Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 1'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie'! Variabili'aleatorie'di'Bernoulli:'

" X 'è'di'Bernoulli'di'parametro' p ∈ 0,1( ) 'se'P X = 1( ) = p 'e'P X = 0( ) = 1− p .'" Proprietà:'

# E X( ) := 1·pX 1( ) + 0·pX 0( ) = p .'

# Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 'ma'siccome' X = X 2'$'

Var X( ) = E X( ) − E X( )2 = p − p2 = p 1− p( ) .'" Notazione:' X 'è'di'Bernoulli'di'parametro' p '⇔ ' X Be p( ) .'" Prove'di'Bernoulli:''

# esperimenti'casuali,'indipendenti,'binari'(ossia'che'hanno'solo'due'possibili'esiti'che'chiamo'

successo'e'fallimento).' p = P successo( ) .'# Faccio' n 'prove'di'Bernoulli'con'probabilità'di'successo' p ∈ 0,1( ) .'# Sia' X 'numero'di'successi'in'queste' n 'prove.' pX k( ) = P X = k( ) .'

# X = X1 + X2 + ...+ Xn '$' Xk =1 se k-esima prova è successo0 se è fallimento

⎧⎨⎩

.'

# E X( ) = E X1 + ...+ Xn( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np .'# Var X( ) = Var X1 + ...+ Xn( ) = Var X1( )

p 1− p( )+ ...+Var Xn( ) = np 1− p( ) .'

# P X = k( ) = nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k .'

• X 'è'binomiale'di'parametri' n, p ,' X Bi n, p( )( ) 'se'

P X = k( ) =nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟pk 1− p( )n− k , k ∈ 0,1,...,n{ }

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.'

• Ricordiamo'che'il'coefficiente'binomiale'si'calcola'nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:= n!k! n − k( )! .'

# X Bi n, p( ), Y Bi m, p( ) 'indipendenti:'• X Bi n, p( )⇔ X = X1 + ...+ Xn ,' Xk Be p( ) 'indipendenti.'• Y Bi m, p( )⇔ Y = Y1 + ...+Ym ,' Yk Be p( ) 'indipendenti.'• X +Y = X1 + ...+ Xn +Y1 + ...+Ym = 'somma'di' n + m .'Be p( ) 'indipendenti'⇒ '

X +Y Bi n + mi , p( ) .'" Utilizzo:'quando' X 'può'assumere'solo'i'valori' 0,1 '(successo'o'fallimento).'

'

! Densità'di'Poisson:'" Ci'sono'in'media'λ 'impurità'per'unità'di'lunghezza'= Ik =

1n.'

" X = 'numero'di'impurità'sul'segmento.'E X( ) = λ ,' Xk = 'numero'di'impurità'in' Ik Be p( ) .'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 2'

" X = X1 + ...+ Xn ,'E X( ) = E X1( ) + ...+ E Xn( ) = np .' X Bi n, λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

" P X = k( ) = nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n− k

=n!

k! n − k( )!λ k

nk1− λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

con n→+∞=e−λ

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−k

1

= '

=n n −1( )... n − k +1( )

nk→1

1− λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−k

→1

λ k

k!1− λ

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

→λ k

k!e−λ .'

" Definizione:' X 'è'una'variabile'aleatoria'di'Poisson'di'parametro'λ > 0 'se'

P X = k( ) =λ k

k!e−λ , k ∈ 0,1,2,...{ }

0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.'

" Legge'del'filo:'# La'variabile'aleatoria'di'Poisson'può'essere'utilizzata'come'approssimazione'di'una'binomiale'

di'parametri' n, p( ) 'quando'

n 1 prove di Bernoullip1 probabilità di successo

⎧⎨⎩

.'

# Poisson λ( ) ≅ Bi n, λn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Bi n, p( ) ≅ Poisson np( ) .'

" Proprietà:'# X Po(λ)⇒ E X( ) = Var X( ) = λ .'

