Modulo. Impianti industriali - diem.ing.unibo.it · Osborne Reynolds, professore...

Modulo. Impianti industriali

L’equazione di Darcy-Weisbach

Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Prof. Ing. Marco Pellegrini

Ing. Francesco Cento

Ing. Alessandro Guzzini

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

Viale Risorgimento 2, 40136, Bologna – Italy

Corso di Impianti Meccanici – Laurea

1


Agenda

Equazioni per il calcolo delle perdite di carico: la storia

della loro formulazione dal 1770 ai giorni nostri

Riepilogo


L’equazione conosciuta come equazione di Darcy-Weisbach (D-W) prende il nome da

due grandi scienziati del passato ossia Henry Darcy (Digione, 1803 – Parigi, 1858) e

Julius Weisbach (Mildenau, 1806 – Erzgebirge 1871).

L’equazione è utilizzata per il calcolo delle perdite di carico all’interno di una tubazione e

rappresenta uno dei pilastri della fluidodinamica attuale.

3

hl

D V

L

Δp = perdita di carico, [Pa]

λ = coefficiente d’attrito, [#]

L = lunghezza del tratto, [m]

D = diametro, [m]

v= velocità del fluido, [m/s]

ρ = densità del fluido, [kg/m^3]

Sebbene l’equazione riporti il nome soltanto di due scienziati, il contributo di molti ne ha

permesso la formulazione. È dunque doveroso ripercorrere la lunga storia che ne ha

accompagnato la formulazione e che ha visto numerose modifiche fino all’attuale

formulazione immutata da oltre 70 anni.

∆𝑝 = 𝜆𝐿

𝐷𝜌v2

2


Henry Darcy nacque a Digione in Francia nel 1803. Nel 1821 si

iscrisse all’Ecole Polytechnique trasferendosi due anni dopo alla

scuola ponti e strade, entrando dunque nell’omonimo corpo statale.

Come membro del Corpo seguì la realizzazione del sistema di

distribuzione dell'acqua pressurizzata a Digione in seguito al

fallimento dei tentativi di fornire acqua fresca adeguata mediante

perforazione dei pozzi. Nel 1848 divenne capo ingegnere del

dipartimento della Côte-d'Or e fino alla sua morte (che avvenne nel

1858 a Parigi a causa di una polmonite) proseguì i propri studi

sull’idraulica.

Julius Weisbach nacque a Mildenau nel 1806. Dal 1822 al 1826

studiò all’Accademia di Freiberg e successivamente, studiò con Carl

Friedrich Gauss a Göttingen e con Friedrich Mohs a Vienna.

Dopo essere stato promosso nel 1836 professore di matematica

applicata, meccanica, teoria delle macchine da montagna, si

interessò di idraulica dopo la visita all’Esposizione Universale di

Parigi del 1839.

Nella sua carriera pubblicò 14 libri e 59 articoli su vari argomenti fra

cui meccanica, idraulica e matematica.

4


Attualmente, l’equazione di D-W combinata con il diagramma riportato è il metodo

universalmente accettato per il calcolo delle perdite di carico all’interno di condotte o altri

circuiti chiusi.

Il coefficiente d’attrito λ dipende dalla velocità del fluido all’interno della condotta (v),

dalla viscosità del fluido (ν), dal diametro interno della stessa (Di), dalla rugosità (ε). Può

dunque essere ricavato conoscendo le caratteristiche del fluido e della condotta.

5

λ

𝑹𝒆 =𝐯𝑫𝒊

𝒗

𝜀/𝐷𝑖

λ = f (v, Di, ν, ε)


Agenda



Riepilogo

Equazioni per il calcolo delle perdite di carico: la storia della loro

formulazione dal 1770 ai giorni nostri

Il contributo di Antoine Chézy (Châlons-en-Champagne, 1718 – Parigi, 1798)

La prima formulazione dell’equazione per il calcolo delle perdite può essere fatta risalire

ad Antoine Chézy (1718-1798) che nel 1770 propose la seguente correlazione per il

calcolo:

7g

C

8

1

∆𝑝 =4

𝐶2

𝐿

𝐷𝜌𝑔v2

Δp = perdite di carico, [Pa]

