117

PREVISIONE

Sono analoghi a quelli di simulazione tranne che per l'uso

dell'informazione:

- si utilizzano tutte le informazioni disponibili (ingressi) fino all'istante t e si calcola il passo/i passi successivi con il modello,

- si aggiorna l'informazione disponibile con nuovi dati e si procede.

Funzionano tanto meglio quanto più l'inerzia del sistema è

elevata (conta molto lo stato iniziale).

Si assume di solito che il sistema reale sia composto da

due parti:

componente deterministica + componente stocastica

Esempio: temperatura T del giorno t+1

T (t+1) = T + Tsen(2/365(t+1)) + T(t) + t

componente deterministica componente stocastica

media + variazione annuale giorno prec. + errore

E’ inutile cercare di prevedere la componente

deterministica. Quindi si opera su valori depurati di questa

componente.

T*(t+1) = T (t+1) – [T + Tsen(2/365(t+1))] = *T*(t) + t

118

previsore z -1

ritardo unitario

Per calcolare la previsione, si può tener conto solo delle

informazioni note (es. T(t) temperatura del giorno

corrente) e, se nota, della distribuzione di probabilità

dell’errore t.

Un caso già visto: ricostruttore dello stato (uscita)

Si usano le informazioni note (y(t) e u(t)) e si prevede

l’uscita all’istante t+1.

Lo schema può essere usato anche su sistemi non lineari,

linearizzando il sistema a ogni passo e ricalcolando la

matrice L ogni volta (in questo caso quindi la matrice

cambia con t).

sistema reale

iI due

metodi

portano,

asintotic

amente

allo

119

Componente stocastica e rischio

Se si conosce la distribuzione di probabilità dell’errore t si

può operare nel modo seguente:

- si calcola con il modello il valore atteso dell’uscita sulla base

dell’informazione corrente It

- si somma a questo la distribuzione dell’errore

- si ottiene così la distribuzione di probabilità della variabile prevista.

In questo modo è possibile calcolare la probabilità di qualsiasi valore o il rischio di superare un certo limite (es. di legge).

Come valutare la distribuzione dell’errore

Sui dati di taratura, si valuta t = misurat - previsionet

e si controlla poi che questa serie abbia media nulla,

distribuzione gaussiana, correlazione nulla con se stessa

e le altre variabili (cioè sia un rumore bianco).

120

Modello ARMA o ARX (descrizione esterna)

Un sistema dinamico lineare (es. discreto) può anche essere

descritto attraverso le sole grandezze misurabili all’esterno:

ingresso u(t) e uscita y(t) (caso di sistema 1_ingresso 1_uscita).

Es:

1 2

2 1

1

( 1) ( )

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

x t x t

x t x t u t

y t x t

Sostituendo:

2 1( 1) ( ) ( ( 1) ( 1)) ( 1) ( 1)y t x t x t u t ay t bu t

In generale:

1 2 1 2

parte autoregressiva AR parte a media mobile(moving average) MA

( 1) ( ) ( 1) .... ( ) ( 1)y t a y t a y t b u t b u t

N.B. la parte MA è detta a volte “esogena” (eXogenous)

N.B. a1,a2,…,an sono i coefficienti del polinomio caratteristico.

Nel continuo:

1 1 1

1 2 1 21 1 1.... ....

n n n n n

n n n n n

d y d y d y d u d ua a b b

dt dt dt dt dt

121

Esempio

Esempio

u = forza

y = posizione

1modello ARMA

m y Ky H y u

H Ky y y u

m m m

Conigliera y(t) = n° coppie conigli

Supponiamo u(t) = 0 e y(0) = 1 y(1) = 1

y(t+2) = y(t+1) + y(t) (1,1,2,3,5,8,13,...)

modello AR(2) (= due termini autoregressivi)

122

I modelli ARMA sono spesso utili per effettuare previsioni su

sistemi complessi. In tali casi i parametri ai e bi vanno poi stimati

a partire dai dati.

