1 − µF 1
) n∑
i=1
aiεi
].
(5.32)
Osserviamo come:
127
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
1. il primo termine sia la varianza del fattore F 1, σ2F 1 , a meno del parametro (b1
P )2;
2. il secondo termine include tutti i rumori presi al quadrato piu i loro doppi prodotti
e le relative quote di portafoglio; ad esempio per n = 3 cio significa che:
E
(
3∑
i=1
aiεi
)2 = E
[(a1ε1)2 + (a2ε2)2 + (a3ε3)2 + 2a1a2ε1ε2 + 2a1a3ε1ε3 + 2a2a3ε2ε3
]=
= a21E[ε2
1
]+ a2
2E[ε2
2
]+ a2
3E[ε2
3
]+ 2a1a2E [ε1ε2] + 2a1a3E [ε1ε3] +
+2a2a3E [ε2ε3] =
= a21σ
21 + a2
2σ22 + a2
3σ23 =
3∑
i=1
a2iσ
2εi,
dato che la covarianza fra gli errori delle diverse attivita e assunta pari a zero (vedi
Condizione (5.23)); il secondo termine e quindi una media pesata delle varianze
dei rumori delle singole attivita. Se le covarianze degli errori non fossero nulle
dovremo includere anche la somma di tutte le covarianze non nulle (e avremo anche
l’intuizione che qualche fattore comune potrebbe essere stato omesso nel modello a
fattori);
3. il terzo termine rappresenta la somma di tutte le covarianze fra il fattore F 1 e gli
errori; quindi per le ipotesi fatte (vedi Condizione (5.22)) e pari a 0; per esempio
per n = 2 questo significa:
2b1PE
[(F 1 − µF 1
) 2∑
i=1
aiεi
]=
= 2b1Pa1E
[(F 1 − µF 1
)ε1
]+ 2b1
Pa2E[(F 1 − µF 1
)ε2
]= 0.
Possiamo quindi concludere che l’Equazione (5.32) si riduce a:
σ2P =
(b1P
)2σ2F 1 + σ2
εP, (5.33)
dove
σ2εP
= Σni=1a
2iσ
2εi
(5.34)
e la media pesata delle varianza dei rumori delle diverse attivita in portafoglio.
L’Equazione (5.33) dovrebbe ricordare al lettore l’Equazione (4.22), che infatti descrive
la varianza di un portafoglio nel modello CAPM. L’unica differenza, ma fondamentale, e
che nell’Equazione (5.33) abbiamo il generico fattore F 1 e non il rendimento di mercato
rM .
128
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
L’Equazione (5.33) mostra intuitivamente come, se il modello ad un fattore e corret-
to, un portafoglio ben diversificato permette di mediare i factor risk delle singole attivita
(rappresentato dal termine (b1P )
2σ2F 1), ma, soprattutto, di diminuire il rischio idiosincrati-
co (rappresentato dal termine σ2εP
) quando la quota nel portafoglio di ogni singola attivita
diventa piu piccola (ossia quando ai diminuisce all’aumentare di n). Anche qui il lettore
dovrebbe trovare analogie con quanto discusso a proposito dell’Equazione (4.23) riferita
pero al modello CAPM.
Esempio 27 (Rendimento e varianza di un portafoglio)
Supponiamo di aver osservato 2 attivita per un certo periodo e di aver stimato tramite un
modello ad un fattore identificato con l’indice di mercato rM i loro b0i , b
1i e σ2
εi, che sono
riportati nella Tabella 5.6 e la loro covarianza nei rendimenti pari a 271. Il rendimento
Attivita b0i b1
i σ2εi
1 6 1.4 65
2 4 0.8 20
Tabella 5.6: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello ad un fattore
atteso dell’indice di mercato, ossia µM , nel periodo e stato pari a 12.5% e la sua varianza,
ossia σ2M , pari a 222.01. Con i dati a nostra disposizione possiamo calcolare il rendimento
atteso per ciascuna delle due attivita, ossia:
µ1 = 6 + 1.4 ∗ 12.5 = 23.5;
µ2 = 4 + 0.8 ∗ 12.5 = 14,
la loro varianza:
σ21 =
[(1.4)2 ∗ 222.01 + 65
]= 500.14
σ22 =
[(0.8)2 ∗ 222.01 + 20
]= 162.09
ed, infine, la loro covarianza:
σ12 = 1.4 ∗ 0.8 ∗ 222.01 = 248.65. (5.35)
La covarianza calcolata via stima del modello ad un fattore e quindi inferiore a quella
stimata direttamente dalle osservazioni, che e pari a 271; cio segnala che i rumori delle
129
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
due attivita presentano una covarianza non nulla, pari a:
E[ε1ε2] = 271− 248.65 = 22.35. (5.36)
come suggerito dall’Equazione (5.28).
Supponiamo ora di formare un portafoglio con quote paritetiche delle due attivita,
ossia a1 = a2 = 0.5.Il rendimento atteso del portafoglio e calcolabile tramite l’Equazione
(5.31), ossia:
µP = (0.5 ∗ 6 + 0.5 ∗ 4) + (0.5 ∗ 1.4 + 0.5 ∗ 0.8) ∗ 12.5 = 18.7, (5.37)
mentre la varianza tramite l’Equazione (5.33):
σ2P = (0.5 ∗ 1.4 + 0.5 ∗ 0.8)2 ∗ 222.01 + 0.52 ∗ 65 + 0.52 ∗ 20 = 289.88. (5.38)
Poiche la covarianza fra gli errori e pari 22.35 (vedi Equazione (5.36)) e non nulla come
ipotizzato nel ricavare l’Equazione (5.33), una stima piu accurata della varianza del por-
tafoglio P che include anche tale covarianza e pari da 289.88 + 2 ∗ (0.5) ∗ (0.5) ∗ 22.35 =
301.06.
II.B Il modello multifattoriale
In generale, il rendimento di un’attivita puo non dipendere da un unico fattore. L’e-
stensione del modello a fattori al caso di piu di un fattore risulta immediata. In particolare,
il modello a Q fattori assume la seguente forma:
ri = b0i + b1
iF1 + b2
iF2 + ...+ bQi F
Q + εi = b0i + ΣQ
q=1bqiF
q + εi, per j = 1, ..., n, (5.39)
dove εi e assunto possedere le stesse proprieta del caso del modello ad un fattore, ossia
valore atteso nullo (E [εi] = 0), varianza costante (E [ε2i ] = σ2
εi) e correlazione nulla con
qualsiasi fattore (E [F qεi] = 0 per ogni q).
In aggiunta, si assume che i fattori siano tra loro indipendenti, ossia che la loro co-
varianza sia nulla (σF qF z = E [(F q − µF q) (F z − µF z)] = 0 per z, q = 1, ..., Q e z 6= q).
Questa ipotesi e abbastanza innocua dal punto dell’analisi teorica, nel senso che presi due
fattori con covarianza non nulla, e sempre possibile ricavare due fattori la cui covarian-
za sia nulla.11 Di fatto l’assunzione e fatta soprattutto al fine di semplificare il calcolo
della varianza del rendimento (vedi Equazione (5.41)) e della stima del modello. Dal
punto di vista della stima empirica invece puo creare notevoli problemi di interpretazione
11Tecnicamente si parla di ortogonalizzare i fattori, vedi Elton e al. (2003), Cap. 8.
130
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
economica del risultato, inducendo un’incertezza sul vero impatto dei singoli fattori sul
rendimento del titolo (tipico in presenza della cosiddetta collinearita fra regressori nelle
regressioni multivariate).
Il Modello (5.39) rappresentare il caso in cui, ad esempio, il rendimento di un’attivita,
oltre che a dipendere dall’andamento generale del mercato e quindi da rM , dipende anche
dall’andamento medio di alcuni settori industriali. Calcolati tutta una serie di rendimenti
medi riferiti ai piu significativi settori industriali, potremo verificare che tali rendimenti
spieghino una parte dei rendimenti osservati sulla base che un’impresa possa dipendere
dall’andamento di piu settori; esempio un’impresa bancaria potrebbe dipendere sia dal-
l’andamento del settore bancario, ma anche da quello del settore assicurativo, etc.. In
effetti, cosı facendo corriamo il rischio di inserire troppi fattori nel modello (ossia il nu-
mero dei settori industriali che considero nell’analisi), i quali si tolgono l’uno con l’altro
potenza esplicativa a causa della loro probabile alta correlazione (violando cosı anche le
ipotesi del modello teorico). Altra opzione, che e anche la piu utilizzata nella pratica, e di
considerare per ogni attivita il rendimento medio del particolare settore a cui appartiene,
riducendo quindi il modello a solo due fattori. In altre parole e come se assumessi pari
a zero tutti i bqi riferiti ai diversi settori, ad eccezione di quello riferito al settore a cui
appartiene l’attivita i.
Esiste anche un altro approccio all’individuazione dei fattori, che fa riferimento ad
una tecnica statistica chiamata analisi delle componenti principali (principal component
analysis) che alla sua base ha ben poco di teoria economica. Senza addentrarci troppo
nell’argomento (si rimandano i lettori interessati ad Elton e al. (2003)), l’intuizione alla
base di questo approccio e come sia possibile, dato un insieme di attivita e i loro relativi
rendimenti, individuare alcune componenti che possano spiegare la varianza che si osserva
fra questi rendimenti. Queste componenti si caratterizzano per la capacita di spiegazione
della varianza complessiva e sono ordinate in tal senso in ordine di importanza. Quindi,
ad esempio, la prima componente potrebbe spiegare il 30%, la seconda il 20%, la terza
il 5% ecc.. Si useranno poi queste componenti (o quelle che spiegano almeno una parte
significativa della varianza dei rendimenti) nella stima del Modello (5.39). Un grosso
limite di tale approccio e che non ho nessuna indicazione a priori di quante componenti
considerare e, soprattutto, del significato economico delle diverse componenti. E’ tuttavia
un utile termine di raffronto.
Il rendimento atteso dell’attivita i calcolato dal Modello (5.39) e pari da:
µi = b0i + b1
iµF 1 + ...+ bQi µFQ = b0i +
Q∑
q=1
bqiµF q , per j = 1, ..., n, (5.40)
131
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
ossia il rendimento e pari ad una componente specifica dell’attivita i, b0i , piu una media
pesata dei valori attesi dei vari fattori,∑Q
q=1 bqiE [F q], dove i pesi sono i diversi fattori di
carico bqi .
La varianza del rendimento ri e pari a:
σ2i =
(b1i
)2σ2F 1 + ...+
(bQi
)2
σ2FQ + σ2
εi=
Q∑
q=1
(bqi )2 σ2
F q + σ2εi. (5.41)
La varianza del rendimento e quindi data dalla somma pesata delle varianze dei singoli
fattori (i pesi sono i bqi presi al quadrato), a cui si aggiunge la componente di rischio non
sistematico σ2εi
.
Nel caso l’ipotesi di covarianza nulla fra fattori (ossia σF qF z = 0 per z, q = 1, ..., Q e
z 6= q) non fosse verificata (cosa molto comune nella pratica) allora nell’Equazione (5.41)
andrebbero aggiunte (due volte) le covarianze non nulle pesate per i rispettivi fattori di
carico (ossi 2bqi bziσF qF z = 0).
Esempio 28 (Modello a due fattori)
Supponiamo di considerare un modello a due fattori come spiegazione dell’attivita i, dove
il primo fattore e sempre il rendimento dell’indice di mercato rM , mentre il secondo fattore
e il rendimento medio del settore a cui appartiene l’attivita j, denominato rI . La Tabella
5.7 riporta il rendimento dell’attivita i, dell’indice di mercato rM , del rendimento medio
del settore rI , ed, infine, i residui calcolati sulla base della stima del Modello (5.42) a due
fattori.
Mese ri rM rI εi1 10 4 10 0.62 3 2 8 03 15 8 11 -0.34 9 6 9 05 3 0 9 - 0.3
Tabella 5.7: Tabella dei rendimenti di due attivita per un modello a due fattori
La stima del modello a due fattori sulla base dei dati in Tabella 5.7 e la seguente:
ri = −16.7 + 0.94rM + 2.22rI + εi, (5.42)
da cui osserviamo come il rendimento dell’attivita i sia fortemente legato al rendimento
medio del settore (2.2 e infatti il coefficiente di impatto) e come questo faccia diminuire
l’impatto dell’indice di mercato (che passa da 1.5 a 0.9, vedi Equazione (5.26)).
132
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
Il rendimento atteso dell’attivita i calcolato sulla base della stima (5.42) e pari a (vedi
Equazione (5.40)):
µi = b0i + b1
iµM + b2iµI = −16.7 + 0.94 ∗ 4 + 2.22 ∗ 9.4 = 8
che e esattamente pari alla media del rendimento osservato dell’attivita i.
La varianza calcolata sempre sulla base della stima (5.42) e pari a:
σ2i = 0.942 ∗ 10 + 2.222 ∗ 1.3 + 0.135 = 15.51,
che non e molto vicina alla varianza osservata dell’attivita i pari a 26. La differenza tra
quanto stimato e quanto osservato e dovuta alla forte correlazione fra i due fattori pari
2.5, che invece e assunta pari a zero nel ricavare l’Equazione (5.41). Correggendo per
tale correlazione, ossia aggiungendo 2 ∗ 0.94 ∗ 2.22 ∗ 2.5 = 10.49 alla varianza calcolata,
otteniamo esattamente 26, la varianza osservata.
Rendimento e varianza di portafoglio nel modello multifattoriale
Sempre considerando un generico portafoglio P composto da n attivita, avremo che il
rendimento del portafoglio e pari da:
rP =n∑
i=1
aib0P+
n∑
i=1
aib1iF
1+n∑
i=1
aib2iF
2+...+n∑
i=1
aibQi F
Q+n∑
i=1
aiεi = b0P+
Q∑
q=1
bqPFq+
n∑
i=1
aiεi,
(5.43)
dove
b0P =
n∑
i=1
aib0i
e
bqP =n∑
i=1
aibqi
per q = 1, ..., Q.
Si puo osservare che rispetto al caso di modello ad un fattore (vedi Equazione (5.30))
non vi siano sostanziali novita se non l’aggiunta dei termini relativi ai fattori aggiuntivi
F 2, ..., FQ.
Dall’Equazione (5.43) seguendo lo stesso ragionamento fatto per il modello ad un
fattore, con l’aggiunta che qui anche i Q fattori sono assunti avere covarianza zero fra
133
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
loro, e possibile calcolare per il portafoglio P sia il suo rendimento atteso, pari a:
µP = b0P + b1
PµF 1 + b2PµF 2 + ...+ bQPµFQ = b0
P +
Q∑
q=1
bqPµF q , (5.44)
che la sua varianza, pari a:
σ2P =
(b1P
)2σ2F 1 +
(b2P
)2σ2F 2 + ...+
(bQP
)2
σ2FQ + σ2
εP=
Q∑
q=1
(bqP )2 σ2F q + σ2
εP, (5.45)
dove σ2εP
e definito come nell’Equazione (5.34).
Confrontando l’Equazione (5.44) con l’Equazione (5.45) possiamo osservare come por-
tafogli con rendimenti piu alti dovrebbero mostrare anche una piu alta varianza degli
stessi; infatti una scelta di portafoglio che privilegi alti valori di bqP portera sia ad un
maggiore µP , ma anche ad un piu alto σ2P .
Esempio 29 (Modello a due fattori (continua))
Riprendendo i dati dell’esercizio precedente per un modello a due fattori, supponiamo ora
che esista un’altra attivita j, il cui rendimento rj e riportato nella Tabella 5.8, insieme
con i residui εi calcolati sulla base della stima del Modello (5.46) (stima sempre basata
sui dati riportati in tabella).
rj = −14.47− 0.69rM + 2.56rI + εj, (5.46)
Mese ri rM rI εi rj εj1 10 4 10 0.6 8 -0.42 3 2 8 0 6 1.43 15 8 11 -0.3 9 0.94 9 6 9 0 3 -1.45 3 0 9 -0.3 8 -0.5
Tabella 5.8: Tabella dei rendimenti di un’attivita per un modello a due fattori
Supponiamo adesso di formare un portafoglio con quote uguali delle due attivita, ossia
ai = aj = 0.5. Dall’Equazione (5.43) avremo allora che il rendimento atteso del portafoglio
134
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT II. Il modello a fattori
e pari a (i dati per l’attivita i sono presi dall’Equazione (5.42)):
µp = 0.5 ∗ (−16.7) + 0.5 ∗ (−14.47)︸ ︷︷ ︸b0P
+ [0.5 ∗ 0.94 + 0.5 ∗ (−0.69)]︸ ︷︷ ︸b1P
∗ 4︸︷︷︸µM
+
+ [0.5 ∗ 2.22 + 0.5 ∗ (2.56)]︸ ︷︷ ︸b2P
∗ 9.4︸︷︷︸µI
= 7.4; (5.47)
e facile verificare che questo e anche il rendimento medio del portafoglio del periodo
considerato.
Dall’Equazione (5.45) possiamo invece calcolare la varianza del portafoglio:
σ2P = [0.5 ∗ 0.94 + 0.5 ∗ (−0.69)]2︸ ︷︷ ︸
(b1P )2
∗ 10︸︷︷︸σ2M
+ [0.5 ∗ 2.22 + 0.5 ∗ (2.56)]2︸ ︷︷ ︸(b2P )
2
∗ 1.3︸︷︷︸σ2I
+
+ 0.52 ∗ 0.135 + 0.52 ∗ 1.285︸ ︷︷ ︸σ2εP
= 7.93. (5.48)
Notiamo che, se avessi tenuto il portafoglio P nei cinque mesi avrei avuto i seguenti
rendimenti mensili: 9.0, 4.5, 12.0, 6.0, 5.5, il che avrebbe implicato una varianza di por-
tafoglio pari a 9.43. La differenza come sappiamo e dovuta al fatto che i fattori hanno
covarianza non nulla (precisamente pari a 2.5, il che tende ad aumentare la varianza osser-
vata di portafoglio), cosı come i rumori (precisamente pari a -0.08, il che tende a diminuire
la varianza di portafoglio).
II.C Il punto debole del modello a fattori: quali fattori considerare?
Un aspetto cruciale del modello a fattori, che rappresenta la sua maggiore debolezza,
e l’individuazione dei fattori rilevanti per la spiegazione dei rendimenti. Questa indivi-
duazione e demandata alla ricerca empirica, che non risulta facile data l’alta correlazione
fra i molti fattori potenzialmente rilevanti nella spiegazione dei rendimenti delle attivita
finanziaria. Ad esempio tasso di crescita del PIL e tasso di disoccupazione possono esse-
re correlati con l’andamento dei rendimenti e quindi potrebbero essere identificati come
due fattori. Ma la relazione fra il tasso di disoccupazione e i rendimenti potrebbe essere
dovuta all’effetto che il tasso di crescita del PIL ha su entrambe le variabili e non ad
una loro relazione statistica effettiva. In econometria questo fenomeno prende il nome di
correlazione spuria.
Elton e al. (2003), concentrandosi sui soli fattori macroeconomici come potenziali
fattori esplicativi, concludono che le seguenti variabili svolgono un ruolo chiave nella
spiegazione dei rendimenti delle azioni del mercato statunitense (vedi Elton e al. (2003)):
135
II. Il modello a fattori 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
1. differenza tra rendimento dei titoli di stato a lungo termine e titoli di stato a 30
giorni;
2. il tasso atteso di inflazione;
3. il rendimento di mercato;
4. la variazione nei tassi di interesse dei buoni del tesoro;
5. la variazione del valore del dollaro rispetto a un paniere di valute;
6. la variazione attesa del tasso di crescita del PIL reale e
7. la variazione attesa del tasso di inflazione.
Altri autori si concentrano piu su fattori microeconomici. In un famoso articolo del
1993 Eugene Fama e Kenneth French individuano nelle seguenti variabili i fattori chiave
per spiegare i rendimenti azionari statunitensi:12
1. il premio per il rischio di mercato, ossia il rendimento di mercato meno il tasso
dell’attivita priva di rischio;
2. il differenziale di rendimento tra le imprese di maggiori e minori dimensioni (in
termini di capitalizzazione di mercato) e
3. il differenziale di rendimento tra le imprese aventi valori alti e valori bassi dell’indice
book-to-market (ossia il rapporto tra valore di bilancio e valore di mercato delle
azioni).
Il primo fattore riprende il CAPM, mentre gli altri due sono suggeriti agli autori dalla
considerazione che: i) le imprese di minori dimensioni13; e ii) quelle che hanno un alto
rapporto tra valore di bilancio e valore di mercato delle azioni (in inglese book-to-market
ratio14) di norma mostrano rendimenti piu alti (e probabilmente anche una maggiore
volatilita).
E’ interessante notare che nei fattori e inserito di sovente il rendimento del mercato, il
che fornisce un’intuizione di come il modello a fattori possa, sotto particolari condizioni,
essere ricondotto al modello CAPM (discuteremo di questo nella Sezione III.E).
12Nello stesso articolo i due autori propongono un modello a cinque fattori per la spiegazione delmercato delle obbligazioni.
13Chiamate small caps in contrapposizione a quelle di maggiori dimensioni chiamate big caps.14Chiamate value stocks in contrapposizione a quelle con bassi book-to-market ratio, chiamate growth
stocks.
136
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
III Arbitrage Price Theory (APT)
In questa sezione mostreremo in primis come il Principio di Arbitraggio insieme al
modello a fattori possa essere usato per determinare una relazione di equilibrio fra il
rendimento atteso di un’attivita e i diversi fattori. Discuteremo poi come tale relazione
fornisce una misura alternativa del rischio delle attivita rispetto al CAPM.
III.A Derivazione dell’APT
Si consideri per semplicita che il rendimento delle n attivita possa essere espresso
tramite il seguente modello ad un fattore, ossia:
ri = b0i + b1
iF1 + εi, per i = 1, ..., n. (5.49)
La teoria dell’APT tende a dimostrare che i parametri b0i e b1
i devono essere collegati
fra loro nell’equilibrio di mercato dove vige il Principio di Arbitraggio.
Per dimostrarlo si consideri un generico portafoglio P , il cui rendimento totale e dato
da:
RTP =n∑
i=1
ripixi =n∑
i=1
b0i pixi + F 1
n∑
i=1
b1i pixi +
n∑
i=1
εipixi
Se nell’equilibrio deve valere il Principio di Arbitraggio deve tuttavia essere vero che
per tutti i portafogli tali che (vedi Condizione (5.19)):
n∑
i=1
pixi = 0 (5.50)
allora deve valere che (vedi Equazione (5.20)):
n∑
i=1
rkipixi = 0 per ogni stato k = 1, ...,m (5.51)
Supponiamo quindi che il nostro portafoglio P soddisfi la Condizione (5.20). Allora
nell’equilibrio il Principio di Arbitraggio richiede che RTP = 0, ossia:
n∑
i=1
b0i pixi + F 1
n∑
i=1
b1i pixi +
n∑
i=1
εipixi = 0. (5.52)
Tuttavia, poiche nell’equilibrio il portafoglio P comporta un investimento zero (vedi
Equazione (5.50)) e ha un rendimento nullo (vedi Equazione (5.52)), allora P non deve
comportare alcun rischio per l’investitore.
137
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
Questo si ottiene attraverso un’opportuna scelta di portafoglio, che renda zero sia∑ni=1 b
1i pixi, rendendo quindi ininfluenti le fluttuazioni di F 1, che
∑ni=1 εipixi. Quest’ul-
timo termine, in particolare, tendera ad andare a 0 al tendere di n all’infinito (abbiamo
discusso questa cosa piu volte a riguardo del rischio idiosincratico, vedi ad esempio la
Sezione IV) e quindi questa condizione varra sempre in termini approssimati, ossia piu
correttamente avremo∑n
i=1 εipixi ≈ 0.
Ma se∑n
i=1 b1i pixi = 0 e
∑ni=1 εipixi ≈ 0 allora dall’Equazione (5.52) abbiamo che
deve valere che:n∑
i=1
b0i pixi = 0 (5.53)
Una condizione sufficiente perche cio accada e che:
b0i = λ0 + θb1
i , (5.54)
ossia che i parametri b0i e b1
i abbiamo una relazione lineare (λ0 e θ sono due parametri che
possono assumere qualsiasi valore). Infatti:
n∑
i=1
b0i pixi =
n∑
i=1
(λ0 + θb1
i
)pixi =
n∑
i=1
λ0pixi +n∑
i=1
θb1i pixi = λ0
n∑
i=1
pixi + θn∑
i=1
b1i pixi = 0.
(5.55)
Se sostituiamo la Relazione (5.54) nel Modello (5.49) abbiamo che:
ri = λ0 + θb1i + b1
iF1 + εi, per i = 1, ..., n, (5.56)
ossia:
ri = λ0 +(θ + F 1
)b1i + εi, per i = 1, ..., n. (5.57)
Il tasso di rendimento atteso di ri e quindi pari a:
µi = λ0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n, (5.58)
dove:
λ1 = θ + µF 1 . (5.59)
L’Equazione (5.58) afferma che, se il modello ad un fattore e corretto, in equilibrio i
rendimenti attesi di tutte le attivita differiscono fra loro in proporzione alla differenze
fra i loro factor loading, ossia i b1i e niente altro. Infatti dall’Equazione (5.58) prese due
attivita i e j abbiamo che:
µi − µj = λ1(b1i − b1
j
). (5.60)
138
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
In altre parole, maggiore e b1i maggiore sara il rendimento relativo dell’attivita i in equili-
brio; dall’Equazione (5.57) sappiamo tuttavia che anche la varianza del rendimento sara
maggiore.
Il modello APT con un attivita priva di rischio
Dato che l’attivita priva di rischio per definizione non presenta alcuna stocasticita nel
suo rendimento, deve valere che b10 = 0; dall’Equazione (5.58) avremo che:
r0 = λ0, (5.61)
il quale sostituito nell’Equazione (5.58) porta a:
µi = r0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n. (5.62)
Questa rappresenta l’Equazione della APT market line o linea di mercato dell’APT nel
caso di un fattore in un economia con un’attivita priva di rischio.
Ripetendo lo stesso ragionamento, ma partendo con un modello a Q fattori, avremo
che il rendimento atteso della generica attivita i e dato da:
µi = r0 + λ1b1i + λ2b2
i ...+ λQbQi , per i = 1, ..., n, (5.63)
dove λq = θ+µF q per q = 1, ..., Q; l’Equazione ( 5.63) rappresenta l’APT market line nel
caso multifattoriale in presenza di un’attivita priva di rischio.
Esempio 30 (Il modello APT con due attivita)
Si consideri di nuovo la Tabella 5.5, da cui, come gia sappiamo, e possibile stimare i due
seguenti modelli ad un fattore per le attivita i e j
ri = 2.0 + 1.5rM + εi;
rj = 2.4 + 0.8rM + εj.
Sappiamo inoltre che µi = 8 e µj = 5.6. Allora se il modello APT e giusto, ossia se vige
il Principio di Arbitraggio, deve valere che (vedi Equazione (5.58)):
8 = λ0 + λ11.5;
5.6 = λ0 + λ10.8;
139
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
da cui e possibile calcolare (sottraendo membro a membro):
λ1 =8− 5.6
1.5− 0.8= 3.43
e
λ0 = 8− λ11.5 = 2.86.
Abbiamo quindi che per la generica attivita i deve valere che:
µi = 2.86 + 3.43b1i . (5.64)
Se quindi tramite la stima del modello ad un fattore per un’attivita z otteniamo che
b1i = 2, allora il rendimento atteso in equilibrio di questa attivita (se il modello APT e
corretto) e pari a:
µi = 2.86 + 3.43 ∗ 2 = 9.72.
III.B I prezzi di equilibrio nell’APT
La teoria APT fornisce, come il CAPM, una teoria dei prezzi correnti condizionata
alle aspettative sui prezzi futuri delle attivita. Infatti, ricordando che:
µi =E [vi]− pi
pi=E [vi]
pi− 1,
ossia:
pi =E [vi]
1 + µi,
sostituendo dall’Equazione (5.63) abbiamo che:
pi =E [vi]
1 + r0 + λ1b1i + ...+ λQbQi
. (5.65)
L’Equazione (5.65) e molto simile a quella che abbiamo gia discusso per il CAPM
(vedi Equazione (4.18)); questa mostra come il prezzo di equilibrio sia pari al prezzo
futuro atteso dell’attivita opportunamente scontato per il tasso risk free 1 + r0, piu un
premio per il rischio che l’attivita comporta, misurato dalla somma λ1b1i + ...+ λQbQi .
Nella Figura 5.2 abbiamo riportato la relazione negativa fra il prezzo di equilibrio e
il parametro b1i sotto l’ipotesi che λ1 sia positivo. Al crescere di quest’ultimo, quindi,
aumenta sia il rendimento che la volatilita dell’attivita i (vedi Equazione (5.57)).
L’Equazione (5.65) fornisce anche l’intuizione del processo di aggiustamento dei prezzi
all’equilibrio. Se il valore del coefficiente di b1i e dato da b1
i e il prezzo corrente risulta infe-
140
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
b1i
pi
E[vi]1+r0
b1i
A
pi
pAi
BpBi
Figura 5.2: Prezzo di equilibrio nel modello APT
riore al prezzo previsto dall’Equazione (5.65) (ad esempio al prezzo pBi , a cui corrisponde
il punto B in Figura 5.2) cio significa che l’attivita i risulta sottovalutata (underpriced),
ovvero esistono delle opportunita di arbitraggio nel mercato; in particolare, conviene rial-
locare il proprio portafoglio a favore dell’attivita i. Ma facendo cio creiamo un eccesso
di domanda dell’attivita i, che spinge al rialzo il suo prezzo fino a che le opportunita di
arbitraggio scompaiono. Viceversa, se il prezzo corrente risulta superiore a pj (ad esempio
pari al prezzo pAi , a cui corrisponde il punto A in Figura 5.2), l’attivita i risulta sopra-
valutata (overpriced) e conviene riallocare il proprio portafoglio a sfavore di tale attivita.
Cio comportera una pressione verso il basso del prezzo, fino a raggiungere pi.
Shock e prezzi delle attivita
L’Equazione (5.65) fornisce anche un’intuizione di come shock di varia natura possano
influenzare il livello dei prezzi correnti delle attivita.
Se, ad esempio, per l’intervento della Banca Centrale che diminuisce il tasso di sconto
osserviamo una diminuzione del tasso di interesse dell’attivita priva di rischio (da r0 a r′0
in Figura 5.3), allora avremo un aumento del prezzo corrente di equilibrio dell’attivita i
(da pi a p′i in Figura 5.3).
Un altro possibile shock riguarda i valori attesi dei Q fattori. Abbiamo discusso in
precedenza come sia molto comune trovare nella pratica modelli a fattori in cui un fattore
rappresenta l’andamento medio del settore. Se il fattore 1 rappresenta, in effetti, un indice
dell’andamento medio del settore a cui appartiene l’attivita i e se tale andamento medio
subisce una repentina caduta, avremo che λ1 diminuisce (vedi Equazione (5.59)) e, quindi,
il prezzo corrente sale. Il risultato controintuitivo (rendimenti attesi in discesi, prezzi in
salita) e dovuto al fatto che il rendimento dell’attivita i deve diminuire per riportarlo in
141
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
b1i
pi
E[vi]1+r0
b1i
pi
E[vi]1+r′0
p′i
Figura 5.3: Prezzo di equilibrio nel modello APT: diminuzione del tasso dell’attivita privadi rischio
equilibrio rispetto al rendimento delle altre attivita; questo, con un prezzo atteso E [vi]
costante, puo essere raggiunto solo con un aumento del prezzo corrente. Il presente ragio-
namento mostra i limiti dell’Equazione (5.65) come una teoria dei prezzi delle attivita, che
si basa sull’invarianza dei prezzi attesi, anche quando questi ragionevolmente dovrebbero
cambiare in risposta a possibili shock.
Esempio 31 (I prezzi di equilibrio nell’APT)
Riprendendo l’esercizio precedente Si consideri il seguente modello APT:
µi = 2.86 + 3.43b1i ,
supponendo che il prezzo atteso dell’attivita i sia 10 (ossia E[vi] = 10) e che b1i = 2.
Allora abbiamo che il prezzo di equilibrio corrente e pari a:
pi =10
1 + (2.86 + 3.43 ∗ 2)/100= 9.11.
Notiamo che nei calcoli abbiamo riportato il tasso in percentuale dividendo lo stesso per
100 (nei precedenti esercizi questo era implicito). Il prezzo corrente dell’attivita e quindi
inferiore al prezzo atteso e questo per garantire a chi la detenga un rendimento pari a:
10− 9.11
9.11∗ 100 = 9.72.
Se supponiamo ora che il tasso di interesse privo di rischio aumenti a 3.5, allora abbiamo
142
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
che il prezzo dell’attivita dovrebbe diminuire a:
pi =10
1 + (3.5 + 3.43 ∗ 2)/100= 9.06.
III.C Premio per il rischio nell’APT
La teoria dell’APT fornisce anche una misura alternativa del premio di rischio relativo
all’attivita i rispetto al CAPM (vedi Equazione (4.13)). Infatti, osserviamo dall’Equazione
(5.63) che il rendimento in eccesso rispetto al rendimento dell’attivita priva di rischio e
pari a:
µi − r0 = λ1b1i + ...+ λQbQi , (5.66)
che mostra come siano i vari coefficienti(b1i , ..., b
Qi
)a determinare il suo premio per il
rischio rispetto alle altre attivita. Il confronto tra le Equazioni (5.66) e (4.13) suggerisce
che l’APT, aumentando i fattori di spiegazione del rendimento delle attivita (ossia consi-
derando piu fattori e non il solo indice di mercato), determini il premio per il rischio in
maniera piu completa.
La relazione fra il rendimento atteso di un’attivita e i diversi coefficienti(b1i , ..., b
Qi
)
prende il nome di linea di mercato dell’APT (APT market line). La Figura 5.4 riporta
una rappresentazione grafica di tale linea di mercato rispetto al fattore 1 sotto l’ipotesi
che λ1 > 0 (ossia il coefficiente λ1 e stimato essere positivo).
λ1
µi
b1i
A
B
µAi
µBi
b1Ai b1Bi
APT market line
Figura 5.4: Linea di mercato dell’APT (APT market line) relativa al fattore 1.
Se l’APT e corretta, limitando l’attenzione ad un modello ad un fattore, stimati per
ogni attivita i (µi, b1i ), dovremo osservare che nello spazio (µ, b1) tali coppie si dispongono
143
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
attorno alla APT market line (non proprio sopra perche il modello e stato ricavato come
un’approssimazione, vedi Sezione III.A), che ha intercetta r0 e inclinazione λ1.
Se, ad esempio, per l’attivita i stimiamo una combinazione(µAi , b
1Ai
)rappresentata
dal punto A nella Figura 5.4 potremo concludere che l’attivita i e sottovalutata ai prezzi
correnti, poiche il rendimento stimato e eccessivo rispetto a quello di equilibrio, ossia il
prezzo corrente e troppo basso (ricordiamo che il prezzo futuro atteso e dato). Quindi
potremo modificare il nostro portafoglio a favore di tale attivita. L’inverso accade se la
combinazione stimata e(µBi , b
1Bi
)rappresentata dal punto B in Figura 5.4. In tal caso
dovremo tendere a vendere l’attivita i.
La combinazione A, tuttavia, potrebbe anche essere una combinazione di equilibrio
sotto due ipotesi alternative. La piu semplice e banale e che l’APT non sia una teoria
corretta dei prezzi di equilibrio. La seconda ipotesi invece e piu sottile: la teoria dell’APT
e giusta, ma i fattori inclusi nella spiegazione dei rendimenti non sono quelli giusti, ovvero
ne ho trascurato qualcuno. Solo la ricerca empirica puo dare una risposta a quale delle
due ipotesi sia corretta (dato per scontato che i prezzi osservati siano di equilibrio). Nella
teoria del CAPM questa seconda ipotesi non era ammissibile, dato che il CAPM contempla
come unico fattore esplicativo dei rendimenti il rendimento di mercato.
Esempio 32 (La valutazione di un’attivita nell’APT)
Riprendendo l’esercizio precedente si consideri il seguente modello APT:
µi = 2.86 + 3.43b1i ;
Per b1i = 2 allora µi = 9.72, Se quindi il rendimento stimato dell’attivita i fosse di
12 allora l’attivita appare sottovalutata, mentre se il rendimento fosse 8, allora appare
sopravalutata.
III.D Il rendimento e la varianza di portafoglio nell’APT
Stabilite le caratteristiche dei rendimenti attesi di equilibrio per l’APT delle singole
attivita, passiamo a considerare il rendimento e la varianza di portafoglio. Scopriremo co-
me queste si possono facilmente ricavare dall’analisi che abbiamo gia svolto per il modello
a fattori.
Per semplicita iniziamo con il modello ad un fattore; il rendimento atteso dal modello
ad un fattore e pari a (vedi Equazione (5.24)):
µi = b0i + b1
iµF 1 , (5.67)
144
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
mentre l’APT afferma che in equilibrio sia pari a (vedi Equazione (5.62)):
µi = r0 + λ1b1i , per i = 1, ..., n, (5.68)
Da cio deriva che (sottraendo membro a membro):
b0i = r0 + b1
i
(λ1 − µF 1
)= r0 + b1
i θ, (5.69)
dato che λ1 = θ + µF 1 (vedi Equazione (5.59)).
Sostituendo il tutto nell’Equazione (5.21) di ri ottengo che:
ri = r0 + θb1i + b1
iF1 + εi, (5.70)
che rappresenta il rendimento osservato di i se l’APT fosse corretta.
E’ immediato seguendo la stessa procedura ricavare il rendimento osservato dell’atti-
vita i nel caso di Q fattori:
ri = r0 + θ
Q∑
q=1
bqi +
Q∑
q=1
bqiFq + εi. (5.71)
Preso quindi un generico portafoglio P ed indicati con (a1, ..., an) le quote delle n
attivita detenute nel portafoglio abbiamo che il rendimento osservato del portafoglio e
dato da:
rP =n∑
i=1
airi = r0 + θ
Q∑
q=1
bqP +
Q∑
q=1
bqPFq +
n∑
i=1
aiεi, (5.72)
dove:
bqP =n∑
i=1
aibqi .
Il coefficiente bqP puo essere interpretato come la misura dell’impatto del fattore q sul
rendimento atteso e rischio del portafoglio P .
La somiglianza fra le Equazioni (5.43) e (5.72) e evidente (sono uguali ponendo bP0 =
r0 + θ∑Q
q=1 bqP ), cosı che rimandiamo alla Sezione II.B per i dettagli e le precisazioni di
come si possa calcolare il rendimento atteso di portafoglio nel modello APT, pari a:
µP = r0 + θ
Q∑
q=1
bqP +
Q∑
q=1
bqPµF q , (5.73)
145
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
e della varianza:
σ2P =
Q∑
q=1
(bqP )2 σ2F q + σ2
εP, (5.74)
dove σ2εP
e definito come nell’Equazione (5.34).
Il coefficiente bqP determina il contributo del fattore q al rischio del portafoglio P ed,
infatti, ne determina il premio per il rischio ed anche la varianza.
L’Equazione (5.74) mostra come la varianza del portafoglio P possa essere divisa
in due componenti come nelle analisi fatte per il CAPM: la prima componente, ossia∑Qq=1 (bqP )2 σ2
F q , dipende dal rischio sistematico causato dalle fluttuazioni nei diversi fat-
tori; la seconda componente, ossia σ2εP
, dal rischio idiosincratico delle singole attivita, che
tende a diminuire all’aumentare del numero delle attivita in portafoglio e del loro peso
relativo (la logica di diversificazione del rischio e la stessa di quella esposta per il modello
CAPM nella Sezione IV).
Esempio 33 (Media e varianza di portafoglio per l’APT)
Riprendendo i dati dell’Esercizio 30 avevamo che:
ri = 2.0 + 1.5rM + εi;
rj = 2.4 + 0.8rM + εj,
il che implica che b1i = 1.5 e b1
j = 0.8, mentre θ e r0 sono determinati dal sistema:
r0 + 1.5θ = 2;
r0 + 0.8θ = 2.4,
che impone che le intercette di entrambe le equazioni dei rendimenti soddisfino il modello
APT (vedi Equazione (5.70)). Possiamo quindi calcolare r0 = 2.86 (che e infatti pari a λ0
trovato nell’Esercizio 30) e θ = −0.57.
Dalla Tabella 5.5 sappiamo infine che µM = 4 e σ2M = 10, mentre dalle analisi di
regressione sappiamo che σ2εi
= 3.5 e σ2εj
= 1.9.
Supponiamo ora di voler calcolare il rendimento atteso e la varianza di un portafoglio
le cui quote dell’attivita i e j, ai e aj, siano pari a 0.5 e 0.5.
Applicando l’Equazione (5.73) per il caso di un solo fattore (Q = 1) dato dal rendi-
mento di mercato rM abbiamo che:
µP = 2.86︸︷︷︸r0
−0.57︸ ︷︷ ︸θ
∗ (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)︸ ︷︷ ︸b1P
+ (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)︸ ︷︷ ︸b1P
∗ 4︸︷︷︸µM
= 6.8,
146
5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT III. APT
mentre la varianza calcolata tramite l’Equazione (5.74) e pari a:
σ2P = (0.5 ∗ 1.5 + 0.5 ∗ 0.8)2
︸ ︷︷ ︸(b1P )
2
∗ 10︸︷︷︸σ2rM
+ 0.52︸︷︷︸a2i
∗ 3.5︸︷︷︸σ2εi
+ 0.52︸︷︷︸a2j
∗ 1.9︸︷︷︸σ2εj
= 14.58
Un indice sintetico del rischio del portafoglio P e dato da b1P = 0.5∗1.5+0.5∗0.8 = 1.15,
che non e altro che una media ponderata degli indici di rischio delle singole attivita.
III.E La relazione fra CAPM e APT
Per concludere la trattazione dell’APT e interessante mostrare come il CAPM possa
essere visto come un caso particolare dell’APT, in particolare quando si consideri un
modello con un solo fattore e questo sia il rendimento di mercato al netto del rendimento
dell’attivita priva di rischio.
Infatti dalle Equazioni (5.62) e (5.59) abbiamo che il rendimento dell’attivita i in
equilibrio e data da:
µi = r0 + b1i
(θ + E
[F 1]). (5.75)
Assumendo che F 1 = rM − r0 (ricordiamo che rM denota il rendimento osservato di
mercato) e che θ = 0 (in generale θ puo assumere qualsiasi valore), abbiamo quindi che:
µi = r0 + b1i (µM − r0) , (5.76)
che corrisponde all’Equazione (4.12) del CAPM quando b1i = βi.
In questa prospettiva l’APT rappresenta una generalizzazione del CAPM e questo
spiega perche nelle analisi empiriche e capace di spiegare con piu accuratezza i rendimenti
osservati (vedi Capitolo 6). D’altronde, a tale maggiore generalizzazione corrisponde
un’indeterminatezza su quali fattori dovrebbero essere considerati nell’APT, mentre il
CAPM fornisce una ricetta chiara: solo il rendimento del portafoglio di mercato e rilevante
insieme al rendimento dell’attivita priva di rischio.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 4.
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;
Cap. 5.
147
III. APT 5. ARBITRAGGIO, MODELLO A FATTORI E L’APT
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002.
• Fama, E. e K. French (1993), Common Risk Factors in the Returns on Stocks and
Bonds, Journal of Financial Economics, 33, 3-56.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999.
148
Capitolo 6
Un’introduzione all’analisi empirica
dei mercati finanziari
In questo capitolo discuteremo come i modelli CAPM ed APT possano trovare una
conferma nei dati empirici. L’analisi sara svolta sui dati giornalieri della Borsa Italiana
dal 2001 al 2011 e per i recenti dati azionari statunitensi. Nell’analisi prima presenteremo
alcune statistiche descrittive dei mercati finanziari; successivamente verificheremo come il
modello di mercato, che non rappresenta altro che un modello a fattori con un solo fattore,
ossia il rendimento di mercato, sia in grado di rappresentare la dinamica dei corsi azionari
considerati. Passeremo poi alla verifica e stima del modello CAPM. Infine, discuteremo
come la teoria dell’APT si adatti ai dati azionari statunitensi.
L’analisi empirica che segue richiede una minima conoscenza di analisi di regressione
multivariata. Nella prossima sezione quindi forniremo una breve introduzione a questo
tipo di analisi, prima di intraprendere l’analisi empirica vera e propria.
I Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata
Si consideri di avere a disposizione l’osservazione di un’attivita finanziaria per T pe-
riodi, ad esempio il suo rendimento giornaliero; indicheremo con yt il dato osservato al
periodo t. Supponiamo poi di avere a disposizione anche osservazioni ripetute nel tem-
po di una variabile xt, che riteniamo possa spiegare l’andamento di y. Tecnicamente si
dice che abbiamo una serie temporale (time series) sia per y che per x e che riteniamo
yt la variabile da spiegare, od endogena, mentre x la variabile esplicativa, regressore, od
esogena.
Supponiamo inoltre che la relazione che lega y ed x sia di tipo lineare a meno di un
149
I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata 6. L’ANALISI EMPIRICA
disturbo stocastico, ossia:
yt = α + βxt + εt, (6.1)
dove α e β sono parametri (coefficienti) da stimare, mentre εt e una variabile stocastica che
e assunta avere media zero, ossia E[ε] = 0, varianza costante nel tempo, ossia E[ε2] = σ2ε ,
nessun autocorrelazione temporale, ossia E[εtεs] = 0 per t 6= s, e nessuna correlazione
con xt, ossia E[xtεt] = 0. In molti casi e conveniente assumere che ε sia distribuita
normalmente con media nulla, varianza σ2ε . In letteratura ε viene anche chiamato rumore,
o rumore bianco, per evidenziare come debba contenere solo informazioni non rilevanti o
che non possano essere ulteriormente sfruttate per migliorare la conoscenza (stima) della
relazione fra xt ed yt.
