Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico

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Modelli deterministici per Modelli deterministici per l’inquinamento atmosfericol’inquinamento atmosferico

I modelli I modelli deterministicideterministici

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Caratteristiche generali Caratteristiche generali (1/3)(1/3)

Per studiare la dispersione di inquinanti in Per studiare la dispersione di inquinanti in atmosfera, occorre descrivere, in termini atmosfera, occorre descrivere, in termini matematici: matematici:

il trasporto turbolentoil trasporto turbolento di gas ( di gas (gli inquinantigli inquinanti) ) disciolti in un altro gas (disciolti in un altro gas (l’atmosferal’atmosfera).).

Si deve tener presente che:Si deve tener presente che: l’effetto l’effetto DOMINANTEDOMINANTE è rappresentato dal è rappresentato dal

trasporto convettivo e diffusivo trasporto convettivo e diffusivo dell’atmosferadell’atmosfera

NON NON dalla diffusione per effetto di gradienti dalla diffusione per effetto di gradienti di concentrazionedi concentrazione (legge di Fick)(legge di Fick)

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Diffusione per gradientedi concentrazione (Fick)

Diffusione per convezionee dispersione

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In linea di principioIn linea di principio, tali modelli permettono , tali modelli permettono di stimare la concentrazione di inquinanti di stimare la concentrazione di inquinanti nei punti di interesse, nei punti di interesse, una volta noti:una volta noti:– Il campo vettoriale del ventoIl campo vettoriale del vento– La turbolenza atmosfericaLa turbolenza atmosferica– Gli effetti di Gli effetti di tunnelingtunneling e canalizzazione dovuti e canalizzazione dovuti

all’orografia dell’area di studioall’orografia dell’area di studio– Gli effetti di riflessione ed assorbimento degli Gli effetti di riflessione ed assorbimento degli

inquinanti da parte del suoloinquinanti da parte del suolo– Le reazioni chimiche degli inquinanti in ariaLe reazioni chimiche degli inquinanti in aria– ......

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Possibili descrizioni matematiche (1/4)Possibili descrizioni matematiche (1/4)

DESCRIZIONE LAGRANGIANA: DESCRIZIONE LAGRANGIANA: l’evoluzione l’evoluzione del fenomeno viene descritta rispetto ad del fenomeno viene descritta rispetto ad un sistema di riferimento solidale con il un sistema di riferimento solidale con il moto dei volumi infinitesimi di fluido moto dei volumi infinitesimi di fluido (punto di vista molecolare o sostanziale).(punto di vista molecolare o sostanziale).

DESCRIZIONE EULERIANA:DESCRIZIONE EULERIANA: l’evoluzione l’evoluzione del fenomeno viene descritta rispetto ad del fenomeno viene descritta rispetto ad un sistema di riferimento un sistema di riferimento fissofisso, solidale , solidale con il suolo con il suolo (punto di vista locale).(punto di vista locale).

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Evoluzione del sistema “S”Evoluzione del sistema “S”

.P0

.P

C0

C

s C0 = Configurazione iniziale del sistema

C = configurazione del sistema all’istante t

P0 (Yh), h =1,2,3

P (Xh), h =1,2,3 Nello schema del continuo

Xh(Yh,t), funzioni continue fino alla derivata terza (trasformazioni regolari)

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Una qualunque grandezza definita nel sistema Una qualunque grandezza definita nel sistema

“S” (ad esempio la densità “S” (ad esempio la densità ) si può ) si può pensare funzione:pensare funzione:

o delle variabili iniziali e del tempo o delle variabili iniziali e del tempo ((YYh h , t), t)– si studia la variazione di densità di ogni particella si studia la variazione di densità di ogni particella

(volume infinitesimo). (volume infinitesimo). YYhh indipendente da t indipendente da t..

o delle variabili o delle variabili ( (XXhh , t) , t)– si studia la distribuzione di densità nel campo C si studia la distribuzione di densità nel campo C

occupato all’istante t. occupato all’istante t. XXhh dipendenti da t. dipendenti da t.

