Il nastro di Mobius

Giulia Marcellini

Indice

1 Introduzione 2

2 La costruzione del nastro 3

3 Le proprieta topologiche e geometriche 63.1 Giocando...s’impara! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Oltre la matematica.. 124.1 Escher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Max Bill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Moebius, Quel treno che corre nelle gallerie . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Altri luoghi e ambiti dove si possono trovare questi nastri.. . . . . . . . . 17

Riferimenti bibliografici 19

1

1 Introduzione

Il nastro di Mobius deve il suo nome al matematico e astronomo tedesco August Ferdi-nand Mobius, vissuto fra il 1790 e il 1868, che ne studio le proprieta. Il nastro vennescoperto nel 1858 quasi contemporaneamente da A.F.Mobius e da J.B.Listing, anche luitedesco.

E’ da questa superficie che nasce il simbolo dell’infinito ∞ che tutti conosciamo, in-trodotto da Jhon Wallis, matematico inglese del settecento. Infatti, se immaginassimodi poter camminare sulla superficie del nastro di Mobius, potendo attraversare sia la“faccia interna” che la “faccia esterna” 1, finiremmo in un loop. Il concetto e esemplifi-cato bene dal quadro di Escher intitolato “Moebius Strip II ” (Fig.1) dove delle formichecamminano sul nastro percorrendo tutta la superficie.

Figura 1: Escher, Moebius Strip II (1963)

1per ulteriori approfondimenti su questo si veda a pag.6

2

2 La costruzione del nastro

La costruzione che andremo a spiegare ha basi topologiche. Infatti partendo da un nastrodi carta daremo ai lati destro e sinistro un verso di percorrenza per poi identificarli.Fisicamente questo vuol dire che, presa una striscia di carta, avvicineremmo i lati dilunghezza minore come se volessimo creare un cilindro ma, al momento di incollarli,effetturemo una mezza torsione ( a destra o sinistra) prima di attaccarli veramente.

Figura 2: Rettangolo con l’identificazione dei lati per ottenere un Nastro di Mobius

La rappresentazione che troviamo qui sopra e propria della topologia. Il nastro diMobius (che nel resto della trattazione indicheremo spesso con il simboloM) e costruibi-le a partire dal rettangolo [0, 2π]× (−1, 1) quozientato tramite la relazione d’equivalenza∼ dove la relazione e la riflessione rispetto al centro del rettangolo di coordinate (avendoscelto gli intervalli definiti in precedenza) C = (π, 0).

La costruzione matematica, partendo dalla definizione diM appena illustrata, e piucomplicata: dobbiamo trovare, infatti, una superficie differenziabile S ⊂ R3 omeomorfaad M.

Definizione 2.1. (Omeomorfismo) Un’applicazione f : X → Y e un omeomorfismo see biunivoca, continua e con inversa f−1 continua.

L’idea e quella di costruire una rigata prendendo una direttrice che ruoti attornoall’asse z e che arrivata ad un certo angolo θ ruoti ancora con angolo θ

2 .

3

Per fare questo utilizzeremo le rotazioni:

R θ2,e2

=

cos θ2 sin θ2 0

0 0 1

sin θ2 cos θ2 0

,Rθ,e3 =

cos θ sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

dove con la notazione Rθ,v indichiamo una rotazione in senso orario di angolo θ e

asse v. Le equazioni di S si ottengono dunque applicando la trasformazione:

T = Rθ,e3[e1 +

v

2· R θ

2,e2

(e1)]

da cui, dopo gli opportuni calcoli, l’equazione parametrica di S e:

ρ(θ, v) =

x =

(1 + v

2 cos θ2)

cos θ

y =(1 + v

2 cos θ2)

sin θ

z = v2 sin θ

2

Possiamo provare a costruire la superficie con Matlab, utlizzando questo codice:

clc

clear

close all

[u,v]=meshgrid(0:0.1:2*pi,-1:0.1:1);

x=(1+(v/2).*cos(u/2)).*cos(u);

y=(1+(v/2).*cos(u/2)).*sin(u);

z=(v/2).*sin(u/2);

mesh(x,y,z);

4

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−0.5

0

0.5

Figura 3: Risultato del codice in Matlab

La superficie S sembrerebbe essere proprio il nastro di Mobius ma bisogna mostrareche esiste un omeomorfismo f : S →M.