La precisione con cui si descrivono le proprieta di ε e giustificata dal loro ruolo cruciale
rispetto alla possibilita di avere stime affidabili di α e β. Infatti, mentre e del tutto
plausibile che il valore atteso di ε sia pari a zero (come vedremo e il metodo stesso di
stima che lo impone), ed e quasi innocuo che la varianza di ε sia costante (potremo anche
rilassare tale ipotesi, si parlera di eteroschedasticita del rumore), non e per nulla innocuo
che ε sia autocorrelato nel tempo (questa e chiaramente un’informazione rilevante ed e
molto volte verificata nei dati empirici) e che E[xtεt] 6= 0, ossia che nel rumore rimanga
dell’informazione utile, la quale potrebbe essere usata in qualche modo per migliorare le
stime (si parla in questo caso di endogeneita e di bias nelle stime dovuta alla presenza di
endogeneita).
I.A La stima via minimi quadrati ordinari (OLS)
Indicando con α e β la stima dei parametri α e β (vedremo subito sotto come possono
essere ottenuti), abbiamo che i dati calcolati dal Modello (6.1) sono dati da:
yt = α + βxt, (6.2)
mentre i residui di stima sono dati da:
εt = yt − yt. (6.3)
Il metodo piu usato per ottenere la stima di α e β fu proposto da Carl Friedrich Gauss
agli inizi del 1800 ed e denominato metodo dei Minimi Quadrati Ordinari (OLS, acronimo
di Ordinary Least Square). In sostanza si calcola la somma dei residui di stima presi al
150
6. L’ANALISI EMPIRICA I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata
quadrato, ossia:
S(α, β
)=
T∑
t=1
(yt − yt)2 =T∑
t=1
(yt − α− βxt
)2
, (6.4)
e la si minimizza rispetto ad α e β.
Come risultato standard abbiamo che:1
β =
∑Tt=1 (xt − x) (yt − y)
(xt − x)2 =σxyσ2x
(6.5)
e
α = y − βx, (6.6)
dove x e y sono le medie campionarie di x ed y, σxy la covarianza fra x ed y e σ2x la
varianza di x.
E’ immediato che tale procedura possa essere estesa anche al caso in cui il modello in-
cluda piu variabili esplicative (esogene); ad esempio nel modello seguente abbiamo incluso
altre due variabili esplicative z e q.
yt = α + βxt + γzt + θqt + εt. (6.7)
La stima diventa piu complicata, ma solo dal punto di vista del calcolo, dato che si
tratta sempre di minimizzare una somma di residui, ma questa volta rispetto a quattro
parametri e non due.
I.B Le proprieta della stima OLS
Oltre ad avere la stima dei coefficienti α e β potremo essere interessati a sapere quanto
il nostro modello riesce a catturare della variabilita di y, ossia quanto rimane di non
spiegato nella dinamica di y dopo aver tolto gli effetti stimati di x. Il coefficiente di
determinazione R2 fornisce una misura sintetica di questa cosiddetta bonta della stima
(goodness of fit) ed e definito come:
R2 = 1−∑T
t=1 (yt − yt)2
∑Tt=1 (yt − y)2
. (6.8)
Intuitivamente e una misura della varianza spiegata dal modello calcolato (numeratore)
rispetto alla varianza totale (denominatore) ed e costruito in modo da raggiungere 0
1Si veda ad esempio Wooldridge (2010), Introductory to Econometrics.
151
I. Un breve riassunto dell’analisi di regressione multivariata 6. L’ANALISI EMPIRICA
quando la stima non spiega nulla (la peggiore stima possibile) ed 1 quando si riesce a
spiegare tutto.
Tale misura di bonta della stima della stima tuttavia risente del numero di variabili
esplicative usate; al limite utilizzando tante variabili esplicative quanto sono le osservazioni
potrei avere un R2 pari ad 1; infatti, avrei tanti coefficienti quante osservazioni, ossia e
come se avessi tante equazioni (le mie osservazioni) tante quante sono i parametri da
stimare. In questo caso tecnicamente si dice che i gradi di liberta della stima sono pari
zero. In generale i gradi di liberta sono pari al numero delle osservazioni meno il numero dei
parametri da stimare; un alto livello di gradi di liberta significa che con pochi parametri,
e quindi poche variabili esplicative, ambisco a spiegare molte osservazioni (e viceversa).
In letteratura e quindi piu usuale utilizzare il cosiddetto R2 corretto indicato con R2,
ossia:
R2 = 1−(
T − 1
T − k − 1
)∑Tt=1 (yt − yt)2
∑Tt=1 (yt − y)2
, (6.9)
dove k e il numero dei parametri da stimare (2 per il Modello (6.1) e 4 per il Modello
(6.7)), che penalizza le stime in cui i gradi di liberta (pari a T − k) sono piu bassi (ossia
a parita di R2 valuto migliore la stima che utilizza meno variabili esplicative).
La ragione piu profonda dell’uso dell’R2 rispetto all’uso dell’R2 sta tuttavia nel fine
ultimo dell’analisi di regressione, che e la capacita di previsione del modello stimato (piu
tecnicamente si parla di out-of-sample prediction). Si puo dimostrare che la varianza di
previsione di un modello ha una relazione decrescente con i gradi di liberta del modello
stesso. In altre parole se impiego molte variabili per spiegare il rendimento di un titolo, a
parita di tutto l’accuratezza del modello nel prevedere il rendimento futuro del titolo sara
inferiore. Esiste quindi sempre un trade-off nell’includere variabili aggiuntive nel modello
di stima: da un lato aumento la spiegazione dei rendimenti osservati, dall’altro diminuisco
le capacita del modello di fornire previsioni accurate: R2 viene usato per orientarsi nella
scelte delle variabili alla luce di questo trade-off. Si parla a questo riguardo di selezione
del modello di stima (model selection).
E’ poi possibile avere anche un misura della significativita dei singoli coefficiente. Senza
entrare nei dettagli tecnici (rimandiamo sempre al Wooldrige (2010) i lettori interessati)
si puo dimostrare che date le stime dei coefficienti α, α, e β, β, queste sono distribuite
normalmente con varianza σ2α e σ2
β. Allora abbiamo che i rapporti:
α− ασα
eβ − βσβ
sono distribuiti come una t di Student con T −k gradi di liberta. E’ chiaro che e possibile
calcolare tali rapporti anche per eventuali altri coefficienti presenti nel modello.
152
6. L’ANALISI EMPIRICA II. Statistiche descrittive
Questo ci permette di effettuare test statistici di verifica d’ipotesi sui coefficienti sti-
mati. Molti programmi software effettuano automaticamente un test sulla significativita
statistica dei coefficienti basato sulla t di Student, ossia sul fatto che questi risultino
statisticamente differenti da zero. Il risultato di tale test non sara un si o no, ma una
probabilita; in genere si considerano soglie standard di significativita o 1% o 5%, il che
significa che esiste rispettivamente solo un 1% o 5% di probabilita che il coefficiente sia
pari a zero.
II Statistiche descrittive dell’andamento della Borsa Italiana
In questa sezione forniremo alcune statistiche descrittive dell’andamento dei rendimen-
ti giornalieri delle azioni quotate nella Borsa italiana di 237 imprese per il periodo che va
dal 06/09/2001 al 06/09/2011 per un totale di 618333 osservazioni e il tasso di variazione
giornaliero (rendimento) dell’indice di mercato FTSE calcolato dal 1/1/2003 (anno della
sua introduzione) al 06/09/2011.
−0.1
0−
0.0
50.0
00.0
50.1
0
Anno
Rendim
ento
gio
rnalie
ro F
TS
E
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Rendimento giornaliero dell’indice FTSE
Density
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
020
40
60
80
Figura 6.1: Il rendimento giornaliero della Borsa Italia. Pannello di sinistra: andamentotemporale del tasso di variazione dell’indice FTSE; pannello di destra: distribuzione diprobabilita del tasso di variazione dell’indice FTSE e distribuzione normale come terminedi paragone.
La Figura 6.1 mostra nel pannello di sinistra l’andamento temporale del tasso di
variazione dell’indice di mercato FTSE, mentre nel pannello di destra la sua distribuzione
153
II. Statistiche descrittive 6. L’ANALISI EMPIRICA
di probabilita. La media geometrica nel periodo dei tassi di variazione dell’indice FTSE
e pari a -0.000385: cio significa una perdita media annua dal 2003 al settembre 2011 pari
al 5%. La deviazione standard dei rendimenti giornalieri e pari a 0.01367, indicando la
presenza di una discreta volatilita. L’indice di skewness della distribuzione e pari a -0.29,
suggerendo una maggiore massa a sinistra della moda della distribuzione, mentre l’indice
di curtosi e pari a 10.609, che suggerisce la presenza di code ”spesse” in confronto ad
una ipotetica distribuzione normale dei tassi di variazione (in cui l’indice di curtosi lo
ricordiamo e pari a 3). Nella Figura 6.1 abbiamo riportato come termine di paragone
una distribuzione normale con media e deviazione standard pari a quelle osservate per
l’indice FTSE. Notiamo come effettivamente esistano agli estremi della distribuzione delle
osservazioni, ad esempio rendimenti minori del -5%, che sono di fatto quasi impossibili da
osservare in una distribuzione normale con quella media e varianza.
II.A La frontiera dei portafogli
Nel Capitolo 4 abbiamo discusso come sia possibile costruire la frontiera dei portafogli
efficienti senza e con un titolo privo di rischio partendo dal rendimento atteso, dalla
deviazione standard e dalla covarianza fra i rendimenti dei titoli.
Se teoricamente non esistono difficolta a considerare un numero molto ampio di titoli,
nella pratica la complessita dei calcoli numerici aumenta in maniera piu che proporzionale
rispetto al numero dei titoli considerati, il che e intuitivamente spiegato dal crescente
numero di covarianze che e necessario considerare nel Problema (3.11). Quindi nel seguito
ci limiteremo ad un’analisi su un campione limitato rispetto al totale delle azioni quotate
nella Borsa Italiana. Non entreremo inoltre nei dettagli di come si possa efficientemente
risolvere il Problema (3.11) quando il numero dei titoli e molto ampio; rimandiamo il
lettore a testi piu avanzati di scelte di portafoglio, come Elton et al. (2002). Limiteremo
anche il periodo temporale di analisi all’intervallo 03/01/2011-06/09/2011, di modo da
avere un campione completo dei rendimenti giornalieri delle azioni (prima di tale data per
alcune azioni presenti nel campione non esistono osservazioni) e consideriamo in prima
istanza le prime 20 azioni presenti del nostro campione (abbiamo ordinato le azioni in
ordine alfabetico).
154
6. L’ANALISI EMPIRICA II. Statistiche descrittive
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.0
08
−0.0
06
−0.0
04
−0.0
02
0.0
00
0.0
02
0.0
04
MV
| s
olv
eR
quadpro
g
Figura 6.2: Frontiera dei portafogli per un campione di 20 azioni della Borsa Italiana nel
periodo 03/01/2011-06/09/2011 (in nero la parte efficiente). Il pallino rosso rappresenta
il portafoglio di minimo rischio. Le linee tratteggiate in grigio rappresentano possibili
portafogli composti solo da due azioni. I diversi pallini colorati la combinazione rischio
rendimento delle singole azioni. Il pallino blu rappresenta il portafoglio di tangenza nel
caso l’attivita priva di rischio abbia rendimento zero, mentre la linea blu la frontiera dei
portafogli rischiosi con un titolo privo di rischio.
Nella Figura 6.2 i diversi pallini colorati rappresentano la combinazione rischio rendi-
mento delle 20 azioni considerate. La frontiera dei portafogli senza titolo privo di rischio
appare come previsto dalla teoria: una curva ad U, con la concavita che guarda a destra
invece che in alto (si veda la Figura 3.4). Abbiamo evidenziato in nero la parte di fron-
tiera efficiente, ossia quei portafogli che sono candidati ad essere scelti. Il pallino rosso
rappresenta il portafoglio con minor rischio (ossia il portafoglio PMR nella Figura 3.3).
Abbiamo anche riportato tramite le linee tratteggiate in grigio la frontiera di portafoglio
per portafogli composti solo da due azioni. Sotto l’ipotesi che esista un’attivita priva di
rischio a rendimento nullo (la moneta), ossia r0 = 0, abbiamo poi identificato il portafo-
glio di tangenza (indicato con PT nella Figura 3.5) con un pallino blu e la frontiera dei
portafogli efficienti con un’attivita priva di rischio con la linea blu.
Che cosa succede alla frontiera efficiente senza e con titolo priva di rischio all’aumentare
dei titoli considerati nelle mie scelte e mostrato in Figura 6.3, dove considero un campione
155
III. La stima del modello CAPM 6. L’ANALISI EMPIRICA
di 20, 100 e 160 titoli (160 titoli e il massimo numero considerato per motivi di numerici
nel calcolo).
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.0
08
−0.0
06
−0.0
04
−0.0
02
0.0
00
0.0
02
0.0
04
MV
| s
olv
eR
quadpro
gM
V | s
olv
eR
quadpro
gM
V | s
olv
eR
quadpro
g
Figura 6.3: Frontiera dei portafogli efficiente senza e con titolo privo di rischio per un
campione di 20, 100 e 160 azioni della Borsa Italiana nel periodo 03/01/2011-06/09/2011
(in nero la frontiera per 160 titoli, in verde quella per 100 ed in arancione quella per 20). I
pallini rosso, marrone e blue rappresentano il portafoglio di minimo rischio rispettivamente
per il campione con 160, 100 e 20 titoli.
Come era atteso la frontiera efficiente (sia senza che con titolo privo di rischio) si muove
verso l’alto, mentre il portafoglio di minimo rischio si muove verso sinistra, all’aumentare
del numero dei titoli considerati.
III La stima del modello CAPM
In primis osserviamo che secondo l’Equazione (4.12) il CAPM prevede che il rendi-
mento atteso dell’attivita i segua:
µi = r0 + βi (µM − r0) ;
156
6. L’ANALISI EMPIRICA III. La stima del modello CAPM
in questa forma, denominata ”ex-ante”, tuttavia la stima non e possibile dato che noi
non osserviamo ne il valore atteso del rendimento dell’attivita i, µi, ne il valore atteso del
rendimento del portafoglio di mercato µM .
E’ invece possibile stimare il CAPM nella sua versione ”ex-post”, ossia facendo riferi-
mento ai rendimenti osservati, come suggerito dall’Equazione (4.20):
rit = r0t + βi (rMt − r0t) + εit, (6.10)
dove rit e il rendimento osservato dell’azione i nel periodo t, r0t il rendimento dell’attivita
priva di rischio al periodo t, rMt il rendimento del portafoglio di mercato nel periodo t e
εit un rumore con media nulla e non correlato con rMt. In effetti puo essere conveniente
riesprimere l’Equazione (6.10) in termini di rendimenti in eccesso rispetto all’attivita priva
di rischio, ossia:
rit − r0t = βi (rMt − r0t) + εit; (6.11)
l’Equazione (6.11) rappresenta la base della stima del CAPM.
E’ infine da sottolineare che anche il rendimento del titolo privo di rischio r0 puo varia-
re nel tempo; questo puo succedere, ad esempio, se il rendimento reale del titolo privo di
rischio e costante nel tempo, ma il rendimento nominale, che e quello che utilizziamo nel-
l’analisi, riflette variazioni nel tasso di inflazione.2 Nella pratica empirica l’identificazione
di tale titolo ha sempre un margine di discrezionalita. Il titolo per eccellenza privo di
rischio e rappresentato dalla moneta, ma in pratica molte volte si fa riferimento al rendi-
mento di titoli pubblici a scadenza entro un anno. Nell’analisi successiva noi assumeremo
che il titolo privo di rischio sia rappresentato dai BOT, ed in particolare utilizzeremo un
indice composito basato sugli andamenti dei corsi dei BOT a diverse scadenze fornito
dalla Banca d’Italia
III.A La stime del CAPM per alcune azioni della Borsa Italiana
Consideriamo adesso l’andamento del rendimento dell’azione A2A (scelta perche prima
in ordine alfabetico nella lista delle aziende quotate).
La Figura 6.4 riporta l’andamento temporale e la distribuzione dei rendimenti nel
periodo 1/1/2003 - 06/09/2011 (lo stesso per cui e disponibile l’indice FTSE).
Il rendimento medio giornaliero di A2A e pari a -0.00002, mentre la deviazione stan-
dard dei rendimenti pari a 0.0169. La distribuzione dei rendimenti di A2A mostra un’evi-
dente asimmetria (l’indice di asimmetria e infatti pari a 0.33) ed eccesso di curtosi (l’indice
2Si tratta del cosiddetto effetto Fisher.
157
III. La stima del modello CAPM 6. L’ANALISI EMPIRICA
−0
.10
−0
.05
0.0
00
.05
0.1
0
Anno
Re
nd
ime
nto
gio
rna
liero
A2
A
2003 2005 2007 2009 2011
Rendimento giornaliero A2A
De
nsity
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
02
04
06
0
Figura 6.4: Il rendimento giornaliero di A2A. Pannello di sinistra: andamento temporaledel rendimento di A2A; pannello di destra: distribuzione di probabilita del rendimento diA2A e distribuzione normale come termine di paragone.
158
6. L’ANALISI EMPIRICA III. La stima del modello CAPM
di curtosi e pari a 9.73), unito a periodi in cui la volatilita del rendimento sembra molto
elevata (vedi in particolare il periodo di fine 2008 inizio 2099).
La stima del CAPM via Equazione (6.11) per A2A e riportata in Tabella 6.1.
Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)Intercetta 0.000 0.000 0.581 0.561
βi 0.727 0.021 34.318 0.0002263 gradi di liberta R2=0.342
Tabella 6.1: Stima del modello CAPM dell’Equazione (6.11) per A2A.
Nella stima abbiamo incluso anche una possibile intercetta per verificare se questa
possa fornire informazioni statisticamente rilevanti nella spiegazione del rendimento di
A2A (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio).
La Tabella 6.1 evidenzia come l’intercetta non sia statisticamente significativa, come
era da attendersi dall’Equazione (6.11), mentre e fortemente significativa il coefficiente
del rendimento (in eccesso rispetto al rendimento del titolo privo di rischio) dell’indice
FTSE. In particolare il beta stimato di A2A e pari a 0.727, il che indica secondo la
teoria del CAPM un basso grado di rischio (ricordiamo che il valore di 1 e il discrimine,
rappresentando il beta del portafoglio di mercato). Questo risultato era atteso dato che
A2A opera in un settore industriale (forniture di servizi di pubblica utilita come elettricita)
considerato relativamente ”sicuro” per la stabilita dei profitti che genera.
Il valore di R2 pari a 0.342 significa che la regressione riesce a spiegare circa il 34%
della varianza del rendimento di A2A.
La Figura 6.5 fornisce una rappresentazione grafica della stima dell’Equazione (6.11).
159
III. La stima del modello CAPM 6. L’ANALISI EMPIRICA
−0.10 −0.05 0.00 0.05 0.10
−0.1
5−
0.1
0−
0.0
50.0
00.0
50.1
00.1
5
Rendimento (in eccesso) dell’indice FTSE
Rendim
ento
(in
eccesso)
di A
2A
Figura 6.5: Rendimento giornaliero (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio) di A2A
contro il rendimento giornaliero (in eccesso rispetto al titolo privo di rischio) dell’indice
FTSE. La linea rossa rappresenta la retta di regressione stimata.
La linea rossa rappresenta la retta di regressione stimata, cosı che βi non e altro
che l’inclinazione di tale retta; le osservazioni appaiono disporsi in maniera abbastanza
evidente attorno alla retta di regressione, il che spiega l’alta significativita statistica della
stima di β.
Rischio di mercato e rischio idiosincratico
La Tabella 6.1 fornisce anche informazioni sul tipo di rischio che sopportiamo se de-
teniamo un’azione A2A. Infatti possiamo calcolare il rischio di mercato ed il rischio idio-
sincratico (o non di mercato) via Equazione (4.21). In particolare, abbiamo che il rischio
di mercato stimato e pari a:
β2i σ
2M = 0.00010 (6.12)
mentre il rischio idiosincratico stimato e pari a:
σ2εi
= 0.00019 (6.13)
da cui una varianza attesa del rendimento di A2A pari a 0.00029; quest’ultima e esatta-
mente pari alla varianza osservata nei dati come era da attendersi.
160
6. L’ANALISI EMPIRICA III. La stima del modello CAPM
III.B Linea del mercato delle attivita
La linea di mercato delle attivita (SML) rappresenta la relazione positiva attesa fra i
rendimenti e i loro beta, con l’ulteriore specificazione che il rendimento relativo ad un beta
pari a zero dovrebbe essere pari al rendimento del titolo privo di rischio (vedi l’Equazione
(4.12)). Questa previsione del CAPM puo essere sottoposta a verifica empirica e viene
considerato un test cruciale sulla capacita del CAPM di descrivere l’effettivo andamento
del mercato. In particolare, stimando il modello:
µi = γ0 + γ1βi + εi, (6.14)
dove µi e stimato dal rendimento medio dell’azione i nel periodo e βi deriva dalla stima
dell’Equazione (6.11) per l’azione i dovremo ottenere che (si comparino le Equazioni (4.12)
e (6.14)): γ0 non sia significativamente diverso da r0 (dove r0 e stimato come media del
rendimento del titolo privo di rischio nel periodo); e γ1 pari a µM − r0 (dove µM e stimato
dalla media del rendimento dell’indice FTSE).
La Tabella 6.2 riporta il risultato della stima, che risulta non supportare l’ipotesi che
il CAPM sia un buon modello per la spiegazione dei rendimenti di equilibrio, essendo
γ0 = −0.00027 6= r0 = 0.00009 (la differenza e anche statisticamente significativa) e
γ1 = 0.00024 6= µ− r0 = −0.00038 (la differenza e anche statisticamente significativa).
Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)γ0 -0.00027 0.00011 -2.50554 0.01290γ1 0.00024 0.00016 1.52904 0.12760
235 gradi di liberta R2=0.006
Tabella 6.2: Stima della linea di mercato delle attivita (SML)
Notiamo inoltre il basso R2, pari 0.006, indice del fatto la componente casuale sembra
essere preponderante nella relazione fra i rendimenti attesi e il beta di un titolo.
Nella Figura 6.6 riportiamo le combinazioni rendimenti attesi e beta stimati delle
diverse azioni, la stima del Modello (6.14) (in rosso) e come dovrebbe essere la SML dati
i valori osservati di r0 e µ− r0 (in verde).
E’ evidente la differenza fra quanto previsto dal CAPM e quanto osservato nella Borsa
Italiana.
III.C Stima del rischio di mercato e rischio idiosincratico per un portafoglio
La teoria del CAPM fornisce un chiara distinzione fra il rischio dovuti all’andamento
del mercato e il rischio dovuti a fattori idiosincratici nel detenere un certo portafoglio
161
III. La stima del modello CAPM 6. L’ANALISI EMPIRICA
0.0 0.5 1.0 1.5
−0.0
02
−0.0
01
0.0
00
0.0
01
0.0
02
Beta
Rendim
enti a
tteso
Figura 6.6: Combinazioni rendimenti attesi e beta stimati delle azioni quotate nella Borsaitaliana, stima del Modello (6.14) (in rosso) e come dovrebbe essere la SML dati i valoriosservati di r0 e µ− r0 (in verde)
(vedi Sezione IV).
Supponiamo quindi di detenere un portafoglio dei primi 4 titoli quotati alla Borsa
Italiana, quando ordinati in ordine alfabetico, in quote uguali (sono A2A, ACEA, ACE-
GAS.APS e ACOTEL.GROUP). Il rendimento medio giornaliero del periodo e pari a
0.00016, mentre la varianza del rendimento e pari a 0.00014.
Se utilizziamo la stima dei beta per ognuno dei quattro titoli abbiamo che βP = 0.593,
cosı che il rischio di mercato e pari a β2P σ
2M = 0.00007, mentre il rischio idiosincratico
e pari a σ2εi
= 0.00028, cosı che il rischio totale stimato e pari a 0.00035, che differisce
sostanzialmente da quanto stimato direttamente sui dati.
III.D Indici di performance basati sul CAPM
Sulla base dei dati a nostra disposizione possiamo poi calcolare vari indici di per-
formance sia dei singoli titoli che di portafogli, ossia l’indice di Sharpe, di Treynor e di
Jensen (vedi Sezione V). Nella Tabella 6.3 riportiamo l’indice di Sharpe, Treynor e Jensen
di A2A, ACEA, ACEGAS.APS e ACOTEL.GROUP.
L’indice di Sharpe permette di ordinare i titoli a seconda della loro vicinanza alla
frontiera dei portafogli, in particolare piu e elevato l’indice migliori sono le performance
162
6. L’ANALISI EMPIRICA IV. APT
A2A ACEA ACEGAS.APS ACOTEL.GROUPIndice di Sharpe -0.0065 0.01005 -0.00578 0.01262
Indice di Treynor -0.00015 0.00030 -0.00026 0.00042Indice di Jensen 0.00017 0.00039 0.00004 0.00058
Tabella 6.3: Indici di performance di Sharpe, Treynor e Jensen per A2A, ACEA,CEGAS.APS e ACOTEL.GROUP
del titolo. Tra i 4 titoli il migliore risulta ACOTEL.GROUP, con un indice pari a 0.01262.
L’indice di Treynor e da confrontarsi con il rendimento in eccesso dell’indice FTSE
rispetto al titolo privo di rischio, che nel nostro caso e pari in media a -0.00038. Abbiamo
quindi che tutti e quattro i titoli mostrano un rendimento anormalmente alto e quindi
meriterebbero di essere comprati, partendo da ACOTEL.GROUP che ha l’indice piu alto.
Infine, l’indice di Jensen e da confrontarsi con 0; quindi se positivo, come lo e per tutte
e quattro i titoli, significa che abbiamo un extra-rendimento e quindi i titoli in questione
dovrebbero essere acquistati, sempre partendo da ACOTEL.GROUP che ha l’indice piu
alto. Notiamo che indice di Jensen non e altro che la stima dell’intercetta nel Modello
(6.11).
IV APT
L’Equazione (5.63) che descrive i rendimenti di equilibrio nell’APT include come per
il CAPM il rendimento atteso dei titoli (µi) e il valore atteso dei fattori (µF q) che in
generale non sono osservabili. Tuttavia, dato che λq = θ + µF q per q = 1, ..., Q, la
seguente espressione:
rit = r0t + θ(b1i + b2
i + ...+ bQi
)+ b1
iF1t + b2
iF2t + ...+ bQi F
Qt + εit, (6.15)
corrisponde esattamente all’Equazione (5.63) una volta presa l’aspettativa del tasso di
rendimento del titolo i con l’ipotesi che E [εit] = 0. In sintesi abbiamo che il modello di
stima per l’APT e dato da:
rit − r0t = α + b1iF
1t + b2
iF2t + ...+ bQi F
Qt + εit, (6.16)
dove α = θ(b1i + b2
i + ...+ bQi
)e una costante da stimare, cosı come i parametri b1
i , ..., bQi .
163
IV. APT 6. L’ANALISI EMPIRICA
La stima del modello di Fama e French
La verifica empirica dell’APT e oggetto di continui contributi, in relazione soprattutto
alla scelta dei fattori da includere nell’analisi. Come abbiamo gia discusso nel Capitolo
III una parte della letteratura empirica si basa sull’analisi delle componenti principali,
che tuttavia richiederebbe una trattazione avanzata di statistica. Noi ci limiteremo qui
all’altra parte di letteratura che considera come possibili fattori variabili macroeconomiche
e microeconomiche. In particolare ci focalizzeremo sul contributo di Eugene Fama e
Kenneth French del 1993. Nel loro modello il rendimento di un titolo e spiegato oltre che
dal i) rendimento del portafoglio di mercato in eccesso rispetto al titolo privo di rischio,
ossia rM − r0, come nel CAPM, anche da altri due fattori, ossia dal: ii) rendimento in
eccesso dei titoli di imprese piccole rispetto ad imprese grandi (storicamente nel mercato
NYSE tale rendimento in eccesso e positivo) denominato SMB (small minus big market
capitalization); e iii) rendimento in eccesso di imprese con un alto rapporto valore di libro
(detto anche valore contabile)/valore di mercato (sempre storicamente, tale rendimento
in eccesso e positivo) denominato HML (high minus low book to market ratio). I dati
per il mercato NYSE dei tre fattori sono continuamente aggiornati e messi a disposizione
sul proprio sito da Kenneth French (http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/
ken.french/data_library.html). In particolare noi considereremo il periodo che va dal
05/01/1993 al 30/01/2009.
rM SMB HMLµ 0.03003 0.00174 0.01847σ2 1.37392 0.35127 0.37951
Tabella 6.4: Statistiche descrittive dei tre fattori (il rendimento medio giornaliero eespresso in %).
La Tabella 6.4 riporta alcune statistiche descrittive relative ai tre fattori considerati
nella stima dell’APT. Osserviamo come il rendimento medio giornaliero del mercato sia
positivo e pari a 0.03%. La media SMB ed HML e positiva come era attesa, con una netta
differenza tuttavia tra le due misure a favore di HML. Le covarianza fra i tre fattori sono
tutte negative e vanno da -0.06 fra SMB e HML a -0.23 fra rM e HML.
La Tabella 6.5 mostra la stima dell’Equazione (6.16) con F 1 identificato con µM − r0,
F 2 con SMB e F 3 con HML per Mattel, Ford e Alcoa.3 Per comparazione abbiamo anche
riportato la corrispondente stima CAPM. Osserviamo che per tutti e tre i titoli l’APT
spiega meglio il rendimento: l’R2 delle stime APT risulta sempre maggiore di quello delle
stime CAPM e i coefficienti b2 e b3 risultano tutti significativi almeno al 10%.
3Le serie possono essere scaricate da http://finance.yahoo.com/.
164
6. L’ANALISI EMPIRICA IV. APT
Alcoa Ford MattelCAPM APT CAPM APT CAPM APT
α -0.02606 -0.04177 -0.05415 -0.07392* -0.00670 -0.01116
b1 1.19866*** 1.32171*** 1.12980*** 1.28357*** 0.70849*** 0.75267***
b2 • -0.09407. • -0.15108* • 0.24607***
b3 • 0.75532*** • 0.95467*** • 0.18104**σ2εi
3.939 3.731 5.256 4.917 4.625 4.600R2 0.334 0.369 0.250 0.300 0.130 0.134Gradi di lib.ta 4010 4008 4010 4008 4010 4008
Tabella 6.5: Stima del modello APT di Fama e French per Mattel, Ford e Alcoa. Signi-ficativita statistica dei regressori (probabilita dell’ipotesi di coefficiente pari a zero): 0‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1.
Confrontando le stime dei coefficienti del CAPM e dell’APT osserviamo come il coef-
ficiente stimato relativo all’indice di mercato b1 e sempre maggiore nell’APT anche se la
differenza non e molto significativa. Il coefficiente per SMB appare negativo per Alcoa
e Ford, il che significa che sia il rendimento che il premio per il rischio sono per questi
due titoli inversamente collegati all’andamento del differenziale di rendimento fra imprese
piccole e grandi. Per tutte e tre i titoli invece HML sembra aumentare sia il rendimento
che il rischio dato il valore positivo del b3 stimato.
La stima del premio per il rischio nell’APT
La stima del premio per il rischio nel modello APT presuppone di conoscere λ1, λ2, ..., λQ
come evidenziato dall’Equazione (5.66). La stima di tali parametri si puo ottenere proprio
sfruttando la stessa Equazione (5.66) avendo a disposizione per un adeguato numero di
titoli le stime dei diversi bq e ipotizzando che una buona stima del rendimento atteso (in
eccesso rispetto al rendimento del titolo privo di rischio) di un titolo sia il suo rendimento
(in eccesso) medio storico.
Stimando i diversi bq per 20 aziende quotate al NYSE4 ed utilizzando tali stime insieme
al rendimento (in eccesso) medio di questi titoli otteniamo la stima di λ1, λ2 e λ3 riportato
in Tabella 6.6.
I due coefficienti stimati per il rendimento (in eccesso) del portafoglio di mercato (λ1) e
per HML (λ3) sono significativi al 5%, mentre il coefficiente stimato per SMB (λ2) ha una
significativita statistica molto bassa. Il fatto che HML sia significativo oltre il rendimento
4In particolare: WEIS MARKETS INC, UNISYS CP NEW, ORBITAL SCIENCES CP, Mattel, Inc.,ABAXIS, Inc., AT&T INC., EMERSON ELEC CO, Communications Systems Inc., Audiovox Corp.,ZOOM Technologies Inc., TIDEWATER INC, Rogers Corporation, Graco Inc., Panasonic Corporation,Genesco Inc., ENNIS, INC, FORD MOTOR CO, FANNIE MAE, NATIONWIDE HLTH PROP, ALCOAINC.
165
IV. APT 6. L’ANALISI EMPIRICA
Stima Dev. stan. Valore di t Pr(> |t|)λ1 -0.04516 0.01820 -2.48206 0.02381
λ2 0.01595 0.01753 0.90938 0.37586
λ3 0.05817 0.02780 2.09229 0.05173
Tabella 6.6: Stima della linea di mercato dell’APT con tre fattori: rendimento diportafoglio di mercato, SMB e HML.
del portafoglio di mercato e un’ulteriore prova che il CAPM trascura alcuni fattori che
invece possono fornire informazioni rilevanti.
Sulla base delle stime dei λ della Tabella 6.6 e delle stima dei bq in Tabella 6.5 possiamo
stimare il premio per il rischio dei tre titoli via Equazione (5.66), ottenendo rispettivamen-
te -0.01726, -0.00484 e -0.01954. La brusca caduta del rendimento dei titoli nel periodo
considerato sembra che abbia reso negativo il premio per il rischio per questi tre titoli
(anche il rendimento medio storico e negativo per i primi due titoli e solo per il terzo,
Mattel, e leggermente positivo)
Il rischio di portafoglio per l’APT
La teoria dell’APT, date le varianze dei singoli fattori, fornisce anche gli strumenti
per stimare il rischio di un portafoglio via Equazione (5.74) una volta calcolati i bqP e la
varianza del rumore di portafoglio. Queste ultime due informazioni ci vengono fornite
dalla stime dell’APT per ogni singolo titolo.
Supponiamo ad esempio di formare un portafoglio con quote eguali dei tre titoli Alcoa,
Ford e Mattel, cosı che a1 = a2 = a3 = 1/3. La Tabella 6.5 ci permette di calcolare
b1P =
∑3i=1 b
1i a1 = 1.1193, b2
P = 0.0003 e b3P = 0.6303, e quindi il rischio di mercato del
portafoglio pari a: (b1P
)2σ2F1
+(b2P
)2σ2F2
+(b3P
)2σ2F3
= 1.8721, (6.17)
dove abbiamo usato i dati della varianza dei tre fattori riportati nella Tabella 6.4. Dalla
Tabella 6.5 possiamo calcolare invece calcolare il rischio idiosincratico pari a:
σ2εP
=3∑
i=1
σ2εiai = 1.4719. (6.18)
Quindi seguendo l’Equazione (5.74) la varianza totale del rendimento di portafoglio sara
data dalla somma dei due rischi pari a 3.3441, non lontano dalla varianza osservata del
rendimento di portafoglio pari a 3.1140.
166
6. L’ANALISI EMPIRICA IV. APT
Letture di approfondimento
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005;
Cap. 5.
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002.
• Fama, E. e K. French (1993), Common Risk Factors in the Returns on Stocks and
Bonds, Journal of Financial Economics, 33, 3-56.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999.
• Wuertz, D., Chalabi, Y., Chen W. e Ellis A., Portfolio Optimization with R/Rmetrics,
Rmetrics eBook, Rmetrics Association and Finance Online, Zurich, 2009.
167
IV. APT 6. L’ANALISI EMPIRICA
168
Capitolo 7
Teoria del valore attuale netto
(NPV)
Nella letteratura finanziaria e molto comune incontrare l’affermazione che il prezzo
corrente di un’attivita riflette le sue entrate future (attese). In particolare, il prezzo di
un’attivita dovrebbe essere pari al suo valore attuale netto (in inglese Net Present Value,
NPV), che rappresenta la somma scontata al tempo presente di tutte le entrate monetarie
o flussi di cassa (cash flow) a cui ha diritto il detentore di tale attivita. Se pensiamo
ad un’azione, i dividendi e il prezzo futuro atteso di vendita possono rappresentare tali
flussi di cassa. Ma il concetto si applica altrettanto bene ad un immobile, che produce, ad
esempio se affittato, flussi di cassa grazie agli affitti e al ricavo da una possibile vendita
futura. L’aggettivo “netto” sta ad indicare che da tali flussi di cassa dovrebbero essere
tolte tutte le uscite monetarie derivanti dall’attivita in questione (ad esempio nel caso
degli immobili i costi di manutenzione degli immobili stessi).
Questa teoria della determinazione del prezzo corrente delle attivita e possibile vederla
come un’estensione della teoria dell’arbitraggio nel momento in cui consideriamo il prezzo
corrente di un’attivita come un prezzo di equilibrio. Per comprendere l’idea, in primis,
consideriamo il caso di un’attivita i cui flussi di cassa futuri siano certi, per poi estendere
l’analisi al caso in cui esiste incertezza.
I Il NPV di un’attivita senza incertezza
Nel caso in cui non vi sia incertezza relativa ai rendimenti dell’attivita i avremo che il
rendimento di tale attivita e definito come:
ri ≡vi − pipi
,
169
I. Il NPV di un’attivita senza incertezza 7. LA TEORIA DEL NPV
dove pi e il prezzo corrente e vi e la somma del suo prezzo nel periodo futuro e di eventuali
flussi di cassa aggiuntivi (ad esempio dividendi, cedola, affitto, ecc.).
In equilibrio ogni attivita deve avere lo stesso tasso di rendimento altrimenti ci sarebbe-
ro delle possibilita di arbitraggio (infatti, non essendoci rischio, il Principio di Arbitraggio
richiede l’uguaglianza del tasso di rendimento di ogni attivita in equilibrio). Quindi in
equilibrio secondo il Principio di Arbitraggio deve valere che:
ri = rj per ogni i, j = 1, ..., n. (7.1)
Supponiamo di indicare come di consueto con r0 il tasso di interesse dell’attivita priva
di rischio, allora deve valere che:
r0 = ri =vi − pipi
per j = 1, ..., n. (7.2)
Supponiamo ora di considerare un’azione, il cui il cui prezzo al tempo t e pari a pt
(trascuriamo di riportare l’indice i della variabile per comodita di notazione), che paghi
un certo dividendo dt+1 al periodo t+ 1 ed il cui prezzo nel periodo futuro sia indicato da
pt+1, ossia vt+1 = dt+1 + pt+1. Avremo quindi che il rendimento di questa azione e dato
da :dt+1 + pt+1 − pt
pt. (7.3)
Indicato con r0t il rendimento dell’attivita priva di rischio al tempo t, avremo che in
equilibrio il Principio di Arbitraggio richiede che:
r0t =dt+1 + pt+1 − pt
pt. (7.4)
Esempio 34 (Principio di Arbitraggio e prezzo corrente)
Supponiamo di osservare un’obbligazione a scadenza che dia diritto a riceve 100 euro co-
me rimborso e 5 euro come pagamenti (chiamata cedola) fra un anno, ed il cui prezzo
corrente e pari a 96. Nel mercato esistono inoltre obbligazioni con le stesse caratteristiche
(ossia senza rischio) che rendono il 5%. Il rendimento (atteso) dell’obbligazione e quindi
pari a (100+5-96)/96=0.094. L’eguaglianza (7.4) quindi non vale e cio significa che il
Principio di Arbitraggio non e rispettato. In particolare, essendo il rendimento dell’ob-
bligazione troppo elevato cio implica che il suo prezzo corrente e troppo basso e dovremo
aspettarci che aumenti fino al livello (100+5)/(1+0.05)=100 (abbiamo ricavato il prezzo
pt dall’Equazione (7.4), per cui vale Principio di Arbitraggio.
Esempio 35 (Principio di Arbitraggio e prezzo futuro)
Supponiamo di osservare un’obbligazione a scadenza che dia diritto a riceve 5 euro come
170
7. LA TEORIA DEL NPV I. Il NPV di un’attivita senza incertezza
pagamento fra un anno, ed il cui prezzo corrente e pari a 96. Nel mercato esistono inoltre
obbligazioni con le stesse caratteristiche (ossia senza rischio) che rendono il 5%. Se vale il
Principio di Arbitraggio espresso dall’Eguaglianza (7.4) allora il prezzo atteso dal mercato
dell’obbligazione nel periodo successivo e pari a (1+0.05)*96 - 5 = 95.8 (abbiamo ricavato
il prezzo pt+1 dall’Equazione (7.4)).
Similmente che al tempo t, la Condizione di non arbitraggio (7.4) deve valere anche
al tempo t+ j con j = 1, ..., T , ossia:
r0t+j =dt+1+j + pt+1+j − pt+j
pt+jper j = 0, ..., T,
da cui possiamo ricavare il prezzo dell’azione al tempo t+ i:
pt+j =dt+1+j + pt+1+j
1 + r0t+j
per j = 0, ..., T. (7.5)
L’Equazione (7.5) mostra come il prezzo dell’azione al tempo t+ sia una funzione dei
dividendi futuri dt+1+j, del prezzo futuro pt+1+j e del tasso di interesse dell’attivita priva
di rischio r0t+j.
Assumendo che il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio sia costante nel tempo,
ossia r0t = r0 ∀t, abbiamo che:
pt+j =dt+1+j + pt+1+j
1 + r0
per j = 0, ..., T,
e quindi sostituendo ricorsivamente per pt+1, pt+2, ...pt+T dall’Equazione (7.5) abbiamo
che:
pt =dt+1
1 + r0
+dt+2
(1 + r0)2 + ...+dt+T
(1 + r0)T+
pt+T
(1 + r0)T,
ossia
pt =T∑
j=1
dt+j
(1 + r0)j+
pt+T
(1 + r0)T.
Indicando per comodita con δt+j il tasso di sconto al periodo t+ j, ossia:1
δt+j =1
(1 + r0)j,
1Se r0t non fosse costante, allora nell’Equazione (7.7) il tasso di sconto sarebbe definito da:
δt+j =1
(1 + r0t) (1 + r0t+1) (...) (1 + r0t+j−1)=
1∏jq=1 (1 + r0t+q−1)
. (7.6)
171
I. Il NPV di un’attivita senza incertezza 7. LA TEORIA DEL NPV
abbiamo che il prezzo al tempo t dell’azione e dato da:
pt =T∑
j=1
δjdt+j + δTpt+T . (7.7)
L’Equazione (7.7) rappresenta la determinazione del prezzo di equilibrio di un’attivita
secondo la teoria del NPV; questo prezzo dovrebbe riflettere tutti i flussi di cassa che
tale attivita genera, includendo anche l’eventuale prezzo finale dell’attivita; tali flussi di
cassa dovrebbero essere scontati tramite un opportuno tasso di sconto che dipende dal
rendimento dell’attivita priva di rischio.
Esempio 36 (Il valore corrente di un’attivita secondo la teoria del NPV)
Supponiamo di voler acquistare un’obbligazione che dia pagamenti di 5 il primo periodo,
10 il secondo, 15 il terzo ed un rimborso finale pari a 100 nel terzo periodo. Nel mercato
esistono obbligazioni simili (ossia senza rischio) che rendono il 5%. Allora il prezzo che
dovremo pagare al massimo secondo l’Equazione (7.7) dovrebbe essere pari a:
5
1 + 0.05+
10
(1 + 0.05)2 +15
(1 + 0.05)3 +100
(1 + 0.05)3 = 113.17.
L’analisi svolta fino ad ora ci suggerisce come in un ambiente incerto con investitori
avversi al rischio, mentre i dividendi e il prezzo futuro saranno sostituiti dai dividendi e i
prezzi attesi, il Principio di Arbitraggio richiedera di comparare il rendimento dell’attivita
in questione (un’azione nel nostro caso) con il rendimento di un’attivita alternativa di
pari rischio, ossia il tasso di sconto dovra riflettere anche il grado di rischio dell’attivita.
Approfondiremo nella Sezione II questa intuizione.
I.A Orizzonte infinito
Vi sono attivita per cui e difficile definire un orizzonte temporale e per cui conviene
considerare che tale orizzonte sia infinito. Ad esempio questo potrebbe essere il caso
di alcune obbligazioni irredimibili o di azioni di societa che difficilmente sono ritenute a
rischio di fallimento (anche in caso di fallimento potremo sempre assumere che a partire
dalla data di fallimento e fino ad infinito i dividendi ed il prezzo vadano entrambi a zero).
Dall’Equazione (7.7) quando T va ad infinito abbiamo che:
pt =∞∑
j=1
δjdt+j, (7.8)
172
7. LA TEORIA DEL NPV I. Il NPV di un’attivita senza incertezza
sotto l’ipotesi che δTpt+T → 0 per T →∞. Questo risultato e plausibile dato che r0 > 0
e quindi δT → 0 quando T →∞ (per la precisione cio che e richiesto e che il prezzo pt+T
non cresca nel tempo ad un tasso maggiore del decremento del tasso di sconto δT ).