# X Po λ( ),Y Po µ( )⇒ X +Y Po λ + µ( ) .'" Utilizzo:'è'un’ottima'approssimazione'di'una'binomiale'di'parametri' n, p( ) ,'quando'n 'è'molto'

grande'e' p 'molto'piccolo'ponendo'λ = np .'In'altri'termini,'il'totale'dei'“successi”'in'un'gran'

numero'n 'di'ripetizioni'indipendenti'di'un'esperimento'che'ha'una'piccola'probabilità'di'riuscita' p,'è'una'variabile'aleatoria'con'distribuzione'approssimativamente'di'Poisson,'con'media'λ = np .'

'

! Variabile'aleatoria'Geometrica:'" Successione'di'prove'di'Bernoulli'con' p = P successo( ) 'e' X = 'numero'di'prove'necessarie'per'

vedere'il'primo'successo.'

# P X = k( ) 'con' k ∈ 1,2,...{ } .'• P X = 1( ) = P I prova = "successo"( ) = p .'

• P X = 2( ) = P I prova = "insuccesso"II prova = "succeso"

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= p 1− p( ) .'

• P X = k( ) = p 1− p( )k−1 'perché'prima'del'successo'della' k Qesima'prova'ci'sono'stati'

k −1 'insuccessi.'

" Definizione:' X Geom p( ) 'se'P X = k( ) = p 1− p( )k−1 k ∈ 1,2,...{ }0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.'

" 1 = P X = k( )k∑ = p 1− p( )k−1

k=1

+∞

∑ ,'sia'q := 1− p⇔ p = 1− q 'con'0 < q < 1 '$' qk−1k=1

+∞

∑ =1

1− q'

$' qk=0

+∞

∑ =1

1− q.'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 3'

" mX t( ) = E etX⎡⎣ ⎤⎦ = etk 1− p( )k−1 pi=1

+∞

∑ = et k−1( ) 1− p( )k pk=0

+∞

∑ = pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q

k

k=1

+∞

∑ = et 1− p( ) < 1

⇔ t < − ln 1− p( ) '

" pet et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦q

k

k=1

+∞

∑ = pet p1− et 1− p( ) =

pe− t − 1− p( ) .'Perché'è'una'serie'geometrica.'

" mX 0( ) = 1 .'

" ′mX t( ) = p e− t( )e− t − 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦

2 = mX t( ) e− t

e− t − 1− p( ) = mX t( ) 11− et 1− p( ) .'

# ′mX 0( ) = 1p= E X( ) .'

" ′′mX t( ) = ′mX t( ) 1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦ − −et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦1− et 1− p( )⎡⎣ ⎤⎦

2 .'

# ′′mX 0( ) =1pp +1− p

p2=2 − pp2

= E X 2( ) .'

# Var X( ) = E X 2( ) − E X( )2 = 2 − pp2

−1p2

=1− pp2

=1p2

−1p.'

" X Geom p( ) ,'P X > k( ) = P le prime k prove sono insuccessi( ) = 1− p( )... 1− p( )k volte

= 1− p( )k '

⇒ P X ≤ k( ) = 1− 1− p( )k .'" Proprietà'di'assenza'di'memoria:'

# P X > k + h | X > h( ) = P X > k( ) .'# Dimostrazione:'

• P X > k + h | X > h( ) = P X > k + h& X > h( )P X > h( ) =

P X > k + h( )P X > h( ) =

1− p( )k+h1− p( )h

= '

= 1− p( )k = P X > k( ) .'# P a < X ≤ b | X > h( ) = P a − h < X ≤ b − h( ) .'

" Utilizzo:'è'utile'quando'vogliamo'sapere'la'probabilità'che'la' k Qesima'ripetizione'sia'il'primo'

successo.'

'

! Variabile'aleatoria'ipergeometrica:'" Definizione:'una'variabile'aleatoria' X 'si'dice'ipergeometrica'di'parametri'N ,M 'e' n 'se'ha'massa'

di'probabilità'P X = i( ) =

Ni

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Mn − i

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N + Mn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

'con' i = 0,1,...,n .'