Iniziamo costruendo h : [0, 2π]× (−1, 1)→ S; abbiamo h(θ, v) ≡ ρ(θ, v).Dobbiamo allora mostrare che esiste f : [0, 2π] × (−1, 1) /∼→ S. A questo propositorichiamiamo alcuni risultati topologici.

Lemma 2.1. Se X = X /∼ e ho f : X → Y continua allora f induce π : f → f dovef : X → Y e continua ⇐⇒ f e compatibile con ∼, ovvero x1 ∼ x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

Per il lemma e per costruzione otteniamo che ρ induce f :M→ S.L’iniettivita ci e assicurata dal fatto che possiamo restringere a (0, 2π) ⊂ [0, 2π] senzaperdita di generalita. Rimane solo da dimostrare che l’inversa f−1 e continua. Lo faremoavvalendoci dei seguenti risultati:

Lemma 2.2. Se f e continua e biettiva, sono equivalenti:1) f−1 e continua2) f e aperta3) f e chiusa

Lemma 2.3. Se f : X → Y e continua ed X e compatto ⇒ f e chiusa

A questo punto basta considerare il dominio di f , ristretto di ε > 0 da ambo i lati,ottenendo f |[0,2π]×[−1+ε,1−ε] su cui si puo utilizzare il lemma 2.3 da cui deriva che f e

5

chiusa. Per il lemma 2.2 e equivalente a dire che f−1 e continua e quindi che f e unomeomorfismo.

3 Le proprieta topologiche e geometriche

Per stabilire le proprieta topologiche di M dobbiamo dare prima delle definizioni delleproprieta che andremo ad enunciare.

Definizione 3.1. Una varieta topologica di dimensione n e uno spazio topologico X diHausdorff, a base numerabile e che ammette un ricoprimento {Uα} di aperti omeomorfia Rn.

Definizione 3.2. Uno spazio topologico X si dice connesso se @A,B aperti non vuoticon X = A ∪B e A ∩B 6= ∅

Definizione 3.3. Sia S ⊆ Rn, con S ipersuperficie (ovvero di dimensione n− 1).S si dice orientabile se esiste un campo vettoriale normale, continuo e non nullo su S.

Tramite queste definizioni possiamo affermare che il Nastro di Mobius e una varietatopologica di dimensione 2 con bordo, connessa e non orientabile.

Andremo ora a dimostrare la non orientabilita2 di M.

Partiamo ora dal sistema di coordinate ϕ : U →M dato da:

ϕ(u, v) =((

2− v sinu

2

)sinu,

(2− v sin

u

2

)cosu, v cos

u

2

)dove U = (0, 2π)× (−1, 1)Dato che ϕ non e definita per i punti del tipo (0, v) ∈ R2 definiamo il secondo sistemadi coordinate:

x =(2− v sin

(π4 + u

2

))cos u

y = −(2− v sin

(π4 + u

2

))sin u

z = v cos(π4 + u

2

)Questo sistema di coordinate invece risulta non essere ben definito per u = π/2. Presecontemporaneamente, le due parametrizzazioni locali ricoprono M rendendola cosı unasuperficie differenziabile. L’intersezione I dei due intorni coordinati si puo scrivere comeunione di W1 e W2, entrambi aperti e connessi ma disgiunti.

W1 ={ϕ(u, v) | π

2< u < 2π

},W2 =

{ϕ(u, v) | 0 < u <

π

2

}Inoltre i due cambiamenti di coordinate, rispettivamente in W1 e in W2, sono:{

u = u− π/2v = v

{u = 3π/2 + uv = −v

2Dimostrazione ripresa da [3] nei Riferimenti bibliografici

6

In questo modo si ottiene che:

δ(u, v)

δ(u, v)= 1 > 0 in W1

δ(u, v)

δ(u, v)= −1 < 0 in W2

Arrivati a questo punto abbiamo tutti gli strumenti necessari per dimostrare che Mnon e orientabile. Se, per assurdo, lo fosse, esisterebbe un campo di versori normali Ndefinito come:

N (u, v) =ϕu ∧ ϕv‖ϕu ∧ ϕv‖

e analogamente:

N (u, v) =ϕu ∧ ϕv‖ϕu ∧ ϕv‖

per tutti i punti della parametrizzazione locale ϕ. Ma se p ∈ W2, avendo che δ(u,v)δ(u,v) =

−1 < 0 in W2, risulterebbe N (p) = −N (p), il che e assurdo.