Se per semplicita assumiamo che i dividendi crescano anch’essi ad un tasso costante
g, ossia:
dt+1 = (1 + g) dt, (7.9)
allora avremo che i dividenti al tempo t+ j sono pari a:2
dt+j = (1 + g)j dt. (7.10)
Assumendo anche che il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio sia costante nel
tempo, ossia r0t = r ∀t, dall’Equazione (7.8), sostituendo per dt+j dall’Equazione (7.10)
avremo che:
pt =∞∑
j=1
δj (1 + g)j dt =∞∑
j=1
(1 + g)j
(1 + r0)jdt = dt
∞∑
j=1
(1 + g
1 + r0
)j. (7.11)
2Infatti, partendo dall’Equazione (7.9) abbiamo che i dividendi al periodo t+ 2 sono pari:
dt+2 = (1 + g) dt+1 = (1 + g) (1 + g) dt︸ ︷︷ ︸dt+1
= (1 + g)2dt;
i dividendi al periodo t+ 3 sono invece pari a:
dt+3 = (1 + g) dt+2 = (1 + g)3dt,
e cosı via, ottenendo alla fine l’Equazione (7.10).
173
I. Il NPV di un’attivita senza incertezza 7. LA TEORIA DEL NPV
Sotto l’ipotesi che g < r il prezzo dell’azione e possibile dimostrare che:3
pt = dt
(1 + g
r0 − g
); (7.12)
diversamente se g > r0 allora pt →∞, ossia il prezzo corrente dell’attivita risulterebbe in-
finito e la teoria NPV ha poco da dirci sul prezzo delle attivita, se non che la combinazione
di g o r0 considerata non e compatibile con una situazione di equilibrio.
Esempio 37 (Convenienza nell’acquistare un’azione)
Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100 e che ci si aspetti
un dividendo costante pari a 8 euro per una lunghezza indefinita di tempo. Inoltre,
supponiamo che esista la possibilita di acquistare un’azione diversa con un rendimento
del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare se per l’investitore e conveniente
acquistare l’azione al prezzo corrente. Infatti, secondo l’Equazione (7.12) il prezzo di
equilibrio dell’azione dovrebbe essere:
pt = 8
(1
0.1
)= 80,
che risulta essere inferiore al prezzo corrente di 100. Quindi non conviene acquistare
l’azione, ovvero conviene acquistare l’altra azione.
Esempio 38 (Prezzo dell’azione con crescita costante dei dividendi)
Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100, che il dividendo
3Nel derivare l’Equazione (7.12) si parte dal fatto che la somma S di una serie geometrica di ragionea (nel nostro caso a = (1 + g) / (1 + r0)) e di lunghezza T del tipo:
S =
T∑
j=1
aj = a+ a2 + ...+ aT
e pari a:
S =a− aT+1
1− a .
Infatti, si puo osservare che moltiplicando ambo i lati dell’equazione di S per a abbiamo che:
aS = a2 + a3 + ...+ aT+1
e quindi prendendo la differenza fra S e aS,ossia:
S − aS = a− aT+1
e ricavando per S dimostriamo quanto volevamo. Se a < 1 allora per T che va ad infinito aT+1 va a 0 (laserie si dice convergente) e quindi:
S =a
1− a.
Nel nostro caso a = (1 + g) / (1 + r0) e quindi a < 1 solo se g < r.
174
7. LA TEORIA DEL NPV I. Il NPV di un’attivita senza incertezza
attuale sia pari a 5 e che ci si aspetti una crescita costante del dividendo nel tempo del 4%
per una lunghezza indefinita. Inoltre, supponiamo che esista la possibilita di acquistare
un’azione diversa con un rendimento del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare
il prezzo di equilibrio dell’azione, ossia:
pt = 5
(1.04
0.1− 0.04
)= 86.67,
che risulta essere inferiore al prezzo corrente di 100. Quindi non conviene acquistare
l’azione, ovvero conviene acquistare l’altra azione.
Esempio 39 (Prezzo dell’azione con flusso di dividendi non costante)
Si supponga che una certa azione abbia un prezzo corrente pari a 100, che il dividendo
del prossimo periodo sia pari a 5, quello del periodo ancora successivo a 8 e che dopo
ci si aspetti una crescita costante del dividendo nel tempo del 4% per una lunghezza
indefinita. Inoltre, supponiamo che esista la possibilita di acquistare un’azione diversa con
un rendimento del 10%. L’Equazione (7.12) ci permette di calcolare il prezzo di equilibrio
dell’azione ma solo dopo 3 periodi, che deve poi essere opportunamente scontato al periodo
presente, quando il flusso dei dividendi diventa a crescita costante; l’impatto sul prezzo
dei dividendi del prossimo periodo e del periodo ancore successivo devono invece essere
aggiunti separatamente, sempre opportunamente scontati. Abbiamo quindi che il prezzo
di equilibrio e dato da:
pt =5
1 + 0.1+
8
(1 + 0.1)2 +8(
1.040.1−0.04
)
(1 + 0.1)2 = 148.72,
che risulta essere superiore al prezzo corrente di 100. Quindi conviene acquistare l’azione.
Esempio 40 (Il prezzo di affitto di un appartamento)
Supponete che vi venga offerto di acquistare un appartamento al prezzo di 150.000 euro.
In alternativa avete la possibilita di acquistare un titolo che rende il 5% all’anno. Tramite
l’Equazione (7.12) e possibile calcolare, una volta che riconosciamo che i flussi di dividendi
nel caso di acquisto di un immobile sono rappresentati dai canoni di affitto annuo al
netto delle spese di mantenimento dell’immobile stesso, il livello minimo di canone che
devo percepire affinche l’acquisto sia conveniente. In particolare, assumendo un canone
di affitto annuo costante nel tempo (ossia g = 0), abbiamo che questo non deve essere
inferiore a:
dt = ptr0 = 150.000 ∗ 0.05 = 7.500.
175
I. Il NPV di un’attivita senza incertezza 7. LA TEORIA DEL NPV
Il price-earnings ratio
L’Equazione (7.12) puo anche essere riespressa come:
ptdt
=1 + g
r0 − g; (7.13)
dove, se la nostra attivita i fosse un’azione, avremo che il rapporto pt/dt e interpretabile
come il Price-Earnings ratio (P/E) comunemente usato nelle valutazioni finanziarie, anche
se in tale caso gli earnings sono i profitti operativi dalla gestione ordinaria e non quelli
distribuiti, ossia i dividendi, come riportato nell’Equazione (7.13). Cio non cambia molto
per la nostra analisi dato che nel lungo periodo, che e esattamente l’orizzonte temporale
che stiamo considerando, i profitti operativi devono essere prima o poi distribuiti sotto
forma di dividendi (si veda al riguardo, ad esempio, l’evidenza empirica in Barsky e De
Long (1993) riportata in Figura II). Un eccellente fonte di informazioni sui prezzi delle
azioni, P/E ed altro e http://finance.yahoo.com.
Esempio 41 (Il price-earnings ratio)
Supponete che un’impresa distribuisca interamente i suoi profitti (earnings), che i divi-
dendi siano 15 euro per azione e che il P/E standard per azioni di imprese similari (ad
esempio appartenenti allo stesso settore e di simili dimensioni) e pari a 15. Il prezzo
corrente dell’azione e pari a 190. Per decidere se acquistare o no l’azione osserviamo che il
P/E dell’azione e pari a 190/15=12.67, che e inferiore a 15 e quindi il prezzo dell’azione ap-
pare conveniente sotto l’ipotesi che l’impresa abbia la stessa crescita attesa degli earnings
(ossia g) e lo stesso tasso di rendimento alternativo (ossia r0) delle imprese similari.
La valutazione implicita della crescita dei dividendi
Dall’Equazione (7.12) possiamo anche ricavare il tasso di crescita implicito dei divi-
dendi se i prezzi correnti sono assunti di equilibrio. In particolare, dall’Equazione (7.12)
abbiamo che:
g =r0pt/dt − 1
1 + pt/dt, (7.14)
da cui si evince che g e una funzione crescente di r0 e di pt/dt.
Esempio 42 (Il tasso di crescita dei dividendi)
Supponiamo di osservare che un’azione ha un P/E pari a 15 e che il tasso di rendimento
delle imprese similari e pari a 12% (questo rendimento essendo relativo ad un’azione
include anche un premio per il rischio). Abbiamo allora dall’Equazione (7.14) che il tasso
176
7. LA TEORIA DEL NPV II. Incertezza nella teoria del NPV
implicito di crescita dei dividendi e pari a :
g =0.12 ∗ 15− 1
1 + 15= 0.05.
Se noi ritenessimo tale livello di crescita troppo elevato, allora cio significherebbe che
l’azione ha un prezzo corrente troppo elevato (ricordiamo che g infatti cresce con il P/E).
E’ immediato osservare che se il P/E fosse pari a 30, allora avremo che il tasso di crescita
atteso dei dividendi implicito e pari a:
g =0.12 ∗ 30− 1
1 + 30= 0.084.
II Incertezza nella teoria del NPV
La presenza di un’alea nei dividendi e prezzi futuri implica che il prezzo al tempo t
rifletta le aspettative degli investitori, ossia in un ambiente stocastico l’Equazione (7.8)
diventa:
pt = Σ∞j=1δjE [dt+j|Ωt] , (7.15)
dove E [·|Ωt] indica che l’aspettativa sui dividendi futuri viene formulata sulla base delle
informazioni disponibili agli investitori al momento in cui si formano le loro aspettative,
ossia al tempo t; tali informazioni sono anche definite insieme informativo dell’investitore
al tempo t ed e indicato con Ωt.
L’Equazione (7.15) pone due ordini di problemi quando vogliamo usarla come spiega-
zione dei prezzi osservati:
1. il tasso di rendimento da considerare come alternativo al rendimento dell’azione non
potra piu essere il tasso di interesse dell’attivita priva di rischio r0, a meno di non
assumere investitori neutrali al rischio. Intuitivamente, tale tasso di rendimento
alternativo deve incorporare un premio per il rischio, ossia la Condizione di non
arbitraggio (7.4) in presenza di alea nei dividendi si presenta come:
r0 + σRP =E [dt+1 + pt+1|Ωt]− pt
pt, (7.16)
in cui σRPi rappresenta il premio per il rischio dell’attivita i. Il prezzo di equilibrio
dell’attivita pt riflettera quindi tale premio per il rischio. Il premio per il rischio
dell’attivita i puo essere determinato in molti modi, ad esempio facendo riferimento
o al CAPM e/o all’APT.
177
II. Incertezza nella teoria del NPV 7. LA TEORIA DEL NPV
2. L’Equazione (7.15) presuppone che gli investitori abbiano aspettative omogenee (e
lo stesso insieme informativo) riguardo ai dividendi attesi, ossia che l’aspettativa
E [dt+i|Ωt] sia la stessa per tutti gli investitori. Diversamente la Condizione di
non arbitraggio (7.4) dovrebbe essere riformulata tenendo conto della distribuzione
congiunta delle aspettative dei diversi investitori;4
Se assumiamo che l’alea nei dividendi futuri riguardi il loro tasso di crescita, assunto
costante ma di valore incerto, ossia:
dt+j = (1 + E [g|Ωt])j dt,
dove E [g|Ωt] rappresenta il tasso di crescita atteso dei dividendi, tramite un analogo
procedimento seguito per ricavare l’Equazione (7.12) possiamo arrivare a:5
pt = dt
(1 + E [g|Ωt]
r0 + σRP − E [g|Ωt]
), (7.18)
che ci fornisce il livello del prezzo in presenza di incertezza nel tasso di crescita dei dividen-
di. E’ da rimarcare che l’incertezza nei prezzi futuri deriva dall’incertezza sui dividendi
futuri, ed e quindi solo l’andamento di questi ultimi che occorre per calcolare il prezzo di
equilibrio corrente.
Esempio 43 (Incertezza nella teoria del NPV)
Supponete di aver stimato la seguente equazione della security market line SML (ricor-
diamo che l’intercetta rappresenta il tasso di rendimento dell’attivita priva di rischio
r0):
µi = 0.02 + 0.06βi;
Supponete poi di essere interessati ad un’azione che paghi un dividendo corrente di 13
euro, che e attesa crescere al tasso costante del 3%, il cui β e pari a 0.9. Possiamo allora
calcolare il prezzo di equilibrio includendo il premio per il rischio dell’azione a cui siamo
4In generale la Condizione di non arbitraggio (7.4) in presenza di alea nei dividendi per l’investitorez al periodo t diventa:
r0t + σRPt =Ez [dt+1 + pt+1|Ωzt ]− pt
pt, (7.17)
da cui risulta evidente che la formulazione delle aspettative dell’investitore z, Ez, che dipende dall’insiemeinformativo di quest’ultimo, Ωzt , determina quale pt soddisfa tale condizione di arbitraggio. Il prezzo diequilibrio pt dovra quindi essere tale da soddisfare le condizioni di arbitraggio di tutti gli investitori equindi riflettera le loro eventuali diversita nella formulazione delle aspettative e nell’insieme informativo.
5Implicita e sempre l’assunzione che limT→∞ pt+T /(1 + r0 + σRP
)T= 0.
178
7. LA TEORIA DEL NPV III. Volatilita nel prezzo delle azioni
interessati via Equazione (7.18), ossia:
pt = 13
1 + 0.03
0.02︸︷︷︸r0
+ 0.06 ∗ 0.9︸ ︷︷ ︸σRP
−0.03
= 304.32.
Se quindi il prezzo corrente e inferiore a 304.32 e conveniente comprare tale azione.
La valutazione implicita del rischio di un’azione
L’Equazione (7.18) potrebbe essere utilizzata per calcolare il premio per il rischio
implicito dato dal mercato ad una generica attivita i conoscendo solo il P/E corrente e
l’aspettativa sulla crescita nel tempo dei dividendi E [g|Ωt]; infatti, dall’Equazione (7.18)
possiamo ricavare che:
σRP = E [g|Ωt] +1 + E [g|Ωt]
pt/dt− r0. (7.19)
Esempio 44 (La valutazione implicita del rischio di un’azione)
Supponete che un’azione presenti un P/E pari a 15, che ci si aspetti in futuro una cre-
scita degli earnings del 5% l’anno e che il tasso privo di rischio sia pari al 2%. Tramite
l’Equazione (7.19) abbiamo che il premio per il rischio dell’azione e pari a:
σRP = 0.05 +1 + 0.05
15− 0.02 = 12.0%− 2% = 10%.
III Volatilita nel prezzo delle azioni
Esistono molti contributi in letteratura in cui la teoria del NPV, ed in particolare
l’Equazione (7.15), viene utilizzata per ottenere indicazioni su quale dovrebbe essere la
dinamica dei prezzi del mercato azionario e/o di altri mercati come, ad esempio, il mercato
immobiliare, se nel mercato valesse il Principio di Arbitraggio (piu tecnicamente si parla
di un uso della teoria del NPV a fini normativi). A questo riguardo alcuni contributi
pionieristici sono stati forniti dall’economista Robert Shiller; nel seguito esporremo una
parte dell’analisi delle dinamiche del mercato azionario statunitense che Shiller fa nel suo
libro piu famoso Irrational Exuberance.
Assumiamo che il tasso di interesse (al netto del premio per il rischio) sia costante;
indichiamo tale tasso di interesse con r0 + σRP . Dall’Equazione (7.15) abbiamo che il
179
III. Volatilita nel prezzo delle azioni 7. LA TEORIA DEL NPV
prezzo di equilibrio dell’azione nel periodo t deve soddisfare:
pt =∞∑
j=1
E [dt+j|Ωt]
(1 + r0 + σRP )j(7.20)
Una volta conosciuti i livelli dei dividendi possiamo calcolare il livello del prezzo al periodo
t che sia ex-post razionale , p∗t , pari a:
p∗t =∞∑
j=1
dt+j
(1 + r0 + σRP )j, (7.21)
dove p∗t e calcolato prendendo i dividendi dt+j effettivamente osservati.6
Shiller osserva che se le aspettative sono formulate correttamente, o, per utilizzare
un’espressione cara agli economisti, in modo razionale, dovrebbe valere che:
dt+j = E [dt+j|Ωt] + εt+j per j = 1, ..∞, (7.22)
dove εt+j e l’errore di stima dei dividendi, che deve soddisfare: i) E [εt+j] = 0 (non devono
esserci errori sistematici nella stima del livello dei dividendi); ii) E [εt+jεt+z] = 0 per ogni
j, z = 1, ...,∞ con j 6= z (gli errori di stima non devono contenere alcuna correlazione nel
tempo); e iii) E [εt+jdt+j] = 0 (l’errore di stima nei dividendi non deve essere collegato ai
dividendi). Quindi:
p∗t =∞∑
j=1
dt+j
(1 + r0 + σRP )j=∞∑
j=1
E [dt+j|Ωt] + εt+j
(1 + r0 + σRP )j=∞∑
j=1
E [dt+j|Ωt]
(1 + r0 + σRP )j+∞∑
j=1
εt+j
(1 + r0 + σRP )j
(7.23)
da cui:
p∗t = pt + ut, (7.24)
dove ut =∑∞
j=1 εt+j/(1 + r0 + σRP
)je quindi E [ut] = 0 e E [utpt] = 0 (deriva dall’indi-
pendenza fra εt+j e dt+j).
In sostanza l’Equazione (7.24) afferma che le distanze fra il prezzo effettivo e il prezzo
ex post razionale possono essere dovute esclusivamente ad errori nella formulazione delle
aspettative, errore rappresentato da ut. Tale errori comportano che i due prezzi possono
6Nel calcolo effettivo di p∗t si utilizza la seguente relazione:
p∗t =dt+1 + p∗t+1
1 + r0 + σRP,
che deriva dall’Equazione (7.4). La variabile che rimane indeterminata e il prezzo ex-post razionaledell’ultimo periodo; Shiller stima tale prezzo tramite l’Equazione (7.12) (il tasso di crescita dei dividendig e stimato dai dati sui passati dividendi).
180
7. LA TEORIA DEL NPV III. Volatilita nel prezzo delle azioni
differire solo temporaneamente e che, in media, questi due prezzi devono essere uguali.
Ma ancora piu rilevante e il fatto che l’Equazione (7.24) puo essere usata per ricavare
la relazione fra la varianza dei prezzi effettivi e quella dei prezzi ex-post razionali, ossia:
σ2p∗t
= σ2pt + σ2
ut , (7.25)
dove abbiamo usato le proprieta degli errori u, ossia che l’indipendenza fra pt ed ut.
L’Equazione (7.25) afferma che la volatilita dei prezzi effettivi, misurata dalla varianza
dei prezzi effettivi σ2pt , dovrebbe sempre essere minore della volatilita dei prezzi ex post
razionali, misurata dalla varianza dei prezzi ex post razionali σ2p∗t
, dato che la varianza di
ut, ossia σ2ut , e sempre positiva.
La Figura 7.1 riporta l’andamento dell’indice reale di S&P 5007 prendendo il 2007
come anno base, l’indice reale dei prezzi ex-post razionale con tasso di interesse costante
pari alla media del periodo (calcolato tramite l’Equazione (7.21)), e l’indice reale dei prezzi
ex-post razionale con tasso di interesse variabile annualmente (calcolato sempre tramite
l’Equazione (7.21) ma con r + σRP variabile nel tempo) per il periodo 1871-2009; i dati
sono presi dal sito di Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)
7E’ l’indice per eccellenza dell’andamento del mercato borsistico americano delle 500 piu grandi aziendequotate al NYSE.
181
III. Volatilita nel prezzo delle azioni 7. LA TEORIA DEL NPV
1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
05
00
10
00
15
00
Anno
Ind
ice
de
i p
rezzi
Indice S&P 500 reale (2007 anno base)
Indice reale dei prezzi ex−post razionali (r costante)
Indice reale dei prezzi ex−post razionali (r variabile)
Figura 7.1: Confronto fra l’indice reale di S&P 500 (2007 anno base), l’indice reale dei
prezzi ex-post razionale con tasso di interesse costante, ed indice reale dei prezzi ex-post
razionale con tasso di interesse variabile nel periodo 1871-2009. Fonte dei dati: Shiller
(http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm).
Dalla Figura 7.1 risulta evidente come il prezzo osservato abbia una volatilita maggiore
dei prezzi ex-post razionali, il che contrasta con quanto afferma l’Equazione (7.25) poiche
la varianza di u deve essere sempre positiva. In particolare, per il periodo di osservazione
abbiamo che σ2pt = 121095.74 e σ2
p∗t= 31478.93 (tasso di interesse costante) o 35334.57
(tasso di interesse variabile). E’ quindi possibile concludere che il mercato azionario
statunitense risulta troppo volatile rispetto a quanto previsto dalla teoria del NPV, ovvero
182
7. LA TEORIA DEL NPV III. Volatilita nel prezzo delle azioni
che esiste una componente non razionale nella formazione dei prezzi osservati (in sostanza
il Principio di Arbitraggio viene violato).
III.A Critiche all’analisi di Shiller
Il risultato di Shiller si dimostra robusto rispetto a cambiamenti sia nel tasso di inte-
resse r sia nel periodo considerato. Tuttavia e stato oggetto di molte critiche, che Shiller
ha solo parzialmente confutato nella seconda edizione del libro. Queste possono essere
raggruppate in tre grandi categorie:
1. Critiche tecniche riguardanti le proprieta delle serie storiche dei prezzi
Le critiche principalmente si concentrano su tre aspetti:
(a) le serie dei prezzi azionari sono non stazionarie, quindi il confronto fra le
varianze ha poco senso;
(b) i prezzi delle azioni mostrano una forte correlazione nel tempo; questo dovrebbe
essere tenuto conto nel confronto fra la varianza dei prezzi osservati e quella
dei prezzi ex post razionali ;
(c) la Relazione (7.25) e calcolata sulla base di un’ipotesi che il campione di os-
servazioni sia potenzialmente infinito, mentre, le serie temporali al massimo
riguardano 140 anni.
2. Critiche a come i prezzi ex post razionali sono calcolati
Nella versione originale si criticava l’ipotesi che il tasso di interesse fosse costante
invece che variabile nel tempo; in effetti Shiller ha mostrato che un tasso di interesse
variabile nel tempo non cambia il risultato. Piu rilevante e la critica che il risultato
e costruito sotto l’ipotesi di investitori con aspettative omogenee.
3. Critiche interpretative del risultato di volatilita eccessiva
Shiller usa il modello a fini normativi; tuttavia se fosse usato a fini positivi, ossia allo
scopo di spiegare i prezzi effettivamente osservati nel mercato azionario, il risultato
di Shiller suggerisce che la teoria del NPV ha trascurato alcuni fattori chiave nella
spiegazione della dinamica dei prezzi delle azioni (ad esempio l’eterogeneita delle
aspettative degli investitori sui dividendi attesi).
Quest’ultima critica ci introduce a tutta una branca di letteratura che si concentra
proprio sulle aspettative degli investitori, la finanza comportamentale.
183
IV. Finanza comportamentale 7. LA TEORIA DEL NPV
IV Finanza comportamentale e investitori noise-trader
La letteratura sulla finanza comportamentale (behavioural finance), di cui ci occupere-
mo piu dettagliatamente nel Capitolo 9, si concentra criticamente sull’ipotesi di investitori
completamente razionali e con aspettative omogenee. L’abbandono dell’ipotesi di investi-
tori completamente razionali ha cruciali implicazioni sulla proprieta dinamiche dei mercati
finanziari. Si supponga, ad esempio, di considerare un mercato in cui esistano due tipi
di investitori, gli investitori razionali e i noise trader. Gli investitori razionali prendono
le proprie decisioni di investimento in base ai fondamentali, ossia seguendo la teoria del
NPV. Gli investitori noise trader, invece, decidono basandosi su regole del pollice, ossia
regole semplici e ricavate dall’esperienza; nel caso limite questi investitori prendono le
proprie decisioni a caso.
In questo contesto, anche gli investitori razionali sono indotti a prendere decisioni che a
prima vista sembrano non razionali, ma che si rivelano razionali alla luce della presenza nel
mercato di investitori noise trader. In particolare, anche se gli investitori razionali sono a
conoscenza che l’aumento corrente del prezzo delle azioni non ha un fondamento reale ma e
solo dovuto al caso, possono trovare conveniente, per la presenza di investitori noise trader,
assecondare la tendenza rialzista del mercato, poiche tale comportamento massimizza i
profitti attesi (almeno nel breve periodo). In questo ambito, quindi, aspettative di rialzo
dei prezzi tendono ad avverarsi (e viceversa). Come risultato avremo un mercato in cui la
volatilita dei prezzi sara molto piu elevata rispetto a quella prevista dalla teoria del NPV.
Un modello molto interessante a questo riguardo e quello proposto da Barsky e De
Long nel 1993, in cui il tasso di crescita dei dividendi e soggetto ad incertezza e quindi il
prezzo dell’azione e dato dall’Equazione (7.18), ossia:
pt = dt
(1 + E [g|Ωt]
r0 + σRP − E [g|Ωt]
), (7.26)
Gli autori assumono inoltre che gli investitori nel formulare le aspettative su g si basino
sulle variazioni nel livello dei dividendi del passato; se per semplicita si assume che solo
l’ultima variazione nei dividendi viene presa in considerazione abbiamo che:
E [g|Ωt] = f
(dt − dt−1
dt−1
)= f (gt) , (7.27)
dove f ′ > 0, ossia il tasso di crescita di lungo periodo dei dividendi e una funzione positiva
del tasso di crescita dei dividendi del periodo corrente. Allora, dato il livello dei dividendi
al periodo t − 1, un aumento dei dividendi correnti dt non determina semplicemente un
aumento di dt nell’Equazione (7.26), ma anche un aumento del numeratore ed una dimi-
184
7. LA TEORIA DEL NPV IV. Finanza comportamentale
nuzione del denominatore, poiche il tasso di crescita atteso futuro dei dividendi E [g|Ωt]
aumenta. Nel complesso avremo quindi un aumento piu che proporzionale del prezzo
dell’azione rispetto all’aumento dei dividendi.8 Quindi piccole fluttuazioni nei dividendi
possono trasformarsi in grandi fluttuazioni nel livello dei prezzi delle azioni. Ad esempio,
Barsky e De Long stimano che l’elasticita dell’indice S&P per il mercato azionario ame-
ricano rispetto ai dividendi e pari a 1.5, ossia i prezzi delle azioni incluse nell’indice S&P
variano in piu del 50% rispetto a quanto dovrebbero.
La Figura 7.2 mostra la relazione fra il logaritmo dell’indice (reale) S&P 500 e il
logaritmo dell’indice dei dividendi nel periodo 1871-2010.
1.5 2.0 2.5 3.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
Log dell’indice (reale) dei dividendi
Log d
ell’
indic
e (
reale
) S
&P
500
Figura 7.2: Relazione fra il logaritmo dell’indice (reale) S&P 500 e il logaritmo dell’in-dice dei dividendi nel periodo 1871-2010. La linea rossa rappresenta i valori calcolati dauna regressione lineare. Fonte dei dati: Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)
La relazione le due variabili appare all’incirca lineare, come evidenziato dalla linea
rossa riportata in figura, che rappresenta i valori calcolati da una regressione lineare;
8Per avere conferma dell’affermazione tramite l’Equazione (7.26) possiamo calcolare l’elasticita delprezzo corrente rispetto ai dividendi correnti, ossia:
∂pt∂dt
dtpt
= 1 + dt
[1 + r0 + σRP
(r0 + σRP − E [g|Ωt]) (1 + E [g|Ωt])
]f ′ > 1.
185
V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV
tuttavia l’inclinazione di tale linea e pari a 1.61 e non a 1 come sarebbe dovuto essere se il
prezzo osservato fosse in relazione lineare con il dividendo corrente, come si puo ricavare
dall’Equazione (7.26) quando le aspettative sul tasso di crescita dei dividendi E [g|Ωt]
sono indipendenti dal dividendo corrente dt. In altre parole, ad un aumento dell’1% dei
dividendi corrisponde un aumento dell’1.61% nel prezzo medio delle azioni delle imprese
incluse nello S&P 500, un risultato in linea con quanto ottenuto da Barsky e De Long
(per loro era 1.5%).
Esempio 45 (L’elasticita dei prezzi ai dividendi)
Supponiamo di prendere una versione estremamente semplificata dell’ipotesi di formazione
delle aspettative data dall’Equazione (7.27), ossia che:
E [g|Ωt] =dt − dt−1
dt−1
,
il che significa che l’individuo si aspetta che l’ultimo tasso di crescita di dividendi sia anche
quello di lungo periodo. Allora supponendo di essere al tempo t−1 e che dt−2 = dt−1 = 10,
r = 0.02 e σRP = 0.06 abbiamo che:
pt−1 = 10
(1
0.02 + 0.06
)= 125.
Se i dividendi al periodo t passano a 10.5, registrando quindi un aumento del 5%, avremo
che il nuovo prezzo sara pari a:
pt = 10.5
(1 + 0.05
0.02 + 0.06− 0.05
)= 367.5.
L’aumento dei prezzi e quindi pari al 94% per un aumento dei dividendi del 5%.
Un punto debole della teoria di Barsky e De Long e che la dinamica osservata del
prezzo della singola azione non sembra smentire in maniera rilevante le conclusioni della
teoria del NPV, mentre e il comportamento aggregato dei mercati finanziari che appare
non congruo alla teoria. Ossia, come osservato da Shiller, l’evidenza empirica suggerisce
che le fluttuazioni nei mercati finanziari siano guidate da fenomeni di psicologia di massa.
V Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi
La teoria del NPV dovrebbe aiutare a capire come il rendimento delle attivita ed i re-
lativi cash flow sono strettamente legati e quindi che offerte particolarmente allettanti in
termini di rendimento da parte di alcuni investitori finanziari, assolutamente sproporzio-
186
7. LA TEORIA DEL NPV V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi
nate rispetto ai prevedibili cash flow futuri, nascondano al loro interno una sicura truffa.
A questo riguardo la letteratura ha individuato una fattispecie precisa di truffa, a cui e
stato dato il nome di Schema di Ponzi, in “onore” di Charles Ponzi, un banchiere italo-
americano che all’inizio del 1900 sfruttando tale schema ha truffati molti risparmiatori
(in effetti tale schema e stato piu volte usato anche in epoche precedenti).
Gli investitori che utilizzano tale schema promettono a fronte di una sottoscrizione
iniziale un rendimento molto alto, assolutamente non allineato con quello di mercato.
All’inizio gli investitori ricevono effettivamente i pagamenti promessi. Ma tali pagamenti
non sono il frutto di un reale rendimento degli investimenti, ma vengono finanziati gra-
zie alle nuove sottoscrizioni di altri investitori. L’investitore finanziario, in sostanza, sta
pagando con nuovi debiti gli interessi sul capitale preso a prestito. Il meccanismo fun-
ziona fino a quando l’investitore finanziario truffaldino riesce a convincere sempre nuovi
investitori a sottoscrivere le sue obbligazioni. Il castello finanziario, o, come viene sovente
chiamato, la piramide finanziaria, crolla istantaneamente nel momento in cui il flusso di
nuovi sottoscrittori e insufficiente a far fronte ai pagamenti promessi ai precedenti sotto-
scrittori. La descrizione di questo schema dovrebbe rendere chiaro perche in Italia, ed in
generale nel mondo, la cosiddetta “raccolta del risparmio” e soggetta ad una regolamenta-
zione stringente. Esistono molti esempi dell’utilizzo dello Schema di Ponzi, dalle catene di
Sant’Antonio che coinvolgono un numero limitato di soggetti, ad esempi che coinvolgono
un numero molto ampio di soggetti e dalle conseguenze molto piu gravi, come la crisi
finanziaria albanese degli anni 2000.
In effetti la teoria del NPV fornisce un’altra possibile chiave interpretativa delle flut-
tuazioni estreme che si osservano nei livelli dei prezzi. Il punto cruciale della spiegazione
risiede nell’osservazione che la teoria del NPV non fornisce un livello unico dei prezzi di
equilibrio. Assumendo che non esista incertezza, osserviamo infatti che se il prezzo di
un’attivita pari a:
pt =∞∑
j=1
dt+j
(1 + r0)j+ bt, (7.28)
e bt segue:
bt+1 = (1 + r0) bt (7.29)
allora il prezzo pt soddisfa il Principio di Arbitraggio (vedi l’Equazione (7.5)), ossia:9
pt =pt+1 + dt+1
1 + r0
. (7.31)
9Un modo alternativo per dimostrare che pt soddisfa il Principio di Arbitraggio e considerare che pt+1per l’Equazione (7.28) e pari a:
pt+1 =
∞∑
h=1
dt+1+h
(1 + r0)h
+ bt+1, (7.30)
187
V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV
Per dimostrare che pt soddisfa il Principio di Arbitraggio si osservi che
pt = pV Ft + bt, (7.32)
ossia il prezzo in ogni periodo t e esprimibile come la somma del prezzo che si avrebbe
senza bolla (dovuto solo ai suoi cosiddetti valori fondamentali)
pV Ft ≡∞∑
j=1
dt+j
(1 + r0)j(7.33)
piu la bolla bt.
poiche pV Ft soddisfa il Principio di Arbitraggio, ossia:
pV Ft =pV Ft+1 + dt+1
1 + r0
, (7.34)
sostituendo per pV Ft e pV Ft+1 abbiamo che:
pt − bt =pt+1 − bt+1 + dt+1
1 + r0
=pt+1 + dt+1
1 + r0
− bt+1
1 + r0
, (7.35)
da cui, sfruttando l’Equazione (7.29), otteniamo:
pt =pt+1 + dt+1
1 + r0
, (7.36)
che e proprio l’Equazione (7.28) a cui volevamo arrivare.
Il termine bt prende il nome di bolla, e rappresenta la differenza fra il prezzo corrente
dell’azione e il prezzo che avrebbe dovuto avere dati i suoi fondamentali, ossia il flusso di
dividendi attesi e il tasso di rendimento dell’attivita alternativa. La possibile esistenza
di una bolla deriva direttamente dal Principio di Arbitraggio, che e alla base della teoria
del NPV, il quale impone delle condizioni sul tasso di rendimento, ma non sul livello dei
prezzi.
Esempio 46 (L’esistenza di una bolla)
Supponiamo che il tasso di interesse privo di rischio sia pari a 5%; un’azione il cui prezzo
allora:
pt+1 + dt+1
1 + r0=
∑∞h=1
dt+1+h
(1+r0)h + bt+1 + dt+1
1 + r0=
∞∑
h=1
dt+1+h
(1 + r0)h+1
+bt+1
1 + r0+
dt+1
1 + r0=
∞∑
j=1
dt+j
(1 + r0)j
+bt = pt,
dove il cambio dell’indice della sommatoria da h a j e per includere nella sommatoria anche il terminedt+1/ (1 + r0) e abbiamo usato che bt+1/ (1 + r0) = bt (vedi Equazione (7.29)). L’ultima eguaglianzaderiva direttamente dall’Equazione (7.28).
188
7. LA TEORIA DEL NPV V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi
al periodo t e pari a 100, il prezzo al periodo t+ 1 pari a 102 e che riceve un dividendo di
3 ed e immediato verificare che soddisfa la Condizione di non arbitraggio (7.5), infatti:
100 =102 + 3
1 + 0.05= 100.
Tuttavia se esistesse una bolla positiva nel prezzo al periodo t, ad esempio bt = 10, tale
che il prezzo osservato fosse pari a 110 e che tale bolla crescesse al 5%, allora la Condizione
di non arbitraggio (7.5) sarebbe sempre soddisfatta, infatti:
pt = 100︸︷︷︸p∗t
+ 10︸︷︷︸bt
=
p∗t+1︷︸︸︷102 +3 +
bt+1︷ ︸︸ ︷10 ∗ (1 + 0.05)
1 + 0.05= 110,
dove p∗t rappresenta il prezzo che riflette i fondamentali al periodo t. poiche il prezzo
osservato al tempo t + 1 e pari a 102 + 10.5 = 112.5, risulta evidente come la distanza
fra il prezzo osservato pt+1 e il prezzo che riflette i fondamentali p∗t+1 tende a crescere nel
tempo (da 10 a 10.5).
Il risultato e facilmente estendibile al caso con incertezza, dove il prezzo di equilibrio
e pari a:
pt =∞∑
j=1
E [dt+j|Ωt]
(1 + r0 + σRP )j+ bt, (7.37)
e la bolla deve rispettare:
E [bt+1|Ωt] =(1 + r0 + σRP
)bt; (7.38)
il prezzo pt rispettera quindi la Condizione di non arbitraggio (7.16) quando il tasso di
rendimento maggiorato per il premio per il rischio e costante e pari a r0 + σRP .
Non esiste nessun limite ai valori che bt puo assumere, se non il fatto che i prezzi
osservati devono rimanere non negativi (e quindi bt non deve essere troppo negativa). In
questo senso qualsiasi prezzo osservato sul mercato potrebbe essere di equilibrio, a meno
di una certa componente, ossia la bolla, la quale deve solo variare rispettando l’Equazione
(7.38). Cosı repentine e violente variazioni nel prezzo delle attivita potrebbero essere
interpretate come cambiamenti nel valore di bt.
Bolla e rapporto prezzo/dividendi (o P/E)
Un possibile indicatore della presenza di una bolla e il rapporto prezzo/dividendi o
P/E (prezzo/earnings). Infatti, supponendo che i dividendi crescano a tasso costante g
189
V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV
e che il tasso di interesse maggiorato dal rischio r0 + σRP sia costante e superiore a g,
dall’Equazione (7.38) possiamo ricavare, seguendo lo stesso procedimento impiegato per
ricavare l’Equazione (7.12), il prezzo osservato sul mercato, ossia:
pt = dt
(1 + g
r0 + σRP − g
)+ bt,
da cui possiamo ricavare il rapporto prezzo/dividendi (o P/E)
ptdt
=
(1 + g
r0 + σRP − g
)+btdt. (7.39)
Il rapporto pt/dt tende ad aumentare nel tempo anche se g, r0 e σRP rimangono costanti
per effetto dell’aumento del rapporto bt/dt. Infatti, bt cresce al tasso r0 + σRP , che e
maggiore di g per ipotesi; tuttavia g e proprio il tasso di crescita di dt. Quindi un periodo
in cui nulla cambia in g, r0 e σRP , ma il rapporto prezzi/dividendi (o P/E) sale potrebbe
far pensare alla nascita di una bolla.
E’ importante sottolineare che, nata per una qualche ragione una bolla nel prezzo
dell’azione, l’Equazione (7.38) ci dice che mano a mano che passa il tempo la dimensione
della bolla aumenta al tasso r0 + σRP , ossia la distanza fra p e il suo valore fondamentale
cresce esponenzialmente. Questo potrebbe spiegare perche lo scoppio della bolla determina
una caduta tanto piu grande tanto piu tempo passa dalla nascita della presunta bolla.
Nella Figura 7.3 abbiamo riportato il caso in cui i dividendi sono costanti e pari a d (ossia
g = 0) e al tempo t0 si sia formata una bolla pari a bt0 .
pt
tt0 t1
bt0d(
1r0+σPR
)
bt0(1 + r0 + σPR
)t1−t0
Figura 7.3: Nascita e scoppio di una bolla
La bolla incrementa esponenzialmente al tasso r0 + σRP determinando un aumen-
to anche del prezzo fino al periodo t1, dove scoppia riportando il prezzo ai suoi valori
fondamentali.
190
7. LA TEORIA DEL NPV V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi
La teoria, tuttavia, nulla ci dice su come una bolla nasca e/o venga meno, ossia esploda.
Nella letteratura sono state ricercate a lungo le condizioni sotto le quali non e possibile
il formarsi di una bolla, ma nessuna conclusione generale e stata raggiunta, se non che
l’orizzonte degli investitori e il loro grado di razionalita giocano un ruolo fondamentale. In
effetti, essendo la bolla un evento collegato alla modalita di formazione delle aspettative,
la domanda di come nasca ed esploda una bolla si presta poco ad avere una risposta
teorica univoca. Alcuni autori ritengono che la formazione e la successiva esplosione di
una bolla siano un fenomeno eminentemente di natura stocastica, ma di difficile previsione
data la particolare distribuzione di probabilita che sembra caratterizzare tali eventi (in
letteratura si parla di teoria degli eventi estremi).
Dal punto di vista empirico la potenziale presenza di bolle e stata piu volte vagliata.
In effetti nella storia economica vi sono stati molti fenomeni che ricordano il crearsi di
una bolla e il suo successivo scoppio. La Figura 7.4 riporta l’andamento del rapporto P/E
per le azioni incluse nell’indice S&P 500, il tasso di interesse reale a 10 anni e il tasso di
crescita degli earnings (media 5 anni).
−10
010
20
30
40
Anno
P/E
, ta
sso a
nnuale
di cre
scita d
egli
earn
ings (
medie
a 5
anni)
1881 1891 1901 1911 1921 1931 1941 1951 1961 1971 1981 1991 2001 2011
03.0
64
6.1
28
9.1
92
12.2
56
15.3
2
P/E
Tasso di interesse reale a 10 anni (scala di destra)
Tasso di crescita degli earnings (medie 5 anni)
Figura 7.4: P/E, tasso di interesse reale a 10 anni e tasso di crescita degli earnings (mediea 5 anni) per le imprese incluse nell’indice S&P 500 nel periodo 1881-2011. Fonte dei dati:Shiller (http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm)
Nella Figura 7.4 sono sono evidenti le tre grosse crisi borsistiche che segnano una
brusca caduta del P/E: la prima negli anni 1929-1933, a cui segui la cosiddetta “Grande
Depressione“; la seconda negli anni 1999-2000 caratterizzata dal crollo dei corsi azionari
191
V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV
delle cosiddette imprese “dot.com” (vedi Shiller (2005)); e la terza del 2007-2008 a causa
della caduta dei prezzi degli immobili e dei mutui sub-prime, che pero non presenta la
stessa drammaticita delle prime due.
Osserviamo come prima di raggiungere l’apice del P/E relativo alle prime due crisi
il rapporto P/E sia cresciuto vertiginosamente senza che ne il tasso di interesse reale
sia caduto (nella seconda crisi cio e solo parzialmente vero), ne il tasso di crescita degli
earnings mostri un sostenuto trend di crescita. Questo potrebbe essere un’indicazione
che una bolla era presente nei corsi azionari in ambedue le crisi. Le serie mostrano anche
l’evidente asimmetria tra la dinamica di crescita sostenuta ma regolare del P/E prima della
crisi e la dinamica di violenta caduta successiva. Anche questa evidenza e compatibile
con la presenza di una bolla, che sappiamo deve crescere ad un tasso costante pari al
tasso di interesse maggiorato del rischio, ma che quando esplode puo indurre una brusca
variazione nei prezzi.
E’ interessante notare, infine, come lo scoppio della bolla viene sempre anticipato da
una caduta del tasso di crescita degli earnings, cosa che potrebbe far pensare che gli
investitori realizzino tramite la caduta degli earnings l’insostenibilita di cosı alti P/E.
Dal punto di vista storico il libro di Kindleberger e Aliber (2011) rappresenta una
lettura consigliata per chi voglia approfondire le crisi finanziarie; tra i molti episodi ana-
lizzati probabilmente il piu sorprendente e la bolla nel prezzo dei Tulipani nell’Olanda del
1636-1637. Altri due libri vivamente consigliati sono Galbraith (2003) sulla grande crisi
del 1929 del mercato azionario statunitense e Galimberti (2003) sulle varie crisi finanziarie
che si sono succedute dal 1700.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Cap. 10.
• Barsky, R. e De Long, B, Why Does the Stock Market Fluctuate?, The Quarterly
Journal of Economics, MIT Press, 108, 291-311, 1993.
• Cuthbertson K. e Nitzsche D., Economia finanziaria quantitativa, il Mulino, 2005.
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Capp. 18 e 19.
• Galbraith J., Il Grande Crollo, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli, 2003.
• Galimberti, F., Economia e pazzia. Crisi finanziarie di ieri e di oggi, Laterza, 2003.
192
7. LA TEORIA DEL NPV V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Capp.
17 e 18.
• Shiller, R. Irrational Exuberance, University Press Group, 2 ed., 2005.
• Kindleberger, C. e Aliber, R., Manias, Panics and Crashes: A History of Financial
Crises, Palgrave Macmillan, 6 edizione, 2011.
193
V. Schemi di Ponzi e bolle nei prezzi 7. LA TEORIA DEL NPV
194
Capitolo 8
L’efficienza informativa nei mercati
finanziari
L’efficienza dei mercati finanziari e oggetto di un’ampio dibattito in letteratura per le
sue implicazioni sia per i singoli investitori che per l’autorita di politica economica. Nel
Capitolo 1 abbiamo discusso come l’efficienza dei mercati finanziari si presti a una pluralita
di definizioni. Al tempo stesso, il concetto di efficienza a cui viene fatto piu comune
riferimento si riferisce al modo con cui i prezzi delle attivita finanziarie (singoli titoli o
interi portafogli di investimento) reagiscono alle informazioni che si rendono disponibili
sul mercato. Tale concetto di efficienza, noto anche come efficienza informativa, e di
particolare interesse per gli investitori, nella prospettiva di capire come poter sfruttare le
informazioni disponibili sui prezzi dei titoli per ottenere piu elevati tassi di rendimento dal
proprio portafoglio. A questo interesse, si affianca, come vedremo nel seguito, anche un
interesse generale dell’autorita di politica economica che i mercati siano efficienti, poiche
a questa efficienza viene generalmente associata l’idea di pieno sfruttamento delle risorse
disponibili e di equita nelle remunerazioni dei singoli investitori.
