Esercitazione n°2

Muro a gabbioni

Geometria del problema e valori caratteristici e di calcolo dei parametri materiali:

φ¿=2,5 ∙ γ s−10

τlim ¿= N

stanφ¿+cg¿

Dove con s indichiamo la lunghezza di contatto tra i gabbioni.

σ c, lim ¿=50 ∙ γs−300¿

H(m) – muro 5Base muro (m) 4

β (°) -6i (°) 12

h (m) 1f'k rinterro (°) 35f'd rinterro (°) 29,26δk rinterro (°) 23,33δd rinterro (°) 19,50

f'k-terr.fond. (°) 28f'd-terr.fond. (°) 23,04f*gabbioni (°) 22,50fd*gabbioni (°) 18,33grint. (kN/m^3) 18g-terr. (kN/m^3) 19,5

gs (kN/m^3) 13cg (kPa) 20

c'terreno (kPa) 5σlim,c (kPa) 350

h (m) 0,5

Esercitazione n°2

1. Condizioni statiche:

Considerando:

b= -6° , i = 12°

Qui di seguito vengono elencate le suddivisioni effettuate per il calcolo dei pesi, in cui F str. Indica la forza volumetrica agente sulla superficie di ogni singolo strato, mentre F rappresenta la forza complessiva agente sulla superficie i-esima derivante da tutti gli strati sovrastanti. Le componenti FT ed FN rappresentano le proiezioni delle dette forze lungo la direzione tangente e normale al piano di scorrimento:

Ka,k 0,2341Ka,d 0,3118

strato s (m) h (m)F strato (kN/m)

F (kN/m)

FN (kN/m)

FN-str. (kN/m)

FT (kN)

FT-strato (kN)

1 1 1 13 13 12,93 12,93 -1,36 -1,362 1,5 2 19,5 32,5 32,32 19,39 -3,40 -2,043 2,5 3 32,5 65 64,64 32,32 -6,79 -3,404 3 4 39 104 103,43 38,79 -10,87 -4,085 3,5 5 45,5 136,5 135,75 45,25 -14,27 -4,76

Esercitazione n°2

Vengono calcolate le spinte attive in condizioni statiche utilizzando sia i valori caratteristici (M1) che i valori di calcolo (M2). Una volta calcolate le spinte, queste vengono proiettate in funzione dell’angolo δ, assunto

pari a 23φ ' .

Strato Sa,k (kN/m)

SaN,k (kN/m)

SaT,k (kN/m)

Sa,d (kN/m)

SaN,d (kN/m)

SaT,d (kN/m)

1 2,11 0,83 1,93 2,81 0,94 2,652 8,43 3,34 7,74 11,23 3,75 10,583 18,96 7,51 17,41 25,26 8,43 23,814 33,71 13,35 30,96 44,90 14,99 42,335 52,68 20,86 48,37 70,16 23,42 66,13

1.1 Stato limite di scorrimento sul piano di posa – A2 (A1+M1+R3)

L’azione di progetto Ed è la componente della risultante delle forze in direzione parallela al piano di scorrimento della fondazione; la resistenza di progetto Rd è il valore della forza di attrito sul piano di scorrimento.

Coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici : γ φ '=1 , γ γ=1.0Coefficiente parziale da applicare alle spinte dovute al peso del terreno : γG1=1.3Coefficiente parziale da applicare alla resistenza allo scorrimento : γR=1.1

Ed i=1,3 ∙(SaT i , k )+FT i

Rd i=(1,3 ∙ SaN i , k+FN i) ∙ tanφk

¿

1,1

- dove f*gabbioni (°) è pari a 22,5°

Verifica soddisfatta.

1.2 Stato limite di collasso per carico limite dell'insieme fondazione - terreno - A2 (A1+M1+R3)

L’azione di progetto Ed è la componente della risultante delle forze in direzione normale al piano di fondazione; la resistenza di progetto Rd è il valore limite della forza normale al piano di fondazione (capacità portante).

Coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici: γ φ '=1 , γ γ=1.0Coefficiente parziale da applicare alle spinte dovute al peso del terreno: γG1=1.3Coefficiente parziale da applicare alla resistenza allo scorrimento: γR=1.4

- M derivante dai pesi paralleli al piano di scorrimento: MT=∑i

FTstr i ∙ bT i=−30,235kNm

strato Ed Rd Rd/Ed1 1,2 5,3 4,562 6,7 13,8 2,073 15,8 28,0 1,774 29,4 45,5 1,555 48,6 61,3 1,26

Esercitazione n°2

- M derivante dai pesi ortogonali al piano di scorrimento: MN=∑i

FNstri ∙bN i=¿321,604kNm¿

Si riportano i relativi bracci indicati nella formula, riferiti al punto O, polo in cui si è calcolato il momento:

- .

- Eccentricità dei pesi rispetto al punto O, verticale: ewT=∑M (FTstr i¿)

∑ FTstr i=−30,235

−14,27=2 ,119m ¿

- Eccentricità dei pesi rispetto al punto O, orizzontale: ewN=∑ M (FNstri)

∑ FNstri=321,604135,75

=2,369m

- Eccentricità dei pesi rispetto al baricentro della sola fondazione:

egN=ewN−B2=−0 ,619m

- Componente verticale della risultante di progetto:

V=1,3 ∙∑i

FNstr .+1,3 ∙ SaN=1.3 ∙(135,75+20,86)=203,60kN /m

- Componente orizzontale della risultante di progetto:H=1,3 ∙ SaT−1,3 ∙∑ FTstr .=1,3 ∙(48,37−14,27)=44 ,33kN /m

- Momento rispetto alla mezzeria della fondazione:

M res=1,3 ∙135,75 ∙0,619+1,3 ∙20,86 ∙3,5−1,3∙48,37 ∙53−1,3 ∙ (−14,26 ∙2,119 )=138,69kN

- Eccentricità di calcolo: e=M res

V= 138,69203,60

=0 ,681m

- Resistenza di calcolo:

qlim ¿=(N ¿¿c ∙c ' ∙ic ∙bc)+(N ¿¿q ∙ q ∙iq ∙ bq)+(N γ ∙ γ ∙ iγ ∙ bγ ∙

B '

2)=270,66 kPa¿¿ ¿

q=0,5 ∙19,5(kNm

)

B'=B−2 ∙∨e∨¿

strato bT (m) bN (m)1 4,5 32 3,5 2,753 2,5 2,254 1,5 25 0,50 1,75

c' 5q 9,75B' 2,138Nq 13,055Nc 22,673Ny 12,820iq 0,612ic 0,580iγ 0,479bq 0,997bc 0,997bγ 0,997m 2,0

Esercitazione n°2

Rd=qlim ¿ ∙ B '

γR3=270,66 ∙2,138

1,4=413,28kN /m ¿

Azioni di progetto: Ed=V=203,6 kN /m

Verifica: RdEd

=2,03>1−Verificato .

N.B.

All’interno dell’espressione del carico limite sono stati considerati anche i coefficienti che tengono conto dell’inclinazione del piano di posa:

bq=bγ=(1−β tanφk' )2bc=

1−bqNc ∙ tanφk

'

2.1 – Verifica al ribaltamentoNon si mobilita la resistenza del terreno di fondazione, quindi il problema deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio di un corpo rigido (EQU). Si utilizzano per le azioni i coefficienti parziali EQU, avendo calcolato le spinte con i coefficienti parziali di materiale M2.

La verifica è stata effettuata considerando i momenti relativi alle forze instabilizzanti prima (SaT) e stabilizzanti dopo ( SaN, FNstr, FTstr.) . Facendo polo in A, si è valutato il possibile ribaltamento del blocco 1, con polo in B il ribaltamento dei blocchi 1 e 2, e così fino al polo E, rispetto al quale abbiamo verificato del muro nel suo complesso.

Verifiche locali

Le verifiche interne relative ai muri a gabbione sono di due tipi, si ha una verifica a compressione ed una taglio.

stab. instab.

