Nel filo a t = 0: + fluisce C 1 C 2 ; - fluisce C 2 C 1 Corrente elettrica I(t) I(t*)= 0 rapidamente...

Nel filo a t = 0:

+ fluisce C1 C2 ; - fluisce C2 C1

Corrente elettrica I(t) I(t*)= 0rapidamente

t*<< 1 s*)(*)( 12 tVtV

Conduzione elettricaConduzione elettrica

++ +

++

++

+--

- - --

--

V1 V2

C1 C2t = 0

Chi provoca moto delle cariche nel filo?

nel filo: campo E lE

filo

12 d)0()0( VV

0*)( 0*)(*)( 12 ttVtV filoE

Occorre “forza esterna” che continuamenteritrasferisca: cariche +e C2 C1

cariche -e C1 C2

in modo che: V2 - V1 d.d.p. = costante

Occorre : lE

filo

12 d)()()( ttVtV filo = costante

filoE costante

Come mantenere I costante??Come mantenere I costante??

++ +

+

+++

+--

- - --

--

V1 V2

C1 C2I(t)

il lavoro per unità di carica fatto da questa forza esterna è chiamato: forza elettromotrice (f.e.m.) ?

il lavoro per unità di carica fatto da questa forza esterna è chiamato: forza elettromotrice (f.e.m.) ?

x mantenere sciatori in circolo sciovia

Analogia gravitaz.

g

g

g

f=F/m

V=U/m=gh

0 d lggLg conservativa

durante percorso ciclico dello sciatore: h f d lffL

energia (per unità di massa) necessaria per riportare su lo sciatore (Lf contro forza peso)

= gh

“Forza” elettromotrice (f.e.m.): sorgente di energia per mantenere le cariche in moto


Cariche –e che fluivano nel filo da Zn a Cucontinuamente ripristinate da reazione chimica

Cariche –e che fluivano nel filo da Zn a Cucontinuamente ripristinate da reazione chimica

Fine XVIII secolo: cella di Volta

Cu ZnAcqua + NaCl+ -

I costante


quindi I costante


quindi I costante

è la forza elettromotrice (f.e.m.)

è la forza elettromotrice (f.e.m.)

o

ddp = costanteo

Cella di Volta: primo generatore f.e.m.oggi anche altri generatori f.e.m.:• celle fotovoltaiche• dinamo, alternatore, ecc. • pile a combustibile• meccanici, ecc..

Corrente elettricaCorrente elettrica

dt

dqI S

Definiamo Intensità di corrente elettrica:

la carica che fluisce nell’unità di tempo attraverso una qualsiasi S del conduttore

U.M. Ampere (1 A 1 C/s)

S

vq

S’

n

dS

^

S1

S2

I1

I2

Densità di Corrente elettricaDensità di Corrente elettrica

Vettore J densità di corrente: corrente attraverso superficie unitaria S’ a v

dS nJ S

SI ^J || v (A/m2)

S dSJ

dl

N v A

v Nvq qAdlnI

qn vJ

Corrente elettricaCorrente elettrica

dVt

dVtdt

dq

VV

Dalle definizioni, per una superficie chiusa Schiusa segue:

dS ˆ nJ chiusa

chiusa

SSI

equazione di continuità della corrente elettrica

ovvero:

0 J

t

dal teorema della divergenza:

)(

)( ˆ)( chiusaS

chiusaS dSΦ nJJ V

dVJ

segue:

J t

Conseguenze stazionarietà della corrente:

0 J linee di J sono chiuse

costante)( 0

filoρt

ρ

stessa condizione dell’elettrostatica

campo elettrico nel filo è conservativo

Correnti stazionarieCorrenti stazionarie

vq

S2S1

S’ chiusa

(I continua se costante nel tempo)

(I continua se costante nel tempo)

Stazionarietà: IS1 = IS2

ovvero:

Stazionarietà: IS1 = IS2

ovvero:0

t

Conduttori 10-8< R < 10-5 (metalli)Semiconduttori 10-1< R < 103 (Si, Ge puri)Isolanti 107< R < 1017( vetri, ceram.)

I = V/ R 1° legge di Ohm (solidi) R resistenza elettrica – ohm (Ù)

A

l

d.d.p.V

Conduttore filiformeConduttore filiforme

Metalli: R (T)= Ro(1+T): aumenta con T Semiconduttori puri: diminuisce con T

R = R l/A 2° legge di Ohm

R resistività elettrica (Ù m)

Situazione “equivalente“

Req

A B

IReq= ?