I L’ipotesi di mercati finanziari efficienti
L’idea di base dell’ipotesi dei mercati efficienti e che in un mercato efficiente tutte le
informazioni rilevanti disponibili siano utilizzate dagli investitori nella formazione delle
proprie aspettative sui prezzi futuri delle attivita finanziarie. Questo implica che tutte
le informazioni disponibili siano interamente e immediatamente incorporate nei prezzi
correnti di mercato. Il tutto suggerisce la seguente definizione di mercati efficienti.1
1Tale definizione, cosı come larga parte dei concetti presentati e discussi in questo capitolo con riferi-mento all’ipotesi di mercati finanziari efficienti, si devono al lavoro dell’economista Eugene Fama, premioNobel per l’economia nel 2013.
195
I. L’ipotesi di mercati efficienti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
Definizione 14 (Definizione di mercato efficiente)
Un mercato finanziario si definisce efficiente quando i prezzi delle attivita riflettono sempre
in modo completo l’informazione disponibile.
In sostanza, quando si diffondono sul mercato nuove informazioni sul valore fonda-
mentale di un titolo, ad esempio relative ai flussi scontati di cassa futuri ottenibili dal
titolo stesso (si veda il Capitolo 7), in mercati efficienti il prezzo del titolo deve rispondere
prontamente con una variazione verso l’alto, se la notizia e positiva, o verso il basso, se e
negativa. Ad esempio, un investitore che riceva l’informazione che i profitti di una societa
(earnings) siano superiori alle attese, aumentera il prezzo a cui e disposto a vendere le
azioni della societa, se nella posizione di venditore, mentre, se e nella posizione di acqui-
rente, sara disposto, invece, a pagare un prezzo piu alto (si veda il Capitolo 7). Come
conseguenza, in un mercato finanziario efficiente, il prezzo del titolo dovrebbe incorporare
tutte le informazioni disponibili (quasi) immediatamente, ed il prezzo fissarsi al nuovo
valore, che riflette in modo corretto il nuovo livello dei profitti attesi. Inoltre, poiche e
verosimile ipotizzare che le nuove informazioni sui titoli si susseguano in modo del tutto
casuale,2 ovvero che la probabilita che si abbia un’informazione “positiva” (good news)
sia sostanzialmente la stessa di un’informazione “negativa” (bed news), anche le variazioni
dei prezzi si susseguiranno casualmente nel tempo. Peraltro, il fatto che le variazioni dei
prezzi siano casuali, non significa che siano irrazionali. Anzi, proprio perche le variazioni
dei prezzi riflettono le risposte (razionali) degli investitori a fronte della diffusione (casua-
le) di nuove informazioni sui titoli finanziari, le variazioni dei prezzi che si osservano in
mercati efficienti sono del tutto sia casuali che razionali.
Un’altra cruciale implicazione che discende dall’ipotesi di mercati efficienti puo essere
sintetizzata nel modo seguente. Dato un certo insieme informativo disponibile, in mercati
efficienti non e possibile (se non casualmente) ottenere tassi di rendimento eccezional-
mente elevati sfruttando le informazioni disponibili nelle proprie decisioni di acquisto e di
vendita di titoli finanziari. In particolare, per un tasso di rendimento “eccezionalmente
elevato”, o extra-rendimento, si intende un tasso di rendimento medio atteso superio-
re a quello di equilibrio ovvero di riferimento per quel titolo specifico. In altri termini,
in mercati efficienti, l’investitore medio non puo sperare di “battere il mercato” (to beat
the market) e tutte le risorse che egli impiega per analizzare, scegliere e scambiare titoli
sono di fatto sprecate. Anzi, si puo affermare che nell’eventualita di dover gestire un
portafoglio titoli, replicare passivamente il portafoglio di mercato e non impegnarsi in
2Per nuove informazioni si intendono informazioni che riguardino fenomeni non previsti precedente-mente (news) e che quindi generano una “sorpresa” tra gli investitori nel momento in cui si diffondono. Secosı non fosse, infatti, tali informazioni sarebbero gia state incorporate dagli investitori nella formazionedei prezzi correnti dei titoli.
196
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA II. Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti
una gestione attiva del proprio portafoglio e la miglior strategia. Peraltro, e importante
sottolineare che tale affermazione non esclude in assoluto la possibilita che, in mercati
efficienti, ci siano investitori in grado di ottenere extra-rendimenti. Tale evenienza, in-
fatti, e del tutto plausibile, ma rappresenta un evento del tutto casuale (cioe un evento
dovuto esclusivamente alla “fortuna”) e non sistematico. Nuovamente, cio si puo spiegare
con il fatto che se esistessero degli investitori che attuano una strategia di investimento
in grado di battere il mercato in modo sistematico (cioe di garantire extra-rendimenti),
nel momento in cui l’informazione concernente tale strategia si diffonde nel mercato, essa
verra incorporata nella formazione dei prezzi dei titoli, rendendo tale strategia non piu in
grado di generare tali extra-rendimenti.
II Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti
Prima di passare ad approfondire le implicazioni derivanti dall’ipotesi di efficienza
dei mercati finanziari, e importante chiarire le condizioni sotto le quali cio si possa rag-
giungere. Innanzitutto, e facile dedurre come un mercato efficiente richieda che tutti gli
investitori: i) siano razionali (e, quindi, valutino correttamente i titoli in base ai loro valori
fondamentali); ii) abbiano accesso senza costo all’informazione disponibile sul mercato; e
iii) condividano le stesse credenze (beliefs) per quanto concerne le implicazioni che l’in-
formazione disponibile ha sulla formazione dei prezzi correnti e futuri. Tali condizioni,
peraltro, sono sufficienti, ma non necessarie a garantire il rispetto dell’ipotesi di efficien-
za di mercato. In altre parole, quest’ultima puo essere soddisfatta anche sotto condizioni
meno “stringenti”, ovvero in un contesto piu realistico.
Ad esempio, si potrebbe considerare il fatto che esistano anche investitori non del tut-
to razionali che scambiano nel mercato adottando strategie casuali, generalmente indicati
come noise trader : di fronte ad un certo titolo, alcuni potrebbero mostrare aspettative
“eccessivamente ottimistiche” oppure “eccessivamente pessimistiche” rispetto a quello che
e il suo valore fondamentale.3 Una prima questione che si pone e quindi se la presenza
di tali investitori possa di per se inficiare l’ipotesi di mercati efficienti. La risposta e
negativa. In primo luogo, infatti, potremmo considerare il fatto che, se le strategie di
investimento di un vasto numero di noise trader non sono correlate, e possibile che i loro
scambi si cancellino a vicenda (l’operazione di acquisto di un noise trader “ottimista” sara
compensata da una operazione di vendita di un noise trader “pessimista”) per cui, non
determinandosi alcun squilibrio tra domanda e offerta dovuto alla presenza di tale tipo di
investitori, i prezzi dei titoli rimarranno sostanzialmente vicini ai loro valori fondamentali.
3Un’analisi del comportamento decisionale e delle strategie di investimento dei cosiddetti noise tradere sviluppata nei Capitoli 7 e 9.
197
II. Condizioni per l’esistenza di mercati efficienti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
Inoltre, anche considerando la possibilita che le strategie di investimento dei noise trader
siano tra loro correlate perche, ad esempio, tendono a influenzarsi a vicenda creando un
“effetto moda”, l’ipotesi di mercati efficienti sarebbe preservata dalla possibilita di effet-
tuare operazioni di arbitraggio da parte degli investitori razionali presenti sul mercato,
i quali potrebbero cogliere immediatamente le opportunita create dai noise trader per
ottenere un guadagno certo. In particolare, quando, ad esempio, gli investitori irrazionali
abbiano aspettative pessimistiche (ingiustificate) su un dato titolo e, conseguentemente, lo
vendono in massa, produrranno un abbassamento del prezzo, facendolo discostare dal suo
valore fondamentale. A tal punto, gli arbitraggisti (investitori razionali) avranno conve-
nienza ad acquistare il titolo sottovalutato, vendendo un altro titolo con un simile flusso
di dividendi attesi, ma un prezzo piu alto. Inoltre, acquistando il titolo sottovalutato,
contribuiranno a farne risalire il prezzo fino a riportarlo al valore fondamentale. Ecco
quindi che, cosı facendo, gli arbitraggisti garantirebbero che i prezzi dei titoli si attestino
intorno ai loro valori fondamentali, salvaguardando cosı l’ipotesi di mercati efficienti.
La possibilita di realizzare operazioni di arbitraggio potrebbe svolgere un ruolo (del
tutto analogo a quello appena sopra descritto) nel preservare la validita dell’ipotesi di
efficienza anche quando non tutti gli investitori presenti sul mercato hanno accesso all’in-
formazione disponibile. In questo caso, infatti, basterebbe che l’accesso all’informazione
sia assicurato a un numero “sufficientemente elevato” di investitori. In particolare, tali
investitori potrebbero sfruttare il loro vantaggio informativo per ottenere dei guadagni
tramite operazioni di arbitraggio. Al tempo stesso, tali operazioni contribuirebbero a ga-
rantire che il livello dei prezzi riflettesse i valori fondamentali e a preservare l’efficienza di
mercato. Infine, anche la presenza di “disaccordo” tra gli investitori sulle implicazioni di
una certa informazione sui prezzi dei titoli non conduce necessariamente a rigettare l’ipo-
tesi di mercati efficienti. In particolare, tale ipotesi puo essere preservata, a meno che non
ci siano investitori in grado di sfruttare sistematicamente meglio degli altri l’informazione
disponibile.
In conclusione, va sottolineato che l’esistenza di investitori irrazionali, di informazioni
non liberamente conoscibili a tutti e di disaccordo tra gli investitori sulle implicazioni
desumibili dall’informazione non portino necessariamente a mercati inefficienti, e anche
vero che non vale necessariamente l’opposto, ossia che l’efficienza dei mercati sia garanti-
ta in presenza di questi fenomeni. Ad esempio, l’arbitraggio, che come abbiamo appena
discusso gioca un ruolo decisivo nel garantire l’efficienza del mercato, non sempre e realiz-
zabile. Cio in quanto numerose frizioni di mercato (costi di transazione) possono limitare
fortemente la possibilita di ottenere guadagni certi tramite questo genere di operazioni.4
4Ulteriori limiti alle possibilita di arbitraggio, piu di natura “comportamentale”, sono discussi nelCapitolo 9.
198
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA III. Varieta dei concetti di efficienza dei mercati
Alla luce di tali considerazioni, valutare se il funzionamento reale dei mercati finanziari
soddisfa l’ipotesi di mercati efficienti diventa una questione da indagare principalmente
dal punto di vista empirico. L’ultima parte di questo capitolo sara dedicata proprio a
tali indagini. Prima, pero, approfondiremo nel dettaglio i diversi concetti di efficienza
informativa e come sia possibile elaborare un modello teorico di mercati efficienti.
III Varieta dei concetti di efficienza dei mercati
La definizione di mercato efficiente stabilisce che tutta l’informazione disponibile si
debba riflette immediatamente nei prezzi delle attivita finanziarie. Una prima questione
cruciale da specificare e a quale tipo di informazione ci si riferisce. In effetti, una differente
assunzione sull’insieme informativo disponibile agli investitori puo condurre a conclusioni
differenti (e talvolta contraddittorie) riguardo all’efficienza dei mercati. E’ quindi oppor-
tuno individuare differenti concetti di efficienza dei mercati associati a differenti insiemi
informativi disponibili agli investitori.
Efficienza in forma debole (weak form efficiency). Il concetto di efficienza in
forma debole dei mercati assume che l’insieme informativo degli investitori contiene l’in-
formazione su tutti i prezzi (o, alternativamente, sui tassi di rendimento) correnti e passati
dei titoli. Quindi, un mercato si definisce efficiente in forma debole se non e possibile per gli
investitori ottenere in modo sistematico degli extra-rendimenti, sfruttando l’informazione
disponibile sui prezzi passati (e correnti) dei titoli scambiati sul mercato.
Efficienza in forma semi forte (semi-strong form efficiency). Il concetto di ef-
ficienza in forma semi-forte assume che l’insieme informativo degli investitori sia rappre-
sentato da tutta l’informazione pubblicamente disponibile. L’insieme informativo, quindi,
include adesso l’informazione sui prezzi passati dei titoli, ma non solo. Ad esempio, esso
puo includere gli annunci delle imprese sulla realizzazione di profitti nel futuro, sull’au-
mento di capitale o sull’emissione di prestiti obbligazionari. Quindi, un mercato e efficiente
in forma semi-forte quando i prezzi dei titoli si aggiustano istantaneamente ogniqualvolta
si rendono disponibili al pubblico nuove informazioni. Inoltre, nel caso di un mercato
efficiente in forma semi-forte non e possibile per gli investitori ottenere in modo sistema-
tico degli extra-rendimenti, sfruttando tutta l’informazione pubblica disponibile. Si noti
come l’insieme informativo rilevante per l’efficienza debole sia un sottoinsieme di quello
per l’efficienza semi forte. Cio implica che se un mercato e efficiente in forma semi forte
lo e anche in forma debole, mentre non e necessariamente vero il contrario (un mercato
potrebbe essere efficiente in forma debole ma non in quella semi forte).
199
III. Varieta dei concetti di efficienza dei mercati 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
Efficienza in forma forte (strong form efficiency). Il concetto di efficienza in
forma forte assume che l’insieme informativo includa tutta l’informazione pubblicamente
o privatamente disponibile nei mercati. In altri termini, in questo caso, in un merca-
to efficiente i prezzi delle attivita finanziarie riflettono non solo l’informazione pubblica
disponibile a tutti gli investitori, ma anche quella privata a disposizione esclusiva di sin-
goli investitori o gruppi di investitori. A questo punto, inoltre, dovrebbe essere chiaro
come in un mercato efficiente in forma forte non sia possibile ottenere in modo sistemati-
co dei rendimenti eccezionalmente elevati, sfruttando qualsiasi informazione che si renda
disponibile. Infine, poiche l’insieme informativo rilevante per l’efficienza forte contiene
sia l’insieme per l’efficienza semi forte e debole, se un mercato e efficiente in forma forte
lo e senz’altro anche in forma semi forte e in forma debole (mentre non e ovviamente
necessariamente vero il contrario).
III.A Il paradosso di Grossman-Stiglitz
A conclusione di questa sezione, e interessante discutere un importante “paradosso”
che si ricollega al concetto di efficienza in forma forte e che sembra implicare come esso
sia particolarmente complesso da realizzarsi. In effetti, finora abbiamo (implicitamente)
assunto che l’informazione sia disponibile liberamente e senza costo. Immaginiamo, inve-
ce, ora che sia costoso per gli investitori acquisire nuove informazioni. In tal caso, e logico
considerare che, per orientare le proprie decisioni di investimento, i singoli investitori de-
cidano di acquisire nuove informazioni fintanto che il beneficio connesso alla possibilita di
sfruttare le informazioni per effettuare scelte di investimento piu profittevoli e superiore
al costo. Come al solito, cio porta ad acquisire un “ammontare” di informazione per
cui l’uguaglianza tra beneficio marginale e costo marginale e soddisfatta. Peraltro, se il
mercato e efficiente in forma forte, ogni informazione acquisita privatamente si riflette
istantaneamente nel prezzo dei titoli. In altri termini, quando un investitore acquista
(privatamente) nuove informazioni, gli altri investitori potranno anch’essi prenderne co-
scienza senza bisogno di sostenere alcun costo, ma semplicemente osservando l’andamento
dei prezzi dei titoli. Cio, a sua volta, implica che nessun investitore abbia convenienza
a spendere risorse per acquistare nuove informazioni e, se non ci sono incentivi ad ac-
quistare nuove informazioni, i prezzi delle attivita finanziarie non potranno mai riflettere
l’informazione acquisita privatamente dai singoli investitori.
Questo paradosso e noto come paradosso di Grossman-Stiglitz, dal nome degli eco-
nomisti Sanford Grossman e Joseph Stiglitz che per primi lo hanno individuato. Esso
implica che si potranno creare gli incentivi ad acquisire (privatamente) nuove informazio-
ni solo quando i prezzi dei titoli non riflettano tutta l’informazione disponibile e quindi i
200
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti
mercati non siano efficienti in forma forte. Da cio ne deriva che il concetto di efficienza
in forma forte ha senso e puo realizzarsi in concreto solo quando tutta l’informazione e
disponibile senza costo per tutti gli investitori. In tal caso, peraltro, esso viene di fatto a
coincidere con quello di efficienza in forma semi-forte.
IV La dinamica dei prezzi e dei rendimenti in mercati efficienti
L’affermazione che in un mercato efficiente i prezzi riflettono pienamente l’informazione
disponibile e cosı generica che risulta difficile caratterizzarla teoricamente e quindi anche
verificarla empiricamente. Riprendendo un ben noto articolo di Eugene Fama del 1970,
l’efficienza nei mercati finanziari puo tuttavia essere espressa nel seguente modo:
E [pt+1|Ωt] = (1 + E [rt+1|Ωt]) pt, (8.1)
dove pt e il prezzo del titolo al periodo t (che e una variabile conosciuta), E[pt+1|Ωt] e il
prezzo atteso del titolo i al periodo t+1, dato l’insieme informativo disponibile al periodo
t, quest’ultimo espresso con il simbolo Ωt. E[rt+1|Ωt] rappresenta, infine, il tasso atteso
di rendimento al periodo t+ 1, anch’esso condizionato all’insieme informativo disponibile
al periodo t.
L’Eq. (??) e cosı generale che puo prestarsi a numerose specificazioni, sia riguardo
alla dinamica del prezzo atteso o del tasso atteso di rendimento, sia riguardo l’insieme
informativo (a quest’ultimo riguardo si rimanda alla discussione nella Sezione III). Peral-
tro, indipendentemente dal modello utilizzato per individuare il rendimento atteso, essa
esprime l’essenza fondamentale dell’ipotesi di mercati efficienti: Ωt si riflette interamente
nella formazione del prezzo pt+1.
IV.A Efficienza dei mercati come gioco equo
E’ possibile esprimere analiticamente anche il fatto che, se i mercati sono efficienti,
gli investitori non possano ottenere un extra-rendimento, se non casualmente, sfruttando
l’insieme informativo disponibile Ωt. In particolare, definendo l’eccesso nel valore del
titolo come:
xt+1 = pt+1 − E [pt+1|Ωt] , (8.2)
ovvero come la differenza tra il prezzo del titolo effettivamente osservato nel periodo t+ 1
e il prezzo atteso dagli investitori sulla base dell’informazione disponibile nel periodo t,
201
IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
l’ipotesi di mercati efficienti richiede che:
E [xt+1|Ωt] = 0. (8.3)
La condizione (8.3) puo anche essere espressa in termini di extra-rendimento, ovvero
definito l’extra-rendimento come:
zt+1 = rt+1 − E [rt+1|Ωt] (8.4)
in mercati efficienti deve verificarsi che:
E [zt+1|Ωt] = 0. (8.5)
Le Eqq. (8.3) e (8.5) garantiscono che in mercati efficienti il comprare o vendere titoli
e equivalente a partecipare ad un gioco equo (fair game). In altre parole, se tutti gli
investitori condividono lo stesso insieme informativo Ωt, non e possibile osservare una
sistematica sopravvalutazione/sottovalutazione di un’attivita, ovvero che un investitore
ottenga un extra/sotto-rendimento sistematico nei suoi investimenti.
IV.B L’efficienza dei mercati come martingala nei prezzi
Dall’Eq. (8.1) possiamo osservare come nel caso in cui abbiamo un rendimento atteso
positivo, ovvero
E [rt+1|Ωt] ≥ 0 (8.6)
allora debba valere:
E [pt+1|Ωt] ≥ pt. (8.7)
L’Eq. (8.7) definisce una submartingala per la sequenza dei prezzi p, ovvero il valore
atteso del prezzo al periodo t + 1 sara sempre maggiore od uguale al prezzo al periodo
t; diversamente, nel caso in cui E [pt+1|Ωt] ≤ pt si parla di supermartingala.5 Un caso
particolare e quello in cui:
E [rt+1|Ωt] = 0, (8.8)
da cui
E [pt+1|Ωt] = pt, (8.9)
che viene definita una martingala.
5L’origine del nome martingale e incerto, se non che veniva usato fin dal 1700 in Francia per indicareuna particolare strategia adottata nelle scommesse sul risultato del lancio di una moneta.
202
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti
Tramite il concetto di (sub)martingala possiamo individuare alcune proprieta carat-
terizzanti la dinamica dei rendimenti dei titoli sotto l’ipotesi di efficienza dei mercati.
Infatti, supponendo che il tasso atteso di rendimento sia costante nel tempo, l’Eq. (8.1)
puo essere riscritta come:
E [pt+1|Ωt] = (1 + µ) pt, (8.10)
dove
µ ≡ E [rt+1|Ωt] (8.11)
e il tasso di rendimento atteso. Osserviamo che anche E [rt+1|Ωt] possa essere considerata
una variabile casuale dipendendo da Ωt, che si modica nel tempo in risposta all’arri-
vo casuale di news. Calcolando, quindi, l’aspettativa del tasso di rendimento rispetto
all’insieme informativo Ωt, abbiamo che:6
EΩ [µ] = EΩ [Ee [rt+1|Ωt]] , (8.12)
da cui, ricordando che µ e assunto costante, applicando la Legge delle Aspettative Iterate:7
µ = Er [rt+1] ; (8.13)
quindi assumendo l’aspettativa condizionata del tasso di rendimento costante nel tempo
e pari a µ, l’aspettativa non condizionata e pure costante e pari a µ.
IV.C Camminata casuale (random walk) nel prezzo dei titoli
L’Eq. (8.13) si rivela cruciale nello studio della dinamica dei rendimenti in mercati
efficienti perche puo essere espressa come:
rt+1 = µ+ εt+1, (8.14)
dove per rispettare l’Eq. (8.11) deve valere che:
E [εt+1|Ωt] = E [εt+1] = 0. (8.15)
6Per evitare possibili confusioni, abbiamo riportato nel pedice dell’aspettativa la variabile rispetto allaquale l’aspettativa viene calcolata.
7In generale la Legge delle Aspettative Iterate stabilisce che Ex [Ey [y|x]] = Ey [y]. Per la dimostrazionesi rimanda ad un testo introduttivo di statistica.
203
IV. La dinamica dei prezzi e dei rendimenti 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
E’ interessante osservare che poiche εt ∈ Ωt; infatti, al periodo t, essendo rt conosciuto e
µ fissato, possiamo calcolare εt = rt − µ. Quindi, sulla base dell’Eq. (8.15) avremo:
E [εt+1|εt] = 0, (8.16)
da cui
E [εt+1, εt] = 0, (8.17)
ovvero gli ε devono essere non correlati nel tempo, oltre ad avere un valore atteso nullo.
Presa l’Eq. (8.14) e osservando che µ = rt − εt, abbiamo che:
rt+1 = rt + et+1, (8.18)
dove et+1 ≡ εt+1 − εt e quindi:
E [et+1] = 0. (8.19)
L’Eq. (8.18), unitamente all’Eq. (8.19), mostra come, sotto condizioni molto generali,
l’ipotesi di mercati efficienti implichi che i rendimenti dei titoli seguano una camminata
casuale (random walk). Infatti, possiamo osservare come, dato un certo rendimento rt al
periodo t, il rendimento nel periodo t + 1 sia pari a quest’ultimo a meno della variabile
aleatoria et+1, ovvero le fluttuazioni da un periodo all’altro siano del tutto causali.
Osserviamo come tale comportamento sia alla base della teoria del prezzo delle opzioni
discussa nel Capitolo 11, anche se nella sua versione piu restrittiva tale teoria assumeva che
εt+1 fosse distribuita come una variabile casuale normale, ovvero assumeva che i prezzi
seguissero un moto geometrico browniano. Tale ipotesi tuttavia e fortemente rigettata
dall’evidenza empirica, dove i rendimenti mostrano in genere una distribuzione di densita
asimmetrica a sinistra e con code spesse (eccesso di curtosi).
Una importante implicazione del comportamento random walk dei rendimenti e che
la loro covarianza nel tempo dovrebbe essere pari a zero, ovvero:8
cov (rt+1, rt−k) = 0 per k ≥ 0. (8.20)
Come vedremo, l’Eq. (8.20) e la base di una ampia letteratura che mira a verificare
l’efficienza in forma debole dei mercati finanziari.
8Possiamo infatti osservare che cov (rt+1, rt−k) = E [(rt+1 − µ) (rt−k − µ)] = E [εt+1εt−k] = 0 perl’ipotesi di correlazione temporale nulla tra gli ε.
204
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA V. L’evidenza empirica
V L’evidenza empirica sull’efficienza dei mercati finanziari
In questa sezione discuteremo come l’evidenza empirica supporti solo parzialmente
l’ipotesi di mercati efficienti. In primis discuteremo l’evidenza a favore/sfavore della pre-
senza di efficienza in forma debole; successivamente discuteremo dell’efficienza in forma
semi forte, per concludere con la discussione di altre anomalie osservate nei mercati azio-
nari, ossia di comportamenti potenzialmente non compatibili con l’ipotesi di efficienza dei
mercati.
V.A Test sull’efficienza in forma debole
La maggior parte dei test sull’efficienza in forma debole dei mercati finanziari sono
basati sull’Eq. (8.20). Nel seguito ne discuteremo i quattro piu importanti.
Il test della permanenza e cambiamento di segno. Uno dei test piu semplici
discussi in Fama (1970) e quello di contare il numero di eventi in cui per due giorni
(periodi) il rendimento in eccesso a quello medio del periodo oggetto di analisi mostra
una permanenza di segno, ossia ++ o −−, e il numero di eventi in cui per due giorni il
rendimento in eccesso mostra un cambiamento di segno, ossia +− o −+. Se i rendimenti
in eccesso, che rappresentano un misura di rt+1 − µ seguono un random walk, allora il
numero degli eventi con permanenza di segno e con cambiamento di segno dovrebbero
essere eguali. L’evidenza empirica sembra confermare l’ipotesi di random walk.
Regole di trading che permettono di ottenere extra-rendimenti. Un test piu
complesso prevede di adottare una regola di trading, rappresentata nella Figura 8.1, che
prevede l’acquisto dell’azione se il suo rendimento supera una certa soglia rMAX e di
tenere l’azione fino a quando il rendimento rimane sopra tale soglia; ovvero di vendere
allo scoperto l’azione se il suo rendimento scende sotto un’altra soglia rMIN e di tenere
la posizione fino a quanto il rendimento non superi tale soglia. Questa strategia, se di
successo, mostrerebbe come i rendimenti abbiamo una covarianza nel tempo abbastanza
significativa da permettere di ricavare un extra-rendimento sistematico. In altre parole,
il mercato sarebbe battuto sistematicamente da una regola di trading, contraddicendo
l’ipotesi di efficienza informativa in forma debole. Fama (1970) discute come alcune stra-
tegie abbiano potenzialmente la possibilita di generare un extra-rendimento sistematico,
che pero risulta negligibile una volta contabilizzati i costi di transazione per mettere in
pratica tale strategia di trading.9
9Nella realta la parte piu difficile della strategia di trading e fissare le soglie per l’acquisto e la venditaallo scoperto.
205
V. L’evidenza empirica 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
t
rt
rMIN
rMAX
Compro Vendo
Vendo allo scoperto
Liquido la posizione
Figura 8.1: Strategia di trading che sfrutta una possibile correlazione temporale positivatra i rendimenti per ottenere un extra-rendimento sistematico.
Covarianza nei rendimenti azionari. Fama (1970) discute come i test di correlazione
temporale derivati dall’Eq. (8.20) diano risultati diversi, a seconda se svolti sui singoli
titoli (assenza di correlazione significativa e quindi l’ipotesi di random walk non puo essere
rigettata) oppure sui portafogli (presenza di una correlazione significativa e quindi rigetto
dell’ipotesi di random walk); cosı come differenti risultati si ottengono considerando diversi
ordini di ritardo (ossia diversi k). In particolare, in letteratura si evidenzia il cosiddetto
effetto momentum, ossia le azioni che hanno fatto registrare elevati rendimenti nell’ultimo
anno, tendono a mantenere rendimenti elevati nei 3-6 mesi successivi, il che comporta una
correlazione positiva e significativa almeno nel breve periodo nei rendimenti. Tuttavia, si
osserva anche che le azioni che hanno registrato performance negative nell’arco temporale
compreso tra i tre e i cinque anni precedenti, presentano rendimenti positivi nei tre anni
successivi fino al quinto (effetto reversal o mean-reversion), il che implica una correlazione
negativa di lungo periodo tra i rendimenti. Entrambe i fenomeni, su cui esiste un certo
consenso tra gli economisti, sono tendenzialmente contrari all’ipotesi di mercati efficienti
in forma debole.
Eccessiva volatilita dei prezzi. Come sappiamo dal Capitolo 7 le serie storiche dei
prezzi delle azioni mostrano un eccesso di volatilita, cioe la tendenza a effettuare oscilla-
zioni piu ampie di quelle che potrebbero essere giustificabili dalle notizie che si diffondono
sugli utili e i dividendi delle imprese. Tale fenomeno, sostiene l’economista Robert Shiller,
ha un peso preminente e un ruolo molto piu generale delle altre anomalie nel mettere in
discussione la teoria di mercati efficienti. A cio possiamo aggiungere che questi eccessi di
volatilita tendono a manifestarsi in ben delimitati intervalli temporali, rendendo ancora
piu difficile trovare una spiegazione compatibile con l’ipotesi di efficienza dei mercati. E’
206
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA V. L’evidenza empirica
tuttavia difficile disegnare un test efficace per verificare che questo eccesso di volatilita
non sia compatibile con mercati efficienti (il piu famoso resta quello di Shiller, ma si veda
le critiche riportate nel Capitolo 7).
V.B Test sull’efficienza in forma semi forte
Una delle implicazioni piu generali della teoria di mercati efficienti e l’implicazione che
non si possano osservare fenomeni di sovrareazione (overreaction) o sottoreazione
(underreaction) dei prezzi dei titoli al sopraggiungere di nuove informazioni (news). In
particolare, si ha “sovrareazione” dei prezzi quando questi reagiscono in modo “sproposi-
tato” alle nuove informazioni, mentre si parla di “sottoreazione” dei prezzi quando questi
reagiscono troppo lentamente. Le Figure 8.2 e 8.3 mostrano graficamente la natura dei
due fenomeni messi a confronto con la situazione che si dovrebbe produrre in un contesto
di mercati efficienti in forma semi forte assumendo che µ = 0 e che al periodo t0 arrivi
una good news.
t
pt
t0
pA
pB
pC
Figura 8.2: Sovrareazione (overreaction) delprezzo di un’azione all’arrivo di una goodnews al periodo t0.
t
pt
t0
pA
pB
Figura 8.3: Sottoreazione (underreaction)del prezzo di un’azione all’arrivo di una goodnews al periodo t0.
In particolare, assumiamo che al tempo t0 si diffonda l’informazione riguardo profitti
piu alti del previsto (considerazioni del tutto simmetriche potrebbero essere sviluppate
nel caso si diffondano bad news, quali mancati utili previsti). In base all’ipotesi di mercati
efficienti cio si dovrebbe tradurre istantaneamente in un aumento del prezzo dell’azione
poiche il valore fondamentale dell’azione e aumentato (si veda il Capitolo 7). Tale si-
tuazione e rappresentata sia in Figura 8.2 che in Figura 8.3 dalla linea in grassetto, che
descrive un aumento al tempo t0 del prezzo dell’azione da pA (corrispondente al valore
fondamentale del titolo prima della good news) a pB (corrispondente al valore fondamen-
tale del titolo dopo la good news). Il caso di overreaction e invece descritto in Figura 8.2
dall’andamento della linea tratteggiata: il prezzo dell’azione sovrareagisce alla good news
207
V. L’evidenza empirica 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
in quanto, inizialmente, “schizza” da pA molto piu in alto del (nuovo) valore fondamen-
tale, ossia fino a pC , per poi aggiustarsi al valore corretto, ossia pB. In Figura 8.3, invece,
la linea tratteggiata illustra il caso di underreaction; in particolare, il prezzo sottoreagisce
alla good news poiche l’aumento del prezzo dal vecchio al nuovo valore fondamentale, ossia
da pA a pB, avviene solo gradualmente nel corso del tempo e non istantaneamente. Se
considerassimo µ > 0 allora dovremo considerare gli scostamenti del rendimento osservato
da µ; questi scostamenti dovrebbero essere pari a zero sia prima che dopo la news e solo
in questo periodo discostarsi significativamente da µ (in positivo o in negativo a seconda
del tipo di news).
Nel seguito discutiamo tre test sull’efficienza dei mercati in forma semi forte, che
forniscono tuttavia risultati discordanti tra loro.
Divisione (split) delle azioni Fama (1970) contiene una dettagliata analisi empirica
sull’effetto della divisione (split) delle azioni di societa quotate. In teoria tale split non
dovrebbe modificare il rendimento delle azioni, avendo come effetto il semplice aumento
delle azioni in circolazione. Tuttavia, il decidere un split delle azioni dovrebbe segna-
lare al mercato un probabile aumento dei dividendi e quindi un aumento nel livello dei
fondamentali. Questo dovrebbe portare ad un aumento dei corsi azionari. L’evidenza
empirica riportata da Fama riferita al mercato azionario statunitense (NYSE) nel periodo
1927-1959 sembra confermare tale predizione, con il fatto cruciale addizionale che tali
movimenti avvengono tutti nel periodo di annuncio dell’operazione di split, o poco prima,
mentre non si osservano movimenti dopo lo split. In particolare Fama calcola la cumu-
lata dei residui dei rendimenti rispetto ad un benchmark di riferimento (che dovrebbe
rappresentare il µ), ovvero Ut =∑t
s=0 εs e, riportandolo su un grafico contro il tempo,
ottiene una curva simile a quella riportata con una linea continua nella Figura 8.4. Fama
interpreta tale evidenza a supporto dell’ipotesi di efficienza in forma semi forte per il
mercato NYSE. Se cosı non fosse stato, la curva osservata sarebbe stata simile a quella
riportata in Figura 8.4 con una linea tratteggiata.
Effetto annuncio utili e dividendi (earnings/dividends announcement effect).
L’efficienza in forma semi forte non sembra verificata quando si consideri l’annuncio da
parte delle imprese di nuovi utili e/o di una politica dei dividendi piu generosa in futuro.
In particolare, i corsi azionari anziche aggiustarsi immediatamente alla news, continuano
a salire (o a scendere, nel caso di bad news) per circa un anno dal momento dell’annuncio,
il che corrisponderebbe alla linea tratteggiata riportata nella Figura 8.4.
208
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA V. L’evidenza empirica
t
Ut
t0
Figura 8.4: Effetti di uno split azionario al periodo t0 sul presso di un’azione nel casovalga l’ipotesi di efficienza in forma semi forte (linea continua), oppure non valga (lineatratteggiata).
Rendimenti di breve e lungo periodo di IPO e SEO. Altre dinamiche dei prezzi (e
dei rendimenti) che sembrano violare l’efficienza in forma semi forte sono state riscontrate
nel caso di offerta al pubblico dei titoli di societa che si quotano sul mercato per la prima
volta, le cosiddette IPO (Initial Public Offerings). In particolare, i rendimenti iniziali nelle
settimane immediatamente successive alla quotazione tendono a essere elevati rispetto a
titoli di societa a loro comparabili, mentre negli anni successivi alla prima quotazione,
i tassi di rendimento in media tendono a essere relativamente bassi. Una dinamica non
dissimile si registra nei periodi successive alla raccolta di capitale sul mercato (SEO,
Seasoned Equity Offerings).
V.C Altre anomalie dei mercati finanziari
Le anomalie nei prezzi/rendimenti per certi versi piu suggestive che violano l’ipotesi
di mercati efficienti sono relative alla correlazione osservata tra l’andamento dei prezzi
azionari ed alcuni particolari periodi dell’anno o rispetto alle condizioni meteorologiche.
Nel seguito elenchiamo alcune anomalie riscontrate nel corso del tempo, con l’avvertenza
che alcune di loro sembrano essere sparite:
• effetto gennaio. Nel mese di gennaio, specialmente nella prima meta del mese, il
rendimento e piu alto rispetto agli altri mesi dell’anno;
• effetto Halloween. I rendimenti azionari sono mediamente piu elevati nel periodo
tra novembre e aprile, ovvero i rendimenti inizierebbero a salire dopo il 31 ottobre
di ogni anno, il giorno di Halloween appunto;
209
V. L’evidenza empirica 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
• effetto cambio del mese. Si riscontra un forte aumento dei rendimenti dei titoli
nell’ultimo giorno lavorativo del mese e nei primi giorni di quello successivo;
• effetto lunedı (monday blues). Generalmente, i prezzi dei titoli appaiono piu
bassi il lunedı;
• effetto ora della contrattazione (hour-of-the-day-effect). I maggiori rendi-
menti si presentano all’inizio e al termine della giornata di borsa;
• effetto vacanza. Nei giorni prefestivi si verifica una maggiore variabilita dei prezzi
e una loro tendenza al rialzo.
• effetto sole. I prezzi salgono nei giorni di sole. Al contrario, tanto piu nuvolosa e
la giornata, tanto piu elevata e la probabilita che i prezzi scendano.
In conclusione ricordiamo quattro anomalie che hanno attirato una particolare atten-
zione in letteratura. Le prime due le abbiamo gia incontrate nei Capitoli 5 e 6, ovvero il
fatto che le azioni delle imprese di piu piccole dimensioni ottengono tassi di rendimento
piu elevati rispetto a quelli delle imprese di piu grandi dimensioni (il fattore SML del
three-factor model di Fama e French); e questo vale anche per le imprese con un elevato
rapporto valore contabile su valore di mercato (il fattore HML del three-factor model di
Fama e French). Al modello di Barsky e De Long del Capitolo 7 invece possiamo attri-
buire il fatto che le imprese con un basso rapporto tra prezzo delle azioni e utili (P/E)
(price/earnings ratio) mostrano rendimenti futuri in eccesso rispetto al loro benchmark.
Infine, ha destato un accesso dibattito il cosiddetto paradosso del fondo comune di
investimento chiuso (closed-end mutual fund paradox ). Spesso, infatti, si osserva che il
prezzo di mercato di un fondo comune di investimento chiuso non sia uguale al valore
netto, o NAV (net asset value), delle partecipazioni incluse nel fondo.10 In particolare, al
momento del collocamento e nelle prime settimane si osserva che i fondi chiusi quotino a
premio, cioe il prezzo di mercato del fondo e maggiore del valore netto delle partecipazioni,
mentre durante la maggior parte della loro vita quotino a sconto (prezzo di mercato del
fondo inferiore al valore netto delle partecipazioni) e, solo alla scadenza, si riavvicinano
al valore netto delle partecipazioni. In un articolo del 1991 Charles Lee, Andrei Shleifer,
e Richard Thaler, spiegano questo paradosso sulla base dei cambiamenti nell’umore degli
10I fondi comuni chiusi sono caratterizzati da un numero di quote predeterminato e invariabile neltempo. Inoltre, e possibile il rimborso delle quote solo in periodi determinati per cui e previsto l’obbligodi quotazione sul mercato, cosı che l’investitore che vuole liquidare il proprio investimento lo possa farevendendo le quote sul mercato. Tali fondi si distinguono dai piu diffusi fondi comuni aperti. Questi ultimisono caratterizzati dalla variabilita del patrimonio, che puo aumentare o diminuire in funzione delle nuovesottoscrizioni o delle domande di rimborso delle quote che possono avvenire in qualsiasi momento.
210
8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA V. L’evidenza empirica
investitori (investor sentiment). Il Capitolo 9 fornira ulteriori spunti di riflessione su
questi comportamenti anomali osservati nei mercati finanziari.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Capp. 18, 19 e 20.
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Cap. 22.
• Fama, E. F., Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work,
Journal of Finance, 25(2), 1970.
• Fama, E. F., Market Efficiency, Lon-term Returns, and Behavioral Finance, Journal
of Financial Economics, 49, 1998.
• Lee, C.M.C., A. Shleifer, e R. H. Thaler. “Investor sentiment and the closed-end
fund puzzle.” The Journal of Finance 46, 1991, pp. 75-109.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Cap.
19.
211
V. L’evidenza empirica 8. L’EFFICIENZA INFORMATIVA
212
Capitolo 9
Finanza comportamentale
I modelli analizzati nei capitoli precedenti, relativi alle scelte di portafoglio e alla de-
terminazione dei prezzi di equilibrio nei mercati finanziari, si fondano sul presupposto
che gli investitori siano agenti razionali e, in funzione delle loro preferenze (attitudine nei
confronti del rischio), attuano comportamenti e prendono decisioni in modo prevedibile
sulla base di processi volti a massimizzare la loro utilita. Inoltre, nel fare questo, essi
utilizzano l’informazione sulla distribuzione dei rendimenti dei titoli finanziari e, nel va-
lutare potenziali scelte di investimento, non commettono errori sistematici nel senso di
sovrastimare o sottostimare i rendimenti attesi delle singole attivita.
Sebbene l’economista John Maynard Keynes sottolineasse gia negli anni trenta come
gli agenti economici, in generale, e quelli che operano nei mercati finanziari, in particolare,
siano mossi da impeti e pulsioni quasi viscerali (quelli che lui definiva animal spirits) e,
quindi, non sia possibile descrivere e analizzare molte delle loro decisioni sulla base di un
modello di scelta razionale, questo ultimo ha rappresentato per lungo tempo il riferimento
indiscusso con cui la teoria economica ha studiato il funzionamento dei mercati finanziari.
A partire dagli anni ottanta, peraltro, anche alla luce delle molte “anomalie” registrate
nell’ambito dei mercati finanziari che non trovano una spiegazione del tutto convincente
sulla base della teoria standard, un nuovo filone di studi ha iniziato ad approcciarsi allo
studio della finanza sulla base del presupposto che gli investitori non si comportino razio-
nalmente di fronte all’incertezza e a scelte che presuppongono un certo grado di rischio.
In particolare, tale filone di ricerca, definito finanza comportamentale (behavioral
finance), unisce allo studio dell’economia il lavoro di psicologi e sociologi, i quali indaga-
no su come nella realta gli individui ragionano, elaborano i dati a disposizione e risolvono
i problemi di valutazione e di decisione, enfatizzando come non sia possibile comprende-
re adeguatamente la finanza tralasciando di considerare il ruolo decisivo che tali aspetti
giocano sul funzionamento dei mercati.
213
I. Errori comportamentali ed euristiche 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
I Errori comportamentali ed euristica delle decisioni d’investi-
mento
L’approccio comportamentale mira a individuare i limiti alla razionalita degli investi-
tori e a descriverne l’impatto sulle loro scelte di investimento. In particolare, la sfida piu
grande della finanza comportamentale e quella di dimostrare che questi errori possono
essere tipizzati in quanto comuni alla maggioranza degli investitori. In gergo tecnico,
questi errori sono chiamati bias comportamentali. Rappresentano in realta una pre-
disposizione a commettere un errore. Si tratta dunque di “pregiudizi” nel senso proprio
del termine, ossia di qualcosa che viene prima del giudizio e puo condurre all’errore. A
secondo della loro natura, un primo modo per suddividere gli errori comportamentali degli
investitori e quello in errori cognitivi ed errori emozionali.1
Errori cognitivi. Nella categoria degli errori cognitivi, due bias sono ritenuti partico-
larmente importanti in ambito comportamentale: l’iper-ottimismo e l’overconfidence. Il
primo e legato alla sovrastima delle probabilita di esiti favorevoli e alla sottostima del-
le probabilita di quelli sfavorevoli, che portano a commettere errori di valutazione nella
formulazione delle stime. Invece, l’overconfidence (ossia l’eccesso di sicurezza) porta a
sovrastimare le proprie capacita previsionali, le proprie abilita e le proprie conoscenze,
quindi ad avere un’eccessiva sicurezza nei propri mezzi. Questi tipi di errore sono stati
confermati da molti esperimenti di psicologia cognitiva e hanno una grande importanza
in campo finanziario perche possono contribuire a determinare fenomeni importanti come
l’eccessivo volume di scambi o la propagazione di bolle speculative. L’overconfidence ha
poi una serie di altre manifestazioni, quali l’“effetto meglio della media” e quello relativo
all’“illusione del controllo”. Nel primo caso ci si riferisce al fatto che le persone ritengono
di avere capacita superiori alla media, mentre il tema dell’illusione del controllo si mani-
festa invece nella convinzione di poter controllare eventi che oggettivamente sfuggono al
controllo diretto come, ad esempio, l’andamento del mercato azionario.
Se l’iper-ottimismo e l’overconfidence possono condurre a commettere errori prima o
durante il processo di elaborazione e gestione delle informazioni, esistono errori cognitivi
anche successivamente alla decisione di investimento. A tale riguardo, due sono gli errori
tipici: l’errore di attribuzione e l’errore del “senno di poi” o del giudizio retrospettivo.
Il primo si riferisce al fatto che gli individui tendono ad incolpare altri per gli errori di
scelta commessi e, al contrario, lodare se stessi per le decisioni andate a buon fine. Il
1Si noti come spesso errori cognitivi ed errori emozionali siano psicologicamente collegati. Nelle scienzemediche, ad esempio, esiste un’ampia letteratura che sottolinea come le emozioni giocano un ruolo centralenel processo con cui si formano i ricordi degli esseri umani.
214
9. FINANZA COMPORTAMENTALE I. Errori comportamentali ed euristiche
secondo, invece, consiste nel pensare che l’esito di un determinato evento fosse ovvio e
prevedibile gia al momento in cui viene presa la decisione, mentre in realta era giustificabile
e comprensibile solo a posteriori.