" Utilizzo:'possiamo'capirlo'tramite'un'esempio.'Una'scatola'contiene'N 'batterie'accettabili'e'M '

difettose.'Si'estraggono'senza'rimessa'e'in'maniera'casuale' n 'batterie.'Denotiamo'con' X 'il'

numero'di'batterie'accettabili'contenute'nel'campione'estratto.'

'

'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 4'

! Variabili'aleatoria'uniforme:'" Se'noi'prendessimo'un'segmento'lungo'1 'e'un'intervallo'che'va'da'a 'a'b 'ivi'contenuto,'se' x 'è'

scelto'casuale'significa'che'la'probabilità'che' x ∈ a,b[ ] 'dipende'soltanto'dalla'lunghezza'del'segmento'e'non'dalla'sua'posizione.'

" L’insieme'U 'è'uniforme'in' 0,1[ ] 'se'la'sua'densità'è' fU u( ) := 1 u ∈ 0,1[ ]0 altrimenti

⎧⎨⎪

⎩⎪.'

# P U ∈ u,u + du[ ]( ) = du 'con'u ∈ 0,1[ ] .'# P a <U ≤ b( ) = b − a .'# 0 < a < b < 1 'P a + h <U ≤ b + h( ) = b − a 'con' 0 < a + h < b + h < 1 .'

" Definizione'generale:'una'variabile'aleatoria'continua'si'dice'uniforme'sull’intervallo' α,β[ ] ,'se'ha'

funzione'di'densità'data'da' f x( ) =1

β −αse α ≤ x ≤ β

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.'

" U U 0,1[ ] .'I'passi'successivi'quindi'sono'riferiti'ad'un'intervallo'ampio'1 .'

# E U( ) = uf u( )du−∞

+∞

∫ = udu0

1

∫ =u2

2 0,1

=12.'

# E U 2( ) = u2 f u( )du−∞

+∞

∫ = u2 du0

1

∫ =u3

3 0,1

=13⇒Var U( ) = 1

3−14=4 − 312

=112

.'

# U U 0,1[ ] ,'FU u( ) = fU x( )dx−∞

+∞

∫ =0x1

x < 00 ≤ x < 1x ≥ 1

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.'

" b − a( )U + a = X 'con'b > a .'# U = 1 '$' b − a( )1+ a = b .'# U = 0 '$' b − a( )0 + a = a .'

" X ~U a,b[ ] ,' X = b − a( )U + a ,'U ~U 0,1[ ] .'" E X( ) = E b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )E U( ) + a = b − a

2+ a = a + b

2.'

" Var X( ) = Var b − a( )U + a⎡⎣ ⎤⎦ = b − a( )2Var U( ) = b − a( )212

.'

" FX x( ) = P X ≤ x( ) = P b − a( ),U + a ≤ x( ) = P U ≤x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= FU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

" ′FX x( ) = ddxFU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ′FU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

b − a= fU

x − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

b − a.'

" fX x( ) =1

b − a0

0 < x − ab − a

< 1

altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.'

# 0 < x − ab − a

< 1⇔ 0 < x − a < b − a⇔ a < x < b .'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 5'

" FX x( ) = FUx − ab − a

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

0x − ab − a1

x < a

0 < x − ab − a

< 1⇔ a < x < b

x ≥ b

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.'

" Utilizzo:'quando'la'variabile'aleatoria'ha'le'stesse'probabilità'di'cadere'vicino'a'un'qualunque'punto'dell’intervallo.'

'

! Variabili'aleatorie'normali'o'gaussiane:'

" Definizione:' z 'è'normale'standard'se'la'sua'densità' fZ z( ) := 12π

e−z2

2 .'

# fZ z( )dz = 1⇔ 2π = e−z2

2 dz−∞

+∞

∫−∞

+∞

∫ .'