VAB= IReq = I (R1+R2) Req = R1+R2

Rserie = R1+R2+….Rn Predomina la + grande

Casi più “complicati“: resistenze in serieI

R1

AC R2

B

VAB= VAC + VCB = IR1+IR2 I= I1 = I2

RA B

Rappresentazione grafica di RI

VAB= I R

Situazione “equivalente“

VAB =IReq Req

A B

I

Resistenze in parallelo R1

A R2

BI I

I2

I1

VAB= I1R1=I2R2

I= I1 + I2

I = VAB / Req=VAB ( 1/ R1+1/ R2 )

1/ Req=1/ R1+1/ R2

1/Rparallelo =1/ R1+1/ R2+….1/ RnPredomina la + piccola

I= I1 + I2 = VAB / R1+ VAB / R2

1° Legge di Kirchoff (x 1 nodo)

21

21 RR

RRReq

1° Legge di Kirchoff

Definita una superficie chiusa che attraversi un circuito elettrico, la somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie (con segno diverso se entranti o uscenti) è ad ogni istante nulla:

0)(tik

In una formulazione semplificata, in ogni nodo di un circuito elettrico la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti:

ue IIIe1

Iu1

Iu2

Ie2

R

A B

I

VAB= I R

la resistenza si scalda

l’ energia fornita dal generatore si dissipa in calore

Resistenza elettrica: rappresenta effetto dei processi dissipativi microscopici (urti elettroni- ioni ) equivalenti a forza di attrito macroscopica

Bilancio energeticoBilancio energetico

Conduttore filiformeConduttore filiforme

Durante dt il campo E fa fluire dq=I dt

I

d.d.p.V

E

resistenza R

dLgen = V dq= V I dt

Wgen = dLgen/dt = V I

il lavoro eseguito da E (generatore) è:

R

VRIVIWgen

22 effetto Joule

x mantenere sciatori in circolo sciovia

Analogia

g

g

g

f=F/m

V=U/m=gh

0 d lggLg conservativa

durante percorso ciclico dello sciatore: h f d lffL

energia (a unità di massa) necessaria per riportare su lo sciatore (Lf contro forza peso)

= gh

“Forza” elettromotrice (f.e.m.): sorgente di energia x mantenere cariche in moto

“Forza” elettromotrice (f.e.m.): sorgente di energia x mantenere cariche in moto

“Forza” elettromotrice (f.e.m.) e circuiti elettrici


++++

----

d.d.p. = (cost.)

A B

R

E s

Es

Es

Es Es

Es

EsI

Eem

per mantenere la carica costante sugli elettrodioccorre un campo (Eem) che faccia lavoro contro Es per riportare le cariche“indietro”

Generatori di f.e.m.: pila , dinamo, celle fotovoltaiche, ecc.

o



+ - d.d.p. = (cost.)

A BR

II I

II I

In un generatori di f.e.m. “ideale”:

VA – VB VR = R

I o

o

o

IR = VR = o

dL

dqdt

dqIW o potenza erogata dal

generatore



+ -

R1

II I

I

In un generatori di f.e.m. “ideale”:

21BA 21

IRIRVVVV RR

R2A B

2°Legge di Kirchoff (x 1 maglia)

d.d.p. = (cost.)o

21 RR

I o

o

2° Legge di Kirchoff

In ogni maglia di un circuito la somma algebrica delle tensioni (con il segno appropriato in funzione del verso di percorrenza della maglia stessa) è pari a zero.

0 iV

i

o

RRI

da cui:

RRRR

RIRV

i

o

i

oR /1

o

Generatori di f.e.m. realiGeneratori di f.e.m. reali

In realtà, in un generatore reale:

R

+ -

I

Riresistenza interna

i

iiR RR

RIRV o

i

“caduta di potenziale” su Ri

VR

o

I gen. f.e.m. dissipano energia internamente

R

+ -

I

2°Legge di Kirchoff (x 1 maglia)

Ri

schematizza: dLint/dt = I2Ri

Ri resistenza interna generatore

Generatori di f.e.m. realiGeneratori di f.e.m. reali

o

= I Ri+I Ro

Wgen = I = I2 Ri + I2 R(bilancio energetico)

o

VR= IR= - IRi

oo

RRRR

RIRV

i

o

i

oR /1

o

Misura della f.e.m. Misura della f.e.m.

R

+ -

I

Ri

schematizza: dLint/dt = I2Ri

Ri resistenza interna generatore

per misurare occorre che R , ovvero I = 0 ( misura a circuito aperto)

o

o

o

Esercizio 6.1

Un generatore ideale di f.e.m. = 12 V e è chiuso sul circuito rappresentato in figura con i valori R1 = R2 = R3 = 10 . Calcolare differenza di potenziale fra A

e B.

R1f.e.m.R2

R3

A

B

Esercizio 6.2

Un generatore di f.e.m. = 12 V e resistenza interna Ri = 0.2 è chiuso sul

circuito rappresentato in figura con i valori R1 = R2 = R3 = 10 . Calcolare la

potenza dissipata su R3.

R1 R3

R2

Rif.e.m.

