Le azioni interne

Significato e definizione delle azioni interne

• La schematizzazione delle strutture (siano essi componenti meccanici, civili o

dispositivi medici a funzione strutturale), oltre al calcolo delle reazioni vincolari,

richiede che si individui il modo in cui le forze esterne applicate si trasmettono al loro interno

• Come vedremo in seguito, questo aspetto è di particolare rilevanza, perché la conoscenza di tali “forze interne” è funzionale al calcolo delle sollecitazioni che

a loro volta, confrontate con le caratteristiche dei materiali che sono impiegati per la

realizzazione della struttura, forniscono la risposta che l’ingegnere si attende

ogniqualvolta progetta

La struttura resiste?

La struttura è in grado di assolvere i compiti per i quali è stata progettata?

• Le forze interne (che chiameremo azioni interne) possono essere messe in evidenza

“aprendo” (tagliando) la struttura in un punto qualsiasi.

• L’apertura equivale all’eliminazione di un vincolo completo (incastro) che

identifica la continuità dell’asta e si esplicita nel mettere in evidenza le forze (due nel

piano) e i momenti (uno nel piano) scambiati tra le due porzioni di struttura separate.

Significato e definizione delle azioni interne

A seguito di tali operazioni, devono comunque essere rispettate due regole:

1. Vale il principio di azione e reazione, ossia le azioni presenti su una parte della

struttura ottenuta dalla separazione sono uguali e contrarie alle azioni presenti sulla

restante parte;

2. Le due parti di struttura ottenute devono a loro volta essere in equilibrio sotto

l’effetto delle azioni esterne che le competono e considerando le azioni interne

scambiate.

P

P

VA VB

HB

A B

S

Significato e definizione delle azioni interne

Quindi, interrompendo la continuità di un’asta, della quale sono note le azioni e

le reazioni, per l’equilibrio, nella sezione che si realizza con il «taglio» è

necessario introdurre

N.B. La sezione S deve essere normale all’asse dell’asta

N N

T

T M

M

3 “azioni interne” chiamate N, T, M, uguali e contrarie sui due spezzoni di asta

N = Azione Normale T = Taglio M = Momento flettente

S

Calcolo delle azioni interne

Il calcolo delle azioni interne viene fatto in maniera semplice: è sufficiente scrivere le equazioni di equilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo.

• Nel caso in cui la struttura sia vincolata è necessario prima individuare il valore delle reazioni vincolari e successivamente calcolare il valore delle tre azioni

incognite N, T e M.

• La porzione di corpo analizzata può essere considerata un corpo soggetto ad un

sistema di forze nel quale tre sono incognite. Le equazioni cardinali della statica

forniscono le tre equazioni necessarie alla risoluzione del problema.

• Le azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati in

figura.

+ N N

+ T T + M M

AZIONE NORMALE Positiva se uscente

(di trazione)

TAGLIO Positivo se induce

una rotazione oraria della porzione

considerata (concio)

MOMENTO FLETTENTE Positivo se tende le fibre inferiori

del corpo

Calcolo delle azioni interne

Le azioni interne, come detto, sono di fatto forze e momenti e dunque si misurano:

AZIONE NORMALE in Newton [N]

TAGLIO in Newton [N]

MOMENTO FLETTENTE in Newton • metro [N m] o Newton • millimetro [N mm]

• Sono dipendenti dalla sezione nella quale si considerano (quindi dipendono dalla

coordinata x che si assume per il calcolo)

• Si possono determinare, ottenendo lo stesso risultato in termini di valore assoluto,

nello spezzone di struttura a destra o a sinistra del taglio

• Il calcolo delle azioni interne assume un significato importante se esteso a tutto il

corpo (o a tutta la struttura) perché fornisce informazioni fondamentali per il progetto

• L’entità e la tipologia delle azioni interne, nonché il loro andamento all'interno del corpo

influenzano la progettazione della forma e dei materiali con i quali il corpo deve essere

realizzato.

