Modulazione QAM: idea base

I bit di sono rappresentatiAlternativamente da e da

)(tx)(txi

)(txq

Si riesce a trasmettere la stessainformazione con un tempo dibit effettivo doppio

Il flusso di dati proveniente dalla sorgente viene diviso in due rami ciascuno avente una bit rate

L’informazione viene poi modulata nelle componenti in fase e in quadratura e quindi trasmessa sul canale.

Modulazione QAM: schema di principio

2brr

Formalizziamo i concetti visti nei lucidi precedenti:

Pertanto:

Modulazione QAM

)()()cos()()( tsentxttxAtx cqcicc

Informazione nella QAM

k

kq

kki

kTtpatx

kTtpatx

)()(

)()(

12

2

bTrT 2

1

Si può rappresentare quanto fatto nella costellazione dei segnali. Si ottiene:

A ciascun segnale (a ciascuna fase) è associata una coppia di bit (un dibit).

I segnali sono codificati con un codice di Gray (due dibit vicini si differenziano per un solo bit).

Modulazione QAM: costellazione dei segnali

IPOTESI equiprobabili e scorrelati;

Forme d’onda rettangolari polari NRZ di ampiezza 1.

e hanno uno spettro identico che si può determinare dallo spettro della PAM. Si può facilmente verificare che:

Pertanto lo spettro equivalente passa basso sarà dato da :

Modulazione QAM: calcolo dello spettro

ka

)(txi )(txq

1)1(2

11

2

1 22 qiqi xxxx mm

r

f

rfPrfGfGfG qilp

22sinc

2)(2)()()(

Quindi lo spettro passa banda della QAM è dato da:

Modulazione QAM: calcolo dello spettro

r

ff

r

ff

r

AffGffG

AfG ccc

clpclpc

c

)(sinc

)(sinc

2)()(

4)( 22

22

Come nel caso della ASK la banda è infinita. Tuttavia, siccome anche in questo caso si ha un rolloff del secondo ordine, la banda può essere approssimata a:

L’occupazione di banda di una QAM è uguale a quella della ASK.

Modulazione QAM: occupazione di banda

rBT

Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:

L’efficienza spettrale raddoppia in quanto in pratica si hanno 2 sorgenti (una associata alla componente in fase, l’altra alla componente in quadratura) che trasmettono nella stessa banda di una ASK.

OSSERVAZIONE: nello spettro non ci sono impulsi miglior uso della potenza di trasmissione rispetto alla ASK.

Modulazione QAM: efficienza spettrale

Hzbpsrr

B

rrrB

b

b

T

bbT /2

22

Modulazione digitale di fase (PSK)

L’informazione del segnale digitale è contenuta nella fase della portante.

Caso particolare: M = 2, variazione di fase = radianti Phase Reversal Keying (PRK).

Modulazione PSK

Consideriamo il caso di una PSK M-aria:

Dove:

k

kccc kTtptAtx )()cos()(

1,....,1,0)2(

MaM

Nak

kk

{0, 1}

Numero di livelliDella PSK M-aria

Esempi di costellazioni dei segnali (M=2)

Modulazione PSK: costellazione dei segnali

PRK Phase Reversal Keying (è un caso particolare della PSK binariain cui la fase può avereshift di radianti)

Esempi di costellazioni di segnali (M=4)

Modulazione PSK: costellazione dei segnali

Valutiamo lo spettro di densità di potenza della PSK (per semplicità si consideri = 0):

In questo caso si ha:

Vediamo come è fatto lo spettro di entrambe le componenti.

Modulazione PSK: calcolo dello spettro

k

ckckcc kTtptsensentAtx )()cos(cos)(

k kkkq

k kkki

kTtpQkTtpsentx

kTtpIkTtptx

)()()(

)()(cos)(

Scegliendo le fasi in accordo a quanto riportato a pag 10, si ha:

Pertanto:

Modulazione PSK: calcolo dello spettro

2

1cos

0cos

22

kI

kk

E

EI

k

2

1

0

22

kQ

kk

senE

senEQ

k

r

f

rfGfGfG

r

f

rfP

rfGfG

qilp

qi

2

22

sinc1

)()()(

sinc2

1)(

2)()(

Anche in questo caso la componente in fase e quella in quadratura sono scorrelate ( ) per cui si può scrivere:

Lo spettro che si ottiene è analogo a quello di una QAM:

Modulazione PSK: calcolo dello spettro

0cos jk senE

r

ff

r

ff

r

AffGffG

AfG ccc

clpclpc

c

)(sinc

)(sinc

4)()(

4)( 22

22

La banda risultante è infinita. Tuttavia, essendo il rolloff del secondo ordine, la banda può essere approssimata a:

È importante osservare che, come nella ASK, il valore di M non influisce sull’andamento spettrale.