Esempio

1 2

( ) ( ) ritardo piena di n ore

( ) ( 1) ( 2) .... ( )n

y t n u t

y t n b u t n b u t n b u t

La portata all’uscita è una media pesata della portata all’ingresso.

1 2

( ) ( 1) ipotesi di congelamento

( ) 2 ( 1) ( 2)

( ) ( 1) ( 2) .... ( )n

y t n y t n

y t n y t n y t n

y t n a y t n a y t n a y t

Modello più complesso

1 1( ) ( 1) .... ( ) ( 1) .... ( )n ny t n a y t n a y t bu t n b u t

u(t) portata nella sezione 1

all’ora t

y(t) portata nella sezione 2

all’ora t

Estrapolatore del 1° ordine AR(1)

Estrapolatore di ordine n AR(n)

AR(1)

AR(2)

ARMA(n,n)

123

A volte i modelli ARMA vengono detti a “scatola nera” (black box)

perché sono strutture matematiche che vengono a priori scelte

per descrivere la dinamica di un sistema complesso.

Modelli matematici che vengono scelti con alcune motivazioni

fisiche (analogia, meccanica di funzionamento, ipotesi di

comportamento,…) sono invece chiamati a “scatola grigia”.

Spesso, tuttavia, le due classi di modelli coincidono e cioè le

ipotesi fatte non sono assolutamente essenziali.

Esempio

In molti casi gli ingressi sono più di uno.

Es. pi(t) pioggia misurata al pluviometro i

q(t+1)=q(t) + 1p1(t)+2p1(t-1)+…+1p2(t)+2p2(t-1)+..+1p3(t)+…

u(t) = pioggia

y(t) = portata

Il modello di Nash interpreta il

bacino come una sequenza di n

serbatoi, ma essendo lineare, può

essere scritto anch’esso come un

modello ARMA.

e quindi il modello di Nash

corrisponde al più generale

modello ARMA

124

Taratura dei previsori

I previsori sono di solito tarati con il consueto criterio dei

minimi quadrati. E’ chiaro che, in questo caso, i valori della

variabile yt compaiono sfalsati tanto nella matrice M dei

dati, tanto nel vettore y dei risultati.

stima a lotti

stima ricorsiva (la stima è aggiornata

all’arrivo di un nuovo dato)

previsore

sistema

Il vettore dei parametri

viene stimato in tempo reale fino alla convergenza

I due metodi di stima portano, asintoticamente, allo stesso risultato.

ESEMPIO: modello con 2 ingressi SISTEMA y

u

w

125

PREVISIONE - CASO DI STUDIO:

Qualità dell’aria a Milano

Vedi: Finzi, Fronza, Spirito, Multivariate stochastic models of sulphur dioxide pollution in an urban area , APCA Journal , 30: 1212-1215, 1980

La previsione è diffusa ogni giorno t per quello successive (t+1) e

si riferisce ai valori previsti dalle normative (ad esempio, media

delle 24 ore, valore massimo, massima media su 8 ore,…).

La previsione può riguardare diversi inquinanti (es. PM10 in

inverno, O3 in estate). Qui trattiamo il caso di inquinanti primari

(niente reazioni chimiche) e deposizione umida (pioggia)

trascurabile.

N.B. Il danno dipende dalle reazioni individuali all’informazione

fornita (allarme) e la reazione può dipendere a sua volta dalla

bontà delle previsioni precedenti (falsi o mancati allarmi).

condizioni meteorologiche stazioni

meteo

emissioni

inquinamento, e.g. SO2

misure qualità aria

previsione

allarme reazioni

individuali

esposizione sistema

respiratorio

DANNO

126

isola di calore

qu

ota

inversione

Dati disponibili

temperatura

rosa dei venti stagionale mappe meteo

127

dati concentrazione di

previsore

la variabile di uscita da prevedere è

la media su 24 ore della media della

stazioni di misura effettuata alle ore 8

Stazioni di misura della qualità dell’aria (PTS, PM10, PM2,5, NOx, SO2, VOC,…)