Errori emozionali. Accanto agli errori cognitivi, nel processo decisionale compaiono
altri fattori appartenenti alla sfera emotiva dell’investitore, anch’essi di assoluta rilevan-
za. Una delle emozioni piu importanti e costituita dalla paura del rimpianto che deriva
dalla sofferenza che provoca rendersi conto di aver fatto una scelta sbagliata. Sebbene il
rimpianto, per sua natura, si verifica ex-post, puo condizionare la scelta anche ex-ante.
La paura di prendere una decisione sbagliata, e poi di rimpiangerla, puo infatti bloccare
gli investitori e impedire loro di scegliere. Inoltre, poiche il rimpianto ha un impatto psi-
cologico piu forte del rammarico, che si prova per non aver preso una decisione che invece
si sarebbe rivelata corretta, il primo puo condurre del tutto all’inazione. Un meccanismo
mentale di difesa dal rimpianto che puo acquisire un ruolo determinante sul funzionamento
dei mercati finanziari (ad esempio nel caso di formazione di bolle speculative) e costituito
dai comportamenti mimetici o gregari (herd behaviour), che consistono nell’omologazione
a determinati comportamenti di massa. Seguire cio che fanno gli altri ci offre infatti la
possibilita di condividere gli sbagli, riducendo cosı il rimpianto e i suoi effetti negativi.
Altro importante fattore che condiziona la scelte degli investitori appartenente alla
sfera emotiva e l’avversione all’ambiguita, atteggiamento tipico degli individui a rifiutare
situazioni ambigue, nonche l’attitudine a preferire rischi conosciuti a rischi sconosciuti.
Parzialmente connesso con questo aspetto e in campo finanziario il fenomeno dell’home
bias, consistente nel preferire gli investimenti geograficamente vicini (nazionali) che si
crede di conoscere meglio o a cui ci sentiamo affettivamente piu legati, rinunciando pero
in questo modo a sfruttare appieno i benefici connessi alla diversificazione internazionale
del portafoglio di investimento.
Il punto centrale della finanza comportamentale e quello di sottolineare come, data
la complessita delle decisioni che gli investitori si trovano ad affrontare, essi ricorrono a
“scorciatoie” mentali note come euristiche, che sono guidate dai pregiudizi/errori (bias)
discussi precedentemente. Queste “euristiche” derivano dal fatto che spesso gli individui
prendono decisioni su base intuitiva. La valutazione di un particolare evento (investi-
mento) non segue regole matematico-statistiche come vorrebbe la teoria tradizionale, ma
avviene a livello psicologico tramite l’assegnazione di valori affettivi che possono essere
positivi o negativi. Tre euristiche che intervengono nelle fasi di raccolta ed elaborazioni
delle informazioni giocano un ruolo particolarmente rilevante nelle scelte di investimento:
la disponibilita, la rappresentativita e l’ancoraggio.
215
I. Errori comportamentali ed euristiche 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
L’euristica della disponibilita interviene nel processo di raccolta delle informazioni e
implica che le persone tendano a fare maggiore affidamento sulle informazioni che sono
piu facilmente reperibili, anche se non sono necessariamente quelle piu rilevanti per la
decisione da prendere. In altre parole, un individuo stima la frequenza, la probabilita o
semplicemente le cause di un evento attraverso l’intensita con cui tali fatti o avvenimenti
sono disponibili nella sua memoria. Se da un lato questa euristica puo consentire di
giungere a conclusioni corrette, in quanto gli eventi che si verificano con maggior frequenza
sono spesso i piu facili da ricordare, dall’altro, poiche la disponibilita di informazioni e
influenzata anche da fattori che non sono legati all’effettiva frequenza di un evento, puo
anche condurre a decisioni sbagliate.
La disponibilita e particolarmente importante per valutare l’effetto dei mass media
nelle comunicazioni finanziarie. La diffusione di notizie su eventi accaduti ad altri sog-
getti vengono amplificate dalla stampa e la loro forza persuasiva finisce per condizionare
i comportamenti e le scelte degli individui portandoli spesso a concentrare i propri ac-
quisti su titoli con maggiore copertura mediatica o che hanno, nei giorni precedenti al-
l’acquisto, sperimentato significative variazioni di prezzo e, che per questi motivi, hanno
maggiormente attratto la loro attenzione.
Se la disponibilita interviene nel processo di raccolta di informazioni, le euristiche
della rappresentativita e dell’ancoraggio riguardano la fase di gestione ed elaborazione
delle informazioni. In particolare, la prima fa riferimento al fatto che le persone spesso
ragionano su base intuitiva. Osservando un evento, gli individui tendono ad associarlo a
uno stereotipo, ossia vedono quell’evento come rappresentativo di una classe piu generale
di eventi. Di conseguenza, la probabilita attribuita a un evento viene a dipendere da
quanto, nella mente dell’individuo, esso risulta appunto “rappresentativo” di una certa
classe di eventi. Cio, chiaramente, genera distorsione perche la percezione pubblica di
quanto un evento sia rappresentativo di un certo stato del mondo puo essere scarsamente
correlata con la probabilita effettiva che tale stato del mondo si realizzi.
Nei mercati finanziari, la distorsione nel valutare le probabilita oggettive degli eventi si
puo evidenziare particolarmente nei momenti di forti emozioni, sia in periodi di espansione
del mercato, sia in situazioni di crisi e instabilita, che portano gli individui a comporta-
menti di ansia e panico. In particolare, la rappresentativita puo condurre all’overreaction
dei prezzi azionari, ossia al fatto che i prezzi delle attivita risultano reagire eccessivamente
al sopraggiungere di nuove informazioni (si veda il Capitolo 8). All’iniziale sovrareazione,
che porta i prezzi a “schizzare” molto piu in alto del valore fondamentale, segue poi una
graduale correzione al ribasso, in quanto performance positive di medio termine porte-
rebbero gli investitori a fare considerazioni di lungo termine eccessivamente ottimistiche
riguardo al rendimento del titolo. Cio da luogo a una reazione spropositata rispetto
216
9. FINANZA COMPORTAMENTALE II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto
a quella opportunamente connessa al fondamentale, con la correzione (reversal) che ne
consegue in seguito.
L’ancoraggio, infine, e un modello di distorsione cognitiva che si esplica attraverso la
consuetudine degli agenti economici impegnati nel risolvere un problema o nel prendere
una decisione ad ancorarsi a un’informazione ritenuta saliente o a un’ipotesi iniziale. Tale
“ancora” puo derivare dal valore assunto precedentemente da un certo fenomeno, dal
modo in cui il problema e presentato o da un’informazione casuale. Sebbene poi l’ancora
iniziale possa essere rivista e riconsiderata per giungere alla decisione finale, tuttavia,
in genere, le revisioni sono insufficienti e la decisione finale risultera cosı “sbilanciata”
rispetto all’ipotesi di partenza.
Anche l’ancoraggio puo contribuire a spiegare importanti fenomeni spesso riscontrati
nell’ambito dei mercati finanziari quali, ad esempio, quelli di overreaction e di under-
reaction, legati entrambi a loro volta a un altro fenomeno noto come conservatorismo,
facilmente riscontrabile nel comportamento degli analisti finanziari. Questi ultimi, infat-
ti, spesso partono con stime iniziali sulle caratteristiche di un’impresa e, in particolare,
sulla possibilita che questa possa ottenere profitti positivi. Quando poi si diffondono nuove
informazioni a tale riguardo, l’analista tende a leggerle sulla base delle probabilita stimate
inizialmente; se le nuove informazioni sono positive e confermano le stime iniziali, la rea-
zione dell’analista tendera all’ottimismo esagerato, generando fenomeni di overreaction.
Al contrario, se le stime iniziali erano negative, una nuova informazione, benche positiva,
portera l’analista a rivedere la sua valutazione in modo conservativo, sottostimando la
possibilita che l’impresa possa generare in futuro profitti significativi, con il conseguente
fenomeno di underreaction.
II Evidenza sperimentale e approcci comportamentali alle scelte
in condizioni di incertezza: la teoria del prospetto
La teoria dell’utilita attesa, analizzata nel Capitolo 2, descrive e analizza il comporta-
mento razionale di soggetti chiamati a scegliere in condizioni di incertezza (o di rischio)
e costituisce il fondamento teorico dei modelli della finanza tradizionale. Come discusso
nel paragrafo precedente, numerosi esperimenti di psicologia cognitiva hanno dimostrato
pero che le scelte degli esseri umani, comprese quelle in campo finanziario, violano spes-
so i principi della razionalita economica. Alla luce di cio, gli psicologi israeliani Daniel
Kahneman e Amos Tversky hanno esplicitamente contestato la teoria dell’utilita attesa di
Von Neumann e Morgenstern intesa come teoria “descrittiva”, cioe mirante a fornire una
217
II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
descrizione di come gli individui effettivamente si comportano di fronte a una decisione.2
I loro lavori si sono concentrati, da un lato, sullo studio dell’effettivo giudizio umano in
condizioni di incertezza, con la tipica adozione di procedimenti euristici semplificati e il
conseguente emergere di errori e distorsioni (bias), e, dall’altro lato, sullo sviluppo di una
teoria della scelta vera e propria basata sull’evidenza empirica e alternativa a quella del-
l’utilita attesa. Tale teoria prende il nome di teoria del prospetto (prospect theory).
Quest’ultima rappresenta il fondamento della finanza comportamentale, cosı come di mol-
te altre branchie dell’approccio comportamentale alla teoria economica.3 In particolare,
la teoria del prospetto enfatizza alcune violazioni principali di quella dell’utilita attesa
che possono essere ricondotte ai seguenti fenomeni, in parte collegati tra loro: i) l’effetto
contesto; ii) l’effetto certezza; iii) l’effetto riflesso e l’avversione alle perdite; e iv) l’effetto
isolamento.
L’effetto contesto (framing) esprime il fatto che il contesto in cui gli individui
si trovano a effettuare le proprie scelte gioca un ruolo determinante sulla scelta stessa.
In particolare, il modo in cui il problema viene presentato influisce su come l’individuo
percepisce il punto di partenza (o “status quo”), rispetto a cui valutare i possibili esiti
delle proprie azioni, il che puo condurre a scelte diverse per situazioni identiche, sebbene
presentate in modo differente. Cio contrasta chiaramente con la teoria dell’utilita attesa,
in base alla quale gli individui, indipendentemente da come gli oggetti di scelta in condi-
zioni di incertezza (lotterie) sono presentati, scelgono sempre la lotteria con la piu elevata
utilita attesa. Il seguente celebre esperimento realizzato da Kahneman e Tversky su due
campioni di soggetti chiarisce meglio la questione.4
Esempio 47 (Effetto contesto)
A due distinti gruppi di individui veniva posto separatamente il seguente problema chie-
dendo ai partecipanti cosa avrebbero fatto se la scelta fosse dipesa da loro: negli Stati
Uniti sta per giungere una nuova malattia proveniente dall’Asia, sono a rischio le vite di
600 persone.
Al primo gruppo veniva chiesto di scegliere uno tra due programmi sanitari (Program-
ma A e Programma B) che avrebbero garantito rispettivamente i seguenti risultati:
Programma A: 200 persone si salvano;
2Ovviamente, diversa e la questione relativa al valutare la teoria nella prospettiva di stabilire lecondizioni ideali (“normative”) secondo cui una decisione puo essere definita “razionale”. Su questoaspetto, si rimanda alla discussione nel paragrafo conclusivo di questo capitolo.
3Kahneman e stato insignito del premio Nobel per l’economia nel 2002. E’ solo la tradizione dell’Ac-cademia svedese di non attribuire il premio alla memoria a individuare il solo Khaneman, e non ancheTversky scomparso nel 1996, come destinatario del premio.
4Tale esperimento e noto come Problema della malattia asiatica (Asian Disease Problem).
218
9. FINANZA COMPORTAMENTALE II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto
Programma B: 1/3 di probabilita di salvare tutti, 2/3 di probabilita di non salvare
nessuno.
Al secondo gruppo veniva invece chiesto di scegliere tra i programmi sanitari C e D,
con i rispettivi risultati:
Programma C: 400 persone muoiono;
Programma D: 1/3 di probabilita che nessuno muoia, 2/3 di probabilita che muoiano
tutti.
Sebbene dal punto di vista di contenuto i programmi A e B sono del tutto equivalenti
rispettivamente ai programmi C e D, nell’esperimento di Kahneman e Tversky le risposte
dei due gruppi sono state profondamente diverse. Nel primo gruppo la maggioranza dei
soggetti ha scelto il programma A (72% dei soggetti), mentre nel secondo gruppo la scelta
prioritaria (78% dei soggetti) e caduta sul programma D.
Nell’esempio appena considerato, il modo (contesto) con cui i programmi sono pre-
sentati ha giocato quindi un ruolo rilevante nella scelta dei soggetti. E evidente, infatti,
che al primo gruppo e stato sottoposto un messaggio che focalizzava su elementi positivi,
mentre al secondo gruppo e stato esposto a contenuti negativi. Si puo notare, inoltre,
che nel primo caso i soggetti si sono orientati verso un risultato di tipo certo, mentre nel
secondo caso la polarizzazione delle risposte e invece avvenuta intorno alla soluzione di
tipo probabilistico.
L’effetto certezza (certainty effect) consiste invece nel fatto che gli individui at-
tribuiscono un peso eccessivo, rispetto a quanto postulato dalla teoria dell’utilita attesa,
ai risultati (favorevoli) che sono considerati certi rispetto a quelli che sono soltanto pro-
babili. L’esempio forse piu noto di tale constatazione e dovuto al fisico ed economista
francese Maurice Allais, replicato successivamente in molti altri esperimenti condotti da
Kahneman e Tversky.
Esempio 48 (Paradosso di Allais)
Ad alcuni soggetti veniva proposta la scelta tra le seguenti due lotterie:
LA = (0, 1000, 5000;1
100,
89
100,
10
100) e LB = (1000; 1)
e la maggioranza dei soggetti sceglieva la somma certa 1000, cioe preferiva LB a LA.
Successivamente, agli stessi soggetti veniva presentata la scelta tra le due seguenti
lotterie:
LC = (0, 5000;90
100,
10
100) e LD = (0, 1000;
89
100,
11
100)
219
II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
e la scelta modale era per la lotteria C, cioe la maggioranza dei soggetti preferiva LC a
LD.
E’ facile verificare che la scelta di LB nel primo caso e quella di LC nel secondo caso
non sono tra loro coerenti in base alla teoria dell’utilita attesa. Infatti, si noti che nella
prima scelta la maggiore probabilita di vincere 1000 con LB rispetto a LA e pari a 0,11;
quindi, preferire LB a LA implica che:
0, 11 · u(1000) > 0, 10 · u(5000).
Al contrario, nella seconda scelta, preferire LC a LD implica che:
0, 11 · u(1000) < 0, 10 · u(5000)
il che e in contraddizione con la scelta precedente.
Il paradosso di Allais puo essere spiegato appunto con il fatto che gli individui
tendono a non valutare in modo corretto le probabilita oggettive, apprezzando in modo
sproporzionato eventi certi e trascurando del tutto invece le differenze di realizzazione di
eventi molto poco probabili. Cio puo anche portare a decisioni piu rischiose quando le
probabilita delle scelte rilevanti sono tutte molto basse.5
L’effetto certezza risulta spesso evidente in campo finanziario, ad esempio, nelle scel-
te del portafoglio di investimento: gran parte della ricchezza di molti investitori viene
concentrata in attivita con rendimento certo o con bassa volatilita a scapito invece di
rendimenti di piu lungo termine. Inoltre, quando le probabilita di successo sono molto
basse, l’attenzione degli investitori si concentra principalmente sul guadagno potenziale
trascurando di considerare le probabilita oggettive con cui questo puo realizzarsi, potendo
cosı contribuire alla formazione di bolle finanziarie.
Un altro tipo di violazione sistematica della teoria standard dell’utilita attesa a costi-
tuito dall’effetto riflesso (reflection effect). Nella teoria standard, le preferenze degli
individui sono relative alla ricchezza finale in termini assoluti e ne determinano l’atteg-
giamento nei confronti del rischio in maniera stabile. Un individuo puo essere avverso,
neutrale o propenso al rischio, ma non avverso al rischio in determinati casi e propenso in
altri. Al contrario, l’effetto riflesso (anch’esso derivato sulla base di numerosi esperimenti
empirici) afferma che gli individui valutano i guadagni e le perdite rispetto a un determi-
nato punto di riferimento (tipicamente lo status quo, la situazione nella quale ci si trova
in quel momento) e tendono dunque a prendere decisioni in base a variazioni di ricchezza
5Tecnicamente, questo implica che venga meno la proprieta di linearita nelle probabilita checaratterizza la teoria dell’utilita attesa.
220
9. FINANZA COMPORTAMENTALE II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto
e non tanto in base ai livelli assoluti; cio porta ad avere un atteggiamento nei confronti
del rischio che varia a seconda che si stiano valutando guadagni o perdite potenziali.
In particolare, Khaneman e Tversky conducono numerosi esperimenti che dimostrano
come di fronte a problemi di scelta “simmetrici”, in cui alla probabilita di conseguire
guadagni si sostituisce quella di subire una perdita di pari ammontare, le preferenze degli
individui cambino radicalmente: nelle loro scelte, gli stessi individui mostrano un atteg-
giamento di avversione al rischio nei guadagni e di propensione al rischio nelle perdite.
Ad esempio, se tra la lotteria (3000, 100%) e quella (0, 4000; 20%, 80%) preferiscono la
prima alla seconda, tra (−3000, 100%) e (0,−4000; 20%, 80%) preferiscono la seconda alla
prima. Si noti anche come l’effetto riflesso contribuisce a qualificare meglio l’atteggia-
mento degli individui verso la (in)certezza. In particolare, non e sempre vero cio che
potrebbe desumersi da un’interpretazione poco attenta dell’effetto certezza, cioe che la
certezza sia generalmente desiderabile. Piuttosto, cio che emerge e che la certezza aumenti
l’indesiderabilita delle perdite cosı come l’attrattivita dei guadagni.6
Oltre a mutare il proprio atteggiamento nei confronti del rischio di fronte a (potenziali)
perdite e guadagni, gli individui, come largamente confermato dall’evidenza sperimenta-
le, di fronte a una perdita subiscono un dispiacere superiore del piacere che ottengono in
virtu di una vincita dello stesso ammontare. In altri termini, le perdite hanno propor-
zionalmente un impatto maggiore dei guadagni nel guidare le loro scelte. Tale fenomeno
prende il nome di avversione alle perdite (loss aversion). In particolare, Khaneman
e Tversky deducono questa proprieta dei comportamenti degli individui dal fatto che, ti-
picamente, le persone non accettano di “giocare” lotterie del tipo (−100, 110; 50%, 50%).
Come vedremo piu dettagliatamente nel paragrafo successivo, anche l’avversione alle per-
dite, cosı come l’effetto riflesso, giocano un ruolo particolarmente rilevante nell’ambito dei
mercati finanziari, contribuendo a spiegare importanti fenomeni che si osservano in tali
mercati.
Infine, l’effetto isolamento (isolation effect), riguarda la tendenza che hanno gli
individui di scomporre ogni alternativa nelle sue componenti piu importanti, trascurando
gli elementi comuni tra piu opzioni e concentrando l’attenzione e la successiva decisio-
ne unicamente sugli aspetti differenziali. Anche in questo caso, un esempio puo con-
tribuire a chiarire la natura dell’effetto isolamento e, soprattutto, a evidenziarne la sua
incompatibilita con la teoria dell’utilita attesa.
6Cio emergeva chiaramente anche dal Problema della malattia asiatica, che abbiamo analizzato nell’E-sempio 47 nel descrivere l’effetto contesto. Quando il problema veniva presentato enfatizzando gli aspettipositivi (guadagno), la maggioranza dei soggetti preferiva la certezza. Se, viceversa, era presentatoevidenziando gli aspetti negativi (perdita), la maggioranza preferiva il risultato incerto.
221
II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
Esempio 49 (Effetto isolamento)
Ad alcuni soggetti era posta la seguente offerta: ti sara donata una somma pari a 1000 e
poi dovrai scegliere tra le seguenti due lotterie:
LA = (0, 1000; 50%, 50%) e LB = (500; 100%)
e la maggioranza dei soggetti sceglieva LB.
Agli stessi soggetti veniva poi posta quest’altra offerta: ti sara donata una somma pari
a 2000 e poi dovrai scegliere tra le seguenti due lotterie:
LC = (−1000, 0; 50%, 50%) e LD = (−500; 100%)
e la maggioranza dei soggetti sceglieva LC .
Dal risultato dell’esperimento emergono due aspetti. In primo luogo, e confermata la
presenza di un effetto riflesso: nelle loro scelte la maggioranza dei soggetti si e dimostrata
avversa al rischio nei guadagni e propensa al rischio nelle perdite. In secondo luogo, si noti
come considerati in termini di risultati finali (cioe considerando anche il bonus iniziale),
i due problemi di scelta sono identici. Infatti (sommando i bonus iniziali alle lotterie):
LA = (1000, 2000; 50%, 50%) = LC e LB = (1500; 100%) = LD
questo perche il secondo problema e semplicemente ottenuto dal primo aggiungendo una
somma pari a 1000 come bonus iniziale e sottraendo una stessa somma (1000) da tutti
i risultati delle due lotterie. Chiaramente, le risposte modali ottenute nei due problemi
sono incompatibili con la teoria dell’utilita attesa, la quale implica che a uno stesso livello
di ricchezza finale debba essere assegnata la stessa utilita, indipendentemente dal livello di
ricchezza iniziale dal quale e conseguita. In altri termini, per la teoria dell’utilita attesa,
se i soggetti dimostrano di preferire LB a LA, poiche LA = LC e LB = LD, avrebbero
anche dovuto preferire LD a LC .
L’apparente incongruenza nelle scelte dei soggetti che emerge nell’Esempio 49 si spiega
proprio con il fatto che, evidentemente, essi non hanno integrato il bonus con le lotterie
e questo in quanto il bonus era comune a entrambe le opzioni di ciascun problema. Non
tener conto del bonus conferma anche come cio che davvero rileva nell’effettuare la scelta
e la variazione della ricchezza (il guadagno o la perdita rispetto allo status quo) piuttosto
che il suo livello finale in termini assoluti (che include anche la ricchezza corrente).
Sulla base delle violazioni sistematiche della teoria dell’utilita attesa registrate nei
loro esperimenti, Khaneman e Tversky propongono una teoria alternativa delle scelte in
condizioni di incertezza che risulti coerente con tali violazioni, la prospect theory. In
222
9. FINANZA COMPORTAMENTALE II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto
particolare, nell’ambito della teoria del prospetto, la fase di valutazione (in cui a ciascuna
lotteria viene assegnato un valore) e scelta vera e propria, viene preceduta da una fase di
editing, in cui le varie lotterie vengono codificate, elaborate e rappresentate mentalmente,
dove quindi l’euristica individuale gioca un ruolo centrale. In effetti, per effetto della fase
di editing i veri oggetti di scelta non sono oggetti del mondo reale bensı diventano delle
vere e proprie rappresentazioni mentali e, alla fine, l’insieme delle lotterie effettivamente
valutate dall’individuo puo essere anche molto diverso da quello originario.7
Dopo la fase di editing, i soggetti valutano ognuna delle lotterie “elaborate mental-
mente” sulla base del seguente funzionale, che sostituisce la funzione di utilita attesa della
teoria standard:
Γ(L) = υ(W1−W )ω(π1)+υ(W2−W )ω(π2)+...+υ(Wm−W )ω(πm) =m∑
k=1
υ(Wk−W )ω(πk)
(9.1)
per cui una lotteria L1 e preferita a un’altra lotteria L2, e dunque L1 e scelta rispetto a
L2, se e solo se risulta Γ(L1) > Γ(L2).
Nell’Espressione (9.1), un ruolo centrale (che la differenzia in modo sostanziale dal-
l’utilita attesa Von Neumann-Morgenstern) e svolto dalle funzioni υ e ω che catturano
i risultati dei numerosi esperimenti empirici. In particolare, υ rappresenta una funzione
del valore che, coerentemente con l’effetto isolamento, e definita non sulla ricchezza finale
ottenuta nello stato k, Wk, ma su deviazioni da un certo punto di riferimento (referen-
ce point) che, in generale, puo essere rappresentato dalla ricchezza iniziale W , per cui
(Wk −W ) > 0 rappresenta un guadagno, mentre (Wk −W ) < 0 una perdita rispetto alla
ricchezza iniziale.8
Inoltre, in linea con l’effetto riflesso, υ e generalmente concava per (Wk −W ) > 0 e
convessa per (Wk −W ) < 0, esprimendo un atteggiamento di avversione al rischio nei
guadagni e propensione al rischio nelle perdite. Infine, si assume anche che tale funzione sia
piu inclinata nelle perdite che nei guadagni, cosı da catturare l’avversione alle perdite che
caratterizza le decisioni degli individui. In Figura 9.1 viene fornita una rappresentazione
7Tutto cio rappresentava una vera e propria novita nel contesto della teoria economica delle decisionima e del tutto naturale nel campo della psicologia cognitiva.
8In effetti, l’individuazione del reference point rispetto al quale valutare i guadagni (o le perdite)rappresenta un punto delicato della teoria, in quanto non chiarito perfettamente da Kahneman e Tversky.Ad esempio, in campo finanziario, i guadagni potrebbero essere valutati relativamente alla ricchezzacomplessiva dell’investitore oppure in termini di valore delle attivite finanziarie da esso possedute, ossiain termini di rendimento ottenuto su tali attivite. In questo secondo caso, inoltre, il guadagno derivante daun investimento potrebbe essere considerato semplicemente il conseguimento di un rendimento positivo,oppure di un rendimento in eccesso rispetto al tasso risk-free, oppure ancora di un rendimento in eccessorispetto a quello atteso.
223
II. Evidenza sperimentale e teoria del prospetto 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
grafica della funzione del valore, che ingloba tutte queste caratteristiche.9
guadagni perdite
valore, 𝜐
𝜐(∙)
reference point
Figura 9.1: Funzione del valore
La funzione ω, che rappresenta un distacco ancor piu marcato rispetto alla teoria stan-
dard, e invece detta funzione di ponderazione, in quanto trasforma (in modo non lineare)
le probabilita di ciascun evento in “pesi decisionali”; in funzione della probabilita che si
realizzi, a ciascun evento viene dato un peso piu o meno grande nella valutazione della
lotteria che lo comprende. In primo luogo, si assume piuttosto naturalmente (e tradizio-
nalmente) che valga ω(0) = 0 e ω(1) = 1: a un evento che non puo verificarsi viene dato
peso zero, mentre a quello che si verifichera certamente peso uno. Peraltro, in generale,
si considera che la somma dei pesi sia inferiore a uno (tale proprieta viene definita sub-
certainty) e che: i) per eventi con probabilita molto basse vale che ω(πk) > πk, ossia gli
9Una possibile forma funzionale che consente di ottenere una funzione del valore analoga a quella dellafigura e υ(x) = xα per x ≥ 0 e υ(x) = −λ(−x)α per x < 0, dove x rappresenta il guadagno o la perditadell’individuo ((W−W ), per usare la simbologia utilizzata nella formula 9.1), mentre λ e α rappresentanodue parametri relativi alle sue preferenze (in particolare, il primo cattura il suo grado di avversione alleperdite).
224
9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari
individui tendono a sovrapesare (rispetto alle probabilita effettive) gli eventi estremi;10
e ii) nell’intorno degli estremi ω(0) = 0 e ω(1) = 1, la funzione di ponderazione non e
definita (non e continua), per cui possono succedere cose “strane” nel senso che, per eventi
certi, il peso aumenta sproporzionatamente o, piu correttamente, in modo discontinuo e,
per eventi che non possono realizzarsi, diminuisce allo stesso modo. Una possibile rappre-
sentazione della funzione di ponderazione proposta da Kahneman e Tversky e presentata
in Figura 9.2.
probabilità, 𝜋
funzione di ponderazione 𝜔(𝜋)
0 1
peso 𝜔
0
1
Figura 9.2: Funzione di ponderazione
III Alcuni fenomeni osservati nei mercati finanziari spiegabili
dalla finanza comportamentale
Gia nelle sezioni precedenti di questo capitolo e stato sottolineato come i fondamenti
alla base dell’economia comportamentale contribuiscono a spiegare svariati eventi facil-
mente rintracciabili nell’ambito dei mercati finanziari. In questa sezione ci soffermeremo
piu dettagliatamente su come l’approccio comportamentale possa fornire utili indicazioni
per comprendere alcuni specifici fenomeni che hanno attratto particolare attenzione da
parte degli analisti finanziari, al punto da essere stati definiti dei veri e propri puzzle, in
quanto difficili da spiegare in base alla teoria standard.
10Kahneman e Tversky derivano questa ipotesi dalla constatazione che tipicamente molti individuiscelgono, da un lato, di stipulare contratti assicurativi e, dall’altro, di acquistare biglietti di lotterie,scelte difficilmente conciliabili sulla base della teoria dell’utilita attesa.
225
III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
“Asset allocation puzzle” e behavioural portfolio theory
Il modello media-varianza delle scelte di portafoglio, analizzato dettagliatamente nel
Capitolo ??, prevede che gli investitori siano in grado di classificare e determinare la
combinazione ottima di attivita rischiose sulla base di due soli parametri: la media e
la varianza (o la deviazione standard) dei rendimenti. L’investitore razionale e quindi
in grado di selezionare l’insieme dei portafogli che si collocano sulla frontiera efficiente,
che a parita di rischio massimizzano il rendimento atteso e a parita di rendimento atteso
minimizzano il rischio. Il portafoglio scelto da un certo investitore dipendera poi dalle sue
preferenze, ossia dal suo atteggiamento nei confronti del rischio. Nell’ambito del modello,
tutto cio si “condensa” nel noto Teorema di separazione o del fondo comune (mutual fund
separation theorem), secondo cui tutti gli investitori con le stesse aspettative sulle medie,
le varianze e le covarianze dei rendimenti dei titoli allocano parte della loro ricchezza
in un’attivita rischiosa uguale per tutti e la restante parte nell’attivita priva di rischio,
mentre il grado di avversione al rischio determina il rapporto fra quanto viene investito
nell’attivita priva di rischio e quanto nella componente rischiosa. Inoltre, nel CAPM,
poiche si assume che tutti gli investitori condividano le stesse aspettative, la componente
rischiosa dell’investimento di ciascun investitore coincide con il portafoglio di mercato.
In un noto studio, Niko Canner, Gregory Mankiw e David Weil11 presentavano i dati
riportati nella seguente Tabella 9.1, corrispondenti ai suggerimenti di quattro ben noti
consulenti finanziari su come comporre un portafoglio di investimento, allocando la ric-
chezza da investire tra tre differenti classi di attivita (azioni, obbligazioni e liquidita), in
funzione del differente grado di rischio che l’investitore e disposto a tollerare. La questio-
ne che emerge dai dati della tabella e che le indicazioni dei consulenti finanziari violano
sistematicamente cio che ci si dovrebbe attendere in base al Teorema di separazione, de-
terminando quindi quello che e divenuto noto in letteratura come un vero e proprio asset
allocation puzzle .
11N. Canner, G. Mankiw e D. Weil, “An Asset Allocation Puzzle”, American Economic Review 87(1),1997.
226
9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari
Advisor % Rapporto
Rischio investimento Liquidita Obbligazioni Azioni Obbligazioni/Azioni
Fidelity
Basso 50 30 20 1, 50
Medio 20 40 40 1, 00
Alto 5 30 65 0, 46
Merrill Lynch
Basso 20 35 45 0, 78
Medio 5 40 55 0, 73
Alto 5 20 75 0, 27
Jane Bryant Quinn
Basso 50 30 20 1, 50
Medio 10 40 50 0, 80
Alto 0 0 100 0, 00
The New York Times
Basso 20 40 40 1, 00
Medio 10 30 60 0, 50
Alto 0 20 80 0, 25
Fonte: Canner, Mankiw e Weil (1997).
Tabella 9.1: Asset allocation puzzle
In particolare, il Teorema di separazione stabilisce che la proporzione fra azioni e ob-
bligazioni, che rappresentano le attivita rischiose considerate nella tabella, e che quindi
(secondo il CAPM) formano il portafoglio di mercato, debba rimanere costante, mentre
debba variare esclusivamente la proporzione fra la quota allocata al portafoglio di mercato
e quella alla liquidita, che rappresenta tra le tre attivita considerate nella tabella quella
priva di rischio.12 In particolare, all’aumentare del rischio tollerato dall’investitore (ossia
al diminuire del grado di avversione al rischio) dovrebbe aumentare la quota investita nel
portafoglio di mercato (senza pero modificarne la composizione tra azioni e obbligazioni)
e viceversa per portafogli piu conservativi, destinati a investitori piu avversi al rischio.
Invece, come emerge dai dati, la percentuale fra azioni e obbligazioni varia sia fra i porta-
fogli suggeriti dai diversi consulenti, sia fra i portafogli dedicati a investitori con diverse
preferenze (avversione al rischio) e, in particolare, all’aumentare della tolleranza al rischio,
aumenta la percentuale di azioni, mentre portafogli piu conservativi hanno una maggiore
12La liquidita e qui da intendere piu specificatamente come attivita scambiate nel mercato monetario,ossia titoli obbligazionari a breve termine emessi dallo Stato americano, quindi privi di rischio.
227
III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
percentuale di obbligazioni. Sebbene Canner, Mankiw e Weil analizzino dettagliatamente
la possibilita che tale apparente anomalia possa essere risolta rimuovendo semplicemente
le ipotesi semplificatrici alla base del CAPM (assenza di un’attivita priva di rischio, limiti
alle vendite allo scoperto e/o alla possibilita di indebitarsi senza limiti al tasso risk-free,
e altre ancora), tutto cio non riesce a risolvere il puzzle in modo convincente e porta gli
autori a concludere che e difficile offrirne una spiegazione utilizzando esclusivamente la
teoria standard con investitori perfettamente razionali.
Una spiegazione piu convincente dell’asset allocation puzzle puo essere fornita dalla
teoria comportamentale delle scelte di portafoglio (behavioral portfolio theo-
ry), proposta per primi da Hers Shefrin e Meir Statman, che si basa sui fondamenti della
finanza comportamentale discussi precedentemente e, in particolare, sulla teoria del pro-
spetto e sul concetto (euristica) del mental accounting. Quest’ultimo concetto, elaborato
dall’economista Richard Thaler13, si fonda a sua volta sulla funzione del valore della pro-
spect theory (in particolare sulle sue proprieta di avversione alle perdite e “inversione”
dell’atteggiamento nei confronti del rischio rispetto a un reference point) e prevede che le
scelte economiche siano mediate da un vero e proprio sistema di conti mentali nei quali gli
individui tendono a suddividere il denaro, creando differenti “budget” per il suo utilizzo e
suddividendo in categorie la ricchezza e il reddito.14 Nell’ambito di ciascun conto menta-
le, poi, gli individui tendono a identificare specifici reference points, rispetto ai quali (con
un atteggiamento che ricalca la funzione del valore della teoria del prospetto) valutano
separatamente i risultati ottenuti con le proprie scelte. La teoria del mental accounting
si presta a essere applicata a molti ambiti delle scelte economiche, dalle decisioni di spesa
a quelle di risparmio. In particolare, nell’ambito specifico delle scelte di portafoglio, gli
investitori detengono portafogli “segmentati” e ciascun segmento del portafoglio, a cui
tipicamente sono allocati titoli finanziari aventi natura diversa, rispecchia uno specifico
“conto mentale”.
Una sintesi del modo in cui gli investitori formano i loro portafogli di investimento in
base a tale approccio e rappresentata dallo schema noto come piramide stratificata degli
investimenti, in cui i “conti mentali” giocano un ruolo estremamente rilevante. Secondo
tale schema, di cui e fornita una possibile rappresentazione in Figura 9.3, gli investitori
formano i portafogli suddividendoli in differenti strati, in modo da formare una piramide.
A ciascuno strato sono allocate determinate attivita finanziarie con lo scopo di conseguire
specifici obiettivi, che riflettono i diversi bisogni emozionali dell’investitore. Alla base
13Thaler ha ottenuto il premio Nobel per l’Economia nel 2017 per i suoi contributi all’economiacomportamentale.
14Cio contrasta con il principio di fungibilita del denaro, adottato dalla teoria economica classica, in baseal quale le risorse monetarie sono sostituibili perfettamente a prescindere dalla fonte da cui provengonoo dall’impiego a cui sono destinate.
228
9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari
della piramide, che riflette tipicamente il bisogno di sicurezza, sono destinate maggiori
risorse finanziarie ai fini di protezione, mentre man mano che si sale verso il vertice si
riservano importi sempre minori per investimenti caratterizzati da un livello di rischio
maggiore con lo scopo di ricercare potenziali guadagni.
certificati di deposito, conti di risparmio,titoli di Stato a breve termine
titoli a medio-lungo termine del debito pubblico,obbligazioni società solide finanziariamente
azioni,obbligazioni ad alto rendimento
strumenti di finanza derivata
Strato 1
Strato 2
Strato 3
Strato 4
LIQUIDITA’
SICUREZZA
CRESCITA
SPECULATIVO Obiettivo
Obiettivo
Obiettivo
Obiettivo
Figura 9.3: Piramide stratificata degli investimenti
Piu specificatamente, come rappresentato in figura, gli investimenti alla base della
piramide hanno essenzialmente lo scopo di garantire la liquidita necessaria per soddisfa-
re bisogni primari e fondamentali, come ad esempio pagare l’affitto o la rata del mutuo
della casa, le spese correnti, ecc., e possono consistere in certificati di deposito, conti
di risparmio o titoli di Stato a breve termine, ossia in titoli sostanzialmente privi di ri-
schio. Successivamente, negli strati immediatamente pu alti della piramide, si inseriscono
obbligazioni statali a piu lungo termine e obbligazioni societarie in grado di fornire mag-
giori rendimenti, ma con rischio sempre contenuto. Agli strati ancora piu alti, invece, gli
investitori allocano gli investimenti maggiormente rischiosi, consistenti in azioni e obbli-
gazioni ad alto rendimento (high-yield bonds), che hanno lo scopo di generare una crescita
del valore del portafoglio. In ultimo, al vertice della piramide si collocano investimenti
estremamente rischiosi, come ad esempio i derivati utilizzati a fini speculativi (e non di
229
III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
copertura). Chiaramente, le quote destinate a ciascun investimento nei diversi strati della
piramide variano in base al grado di avversione al rischio di ciascun individuo, ma la
struttura a strati via via decrescenti in base alla rischiosita degli strumenti utilizzati e che
distingue tra i bisogni emozionali (esigenza di liquidita, sicurezza dell’investimento, ricer-
ca di opportunita di crescita di valore del proprio portafoglio, ecc.) tipici degli investitori
sembra adattarsi bene alla realta vissuta da molti individui.
L’elemento essenziale che contraddistingue il modo con cui si realizzano le scelte di
investimento descritto in precedenza e dunque rappresentato dal fatto che tramite la seg-
mentazione del portafoglio ciascun investitore tende a suddividere l’intero investimento
in conti mentali diversi. La scelta tra azioni e obbligazioni, ad esempio, proprio perche
titoli tipicamente destinati a conti mentali (segmenti del portafoglio) diversi, viene fatta
in modo indipendente, il che conduce l’investitore a trascurare la covarianza tra i rendi-
menti delle prime rispetto a quelli delle seconde. Analogamente, un individuo potrebbe
decidere di investire sia in titoli stranieri che domestici, destinando i primi in un con-
to mentale e i secondi in un altro. A causa della separazione in conti mentali distinti,
potrebbe quindi percepire i titoli esteri come altamente rischiosi, non tenendo conto del-
l’effetto della covarianza tra le due tipologie di titoli sul rischio totale di portafoglio (il
che contribuisce a spiegare anche il fenomeno dell’home bias effect). Tutto cio, da un
lato, contraddice uno dei precetti fondamentali del modello media-varianza e del Teorema
di separazione, in base al quale la componente rischiosa dell’investimento (che include
la scelta di azioni e obbligazioni, domestiche e straniere) dovrebbe essere fatta nel suo
complesso tramite un’attenta valutazione, volta a garantire la migliore diversificazione
del portafoglio complessivo, di come i rendimenti di tutte le attivita rischiose (siano esse
azioni o obbligazioni) sono tra loro correlati. D’altro lato, pero, puo fornire una spiega-
zione convincente dell’asset allocation puzzle, che emerge dallo studio di Canner, Mankiw
e Weil. Trascurando il ruolo della diversificazione tra titoli destinati a strati diversi del
portafoglio nel ridurre il rischio complessivo di investimento, puntare a rendimenti piu
elevati comporta necessariamente scegliere attivita che si collocano negli strati piu alti
(considerati piu rischiosi) della piramide, ossia aumentare la quota investita in azioni ri-
spetto a quella in obbligazioni. All’aumentare del grado di rischiosita dell’investimento
che si intende realizzare, quindi, il rapporto tra obbligazioni e azioni diminuisce.
Il “disposition effect”, ossia vendere i titoli “vincenti” e continuare a detenere quelli
“perdenti”
Un altro fenomeno che ha attratto particolare attenzione in finanza e quello noto
come effetto disposizione (disposition effect) che consiste nella tendenza a vendere
230
9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari
“troppo presto” gli investimenti in guadagno e a tenere “troppo a lungo” quelli in perdita.
Tale tendenza ha dato prova di essere un fenomeno particolarmente robusto nell’ambito
dei mercati finanziari, che riguarda le scelte di portafoglio sia di investitori individuali,
sia di investitori istituzionali, quali i fondi comuni di investimento.
Per capire la natura del fenomeno, consideriamo l’esempio seguente.15 Supponiamo
che un investitore detenga in portafoglio cinque titoli azionari: A, B, C, D e E. Sui titoli
A e B sta ottenendo un potenziale (ossia “sulla carta”) guadagno, in quanto il prezzo di
mercato dei titoli e maggiore di quello a cui l’investitore li ha acquistati, mentre sui titoli
C, D e E sta ottenendo una potenziale perdita (il loro prezzo di mercato e inferiore a
quello a cui li ha acquistati). Nello stesso momento, un altro investitore ha in portafoglio
tre titoli azionari: F , G e H. Sui titoli F e G sta ottenendo un (potenziale) guadagno,
mentre sul titolo H una (potenziale) perdita. Supponiamo che il primo investitore decida
di vendere i titoli A e C, realizzando un guadagno sul primo e una perdita sul secondo.
Lo stesso giorno (o il giorno successivo) il secondo investitore decide di liquidare la sua
posizione rispetto al titolo F , realizzando un guadagno.
Al termine di queste operazioni, due potenziali guadagni sono stati effettivamente
realizzati dagli investitori e altri due sono rimasti sulla carta, mentre una sola perdita po-
tenziale e stata effettivamente realizzata e le altre tre sono rimaste sulla carta. Definendo
con RG e RP , rispettivamente, il numero di guadagni e di perdite effettivamente realiz-
zati e con PG e PP il numero dei guadagni e delle perdite potenziali che rimangono solo
sulla carta, avremo che la proporzione di guadagni realizzati (PGR) e quella di perdite
realizzate (PPR) risulteranno rispettivamente:
PGR =RG
RG+ PG
PPR =RP
RP + PP.
Il disposition effect puo essere quindi quantificato come DE = PGR−PPR e saremo
in presenza di tale fenomeno se vale DE > 0, ossia PGR > PPR (e questo il caso del
nostro esempio dove PGR = 1/2 e PPR = 1/4, per cui DE = 1/4).
Ma perche il disposition effect rappresenta un’anomalia difficile da spiegare in base
ai modelli di scelta razionale degli investitori? La teoria tradizionale (quale il CAPM)
insegna che la scelta di acquistare o vendere un titolo debba dipendere non da quella che
e stata la performance passata del titolo ma da quella che ci si aspetta sara la sua perfor-
mance futura. Piu specificatamente, titoli ritenuti “sottoprezzati”, per cui ci si aspetta
che in futuro il prezzo salga, dovrebbero essere mantenuti in portafoglio (possibilmente,
15Esso e tratto da un noto studio sul disposition effect : T. Odean, “Are Investors Reluctant to RealizeTheir Losses?”, Journal of Finance 53(5), 1998.
231
III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
incrementandone la quota detenuta), mentre titoli “sovraprezzati” dovrebbero essere ven-
duti. In tal senso, consideriamo un titolo che abbia fatto registrare un aumento del prezzo
rispetto al momento in cui un investitore l’ha acquistato, ma al contempo immaginiamo
che l’investitore continui a ritenere che il titolo sia comunque sottoprezzato rispetto al suo
prezzo di equilibrio. In questo caso, la scelta razionale consisterebbe non nel vendere il
titolo (in modo da realizzare il guadagno), bensı nel continuare a detenerlo in portafoglio
nella prospettiva di ottenere un maggior guadagno futuro. Viceversa, se un titolo ha fatto
registrare un calo di prezzo ma si ritiene che sia ancora sovraprezzato, la scelta razionale
sarebbe di vendere il titolo, sebbene cio comporti realizzare una perdita (comunque piu
bassa rispetto a quella che si avrebbe detenendo il titolo fino a che il mercato non e tornato
in equilibrio).