Polo M(FN) M(SaN) M(FT) M(SaT)Σ

Mstb Rd/Ed

A 6,46 0,94 0,68 0,88 8,1 7,50B 27,47 5,62 3,06 7,05 36,2 4,19C 100,20 21,08 8,15 23,81 129,43 4,45D 190,70 44,98 16,99 56,44 252,7 3,66E 321,60 81,99 30,23 110,22 433,8 3,22

Esercitazione n°2

Verifica a compressione (A1+M1+R3)

Sia ui la distanza del punto di intersezione tra la retta d’azione della risultante delle forze agenti sulla gabbionata ed il piano di base, misurata a partire dallo spigolo di valle. Chiaramente anche i momenti sono

ui=M stabi

−M instab i

∑ F−verticali=M stabi

−M instab i

FN i+SaN i

Sia e l’eccentricità della risultante delle forze agenti sull’opera, ossia la distanza del suo punto di incontro con la sezione di verifica misurata dal baricentro della sezione stessa.

e i=lbase2

−u i , emax=lbase6

Considerando la teoria della scienza delle costruzioni, la tensione massima, laddove la sezione risulti essere interamente reagente come nella fattispecie, è esprimibile come:

σ ci=FN i+SaN i

lbase∙¿

Al fine di completare la verifica è necessario ridurre i valori con i parametri di calcolo, per cui:

Ed i=1,3 ∙ σci , Rd=σ lim , c1,4

Strato Minst Mstb u (m) e (m) e(max) σc (kPa) Ed Rd/Ed1 0,64 7,98 0,53 -0,03 0,17 16,47 21,42 11,672 5,16 35,54 0,85 -0,10 0,25 33,46 43,50 5,753 17,41 127,13 1,52 -0,27 0,42 47,60 61,88 4,044 41,27 247,74 1,77 -0,27 0,50 59,79 77,73 3,225 80,61 424,86 2,20 -0,45 0,58 79,12 102,85 2,43

Esercitazione n°2

Verifica a taglio

τ lim ,k i=(FN i+SaN i )∙ tan (φg ,k¿ )

lbasei+c g, Rd=

τ lim , k i1,1

τ i=(FT i+SaT i )

lbasei, Ed=1,3 ∙ τ i

strato FN (kN/m)

Sa (kN/m) tlim,k (kPa) Rd S (m) Sat (kN/m)

FT (kN/m)

t (kPa) Ed Rd/Ed

1 12,93 2,11 25,70 23,36 1 1,93 -1,36 0,58 0,75 31,212 32,32 8,43 29,85 27,13 1,5 7,74 -3,40 2,89 3,76 7,213 64,64 18,96 31,96 29,05 2,5 17,41 -6,79 4,25 5,52 5,264 103,43 33,71 36,12 32,84 3 30,96 -10,87 6,70 8,70 3,775 135,75 52,68 38,54 35,03 3,5 48,37 -14,27 9,74 12,67 2,77

Esercitazione n°2

2. Condizioni pseudostatiche:

Considerando:

b= -6° , i = 12°

Qui di seguito vengono elencate le suddivisioni effettuate per il calcolo dei pesi, in cui F str. Indica la forza volumetrica agente sulla superficie di ogni singolo strato, mentre F rappresenta la forza complessiva agente sulla superficie i-esima derivante da tutti gli strati sovrastanti. Le componenti FT ed FN rappresentano le proiezioni delle dette forze lungo la direzione tangente e normale al piano di scorrimento:

Vengono calcolate le spinte attive in condizioni statiche utilizzando sia i valori caratteristici (M1) che i valori di calcolo (M2). Una volta calcolate le spinte, queste vengono proiettate in funzione dell’angolo δ, assunto pari

a 23φ ' .

Ka,k 0,2898Ka,d 0,3823

s (m) h (m)F strato (kN/m)

F(1-kv) (kN/m)

Fkh (kN/m)

FN (kN/m)

FN-str. (kN/m)

FT (kN/m)

FT-strato

(kN/m)

1 1 13 12,53 0,94 12,46 12,46 -1,31 -1,31

1,5 2 19,5 31,32 2,36 31,15 18,69 -3,27 -1,96

2,5 3 32,5 62,64 4,72 62,30 31,15 -6,55 -3,27

3 4 39 100,23 7,54 99,68 37,38 -10,48 -3,93

3,5 5 45,5 131,55 9,90 130,83 43,61 -13,75 -4,58

Esercitazione n°2

strato Sae,k (kN/m)

SaeN,k (kN/m)

SaT,k (kN/m)

Sae,d (kN/m)

SaeN,d (kN/m)

SaeT,d (kN/m)

1 2,51 1,00 2,31 3,32 1,11 3,132 10,06 3,98 9,23 13,26 4,43 12,503 22,62 8,96 20,77 29,84 9,96 28,134 40,22 15,93 36,93 53,05 17,71 50,015 62,85 24,89 57,71 82,89 27,67 78,13

1.3 Stato limite di scorrimento sul piano di posa – A2 (AE+M1+R3)

L’azione di progetto Ed è la componente della risultante delle forze in direzione parallela al piano di scorrimento della fondazione; la resistenza di progetto Rd è il valore della forza di attrito sul piano di scorrimento.

Coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici : γ φ '=1 ,0 , γ γ=1 ,0Coefficiente parziale da applicare alle spinte dovute al peso del terreno : γG1=1,1Coefficiente parziale da applicare alla resistenza allo scorrimento : γR=1,1

Ed i=SaT i , k+FT i+Fkhi

Rd i=(SaN i , k+FN i)∙ tanφk

¿

1,1

- dove f*gabbioni (°) è pari a 22,5°

Verifica soddisfatta.

1.4 Stato limite di collasso per carico limite dell'insieme fondazione - terreno - A2 (AE+M1+R3)

L’azione di progetto Ed è la componente della risultante delle forze in direzione normale al piano di fondazione; la resistenza di progetto Rd è il valore limite della forza normale al piano di fondazione (capacità portante).

Coefficienti parziali da applicare ai parametri geotecnici: γ φ '=1 ,0 , γ γ=1 ,0Coefficiente parziale da applicare alle spinte dovute al peso del terreno: γG1=1,0Coefficiente parziale da applicare alla resistenza allo scorrimento: γR=1,4

- M derivante dai pesi paralleli al piano di scorrimento: MT=∑i

FTstr i ∙ bT i=−29,138kNm

- M derivante dai pesi sismici paralleli allo stesso piano : M (Fkh¿¿∑i Fkhi ∙ bT i=20,51kNm- M derivante dai pesi ortogonali al piano di scorrimento: MN=∑

i

FNstri ∙bN i=¿309,939kNm¿

Ed Rd Rd/Ed1,94 5,07 2,618,32 13,23 1,59

18,94 26,83 1,4234,00 43,53 1,2853,86 58,64 1,09

Esercitazione n°2

Si riportano i relativi bracci indicati nella formula, riferiti al punto O, polo in cui si è calcolato il momento:

- .

- Eccentricità dei pesi rispetto al punto O, verticale: ewT=∑M (FTstr i¿)

∑ FTstr i=−29,138

−13,75=2,119m¿

- Eccentricità dei pesi sismici rispetto al punto O: ew(Fkh)=∑M (FTstr i¿)

∑ FTstr i=20,519,9

=2 ,071m ¿

- Eccentricità dei pesi rispetto al punto O, orizzontale: ewN=∑ M (FNstri)

∑ FNstri=309,93130,83

=2,369m

- Eccentricità dei pesi rispetto al baricentro della sola fondazione:

egN=ewN−B2=−0,619m

- Componente verticale della risultante di progetto:

V=∑i

FNstr .+SaN=(130,83+24,89)=155,72kN /m

- Componente orizzontale della risultante di progetto:H=SaT−∑ FTstr .+Fkh=57,71−13,75+9,9=53,86 kN /m

- Momento rispetto alla mezzeria della fondazione:

M res=130,43 ∙0,619+24,89∙3,5−57,71∙53− (−14,26 ∙2,119 )−9,9 ∙2,071=80,56 kN

- Eccentricità di calcolo:

e=M res

V= 80,56155,72

=0,517m

- Resistenza di calcolo:

qlim ¿=(N ¿¿c ∙c ' ∙ic ∙bc)+(N ¿¿q ∙ q ∙iq ∙ bq)+(N γ ∙ γ ∙ iγ ∙ bγ ∙

B '

2)=183,27 kPa¿¿ ¿

q=0,5 ∙19,5(kNm

)

B'=B−2 ∙∨e∨¿

strato bT (m) bN (m)1 4,5 32 3,5 2,753 2,5 2,254 1,5 25 0,50 1,75

c' 5q 9,75B' 2,138Nq 13,055Nc 22,673Ny 12,820iq 0,418ic 0,380iγ 0,280bq 0,997bc 0,997bγ 0,997m 2,0

Esercitazione n°2

Rd=qlim ¿ ∙ B '

γR3=183,27 ∙2,138

1,4=322,72kN /m¿

Azioni di progetto: Ed=V=155,72kN /m

Verifica: RdEd

=2,07>1−Verificato .

N.B.