�

Un secondo modo piu semplice ma con piu calcoli di dimostrare che il nastro di Mobiusnon e orientabile e il calcolo esplicito della normale alla superficie in corrispondenzadel punto ϕ(0, 0) ed in ϕ(2π, 0) mostrando che, nonostante il punto torni nel punto dipartenza le normali avranno segno opposto. Questo significa che se un uomo potessecamminare su questa superficie si ritroverebbe a testa in giu dopo un giro.

Un’altra osservazione interessante da fare sul nastro di Mobius e sul bordo. Esso,infatti, e rappresentato dalla curva parametrizzata dalle equazioni:

λ(u) =

x =

(1 + 1

2 cos θ2)

cosu

y =(1 + 1

2 cos θ2)

sinuz = 1

2 sin u2

per u ∈ [0, 4π]

Figura 4: Il bordo del nastro sulla superficie e da due prospettive differenti

7

Si puo osservare che questa e una curva regolare chiusa (infatti si ha λ(0) = (32 , 0, 0) =

λ(4π)) normalmente indicata come curva di Jordan. M oltre ad avere una sola faccia,ha quindi anche un solo bordo.

Ora torniamo un attimo ad osservare come abbiamo costruito il nastro: abbiamo iden-tificato due lati ognuno con una direzione opposta all’altra. Potremmo costruire cosıanche altre superfici? La risposta e si, possiamo vedere gli esempi in figura3:

Tutte le superfici ottenibili a partire dai quadrati disposti sulla prima riga sono orien-tabili, mentre quelle della seconda riga non lo sono. Tramite le ricerche topologicheeffettuate fino a questo punto si sono potuti ottenere due risultati importanti. Ma primadobbiamo fare una premessa per capire la nozione di somma connessa.

La somma connessa e un’operazione che si usa in geometria per creare nuove varieta,partendo da quelle gia esistenti. L’operazione avviene “togliendo” un intorno aperto I1

sulla prima varieta S1 e un altro intorno aperto I2 sulla seconda varieta S2. Dopodichesi prendono gli insiemi δI1 e δI2, si definisce un omeomorfismo φ fra i due e, tramite larelazione indotta da φ, si quozienta l’insieme S1 \ I1 ∪ S2 \ I2

Esempio 3.1. Un tipico esempio e la somma connessa di due tori T1 e T2. L’insiemeT = T1#T2 (dove con # indichiamo la somma connessa) e un toro con due buchi.

Andiamo ora ad illustrare i due risultati che si possono ottenere:

3Illustrazione presa dal libro di M.Manetti, Topologia [11] nella bibliografia

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Teorema 3.1. Sia S ∈ R3 una superficie topologica compatta.Allora S e omeomorfa ad una delle seguenti:i) Sfera S2

ii) Ad una somma connessa di tori T2

iii) Ad una somma connessa di piani proiettivi reali RP 2

Teorema 3.2. Una superficie S non e orientabile se e solo se contiene un nastro diMobius.

Esempio 3.2. La bottiglia di Klein e un esempio di varieta non orientabile, strettamentecorrelata al nastro di Mobius. Una delle proprieta piu interessanti di questa varieta e ilfatto che trova la sua naturale immersione non in R3 ma in R4.Troviamo qui sotto l’illustrazione della bottiglia e dei risultati di taglia e incolla, chemostrano dove sia il nastro nella varieta, tramite la rappresentazione mediante quadraticon identificazioni ai lati.

Lo stesso risultato puo essere visualizzato anche tagliando l’immagine dell’immersionein R3 della bottiglia di Klein in due parti uguali lungo un piano verticale (come nellafigura posizionata sopra4). In questo modo pero non si puo fisicamente tagliare un nastroM dalla bottiglia in quanto questa superficie trova la sua naturale immersione in R4

dove non si autointerseca.