C = coefficiente di scabrezza, [#]

L = lunghezza condotta, [m]

D = diametro condotta, [m]

v = velocità del fluido, [m/s]

P = perimetro bagnato, [m]

A = sezione di passaggio, [m^2]

S = pendenza della condotta, [%/m]

R = raggio idraulico (=A/P), [m]

g = accelerazione di gravità, [m/s];


Confrontando la formulazione di Chézy con la precedente si ritrova che il coefficiente

di attrito f e il coefficiente di scabrezza sono legati secondo la seguente relazione:

v2𝑃 ∝ 𝐴𝑆

v ∝ 𝐶 𝑅𝑆

Moto uniforme in

condotti aperti:



Il contributo di Gaspard de Prony (Chamelet, 1755 – Parigi, 1839)

Gaspard de Prony fu un ingegnere e matematico francese che propose una nuova

formulazione per il calcolo delle perdite di carico:

8

∆𝑝 =𝐿

𝐷𝜌𝑔(𝛼v + 𝛽v2)


g = accelerazione di gravità, [m/s];


v = velocità del fluido, [m/s]

L = lunghezza della condotta, [m]

D = diametro di passaggio, [m^2]

α = coefficiente empirico, [s]

β = coefficiente empirico, [s^2/m]

Sebbene fra chi applicava l’equazione non ci fosse un accordo sull’esatto valore che

avrebbero dovuto assumere i coefficienti empirici presenti (α e β), si riteneva, ad ogni

modo, che questi non dipendessero dalla rugosità della condotta.

L’equazione proposta da Garspard de Prony fu per moltissimi anni in competizione con

l’equazione proposta come vedremo da Weisbach e la sua applicazione era preferita in

territorio francese.



Il contributo di Hagen (Konigsberg, 1797 – Berlin, 1884) e di Poiseuille (Parigi, 1799 – Parigi,

1869)

Hagen e Poiseuille riformularono indipendentemente rispettivamente nel 1839 e nel

1841 l’equazione valida per un fluido Newtoniano in regime laminare all’interno di tubi

di sezione ridotta:

9

∆𝑝 = 64𝜈𝐿

𝐷2𝜌v

2

Poiseuille Hagen



ν= viscosità cinematica, [m^2/s]


D = diametro, [m]




Il contributo di Julius Weisbach (Mildenau, 1806 – Erzgebirge, 1871)Il coefficiente d’attrito venne successivamente ridefinito mediante le equazioni di Julius Weisbach,

pubblicate per la prima volta nel 1845, in cui viene introdotta la dipendenza del coefficiente d’attrito.

In particolare nella correlazione riportata, il coefficiente è proporzionale al reciproco della velocità

sotto radice. Al tendere dunque all’infinito della velocità, il fattore di attrito tende al valore asintotico

α. I coefficienti α e β sono coefficienti che dipendono dal diametro e dal materiale della condotta.

Occorre sottolineare che Weisbach a supporto della propria formulazione propose un numero molto

limitato di conferme sperimentali (in totale 62 di cui 11 effettuate da lui stesso mentre le altre

derivavano da studi di altri scienziati).

10

∆𝑝 = 𝜆′𝐿

𝐷𝜌v2

2


λ’ = fattore di attrito, [#]


D = diametro, [m]



α = coefficiente [#]

β = coefficiente [(s/m)^0.5]

𝜆′ = α +𝛽

v



Il contributo di Henry Darcy (Digione, 1803 – Parigi, 1858)

Henry Darcy, noto ingegnere francese, notò un buon accordo fra i suoi

dati sperimentali e la formulazione di Poiseuille:

«è stato un risultato piuttosto notevole che, Mr. Poiseuille ed io,

attraverso esperimenti fatti in circostanze completamente diverse

siamo arrivati a questa espressione»

Nel 1857 Darcy sviluppò l’equazione di Prony, definendo due nuove

formulazioni per fluidi ad alta velocità:

Per tubazioni nuove in ghisa

∆𝑝 =𝐿

𝐷𝜌𝑔 𝛼 +

𝛽

𝐷v + 𝛼′ +

𝛽′

𝐷v2

Per altre condizioni

∆𝑝 =𝐿

𝐷𝜌𝑔 𝛼′′ +

𝛽′′

𝐷v2 𝜆 = 2 𝛼′′ +

𝛽′′

𝐷𝑔

11

Rispetto alla formulazione di Prony, Darcy intuì l’importanza nel calcolo delle perdite di carico

dell’attrito del fluido sulla condotta e la sua dipendenza da diametro e rugosità


λ= fattore di attrito, [#]


D = diametro, [m]



α, α’ = coefficienti [#]

β, β’ = coefficienti [m^(-1)]

g = accelerazione di gravità, [m/s^2]



Il contributo di John Fanning (Norwich, 1837 – Minneapolis, 1911)

Combinando i risultati di Weisbach e Darcy, John Thomas Fanning tabulò per la prima volta

nel 1877 il coefficiente di attrito relativo al moto dell’acqua nelle tubazioni (definito come m),

in diverse condizioni operative (materiale della condotta, diametro della condotta e velocità

del fluido).

12

∆𝑝 = 𝑚𝐿

𝑅𝜌v2

2

Dal confronto con l’equazione

di D-W risulta:

𝑚 =𝑓

4Δp = perdite di carico, [Pa]

m = coefficiente di attrito, [#]


R = raggio idraulico, [m]





Il contributo di Osborne Reynolds (Belfast, 1842 – Watchet, 1912)

Osborne Reynolds, professore dell’Owen College, definì nel 1883 il coefficiente

omonimo (Re), proporzionale al rapporto tra le forze d’inerzia e le forze viscose.

Mediante il coefficiente di Reynolds è quindi possibile definire il regime di moto del fluido

in funzione della velocità e della viscosità.

13

Re = coefficient di Reynolds, [#]


Di = diametro interno, [m]

ν = viscosità dinamica del fluido, [m^2/s]

𝑹𝒆 =𝐯𝑫𝒊

𝒗

Nel caso di moto laminare si ha:

Re

64f

Moto laminare: Re< 2,000

Regione di transizione: 2,000 > Re > 4,000

Moto turbolento: Re > 4,000



Il contributo di Osborne Reynolds (Belfast, 1842 – Watchet, 1912)

Come si osserva dalla precedente, nel moto laminare è presente una dipendenza

lineare fra f e Re.

14

f e/D

Re



Il contributo di Ludwig Prandtl (Frisinga, 1875 – Gottinga, 1953)

Ludwig Prandtl, pioniere dell’aerodinamica e creatore della teoria dello strato limite nel

1904, fu professore della scuola tecnica di Hannover e mentore di von Kármán, Blasius,

Nikuradse ed altri.

Pandtl definì per primo il fenomeno del distacco dello strato limite applicato ai fluidi in

moto in sezioni tubolari.

15



Il contributo di Paul Richard Heinrich Blasius (Berlino, 1883 – Amburgo, 1970)

Blasius fu il primo a proporre un legame fra il fattore d’attrito f e il numero di Reynolds.

Nel 19313 propose, infatti, una correlazione valida per applicazioni con tubi lisci e con

Re compreso fra 4.000 e 80.000:

𝑓 =0.3164

𝑅𝑒14

16

Nell’intero range di moto turbolento, infatti, si osserva dai dati

ricavati dalle prove sperimentali di Nikuradse che la seguente

espressione, conosciuta come equazione di Prandtl e von

Karman, fornisce risultati più accurati rispetto all’equazione di

Blasius e dunque non è limitata al regime descritto da Re

compreso fra 4.000 e 80.000:

1

𝑓= 2 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,08

17



Il contributo di Paul Richard Heinrich Blasius (1883-1970)

Dove vale l’equazione di Blasius?

f e/D

ReSolo tubi lisci!



Il contributo di Theodor Kármán Tódór (von Kármán) (Budapest, 1881 – Aquisgrana, 1963)

Von Karman, ingegnere e fisico ungherese naturalizzato statunitense, nel 1930 definì il

coefficiente d’attrito per tubazioni ruvide nel caso di moto ad elevato Re. Infatti nelle

prove sperimentali ad elevati Re si osservava che nei tubi scabri il fattore di attrito f

risultava dipendere solamente dal rapporto fra rugosità e diametro interno. Quindi veniva

meno la dipendenza da Re.