All’interno dell’espressione del carico limite sono stati considerati anche i coefficienti che tengono conto dell’inclinazione del piano di posa:

bq=bγ=(1−β tanφk' )2bc=

1−bqNc ∙ tanφk

'

2.2 – Verifica al ribaltamentoNon si mobilita la resistenza del terreno di fondazione, quindi il problema deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio di un corpo rigido (EQU). Si utilizzano per le azioni i coefficienti parziali EQU, avendo calcolato le spinte con i coefficienti parziali di materiale M2.

stab. instab.

Polo M(FN) M(SaN) M(FT)

M(SaT) M(Fkh)Σ

M.instb

Σ M.stb Rd/Ed

A 6,23 1,11 0,65 1,04 0,47 1,51 8,0 4,32B 26,48 6,64 2,95 8,33 2,12 10,46 36,1 2,82C 96,56 24,91 7,86 28,13 5,66 33,79 129,33 3,13D 183,78 53,14 16,37 66,67 11,79 78,46 253,3 2,64E 309,94 96,86 29,14 130,22 20,51 150,73 435,9 2,37

La verifica è stata effettuata considerando i momenti relativi alle forze instabilizzanti (SaT,Fkh) e stabilizzanti ( SaN, FNstr, FTstr.) . Facendo polo in A, si è valutato il possibile ribaltamento del blocco 1, con polo in B il ribaltamento dei blocchi 1 e 2, e così fino al polo E, rispetto al quale abbiamo verificato del muro nel suo complesso.

Esercitazione n°2

Verifiche locali

Le verifiche interne relative ai muri a gabbione sono di due tipi, si ha una verifica a compressione ed una taglio.

Verifica a compressione (AE+M1+R3)

Sia ui la distanza del punto di intersezione tra la retta d’azione della risultante delle forze agenti sulla gabbionata ed il piano di base, misurata a partire dallo spigolo di valle. Chiaramente anche i momenti sono

ui=M stabi

−M instab i

∑ Fverticali=M stab i

−M instabi

FN i+Sae N i

Sia e l’eccentricità della risultante delle forze agenti sull’opera, ossia la distanza del suo punto di incontro con la sezione di verifica misurata dal baricentro della sezione stessa.

e i=lbase2

−u i , emax=lbase6

Considerando la teoria della scienza delle costruzioni, la tensione massima, laddove la sezione risulti essere interamente reagente come nella fattispecie, è esprimibile come:

σ ci=FN i+Sa e N i

lbase∙¿

Al fine di completare la verifica è necessario ridurre i valori con i parametri di calcolo, per cui:

Esercitazione n°2

Ed i=1,3 ∙ σci , Rd=σ lim , c1,4

instabilizzanti stabilizzantistrato M(saeT) M(Fkh) M(FN) M(SaeN) M(FT) Σ Mstb Σ M.instb Rd/Ed

1 1,04 0,47 6,23 1,11 0,65 7,99 1,51 4,322 8,33 2,12 26,48 6,64 2,95 36,07 10,46 2,823 28,13 5,66 96,56 24,91 7,86 129,33 33,79 3,134 66,67 11,79 183,78 53,14 16,37 253,29 78,46 2,645 130,22 20,51 309,94 96,86 29,14 435,94 150,73 2,37

Verifica a taglio (AE+M1+R3)

τ lim ,k i=(FN i+SaN i )∙ tan (φg ,k¿ )

lbasei+c g , Rd=

τ lim , k i1,1

τ i=(FT i+SaT i+Fkh i)

lbasei, Ed=1,3∙ τ i

strato FN (kN/m)

Sa (kN/m)

tlim,k (kPa) Rd s Sat

(kN/m)FT

(kN/m)Fkh(kN/m) t

(kPa) Ed Rd/Ed

1 12,46 2,51 25,57 23,25 1 2,31 -1,31 0,94 1,94 1,94 11,97

Esercitazione n°2

2 31,15 10,06 29,70 27,00 1,5 9,23 -3,27 2,36 5,54 5,54 4,873 62,30 22,62 31,81 28,92 2,5 20,77 -6,55 4,72 7,58 7,58 3,824 99,68 40,22 35,96 32,69 3 36,93 -10,48 7,54 11,33 11,33 2,885 130,83 62,85 38,43 34,94 3,5 57,71 -13,75 9,90 15,39 15,39 2,27