Altri fattori poi possono giocare un ruolo nell’etichettare l’effetto disposizione (se
osservato dalla prospettiva di un agente perfettamente razionale) come un’anomalia di
mercato. Come e stato evidenziato nel capitolo precedente, i mercati azionari mostrano
spesso un andamento caratterizzato dalla presenza di un effetto momentum: le azioni
che hanno avuto nel recente passato migliori (peggiori) performance continuano, per un
certo periodo di tempo, ad avere una performance migliore (peggiore) rispetto alla me-
dia. In virtu di cio, gli investitori dovrebbero concentrare le vendite tra quei titoli che
hanno avuto performance peggiori, mentre l’effetto disposizione indica che gli investitori
fanno esattamente il contrario. Infine, anche considerando il ruolo delle imposte, la scelta
di vendere i titoli “vincenti” e continuare a tenere quelli “perdenti” risulta difficile da
spiegare. Infatti, i guadagni in conto capitale sulle attivita finanziarie sono tassati solo
quando il guadagno viene effettivamente realizzato, il che dovrebbe spingere gli investitori
a ritardare la vendita di un titolo “vincente”. Al contrario, la realizzazione di una perdita
in conto capitale puo consentire di ottenere un vantaggio fiscale, il che dovrebbe spingere
gli investitori a vendere i titoli “perdenti”.
Ecco quindi che per spiegare l’effetto disposizione che si osserva nella realta puo es-
sere necessario ricorrere ai fondamenti alla base della finanza comportamentale tra cui,
in particolare, la teoria del prospetto, nonche considerare il ruolo che giocano le emo-
zioni, in particolare il rimpianto e l’orgoglio, nelle decisioni finanziarie. In particolare,
una spiegazione del disposition effect emerge chiaramente se consideriamo la forma della
funzione del valore nella teoria del prospetto. Poiche gli individui sono propensi al rischio
nella regione delle perdite (ossia, la funzione del valore e convessa in tale regione) e la
perdita si realizza nel momento in cui il titolo viene venduto, essi tenderanno a rimandare
la vendita di un titolo in perdita (“sulla carta”) nella speranza di poterla annullare nel
corso del tempo, anche se questo espone al rischio che la perdita aumenti ulteriormente.
Inoltre, non vendere subito il titolo puo anche consentire di procrastinare il momento in
232
9. FINANZA COMPORTAMENTALE III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari
cui il rimpianto (con il dispiacere ad esso collegato) di aver fatto un investimento sbagliato
si manifesta definitivamente. Chiaramente, considerando che la funzione del valore cam-
bia concavita nella regione dei guadagni e le persone dimostrano di diventare avverse al
rischio in tale regione, gli investitori tendono invece a vendere rapidamente (troppo pre-
sto) i titoli “vincenti”, cosı da godere immediatamente del piacere e l’orgoglio derivante
dalla realizzazione dei guadagni e non rischiando invece di perderli nel corso del tempo
(anche quando la situazione e tale per cui e verosimile che i guadagni possano aumentare
ulteriormente).
Si noti, inoltre, che in questa prospettiva anche la teoria del mental accounting gioca
un ruolo importante. Infatti, se gli individui considerassero gli investimenti nel loro com-
plesso (come la finanza classica suggerisce), le perdite subite su alcuni titoli potrebbero
non produrre particolare dispiacere se compensate (meglio, se piu che compensate) da
guadagni ottenuti su altri titoli (questa e di fatto la funzione della diversificazione di por-
tafoglio!). Ma se invece gli investitori tendono ad “aprire” singoli conti mentali distinti
per ciascuna attivita (o per gruppi di attivita considerate omogenee) in cui investono la
propria ricchezza, una perdita su un titolo, una volta realizzata, non verra compensata
dai guadagni ottenuti su altri titoli e, tenuto conto anche della particolare avversione degli
individui alle perdite, spingera l’investitore a far di tutto per procrastinarla.
Distribuzione asimmetrica dei rendimenti, prezzi ed “equity premium puzzle”
Nel modello CAPM, analizzato nel Capitolo 4, gli investitori si comportano in ba-
se al modello media-varianza delle scelte di portafoglio che, a sua volta, si fonda sulla
teoria dell’utilita attesa. In equilibrio, le diverse attivita finanziarie presentano prezzi e
rendimenti attesi diversi semplicemente perche sono caratterizzate da beta differenti, cioe
in quanto i rispettivi rendimenti sono correlati diversamente con quello del mercato nel
suo complesso. Il rischio idiosincratico (o non di mercato), invece, non gioca alcun ruo-
lo nel determinare il prezzo (e il rendimento atteso) di ciascun titolo, in quanto tramite
un’adeguata diversificazione di portafoglio puo essere completamente eliminato. La teoria
del prospetto, invece, sembra suggerire dei risultati diversi e, in particolare, che non solo
la media ma anche il grado di asimmetria (skewness) della distribuzione dei rendimenti,
persino la parte di tale asimmetria “idiosincratica” cioe non correlata al rendimento del
mercato, sia rilevante nel determinare i prezzi delle attivite finanziarie. In particolare,
dalla teoria del prospetto e possibile dedurre che titoli i cui rendimenti sono caratterizzati
da distribuzioni asimmetriche a destra (coda destra della distribuzione piu “spessa” di
quella sinistra), ossia da un indice skew > 0, presenteranno prezzi piu elevati, e quin-
di rendimenti attesi piu bassi, rispetto a quelli previsti dal CAPM (o da qualsiasi altro
233
III. Fenomeni osservati nei mercati finanziari 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
modello che si fondi sulla teoria dell’utilita attesa). Viceversa per titoli caratterizzati da
distribuzioni dei rendimenti asimmetriche a sinistra.
L’intuizione che sta dietro a tale conclusione e semplice. In particolare, in base alla
teoria del prospetto, gli agenti economici, inclusi gli investitori, tendono a sovrappesare
i risultati (guadagni e perdite) che si realizzano negli stati del mondo meno probabili,
cioe in corrispondenza delle code delle distribuzioni. Di conseguenza, saranno disposti a
pagare un prezzo piu elevato (relativamente a quello in cui i risultati estremi non sono
sovrappesati) per quei titoli la cui probabilita (comunque bassa) di avere guadagni straor-
dinari eccede quella di ottenere perdite eccezionali. Chiaramente, gli investitori, in quanto
propensi a pagare prezzi (relativamente) piu elevati per questi titoli, dovranno accettare
rendimenti attesi piu bassi sugli stessi titoli. Diversi studi empirici confermano che il
grado di asimmetria delle distribuzioni dei rendimenti giochi un ruolo nel determinare i
prezzi delle attivita finanziarie e, piu specificatamente, che, a parita di altri fattori, titoli
con distribuzioni dei rendimenti asimmetriche a destra sono caratterizzati da rendimenti
attesi inferiori.
La stessa logica (sia pur al contrario) che riguarda i rendimenti delle singole attivita
puo prestarsi per spiegare un altro importante fenomeno in campo finanziario che riguar-
da il rendimento del mercato azionario nel suo complesso, divenuto noto con il nome di
equity premium puzzle . Esso consiste nel fatto che storicamente il rendimento medio
del mercato azionario (in particolare quello americano, ma risultati analoghi sono stati
riscontrati anche in molti altri Paesi) e risultato di gran lunga piu elevato di quello del
titolo risk-free (ad esempio, per gli Stati Uniti, quello dei Treasury bills), rispetto a quan-
to previsto dai modelli basati sulla teoria standard.16 In questo caso, la spiegazione del
puzzle puo legarsi al fatto che il mercato azionario e soggetto alla possibilita di speri-
mentare crisi improvvise e catastrofiche, il che ne rende la distribuzione del rendimento
aggregato asimmetrica a sinistra. Se gli investitori sovrappesano questi rari eventi, essi
richiederanno un premio per il rischio per detenere un portafoglio di mercato (aziona-
rio) particolarmente elevato, certamente maggiore rispetto a quello previsto considerando
esclusivamente il ruolo svolto dalla semplice avversione al rischio, come previsto dalla
teoria standard dell’utilita attesa.
16Ovviamente, come abbiamo visto ad esempio nel CAPM, anche la teoria standard prevede un premioper il rischio positivo per le attivita rischiose, quali le azioni, che remuneri gli investitori (avversi alrischio) per la scelta di detenere tali attivita anziche investire il proprio denaro in un titolo sicuro (risk-free). Il problema sta nel fatto che per giustificare il premio per il rischio fatto registrare storicamente dalmercato azionario nel suo complesso (che a seconda dello studio e del periodo considerato oscilla tra il 5e il 9%) utilizzando modelli teorici standard (consistenti, in particolare, in estensioni del modello CAPMa un contesto intertemporale, il cosiddetto ConsumptionCAPM ), gli investitori avrebbero dovuto avereun coefficiente relativo di avversione al rischio (si veda l’Appendice del Cap. 2) molto elevato, superiorea 30, mentre dalle stime empiriche emerge che tipicamente nella realta questo indice e vicino a 1.
234
9. FINANZA COMPORTAMENTALE IV. Limiti all’arbitraggio
Oltre al ruolo svolto dal modo particolare con cui gli investitori pesano le probabilita
associate ai differenti stati del mondo, altri approcci comportamentali discussi precedente-
mente possono contribuire a spiegare il fenomeno dell’equity premium puzzle: l’avversione
alle perdite e il mental accounting. In particolare, quando gli investitori sono avversi
alle perdite (cioe soffrono dalle perdite un dispiacere piu che proporzionale del piace-
re che ottengono dai guadagni) assume estrema rilevanza la frequenza con cui valutano
l’andamento dell’investimento. Le azioni, sebbene rappresentino tipicamente la forma di
investimento piu redditizia nel lungo periodo, sono contraddistinte da una forte volatilita
di breve periodo, anche giornaliera, dei prezzi e dei rendimenti. Cio rende questa for-
ma di investimento particolarmente sgradita a investitori avversi alle perdite e che, come
suggerisce la teoria del mental accounting, considerano i singoli titoli (o gruppi di titoli)
come singoli “conti mentali”, valutandone quindi il rischio individualmente (tralasciando,
cioe, di considerare il ruolo della correlazione tra rischi “concorrenti”) e, soprattutto, su
orizzonti temporali brevi (tipicamente un anno). In virtu di cio, tanto piu l’avversione
alle perdite e la tendenza a valutare l’investimento molto frequentemente sono diffuse tra
gli investitori, combinazione anche definita “avversione miope alle perdite” (myopic loss
aversion), tanto maggiore sara il rendimento atteso richiesto dal mercato (in aggregato)
per detenere titoli azionari, determinando quindi un premio per il rischio per questi titoli
anche molto piu elevato rispetto a quello giustificabile sulla base della sola (e semplice)
avversione al rischio.17
IV Limiti comportamentali alla possibilita di arbitraggio
Come e stato discusso nel Capitolo 8, il ruolo degli arbitraggisti (detti anche smart
money traders o speculatori razionali) e essenziale nel garantire che l’ipotesi di mercati
efficienti sia soddisfatta. In altri termini, pur riconoscendo la presenza nel mercato di
numerosi investitori che non si comportano razionalmente, ma lo fanno secondo i principi
tipici della finanza comportamentale (tali investitori vengono anche generalmente indi-
cati come noise traders), la possibilita di realizzare operazioni di arbitraggio da parte
degli speculatori razionali consentirebbe di eliminare rapidamente le differenze tra prezzi
effettivamente osservati dei titoli e i valori fondamentali che sottostanno gli stessi titoli
17Altre approcci teorici sono stati proposti in letteratura per spiegare (non sempre con successo) l’equitypremium puzzle che non fanno riferimento alla finanza comportamentale ma si fondano su estensioni piuo meno marcate del modello di scelta razionale, ad esempio, introducendo la presenza di preferenzeeterogenee tra gli investitori oppure considerando che l’utilita dipenda, oltre che dal consumo individualepresente, anche da un confronto con un livello benchmark consistente nel consumo passato (habit formationtheory) oppure in quello di altri individui.
235
IV. Limiti all’arbitraggio 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
(differenze dovute alle decisioni di investimento dei noise traders), eliminando qualsiasi
possibilita di extra-rendimento e garantendo il rispetto dell’ipotesi di mercati efficienti.
Una teoria (comportamentale) che intenda negare l’ipotesi di mercati efficienti deve
spiegare, innanzitutto, i fattori che determinano il comportamento “irrazionale” degli in-
vestitori nelle loro scelte di investimento (cio e stato analizzato nei paragrafi precedenti
di questo capitolo). Infatti, in assenza di comportamenti irrazionali nelle scelte di in-
vestimento, i prezzi dei titoli non devierebbe naturalmente dai loro valori fondamentali.
Peraltro, cio non e sufficiente; in secondo luogo, infatti, tale teoria deve spiegare anche
i limiti alle possibilita di arbitraggio che garantirebbero, pur in presenza di investitori
irrazionali, il rapido ripristino dell’efficienza dei prezzi che si osservano nel mercato.
I limiti alle possibilita di arbitraggio che si riscontrano nella realta possono essere di
diversa natura. Spesso le operazioni di arbitraggio richiedono la realizzazione di vendite
allo scoperto da parte degli speculatori razionali. Se, ad esempio, un titolo x viene ven-
duto in massa dai noise traders, in quanto si sono formati delle aspettative pessimistiche
su tale titolo non giustificate dall’informazione disponibile sul valore fondamentale di x, il
prezzo di x scendera al di sotto del suo valore fondamentale. A quel punto, agli speculatori
razionali pienamente informati converra comprare il titolo x e, simultaneamente, coprire
la loro posizione vendendo allo scoperto un titolo y che sia stretto sostituto (con prezzo
corretto) con flussi di cassa simili a quelli del titolo x in tutti i futuri stati del mondo.
Un primo ostacolo alla possibilita di realizzare questa operazione e rappresentato dalla
presenza di vincoli istituzionali alle operazioni di vendita allo scoperto; la disciplina nor-
mativa, infatti, generalmente non consente a tutti gli investitori la possibilita di realizzare
questo tipo di operazioni. Ad esempio, tali operazioni sono generalmente vietate ai fondi
pensione e fortemente regolamentate per i fondi comuni di investimento. In secondo luogo,
anche quando ammesse, esse comportano dei costi di intermediazione rappresentati dalle
commissioni richieste dal prestatore dei titoli. Ulteriori rischi con le vendite allo scoperto,
inoltre, sono legati all’impossibilita di individuare titoli perfetti sostituti. Nell’esempio
precedente, quando il titolo x e il titolo y sono perfetti sostituti, l’arbitraggista e immune
dal cosiddetto rischio fondamentale, cioe dal rischio generale di mercato (o dell’intero
settore a cui appartengono entrambi i titoli). Ad esempio, se il mercato generale (o del
settore) crolla, l’investitore otterra una perdita sul titolo x, ma al tempo stesso anche
un guadagno di (circa) pari ammontare sul titolo y (rispetto al quale ha acquisito una
posizione corta e quindi dovra poi riacquistare per restituirlo al prestatore). Quando pero
il titolo x e il titolo y non sono perfetti sostituti, l’arbitraggista e necessariamente esposto,
oltre che ovviamente al rischio specifico di ciascun titolo, anche al rischio fondamentale.
Pur tralasciando la presenza di vincoli istituzionali e di costi di intermediazione, e pur
ammettendo la presenza di titoli perfetti sostituti, le operazioni di vendita allo scoperto
236
9. FINANZA COMPORTAMENTALE IV. Limiti all’arbitraggio
(arbitraggio) potrebbero essere impedite (o limitate) da ulteriori vincoli di natura mag-
giormente psicologica o comportamentale. Innanzitutto, l’avversione alle perdite degli
individui puo operare in tal senso. Quando un investitore acquista un’azione, la perdita
potenziale che puo subire e limitata e pari all’ammontare di risorse investite nel titolo.
Al contrario, quando un investitore realizza una vendita allo scoperto, acquisendo una
posizione corta, la perdita potenziale a cui puo andare incontro e teoricamente illimitata,
in quanto il prezzo delle azioni da riacquistare per la restituzione potrebbe nel frattempo
salire a livelli astronomici. In realta, questo rischio potrebbe essere affrontato coprendo
la posizione coperta, cioe prendendo in prestito un certo numero di titoli corrispondenti a
quelli che si intende vendere allo scoperto in modo da garantire la riconsegna degli stessi
nei termini previsti dal contratto. Peraltro, anche questo tipo di operazione potrebbe
essere resa complicata da fattori psicologici legati alla paura del rimpianto. Coprire im-
mediatamente la posizione corta, infatti, comporta necessariamente rinunciare ai possibili
guadagni derivanti da una riduzione del prezzo del titolo. D’altro canto, coprire la posi-
zione solo dopo che il prezzo del titolo venduto allo scoperto e aumentato (in modo da
evitare maggiori perdite legate a ulteriori rialzi) implica “monetizzare” la perdita. Gli
investitori, quindi, potrebbero essere portati ad attendere nella speranza che il prezzo cali
e la perdita venga annullata anche se, ovviamente, questo li espone al rischio di subirne
alla fine una anche maggiore (cio e in linea con quanto suggerito dall’effetto riflesso della
prospect theory, in base al quale gli individui mostrano un atteggiamento di propensione
al rischio nelle perdite). Alla luce di tali considerazioni, ha senso ipotizzare che molti
individui preferiscano evitare a priori certe situazioni, quali quelle connesse alla realizza-
zione di vendite allo scoperto, che possono poi implicare la necessita di prendere decisioni
senz’altro complesse e complicate dal punto di vista psicologico.
Un altro importante fattore che gioca un ruolo nelle decisioni e nei comportamenti de-
gli arbitraggisti e rappresentato dall’orizzonte temporale a cui essi fanno riferimento.
Se gli arbitraggisti hanno orizzonti temporali lunghi e ritengono che nel lungo periodo i
prezzi dei titoli convergeranno senz’altro ai loro valori fondamentali, dovranno aspettare
tutt’al piu del tempo, ma prima o poi conseguiranno profitti di arbitraggio. In altri termi-
ni, in presenza di noise traders e conseguente mispricing (cioe prezzi dei titoli diversi dai
valori fondamentali), l’arbitraggio garantira nel lungo periodo profitti positivi e, tramite
l’arbitraggio, il mispricing verra corretto nel tempo. Spesso pero gli speculatori razionali,
quali ad esempio i gestori professionali di portafogli di investimento, operano su orizzonti
temporali relativamente brevi. Questo in quanto si trovano a gestire fondi altrui (pensia-
mo, in particolare, ai fondi comuni di investimento); il loro operato, quindi, sara valutato
da coloro che gli hanno affidato i propri risparmi, i quali, generalmente, si aspettano di
ottenere dei rendimenti positivi gia dopo poco tempo.
237
V. Finanza classica e finanza comportamentale 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
Quando gli arbitraggisti operano in una prospettiva di breve termine sono soggetti al
cosiddetto rischio di noise trader . Esso consiste nel fatto che a fronte di un’errata
determinazione del prezzo (mispricing), il gap tra prezzo e fondamentale, che l’arbitraggio
dovrebbe ridurre, puo tendere, almeno nel breve termine, ad ampliarsi ulteriormente per
effetto di nuove ondate di entusiasmo e iperottimismo (nel caso di mispricing positivo) o
di pessimismo e ulteriori aspettative ribassiste (nel caso di mispricing negativo) da parte
dei noise traders. In tali circostanze, ovviamente, la consueta strategia di arbitraggio
di acquistare titoli sottoprezzati e vendere titoli sovraprezzati potrebbe comportare del-
le perdite di breve periodo, anziche dei guadagni. In particolare, se gli arbitraggisti si
attendono (anche per effetto del diffondersi di mode diffuse e di comportamenti gregari)
ulteriori ondate di ottimismo o di pessimismo, nel breve periodo, avranno convenienza ad
“assecondare” tali ondate acquistando titoli sovraprezzati e vendendo quelli sottoprezzati,
comportandosi quindi loro stessi come noise trader. In altri termini, anche se ritengono
che nel lungo periodo i prezzi ritornino ai loro valori fondamentali, per ottenere profitti
di breve periodo gli arbitraggisti avranno convenienza a “seguire il trend”. Cosı facen-
do, peraltro, anziche eliminare il mispricing di breve periodo contribuiranno loro stessi ad
aumentarlo ulteriormente. Cio e anche coerente con l’evidenza empirica che suggerisce l’e-
sistenza di autocorrelazione positiva dei rendimenti su periodi brevi (effetto momentum),
quando sia gli arbitraggisti che i noise traders seguono l’andamento di breve periodo,
e di autocorrelazione negativa su orizzonti piu lunghi (effetto reversal), allorche alcuni
arbitraggisti assumono una visione a piu lungo termine, acquistando i titoli sottovalutati
e vendendo quelli sovravalutati.18
V Finanza classica e finanza comportamentale: sostituti o com-
plementi?
Dalla lettura di questo capitolo, combinata con quelle dei capitoli precedenti, il let-
tore potrebbe provare un certo senso di disorientamento. I capitoli precedenti, dedicati
alla finanza classica, hanno descritto il comportamento di agenti e, nello specifico, di in-
vestitori perfettamente razionali che prendono le loro decisioni di investimento in modo
da massimizzare ben definite funzioni di utilita (attesa), sfruttando adeguatamente tutte
le informazioni che hanno a disposizione. Nel presente capitolo, invece, l’attenzione si e
spostata su investitori che si comportano in modo del tutto differente, sostenendo inoltre
che tale modo di comportarsi e cio che si riscontra comunemente nella realta.
18Per una definizione piu dettagliata di effetto momentum e di effetto reversal si rimanda al Capitolo8.
238
9. FINANZA COMPORTAMENTALE V. Finanza classica e finanza comportamentale
Da tutto cio, quindi, ci si potrebbe chiedere quale dei due approcci meriti di essere
considerato o, forse piu schiettamente, che senso abbia studiare un cosı complesso (e com-
plicato) modello teorico, come quello con agenti razionali, se poi nella realta gli individui
si comportano in modo completamente diverso. In altri termini, una questione importan-
te che merita di essere discussa prima di concludere questo capitolo e se i due approcci
siano, come potrebbe apparire, del tutto incompatibili tra loro o se invece vi possa essere
un modo per riconciliare lo studio dell’uno con quello dell’altro, cosı da renderli entrambi
importanti e meritevoli di essere realizzati.
La risposta a tale questione chiama in causa l’importante distinzione tra teorie po-
sitive (o descrittive) e teorie normative (o prescrittive). Discutendo di questioni econo-
miche, infatti, occorre sempre distinguere la descrizione o spiegazione dei fatti (compito
che assolvono le teorie positive) dalla definizione di principi o criteri ottimali da seguire
per conseguire determinati obiettivi, sulla base di determinate ipotesi di comportamen-
to (compito svolto dalle teorie normative). Non vi e dubbio che, in campo finanziario,
la finanza comportamentale svolga essenzialmente la prima funzione. La finanza classi-
ca, invece, se presenta numerose incongruenze qualora la si voglia utilizzare come teoria
positiva, mantiene appieno il suo valore come teoria normativa, definendo in modo rigo-
roso i criteri da seguire per definire quelle che debbano essere le scelte ottimali in campo
finanziario.
La teoria finanziaria necessita di entrambi gli approcci per adempiere appieno al suo
compito: descrivere come gli investitori si comportano effettivamente nella realta e, al
tempo stesso, definire come si dovrebbero comportare per conseguire, in modo razionale,
determinati obiettivi e risultati. La finanza classica e quella comportamentale, quindi,
tendono a configurarsi a tutti gli effetti come complementari (meritando quindi di essere
studiati congiuntamente), anziche tra loro sostituti. Per una conferma ulteriore di questa
affermazione, e interessante riportare di seguito due passaggi a opera di tre tra i maggiori
esponenti dell’approccio comportamentale alla teoria economica, in generale, e alla finan-
za, in particolare, Richard Thaler (a cui si deve il primo passaggio che segue) e Hersh
Shefrin e Meir Statman (a cui si deve il secondo passaggio), dove l’importanza di associare
lo studio della teoria economica tradizionale, o (neo)classica, a quella comportamentale
emerge in modo del tutto evidente:
[Una teoria normativa] e cio che e riferito come la scelta razionale (indipen-
dentemente da qualsiasi giudizio di moralita). Invece, una teoria descrittiva
predice semplicemente quello che faranno le persone nelle varie circostanze. Il
difetto fondamentale nella teoria economica neoclassica e che utilizza lo stesso
modello, quello ottimizzante, per entrambi i compiti.
239
V. Finanza classica e finanza comportamentale 9. FINANZA COMPORTAMENTALE
La teoria dell’utilita attesa Von Neumann e Morgenstern ne e un tipico esem-
pio. Essi dimostrano in modo rigoroso che per soddisfare alcuni assiomi di
razionalita occorre massimizzare l’utilita attesa. E quando insegno il corso di
Decisioni Manageriali ai miei studenti MBA [Master in Business Administra-
tion], io li esorto a comportarsi in quel modo. [...] Peraltro, come Kahneman e
Tversky hanno dimostrato (e centinaia di articoli successivi hanno confermato)
le persone non fanno le loro scelte massimizzando l’utilita attesa.19
E ancora:
Il modello media-varianza e stato sviluppato da Markowitz come una teo-
ria normativa, non come una teoria descrittiva. La teoria comportamentale
delle scelte di portafoglio e invece una teoria descrittiva. Noi evidenziamo
che tipicamente gli investitori trascurano di considerare le covarianze, ma non
consigliamo di comportarsi in questo modo.20
Letture di approfondimento
• Shiller R.J., Euforia irrazionale. il Mulino, 2009.
• Cervellati E.M., Finanza comportamentale e investimenti, McGraw-Hill, 2012.
• Alemanni B., Finanza comportamentale, Egea, 2015.
19Passaggio tradotto da R. Thaler, “From Cashews to Nudges: The Evolution of BehavioralEconomics”, American Economic Review 108(6), 2018, p. 1267.
20Passaggio tradotto da H. Shefrin e M. Statman, “Behavioral Portfolio Theory”, 1997, poi pubblicatosu Journal of Financial and Quantitative Analysis 35(2), 2000.
240
Capitolo 10
Le obbligazioni
Le obbligazioni (bond) sono strumenti finanziari che trovano ampio spazio nei moder-
ni mercati finanziari. In genere si considerano come attivita finanziarie a minor rischio
rispetto alle azioni perche prevedono generalmente un rimborso fisso alla scadenza prede-
terminato al momento dell’acquisto, ed alcune anche dei pagamenti periodici di importo
prefissato (cedole o coupon). Il rischio sopportato da chi acquista un’obbligazione risiede
quindi nella possibilita che l’emettitore non possa far fronte ai suoi impegni e nell’eventua-
le necessita di dover vendere prima della scadenza l’obbligazione e sopportare per questo
un’eventuale perdita in conto capitale, ad esempio perche il mercato secondario per tale
tipo di obbligazione risulta poco liquido. Nel capitolo forniremo prima un insieme di
definizioni specifiche al mercato obbligazionario; passeremo poi a trattare le obbligazioni
senza cedole (zero-coupon), incluse quelle reali, poi le obbligazioni con cedole, i diversi
tipi di rischio connessi al possesso di un’obbligazione ed, infine, la struttura a termine dei
tassi di interesse.
I Alcune definizioni utili per il mercato delle obbligazioni
La data di scadenza (maturity date) indica la data in cui l’obbligazione verra rimbor-
sata. L’importo di tale rimborso prende il nome di valore facciale (face value) ed eventuali
pagamenti prima della scadenza sono chiamate cedole (coupons). Un’altra importante ca-
ratteristica dell’obbligazione sono i diritti che ha il detentore dell’obbligazione nel caso di
fallimento (default) dell’emettitore. Generalmente tali diritti trovano una specificazione
nel contratto ovvero nelle norme del codice civile. Vediamo adesso nello specifico alcune
di queste caratteristiche.
Le possibili differenti specificazioni della data di scadenza di un’obbligazione
Definito un periodo T in cui scade l’obbligazione ed indicato il periodo corrente con t,
241
I. Alcune definizioni 10. LE OBBLIGAZIONI
abbiamo che la vita dell’obbligazione o il tempo alla scadenza (time to maturity) dell’ob-
bligazione e definito da τ = T − t. Il periodo T potrebbe essere finito, infinito o a scelta
degli investitori. Esaminiamo adesso alcune modalita di fissazione di T nelle obbligazioni:
• i callable bond sono obbligazioni in cui l’emettitore (issuer) puo terminare il con-
tratto di obbligazione prima di T . In termini piu tecnici si dice che tale obbligazione
e l’insieme di un’obbligazione piu un’opzione call da parte dell’emettitore.
• Le obbligazioni convertibili (convertible bonds) sono invece obbligazioni che danno
il diritto a chi le ha sottoscritte di scegliere alla scadenza o il pagamento del valore
facciale o lo scambio con un’altra attivita, ad esempio con un dato numero di azioni.
In tal caso l’obbligazione e l’insieme di un’obbligazione che prevede un pagamento
in contanti pari al valore facciale o di un’acquisto di un certo numero di azioni ad
un prezzo prefissato a discrezione del detentore dell’obbligazione.
• Le obbligazioni perpetue (perpetuities) sono obbligazioni in cui non esiste una data
finale. Tali obbligazioni sono un caso particolare di annuity, ossia obbligazioni il
cui valore facciale e zero ma che danno diritto a pagamenti periodi per un certo
periodo di tempo o fino alla realizzazione di un dato evento (ad esempio finche il
sottoscrittore e in vita o lo Stato non fallisce). Esistono poi obbligazioni perpetue
che possono pero essere rimborsate o, piu facilmente, convertite in un altro titolo
di debito, come avviene generalmente quando si attraversano periodo di tassi di
interesse eccezionalmente bassi.
• I sinking funds sono poi obbligazioni che obbligano l’emettitore a rimborsare le pro-
prie obbligazioni in un certo periodo di tempo tramite l’acquisto di altre obbligazioni
al prezzo corrente di mercato.
Cedole E’ possibile avere obbligazioni che pagano cedole annuali, semestrali o, nessuna
cedola. La cedola puo essere predeterminata oppure variabile, per esempio dipendente
dal tasso di inflazione. Le obbligazioni zero-coupon sono quelle che non pagano alcuna
cedola e prevedono il rimborso del valore facciale alla scadenza.
Fallimento In caso di fallimento (default) dell’emettitore il contratto di debito puo
prevedere varie possibilita. Ad esempio esistono tipi di obbligazioni che hanno dei privilegi
rispetto ad altre obbligazioni in caso di fallimento (senior debt) o che sono collegate
a garanzie accessorie, i cosiddetti collaterali (collateral), che permettono al possessore
dell’obbligazione di essere maggiormente tutelato. Esistono un certo numero di agenzie di
242
10. LE OBBLIGAZIONI II. Le obbligazioni zero-coupon
rating (ad esempio Moody’s o Standard & Poor) che stimano le probabilita di fallimento
dell’emettitore di obbligazioni.
II Le obbligazioni zero-coupon
Questo tipo di obbligazioni sono molto comuni nei mercati finanziari e molto studiate
dalla letteratura perche le loro caratteristiche possono essere espresse per mezzo di due
soli valori, il valore facciale m e la data di rimborso T . In effetti, la variabile rilevante
non e tanto la data del rimborso ma la time to maturity, ossia n = T − t, dove t indica il
periodo corrente.
Definito il prezzo di mercato corrente con pn, allora il rendimento spot (spot yield) yn e
definito come il rendimento medio che si riceve ogni periodo se detenessimo l’obbligazione
fino alla sua scadenza, ossia:
yn ≡(m
pn
)1/n
− 1. (10.1)
Esempio 50 (Lo spot yield di un’obbligazione zero-coupon)
Supponete di possedere un’obbligazione zero.coupon del valore facciale di 100, il cui prez-
zo corrente di mercato sia 90 e la cui time to maturity sia 5. Allora lo spot yield
dell’obbligazione e pari a:
yn =
(100
90
)1/5
− 1 = 0.021.
Dall’Equazione (10.1) possiamo ricavare che:
pn =m
(1 + yn)n, (10.2)
che mostra come il prezzo di mercato non e altro che il valore attuale del valore di rimborso
attualizzato allo spot yield.
Esempio 51 (Prezzo obbligazione zero-coupon)
Considerate un’obbligazione zero-coupon del valore facciale di 100, la cui time to maturity
sia 5. Supponete di voler ottenere dal vostro eventuale investimento un rendimento che
sia almeno pari al 2.5%. Allora il prezzo massimo a cui siete disposti ad acquistare
l’obbligazione sara pari a:
pn =100
(1 + 0.025)5 = 88.39.
Per ogni data e possibile calcolare lo spot yield, ossia e possibile calcolare y1, y2, ..., yn.
Nulla ci dice che tali valori siano tra loro uguali, anzi di norma nella realta sono diversi
e danno origine a quella che si chiama la struttura a termine dei tassi di interesse (term
243
II. Le obbligazioni zero-coupon 10. LE OBBLIGAZIONI
p
y
m
y0
p0
y1
p1
Figura 10.1: La relazione fra il prezzo di un’obbligazione zero coupon e il suo spot yield,per una data time to maturity n.
structure of interest rates), che tratteremo nella Sezione VII. Tuttavia, lo spot yield rap-
presenta il rendimento dell’obbligazione solo se questa e detenuta fino alla scadenza. Se
invece il l’orizzonte di investimento fosse diverso da n, il rendimento dell’investimento
sarebbe diverso. In particolare, se fosse piu corto di n, questo dipenderebbe dal prezzo
di vendita dell’obbligazione al momento della vendita; se, invece, l’orizzonte fosse piu
lungo di n, l’investitore dovrebbe formulare un’aspettativa sul rendimento dell’investi-
mento m dal momento della scadenza n fino alla lunghezza dell’orizzonte temporale. In
entrambi i casi, l’investitore sopporta un rischio, che dipende dalla dinamica dei tassi di
interesse nel tempo. Infatti, escludendo il caso in cui siamo in prossimita della scadenza
dell’obbligazione, allora il rendimento nel detenere l’obbligazione un periodo e definito da:
pn−1,t+1
pn,t− 1, (10.3)
dove pn,t e il prezzo dell’obbligazione al periodo t con una time to maturity n. Il ren-
dimento annuale dell’obbligazione e quindi incerto, come potrebbe esserlo l’investimen-
to in azioni, dato che non conosciamo il prezzo di mercato dell’obbligazione al periodo
successivo, ossia pn−1,t+1.
La Figura 10.1 riporta la relazione fra il prezzo di un’obbligazione zero coupon e il
rendimento di tale obbligazione derivante dall’Equazione (10.2). Se avessimo una teoria
di determinazione dello spot yield y, tale relazione, negativa e convessa, ci fornirebbe una
teoria di determinazione del prezzo di mercato di un’obbligazione. Intuitivamente tale
244
10. LE OBBLIGAZIONI II. Le obbligazioni zero-coupon
teoria potrebbe essere ricavata dalla considerazione che per il Principio di Arbitraggio i
rendimenti delle obbligazioni dovrebbero essere collegati al rendimento dell’attivita priva
di rischio. Questo, in generale, puo essere visto come il rendimento di un’obbligazione zero
coupon nel momento in cui si esclude il rischio di default dell’emittente delle obbligazioni.
Seguendo questa linea di ragionamento, se le autorita di politica economica potessero
controllare il rendimento dell’attivita priva di rischio a diverse scadenze, ad esempio in-
tervenendo nel mercato dei titoli di stato, queste potrebbero anche controllare il prezzo di
mercato delle obbligazioni. Ad esempio, un aumento del tasso di rendimento dell’attivita
priva di rischio, ad esempio tramite un aumento del rendimento dei titoli di stato, che
sposti lo spot yield da y0 a y1 determinera una diminuzione nel prezzo delle obbligazioni
da p0 a p1, come mostrato in Figura 10.1.
E’ anche possibile capire da questi semplici ragionamenti che tali cambiamenti nel
livello dei tassi di interesse a diverse scadenze, portando a modifiche sostanziali nei prezzi
delle obbligazioni, possono produrre ingenti guadagni o perdite in conto capitale negli
attivi e nei passivi degli intermediari finanziari. Tali cambiamenti nei prezzi sono, a
parita di cambiamento nel livello dei tassi di interesse, tanto piu elevati quanto piu bassi
sono gli spot yield (vedi Figura 10.1) e quanto piu lunga e la time to maturity delle
obbligazioni.
II.A Le obbligazioni zero coupon reali
Una dei principi generali della teoria economica afferma che e il rendimento reale, e
non il rendimento monetario, la variabile cruciale per le scelte degli investitori. A questo
riguardo osserviamo che nei mercati obbligazionari esistono obbligazioni il cui rimborso
alla scadenza e legato ad una qualche indice dei prezzi. A questo proposito si parla di
obbligazioni linked-index od obbligazioni reali.
Indicando con pn il prezzo di un’obbligazione reale zero coupon con time to maturity
n, abbiamo che lo spot yield nominale yn di tale obbligazione e definito come:
pn =mP g
T/Pgt
(1 + yn)n, (10.4)
dove P gt rappresenta l’indice generale dei prezzi al tempo t e P g
T/Pgt l’aumento/diminuzione
del rimborso dovuto alla variazione nell’indice generale dei prezzi. Indichiamo con πn il
245
II. Le obbligazioni zero-coupon 10. LE OBBLIGAZIONI
tasso medio di inflazione fra t e T ,1 avremo che:
pn =m (1 + πn)n
(1 + yn)n, (10.5)
da cui possiamo calcolare lo spot yield reale di questa obbligazione reale yRn come:
pn =m
(1 + yRn )n, (10.6)
che puo essere calcolato con certezza dati i valori del prezzo corrente di mercato dell’ob-
bligazione reale pn e il suo valore facciale m. Abbiamo inoltre che:
1 + yn =(1 + yRn
)(1 + πn) , (10.7)
che in via approssimata (ossia assumendo che yRn πn ≈ 0) si puo scrivere come:
yn ≈ yRn + πn; (10.8)
l’Equazione (10.8) riporta l’usuale relazione fra tassi di interesse reale, nominale e tasso
di inflazione (la cosiddetta equazione di Fisher). Osserviamo che nelle obbligazioni reali
non e possibile calcolare con certezza lo spot yield nominale yn, perche il tasso di infla-
zione e incerto, mentre e possibile calcolare con certezza lo spot yield reale yRn , dato che
conosciamo sia pn che m.
Esempio 52 (Il rendimento di un’obbligazione zero-coupon reale)
Supponete di possedere un’obbligazione zero-coupon reale del valore facciale di 100, il cui
prezzo corrente di mercato sia 90 e la cui time to maturity sia 5. Tale obbligazione e
collegata al costo della vita e tale indice e atteso aumentare del 10% nei prossimi 5 anni.
Per calcolare il rendimento nominale yn dall’Equazione (10.5) abbiamo che:
yn =
(m (1 + πn)n
pRn
)(1/n)
− 1,
da cui
yn =
(100 (1 + 0.1)5
90
)(1/5)
− 1 = 0.123,
1Ricordiamo che per definizione il tasso medio di inflazione fra il periodo t e T e dato da P gT =(1 + πn)
nP gt .
246
10. LE OBBLIGAZIONI II. Le obbligazioni zero-coupon
Il rendimento reale si puo ricavare dall’Equazione (10.7):
yRn =1 + yn1 + πn
− 1 =1 + 0.123
1 + 0.1− 1 = 0.021
o in via approssimata dall’Equazione (10.8):
yRn ≈ yn − πn = 0.123− 0.1 = 0.023.
Supponiamo adesso di considerare un’obbligazione zero coupon. Allora il suo spot
yield reale yRn e definito da:
pn/Pgt ≡
m/P gT
(1 + yRn )n, (10.9)
da cui:
1 + yn =(1 + yRn
)(1 + πn) , (10.10)
ossia in via approssimata:
yn ≈ yRn + πn. (10.11)
Per le obbligazioni, quindi, non e possibile calcolare con certezza lo spot yield reale yRn
perche il tasso di inflazione πn e incerto, mentre e possibile calcolare con certezza lo spot
yield nominale yn.
Se riteniamo che il mercato tenda ad equalizzare il rendimento reale di tutte le
obbligazioni, allora avremo che:
yRn = yRn , (10.12)
e quindi potremo avere una stima del tasso di inflazione medio atteso dagli investitori nei
prossimi n periodi, indicato con πan, combinando le Equazioni (10.11) e (10.12):
πan = yn − yRn . (10.13)
La stima dell’inflazione futura via Equazione (10.13) dovrebbe essere considerata con
cautela perche basata sull’Equazione (10.12), che puo essere considerata una ragionevole
approssimazione solo nel caso di investitori neutrali al rischio. Infatti, nel caso di investi-
tori avversi al rischio avremo che, per remunerare gli investitori dalla possibili fluttuazioni
nel tasso di inflazione futuro, yRn > yRn (ricordiamo che yRn e incerto mentre yRn e certo).
247
III. Le obbligazioni con cedole 10. LE OBBLIGAZIONI
III Le obbligazioni con cedole
Un’obbligazione che promette di pagare una cedola costante c fino a scadenza avra un
rendimento fino alla scadenza (yield di maturity) y implicitamente definito da:
p =c
1 + y+
c
(1 + y)2 + ...+c+m
(1 + y)n, (10.14)
dove p e il prezzo corrente dell’obbligazione. Lo yield di maturity y non e altro che il
tasso interno di rendimento (TIR, internal rate of return) di un investimento con flussi
di cassa multiperiodali. L’Equazione (10.14) puo essere riscritta come:
p =c
y
[1− 1
(1 + y)n
]+
m
(1 + y)n(10.15)
sfruttando le proprieta della somma di progressioni geometrica in questo caso di ragione
1/ (1 + y).
Esempio 53 (Il prezzo delle obbligazioni con cedole)
Considerate un’obbligazione con cedole con maturity di 2 periodi, del valore facciale di
100, che paghi una cedola annua di 10. Per obbligazioni similari la yield to maturity e
pari al 2%. Allora il suo prezzo di mercato si puo calcolare tramite l’Equazione (10.15):
p =10
0.02
[1− 1
(1 + 0.02)2
]+
100
(1 + 0.02)2 = 115.53.
E’ importante sottolineare come il tasso di rendimento derivante dal detenere un’ob-
bligazione fino alla scadenza T , che stacca una cedola pari a c, con un prezzo p, e il
cui valore facciale sia pari a m non e pari al rendimento y calcolato tramite l’Equazione
(10.15). Infatti, questo richiederebbe che l’ammontare di denaro che riceviamo come ce-
dole sia reinvestito ad un tasso di rendimento esattamente pari a y. Vi e la possibilita
che questo accada solo se fossero disponibili nel mercato dei contratti forward che ga-
rantiscono tale tasso; ma in generale non e cosı. Si parla a questo riguardo di rischio di
reinvestimento (reinvestiment risk).
L’obbligazione per cui p = m si dice abbia un par yield, ed e immediato calcolare
dall’Equazione (10.15) che y = c/m. In letteratura si puo trovare l’espressione flat yield
ad indicare il rapporto c/p. Tale rapporto non misura in maniera precisa lo yield to
maturity di un’obbligazione, a meno che questa non abbia un time to maturity infinita,
ossia sia un’obbligazione irredimibile (vedi l’Equazione (10.15) per n→∞). In ogni caso
per obbligazioni con una time to maturity molto lunga il flat yield puo fornire un’utile
approssimazione del rendimento effettivo.
248
10. LE OBBLIGAZIONI III. Le obbligazioni con cedole
Esempio 54 (Flat yield)
Si consideri un’obbligazione con valore facciale di 100, time to maturity 30 anni, cedola
pari a 3 e rendimento pari al 2%. Dall’Equazione (10.14) ricaviamo il prezzo di equilibrio
di tale obbligazione:
p =3
0.02
[1− 1
(1 + 0.02)30
]+
100
(1 + 0.02)30 = 122.40.
Se invece di conoscere il rendimento avessimo osservato il prezzo di equilibrio, allora il
flat yield, pari a:c
p=
3
122.40= 0.025,
ci avrebbe fornito un’ottima approssimazione del rendimento dell’obbligazione pari al 2%.
III.A La Macaulay duration
Un aspetto che merita particolare attenzione delle obbligazioni con cedola e la relazione
fra il loro prezzo di mercato p e la yield to maturity y. Dall’Equazione (10.14) osserviamo
che tale relazione dipendera in maniera cruciale da m, n e c (ad esempio moltiplicando
per 2 m e c ∂p/∂y raddoppia). The Macaulay Duration, D, definita come:
D ≡ 1
p
[c
1 + y+
2c
(1 + y)2 + ...+n (c+m)
(1 + y)n
], (10.16)
rappresenta una misura di elasticita di p rispetto a y, ossia una misura della relazione
fra p e y indipendente dalla metrica utilizzata per esprimere c ed m. In particolare, e
immediato dimostrare che:
D = −∂p∂y
1 + y
p. (10.17)
Osserviamo come D ≤ n; tale relazione riflette il fatto che il possessore di un’ob-
bligazione con cedole riceve una parte di rendimento dell’obbligazione prima della sua
scadenza, che avviene in n periodi, sotto forma di cedole. Infatti per un’obbligazione
zero-coupon abbiamo che D = n (provate a porre c = 0 nell’Equazione (10.17) ricordando
la determinazione del prezzo pn per un’obbligazione zero-coupon). Inoltre, abbiamo che
∂D/∂c < 0, il che conferma che D misura quanto del rendimento di un’obbligazione viene
pagato prima della scadenza (nel verificare questa proprieta ricordate che p dipende da c).
E’ infine intuitivo che ∂D/∂n ≥ 0, poiche ceteris paribus il rendimento dell’obbligazione
e posticipato nel tempo.
Esempio 55 (La Macaulay duration)
Considerate un’obbligazione con cedole con maturity di 2 periodi, del valore facciale di
249
IV. La valutazione di obbligazioni non quotate 10. LE OBBLIGAZIONI
100, che paghi una cedola annua di 10, con yield to maturity pari al 2% e prezzo di mercato
pari a 115.53 (questo lo abbiamo calcolato nell’Esercizio 53). Tramite l’Equazione (10.16)
possiamo calcolare la sua duration:
D =1
115.53
[10
1 + 0.02+
2 (10 + 100)
(1 + 0.002)2
]= 1.92.