18

f = fattore di attrito, [#]

ε = scabrezza, [m^(-1)]

D = diametro interno, [m]

Similmente a quanto proposto da Blasius per i tubi lisci, von

Karman propose una correlazione valida per tubi scabri e

confermata dai dati raccolti da Nicuradse:

1

𝑓= 1,14 − 2 𝑙𝑜𝑔

𝜀

𝐷

Il contributo di Theodor von Kármán (1881-1963)

Dove vale l’equazione di von Karman

19

f e/D

Re





Il contributo di Johann Nikuradse (Samtredia, 1894 - 1979)

Nikuradse, ingegnere e fisico georgiano naturalizzato tedesco, nel 1933 analizzò la regione di

transizione fra laminare e turbolento mediante analisi sperimentali. Per effettuare le prove,

Nicuradse simulò varie scabrezze realizzando sulla superficie interna un coating uniforme di

sabbia.

Nicuradse propose la seguente correlazione per il coefficiente di attrito:

1

𝑓= 2 𝑙𝑜𝑔

3,71𝐷

𝜀

20



Il contributo di Cyril F. Colebrook (Swansea, 1910 – Worthing, 1997)

Colebrook e White pubblicarono negli anni 30’ molti articoli relative all’attrito esercitato

dalle tubazioni. Rispetto alle valutazioni di Nicuradse, osservarono che nel caso in cui la

tubazione non presentasse una scabrezza uniforme, la zona di transizione risultava

differente rispetto a quella proposta da Nikuradse.

Nel 1939 quindi Colebrook propose la seguente formulazione relativa all’attrito in

tubazioni commerciali nel regime transitorio:

21

1

𝑓= 1,14 − 2 𝑙𝑜𝑔

𝜀

𝐷+

9,35

𝑅𝑒 𝑓

f = fattore di attrito, [#]

ε = scabrezza, [m^(-1)]

D = diametro interno, [m]

Re = numero di Reynolds, [#]

22

f e/D

Re



Il contributo di Cyril F. Colebrook (1910-1997)

Coefficiente d’attrito f per il moto in regime transitorio all’interno di tubi commerciali



Il contributo di Hunter Rouse (Toledo, 1906 – Sun City, 1996)

Fino al 1942 dunque esistevano numerose formulazioni per il calcolo delle perdite di carico,

mancava tuttavia un contributo di sintesi.

23

Hunter Rouse, professore di meccanica dei fluidi e direttore del Iowa

Institute of Hydraulic Research disse:

«Queste equazioni sono ovviamente troppo complesse per essere di uso

pratico. D'altra parte, … , tali informazioni potrebbero essere estremamente

importanti se disponibili in diagrammi e tabelle»

Nel 1942 sintetizzò i dati in un diagramma per il calcolo del fattore d’attrito

che presentava negli assi primari 1/√𝑓 e Re√𝑓 mentre negli assi

secondari f e Re.

𝑅𝑒 𝑓 =v𝐷

𝑣

𝐷 −𝑑𝑝𝑑𝑠

𝜌v2/2=D32

ʋ

−2𝑑𝑝𝑑𝑠𝜌

=8𝑅

32

𝑣2𝑔𝑆

Rouse identificò anche il confine fra la zona di moto turbolento e la zona di transizione:

1

𝑓=

𝜀

𝐷

𝑅𝑒

200

24



Il contributo di Hunter Rouse (1906-1996)



Il contributo di Lewis Moody (Philadelphia, 1880 – Princeton, 1953)

Lewis Moody, professore di idraulica all’Università di Princeton, riportò in una

«convenient form» il coefficiente di attrito in funzione del numero di Reynolds (Re) e del

rapporto ε/D.

25

È corretto definire il diagramma come diagramma di Moody?

Il diagramma con f e Re è universalmente accreditato a Moody, mentre i

contributi di tutti le altre persone sono raramente ricordati.

Questo fu un punto dolente per Hunter Rouse, il quale, anche se nutriva un

sincere rispetto per Moody, nel 1976 scrisse in terza persona:

26

“Dopo la conferenza, Lewis Moody di Princeton suggerì di usare

le ultime variabili (f e Re) come primarie piuttosto che

complementari, come in passato, ma Rouse resistette alla

tentazione perché sentiva che fare sarebbe un passo indietro.