Modulazione PSK: occupazione di banda

rBT

Calcoliamo ora l’efficienza spettrale:

Nella PSK la banda di trasmissione e l’efficienza spettrale sono uguali al caso della ASK.

La PSK ha miglior efficienza nell’uso della potenza di trasmissione alla ASK (nello spettro non è presente l’impulso alla frequenza di portante).

Modulazione PSK: efficienza spettrale

Mrr

MB

r

rB

b

T

b

T

2

2

log

log

Esempio di calcolo della costellazione: caso M=4, N=0.

Modulazione PSK: costellazione dei segnali

k

k

k

kkk

senq

i

a

a

M

Na

cos

3,2,1,02

)2(

1

0cos

2

33

0

1cos2

1

0cos

21

0

1cos00

k

kkk

k

kkk

k

kkk

k

kkk

sena

sena

sena

sena

Modulazione PSK: costellazione dei segnali

3,2,1,02

)2(

k

kkk

a

a

M

Na

Modulazione digitale di frequenza

L’informazione del segnale digitale è contenuta nella frequenza della portante.

Esistono due tipologie di modulazione digitale di frequenza:

Frequency Shift Keying (FSK): il segnale modulato risulta essere discontinuo ad ogni istante di commutazione. Con opportuni accorgimenti, è possibile rendere il segnale continuo nel tempo, ma non nella fase.

Continuos Phase Frequency Shift Keying (CPFSK): il segnale modulato risulta a fase continua anche negli istanti di commutazione.

Modulazione digitale di frequenza

Una FSK M-aria può essere rappresentata da uno schema di principio di questo tipo:

Problema: se le ampiezze, le fasi e le frequenze degli oscillatori non sono scelte accuratamente, ad ogni istante di commutazione t=kT il segnale modulato può risultare discontinuo.

Modulazione FSK

)(txc

Supponiamo che tutti gli oscillatori abbiano la stessa ampiezza Ac e fase e che le loro frequenze siano date da:

La continuità di negli istanti di commutazione è garantita se:

Con N numero intero.

Modulazione FSK: condizione di continuità

kkccc

kkck

fkTtptatAtx

Maafff

2)()cos()(

)1(,......,3,1

)(txc

NT 22

M pari

Infatti la condizione per avere continuità nel tempo è:

ciò è vero se:

Modulazione FSK: condizione di continuità

)()(cos)()(cos 1 TtaTtTtaTt kckc

NTaaNTaTa kkkk 2)(2 11

)1(,.....,3,1 Mak

se c’è commutazione, al minimovale 2

NT 22 se varia velocemente variacomunque di un multiplo

In generale il calcolo analitico dello spettro di una modulazione FSK è molto complicato.

Nel seguito della trattazione verranno analizzati due casi particolari:

FSK di Sunde;

FSK M-aria ortogonale.

Modulazione FSK

FSK di Sunde

La FSK di Sunde è una modulazione binaria caratterizzata da:

Vediamo se con tali parametri viene soddisfatta la condizione di continuità:

2

112 b

bbk

rf

rTTaM

1 Nper

verificata222

22222

NNT

rNT b

b

Vediamo come si può fare per ricavare lo spettro della FSK di Sunde. Supponiamo =0 e Ac=1:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

)(coscos

)()cos()(

bk

ckck

kbkcc

kTtpttsenasentta

kTtptattx

k kbkbkq

kbki

kTttpsenakTttpasentx

tkTttpatx

)()()(

trasmessosimbolo dal dipendeNon cos)(cos)(

1

Allora abbiamo che:

Se avessimo avuto:

la componente sarebbe sta un segnale PAM

con forma d’onda data da:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

)()( bk

kq kTtptsenatx

La presenza di questoTermine complica le

cose

)()()( bk

bkq kTtpkTtsenatx

)(txq

)()(ˆ)( tptrsentptsentz b

Vediamo allora come riportarci a tale situazione. Osserviamo che:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

tsentrsenktrsen

kTr

sentr

kTr

tr

sen

kTtsenkTtsenkTtsen

kb

kb

bbb

bbb

bbb

)1()1(cos

22

22cos

22cos

22

coscos)(

0

)()1()1(

)(b

kk

b kTtsenkTtsen

tsen

Pertanto possiamo scrivere:

Ricapitolando:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

z(t) ondad' formacon PAM una di eespressionl'

come vistaessere può

)()1()( k

bkk

q kTtzatx

kbk

kq

bi

kTtzatx

trttx

)()1()(

coscos)(

Per ricavare lo spettro di ricaviamo prima lo spettro equivalente passa basso e poi effettuiamo la sua traslazione in frequenza.

e sono indipendenti è dato dalla somma dei contributi determinati da tali componenti.

Per quanto riguarda abbiamo:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro)(txc)( fGlp

)(txi )(txq )( fGlp

)(txi

224

1)()()(

222

1cos)(

* bbiii

bbbi

rf

rffXfXfG

rf

rftrfX

Per quanto riguarda , dallo spettro della PAM possiamo scrivere:

Pertanto:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

)(txq

1)1(0)1(

)()()()()(

222

2222

kxkk

xkk

x

nbbxbxbq

aEmaEaEm

nrfnrZmrfZrfG

qqq

qq

2)()( fZrfG bq

Resta solo da calcolare :

FSK di Sunde: calcolo dello spettro2

)( fZ

2

2

2

22

2sinc2sinc4

1

sinc1

*222

)()(

b

b

b

b

b

bb

bbb

r

rf

r

rf

r

r

f

r

rf

rf

jtptrsenfZ

Le due sinc si compenetrano

Nel caso di FSK di Sunde lo spettro di ha quindi il seguente andamento:

Lo spettro equivalente passa basso è dato da:

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

)(txq

)( fGlp

2)(

224

1)()()( fZr

rf

rffGfGfG b

bbqilp

Lo spettro di è quindi dato da (Ac=1):

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

)(txc

)()(4

1)( clpclpc ffGffGfG

Anche in questo caso, a rigore, la banda sarebbe infinita. Si può però fare riferimento al lobo principale dello spettro.

La larghezza del lobo principale è maggiore di quella di un sinc2. Tuttavia, il rolloff è del quarto ordine (si ha uno smorzamento in frequenza più veloce rispetto al caso di ASK e PSK) la banda è determinata considerando una porzione minore del lobo principale:

La presenza di 2 impulsi nello spettro evidenzia un “cattivo” uso della potenza di trasmissione (la componente in fase non porta informazione e fa sprecare potenza).

FSK di Sunde: calcolo dello spettro

frB bT 2

L’efficienza spettrale di una FSK di Sunde vale quindi:

Nella FSK di Sunde la banda di trasmissione e l’efficienza spettrale sono uguali al caso di una ASK binaria e di una PSK binaria.

FSK di Sunde: efficienza spettrale

HzbpsB

rrB

TbT /1

FSK M-aria ortogonale

Consideriamo adesso un altro caso particolare di FSK: FSK M-aria ortogonale.

Nella FSK M-aria ortogonale le M frequenze che rappresentano gli M livelli della PAM sono equispaziate ad una distanza pari a:

Tralasciamo l’analisi spettrale della FSK M-aria ortogonale perché è molto complessa. E’ possibile dimostrare che l’occupazione di banda di tale modulazione è data da:

22

12

r

Tf

22

rMfMBT

L’efficienza spettrale è quindi data da:

L’efficienza spettrale di una FSK M-aria è peggiore di quella di una ASK o di una PSK M-aria.