Consideriamo ad esempio il sistema di previsione seguente:

Possiamo usare come dati in ingresso:

- la concentrazione di inquinante del giorno precedente (chiaramente se la concentrazione odierna è elevata, ci aspettiamo che lo sia anche quella successiva)

- la temperatura T (d’inverno, più bassa è la temperatura, più elevate saranno le emissioni per riscaldamento ed energia)

- la condizione meteo m (con alta pressione, l’inversione termica è più probabile)

- la velocità del vento v (più vento, maggiore dispersione).

128

Scelta del modello

Occorre scegliere la struttura del modello e tarare i parametri

sulla base dei dati disponibili. .

La struttura dipende dalle informazioni che immaginiamo di

poter utilizzare in tempo reale e maggiore è la quantità di

informazione necessaria, maggiori saranno i costi di

implementazione del modello.

Anche a parità di informazioni sono possibili diverse

formulazioni. Occorre anche tener conto dell’uso che poi si farà

della previsione (es. inutile fare previsioni per diverse aree

della città, se poi si può solo chiudere tutto al traffico)

La procedura è la solita:

selezione modello

structure

taratura dati

Su Milano sono state sperimentate la strutture seguenti:

129

Modello 1

sono i parametri da stimare

è la concentrazione prevista per il giorno k+1 [ppm]

è la concentrazione misurata nel giorno k [ppm]

è la temperatura misurata nel giorno k [°C]

è una temperatura di riferimento (evita divisioni per

0)

&

previsione perfetta (la pendenza non è 45° perché le unità sui due assi sono diverse)

Il modello non è molto

preciso perché tende un po’

a sottostimare gli episodi di

inquinamento acuto.

= 0,76

episodi = 0,69

concentrazione misurata

co

nce

ntr

azio

ne

pre

vis

ta

130

Modello 2

Il modello ha la stessa struttura del precedente, salvo il fatto

che i parametri e si suppongono dipendenti dalla situazione

meteo prevista per il giorno k+1: situazione ciclonica o

anticiclonica. Ciò significa che devono essere calibrati DUE

diversi modelli: prima si raggruppano tutti I dati relative a

situazioni cicloniche e si tarano 2 parametri, poi tutti I dati

relative a situazioni anticicloniche e si tarano altri 2 parametri.

Si noti che si tratta di situazioni previste, cioè quelle elaborate

da un servizio di previsione meteo, e che, separando I dati in

due insiemi, occorre tener presente il loro effettivo legame

temporale (cioè i giorni realmente precedenti, che potrebbero

non appartenere allo stesso insieme).

Raddoppiando il numero di parametri e specializzando il

modello per le diverse situazioni, le prestazioni migliorano, ma il

doppio dei dati è necessario per raggiungere la stessa

affidabilità nella stima.

La correlazione tra previsioni e misure passa da 0.76 a 0.79.

131

Modello 3

Il modello differisce dal precedente solo per la presenza

dell’ultimo temine, che ha un segno meno per tener conto che

la concentrazione decresce con l’aumento della velocità del

vento (maggiore dispersione).

Notate però che si utilizza la velocità prevista per il giorno

k+1. Se questa è calcolato solo per fare la previsione di

inquinamento (ad es. con un AR(1)) è meglio usare

direttamente quella rilevata al giorno k.

previsione

perfect La previsione è migliorata in

particolare sugli episodi più

elevati:

= 0,88

episodi = 0,82

Il modello utilizza tuttavia 6

parametri e quindi richiede più

dati, oltre alle misure di vento in

tempo reale (localmente

rilevabili con un anemometro).

concentrazione misurata

co

nce

ntr

azio

ne

pre

vis

ta

66

Dati misurati

Previsioni

misure previsioni (si nota il tipico ritardo sui picchi dei modelli autoregressivi)

132