# 12π

e−s2

2 ds−∞

z

∫ := Φ z( ) := P Z ≤ z( ) .'

# Φ −z( ) = 1− Φ z( ) .'

" mZ t( ) = E etZ⎡⎣ ⎤⎦ = etZ 12π

e−z2

2 dz−∞

+∞

∫ =12π

e−12z2 −2tz+ t2( )+ t

2

2 dz−∞

+∞

∫ =12π

et2

2 e−z− t( )22 dz

−∞

+∞

∫

sostituisco'u = z − t ,'du = dz '$'m z( ) = et2

2 12π

e−u2

2 du−∞

+∞

∫=1

= et2

2 .'

# mZ 0( ) = 1 .'

# ′mZ t( ) = tet2

2 = tmZ t( ) .'• ′mZ 0( ) = 0 .'

# ′′mZ t( ) = mZ t( ) + t ′mZ t( ) .'• ′′mZ 0( ) = mZ 0( ) + 0 = 1⇒ E Z( ) = 0 ,'E Z 2( ) = 1 = Var Z( ) .'

" Definizione:' X 'variabile'aleatoria'con'E X( ) = 0 ,'Var X( ) = 1⇒ X 'è'standard.'

" Definizione:' X 'variabile'aleatoria'è'normale'se:' X = aZ + b ,'a > 0 ,' b ∈ ,' Z 'è'normale'

standard.'Se' Z 'è'normale'standard'⇔ '−Z 'è'normale'standard.'

" Def:' X 'è'normale'con'media'µ 'e'varianza'σ 2' X ~ N µ,σ 2( )( ) 'se' X = σZ + µ ,' Z 'normale'

standard' Z ~ N 0,1( ) .'" X ~ N µ,σ 2( ) ,'Y = αX + β ∈N ,( ) 'con'a ≠ 0 .'

# Dimostrazione:' X ~ N µ,σ 2( )⇔ X = σZ + µ ,' Z ~ N 0,1( )⇒Y = αX + β = α σZ + µ( ) + β = ασ( )Z +αµ + β .'

# E Y( ) = E αX + β( ) = αE X( ) + β = αµ + β .'

# Var Y( ) = Var αX + β( ) = α 2Var X( ) .'" X ~ N µ,σ 2( ) ,'calcoliamo'la'funzione'di'ripartizione'e'densità.'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 6'

# Con' X = σZ + µ ,'FX x( ) = P X ≤ x( ) = P σZ + µ ≤ x( ) = P Z ≤x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Φ

x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ '$'

FX = Φx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

# P a < X < b( ) = FX b( ) − FX a( ) 'per'le'variabili'aleatorie'continue.'

P a < X < b( ) = Φb − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− Φ

a − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

# fX x( ) = ′FX x( ) = ddx

Φx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ′Φ

x − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1σ

= fZx − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1σ

=12π

e−12

x−µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ 1σ

=

=12πσ 2

e−x−µ( )2

2σ 2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥.'

" X ~ N µ,σ 2( ) ,' X − µσ

~ N 0,1( ) .'

# E X − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=E X( ) − µ

σ= 0 ,'Var

X − µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= V −

1σX −

µσ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1σ 2 Var X( ) = 1 .'

" Teorema:' X1,X2 ,...,Xn 'normali'indipendenti'⇒ X1 + ...+ Xn 'è'normale.'

# Dimostrazione:' X ~ N µ,σ 2( ) .'mX t( ) = E etX( ) 'ma'siccome'è'normale'sappiamo'che'∃ 'X = σZ + µ ,' Z ~ N 0,1( ) .'

mX t( ) = E et σZ +µ( )⎡⎣ ⎤⎦ = E e tσ( )Zetµ⎡⎣ ⎤⎦ = etµE e tσ( )

′tz⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= etµmZ tσ( ) = etµe

tσ( )22 = e

t2σ 2

2+ tµ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥'$'

mX = et2σ 2

2+ tµ

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥.'