Un generatore di f.e.m. E0 = 10 V e resistenza interna Ri = 10 , è collegato al sistema di tre resistenze, ognuna di valore R = 200 come in figura. Calcolare: a) la d.d.p. fra i punti A e B; b) la potenza dissipata su R2 ; c) la potenza erogata dal generatore.

R2

Ri R1

R3

A

B

Esercizio 6.3

E0

R

C

S

+C carico con qo

Scarica di un condensatoreScarica di un condensatore

C

tqRtIVV CR

dt

dqI :ma

)( τ

t

o eqtq

RC

tq

dt

tdq

τ

t

RC

t

q

tq

o

)( ln

RC

dt

q

dq

t

0

)(

)0(

tq

q

-

VC

VR

Chiudendo S: scorre I(t) uguale in tutto il circuito I stazionaria

I

RCτ

eqt q τt

o )(

τ

toτ

toτ

to e

R

Ve

RC

qe

τ

q

dt

dqtI

)(

RCτ con:

τ

t

o eII(t)

R

V I o

o con:

τ

t

Cτ

to

R eVtVeC

qIRtV

o )( )(

q

t

τ

t

e

q0

37%

VR ,VC

V0 ,

,I

I0 ,

Energia totalmente dissipata in R:

222

2

2

1 )( U o

o

τ

to

o

RCVR

dteR

VRdttI

= energia iniziale in C

τ

t

o eqt q

)(

τ

t

oeItI

)(

q,I,

t

τ

t

e

2

2

1 oCV

Energia rimasta in C al tempo t*:

2

1 *

2

1 U

2

o2

τ

t

eVCtCVC

τ

t

o eqt q

)(

τ

t

oeItI

)(

q,I,

t

τ

t

e

)(1

qCVRCdt

dq

C

qVR

dt

dqoo

)e(q q(t) τ

t

f :dove 1

RC

dt

qCV

dq

o

)(

RC

t

qCV

tqCV

o

o

)))0((

)(ln(

RC τCV q of ;

Chiudendo T: scorre I(t)=dq/dt

R

C TVo

C

qVIRVVVV oRCRo

Carica di un condensatoreCarica di un condensatore

t

0

)(

)0(

tq

q

q,VC

t

)1(

τ

t

e

I,VR

t

τ

t

e

) e(q q(t) τ

t

f

1

)e(VC

q(t)(t)V τ

t

oC

1

τ

to e

R

V

dt

dqtI

)(

τ

t

oR eVIR(t)V

Energia fornita generatore

2 2

)( o

o

τ

to

o

o CVdteR

VdttIV U

2

2 2

2

2

1 )( U o

o

τ

to

o

R CVdteR

VRdttI

Energia dissipata in R

22

2

1

2

1 U o

fC CV

C

q

Energia accumulata in C

Ricapitolando:

Si consideri, nel circuito rappresentato in figura, la carica dei due condensatori C1 = C2 = 20 μF ad opera del generatore con V0 = 10 V attraverso le due resistenze R1 = R2 = 400 kΩ. Si calcoli: a) la costante di tempo τ del circuito; b) il valore di VAB(t*) e dell’energia UC(t*) accumulata nel sistema dei due condensatori al tempo t* = 4 s.

C1 C2

R1

A B

V0

R2

Esercizio 6.4

Due condensatori di capacità C1 = 100 F e C2 = 200F sono caricati separatamente a differenze di potenziale rispettivamente V1 = 10 V e V2 = 20 V. I condensatori vengono quindi staccati dai generatori e collegati in parallelo fra di loro. Il sistema dei due condensatori in parallelo viene poi fatto scaricare su una resistenza di valore R = 100 K. Calcolare la d.d.p. ai capi dei condensatori dopo t* = 10 s dal collegamento con la resistenza.

C2

V2

C1

V1

Esercizio 6.5

Due condensatori rispettivamente di capacità C1 = 4 F e C2 = 6 F

sono inizialmente caricati separatamente alle tensioni V1 = 200 V e

V2 = 350 V. Vengono quindi connessi in parallelo come in figura

attraverso la resistenza R. Determinare: a) le tensioni finali V’1 e

V’2 e b) l’energia dissipata su R dopo un tempo infinito dal

collegamento in parallelo.

Esercizio 6.6

Un condensatore di capacità C = 100 F viene caricato alla differenza di potenziale V0 = 100 V e quindi fatto scaricare su una resistenza con valore R = 10 kΩ posta in parallelo a una barretta fatta di materiale con resistività = 10 Ωּm di sezione uniforme S = 0.5 cm2 e lunga L = 10 cm. Si calcolino i valori dell’energia elettrostatica accumulata nel condensatore al tempo t* = 2 s dopo l’inizio della scarica.

RC

Esercizio 6.6

Nel filo a t = 0: + fluisce C 1 C 2 ; - fluisce C 2 C 1 Corrente elettrica I(t) I(t*)= 0 rapidamente...

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