4illustrazione di Brian C. Mansfield, ripresa dal libro [12], bibliografia

9

3.1 Giocando...s’impara!

Figura 5: Il cilindro e il nastro di Moebius

Provando a costruire un nastro di Mobius e “giocandoci”, ci si puo accorgere cheha proprieta a cui non si crede finche non si ha un’esperienza diretta. Queste proprietai maghi le sfruttarono per costruire un trucco detto Il trucco delle bande afgane. Perspiegarle ci avvaliamo di una citazione dall’introduzione del libro Il Nastro di Mobius diClifford A. Pickover:

“Mister Magic sorrideva mentre disegnava una lunga linea nera a meta di ciascunadelle lunghe strisce, come la linea tratteggiata che separa le carreggiate di una strada,poi mostro le strisce agli spettatori. Un bambino le afferro, ma Mister Magic disse ”Abbipazienza!”

Io ero un bambino timido ed educato. Mister Magic doveva averlo capito e mi porseun paio di forbici. “Giovanotto, taglia la striscia lungo la linea” disse indicandomi lalinea tratteggiata su una delle strisce. Ero eccitato e andai avanti a tagliare fino a quan-do raggiunsi il punto da cui ero partito. La banda rossa si divise formando due anellicompletamente separati. “Forte!” dissi, ma in realta non ero molto impressionato. Mistavo ancora chiedendo che cosa era successo.

“Ora taglia anche gli altri due.”

Acconsentii. Dopo aver tagliato la striscia blu mi trovai con un unico nastro lungo ildoppio dell’originale. Qualcuno applaudı. Il mago mi porse l’ultima striscia quella colorviola. La tagliai e ottenni due anelli intrecciati, come gli anelli di una catena. Ciascuncolore si era comportato in maniera del tutto differente e questo era davvero fantastico!Le strisce avevano proprieta del tutto diverse, benche a me fossero sembrate identiche.”

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Figura 6: Durante e dopo il taglio a meta

I risultati descritti in questo libro hanno dato luogo a numerose ricerche, le cui sco-perte prendono il nome di anelli paradromici. Al variare del numero dei tagli e, nel casodi un solo taglio, dalla posizione di partenza, varia anche il numero e la forma delle figureottenute. Il perche sta nel numero di mezze torsioni del nastro, ovvero quante volte estato “girato” un lato con un giro di angolo π.

Se ritorniamo alla costruzione del nastro e, al momento di incollare i due lati, appli-chiamo due mezze torsioni al nastro, quello che otteniamo non sara una superficie ad unasola faccia, mentre, se ne applichiamo tre, ne avremo nuovamente una sola. Dunque sipuo dedurre che, tagliando un anello che ha un numero pari di torsioni, esso si dividerain due anelli con lo stesso numero di mezze torsioni mentre, tagliando un anello che neha un numero dispari, si otterra un solo anello.

Per concludere, volendo sapere il numero di anelli na che si ottengono all’ennesimotaglio si puo usare la formula na = 2nt−1, dove nt indica il numero di tagli effettuati.

Figura 7: Dopo aver tagliato il nastro in modo che uscissero due anelli intrecciati

11

4 Oltre la matematica..

La sua particolare forma ha ispirato artisti, architetti, ingegneri, registi, filosofi e psi-cologi. Tutte queste persone hanno saputo creare, a partire da questa superficie, unaforma, uno strumento o un’interpretazione. D’altronde, essendo stata l’ispirazione peril simbolo dell’infinito, non c’e da stupirsi che molti l’abbiano voluta accogliere nei lorolavori. Premetto che, piuttosto del commento sulle opere, preferisco citare le parolestesse degli autori, essendo queste meno soggette ad interpretazioni esterne.

4.1 Escher

�[..] tutte le riproduzioni di questo libro sono state disposte con l’intenzione dicomunicare un determinato processo del pensiero. Le idee che stanno alla loro base

derivano dalla mia ammirazione e dal mio stupore nei confronti delle leggi che regolanoil mondo in cui viviamo. Chi si meraviglia di qualcosa si rende consapevole di tale

meraviglia. �

(M.C.Escher5)

Figura 8: Mobius Strip I, 1961

Il nastro in questa rappresentazione e mostrato come tre serpenti in un piano che simordono la coda. Questo e proprio cio che succede a tagliare il nastro “a meta”.