• mX1 + ...+Xn= mX1

t( )...mXnt( ) = exp t 2σ 2

1

2+ tµ1

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭...exp t 2σ 2

n

2+ tµn

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

exp t 2σ 2k

2+ tµk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=1

n

∑⎧⎨⎩⎪

⎫⎬⎭⎪= exp t 2

2σ 2

kk=1

n

∑′σ( )2

+ t µkk=1

n

∑µ '

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪= exp t 2

2′σ( )2 + t ′µ

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

⇒ X1 + ...+ Xn ~ N µkk=1

n

∑ , σ 2k

k=1

n

∑⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.'

" Utilizzo:'questo'tipo'di'variabile'aleatoria'è'molto'importante'e'utilizzata'grazie'al'teorema'del'

limite'centrale'che'tratterremo'più'avanti.'

'

! Esponenziali:'" Def:' X 'è'esponenziale'di'parametro'λ > 0 ' X ~ € λ( )( ) 'se' fX x( ) = λe−λx x > 0

0 altrimenti⎧⎨⎩

.'

" FX x( ) = fX s( )ds−∞

x

∫ =0 x < 0

λe−λs ds0

x

∫ = −e−λs⎡⎣ ⎤⎦x

0= 1− e−λx x ≥ 0

⎧⎨⎪

⎩⎪.'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 7'

" Funzione'generatrice'dei'momenti:'

mX t( ) = E etX( ) = etx fX x( )dx

−∞

+∞

∫ = etxλe−λx ds0

+∞

∫ = λ e− λ− t( )λ '

x dx0

+∞

∫ 'con'λ > t '$'

=λ

λ − t( ) λ − t( )e− λ− t( )x dx0

+∞

∫=1

.'

# mX t( ) = λλ − t

.'

# m 'X t( ) = −λ −1( )λ − t( )2

=λ

λ − t( )2'$' ′mX 0( ) = 1

λ= E X( ) .'

# ′′mX t( ) = −λ λ − t( ) −1( )λ − t( )4

=2λ

λ − t( )3'$' ′′mX 0( ) = 2λ

λ 3=2λ2

= E X 2( ) .'

# Var X( ) = 2λ2

−1λ2

=1λ2

.'

" Assenza'di'memoria:'# X ~ € λ( )⇒ P X > t + s | X > t( ) = P X > s( ) .'

# Dimostrazione:'P X > t + s | X > t( ) = P X > t + s& X > t( )P X > t( ) =

P X > t + s( )P X > t( ) =

=1− FX t + s( )1− FX t( ) =

e−λ t+ s( )

e−λt= e−λs = P X > s( ) ,'ricorda'che'

P X > z( ) = e−λx ⇒ FX x( ) = 1− e−λx .'

" cX ~ € λc

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

'

! Variabili'aleatorie'di'tipo'Γ :'

" Definizione:' X 'è'Γ α,λ( ) 'se' fX X( ) =λα

Γ α( ) xα −1e−λx x > 0

0 altrimenti

⎧

⎨⎪

⎩⎪

.'

" Nota:'Γ α( ) 'serve'a'far'sì'che'la'densità'faccia'uno'in' −∞,+∞( ) :'

fX x( )dx−∞

+∞

∫ = 1 = λα

Γ α( ) xα −1e−λx dx0

+∞

∫ ⇒ Γ α( ) = λα xα −1e−λx dx0

+∞

∫ 'facciamo'il'cambiamento'

di'variabili' y = λx ,'dy = λdx '$'λα yλ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α−1

e− y dyλ0

+∞

∫ =λα

λα yα −1e− y dy0

+∞

∫ = Γ α( ) .'

" Γ α( ) := xα −1e− x dx0

+∞

∫ .'

" Gamma'di'Eulero:'Γ 1( ) = e− x dx0

+∞

∫ = 1 .'

