ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 1 di 13

Il fascicolo è un supporto didattico destinato agli studenti [allievi geometri].Raccoglie parte dei contenuti esposti durante le lezioni di Topografia tenute presso l’I.I.S.“Morea-Vivarelli” (sede Morea) di Fabriano ed è suscettibile di aggiornamenti e/omodifiche.Eventuali correzioni, segnalazioni, suggerimenti, richieste o qualsiasi altra comunicazionepossono essere inviate all’indirizzo e-mail:moreaelearning@altervista.orgRingrazio fin d’ora quanti vorranno collaborare.

RILIEVO PER POLIGONAZIONE

CLASSIFICAZIONE DELLE POLIGONAZIONE

ANGOLI DI DIREZIONE

POLIGONALI APERTE

ESEMPIO 01

CONSIDERAZIONE SU ERRORI COMMESSI

POLIGONALI CHIUSE

ESEMPIO 02

POLIGONALI APERTE VINCOLATE AGLI ESTREMI

ESEMPIO 03

APERTURA E CHIUSURA A TERRA DI POLIGONALI APERTE

ESEMPIO 04

ESERCIZI SU

POLIGONALI APERTE

POLIGONALI CHIUSE

POLIGONALI APERTE VINCOLATE AGLI ESTREMI

APERTURA E CHIUSURA A TERRA DI POLIGONALI APERTE

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 2 di 13

POLIGONALI CHIUSE

Dal punto di vista geometrico le poligonali chiuse sono poligoni di n vertici di cui

vengono misurate l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei lati. Per il calcolo

delle coordinate dei vertici si devono conoscere anche le coordinate di un vertice

e l’angolo di direzione (azimut) di un lato. Questi ultimi elementi possono essere

già conosciuti perché determinati in precedenza oppure fissati dal topografo in

dipendenza dalle finalità del rilievo.

E’ da notare che per il calcolo delle coordinate dei vertici della poligonale

sarebbe sufficiente conoscere la misura di n-1 lati e n-2 vertici riducendosi la

poligonale ad una poligonale aperta il cui calcolo è stato visto in precedenza.

Conoscere gli elementi angolari e lineari di un poligono chiuso pone all’insieme

delle osservazioni dei vincoli geometrici ben precisi. Gli elementi misurati sono

in numero sovrabbondante rispetto a quello strettamente necessario per la

determinazione delle coordinate dei vertici. Essi devono rispettare relazioni

matematiche che esprimono la loro congruenza geometrica. Ciò permette di

verificare la presenza di eventuali errori, di accertare che questi siano di tipo

accidentale (e quindi accettabili) e di attenuarne l’influenza sulla precisione dei

risultati.

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 3 di 13

Sviluppiamo la trattazione nell’ipotesi di una poligonale chiusa generica ABCDE

costituita da 5 vertici. Le conclusioni a cui arriveremo possono essere

generalizzate ed estese ad una poligonale chiusa generica di n vertici.

Della poligonale chiusa siano stati misurati gli angoli:

e la lunghezza dei lati: AB, BC, CD, DE, EA .

Si conoscano inoltre le coordinate del vertice A: A ≡[EA ;NA] ,

e l’azimut del lato AB: AB .

Dalla geometria sappiamo che la somma degli angoli interni di un poligono di n

vertici è pari a:

nel nostro caso:

A causa degli inevitabili errori di misura avremo:

[’i] =[(n-2)*200g]

con ”errore di chiusura angolare”. Determinato :

=[(n-2)*200g]-[’i]

Si ha la necessità di stabilire se l’eventuale errore riscontrato sia accidentale, e

quindi accettabile, oppure grossolano.

A tal proposito si introduce la tolleranza angolare T che dipende dal tipo di

poligonale e dalla precisione richiesta nella determinazione delle coordinate. Per

poligonali di tipo catastale con sviluppo inferiore a 1 km la tolleranza angolare

suggerita è:

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 4 di 13

NOTA: [A scopo didattico adottiamo come coefficiente 0g,03=0,°027]

Naturalmente si dovrà verificare che: t .

Nel caso in cui l’errore di chiusura angolare superi la tolleranza siamo in presenza

di un errore grossolano e si dovranno ripetere le operazioni di rilievo della

poligonale.

Nel caso contrario invece l’errore risulta di tipo accidentale e può essere accettato.

Si procede quindi all’eliminazione dell’errore riscontrato distribuendolo in parti

uguali tra gli angoli misurati.

Si determina errore unitario:

=/n

cioè la quota di errore che compete a ciascun angolo misurato e si calcolano gli

angoli compensati:

’= +

’= +

γ’= γ +

’= +

’= +

Dopo aver eseguito l’operazione si potrà verificare che effettivamente:

Nel nostro caso (per n=5):

Una volta calcolati gli angoli corretti si procede al calcolo degli azimut con le

formule ricorrenti:

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 5 di 13

AB : noto

BC= AB+ ’ 200g

CD= BC+ γ’ 200g

DE= CD+ ’ 200g

EA= DE+ ’ 200g

[per controllo: AB= EA+ ’ 200g].