FSK M-aria ortogonale: efficienza spettrale

4Mper 1 a inferiore è

4Mper e 2Mper 1 valelog2

2

log 22

M

Mr

M

Mr

B

r

T

b

Modulazione CPFSK

La CPFSK, al contrario della FSK, mantiene la continuità della fase negli istanti di commutazione.

Una modulazione CPFSK può essere rappresentata con uno schema di questo tipo:

Per realizzare la CPFSK si invia il segnale digitale ad un modulatore FM.

Supponiamo il segnale digitale in banda base nullo per t<0:

L’espressione del segnale modulato CPFSK è la seguente:

Modulazione CPFSK

)(tx

)1(,....,3,1)()(0

MakTtpatx kk

k

0)()(cos)(0

tkTtpdxtAtx

t

ccc

Consideriamo nel dettaglio quanto vale l’integrale nell’argomento del cos:

Integrando per parti si ottiene:

Modulazione CPFSK

t

k

t

k dkTpadx0 0 0

)()(

t

k

k

jj TktkTkTtaTa

TtTTtaTa

Ttta

dx0

1

0

10

0

)1()(

2)(

0

)(

Il segnale modulato può quindi essere scritto come:

Dove:

Modulazione CPFSK

)()(cos)(0

kTtpkTtatAtxk

kkccc

1

0

ˆk

jjk aT

Una modulazione CPFSK è caratterizzata da:

Una frequenza istantanea del tutto analoga a quella di una modulazione FSK:

Una fase che dipende dai simboli precedentemente trasmessi:

garantisce la continuità della fase del segnale modulato anche negli istanti di commutazione.

Modulazione CPFSK

kf

TktkTafff kck )1(

k

1

0

k

jjk aT

k

L’informazione sui simboli precedentemente trasmessi contenuta nella fase della CPFSK complica molto il calcolo analitico dello spettro di densità di potenza.

Per semplicità, ci limitiamo ad analizzare l’andamento dello spettro (senza dimostrazione) in un caso particolare che è quello della modulazione binaria Minimum Shift Keying (MSK).

Modulazione CPFSK: spettro

k

La MSK è una modulazione CPFSK binaria caratterizzata da:

In questo caso, la deviazione di frequenza è pari a metà di quella della FSK di Sunde. Questo permette di ottenere uno spettro molto compatto.

Modulazione MSK

1

02412

k

jjk

bk a

rfaM

f

Si può dimostrare che lo spettro della MSK è dato da:

Modulazione MSK: spettro

2

2

4sinc

2

4sinc1

)(

b

b

b

b

blp r

rf

r

rf

rfG

La banda può essere approssimata a:

L’efficienza spettrale è quindi data da:

Rispetto alla FSK di Sunde, la MSK non presenta impulsi nello spettro migliore uso della potenza di trasmissione. Inoltre si ha un’efficienza spettrale doppia.

Modulazione MSK: efficienza spettrale

2b

T

rB

Hzbpsrr

B

r

b

b

T

b /2

2

La MSK rappresenta un modello di riferimento (è il meglio che si può fare nel caso binario).

Poiché non c’è mappatura diretta tra simbolo trasmesso e fase la complessità hardware della MSK è elevata

Modulazione MSK

1

02

k

jjk a

Modulazioni miste: Amplitude Phase Keying (APK)

Le modulazioni “combinate” di ampiezza e fase sono tecniche molto efficienti per la trasmissione di segnali numerici.

Nelle modulazioni APK, l’informazione del segnale digitale è contenuta sia nella fase sia nell’ampiezza della portante.

Modulazione APK: costellazione dei segnali

Vediamo due esempi di possibili costellazioni dei segnali per una modulazione APK M-aria con M=16

A parità di energia media di trasmissione, con la APK si possono distanziare maggiormente i segnali nella costellazione rispetto a quanto è possibile fare con le altre tecniche viste.

Ciò comporta una diminuzione della probabilità di errore rispetto alle altre tecniche.

Complessità hardware molto elevata.

Modulazione APK: costellazione

beP

Lo spettro può essere calcolato in modo analogo a quello usato per calcolare lo spettro di una PSK M-aria, pertanto:

Quindi l’efficienza spettrale risulta:

Modulazione APK: efficienza spettrale

rBT

MB

r

Mrr

rB

T

b

b

T

2

2

log

log