# Osservazione:'Γ 1,λ( ) = € λ( ) .'# Per'mezzo'dell’integrazione'per'parti:

Γ α( ) = yα −1e− y dy0

+∞

∫ = −e− yyα −1 +∞

0+ α −1( )y α −1( )−1e− y dy =

0

+∞

∫= a −1( ) y α −1( )−1e− y dy

0

+∞

∫ = α −1( )Γ α −1( ) '$'Γ α( ) = α −1( )Γ α −1( ) .'# Γ n( ) = n −1( )Γ n −1( ) = n −1( ) n − 2( )Γ n − 2( )....Γ 1( ) = n −1( )! .'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 8'

" X ~ Γ a,λ( ) .'Funzione'generatrice'dei'momenti:'

#

E etX( ) = λα

Γ α( ) xα −1e−λxetx dx0

+∞

∫ =λα

Γ α( ) xα −1e− λ− t( )x dx0

+∞

∫ =λα

λ − t( )αλ − t( )αΓ α( ) xα −1e− λ− t( ) dx

0

+∞

∫=1

=

=λα

λ − t( )α.'

# mX t( ) = λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α

.'

• ′mX t( ) = α λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α −1 −λ −1( )

λ − t( )2⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

αλα

λ − t( )α +1 '$' ′mX 0( ) = αλ.'

• ′′mX t( ) = −αλα α +1( ) λ − t( )α 1( )

λ − t( )2α +2 '$' ′′mX 0( ) = α α +1( )λ2

.'

# E X( ) = αλ;'

# E X 2( ) = α α +1( )λ2

;'

# Var X( ) = α α +1( )λ2

−α 2

λ2=

αλ2

.'

" Proprietà:' X ~ Γ α,λ( ),Y ~ Γ β,λ( ) 'indipendenti'⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) .'

# Dimostrazione:'mX+Y t( ) = mX t( )mY t( ) = λλ − t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α λ

λ − t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟β

=λ

λ − t⎛⎝⎜

⎞⎠⎟α +β

⇒ X +Y ~ Γ α + β,λ( ) .'# Utilità:'

• Capire' X,Y ~ € λ( ) 'indipendenti.'

♦ X ~ € λ( ) = Γ 1,λ( )Y ~ € λ( ) = Γ 1,λ( ) '$' X +Y ~ Γ 2,λ( ) .'

♦ In'generale:' X1,...,Xn ~ € λ( ) '$' X1 + X2 + ...+ Xn ~ Γ n,λ( ) .''

! Distribuzioni'ChiGquadro:'" Z1

2 + ...+ Zn2 ~ Γ n

2, 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= χ 2 n( ) 'chiGquadro'con' n 'gradi'di'libertà.'

# X ~ χ 2 n( )⇔ X ~ Γ n2, 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .'

# E X[ ] =n212

= n .'

# Var X( ) =n212

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 = 2n .'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 9'

# X ~ χ 2 n( ) ,' fX x( ) =1

2n2

1

Γ n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟xn2−1e−x2 x > 0

0 altrimenti

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

.'

# X ~ χ 2 n( ),Y ~ χ 2 m( ) 'indipendenti'$'

X +Y = X12 + ...+ Xn

2 +Y 21 + ...+Ym

2 ⇒ X +Y ~ χ 2 n + m( ) .'" Se' X 'è'una'chiQquadro'con' n 'gradi'di'libertà'e'α 'è'un'reale'compreso'tra'0 'e'1 ,'si'definisce'la'

quantità' χ 2α ,n 'tramite'l’equazione'seguente:'P X ≥ χ 2

α ,n( ) = α .'

'

! Distribuzioni't:'" Se'Z 'e'Cn 'sono'variabili'aleatorie'indipendenti,'la'prima'normale'standard'e'la'seconda'chiQ

quadro'con' n 'gradi'di'libertà,'allora'la'variabile'aleatoria'Tn 'definita'come'Tn :=ZCn n

'si'dice'

avere'distribuzione' t 'con' n 'gradi'di'libertà'$'Tn ~ tn .'Tale'variabile'aleatorie'viene'definita'spesso' t 'di'Student.'