• L’andamento delle azioni interne viene rappresentato mediante dei diagrammi. I diagrammi vengono rappresentati lungo una linea che percorre il corpo nel suo

sviluppo tridimensionale (o nel piano)

Esempio 1

A

A

B

B

MA

HA

VA

P

l

lPM

PV

H

A

A

A

⋅=

=

= 0

Reazioni Vincolari

Mensola (trave incastrata ad una

estremità) caricata con forza concentrata

all’altro estremo

• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto

qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per

le forze agenti sulla porzione di struttura.

• Detta x la distanza tra il punto in cui si “apre" la struttura e il punto A, due

sistemi sono equivalenti

P

A B

VA

Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto

qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le

forze agenti sulla porzione di struttura.

P T

N

M

Scriviamo le equazioni cardinali della statica per entrambe le porzioni di struttura

0

0

0

=−+−

=

=−

MxVM

N

TV

AA

A

MA

( ) 0

0

0

=−+

=−

=−

xlPM

N

PT

x l-x

NB I due sistemi sono EQUIVALENTI

0

0

0

=−+−

=

=−

MPxPl

N

TP

Esempio 1

Sinistra Destra

A B

VA

P T

N

M

Quindi la soluzione è:

MA

xPlPM

PT

N

⋅+⋅−=

=

= 0

x l-x

Da cui si evince che:

• L’azione interna assiale è NULLA

• L’azione interna di taglio è COSTANTE

• L’azione interna di momento è VARIABILE LINEARMENTE

Esempio 1

Convenzionalmente i diagrammi delle azioni interne si riportano al di sotto

della struttura originaria (in genere si riporta prima T, poi M e infine N)

xPlPM

PT

N

⋅+⋅−=

=

= 0

A B

MA

HA

VA

P

Pl M

T

N

+

+

+

Esempio 1

Esempio 2

A B HA

VA

F

l

0

0

l

aFFVVFV

l

aFVaFlV

FVV

H

ABA

BB

BA

A

⋅−=⇒−=

⋅=⇒=⋅+⋅−

=+

=

Reazioni Vincolari

Trave semplicemente appoggiata

caricata con forza concentrata

posta a distanza “a” dalla cerniera

sinistra

• Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto

qualunque e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla

porzione di struttura considerata

A B

a

b

F

VB

Esempio 2

⋅=

⋅=

l

bFV

l

aFV

A

B

A B

VA

T

N

M

x l-x

F

VB

b

( )

⋅⋅

=⋅=

⋅==

=

xl

bFxVxM

l

bFVT

N

A

A

0

• Quando si arriva all’ascissa corrispondente alla posizione del carico

concentrato F si incontra una discontinuità nelle azioni interne che

riguarda sia l’azione di taglio sia il momento flettente

• Il calcolo delle azioni normali deve essere quindi fatto suddividendo l’asta in

campi corrispondenti alla posizione dei carichi (questo vale in generale)

• L’origine del sistema di riferimento può essere cambiata (partire da destra o

da sinistra). Resta inteso che, per una data posizione dell’asta, il valore

delle azioni interne deve essere lo stesso qualunque sia l’origine scelta

ax ≤≤0

Esempio 2

⋅=

⋅=

l

bFV

l

aFV

A

B

A B

VA

T

N

M

x

VB

⋅

⋅=⇒⋅=⇒=+⋅−

⋅−=⇒−=⇒=+

=

xl

aFxMxVMMxV

l

aFTVTVT

N

BB

BB

)(0

0

0

F

bx ≤≤0

M

N

T

Fisso l’origine del sistema di riferimento nel punto B

Esempio 2

M

T

N

+

+

+

A B HA

VA

F

VB

l

aFVT B

⋅−==

l

bFVT A

⋅==

al

bFaVM A ⋅

⋅=⋅=

Esempio 3

P

l

Trave appoggiata agli estremi caricata

con forza concentrata inclinata di 45° applicata in mezzeria

A B 45°

l/2

P A B 45°

VA VB

HA

2

245

2

245 cos

PsenPP

PPP

x

x

=°=

=°=A B

VA VB

HA

La forza applicata alla struttura può

essere scomposta secondo le direzioni

orizzontale e verticale

Py Px

Esempio 3

A B

VA VB

HA Py Px

4

2

4

2

2

2

PV

PV

PH

B

A

A

=

=

=

Reazioni Vincolari

Per il calcolo delle azioni interne si può aprire il corpo in due punti:

a sinistra e a destra del carico applicato. Supponiamo inizialmente di aprire a

sinistra

A B

VA

T

N

M

x l-x

HA Py Px

Esempio 3

A B

VA

T

N

M

x l-x

HA Py Px

Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:

0

0

0

=−⋅

=−

=−

MxV

HN

TV

A

A

A

xVM

HN

VT

A

A

A

⋅=

=

=

VB

Supponiamo ora di aprire in un punto a destra della forza applicata e

ripetiamo il calcolo. Ora l’origine degli assi si trova in corrispondenza

dell’estremo B

Esempio 3

A

VA

T N

M

l-x

HA

Facendo variare x tra 0 e l/2 nei due casi, possiamo tracciare i diagrammi delle

azioni interne

Py Px

B

x

VB

0

0

0

=⋅−

=

=+

xVM

N

TV

B

B

xVM

N

VT

B

B

⋅=

=

−=

0

Esempio 3

A B

VA VB

HA Py Px

xVM

HN

VT

A

A

A

⋅=

=

=

xVM

N

VT

B

B

⋅=

=

−=

0

Aprendo a sinistra del carico

Aprendo a destra del carico

M

T

N

+

+

+

IMPORTANTE

• Il punto in cui è applicata la forza verticale (orizzontale), rappresenta un punto di DISCONTINUITA’ per l’andamento del taglio (azione normale)

• Tratti contigui devono avere uguali valori del momento flettente (se non sono presenti coppie concentrate)

4

2⋅==

PVT A

4

2⋅=−=

PVT B

2

2⋅==

PHN A

24

2

2

lPlVM A ⋅

⋅=⋅=

Effetto del carico ripartito

Uno dei casi di maggior interesse si verifica quando si applicano sulla struttura

forze distribuite in direzione normale all’asse della struttura

Analizziamo il caso di una mensola incastrata e sottoposta ad un carico p(x) di andamento generico, ad una forza F concentrata e ad un momento W concentrato (queste ultime due applicate nell’estremo libero)

Per calcolare le azioni interne di una struttura di questo tipo si possono

seguire due strade

• Il metodo DIRETTO

• Il metodo DIFFERENZIALE

Metodo “diretto”

•Per calcolare le azioni interne ad una certa distanza “c” all’estremo libero si

deve idealmente tagliare la struttura e mettere in evidenza le componenti delle

azioni interne N, T ed M.

•In questo caso N è certamente nulla perché non sono presenti carichi assiali

•Restano da determinare i valori del Taglio e del Momento Flettente

Taglio: Tutto il tratto compreso tra l’estremo

libero e c (0 ≤ x ≤ c) deve stare in

equilibrio, quindi l’azione tagliante

deve equilibrare la risultante di tutte

le forze verticali applicate prima della

sezione. Si ha quindi:

( )∫∫ +=+=cc

dxxpFdfFT00

∫ ⇒=−+−c

dfTF0

0

Metodo “diretto”

Il momento flettente si ricava imponendo l’equilibrio dei momenti di tutte le forze che sono applicate prima della sezione di interesse intorno ad un qualsiasi punto. Scegliendo proprio il punto di sezione

come polo si ha:

( ) ( ) ( )∫∫ −⋅−⋅−=−⋅−⋅−=cc

dxxcxpcFWxcdfcFWM00

( ) 00

=−−⋅−⋅− ∫ MxcdfcFWc

Metodo “differenziale”

In questo caso si prende in esame un elementino della struttura di lunghezza dx come quello mostrato in figura.