Con gli azimut così determinati e i lati misurati si possono calcolare le coordinate

parziali dei vari punti:

(EB)A=AB* sen AB (NB)A=AB* cos AB

(EC)B=BC* sen BC (NC)B=BC* cos BC

(ED)C=CD*sen CD (ND)C=CD* cos CD

(EE)D=DE* sen DE (NE)D=DE* cos DE

(EA)E=EA* sen EA (NA)E=EA* cos EA

Le coordinate parziali di un generico punto Q rispetto al punto P che lo precede

rappresentano le proiezioni del lato PQ (o vettore spostamento PQ) sugli assi

coordinati. Per tale motivo, in linea teorica, se le lunghezze dei lati fossero state

rilevate correttamente la somma delle ascisse parziali e la somma delle ordinate

parziali dovrebbero risultare entrambe nulle. Per effetto degli errori di misura le

somme non saranno nulle ma assumeranno un valore E e N:

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 6 di 13

E=(Ei-1 ) N=(Ni-1 )

che dal punto di vista geometrico rappresentano le componenti sugli assi

cartesiani del vettore L , detto errore di chiusura lineare il cui modulo vale:

L=( E2+N

2)

Lo schema di figura esprime graficamente il significato di E, N e L.

L’errore di chiusura lineare L rappresenta

l’errore di chiusura del poligono dovuto agli

errori commessi nella misura della lunghezza

dei lati.

Errore di chiusura lineare vale:

Se l’errore L è minore di una tolleranza lineare

TL che viene assegnata in funzione della

lunghezza totale della poligonale, cioè se si verifica la relazione:

TL (*)

l’errore è accettabile (di tipo accidentale) in caso contrario la poligonale dovrà

essere di nuovo rilevata sul terreno.

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 7 di 13

La tolleranza lineare usata per poligonali catastali di lunghezza L [L=Li] che non

superino i 1000-1500 m assume l’espressione:

TL =0,025*L

NOTA: [A scopo didattico adottiamo come coefficiente 0,03]

dove L=Li è la somma della lunghezza dei lati della poligonale o sviluppo della

poligonale stessa, Se la relazione (*) è verificata si procede alla compensazione

delle componenti sugli assi coordinati (coordinate parziali) delle distanze misurate.

Gli errori e vengono distribuiti tra le varie componenti in modo proporzionale

alla lunghezza delle componenti stesse. Si calcolano le somme delle lunghezze

delle proiezioni dei lati della poligonale lungo gli assi coordinati (in valore assoluto):

|(Ei-1 )| |(Ni-1 )|

e gli errori unitari intesi come errore per unità di proiezione dei lati lungo gli assi E e N:

Si possono determinare le coordinate parziali compensate con le seguenti relazioni:

(EB)’A=(EB)A- UE*|(EB)A| (NB)’A=(NB)A- UN*|(NB)A|

(EC)’B=(EC)B- UE*|(EC)B| (NC)’B=(NC)B- UN*|(NC)B|

(ED)’C=(ED)C- UE*|(ED)C| (ND)’C=(ND)C- UN*|(ND)C|

(EE)’D=(EE)D- UE*|(EE)D| (NE)’D=(NE)D- UN*|(NE)D|

(EA)’E=(EA)E- UE*|(EA)E | (NA)’E= (NA)E- UN*|(NA)E|

nelle quali le quantità UE*|(Ei+1)i| e UN*|(Ni+1)i| costituiscono le quote di errore

da togliere a ciascuna proiezione.

Si calcolano infine le coordinate totali di tutti i vertici con le formule:

EB = EA + (EB)’A NB = NA + (NB)’AEC = EB + (EC)’B NC = NB + (NC)’BED = EC + (ED)’C ND = NC + (ND)’C

EE = ED + (EE)’D NE = ND + (NE)’D

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 8 di 13

Per controllo: EA = EE + (EA)’E NA = NE + (NA)’EESEMPIO 02: POLIGONALE CHIUSA

La poligonale chiusa ABCDEA è stata rilevata in campagna con un teodolite

centesimale a graduazione destrorsa dotato di distanziometro. Nel rilievo si sono

raccolte le osservazioni riportate nel seguente registro:

Si conoscono inoltre le coordinate cartesiane del punto A e l’azimut del lato AB:EA = 63,155 mNA = 100,036 m

θAB = 115,451g

determinare le coordinate planimetriche della poligonale.

Calcolo degli angoli:

= EAB = 233g,212 - 121g,190 = 112g,022

= ABC = 258g,175g - 68g,706 = 189g,469

γ = BCD = 42g,024g - 350g,653 + 400g = 91g,371

= CDE = 157g,721g - 41g,079 = 116g,642

= DEA = 190g,758g - 100g,307 = 90g,451

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 9 di 13

i=599g,955errore di chiusura angolare:

=[(n-2)*200g]-[’i]

=600g-599g,955= 0g,045

tolleranza angolare:

T= 0g,025*5= 0g,067

T

errore unitario:

= /n = 0g,045/5 = 0g,009

’= + =112g,022+0g,009=112g,031

’= + = 189g,469+0g,009=189g,478

γ’= γ + = 91g,371+0g,009=91g,380

’= + = 116g,642+0g,009=116g,651

’= + = 90g,451+0g,009=90g,460

[Per controllo: i=600g]

Calcolo degli azimut:

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 10 di 13

[ per controllo: ]

Calcolo delle coordinate parziali non compensate:

La somma delle coordinate parziale e dovrebbero essere pari a zero, ma

contengono degli errori, che sono:

(sviluppo della poligonale)

Errore di chiusura lineare:

Tolleranza lineare (max errore che si può commettere):

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 11 di 13

Calcolo gli errori unitari:

Coordinate parziale compensate:

Calcolo le coordinate totali planimetriche dei vertici:

Per controllo: Per controllo:

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 12 di 13

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA IN SCALA 1:N

ELEMENTI DI TOPOGRAFIA

LabTopoMoreA Pagina 13 di 13

Di seguito è riportata la soluzione dello stesso esempio eseguita con l’ausilio di una tabella.