Tale duration risulta inferiore a 2 come ci si attendeva.
Supponiamo adesso che la cedola diventi pari a 5. Allora il nuovo prezzo di equilibrio
sara pari a 105.82 (vedi Esercizio 53), da cui la duration diventa:
D =1
105.82
[5
1 + 0.02+
2 (5 + 100)
(1 + 0.002)2
]= 1.95,
ossia aumenta come ci si aspettava dal diminuire della cedola.
Infine osserviamo che se la time to maturity diventa pari a 3 sempre con cedola pari a
5, il prezzo dell’obbligazione e pari a 108.65 (vedi Esercizio 53), da cui la duration diventa:
D =1
108.65
[5
1 + 0.02+
2 ∗ 5
(1 + 0.02)2
3 (5 + 100)
(1 + 0.002)3
]= 2.87,
che e aumentata come ci si attendeva dall’aumentare di n.
IV La valutazione di obbligazioni non quotate
In molte circostanze e necessario valutare il valore di un’obbligazione che non e quotata
sul mercato. La teoria delle obbligazioni zero coupon, insieme al Principio di Arbitraggio
possono fornire un metodo per ottenere tale valutazione. Per fissare le idee si consideri
il caso di un’obbligazione zero coupon con n = 1, il cui valore facciale sia pari a m. Gli
investitori hanno anche a disposizione come possibile investimento un’attivita priva di
rischio che rende r0. Possiamo allora dire che se gli investitori sono neutrali al rischio
(oppure hanno intenzione di detenere l’obbligazione fino alla scadenza e non esiste rischio
di default), il prezzo di tale obbligazione p1 deve soddisfare il Principio di Arbitraggio,
ossia:
p1 =m
1 + r0
, (10.18)
il che significa che il rendimento dell’obbligazione y1 deve essere pari al rendimento del-
l’attivita priva di rischio r0, altrimenti esisterebbero nel mercato possibilita di arbitraggio.
Supponiamo adesso che ci venga offerto un’obbligazioneB che offra una cedola costante
per n anni pari a c e che, alla scadenza, abbia un rimborso pari a m. Applicando il
250
10. LE OBBLIGAZIONI IV. La valutazione di obbligazioni non quotate
medesimo ragionamento abbiamo che il valore di questa obbligazione V B puo essere visto
come la somma del valore di n obbligazioni zero coupon, in cui la prima da diritto ad un
pagamento dopo un periodo pari a c, la seconda a un pagamento dopo due periodi pari a
c, e cosı via fino all’ennesima obbligazione che da diritto ad un pagamento dopo n periodi
pari a c+m. Avremo quindi che:
V B =c
1 + y1
+c
(1 + y2)2 + · · ·+ c+m
(1 + yn)n. (10.19)
In sostanza abbiamo usato il Principio di Arbitraggio per ottenere il “giusto” tasso di
rendimento per ogni pagamento. Se il prezzo dell’obbligazione fosse diverso da V B allora
esisterebbero delle possibilita di arbitraggio non sfruttate, il che significherebbe che il
mercato non e in equilibrio. Vista in un’altra prospettiva, se V B > pB, dove pB e il prezzo
a cui ci viene offerta l’obbligazione B, allora ci conviene comprare tale obbligazione.
Questo spiega perche V B viene anche chiamato il valore fair (equo) dell’obbligazione B.
L’Equazione (10.19) differisce in maniera cruciale dall’Equazione (10.14), anche se
in equilibrio il Principio di Arbitraggio porta a V B = p. Infatti nell’Equazione (10.14)
il prezzo p era assunto conosciuto e y era da calcolare, mentre nell’Equazione (10.19)
l’investitore conosce i rendimenti dei titoli zero coupon a tutte le scadenze, ma non il
prezzo dell’obbligazione, essendo quest’ultima non quotata.
Nella pratica sembra quindi importante avere a disposizione obbligazioni zero coupon
con le piu differenti time to maturity, e questo e quello che si ottiene tramite la creazione
di stripped bond, ossia la trasformazione di un’obbligazione con cedola in un portafoglio
di obbligazioni zero coupon.
In ultimo e da osservare che il fatto di non osservare il prezzo di un’obbligazione viene
imputato alla presenza di frizioni nel mercato (ad esempio le quantita trattate del titolo
sono troppo basse per avere un prezzo di mercato significativo). Tuttavia, nel metodo
proposto per valutare tali obbligazioni si fa riferimento al Principio di Arbitraggio, che
per operare richiede l’assenza di frizioni. Questo dovrebbe indurre cautela nell’applicare
pedissequamente l’Equazione (10.19) per la valutazione di obbligazioni non trattate sui
mercati ufficiali.
Esempio 56 (La valutazione di un’obbligazione non quotata)
Considerate un’obbligazione non quotata con maturity pari a 2 anni, i cui flussi di cassa
sono pari a 10 il primo anno e 110 nel secondo (10 di cedola piu 100 di rimborso del-
l’obbligazione). Supponiamo che lo spot yield di obbligazioni con maturity di un anno
sia pari al 3%, e quello con maturity pari a 2 anni al 5%. Allora il valore fair di questa
251
V. Il rischio per portafogli obbligazionari 10. LE OBBLIGAZIONI
obbligazione si puo calcolare dall’Equazione (10.19):
V B =10
1 + 0.02+
110
(1 + 0.05)2 = 109.58,
ossia saro al massimo disposto a pagare 109.58 euro per questa obbligazione.
V Il rischio per portafogli obbligazionari
Un portafoglio contenente solo obbligazioni e sottoposto a due tipi di rischio: a) il
rischio del tasso di interesse (interest rate risk); e b) il rischio di base (basis risk).
Il rischio di tasso di interesse risiede esattamente nella relazione inversa che il
prezzo di ogni obbligazione ha con il suo rendimento (vedi Equazione (10.2)). Se, come
accade nella realta, i rendimenti delle obbligazioni tendono a muoversi tutti insieme (ossia
esiste una covarianza positiva fra i rendimenti), allora cambiamenti nei tassi di interesse,
ad esempio verso l’alto per una politica monetaria restrittiva della Banca Centrale, provo-
cheranno una variazione verso il basso dei prezzi delle obbligazioni. Quanto verso il basso
e misurato dalla Macaulay Duration D. Quindi D puo essere visto come una misura di
rischio collegato al tasso di interesse (vedi Sezione VI piu avanti).
Il rischio di base ricomprende tutte le fonti di rischio non incluse nel rischio di tasso
di interesse, ossia:
• rischio di credito (credit risk): riflette la possibilita che il debitore vada in fallimento
(default);
• rischio di reinvestimento (reinvestment risk): riflette i possibili cambiamenti negli
spot yield futuri a cui e possibile reinvestire le eventuali cedole;
• timing risk : riflette la possibilita che non siano rispettata la cronologia temporale dei
pagamenti previsti dall’obbligazione, ad esempio perche vi e un rimborso anticipato;
• rischio di tasso di cambio: riflette il rischio che modifiche nel tasso di cambio pos-
sano cambiare il valore in moneta nazionale di obbligazioni i cui pagamenti sono
denominati in valuta estera e
• rischio d’inflazione: riflette cambiamenti non attesi nel tasso di inflazione che
modificano il rendimento reale delle obbligazioni.
252
10. LE OBBLIGAZIONI VI. L’immunizzazione di portafogli obbligazionari
VI L’immunizzazione di portafogli obbligazionari
Tramite un’opportuna scelta di portafoglio e possibile ridurre il rischio di tasso di
interesse di un portafoglio obbligazionario. In particolare si parla di strategie di immuniz-
zazione quando l’obiettivo del gestore di portafoglio consiste nel minimizzare la variazione
complessiva del valore del portafoglio al variare dei rendimenti (si parla anche di strategie
neutral hedge).
Ad esempio molte istituzioni finanziarie hanno delle uscite collegate all’andamento dei
rendimenti di mercato e allo stesso tempo detengono obbligazioni nel loro portafoglio, il
cui rendimento fornisce le risorse finanziarie per le uscite. Queste istituzioni quindi sono
interessate ad una composizione del proprio portafoglio che le immunizzi da eventuali
modifiche nei rendimenti, ossia che le immunizzi dal rischio di tasso di interesse.
Supponiamo che ogni obbligazione sul mercato abbia la stessa yield to maturity y,
che nel portafoglio del nostro investitore ci siano solo due tipi di obbligazioni, 1 e 2, il
cui prezzo sia rispettivamente p1 e p2 e le cui quantita siano x1 e x2, e che abbia una
posizione debitoria (ossia abbia emesso obbligazioni) per un importo pari a d. Per il
nostro investitore vale che il totale delle attivita e delle passivita siano uguali, ossia:
x1p1 (y) + x2p2 (y) = d (y) . (10.20)
L’immunizzazione completa si avrebbe quando una variazione in y modifica in egual
misura sia il lato destro (passivita) che sinistro (attivita) dell’Equazione (10.20); la
condizione perche cio accada quando considero piccole variazioni di y e che:
x1∂p1
∂y+ x2
∂p2
∂y=∂d
∂y. (10.21)
Moltiplicando entrambi i lati per − (1 + y) /d ottengo che:
x1p1
d
[−(1 + y)
p1
∂p1
∂y
]+x2p2
d
[−(1 + y)
p2
∂p2
∂y
]= −(1 + y)
d
∂d
∂y, (10.22)
da cui, sfruttando la definizione di Macaulay Duration D per un’obbligazione abbiamo:
a1D1 + a2D2 = Dd, (10.23)
dove a1 = x1p1/d e a2 = x2p2/d sono le quote di portafoglio investite nell’obbligazione 1 e
2 rispettivamente. La Condizione (10.23) ha una spiegazione intuitiva molto immediata:
per immunizzare il mio portafoglio deve far si che la media ponderata, con pesi le quote
di portafoglio, delle duration relative alle singole obbligazioni da me detenute (D1 e D2)
253
VI. L’immunizzazione di portafogli obbligazionari 10. LE OBBLIGAZIONI
sia esattamente pari alla duration delle obbligazioni a cui io devo far fronte (Dd).
Usando l’Equazione (10.20) in questo particolare caso di sole 2 obbligazioni, ossia
imponendo che a1 + a2 = 1, posso determinare in maniera univoca le quote a1 e a2 che
immunizzano il mio portafoglio, ossia:
a1 =Dd −D2
D1 −D2
e (10.24)
a2 =D1 −Dd
D1 −D2
. (10.25)
Esempio 57 (Un esempio di immunizzazione finanziaria)
Supponete di avere a disposizione due possibili obbligazioni con eguale rendimento in cui
investire il vostro attivo, le cui duration sono rispettivamente 5 e 2. Nel fare cio vorreste
immunizzarvi completamente dal rischio di tasso di interesse, avendo un debito con eguale
rendimento delle due obbligazioni, ma la cui duration e 3. Le Equazioni (10.24) e (10.25)
ci indicano le quote di portafoglio delle due obbligazioni, ossia:
a1 =3− 2
5− 2= 1/3 e
a2 =5− 3
5− 2= 2/3.
Notiamo che nulla cambierebbe nelle scelte dell’investitore se fosse disponili altre obbli-
gazioni con pari rendimento ma diversa duration, dato che solo due obbligazioni sono
necessarie per avere immunizzazione completa.
VI.A Alcune osservazioni sulle strategie di immunizzazione
Nel seguito puntualizziamo alcuni aspetti delicati della strategia di immunizzazione.
Rendimenti non uguali La procedura di immunizzazione proposta ha il grande svan-
taggio di richiedere rendimenti uguali, che si tratti sia di obbligazioni a debito che a
credito, anche se questo in effetti non e il vero vincolo richiesto per poter applicare la
procedura. Quello che richiede effettivamente la strategia di immunizzazione e di sapere
come si muovono i prezzi delle obbligazioni rispetto a variazioni di y, ossia ∂p/∂y e ∂d/∂y.
Se tali variazioni sono piu o meno simili allora il tutto funziona. Ma se, come sappiamo
dalla teoria delle obbligazioni zero coupon, la variazione nel rendimento di un’obbligazione
dipende anche dalla sua time to maturity le cose si fanno molto piu complicate. Inoltre,
sappiamo che i rendimenti sono anche una funzione della cedola e del valore facciale, e
254
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
anche di questo bisognerebbe tenere conto nel momento della formulazione delle strategie
di immunizzazione.
Soluzioni multiple per la strategia di immunizzazione Nel caso di solo due obbli-
gazioni abbiamo visto che esiste una soluzione precisa per la determinazione delle quote
di portafoglio. Tuttavia quando il tipo di obbligazioni detenute sono piu di due questo
non e piu possibile. Estendendo, infatti, l’analisi al caso con J tipi di obbligazioni, la
strategia di immunizzazione richiede che:
a1D1 + a2D2 + ...+ aJDJ = Dd. (10.26)
A questo punto l’investitore potrebbe scegliere di focalizzare il proprio portafoglio verso
le obbligazioni la cui duration e piu vicino a Dd.
I costi di un continuo adeguamento del portafoglio La strategia di immunizzazio-
ne appena discussa ignora la possibilita che si abbiano scostamenti molto forti nei livelli
di rendimento e quindi anche nelle quote di portafoglio delle varie obbligazioni. Cio, in un
mercato con frizioni, significa incorrere in costi di aggiustamento che dovrebbero essere
tenuti in debito conto da chi elabora la strategia di immunizzazione per evitare che i costi
di aggiustamento del portafoglio siano superiori ai benefici dell’immunizzazione.
Rischio di base E’ bene sempre tenere a mente che le strategie di immunizzazione non
influenzano il basis risk e quindi, ad esempio, rimaniamo sempre sottoposti al credit risk.
VII La struttura a termine dei tassi di interesse
La presenza di mercati obbligazionari per molteplici time to maturity permette di
calcolare quella che viene chiamata la struttura a termine dei tassi di interesse, che non
e altro che la relazione fra lo spot yield di un’obbligazione zero coupon e la sua time to
maturity.
Gli economisti sono molto interessati a tale struttura a termine perche fornisce preziose
indicazioni sull’andamento dei rendimenti futuri, in particolare sulle aspettative che gli
investitori hanno sui rendimenti futuri (forward interest rate). Inoltre, fornisce indicazioni
sul tasso di inflazione atteso dagli investitori di mercato, nel momento in cui confronto la
struttura a termine dei tassi di interesse relativa ad obbligazioni nominali con obbligazioni
reali (index-linked bond).
255
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
Nella Figura 10.2 abbiamo riportato la struttura a termine dei tassi di interesse per le
obbligazioni europee con rating AAA (ossia quelle che dovrebbero presentare un rischio
di fallimento quasi nullo) per due giorni, il 6/9/2004 e il 21/12/2011.
0 5 10 15 20 25 30
01
23
45
Scadenza
Tassi spot
06−SEP−2004
21−DEC−2011
Figura 10.2: Struttura a termine dei tassi di interesse per le obbligazioni europee con
rating AAA (ossia quelle che dovrebbero presentare un rischio di fallimento quasi nullo)
per due giorni, il 6/9/2004 e il 21/12/2011. Fonte: Bance Centrale Europea (http:
//www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html).
La relazione fra yn ed n appare crescente e concava (per scadenze elevate quasi piatta),
che e quello usualmente osservato nei mercati. In generale, poi, cambiamenti nei tassi di
interesse si riverberano sugli spot yield a tutte le scadenze (si parla di sincronicita nei
movimenti della curva a tutte le scadenze); nella Figura 10.2 abbiamo proprio questo
comportamento, in cui la diminuzione dei tassi fra le due date ha riguardato tutte le
scadenze.
Tuttavia e possibile osservare, specialmente quando gli spot yield a breve sono molto
elevati, che la curva diventa decrescente e convessa (almeno in un suo tratto), come
riportato in Figura 10.3.
256
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
0 5 10 15 20 25 30
01
23
45
Scadenza
Tassi spot
25−JUL−2008
05−SEP−2008
31−OCT−2008
21−DEC−2011
Figura 10.3: Struttura a termine dei tassi di interesse per le obbligazioni europee con
rating AAA (ossia che dovrebbero presentare un rischio di fallimento quasi nullo) per
quattro giorni: 25/7/2008, 5/9/2008, 31/10/2008 e 21/12/2011. Fonte: Bance Centrale
Europea (http://www.ecb.europa.eu/stats/money/yc/html/index.en.html).
La Figura 10.3 fa riferimento ad un periodo molto turbolento dei mercati finanziari,
la crisi dell’autunno 2008, i cui detonatori furono il mercato dei sub-prime negli Stati
Uniti e il fallimento di Lehman Brothers nel settembre 2008. Anche le piazze europee
ne rimasero profondamente coinvolte e la struttura a termine dei tassi subı profonde
modificazioni, che ancora adesso persistono. Nel momento di maggior crisi (5 Settembre
2008) la curva dei tassi appare decrescente, per l’aspettativa di una diminuzione dei tassi
dovuta all’intervento delle Banche Centrali. Questo in effetti puntualmente avvenne, come
mostrato dalla curva dei tassi del 31 Ottobre 2008. La discesa fu cosı repentina (quasi
il 2% in poco piu di un mese), che la curva presenta per le scadenze a breve un insolito
picco, che con il tempo scomparira appena i tassi a tutte le scadenze assorbiranno la
discesa dei tassi. Discesa di cui beneficiamo ancora ora, come evidenziato dalla curva del
21 Dicembre 2011.
Riassumendo sono tre i fatti che meritano di essere spiegati: i) la sincronicita dei movi-
menti della curva dei rendimenti; ii) la relazione fra livello dei tassi a breve ed inclinazione
della curva dei rendimenti; e iii) la bassa probabilita di osservare curve dei rendimenti
decrescenti.
257
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
La teoria economica ha elaborato tre spiegazioni dell’andamento della curva dei rendi-
menti e quindi della struttura a termine dei tassi di interesse. La prima, chiamata teoria
delle aspettative (expectation theory), riesce a spiegare sia il fatto i) che ii), ma non il
fatto iii). La seconda, chiamata teoria dei mercati segmentati (segmented markets theo-
ry), riesce a spiegare il fatto iii), ma non i fatti i) e ii). Infine, la teoria del premio alla
liquidita e dell’ambiente preferito (liquidity premium and preferred habitat theory) appare
molto efficace nello spiegare tutte e tre i fatti, lasciando tuttavia dei gradi di liberta nella
spiegazione del livello degli spot yield. Rimandiamo alla Sezione VII.C la presentazione
nel dettaglio delle tre teorie; nel seguito, invece, discuteremo come la struttura a termine
dei tassi di interesse osservata fornisca di per se informazioni molto utili sulla dinamica
macroeconomica futura.
In conclusione, osserviamo come, nell’analisi quantitativa dei mercati finanziari, la
stima della struttura a termine dei tassi di interesse comporta dei problemi non banali,
dato che non sono generalmente disponibili obbligazioni zero coupon per tutte le scadenze;
esistono dei metodi per ovviare a tale difficolta, ma che esulano dal nostro interesse. Chi
fosse interessato ai dati sugli spot yield delle obbligazioni nell’area euro puo trovare presso
il sito della Banca Centrale Europea molte informazioni in merito (http://www.ecb.int/
stats/money/yc/html/index.en.html).
VII.A La stima del tasso di inflazione atteso
Per alcuni investitori e molto interessante avere una stima del tasso di inflazione futuro.
La comparazione tra la struttura a termine per obbligazioni nominali e per obbligazioni
reali fornisce una tale stima. Il ragionamento che si segue e esattamente quello svolto nella
Sezione II.A, dove, sotto l’assunzione che yRn = yRn , avevamo ottenuto che (vedi Equazione
(10.13)):
πan = yn − yRn . (10.27)
Nella Figura 10.4 riportiamo due curve rappresentanti la struttura a termine dei tassi di
interesse relativa a obbligazioni nominali (linea nera) ed ad obbligazioni reali (linea rossa).
Per ogni scadenza, la differenza tra le due curve rappresenta il tasso di inflazione medio
atteso dagli investitori nel periodo che va da oggi alla scadenza. Se, come in Figura 10.4, il
tasso medio atteso di inflazione cresce dalla scadenza n0 alla scadenza n1, ossia πan1> πan0
,
cio significa che gli investitori prevedono un’inflazione in crescita da n0 a n1. Ricordiamo
come l’Equazione ( 10.27) si basi sull’ipotesi yRn = yRn , che non e mai verificata nel caso di
investitori avversi al rischio; in quest’ultimo caso yRn ≥ yRn , da cui possiamo dedurre che
πan e una sovrastima dell’inflazione attesa.
258
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
nn0 n1
yn, yRn
yRn0
yn0
πn0
πn1
Figura 10.4: Stima del tasso di inflazione medio atteso dagli investitori tramite le curvedella struttura a termine dei tassi di interesse nominali (in nero) e reali (in rosso).
Esempio 58 (Il tasso di inflazione atteso dagli investitori)
Supponete di che la stima della struttura a termine delle obbligazioni abbia dato il
seguente risultato:
yn = 0.03n0.25,
mentre la stima della struttura a termine delle obbligazioni reali abbia dato il seguente
risultato:
yRn = 0.02n0.20.
Il tasso di inflazione medio atteso e quindi dato dall’Equazione (10.27), ossia:
πn = 0.03n0.25 − 0.02n0.20.
Se ad esempio volessimo calcolare il tasso di inflazione medio atteso nei prossimi 5 anni
avremo che:
π5 = 0.03 ∗ 50.25 − 0.02 ∗ 50.20 = 0.017.
VII.B I tassi forward impliciti
La struttura a termine dei tassi di interesse fornisce anche informazioni su quelli che
sono chiamati i tassi forward impliciti, ossia sui tassi di interesse che gli investitori si
aspettano nel futuro ad una certa scadenza. Tali tassi sono diversi dai tassi forward espli-
citi, che si possono ricavare da contratti riguardanti acquisto e vendita di obbligazioni nel
259
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
futuro, ad esempio da un contratto che stabilisca il prezzo di acquisto di un’obbligazione
zero coupon tra un anno con scadenza un anno, il quale definisce esplicitamente un tasso
di interesse forward tra un anno.
Per capire il punto si consideri il caso in cui l’investitore stia valutando se acquistare
i) un’obbligazione zero coupon a scadenza fra n anni o ii) un’obbligazione zero coupon di
durata n−1 anni e alla scadenza acquistare un’altra obbligazione zero coupon con scadenza
un anno. Per il Principio di Arbitraggio, il rendimento di quest’ultima obbligazione,
fn−1,n, deve essere tale che:
(1 + yn)n = (1 + yn−1)n−1 (1 + fn−1,n) , (10.28)
altrimenti vi sarebbero delle possibilita di arbitraggio nel mercato. La Figura 10.5 fornisce
un’intuizione di come viene determinato il tasso forward tra n− 1 ed n.
n0 n− 1
yn
yn−1 fn−1,n
Figura 10.5: Determinazione dei tassi forward dalla struttura a termine dei tassi diinteresse
Esempio 59 (Calcolo del tasso forward via rendimenti di obbligazioni a scadenza diversa)
Supponete che lo spot yield di un’obbligazione zero coupon con scadenza 2 anni sia pari al
6%, mentre lo spot yield di un’obbligazione a scadenza fra un anno sia pari al 4%. Allora
tramite l’Equazione (10.28) possiamo calcolare il tasso forward implicito del periodo (1,2),
ossia:
f1,2 =(1 + 0.06)2
(1 + 0.04)− 1 = 0.080.
Dall’Equazione (10.28), ricordando che pm = 1/ (1 + yn)n si puo direttamente ricavare
che:
fn−1,n =pn−1
pn− 1. (10.29)
Esempio 60 (Calcolo del tasso forward via prezzi delle obbligazioni a scadenza diversa)
Supponiamo che p4 = 106 e p5 = 100. Allora via Equazione (10.29) avremo che il tasso
implicito forward del periodo ()4,5) sara pari a:
f4,5 =106
100− 1 = 0.06.
260
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
E’ possibile calcolare tassi forward per periodi piu lunghi di un anno. Ripercorrendo
il ragionamento fatto in precedenza, consideriamo un’obbligazione che scade tra n − j
periodi e l’acquisto di un’obbligazione al periodo n − j con scadenza n, abbiamo che il
tasso forward implicito nel periodo [n− j, n], fn−j,n, e definito come:
fn−j,n =
(pn−jpn
)1/j
− 1. (10.30)
E’ inoltre possibile esprimere il rendimento di un titolo zero-coupon a scadenza n come:
(1 + yn)n = (1 + y1) (1 + f1,2) ... (1 + fn−1,n) . (10.31)
Infatti, sapendo che:
(1 + yn)n = (1 + yn−1)n−1 (1 + fn−1,n) , (10.32)
possiamo
(1 + yn−1)n−1 = (1 + yn−2)n−2 (1 + fn−2,n−1) , (10.33)
che sostituito nell’Equazione (10.32) porta a:
(1 + yn)n = (1 + yn−2)n−2 (1 + fn−2,n−1) (1 + fn−1,n) , (10.34)
Procedendo a ritroso fino a n = 1 otteniamo l’Equazione (10.31).
L’Equazione (10.31) mostra come sia possibile calcolare il rendimento di un’obbliga-
zione zero coupon a qualunque scadenza partendo da tassi impliciti forward (il solo y1
non e un tasso forward). In particolare, i tassi delle obbligazioni con scadenza n possono
essere visti come il prodotto di tutta la serie dei tassi attesi per ogni periodo fino ad n
(ossia f1,2, f2,3, ..., fn−1,n).
Infine, osserviamo che se esiste un mercato di vendita a termine per le obbligazioni,
allora il tasso di interesse esplicito deve essere pari in equilibrio a quello implicito altrimenti
sarebbe violato il Principio di Arbitraggio.
VII.C La teoria della struttura a termine dei tassi di interesse
Come abbiamo gia discusso precedentemente la teoria economica ha elaborato tre
spiegazioni della struttura a termine dei tassi di interesse. Affronteremo nell’ordine la
teoria delle aspettative, successivamente la teoria dei mercati segmentati e, infine, la teoria
del premio di liquidita e dell’ambiente preferito. Tutte e tre le teorie contengono elementi
importanti e di qui la ragione di discuterle singolarmente.
261
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
La teoria delle aspettative
La teoria delle aspettative si propone di spiegare la forma della struttura a termine
sulle base delle aspettative sui tassi futuri. L’Equazione (10.31), che esprime lo spot yield
di un’obbligazione zero coupon con scadenza n come il risultato dei tassi forward di tutte
le scadenze minori di n, fornisce l’intuizione alla base di questa teoria con la cruciale
differenza che nella teoria dei tassi forward l’investitore prende come un dato la struttura
a termine dei tassi di interesse, mentre invece l’obiettivo ora e di spiegarla. A questo
riguardo, si considerino tre obbligazioni zero coupon con lo stesso valore facciale m. La
prima obbligazione puo essere acquistata oggi, ossia al periodo t e scade al periodo t+ 1;
indichiamo con y1,t il suo rendimento (abbiamo inserito un indice temporale per indicare
il periodo in cui l’obbligazione e acquistabile dall’investitore). La seconda obbligazione
puo essere acquistata il periodo t+1 e scade nel periodo t+2; indichiamo con ya1,t+1 il suo
spot yield atteso. Infine, la terza obbligazione puo essere acquistata al periodo corrente
t e scade nel periodo t + 2; indichiamo con y2,t il suo spot yield. In equilibrio, se vale il
Principio di Arbitraggio e gli individui sono neutrali al rischio, deve valere che:
(1 + y2,t)2 = (1 + y1,t)
(1 + ya1,t+1
), (10.35)
altrimenti un investitore avrebbe interesse a modificare la proprie scelte o a favore di
un portafoglio con le due obbligazioni uniperiodali o a favore dell’acquisto della sola
obbligazione biperiodale.
La Figura 10.6 riporta un’esposizione grafica del ragionamento. Sottolineiamo che
t+ 2t t+ 1
y2,t
y1,t ya1,t+1
Figura 10.6: L’eguaglianza in equilibrio fra lo spot yield di un’obbligazione con scadenzaa due periodi e di un portafoglio con due obbligazioni uniperiodali, una acquistabileimmediatamente e l’altra nel periodo successivo.
un’ipotesi cruciale sottostante all’Equazione (10.35) e che gli investitori non abbiano al-
cuna preferenza per obbligazioni con scadenze diverse e che non richiedano nessun premio
per l’incertezza sullo spot yield atteso dell’obbligazione acquistabile nel periodo successi-
vo. Tecnicamente si dice che le obbligazioni con diverse scadenze siano perfetti sostituti.
In conclusione cio significa che gli investitori sono neutrali al rischio.
262
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
Generalizzando al caso in cui considero un’obbligazione con scadenza nel periodo n e
due obbligazioni, una uniperiodale acquistabile immediatamente e l’altra dopo un periodo
e con una time to maturity n− 1, abbiamo che:
y1,t =(1 + yn,t)
n
(1 + yan−1,t+1
)n−1 − 1, (10.36)
dove yan−1,t+1 e il tasso atteso di un’obbligazione acquistata al periodo t+ 1 con scadenza
al periodo n (e che quindi ha una time to maturity di n− 1).
Se supponiamo di considerare, come alternativa all’investimento nell’obbligazione con
maturity n, un portafoglio con n obbligazioni uniperiodali, una per ogni periodo da t a
t+ n, abbiamo che in equilibrio per il Principio di Arbitraggio deve valere che:
(1 + yn,t)n = (1 + y1,t)
(1 + ya1,t+1
) (1 + ya1,t+2
)...(1 + ya1,t+n−1
), (10.37)
dove ya1,t+j, per j = 1, ..., n − 1 rappresenta lo spot yield di un’obbligazione uniperiodale
acquistata al periodo t + j. La Figura 10.7 fornisce un’intuizione grafica del ragiona-
mento alla base dell’Equazione (10.37) L’Equazione (10.37) e alla base della teoria delle
t+ nt t+ 1
yn,t
y1,t
t+ 2
ya1,t+1
t+ 3 t+ 4 t+ n− 1
ya1,t+2 ya1,t+3ya1,t+n−1
Figura 10.7: L’eguaglianza in equilibrio fra lo spot yield di un’obbligazione con scadenzaa n periodi e di un portafoglio con n obbligazioni uniperiodali acquistabili una in ogniperiodo che va dal periodo t al periodo t+ n.
aspettative e prende il nome di return to maturity. Essa afferma che il spot yield di
un’obbligazione con maturity n osservato nel mercato e il risultato di n spot yield attesi
di obbligazioni uniperiodali acquistabili negli n periodi futuri.
L’Equazione (10.37) puo anche essere riscritta nel seguente modo:
yn,t =[(1 + y1,t)
(1 + ya1,t+1
) (1 + ya1,t+2
)...(1 + ya1,t+n−1
)]1/n − 1, (10.38)
ossia lo spot yield di un’obbligazione con scadenza n non e altro che la media geometrica
degli n spot yield attesi di un’obbligazione uniperiodale che si avranno nei futuri n periodi.
L’Equazione (10.38) prende il nome di yield to maturity.
263
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
Un’analisi dell’Equazione (10.38) mostra come la teoria delle aspettative spiega sia la
sincronicita dei movimenti della curva della struttura a termine dei tassi, che la relazione
fra il livello degli spot yield a breve ed l’inclinazione della curva della struttura a termine
dei tassi. Infatti, un aumento nelle aspettative di un certo spot yield futuro, ad esempio
relativo al periodo n0, avra l’effetto di traslare la curva dei rendimenti per tutte le scadenze
superiori a n0. Nello stesso tempo alti livelli di spot yield a breve generalmente implicano
piu bassi livelli attesi di spot yield futuri e quindi lo spot yield tende a decrescere con
la maturity n. Tuttavia la teoria delle aspettative non e in grado di spiegare come mai
si osservi con una alta frequenza una curva della struttura a termine dei tassi crescente,
ovvero come mai gli spot yield per maturity piu lunghe sono per la maggior parte del
tempo superiori agli spot yield per maturity piu brevi.
Esempio 61 (La Struttura a termine dei tassi di interesse)
Supponete che lo spot yield di un’obbligazione con scadenza un anno sia pari al 3%
(ossia ya1,t = 0.03) e che vi aspettiate per il periodo 2 un tasso di interesse del 4% (ossia
ya1,t+1 = 0.04) e per il periodo 3 del 5% (ossia ya1,t+2 = 0.05). Allora per l’Equazione
(10.38) un’obbligazioni con scadenza a 3 anni in equilibrio deve presentare uno spot yield
pari a:
y3,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.04) (1 + 0.05)]1/3 − 1 = 0.040,
mentre un’obbligazione a scadenza fra 2 anni:
y2,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.04)]1/2 − 1 = 0.035;
avremo quindi che la struttura a termine dei tassi di interesse per n = 1, 2, 3 e data da
(0.03, 0.035, 0.040) Se il tasso atteso per il periodo 2 diminuisce al 2%, allora avremo che:
y3,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.02) (1 + 0.05)]1/3 − 1 = 0.033,
e
y2,t = [(1 + 0.03) (1 + 0.02)]1/2 − 1 = 0.025.
Quindi la struttura a termine dei tassi di interesse per n = 1, 2, 3 e data da (0.03, 0.025, 0.033).
Il cambiare di un tasso atteso ha fatto traslare tutta la curva della struttura a termine
dei tassi (e traslata verso il basso per precisione); inoltre, con tassi attesi futuri inferiori a
quelli correnti la struttura a termine dei tassi di interesse presenta adesso un’inclinazione
negativa tra i periodi 1 e 2 (infatti lo spot yield per scadenza ad un anno e superiore a
quello a scadenza a due anni).
264
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
Local expectation hypothesis In effetti la teoria delle aspettative fornisce indicazioni
ancora piu precise sul rapporto fra gli spot yield attesi delle obbligazioni. Ricordando che
pn = 1/ (1 + yn)n, possiamo scrivere che:
y1,t =(1 + yn,t)
n
(1 + yan−1,t+1
)n−1 =pan−1,t+1
pn,t− 1, (10.39)
dove pn,t e il prezzo al periodo t dell’obbligazione con maturity n, mentre pan−1,t+1 e il
prezzo al periodo t + 1 dell’obbligazione con scadenza n − 1. Possiamo allora definire il
lato destro dell’Equazione (10.39) come il rendimento atteso del detenere un’obbligazione
con maturity n per un periodo da t a t+ 1, ossia:
y1,t = ran,t+1 =≡ pan−1,t+1
pn,t− 1. (10.40)
Per avere un’intuizione del significato di ran,t+1 supponete di comprare adesso al periodo t
un’obbligazione con maturity n e di rivenderla nel periodo successivo t + 1; allora ran,t+1
rappresentera il rendimento atteso di tale operazione, essendo il prezzo di vendita atteso
proprio dato da pan−1,t+1. Chiarito il punto osserviamo che tale proprieta deve valere per
tutte le obbligazioni con scadenza diversa da n, ossia:
y1,t = ran,t+1 = ran−1,t+1 = ... = ra2,t+1. (10.41)
L’Equazione (10.41) definisce quella che prende il nome di Local Expectation Hypothesis,
ossia che la struttura a termine dei tassi di interesse deve essere tale da mantenere tutti i
rendimenti attesi annuali delle obbligazioni eguali, indipendentemente dalla loro scaden-
za. Questa conclusione, che deriva direttamente dall’ipotesi di perfetta sostituibilita di
obbligazioni con differente tempo alla scadenza, e stata variamente criticata in letteratu-
ra proprio in considerazione del fatto che gli investitori nelle loro decisioni sembrano non
mostrare questo tipo di preferenze. Vedremo come le altre due teorie vengano incontro
proprio a questa critica.
La teoria dei mercati segmentati
La teoria dei mercati segmentati nega che le obbligazioni con scadenze diverse siano
perfetti sostituti, affermando che esistono diverse categorie di obbligazioni definite sulla
base della loro maturity (ad esempio obbligazioni di breve periodo, obbligazioni di medio
periodo ed obbligazioni di lungo periodo) e obbligazioni di categorie diverse non sono
soggette alle stesse dinamiche, ovvero i loro prezzi possono avere comportamenti differenti.
In questa impostazione, i tassi sulle obbligazioni con una scadenza a lunga sono maggiori
265
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
per la preferenza degli investitori per le obbligazioni con scadenze brevi (ricordiamo che
esiste una relazione negativa tra pn ed yn). Da questo assunto deriva anche un’importante
implicazione per la politica monetaria, ossia che le operazioni della Banca Centrale su
obbligazioni a scadenza breve non riescono ad influenzare gli spot yield delle obbligazioni
a scadenza lunga. Questa teoria riuscirebbe quindi a spiegare la notevole frequenza con cui
si osserva un’inclinazione positiva della curva della struttura a termine dei tassi. Tuttavia
non riesce a spiegare ne la sincronicita degli spostamenti della curva, ne perche a spot
yield a breve molto elevati corrisponda di norma una curva dei rendimenti decrescente.
La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito
La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito sostiene che nello
spiegare gli spot yield di obbligazioni con diversa maturity bisogna tenere in considerazione
la preferenza di liquidita degli investitori e delle diverse condizioni di domanda ed offerta
per le obbligazioni con maturity diverse. In particolare, la teoria della preferenza per
la liquidita afferma che gli spot yield delle obbligazioni mano a mano che aumenta la
loro maturity devono riflettere un premio di liquidita (liquidity premium) o un premio a
termine (term premium) a seguito del maggior rischio di tasso di interesse (vedi Sezione V)
In altre parole, si sostiene che in equilibrio lo spot yield di un’obbligazione con maturity
n debba incorporare un premio di liquidita o a termine, ln,t, che e crescente in n, come
riflesso del maggior rischio di tasso di interesse sopportato dagli investitori all’aumentare
di n. Quindi, riprendendo l’Equazione (10.38), potremo scrivere che:
yn,t =[(1 + y1,t)
(1 + ya1,t+1
) (1 + ya1,t+2
)...(1 + ya1,t+n−1
)]1/n − 1 + ln,t. (10.42)
Se gli spot yield seguono l’Equazione (10.42) allora dovremo osservare, come infatti accade,
che gli spot yield delle obbligazioni, ceteris paribus, crescano all’allungarsi della maturity.
Un punto debole della teoria della preferenza per la liquidita e che lascia indeterminati
l’andamento dei premi della liquidita, se non la restrizione che siano crescenti rispetto alla
maturity. Quindi la teoria puo facilmente accomodarsi ai dati, ma e difficilmente sotto-
porla a verifica empirica. La teoria dell’ambiente preferito arriva alle stesse conclusioni
riportate nell’Equazione (10.42) solo che parte da premesse diverse ed in qualche modo
rappresenta un completamento della teoria della preferenza per la liquidita. Essa infat-
ti assume che gli investitori abbiano preferenze diverse sulla maturity delle obbligazioni
(un diverso ambiente preferito); in particolare chi acquista obbligazioni ha preferenze per
maturity brevi, mentre chi le vende per maturity lunghe. In questa situazione allora
per convincere gli investitori a detenere obbligazioni a scadenza lunga il rendimento di
queste deve essere superiore al rendimento delle obbligazioni a scadenza breve. E tale
266
10. LE OBBLIGAZIONI VII. La struttura a termine dei tassi di interesse
differenza deve crescere al crescere della maturity, come stabilito dall’Equazione (10.42).
In questo ambito il premio di liquidita e quindi spiegato in termini di eterogeneita nelle
preferenze degli investitori sulla maturity delle obbligazioni. Nella Figura 10.8 abbia-
mo riportato un’illustrazione della teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente
preferito nel caso in cui si prevedano spot yield uniperiodali costanti nel tempo (ossia
y1,t = ya1,t+1 = ... = ya1,t+n−1).
yn
nn0 n1
ln0
ln1
yn1
yn0
y1;t
Figura 10.8: La teoria della preferenza per la liquidita e dell’ambiente preferito comespiegazione della curva della struttura a termini dei tassi nel caso sia si prevedano spotyield uniperiodali costanti nel tempo pari a y1,t.
Confrontando queste conclusioni con quelle della teoria delle aspettative abbiamo che
una curva della struttura a termini dei tassi decrescente trova la sua spiegazione in un’a-
spettativa di diminuzione degli spot yield futuri, ma una curva dei rendimenti solo mode-
ratamente crescente puo significare invarianza degli spot yield futuri e non, come la teoria
delle aspettative suggeriva, una crescita nel tempo delle stessi.
In conclusione, osserviamo come le tre teorie della struttura a termine dei tassi for-
niscono una spiegazione sulla relazione fra gli spot yield a diverse scadenze, ma nulla e
detto sul loro livello, ossia sappiamo come si devono muovere tra loro gli spot yield, ma
non sappiamo il livello a cui si posizioneranno. Ad esempio nulla e detto del perche gli
spot yield a breve possono risultare piu elevati di quelli a lunga e viceversa. In effetti, la
letteratura economica ha proposto vari modelli per la determinazione dei livelli degli spot
yield, tra cui un’applicazione della APT alle obbligazioni, ma non e questa la sede per la
loro discussione.
267
VII. La struttura a termine dei tassi di interesse 10. LE OBBLIGAZIONI
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Capp. 12 e 13.
• de La Grandville, Bond Price and Portfolio Analysis, MIT press, 2001.
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Capp. 20 e 21.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Capp.
14 e 15.
268
Capitolo 11
Le opzioni
Nei mercati finanziari esistono una varieta di strumenti finanziari, denominati con-
tingent claims contract, il cui ritorno dipende dall’andamento nel tempo del valore di
qualche attivita finanziaria. Tra questi uno dei piu famosi e il contratto di opzione (op-
tion). Questo contratto prevede la possibilita di vendere od acquistare una determinata
attivita finanziaria ad un determinato prezzo entro un certo periodo di tempo od ad una
data stabilita.1
Il mercato delle opzioni si e enormemente sviluppato dagli anni 70 del secolo scorso
negli Stati Uniti, tanto da diventare uno dei mercati finanziari di piu ampie dimensioni.
Una ragione alla base di tale successo e che il contratto di opzione permette agli inve-
stitori di ottenere una protezione dal rischio aggiuntiva rispetto a detenere un semplice
portafoglio di attivita composto da azioni ed obbligazioni. Dal punto di vista teorico i
contratti di opzione forniscono una prospettiva diversa di fenomeni di grande interesse,
come la relazione fra il valore delle imprese e la struttura finanziaria delle loro passivita (il
teorema di Modigliani-Miller) o come il fatto che l’irreversibilita dei costi di investimento
(i cosiddetti costi non recuperabili) sia un aspetto chiave nelle decisioni di investimento.
Nel seguito forniremo prima una descrizione del mercato delle opzioni e dei vari tipi
di opzioni scambiate, per poi passare ad analizzare le principali teorie di determinazione
del loro prezzo. Anche se esiste una teoria ampiamente usata nella pratica (la teoria di
Black e Scholes, che discuteremo nella Sezione V), e nonostante il notevole interesse per
le opzioni da parte degli economisti ed investitori, siamo ben lontani da avere una teoria
consolidata.
1La possibilita e non l’obbligo di acquisto e la principale differenza con i contratti future ed i contrattidi opzione.
269
I. Introduzione 11. LE OPZIONI
I Introduzione
Nel mercato esistono due fondamentali tipi di opzioni: l’opzione call e l’opzione put.
L’opzione call permette al possessore (holder) di acquistare una certa attivita finan-
ziaria ad un dato prezzo, chiamato prezzo di esercizio (exercise price), dal sottoscrittore
(writer) dell’opzione. Il sottoscrittore e obbligato dal contratto a vendere tale attivita al
prezzo di esercizio se il possessore esercita l’opzione di acquisto.
L’opzione put permette al possessore (holder) di vendere una certa attivita finanziaria
ad un dato prezzo, chiamato prezzo di esercizio (exercise price), al sottoscrittore (writer)
dell’opzione. Il sottoscrittore e obbligato dal contratto ad acquistare tale attivita al prezzo
di esercizio se il possessore esercita l’opzione di vendita.
Un aspetto importante del contratto di opzione e il momento il cui il possessore puo
esercitare i suoi diritti. A questo riguardo esistono due tipi di opzioni. L’opzione ame-
ricana permette che tale diritto sia esercitabile per tutto il periodo fino alla scadenza
dell’opzione (expiry date). L’opzione europea, invece, permette di esercitare tale diritto
solo alla scadenza. Le opzioni che non sono esercitate entro la scadenza si dicono morte e
sono senza valore. Le opzioni americane sono le piu comuni, ma sono anche le piu difficili
da analizzare, cosı che nel seguito ci concentreremo principalmente su quelle europee e
discuteremo cosa cambia nel caso le opzioni fossero di tipo americano.
Le opzioni sono scambiate sia in mercati regolamentati, come il Philadelphia Stock
Exchange, il Chicago Board Options Exchange (CBOE) o il LIFFE, ma anche in mercati
non regolamentati (over-the-counter, OTC) dove i singoli investitori contrattano diretta-
mente fra loro. In questo caso i contratti di opzione possono essere molto complicati e
collegati a prezzi di attivita finanziarie non quotate.
Infine, e da ricordare che esiste la necessita di avere delle garanzie per il buon anda-
mento del contratto di opzione. Una garanzia possibile consiste nel depositare le attivita
finanziarie oggetto del contratto (ad esempio azioni) presso terze parti, assumendo cosı
una posizione cosiddetta coperta (covered position); se invece la posizione e scoperta (na-
ked position), allora e necessario depositare una somma a garanzia (margin deposits), che
puo variare in funzione della differenza fra il prezzo di esercizio e il prezzo di mercato
dell’attivita finanziaria.