5Introduzione di [7], bibliografia

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�Anche se non ho avuto un’istruzione o conoscenze in scienze esatte, mi sento spessopiu vicino ai matematici che ai miei colleghi artisti. �

(M.C.Escher6)

Figura 9: Cigni, 1956

�I miei oggetti, resi vivi in modo fittizio, possono ora proseguire per la loro stradacome esseri plastici autonomi. Per esempio, se lo volessero, potrebbero anche tornare

nel piano dal quale sono emersi e sparire nel loro luogo di origine. Un tale ciclodiventa allora un soggetto autosufficiente per una stampa. Se il riempimento del piano,che era stato il punto di partenza, consiste nella replica di due figure diverse per forma

e per carattere, allora esse sono in grado di esprimere il loro eventuale antagonismoaggressivo distruggendo si a vicenda; o, se si preferisce una soluzione piu pacifica,

possono riconciliarsi in un abbraccio fraterno. �

(M.C.Escher7)

�Quando ci si tuffa nell’infinito, sia spaziale che temporale, sono necessari dei puntifissi, delle pietre miliari, altrimenti il movimento e simile all’immobilita. Ci si deveorientare con le stelle, che fanno da segnale per misurare la strada percorsa. Si devesuddividere l’universo in unita di una certa lunghezza, in compartimenti che si ripetonoin una successione infinita. Quando si attraversa il confine tra questi compartimenti,l’orologio fa tic tac. �

(M.C.Escher8)

6Introduzione di [7], bibliografia7In Regelmatige vlakverdeling8L’approccio all’infinito,1959

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4.2 Max Bill

�Ho realizzato il primo nastro di Mobius senza sapere cosa fosse. �

(Max Bill)

Figura 10: Middleheim, “De Eindeloze Kronkei”

�Ho provato a realizzare qualcosa che girasse nell’aria e che desse l’impressione disvilupparsi a spirale e, provando ancora e ancora con la carta, raggiunsi una forma

come questa superficie, con solo una faccia, che aveva tutte le caratteristiche del nastrodi Mobius �

(Max Bill)

Figura 11: Altre opere di Max Bill ispirate al nastro

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4.3 Moebius, Quel treno che corre nelle gallerie

Il regista del film “Moebius” (1996) eil professore e regista Gustavo Mosque-ra. Nella realizzazione di questo film so-no stati messi a dura prova gli studen-ti dell’Universidad del Cine di Buenos Ai-res giacche sono stati messi a disposizio-ne, come fondo per il film, solo 250.000dollari. La cinepresa e stata realizza-ta proprio dal regista e le fasi di post-produzione sono state effettuate tutte nell’i-stituto.

TramaUn topologo di nome Daniel Pratt viene chia-mato ad indagare su un problema riguardantei trasporti pubblici e si ritrova di fronte allamisteriosa scomparsa di un treno della metro-politana. Inizialmente disorientato riesce adentrare in possesso dei progetti in base ai qua-

li era stata costruita la struttura e si accorge che, a causa delle continue costruzionifatte per aggiornarla, e diventata tanto complessa da assumere una conformazione to-pologica analoga a quella del nastro di Moebius. Non ascoltato dai suoi superiori, tentain tutti i modi di salire sulla metropolitana “dispersa” ma questa sembra introvabile.Quando perde tutte le speranze e senza farci troppo caso, riesce nella sua impresa etrova nel treno il suo vecchio professore, nonche costruttore della struttura, che gli faaprire gli occhi su quanto l’uomo sia sordo e su cosa significhi trovarsi davanti all’infinito.

Citazioni

�In altri rami della scienza, se, ad esempio, un astronomo presentasse una teoriasull’universo ben accetta dall’uomo della strada, probabilmente sarebbe in errore,

mentre, se qualcuno dicesse, ad esempio, che in certe aree il tempo resta immobile,bisognerebbe perlomeno starlo a sentire. Potrebbe aver ragione. �

(Prof. di Topologia durante una lezione)

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“Di cosa ha paura Pratt?”“Le vertigini”“E’ normale. Nessuno puo trovarsi di fronte all’infinito senza provare le vertigini.Nessuno puo sperimentarlo senza sentirsi profondamente disorientato.”

�Se noi ci stiamo muovendo alla velocita del pensiero. . . Come si puo essere affascinatida questa vita, privata di attrattive, di ingenuita e di spontaneita? Come non preferire

di restare qui nell’oscurita se la fuori un mare di sordita ci sta trascinando ad essereirrimediabilmente disgraziati? �

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4.4 Altri luoghi e ambiti dove si possono trovare questi nastri..