# fT t( ) =Γ n +1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Γ n2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ nπ 1+ t

2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n+12

'con' t 'a' n 'gradi'di'libertà.'

# E Tn[ ] = 0 'con'n ≥ 2 .'# Var Tn( ) = n

n − 2'con' n ≥ 3 .'

" Se'Tn ~ tα ,n 'con'α ∈ 0,1( ) '$'P Tn ≥ tα ,n( ) = α .'

# T 'è'simmetrica'$'P Tn ≥ −tα ,n( ) = 1−α .'

'

! Teoremi'e'Teorie:'" Teoria'dell’affidabilità:'

# T = 'istante'di'rottura.'T > t ⇔ 'all’istante' t 'il'sistema'funziona.'

# P T > t( ) = 1− FT t( ) = 'funzione'di'sopravvivenza.'

# Def:'intensità'di'rischio'o'tasso'di'guasto.'λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) .'

# P T ∈(t,t + dt] |T > t( ) = P T ∈(t,t + dt]&T > t( )

P T > t( ) =P T ∈(t,t + dt]( )

1− FT t( ) fT t( )dt1− FT t( ) = λT t( )dt

'

# T > 0 'λT t( )⇒ fT t( ) 'è'nota.'

# λT t( ) := fT t( )1− FT t( ) = −

ddtln 1− FT t( )( ) 'integrando'il'tutto'$'

λT s( )ds0

t

∫ = −ddsln 1− FT s( )( )ds

0

t

∫ = − ln 1− FT t( )( ) − ln 1− FT 0( )( )⎡⎣ ⎤⎦ ,'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 10'

λT s( )ds

0

t

∫ = ln 1− FT 0( )( )=0

− ln 1− FT t( )( ) '⇒1− FT t( ) = e− λT s( )ds0

t

∫.'

FT t( ) = 1− exp − λT s( )ds0

t

∫{ } .'Ricorda'che:' fT t( ) = −ddt1− FT t( )( ) .'

# λT t( ) = λ ⇔ T ~ € λ( ) '$'FT t( ) = 1− exp − λ ds0

t

∫{ } = 1− e−λt .'# λT ⇒ P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) ,'( 'significa'non'decrescente).'

• P T > t + s |T > s( ) = P T > t + s&T > s( )P T > s( ) =

P T > t + s( )P T > s( ) =

1− FT t + s( )1− FT s( ) =

=exp − λT u( )du

0

t+ s

∫{ }exp − λT u( )du

0

s

∫{ } = exp − λT u( )du0

t+ s

∫ − λT u( )du0

s

∫( ){ } = exp − λT u( )dus

t+ s

∫( ){ }'

• P T > t( ) = 1− FT t( ) = exp − λT u( )du0

t

∫{ } .'• Facendo'i'grafici'vediamo'che'P T > t + s |T > s( ) ≤ P T < t( ) 'effettivamente'è'vera.'

# T 'è'Weibull'⇔ λT t( ) = αβt β−1 .'" Teorema'del'limite'centrale:'

# X1,X2 ,... 'variabili'aleatorie'indipendenti,'tutte'con'la'stessa'formula'di'ripartizione,'

E X1( ) = E X2( ) = ... = µ ,'Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2.'

# 1n

Xkk=1

n

∑ = Xn 'media'campionaria.'

• E Xn( ) = µ .'

• Var Xn( ) = σ 2

n.'

• P Xn − µ > ε( ) →n→∞

0 '(legge'dei'grandi'numeri).'

• Var Xn − µ( ) = Var Xn( ) = σ 2

n.'

Xn µ ± k Var Xn( ) = µ ±

σn.'

# Xn − µ σ

n.'