Così Moody stesso ha pubblicato una diagramma del genere, ed

è conosciuto in tutto il mondo come il diagramma Moody!"




Agenda



Riepilogo

Le equazioni di Darcy-Weisbach sono dunque caratterizzate da una lunga storia sia in

termini di nomenclatura che di termini utilizzati.

In particolare si sono avute le seguenti formulazioni:

28

Riepilogo

Autore/i NomeEquazioni per il calcolo

della perdita di carico

Chézy

(1718 – 1798)Equazione di Chézy ∆𝑝 =

4

𝐶2

𝐿

𝐷𝜌𝑔v2

Gaspard de Prony

(1755 – 1839)Equazione di Prony

∆𝑝 =𝐿

𝐷𝜌𝑔(𝛼v + 𝛽v2)

Poiseuille (1797 – 1884) &

Hagen (1799 – 1869) Equazione di Poiseuille&Hagen ∆𝑝 = 64𝜈𝐿

𝐷2𝜌v

2

Weisbach (1806 – 1871) Equazione di Weisbach ∆𝑝 = 𝜆′𝐿

𝐷𝜌v2

2

Darcy (1803 – 1858) Equazione di Darcy ∆𝑝 =𝐿

𝐷𝜌𝑔 𝛼′′ +

𝛽′′

𝐷v2

Fanning (1837 – 1911) Equazione di Fanning ∆𝑝 = 𝑚𝐿

𝑅𝜌v2

2Rouse (1906 – 1996)

(adottata dall’ASCE nel 1962)Equazione di Darcy-Weisbach ∆𝑝 = 𝜆

𝐿

𝐷𝜌v2

2

Fattore di attrito f in una tubazione:

29

Riepilogo

Regime di moto Correlazioni Autore

Regime laminare 𝑓 =64

𝑅𝑒Non noto

Regime di transizione

Τ1 𝑓 = 2 𝑙𝑜𝑔 3.71 Τ𝜀 𝐷 Nicuradse

1

𝑓= 1,14 − 2 𝑙𝑜𝑔

𝜀

𝐷+

9,35

𝑅𝑒 𝑓Colebrook

Regime turbolento,

tubazioni lisce

𝑓 = Τ0.3164 𝑅𝑒1

4 , 𝑅𝑒 ∈ [4; 80] × 103 Blasis

Τ1 𝑓 = 2 log 𝑅𝑒 𝑓 − 0,08Verificata dai dati di

Nicuradse

Regime turbolento,

tubazioni scabreΤ1 𝑓 = 1,14 − 2 𝑙𝑜𝑔 Τ𝜀 𝐷 Von Karman

Commenti finali

Non è cambiato molto nelle applicazioni D-W dalla pubblicazione di Moody del 1944. In

particolare:

La regione di transizione fra flusso laminare e turbolento rimane ancora indefinita;

La rugosità dei tubi è ancora oggi difficile da stimare

Dunque, il diagramma del coefficiente d’attrito non è stato modificato o sostituito negli

ultimi 74 anni; dunque, avendo ripercorso i contributi dalla fine del 1700, ciò appare una

cosa sorprendente.

Infatti già alla metà del ‘700, in una lettera indirizzata a Henri Bazin, Darcy citò

Francesco I di Francia (1494 – 1547) che scrisse:

"Often women vary: he is quite mad who has faith in them"

Che Darcy cambiò in:

"is no less true for hydraulic coefficients than for women"

30

Riepilogo

Modulo. Impianti industriali


Prof. Ing. Cesare Saccani

Prof. Ing. Augusto Bianchini

Prof. Ing. Marco Pellegrini

Ing. Francesco Cento

Ing. Alessandro Guzzini

Department of Industrial Engineering (DIN) - University of Bologna

Viale Risorgimento 2, 40136, Bologna – Italy

Corso di Impianti Meccanici – Laurea

31

Modulo. Impianti industriali - diem.ing.unibo.it · Osborne Reynolds, professore...

Documents

Transcript of Modulo. Impianti industriali - diem.ing.unibo.it · Osborne Reynolds, professore...