Grazie alla sua struttura ad un’unica faccia la superficie ha trovato applicazioni in In-formatica dove e utilizzata per realizzare cartucce dati, permettendo di raddoppiare lospazio di memoria, e in Meccanica, per permettere maggior durata alle cinghie di tra-smissione, di norma a forma cilindrica, usurando ambedue le parti senza dover sostituireo girare il componente.E’ anche una figura armonica per cui e utilizzata anche come simbolo internazionale delriciclaggio dei rifiuti e per quello della Pura Lana Vergine.

Il fatto piu interessante pero e come si possa ritrovare questa superficie anche all’in-terno delle molecole in chimica. Una proteina con questa topologia che si puo trovare innatura, estratta da una pianta con il medesimo nome, e la Kalata B1, utile per accelerareil travaglio durante il parto. Negli ultimi anni altre molecole o strutture molecolari diquesta forma sono state sintetizzate in laboratorio, mostrando un problema di entitanon indifferente. Questo nasce dal fatto che il nastro di Mobius e una figura chirale, ov-vero la sua immagine speculare non puo essere sovrapposta a quella di partenza tramiterotazioni e traslazioni. Infatti, prese due sostanze composte da strutture molecolari unaspeculare all’altra si puo vedere come differiscano molto nella reazione con altri corpi: adesempio la penicillamina, un derivato della penicillina, e efficace nell’uomo contro l’ar-tite e contro alcune intossicazioni in una delle sue due forme ma nell’altra e addiritturatossica.Cio nonostante nel 1973 Lorents Gran riuscı a mostrare le proprieta della Kalata B1 eche la disposizione a nastro di Mobius negli amminoacidi influisce sugli effetti analgesicidi alcune piante.

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Figura 12: Frame del video che mostra come disporre lo spartito nell’esecuzione

Altre applicazioni si possono trovare nella musica, con Il canone a due cancrizzante diBach, dove la struttura e realizzata tramite un’esecuzione diretta e inversa dello spartito.A riguardo e molto interessante il video di un autore di animazioni tridimensionali incui l’esecuzione dell’opera e mostrata in tutte le sue possibili varianti e si spiega comee possibile tagliare e incollare lo spartito in modo da ottenere un nastro di Mobius cherappresenti il canone completo9.

Insomma, le applicazioni del nastro di Mobius sono innumerevoli (ne esistono anchenella psicologia e in alcuni giochi di logica, come i labirinti di questa forma, molto piucomplicati di quelli piani). Questa superficie, per le sue numerose particolarita, ha affa-scinato molte persone che l’hanno conosciuta, scoperta e hanno inventato qualcosa chela riguardasse (Clifford A.Pickover ne elenca solo alcune in ben tre pagine del suo libro)percio sarebbe veramente troppo lungo (e anche fuori luogo) mettersi ad elencare tuttoquello che hanno realizzato.

�Che cosa rende grande un matematico? Una sensibilita per la forma, una forteconsapevolezza di quello che e importante. Mobius possedeva entrambe in abbondanza.

Egli sapeva che la topologia era importante. Egli sapeva che la simmetria e unprincipio matematico fondamentale e potente.

Il giudizio dei posteri e chiaro: Mobius aveva ragione. �

(Ian Stewart,Mobius’s Modern Legacy)

9Il sito e quello presentato in [14] bibliografia

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Riferimenti bibliografici

[1] A. Sambusetti, Appunti di Geometria Differenziale 2011-2012

[2] P.Piccinni, Appunti di Geometria II 2010-2011

[3] A.Maschietti, Introduzione alle varieta differenziabili 2010-2011

[4] C.Canuto,A. Tabacco,Analisi Matematica II, Teoria ed esercizi con complementi inrete, Volume 2

[5] http://it.wikipedia.org

[6] Luca Lussardi, Le superfici non orientabili

[7] M.C.Escher, Grafica e disegni, Taschen, 2008

[8] http://www.unibas.it/utenti/funicello/INDEX_file/Aromatic.pdf

[9] http://www.matematica.it

[10] http://www.piergiorgioodifreddi.it

[11] Marco Manetti, Topologia, Springer-Verlag Italia, Milano 2008

[12] Clifford A. Pickover, Il nastro di Mobius, Apogeo Srl, 2006

[13] Elisa Merlo-Un taglio al nastro di Moebius

[14] http://www.josleys.com

. Grafici creati con i programmi Grapher e Matlab. Testo scritto interamente in LATEX.

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