# Teorema'limite'centrale:' X1,X2 ,.. 'variabili'aleatorie'indipendenti'con'la'stessa'formula'di'

ripartizione'E X1( ) = E X2( ) = ... = µ ,'Var X1( ) = Var X2( ) = ... = σ 2 ⇒Xn − µσ

n .'

limn→+∞

P Xn − µσ

n ≤ z⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Φ z( ) = 1

2πe−u2

2 du−∞

z

∫ .'

#

Zn =Xn − µσn1

n ≈ N 0,1( ) .' Xn =Znσn

+ µ ,' Xn ≈ N µ,σ2

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.'

Modelli'di'Variabili'Aleatorie' Probabilità' Mattia'Natali'

'

' 11'

# nXn = n1n

Xkk=1

n

∑ = Xkk=1

n

∑ '$'

n Znσn

+ µ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= σ nZn

≈N 0,1( ) + nµ '$'E Xk

k=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nµ ,'

Var Xkk=1

n

∑⎛⎝⎜⎞⎠⎟= nσ 2

.'

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V.A. di Bernoulli

Definizione: X è di Bernoulli ( X~Be(p) ) di parametro p ϵ(0,1) se : P(x=1) = p P(x=0) =1-p Proprietà: E(X) = p Var(X) = p(1-p) Utilizzo: quando ho UNA prova nella uqale ho a disposizione solo 2 risultati, p è la probabilità che il risultato ottenuto sia positivo. (es: estrarre una pallina da un’urna e controllare che sia del colore desiderato)

V.A. Binomiale Definizione: X è binomiale di parametri n,p ( X~Bi(n,p) ) se:

Proprietà: E(X) = np Var(X) = np(1-p) X,Y V.A. indipendenti X~Bi(n,p) , Y~Bi(m,p) => (X+Y)~Bi(n+m,p) Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove bernoulliane (es: estraendo n palline da un’urna SENZA REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)

Densità di Poisson Definizione: si utilizza quando n>>1 e p<<1 X~P(λ)

Proprietà:

per passare da Binomiale a Poisson: P(λ) = Bi(n,

) => Bi(n,p) = P(np)

E(X) = λ Var(X) = λ X,Y V.A. indipendenti X~P(λ) , Y~P(μ) => (X+Y) ~P(λ+μ) Utilizzo:

1. Gli eventi sono casuali nello spazio (tempo) continuo 2. Gli eventi hanno luogo singolarmente e sono esclusivi 3. Il numero di eventi che ha luogo in un dato intervallo è proporzionale alla lunghezza dell'intervallo ; 4. Gli eventi sono indipendenti 5. La variabile è il numero di eventi aventi luogo nell'intervallo considerato.

V.A. Geometrica Definizione: X~Geom(p) se:

Proprietà:

Utilizzo:

1. C'è una successione di prove; 2. Due possibili risultati (successo/insuccesso); 3. Le prove sono indipendenti; 4. La probabilità ad ogni prova rimane costante; 5. La variabile è il numero di prove necessarie per avere il primo successo

V.A. Ipergeometrica

Definizione: La distribuzione ipergeometrica I(N,M,n) descrive la variabile aleatoria X che conta, per n

elementi distinti estratti a caso (in modo equiprobabile) da un insieme A di cardinalità N, quanti sono nel

sottoinsieme B di cardinalità M. In termini più concreti descrive, data un'urna contenente M palline bianche

e N-M palline nere, il numero di palline bianche che vengono ottenute estraendo senza reinserimento n

palline.

Proprietà:

Utilizzo: serve per calcolare la probabilità di avere k successi in n prove (es: estraendo n palline da un’urna CON REIMMISSIONE, calcolare la probabilità di averne k di un certo tipo)

DISTRIBUZIONE

Definizione: La distribuzione χ2(k) descrive la variabile aleatoria

,

dove X1,...,Xk sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzione normale standard . Il parametro k è detto numero di gradi di libertà.

Proprietà: Utilizzo: In statistica la distribuzione χ2 viene utilizzata per condurre il test di verifica d'ipotesi χ2 e per stimare una varianza