Questo deve rimanere in equilibrio sotto l’azione delle forze esterne e delle

azioni interne che scambia con la rimanente parte della struttura

Se il sistema di riferimento è scelto in modo

tale che la coordinata x cresca procedendo da

sinistra verso destra, il momento flettente

varierà di una quantità dM, mentre il taglio di

una quantità dT

Per l’equilibrio alla traslazione verticale si avrà:

dividendo tutto per dx:

( ) 0=+−+⋅ dTTTdxp

pdx

dT

dx

dTp =⇒=− 0

Quindi la derivata del taglio è uguale all’intensità del carico distribuito

Metodo “differenziale”

L’altra equazione di equilibrio si scrive

imponendo che sia nulla la somma di tutti i

momenti applicati al tratto di struttura di

lunghezza dx. Assumendo come positive le

rotazioni orarie si ha:

( ) 02

=+−⋅⋅−⋅− dMMdx

dxpdxTM

Tenendo conto che il termine dx2 si può trascurare (infinitesimo di ordine

superiore) si ottiene:

Tdx

dM−=

Quindi la derivata del momento è pari (a meno del segno che dipende dalla

convenzioni adottate) all’azione tagliante T

Metodo “differenziale”

Dalle equazioni ottenute attraverso l’impiego del metodo differenziale

si possono trarre alcune interessanti considerazioni:

1. Quando su una struttura non è applicato un carico distribuito, allora il

taglio è costante, poiché la derivata deve essere nulla, mentre il momento varia linearmente perché la sua derivata è costante

2. Se, invece, è applicato un carico uniformemente distribuito, allora il

taglio ha andamento lineare e il momento flettente varia con legge parabolica

Tdx

dM−=p

dx

dT=

Esempio 4

l

Trave appoggiata agli estremi caricata

con carico uniformemente ripartito per

tutta la sua lunghezza

• Il carico uniformemente ripartito si esprime in

termini di forza per unità di lunghezza (N/m). • Moltiplicando il valore del carico ripartito per la

lunghezza sulla quale è distribuito si ottiene la forza totale applicata.

• Questa si può immaginare applicata nel baricentro.

• Attenzione: questa schematizzazione VALE SOLO PER IL CALCOLO DELLE REAZIONI VINCOLARI

A B q

A B

VA VB 2

2

0

lqV

lqV

H

B

A

A

⋅=

⋅=

=

Reazioni Vincolari

HA

Esempio 4

Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne

A B VA

T

N

M

x l-x

HA

Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:

02

0

0

=

⋅⋅−−⋅

=−

=⋅−−

xxqMxV

HN

xqTV

A

A

A

⋅⋅−⋅=

=

⋅−=

2

0

xxqxVM

N

xqVT

A

A

Esempio 4

A B

VA VB

HA

M

T

N

+

+

+

8

2

max

lqM

⋅=

2

lqT

⋅=

2

lqT

⋅−=

IMPORTANTE

• La sezione della trave dove si registra il momento flettente massimo è anche quella per la quale il taglio assume valore nullo

• Il taglio è la derivata del momento flettente

• Per trovare il punto di massimo del momento flettente, derivare la sua espressione ed eguagliarla a zero

Esempio 5

Trave incastrata ad una estremità

con carico uniformemente

distribuito su tutta la lunghezza e

carico concentrato orizzontale e

verticale applicati all’estremità libera

A

B

H = 500 N l = 1 m

q = 1500 N/m

V = 1000 N

A B

MA

HA

VA 500

1000

mNM

lVlq

M

NVlqV

NHH

A

A

A

A

⋅=⋅

−⋅=

⇒=⋅−⋅

+

=−⋅=−⋅=

==

2502

1150011000

02

500100011500

500

2

2

Reazioni Vincolari

Momenti calcolati rispetto al punto A

Esempio 5

Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne

A B VA T

N

M

x l-x

HA

Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:

02

0

0

=−

⋅⋅−−⋅

=−

=⋅−−

AA

A

A

Mx

xqMxV

HN

xqTV

AA

A

A

Mx

xqxVM

HN

xxqVT

−

⋅⋅−=

==

⋅−=⋅−=

2

500

1500500

MA

H

V

Esempio 5

Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne

A B VA T

N

M

x l-x

HA

MA

H

V

CONSIDERAZIONI:

L’azione normale è COSTANTE NEGATIVA (compressione)

Il taglio VARIA LINEARMENTE con la distanza. Il punto di intersezione (zero) si trova

mediante l’equazione

mx

x

xxqVT A

33.01500

500

1500500

01500500

==

⋅=

=⋅−=⋅−=

10001

033.0

5000

−==

==

==

Tx

Tx

Tx

Esempio 5

Apriamo la struttura in una posizione generica per calcolare le azioni interne

A B VA T

N

M

x l-x

HA

MA

H

V

Per quanto riguarda il momento flettente occorre considerare che ogni

porzione di carico ripartito fornisce un contributo al momento che ha un

espressione del tipo:

) (2

) ( bracciox

forzaxq ⋅⋅

quindi globalmente si ha a che fare con una variazione di tipo quadratico

Ad esempio, imponendo l’equilibrio sulla porzione destra della trave (punto Z)

si ha:

02

=−⋅⋅−⋅− Mx

xqxVM AA2

xxqxVMM AA ⋅⋅−⋅−=

Esempio 5

A

B

H = 500 N

q = 1500 N/m

V = 1000 N

M

T

N

+

+

+

A VA=500

HA=500

MA=250

mxxxqVA 33.01500

500 01500500 0 ===⋅−⇒=⋅⋅−

mNqVMMMax AA ⋅=⋅⋅−⋅+⇒ 33.3332

33.033.033.0

0.33 m

250 N

333.33 N

500 N

1000 N

Esempio 6

L

Trave appoggiata agli estremi caricata

con una coppia concentrata in una

sezione distante “a” dall’estremo sinistro

A B

a

A B

VA VB

=⇒=+⋅−

=+

=

L

CVCLV

VV

H

BB

BA

A

0

0

0

Reazioni Vincolari

HA

• Come si poteva immaginare, le reazioni sono uguali e contrarie (il segno ipotizzato

della reazione VA deve essere invertito) perché la coppia concentrata deve essere

equilibrata da un’altra coppia uguale e contraria

• La posizione della coppia applicata è influente?

b

Esempio 6

A B

VA VB T

N

M

Imponendo l’equilibrio alla porzione di struttura a sinistra si ottiene:

⋅=⇒=+⋅−

=

=⇒=+−

xL

CMMxV

N

L

CTTV

A

A

0

0

0 Il taglio è COSTANTE

L’azione normale è NULLA

Il momento flettente VARIA LINEARMENTE

Anche in questo caso è conveniente effettuare il calcolo dall’estremo sinistro

fino alla discontinuità (rappresentata dalla coppia concentrata) e dalla coppia

concentrata al carrello destro.

