Momento delle forze e equilibrio di un corpo rigido

F1

F2

Equilibrio? NO

Il corpo può ruotare

!

r F 1

+r F 2

= 0

Perche un corpo esteso sia inequilibrio non basta imporre che lasomma delle forze che agiscono su diesso sia nulla

La tendenza di una forza acausare rotazione intorno adun punto dipende dallaintensita` della forza e dallasua distanza da tale punto

F0

d

L’altalena è in equilibrio se

!

F1d1

= F2d2

F1 F2

d1 d2

F1

F2

d1

d2

Momento di una forza

Data una forza F ed un punto O (fulcro) si definisceMomento della forza rispetto ad O il prodotto

!

" = ±F # d

Dove d è la distanza del punto O dalla retta diapplicazione della forza F

Convenzionalmente si usa il segno

+ se la forza induce una rotazione in senso antiorario

- se la forza induce una rotazione in senso orario

F1

F2

d1

d2

!

"1

= F1# d

1

"2

= $F2# d

2

Vi è equilibrio rispetto almovimento di rotazione se

!

"1+ "

2= 0

Condizioni per l’equilibrio statico di un corpo:

la somma di tutte le forze agenti deve essere ZERO: ∑Fi=0

la somma dei momenti di tutte le forze deve essere ZERO: ∑τi=0

EsempiCalcolare il momento rispetto alpolso, al gomito ed alla spalla di unpeso P=20N appoggiato sul palmodella mano, nel caso in cui ilbraccio sia teso e nel caso in cui ilbraccio sia inclinato di 30o.

!

" p = #20 $ 0.07 = #1.4N $m

" g = #20 $ (0.23+ 0.07) = #6N $m

" s = #20 $ (0.28 + 0.23+ 0.07) = #11.6N $m

!

" p = #20 $ (0.07sin30) = #0.7N $m

" g = #20 $ (0.30sin30) = #3N $m

" s = #20 $ (0.58sin30) = #5.8N $m

b)

a)b)

a)

Proprietà del baricentro

• Peso produce momento nullo rispetto al baricentro

•Il baricentro è il punto di equilibrio

•Il baricentro di un corpo rigido è un punto fisso rispetto al corpo anche se non èdetto che sia un punto del corpo stesso

•Per un corpo flessibile come quello umano la posizione del baricentro cambiaogni volta che il corpo cambia la sua forma

!

"A = m1gx

"B = #m2g(d # x)

"A + "B = 0

m1gx #m

2g(d # x) = 0

x = dm2

m1

+ m2

m1 m2

x

m2g

m1g

(m1+m2)g

A Bo

d

m1 m2oA B

Supporto incorrispondenza delbaricentro permette alcorpo di essere inequilibrio

Un oggetto è in equilibrio quando la verticale passante per il suobaricentro cade all’interno della base definita dei suoi sostegni sul pianodi appoggio

Equilibrio in presenza di sole forze gravitazionali e di contatto

Il blocco spostato leggermente dalla suaposizione di equilibrio tende a farviritorno: equilibrio stabile

Ogni posizione è diequilibrio:equilibrioindifferente

La matita spostataleggermente dallasua posizione diequilibrio cade:equilibrio instabile

Quadrupede visto dall’alto , il baricentro si trova sempre entro iltriangolo che ha per vertici gli zoccoli che appoggiano. Quando sisposta velocemente possiamo avere due o solo una zampa appoggiataper terra allo stesso istante si hanno brevi periodi di instabilitàcontrastata dal rapido movimento delle zampe.

L’avambraccio è sostenuto dal muscolobicipite ed è incernierato al gomito , possiamousare la schematizzazione in figura : w

T

Efulcro

R(E) = 0τ(E) = 0

Risultante delle forze (esterne) nulla. Momento risultante delle forze (esterne) nullo

grm

T

rVR

r

θ

2sin

0

0

ll mgT

mgTR

TR

YVY

XVX

=

=!+

=+

"

Esempi

grm

1N

r

2N

r

d1 d2

2211

21

dNdN

mgNN

=

=+

gr1m g

r2m

b1 b2

2211

2211

bmbm

gbmgbm

=

=P=800N

d1=d2=15cm

Fs e Fd?

Leve e guadagno meccanico

Guadagno Meccanico: FL/FaRapporto tra una carico FL e la forza applicata Fa…..

Leva: una sbarra rigida incernierata al fulcro

FL

Tre tipi in base alla posizione relativa di FL e Fa; per tutti i tipi di leve ,all’equilibrio e se le forze sono perpendicolari alla leva, il guadagnomeccanico GM=FL/Fa=xa/xL

I

FLFa

II

FL

FaFa

III

xL xa xL

xaxa

xL

GM >1 o <1 GM >1 GM <1

Negli animali i muscoli forniscono le forze che fanno funzionare le molteleve di cui è fatto il loro corpo.

Esempio: la colonna vertebrale

Un piegamento produce una forzamolto intensa sul disco lombosacraleche separa l’ultima vertebra dall’ossosacro

Il fulcro⇒ osso sacroForza T ⇒ Muscoli della schienaForza R ⇒ reazione del vincoloα≈12° ⇒ angolo tra T e la colonnaw ⇒ Peso del tronco (≈65%peso tot.)

Per un uomo di 75kg T e R ≈220kgp; se l’uomo solleva soli 15kg T e R diventano 325kgp!!

Piegando le ginocchia il baricentro del busto è praticamente in linea con l’osso sacro (ed anche il pesosollevato se viene tenuto vicino al busto) ed i muscoli non sono così sollecitati (R ≈48kgp )

G.M. piccolo

l0.7l

0.6l

w1

w

TR

Alcuni numeriIl peso del tronco del corpo (vedi figura) w=50kg.Determinare la forza T esercitata dai muscoli spinali e lecomponenti Rx eRy della forza R esercitata dal fulcro (ossosacro) se il peso sostenuto vale:a) zero;b) 18kg.

!

"w1# l " w # 0.6 # l + T # 0.7 # l # sin12 = 0

Rx + Tx = 0

Ry + Ty + w + w1

= 0

a) T=206.13kgp

Rx=-Tx=201.63kgp

Ty=42.86kgp

Ry=+50-Ty=7.14kgp

b) T=329.81kgp

Rx=-Tx=322.60kgp

Ty=68.57kgp

Ry=68-Ty=-0.57kgp

Un ciclista applica una forza F=200N diretta verso il basso al pedale della sua biclicletta. Determinare a) modulo, direzione e verso dei momenti in ognuna delle posizioni indicate in figurab) Indicare in quale posizione il momento è massimo

|M|=200*0.3=60Nm⊥Al piano del foglioVerso entrante

|M|=200*0.3sin 53=47.9Nm⊥Al piano del foglioVerso entrante

|M|=200*0.3sin 45=42.4Nm⊥Al piano del foglioVerso uscente

b) Mascella inferiore di un mammifero: T e M forze esercitate dai muscoli, B la forza di reazione dell’oggettomorso e R la forza esercitata dall’articolazione della mascella. R può essere molto piccola se non nulla

a) Mascella inferiore di un rettile primitivo: M è la forza esercitata dal muscolo, B la forza di reazione dell’oggettomorso e R la forza esercitata dall’articolazione della mascella