Infine, e importante tenere a mente che il contratto di opzione puo terminare in tre
modi per chi possiede l’opzione:
• non esercitare l’opzione entro la scadenza, cosı che l’opzione muore;
• esercitare l’opzione; e
270
11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
• sottoscrivere un’opzione identica a quella che si possiede (questa e un’attivita stan-
dard in molti mercati di opzioni).
II Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
La Figura 11.1 riporta il profilo del ritorno ed del guadagno, ovvero il ritorno al netto
del costo dell’acquisto o del ricavo della sottoscrizione dell’opzione, per un possessore
di un’opzione europea call o put in funzione del prezzo dell’opzione call europea c, del
prezzo dell’opzione put europea p, del prezzo di esercizio X e del prezzo dell’attivita
oggetto del contratto al momento del diritto di esercizio dell’opzione ST , ignorando che
l’uscita/entrata per l’acquisto/sottoscrizione dell’opzione e il ritorno avvengano a date
diverse nel tempo (cio equivale ad assumere che r0 sia pari a zero).
Esempio 62 (Ritorno e guadagno ad acquistare un’opzione europea call)
Supponiamo che il prezzo di un’opzione call europea c sia pari a 10, che il prezzo di
esercizio sia X = 100. Abbiamo allora che il possessore di una call esercitera l’opzione se
il prezzo dell’attivita a scadenza ST sara superiore (o pari) a 100 e conseguira un guadagno
se ST sara superiore a 110.
La Figura 11.2 riporta invece il profilo del ritorno ed del guadagno per un sottoscrittore
di un’opzione europea call o put.
Esempio 63 (Ritorno e guadagno ad acquistare un’opzione europea put)
Supponiamo che il prezzo di un’opzione put europea p sia pari a 10, che il prezzo di
esercizio sia X = 100. Abbiamo allora che il possessore di una put esercitera l’opzione se
il prezzo dell’attivita a scadenza ST sara inferiore (o pari) a 100 e conseguira un guadagno
se ST sara inferiore a 90.
Dal confronto tra le Figure 11.1 e 11.2 e evidente come il possessore di un’opzione call
sia coperto dal rischio di una discesa del prezzo dell’attivita finanziaria S (la sua perdita
massima e pari a c), ed abbia tutto da guadagnare da un aumento di S oltre X + c; il
sottoscrittore e invece soggetto ad un notevole rischio, essendo la sua perdita nel caso di
un aumento di S oltre X + c potenzialmente infinita e guadagna solo se S non aumenta
oltre X + c. Questo rende chiaro la funzione del contratto di opzione call, che sposta il
rischio dal possessore al sottoscrittore in maniera asimmetrica e sostanziale. L’opzione
put invece non presenta evidenti asimmetrie fra i guadagni e le perdite possibili di un
possessore o di un sottoscrittore essendo la massima perdita per un possessore limitata a
−p mentre per un sottoscrittore a p − X e il massimo guadagno a X − p e p. Il rischio
viene quindi spostato, ma non in termini estremi; ’utilita del suo uso in un portafoglio
sara evidente dagli esempi discussi nel seguito.
271
II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI
Ritorno
ST
Ritorno
Guadagno Guadagno
ST
ST ST
X X
XX
X
−c−p
Opzione call Opzione put
X − p
X + c X − p
1
1
−1
−1
ST < XOpzione muore
ST ≥ XOpzione esercitata
ST ≤ X
Opzione muoreOpzione esercitata
ST > X
Figura 11.1: Il profilo del ritorno e del guadagno per un possessore di un’opzione call oput europea (ignorando la diversa tempistica delle uscite ed entrate monetarie, ovveroassumendo r0 = 0).
272
11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
Ritorno
ST
Ritorno
Guadagno Guadagno
ST
ST ST
X X
XX
−X
−c
p−X
Opzione call Opzione put
p
X + c X − p
Figura 11.2: Il profilo del ritorno e del guadagno per un sottoscrittore di un’opzione callo put europea (ignorando la diversa tempistica delle uscite ed entrate monetarie, ovveroassumendo r0 = 0).
273
II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI
Infine, quando S = X si dice che l’opzione abbia un valore intrinseco zero, ma
ha comunque un prezzo di mercato positivo: questo perche l’opzione fornisce sempre
l’opportunita di sfruttare una dinamica favorevole del prezzo dell’attivita finanziaria (che
e in salita se ho un’opzione call o in discesa se ho un’opzione put) senza invece subi-
re le conseguenze di una dinamica sfavorevole. In realta, non potendosi esercitare pri-
ma della scadenza un’opzione europea avrebbe come condizione di valore intrinseco zero
S = X/ (1 + r0)τ , dove r0 e il tasso dell’attivita priva di rischio e τ e il tempo alla scadenza.
In conclusione, notiamo come il prezzo di mercato per un’opzione americana call (o
put) deve sempre essere maggiore del prezzo della corrispondente opzione europea (cor-
rispondente significa con le stesse caratteristiche), dato che la prima ha l’opportunita di
essere fatta valere prima della scadenza.
II.A Portafogli con opzioni call e put
In questa sezione discutiamo diversi tipi di portafoglio che includono call e put. L’ope-
razione di acquisto (o la sottoscrizione) di un’opzione call e put con le stesse caratteristiche
(stesso prezzo di esercizio X e stessa scadenza T ) e chiamata straddle.2 Come si evince
Guadagno
ST ST
X
X
Possessore SottoscrittoreGuadagno
−p− c
X − p− c
p+ c
p+ c−X
X − p− c
X + p+ c X − p− c
X + p+ c
Figura 11.3: Il profilo di guadagno per l’acquisto o la sottoscrizione congiunta di un’op-zione call ed un’opzione put europee con stesso prezzo di esercizio X e stessa scadenza(assumendo r0 = 0).
2Esistono poi altre tipiche combinazioni di opzioni come la strip, due opzioni put ed un’opzione call,e la strap, due opzione call ed un’opzione put, che non sono rilevanti ai nostri fini didattici.
274
11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
dalla Figura 11.3 il possessore guadagna nel caso ST si discosti significativamente da X
(in particolare piu di c+ p), mentre per il sottoscrittore vale esattamente l’opposto.
Esempio 64 (Acquisto congiunto di un’opzione call e di un’opzione put)
Supponiamo che i prezzi di un’opzione europea call c e di un’opzione europea put p siano
entrambi pari a 10. Inoltre, il prezzo di esercizio di entrambe le opzioni X sia pari a
100. Il possessore di queste due opzioni, se il prezzo a scadenza ST sara superiore a 100
esercitera l’opzione call e lascera morire l’opzione put; al contrario, se ST sara inferiore a
100 esercitera l’opzione put e lascera morire l’opzione call. Infine guadagnera se il prezzo
a scadenza sara od inferiore a 80 o superiore a 120. In termini di guadagno l’opposto
varra per il sottoscrittore delle due opzioni.
La possibilita poi di acquistare o sottoscrivere opzioni su un’attivita finanziaria che gia
si possiede (ad esempio un’azione) permette di sfruttare la covarianza nei ritorni dell’atti-
vita finanziaria e dell’opzione per diminuire il rischio complessivo del portafoglio detenuto.
Per verificare questa intuizione consideriamo ad esempio il profilo di guadagno di un por-
tafoglio contenente un’azione, acquistata al prezzo al prezzo X, e la sottoscrizione di una
call, con prezzo di esercizio X, sulla stessa azione riportato in Figura 11.4.3 Osserviamo
che una tale operazione annulla i possibili guadagni in conto capitale per ST > X, ma
allo stesso tempo riduce le perdite per ST < X: e quindi una strategia che mi ripara da
perdite in conto capitale a costo di non beneficiare di eventuali rialzi nel prezzo del titolo.
Queste sono, ad esempio, le esigenze di molti fondi di investimento, che hanno dei prezzi
obiettivo oltre i quali liquidano l’attivita finanziaria. Per loro la sottoscrizione di un’op-
zione fornisce dei ricavi aggiuntivi oltre alla maggior protezione nel caso di diminuzione
dei prezzi delle attivita.
Specularmente la Figura 11.5 riporta il caso dell’acquisto congiunto di un’azione e di
un’opzione put sulla stessa. Anche in questo caso si limitano le perdite in conto capitale
a −p nel caso di ST < X, ma si riesce a beneficiare di eventuali dinamiche favorevoli di S
per ST > X + p.
Esempio 65 (Acquisto congiunto di un’azione ed un’opzione put sulla stessa azione)
Si consideri il caso in cui si compri un’azione al prezzo di 100 e allo stesso momento si
stipuli un contratto di acquisto di un’opzione put sulla stessa azione del costo p = 10 e
prezzo di esercizio pari X = 100. Avremo quindi che per un prezzo dell’azione nel periodo
di scadenza inferiore a 100 avro una perdita pari a −10, mentre per un prezzo superiore
a 100 avro un guadagno pari al prezzo meno 100 + 10 = 110. Ad esempio se ST fosse pari
a 150, avro un guadagno pari a 150− 100− 10 = 40.
3Tale operazione, ovvero la sottoscrizione di un’opzione call quando gia si possiede l’attivitasottostante, e chiamata covered call.
275
II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI
Guadagno
X
c
ST
Opzione call
Azione
−X
Combinazione
c−X
X − c
Figura 11.4: Il profilo di guadagno derivante dall’acquisto di un’azione al prezzo X ealla contemporanea sottoscrizione di un’opzione call su di essa, con prezzo di esercizio X(covered call), assumendo r0 = 0.
Guadagno
X ST
Opzione put
Azione
−X
CombinazioneX − p
−p
X + p
Figura 11.5: Il profilo di guadagno dall’acquisto congiunto di un’azione e di un’opzioneput sulla stessa azione, assumendo r0 = 0.
276
11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
Da questi esempi appare chiaro che l’uso delle opzioni si presta a modificare in maniera
cruciale le combinazioni rischio-rendimento che si ottengono da una normale diversifica-
zione di portafoglio. Ad esempio, se fossi interessato a limitare al massimo la presenza di
rendimenti negativi, potrei comprare opzioni put sui titoli che detengo in portafoglio in
modo da minimizzare il rischio di perdite in conto capitale. In questo modo diminuirei il
rendimento atteso di portafoglio, poiche devo sopportare il costo di acquisto delle opzioni
put, ma allo stesso tempo, come mostra la Figura 11.5, eliminerei la possibilita che il mio
portafoglio abbia dei rendimenti estremamente negativi.
Esempio 66 (Acquisto congiunto di un’azione ed un’opzione put (cont.))
Si consideri il caso in cui si possegga un’attivita finanziaria collegata all’andamento del
mercato IM , il cui prezzo corrente sia pari a 100 e con un rendimento atteso µIM pari
al 10% (ossia IM ha un prezzo atteso di mercato pari a 110 il prossimo periodo) ed
una deviazione standard del rendimento del 15%. Comprando un’opzione put su questa
attivita finanziaria con prezzo di esercizio X pari a 105 al costo p di 6 ottengo che: i)
quando il prezzo e superiore a 105 il rendimento atteso della mia attivita diventi pari a
(110 − 6 − 100)/106 = 3.77%; e ii) quando il prezzo e inferiore a 105 il rendimento non
scenda mai sotto (105− 6− 100)/106 = −0.94%, modificando cosı in maniera cruciale la
distribuzione dei rendimenti del portafoglio come mostrato in Figura 11.6.
10% IM-0.94% 3.77%
pdf (IM )
Figura 11.6: Distribuzione dei rendimenti di portafoglio composto da un’attivita finan-ziaria collegata al rendimento di mercato ed un’opzione put sull’attivita stessa (linea blu)e distribuzione dei rendimenti della sola attivita.
Per approfondire ulteriormente l’utilita dell’utilizzo delle opzioni, si consideri di ac-
quistare allo scoperto un’azione e allo stesso tempo si acquisti una call su quest’ultima, il
cui prezzo di esercizio X rappresenta anche il prezzo di acquisto dell’azione. La Figura
11.7 mostra come tale strategia di investimento permette sempre di scommettere su una
277
II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI
discesa nel prezzo dell’azione, ma coprendosi dai rischi di un suo aumento, limitando in
particolare le perdite massime a −c.
Guadagno
X ST
Opzione call
Azione venduta allo scoperto
X
Combinazione
X − c
−c
X + c
Figura 11.7: Il profilo di guadagno dalla vendita allo scoperto di un’azione e l’acquisto diun’opzione call sulla stessa azione, assumendo r0 = 0.
In conclusione, potremo chiederci come un investitore sceglie tra i diversi possibili
portafogli che puo formare sul mercato.
Esempio 67 (La scelta tra diversi portafogli con opzioni call e put)
Si consideri di comprare un’azione il cui prezzo corrente e pari a 100 e il cui prezzo nel
prossimo periodo e estratto secondo la distribuzione di probabilita riportata nella Tabella
11.1.
Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Prezzo 100 110 120
Tabella 11.1: Distribuzione di probabilita per il prezzo dell’azione nel prossimo periodo.
E’ immediato calcolare il rendimento atteso in ogni stato del mondo, ovvero 0, 0.1 e
0.2 per i tre stati del mondo rispettivamente, il che permette di calcolare il rendimento
atteso dall’acquisto dell’azione come segue:
µ = (1/2) ∗ 0 + (1/4) ∗ 0.1 + (1/4) ∗ 0.2 = 0.075
278
11. LE OPZIONI II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione
e la varianza di tale rendimento:
σ2 = (1/2) (0− 0.075)2 + (1/4) (0.1− 0.075)2 + (1/4) (0.2− 0.075)2 = 0.006875.
Supponiamo ora che esista la possibilita di acquistare una put europea che ha come
sottostante l’azione, la cui scadenza e il prossimo periodo, il cui prezzo di esercizio X e
pari a 105 e il cui prezzo p pari a 5. Nella Tabella 11.2 riportiamo il costo del portafoglio
che include l’azione e l’acquisto della put, il valore del portafoglio nel prossimo periodo
e il rendimento per ogni stato del mondo possibile. La put verra esercitata solo nello
Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100+5=105 100+5=105 100+5=105Esercizio della put SI NO NOValore del portafoglio 100+(105-100)=105 110 120Rendimento 105−105
105= 0 110−105
105= 0.04761 120−105
105= 0.1428
Tabella 11.2: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione ed una put sulla stessa.
stato del mondo 1, e il suo esercizio permette di conseguire un guadagno di 5 (infatti
X − ST = 105 − 100), che deve essere assunto nello stato 1 al valore dell’azione pari a
100. E’ immediato calcolare il rendimento atteso del portafoglio:
µPUT = (1/2) ∗ 0 + (1/4) ∗ 0.0476 + (1/4) ∗ 0.1428 = 0.0474
e la sua varianza:
σ2PUT = (1/2)∗(0− 0.0474)2+(1/4)∗(0.0476− 0.0474)2+(1/4)∗(0.1428− 0.0474)2 = 0.00337.
Un’ulteriore possibilita e di diventare un sottoscrittore di una call, il cui prezzo di esercizio
e pari a 115 e il cui costo e pari a 10. Nella Tabella 11.3 riportiamo il costo del portafoglio
che include l’azione e la sottoscrizione della call, il valore del portafoglio nel prossimo
periodo e il rendimento per ogni stato del mondo possibile. E’ immediato calcolare il
rendimento atteso del portafoglio:
µCALL = (1/2) ∗ 0.1111 + (1/4) ∗ 0.2222 + (1/4) ∗ 0.2778 = 0.1805
279
II. Ritorno, guadagno e valore di un’opzione 11. LE OPZIONI
Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100-10=90 100-10=90 100-10=90Esercizio della call NO NO SIValore del portafoglio 100 110 120-(120-115)=115Rendimento 100−90
90= 0.1111 110−90
90= 0.2222 115−90
90= 0.2778
Tabella 11.3: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione ed una sottoscrizione di call sulla stessa.
e la sua varianza:
σ2CALL = (1/2)∗(0.1111− 0.1805)2+(1/4)∗(0.2222− 0.1805)2+(1/4)∗(0.2778− 0.1805)2 = 0.0052.
L’ultima possibilita e di formare un portafoglio con l’azione, una put ed una sottoscrizione
di call. Nella Tabella 11.4 riportiamo il costo del portafoglio che include l’azione, una put
e la sottoscrizione della call, il valore del portafoglio nel prossimo periodo e il rendimento
per ogni stato del mondo possibile. E’ immediato calcolare il rendimento atteso del
Stato del mondo 1 2 3Probabilita 1/2 1/4 1/4Costo del portafoglio 100-10+5=95 100-10+5=95 100-10+5=95Esercizio della put SI NO NOEsercizio della call NO NO SIValore del portafoglio 100+(105-100)=105 110 120-(120-115)=115Rendimento 105−95
95= 0.1053 110−95
95= 0.1579 115−95
95= 0.2105
Tabella 11.4: Costo del portafoglio al periodo corrente, valore del portafoglio nel prossi-mo periodo e suo rendimento per ogni stato del mondo per un portafoglio composto daun’azione, una put ed una sottoscrizione di call sulla stessa.
portafoglio:
µPUTCALL = (1/2) ∗ 0.1053 + (1/4) ∗ 0.1579 + (1/4) ∗ 0.2105 = 0.1448
e la sua varianza:
σ2PUTCALL = (1/2)∗(0.1053− 0.1448)2+(1/4)∗(0.1579− 0.1448)2+(1/4)∗(0.2105− 0.1448)2 = 0.0019.
Nel caso in cui le preferenze dell’investitore siano rappresentate dalla funzione di utilita
media-varianza (si veda il Capitolo 3) la Figura 11.8 fornisce utili indicazioni sulla scelta
dell’investitore, ovvero che il portafoglio con la sola call o con la call e la put possono
280
11. LE OPZIONI III. La varieta dei contratti di opzione
essere considerati nella scelta, mentre il portafoglio con la put, ovvero il comprare la sola
azione risultano due scelte dominate.
µ
σ20:00686
0:075
0:1805
0:0052
0:1448
0:0017
0:0437
0:00337
Solo azione
Azione + put
Azione + put + call
Azione + call
Figura 11.8: La scelta del portafoglio con put e call per un investitore con una funzionedi utilita media-varianza.
III La varieta dei contratti di opzione
I contratti di opzione possono differire fra loro per l’attivita sottostante al contratto,
la data(e) a cui e possibile esercitare l’opzione, e le regole da utilizzare per calcolare il
ritorno quando l’opzione e esercitata. Alcuni contratti permettono anche ad una data
prestabilita di decidere se il contratto di opzione sia di tipo call o put; queste opzioni sono
chiamate opzioni as-you-like-it.
Differenza nell’attivita sottostante Nel mercato si possono osservare varie attivita
finanziarie su cui basare un contratto di opzione, tra cui ricordiamo:
• opzioni su azioni;
• opzioni su tassi di interesse;
• opzioni sull’indice del mercato azionario;
• opzioni su valute;
• opzioni su contratti future;
• opzioni basket (riferite ad un portafoglio di attivita finanziarie e non ad una singola
attivita); e
• opzioni compound (riferite ad altre opzioni).
281
IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
Differenza nella data(e) di esecuzione Oltre alla differenza tra opzioni americane ed
europee esistono alcune opzioni intermedie dove e possibile solo a date stabilite esercitare
l’opzione: queste vengono chiamate opzioni Bermuda.
Differenze nel calcolo del rendimento Invece di essere la semplice differenza tra il
prezzo di esercizio ed il prezzo di mercato alcune opzioni prevedono che i rendimenti siano
determinati in maniera piu complicata, prevedendo un prezzo di esercizio non fissato (ad
esempio, questo puo essere fissato al valore massimo dei prezzi osservati nel periodo od
una loro media), oppure un rendimento fisso indipendente dalla differenza fra prezzo di
mercato e prezzo di esercizio (si parla a questo proposito di opzioni binary).
IV Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni
In questa sezione studieremo come il Principio di Non Arbitraggio permetta di iden-
tificare dei limiti superiori ed inferiori ai prezzi delle opzioni. E’ importante ribadire che
il Principio di Arbitraggio vale in mercati che soddisfano alcuni requisiti, tra cui quelli
piu importanti sono (a) l’assenza di costi di transazione, (b) nessun vincolo al credito per
gli investitori, (c) nessun vincolo di natura istituzionale a trattare e (d) dove le attivita
finanziarie siano sempre perfettamente divisibili. Per i mercati delle opzioni non sempre
tali requisiti sono soddisfatti. Iniziamo quindi dal prezzo delle opzioni call.
IV.A I limiti nel prezzo dell’opzione call
Nel seguito procederemo per approssimazioni successive discutendo i vincoli piu im-
mediati del prezzo delle call per poi passare a quelli piu complessi. Quindi, un vincolo
banale, considerato che l’opzione assegna un diritto a chi la possiede, e che il prezzo di
una call deve essere sempre maggiore di zero, ossia:
c, C ≥ 0. (11.1)
Seguendo questa linea di ragionamento, poiche le opzioni americane attribuiscono piu
diritti di quelle europee, deve anche valere:
C ≥ c. (11.2)
Focalizzandoci ora solo sulle opzioni europee, un vincolo che necessita di un maggior
ragionamento e che un’opzione call non puo valere piu di quanto valga l’attivita finanziaria
282
11. LE OPZIONI IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni
a cui si riferisce, ossia:
c ≤ S, (11.3)
altrimenti il Principio di Arbitraggio sarebbe violato. Per capire la ragione si consideri la
possibilita che c > S e si formi un portafoglio dove ad una sottoscrizione di una call con
scadenza tra τ periodi, che fa incassare c all’investitore, si affianca l’acquisto dell’attivita
sottostante al prezzo S, e che la differenza (positiva) c − S venga investita al tasso free-
risk r0. La Tabella 11.5, che riporta gli effetti di tale scelte di portafoglio, dove abbiamo
Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (muore) Stato ST ≥ X (esercitata)Call c 0 X − STAttivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio S − c (1 + r0)τ (c− S) (1 + r0)τ (c− S)
0 ST + (1 + r0)τ (c− S) X + (1 + r0)τ (c− S)
Tabella 11.5: Il limite superiore al prezzo di un’opzione call derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.
indicato con ST il valore a scadenza dell’attivita sottostante, mostra come ad un esborso
iniziale pari a zero, corrispondano guadagni positivi in entrambi gli stati del mondo nel
caso c > S. Cio significa che il Principio di Arbitraggio sarebbe violato e quindi la
Condizione (11.3) deve sempre valere in equilibrio.
Se per stabilire il limite superiore di prezzo di una call abbiamo considerato un por-
tafoglio dove si era sottoscrittori di call, e naturale pensare che il limite inferiore sia de-
terminabile considerando un portafoglio dove si e possessori di call. Consideriamo quindi
un portafoglio dove acquistiamo una call, finanziamo tale acquisto vendendo a scadenza
il sottostante, ed investiamo il rimanente ammontare S − c nell’attivita free-risk.
Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (muore) Stato ST ≥ X (esercitata)Call −c 0 ST −XAttivita sottostante S −ST −STAttivita senza rischio −(S − c) (1 + r0)τ (S − c) (1 + r0)τ (S − c)Totale 0 (1 + r0)τ (S − c)− ST (1 + r0)τ (S − c)−X
Tabella 11.6: Il limite inferiore al prezzo di un’opzione call derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.
La Tabella 11.6 chiarisce che l’esborso iniziale e zero e quindi per rispettare il Principio
di Arbitraggio nei due possibili stati del mondo non devono esistere profitti positivi, ossia
dobbiamo escludere che, indipendentemente dallo stato del mondo, l’investitore consegua
un guadagno. In particolare, per guadagnarci nello stato caratterizzato da ST > X deve
283
IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
valere che:
c < S − X
(1 + r0)τ,
mentre per guadagnarci nello stato caratterizzato da ST ≤ X deve valere che:
c < S − ST(1 + r0)τ
,
il che significa che se
c < S − X
(1 + r0)τ,
l’investitore guadagnerebbe in entrambi gli stati violando il Principio di Arbitraggio (si
osservi che S − ST/(1 + r0)τ ≥ S − X/(1 + r0)τ nello stato caratterizzato da ST ≤ X).
Quindi il rispetto del Principio di Arbitraggio richiede che:
c ≥ S − X
(1 + r0)τ. (11.4)
La Figura 11.9 fornisce una rappresentazione grafica delle combinazioni di c ed S,
derivanti dalle Condizioni (11.1), (11.3) e (11.4) che soddisfano il Principio di Arbitraggio
per dati X, r0 e τ . L’utilita della Figura 11.9 e di rendere immediatamente evidenti le
c
SX(1+r0)
τ
AreadovevigeilPrincipiodiArbitraggio
Q
Figura 11.9: I limiti del prezzo di un’opzione call per soddisfare il Principio di Arbitraggio.
situazioni in cui il Principio di Arbitraggio non e soddisfatto e perche, fornendo quindi
utili indicazioni sul portafoglio di arbitraggio (ossia che non soddisfa il principio di Arbi-
284
11. LE OPZIONI IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni
traggio). Ad esempio, il punto Q rappresenta una combinazione di c, S (dati X, r0 e τ)
che viola il Principio di Arbitraggio dato che l’opzione call costa troppo poco e permette
di conseguire al possessore di ottenere profitti positivi indipendentemente da che stato del
mondo si realizzera.
Esempio 68 (Limiti nel prezzo di un’opzione europea call)
Un’opzione call europea che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a
100 e prezzo corrente dell’attivita sottostante S pari a 80, dato un tasso di interesse privo
di rischio r0 pari a 1% avra come valore minimo 0. Infatti, la Condizione (11.4) e sempre
soddisfatta e quindi vale la Condizione (11.1)), mentre il valore massimo sara pari ad 80
(vedi Condizione (11.5)). Se invece S = 100 allora il limite minimo sarebbe maggiore di
0 e pari a 100− 100/1.01 = 0.99 (vedi sempre l’Eq. (11.4)). Sotto l’ipotesi di S = 100, se
il prezzo di mercato dell’opzione fosse pari a 0.5 allora il Principio di Arbitraggio sarebbe
violato, ovvero dovrei comprare queste opzioni call cosı realizzando profitti sicuri.
La relazione tra il prezzo di una call americana ed una europea
I limiti di prezzo di un’opzione call americana sono perfettamente riconducibili ai limiti
del prezzo di un’opzione call europea, ovvero possiamo dimostrare che C = c in equilibrio
se l’attivita sottostante non presenza dei flussi di cassa a favore del possessore prima della
scadenza dell’opzione (ad esempio stacca dividendi). Infatti, osserviamo che un’opzione
call americana ha sempre piu valore da viva che da morta, ossia C ≥ S − X in ogni
periodo: il valore dell’opzione da viva e C, il valore nel momento in cui la esercito, e
quindi muore, S − X. Per dimostrare che la condizione C ≥ S − X deve sempre valere
supponiamo che invece valga che C < S −X, ovvero S − C −X > 0. In tal caso potrei
comprare la call al prezzo C, esercitare immediatamente la call al costo X, ottenendo cosı
l’attivita finanziaria sottostante, che vendo immediatamente al prezzo S. Il guadagno
totale da questa operazione e S −C −X, che e positivo per l’ipotesi che S −C −X > 0.
Ma allora conseguirei profitti di arbitraggio e quindi possiamo concludere che C ≥ S−X.
Tuttavia, osserviamo che se C ≥ S − X allora non ho convenienza ad esercitare la call,
perche C rappresenta il valore di mercato della call in vita, mentre S −X rappresenta il
guadagno che potrei ottenere esercitandola.
Preso atto di questo risultato di non esercizio della call americana fino alla scadenza,
allora possiamo concludere che in equilibrio c = C. Se infatti C > c si potrebbe sot-
toscrivere una call americana, ed usare il ricavato C per acquistare una call europea al
costo di c e la differenza C − c investirla in un’attivita priva di rischio. Il fatto che la call
americana non verra mai esercitata prima della scadenza fara si che alla scadenza potro
onorare la call americana via la call europea e a me rimarra un profitto positivo pari a
285
IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
(C−c)(1+r0)τ , violando cosı il Principio di Arbitraggio. Poiche avevamo gia stabilito che
C ≥ c (vedi Condizione 11.2), altro non rimane che c = C, come volevamo dimostrare.
Possiamo quindi concludere che non serve una specifica teoria per le opzioni americane, a
meno che il possessore del sottostante riceva dei pagamenti prima della scadenza dell’op-
zione (ad esempio dividendi), nel qual caso potrebbe essere possibile che la call americana
sia esercitata prima della scadenza.
IV.B I limiti nel prezzo dell’opzione put
Usando lo stesso tipo di ragionamento seguito per le opzioni call, abbiamo che un
vincolo banale, considerato che l’opzione assegna un diritto a chi la possiede, e che il
prezzo di una put deve essere sempre maggiore di zero, ossia:
p, P ≥ 0. (11.5)
Seguendo questa linea di ragionamento, poiche le opzioni americane attribuiscono piu
diritti di quelle europee, deve anche valere:
P ≥ p. (11.6)
Focalizzandoci ora solo sulle opzioni europee, possiamo osservare che un’opzione put,
la cui scadenza e tra τ periodi, non potra valere piu di quanto sia il valore scontato del
suo prezzo di esercizio, ossia:
p ≤ X
(1 + r0)τ, (11.7)
altrimenti il Principio di Arbitraggio sarebbe violato. Per capire la ragione si consideri
la possibilita che p > X/(1 + r0) e si formi un portafoglio dove, ad una sottoscrizione di
una put europea con scadenza tra τ periodi, che fa incassare p all’investitore, si affianchi
l’investimento del ricavato al tasso free-risk r0. Dalla Tabella 11.7, che riporta gli effetti
Portafoglio Esborso iniziale Stato ST < X (esercitata) Stato ST ≥ X (muore)Call p ST −X 0Attivita senza rischio −p (1 + r0)τ p (1 + r0)τ p
0 ST −X + (1 + r0)τ p (1 + r0)τ p
Tabella 11.7: Il limite superiore al prezzo di un’opzione put derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.
di tale scelte di portafoglio, osserviamo che il Principio di Arbitraggio e soddisfatto solo
se ST − X + (1 + r0)τ p < 0 (i profitti nell’altro stato del mondo possibili sono sempre
positivi), ovvero condizione sufficiente e che p < X/ (1 + r0)τ (ST e al limite pari a 0).
286
11. LE OPZIONI IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni
Analogamente all’analisi svolta per l’opzione call, e naturale pensare che il limite in-
feriore del prezzo di una put sia determinabile considerando un portafoglio dove si e
possessori di put. Consideriamo quindi un portafoglio dove acquistiamo una put, com-
priamo l’attivita sottostante e finanziamo entrambi gli acquisti tramite l’attivita free-risk.
Notiamo che, rispetto al caso del possessore di call, il possessore di put generalmente
detiene il sottostante per compensare gli effetti sul valore del portafoglio di un’eventuale
caduta sotto X del prezzo del sottostante.
Esborso iniziale Stato ST ≤ X (esercitata) Stato ST > X (muore)Put −p X − ST 0Attivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio S + p − (1 + r0)τ (S + p) −(1 + r0)τ (S + p)Totale 0 X − (1 + r0)τ (S + p) ST − (1 + r0)τ (S + p)
Tabella 11.8: Il limite inferiore al prezzo di un’opzione put derivato dall’applicazione delPrincipio di Arbitraggio.
Dalla Tabella 11.8 possiamo osservare che l’investitore non ha nessun esborso iniziale;
quindi per non violare il Principio di Arbitraggio non deve conseguire alcun guadagno
positivo indipendentemente dallo stato del mondo che si manifesta. In particolare, nello
stato del mondo caratterizzato da ST > X abbiamo che i guadagni sono positivi per:
p <ST
(1 + r0)τ− S,
mentre nello stato del mondo caratterizzato da ST ≤ X per:
p <X
(1 + r0)τ− S,
il che significa che se
p <X
(1 + r0)τ− S,
l’investitore guadagnerebbe in entrambi gli stati violando il Principio di Arbitraggio (si
osservi che ST/(1 + r0)τ − S ≥ X/(1 + r0)τ − S nello stato caratterizzato da ST > X).
Avremo quindi che il Principio di Arbitraggio e soddisfatto se:
p ≥ X
(1 + r0)τ− S. (11.8)
La Figura 11.10 fornisce una rappresentazione grafica delle combinazioni di p ed S che
soddisfano il Principio di Arbitraggio, ovvero che rispettano congiuntamente le Condizioni
(11.5), (11.7) e (11.8), dati X, r0 e τ Il punto Q in Figura 11.10 viola il Principio di
287
IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
p
SX(1+r0)
τ
X(1+r0)
τ Area dove vige il Principio di ArbitraggioQ
Figura 11.10: Limiti nel prezzo di un’opzione put
Arbitraggio perche il prezzo dell’opzione put p e troppo basso permettendo di fare profitti
indipendentemente dallo stato del mondo che si manifestera a chi comprera tale opzione
put.
Esempio 69 (I limiti nel prezzo di un’opzione put)
Un’opzione put europea che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a
100 e prezzo corrente dell’attivita sottostante S pari a 80, dato un tasso di interesse privo
di rischio r0 pari all’1% avra come limite inferiore secondo l’Eq. (11.8) il valore di 19.0099
. Se invece S = 100 allora il limite minimo sarebbe pari a 0. Nel caso di S = 80 un
prezzo della put pari a 15 non sarebbe compatibile con il Principio di Arbitraggio, ovvero
guadagnerei con certezza ad essere un possessore di put.
Anche per le opzioni put possiamo trovare delle relazioni tra il prezzo della put europea
e quella americana. Infatti, il prezzo P di un’opzione put americana deve soddisfare
P > X − S. Se cosı non fosse avremo che X − P − S > 0; ma, allora, comprando
una put americana al prezzo P ed un’attivita finanziaria S, esercitando immediatamente
l’opzione put posso vendere tale attivita a X. Il guadagno totale di tale operazione sarebbe
X−P−S, che e maggiore di zero. Questo implica che esisterebbero profitti di arbitraggio.
IV.C La parita tra opzioni call e put europee
Se consideriamo una opzione europea call ad una opzione europea put con la stessa
attivita finanziaria come sottostante, lo stesso prezzo di esercizio X e la stessa scadenza
T e possibile ricavare via Principio di Arbitraggio una relazione (lineare), chiamata anche
288
11. LE OPZIONI IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni
relazione di conversione delle opzioni tra i prezzi di queste due opzioni. Questa relazione
e molto importante perche ci permette, tramite il prezzo di un’opzione callm di calcolare
immediatamente il prezzo di un’opzione put e viceversa.
In particolare, la relazione si ricava con una procedura a due passi, in cui si assume
che l’investitore sia o un possessore di put e sottoscrittore di call ovvero l’inverso. Quindi,
in primis, si consideri un portafoglio, in cui si sottoscrive un’opzione call, si acquista sia
un’opzione put che l’attivita sottostante e si finanzia il tutto al tasso free-risk r0.
Portafoglio Esborso iniziale Stato ST ≤ X Stato ST > XPut −p X − ST 0Call c 0 X − STAttivita sottostante −S ST STAttivita senza rischio p− c+ S − (1 + r0)τ (p− c+ S) − (1 + r0)τ (p− c+ S)Totale 0 X − (1 + r0)τ (S + p− c) X − (1 + r0)τ (S + p− c)
Tabella 11.9: La parita fra opzioni call e put: prima parte della dimostrazione
Dalla Tabella 11.9 possiamo immediatamente ricavare che il Principio di Arbitraggio
vale se
X − (1 + r0)τ (S + p− c) ≤ 0,
ossia:X
(1 + r0)τ+ c− S ≤ p. (11.9)
Si consideri poi un portafoglio in cui siano si acquista un’opzione call, si sottoscrive
un’opzione put, si vende allo scoperto l’attivita sottostante, e il risultante flusso di cas-
sa e investitito/finanziato al tasso r0. Dalla Tabella 11.10 emerge come il Principio di
Portafoglio Esborso iniziale Stato ST ≤ X Stato ST > XPut p ST −X 0Call −c 0 ST −XAttivita sottostante S −ST −STAttivita senza rischio c− p− S − (1 + r0)τ (c− p− S) − (1 + r0)τ (c− p− S)
0 −X − (1 + r0)τ (c− p− S) −X − (1 + r0)τ (c− p− S)
Tabella 11.10: Parita delle opzioni call e put: seconda parte.
Arbitraggio vale se −X − (1 + r0)τ (c− p− S) ≤ 0, ossia:
X
(1 + r0)τ+ c− S ≥ p (11.10)
289
IV. Limiti superiori e inferiori al prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
Quindi, considerando insieme le Condizioni (11.9) e (11.10) otteniamo:
p = c+X
(1 + r)τ− S (11.11)
che rappresenta la relazione che unisce il prezzo delle put a quello delle call. La Figura
p
SX
(1+r0)τ
X
(1+r0)τ
Q
c+ X
(1+r0)τ
Area dove vige il Principio di Arbitraggio
c+ X
(1+r0)τ
Parity tra prezzo di una call e di una put
Figura 11.11: I limiti di prezzo di un’opzione put quando sono si consideri anche larelazione di conversione tra il prezzo di una put e di una call.
11.11 mostra come l’Equazione (11.11) puo essere usata per restringere ulteriormente
l’insieme dei prezzi della put che possono essere considerati di equilibrio.
Esempio 70 (La parita fra opzioni call e put)
Si supponga di possedere un’opzione call europea con un valore di mercato c pari a 5,
che scade fra un anno (τ = 1), con prezzo di esercizio X pari a 100 e prezzo corrente di
mercato dell’attivita sottostante S pari a 80. Supponendo che il tasso di interesse privo
di rischio r0 sia pari all’1%, tramite l’Eq. (11.11) possiamo calcolare il valore dell’opzione
put con le stesse caratteristiche, ossia p = 5 + 100/1.01− 80 = 24. Se il prezzo di mercato
dell’opzione put fosse pari a 20, allora intuitivamente questa sarebbe da acquistare, dato
i profitti certi che possono essere conseguiti essendo il Principio di Arbitraggio violato (si
provi a dimostrare rigorosamente questa affermazione seguendo lo stesso ragionamento
utilizzato nella Tabella 11.10) e questo nonostante p = 20 soddisfi le tre Condizioni (11.5),
(11.7) e (11.8) relative al solo prezzo della put (il limite minimo del prezzo p sarebbe pari
a 19 e massimo pari a 99). Il punto Q in Figura 11.11 potrebbe rappresentare questa
situazione.
290
11. LE OPZIONI V. La teoria del prezzo delle opzioni
V La teoria del prezzo delle opzioni
La sezione precedente ha individuato una serie di variabili che entrano nella determi-
nazione del prezzo delle opzioni, ossia S, X, τ e r0. Tuttavia non abbiamo un’indicazione
univoca sul valore del prezzo; per ottenere questa indicazione dobbiamo formulare ipotesi
piu stringenti sulla dinamica temporale di S. Infatti, dato X, e proprio la dinamica di
S che determina lo stato del mondo al tempo di scadenza dell’opzione T e quindi i) sia
la convenienza ad esercitare l’opzione; sia ii) il valore che ha quest’ultima in relazione ai
guadagni attesi. In particolare, l’ambizione di una certa letteratura e quella di individua-
re i fair value delle opzioni di modo da avere un termine di paragone rispetto ai prezzi
delle opzioni osservati sul mercato, mentre un’altra parte ha come obiettivo primario
l’individuazione del prezzo di opzioni non quotate.
L’idea di partenza e quella di individuare il prezzo dell’opzione come funzione di S, X,
τ e r0 e di un insieme di parametri che mi possano descrivere l’andamento di S nel tempo.
Ipotesi implicita e che la dinamica di S sia esogena, ossia non venga influenzata a sua
volta dal valore dell’opzione. Nella Figura 11.12 riportiamo con la linea blu un esempio
della possibile relazione fra il prezzo di un’opzione e S (naturalmente il prezzo della call
deve essere contenuto nella regione dove e soddisfatto il Principio di Arbitraggio).
c
SX(1+r0)
τ
Figura 11.12: Esempio di determinazione del prezzo di un’opzione call in funzione di S,dati X, τ e r0.
L’approccio per l’individuazione del prezzo dell’opzione si richiama a quello usato
nelle sezioni precedenti del presente capitolo, ossia la costruzione di portafogli senza al-
291
V. La teoria del prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
cun esborso iniziale che devono sottostare al Principio di Arbitraggio, con in aggiunta
specifiche ipotesi sull’andamento di S. Esiste una classe di modelli, denominati modelli
binomiali di determinazione del prezzo (dove l’aggettivo binomiale deriva dal fatto che cio
che rileva e la probabilita di trovarsi o meno nello stato del mondo dove esercito l’opzione)
nei quali si assume che S si muova in tempo discreto. Un’altra classe di modelli, invece,
assume che S si muova in tempo continuo; tra questi il piu famoso e il modello di Black e
Scholes, che prende il nome dei due autori che per primi, insieme a Robert Merton, hanno
studiato tale classe di modelli nel 1973.
In particolare, il modello di Black-Scholes assume che:
• le transazioni avvengano in continuazione nel mercato di modo da eliminare qualsiasi
possibilita di arbitraggio; e
• il prezzo dell’attivita sottostante S segue un moto geometrico Browniano, il che
significa che logSt+δ − logSt (ossia i rendimenti dell’attivita finanziaria nel periodo
[t, t + δ]) siano per ogni t indipendenti e distribuiti normalmente con media µS e
deviazione standard σS per δ tendente a 0 (il limite di δ che va a zero determina
il passaggio al tempo continuo.) Quindi la dinamica nel tempo di S puo essere
descritta tramite i soli due parametri µS e σS;
da cui e possibile ricavare il prezzo di un’opzione call pari a:
c = SΦ (x1)− er0τXΦ (x2) , (11.12)
dove:
x1 ≡log (S/X) + (r0 + 1/2σ2
S) τ
σS√τ
; (11.13)
x2 ≡log (S/X) + (r0 − 1/2σ2
S) τ
σS√τ
= x1 − σS√τ ; e (11.14)
Φ (z) ≡∫ z
−∞
e−v2/2
√2π
dv. (11.15)
Alla base dell’Equazione (11.12) vi e l’idea che l’investitore possa formare un portafoglio
con un’opzione call, l’attivita sottostante e un prestito/investimento nell’attivita priva di
rischio che non risenta dell’andamento di S (questo e possibile sotto le ipotesi sull’anda-
mento di S). Tale portafoglio quindi per il Principio di Arbitraggio deve rendere quanto
l’attivita priva di rischio. Da questa eguaglianza si ricava il valore dell’opzione call.
Una prima osservazione importante e che c non dipende da µS; tuttavia c dipende
in maniera cruciale da σS la cui stima non e facile dal punto di vista empirico. Infatti
l’applicazione della formula dell’Equazione (11.12) appare immediata a meno proprio del
292
11. LE OPZIONI V. La teoria del prezzo delle opzioni
valore della volatilita dei prezzi S. Questa potrebbe essere stimata dai dati passati sotto
l’ipotesi che sia costante nel tempo, ma una rigorosa interpretazione del modello individua
in σS la volatilita futura (attesa) di S, la quale potrebbe non essere uguale a quella passata
e, soprattutto, potrebbe essere diversa da investitore ad investitore. In quest’ultima caso
la formula dell’Eq. (11.12) perde la sua validita.
Altre cause che fanno perdere validita all’Equazione (11.12) sono:
• esistono costi di transazione relativamente elevati e quindi non e possibile modificare
in maniera adeguata il portafoglio in ogni momento;
• il prezzo S non segue un moto geometrico Browniano (e questo sappiamo che po-
trebbe essere vero dall’analisi empirica del Capitolo 6 essendo i rendimenti delle
azioni non distribuiti normalmente);
• il tasso di interesse usato nel calcolo non e quello senza rischio r0;
• la stima di σS non e corretta; e
• il mercato non e in equilibrio e non vale il Principio di Arbitraggio.
Esiste infine un fiorente letteratura che prende la formula dell’Equazione (11.12) co-
me vera e, osservato il prezzo di mercato di una opzione call c, risolve per σS (tutti le
altre variabili sono conosciute). Tale metodologia prende il nome di stima della volatilita
implicita; se crediamo al modello di Black e Scholes questa fornisce notizie cruciali sulla
dinamica del prezzo delle attivita, in particolare sulla volatilita attesa dagli investitori
sul prezzo dell’attivita S. E’ possibile in qualche modo verificare tale stima considerando
opzioni sulle stesse attivita finanziarie ma che differiscono per il tempo rimanente prima
della scadenza τ o per il prezzo di esercizio X. In generale tali test tendono a rifiu-
tare il modello di Black and Scholes evidenziando, ad esempio, un legame tra σS e τ .
Attualmente la teoria delle opzioni e un campo di ricerca molto attivo ed in evoluzione.
Letture di approfondimento
• Bailey R.E., The Economics of Financial Markets, Cambridge University Press,
2005; Capp. 18, 19 e 20.
• Black, F. e Scholes, M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal
of Political Economy 81, 637-654, 1973.
• Elton E.J., Gruber M.J., Brown S.J., and Goetzmann W. Modern Portfolio Theory
and Investment Analysis, John Wiley, 2002, Cap. 22.
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V. La teoria del prezzo delle opzioni 11. LE OPZIONI
• Merton, R., Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and
Management Science 4(1), 141-183, 1973.
• Sharpe W.F., Alexander G.J. e Bailey J.V., Investments, Printice-Hall, 1999, Cap.
19.
294