Esempio 6

M

T

N

+

+

+

A B

VA VB

HA

L

CT =

aL

CM ⋅=

bL

CM ⋅=

Esempio 7

L

Trave “a sbalzo” semplicemente

appoggiata caricata all’estremo sinistro

con una forza concentrata F

A

a

A

VA VB

⋅=⇒=⋅+⋅−

=−+−

=

a

LFVLFaV

FVV

H

BB

BA

A

0

0

0

Reazioni Vincolari

HA

b

C B

C B

F

F

−⋅=⇒−

⋅=⇒−= 1

a

LFVF

a

LFVFVV AABA

Esempio 7

A

VA VB

C B

F Per calcolare le azioni interne dividiamo il

campo della lunghezza della struttura in due

parti, in corrispondenza della reazione VB

La presenza delle forze concentrate

suggerisce l’esistenza di discontinuità nei

diagrammi delle azioni interne

A

VA

T N

M

⋅=⇒=−⋅

−⋅==⇒=−

=

aVMMaV

a

LFVTTV

N

AA

AA

0

1 0

0

F

T

N

M

⋅−=⇒=+⋅

−=⇒=+

=

bFMMbF

FTFT

N

0

0

0

Esempio 7

M

T

N

+

+

+

AVT −=

bFM ⋅=

A

VA VB

C B

F

FT =

Esempio 7.25 Bernasconi

P

A

a b

HA

VA VB

P

Esempio 7.11 Bernasconi

P A

B

2P 2P

l l l l

4l

P A B

2P 2P

HA

VA

HB=Rcos45°

VB=Rsin45°

Esempio 8

L

A

B

F

L

L/2

q

A

B

F L/2

q

VA

VB

HB

⋅

⋅⋅+⋅=⇒=⋅−⋅⋅−⋅

=−+

⋅=⇒=⋅−

L

LLq

LFV

LF

LLqLV

FVV

LqHLqH

AA

BA

BB

1

22 0

22

0

0

Reazioni Vincolari

Esempio 8

A

B

F L/2

VA

VB

HB

⋅−=⇒

⋅−−=⇒−=

⋅+=

⋅=⇒=⋅−

22

22

22

0

LqFV

LqFFVVFV

LqFV

LqHLqH

BBAB

A

BB

Esempio 8

A

B

F L/2

VA

VB

HB

N

T M

⋅−=⇒=⋅⋅−−

⋅=⇒=−⋅

⋅+=⇒=−

2 0

2

0

22 0

2xqM

xxqM

xqTTxq

LqFNNVA

Analizziamo l’andamento del taglio e del

momento flettente nella porzione di asta

VERTICALE

Esempio 8

A

B

F L/2

VA

VB

HB

N

T M

A

Lq ⋅

VA

A

VA

22

LqF ⋅+

• L’azione normale è di COMPRESSIONE

• Il Taglio varia LINEARMENTE (negativo

secondo le convenzioni)

Esempio 8

A

B

F L/2

VA

VB

HB

⋅=⇒=+⋅−

⋅−=⇒=−

⋅=⇒=−

0

22 0

0

xVMMxV

LqFTTV

LqNNH

BAAB

B

B

T

N

M

Analizziamo l’andamento del taglio e del

momento flettente nella porzione di asta

ORIZZONTALE

Esempio 8

A

B

F L/2

VA

VB

HB

T

N

M

VB

HB

Lq ⋅

VB

HB

22

FLq−

⋅

22

LqF ⋅+

Esempio 8

A

B

F

VA

VB

HB

−⋅−⋅=⇒=

−⋅++⋅−

⋅−−=⇒−

⋅−=⇒=−−

⋅=⇒=−

2

02

22

22 0

0

LxFxVM

LxFMxV

LqFTF

LqFTFTV

LqNNH

BAAB

B

B

T

N

M

ATTENZIONE:

Versi e andamenti dei diagrammi delle azioni interne sono dipendenti dai valori

di F e q. A seconda delle proporzioni che essi assumono l’uno rispetto all’altro

si possono presentare situazioni differenti

Esempio 8

A

VA

VB

HB

Lq ⋅

22

LqF ⋅+

RIEPILOGO: AZIONE NORMALE (compressione)

Esempio 8

A

VA

VB

HB

Lq ⋅

RIEPILOGO: TAGLIO

22

FLq−

⋅

22

LqF ⋅+

Esempio 8

A

VA

VB

HB

2

2Lq ⋅

MOMENTO FLETTENTE

2222

LLqFLVB ⋅

⋅−=⋅

Momento flettente dovuto al

solo carico ripartito.

Tende le fibre superiori

F

Altri tipi di carico distribuito

lx

lpP

P ⋅=

⋅=

3

2

2

10

lx

lpP

P ⋅=

⋅=

4

3

3

10

Carico Triangolare: varia con legge l

xpxp ⋅= 0)(

Carico Parabolico: varia con legge 2

2

0)(l

xpxp ⋅=