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La derivata temporale di una qualunque La derivata temporale di una qualunque grandezza definita nel sistema “S” (ad esempio grandezza definita nel sistema “S” (ad esempio

la densità la densità ) può essere effettuata: ) può essere effettuata: o direttamente, assumendo come variabili o direttamente, assumendo come variabili YYh h

(indipendenti da t)(indipendenti da t) ee t t

o attraverso le o attraverso le XXhh(t) (t)

dd ((YYhh|t) = |t) = ((xxhh|t) + |t) + . . XX’’hh

dt dt t t xx

Derivata DerivataDerivata Derivata

molecolare localemolecolare locale

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Schema generale (proprio di tutta la Schema generale (proprio di tutta la fluidodinamica)fluidodinamica)

PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSAMASSA

In un volume infinitesimo In un volume infinitesimo dxdx..dydy..dzdz, durante il , durante il tempo tempo dtdt, l’incremento della massa , l’incremento della massa dell’inquinante dell’inquinante iimomo e, quindi, la sua e, quindi, la sua concentrazione media concentrazione media ccii((xx,t),t) è uguale è uguale all’apporto netto dovuto a:all’apporto netto dovuto a:

ingressi esterni ingressi esterni ((xx,t),t) sorgenti inquinati interne al volume sorgenti inquinati interne al volume s(s(xx,t),t) fattori di rimozione fattori di rimozione r(r(xx,t),t)

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Il principio di conservazione della Il principio di conservazione della massamassa

dM/dt = d(CdM/dt = d(C..V)/dt = V)/dt =

= = iiAi+S + R+S + R

M=C.V

in = (x-x).u(x-x) out = (x+x).u(x+x) SR

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Secondo la descrizione euleriana Secondo la descrizione euleriana (1/3)(1/3)

RSdxdydzt

C

( 1

d o v e :

C = C ( x , t ) è l a c o n c e n t r a z i o n e m e d i a n e l l ’ i n t e r v a l l o d i t e m p o d t = ( x , t ) è i l f l u s s o n e t t o n e l v o l u m e i n f i n i t e s i m o d x d y d z n e l

t e m p o d tS = S ( x , t ) è l a s o r g e n t e i n q u i n a n t e i n t e r n a a l v o l u m e

i n f i n i t e s i m oR = R ( x , t ) è l a f u n z i o n e d i r i m o z i o n e d e l l ’ i n q u i n a n t e

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Per semplicità, nel seguito, ci Per semplicità, nel seguito, ci limiteremo al caso limiteremo al caso bidimensionale x,z.bidimensionale x,z.

A causa della A causa della vorticositàvorticosità dell’atmosfera dell’atmosfera nei primi nei primi 1000 m di atmosfera (1000 m di atmosfera (PBLPBL)), il , il moto dell’aria moto dell’aria (e dell’inquinante)(e dell’inquinante) è è molto vario e con traiettorie aleatorie.molto vario e con traiettorie aleatorie.

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Si analizzi il fenomeno per un tempo Si analizzi il fenomeno per un tempo TT che sia:che sia:– Maggiore della scala temporale Maggiore della scala temporale TTff delle delle

fluttuazioni turbolente fluttuazioni turbolente (qualche secondo).(qualche secondo).– Minore della scala temporale delle variazioni Minore della scala temporale delle variazioni

di velocità media del campo di vento nel di velocità media del campo di vento nel punto di interesse punto di interesse (qualche minuto).(qualche minuto).

ALLORAALLORA

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Trattazione delle componenti stocastiche Trattazione delle componenti stocastiche (1/3)(1/3)

V(x,z) = (V x(x,z), V z(x,z)) è una variabile stocastica esprimibilecome:

Vx = V x + V wx

V z = V z + Vwz

dove:

V x = dtVxT

T

0

1

0 = dtVwxT

T

0

1

e analogamente per le altre grandezze:V z (x) e, conseguentemente, C(x) e (x, t)

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VxVx

Fluttuazioni della velocità del vento attorno ad un valore medio

t

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Le componenti medieLe componenti medie VVii del campo dei del campo dei

venti venti sono responsabili degli effetti sono responsabili degli effetti convettivi convettivi o o di trasporto.di trasporto.

Le componenti stocastiche Le componenti stocastiche (fluttuanti)(fluttuanti) VVwiwi sono responsabili sono responsabili degli effetti degli effetti diffusivi.diffusivi.

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Sviluppo dell’equazione della conservazione della Sviluppo dell’equazione della conservazione della massa massa

per i termini convettiviper i termini convettivi (1/5) (1/5)

Teorema della divergenza.Consideriamo il volume infinitesimo di superficie S

x

z

(x, z)

(x+dx, z+dz)

Vx (x,z)

C (x,z)

Vz (x,z)

Vx (x+dx,z)

Vz (x,z+dz) C (x,z+dz)

C (x+dx,z)

C (x,z)

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I l f l u s s o m e d i o d o v u t o a l l e c o m p o n e n t i m e d i e ( o c o n v e t t i v e ) d e lv e n t o V è d a t o d a :

= S

dsVC ( 2

S v i l u p p a n d o i n s e r i e a l I I o r d i n e s i o t t i e n e :

2

),(),(),(),(

2

2

2 dx

x

zVxdx

x

zxVxzxVxzdxxVx

( 3

c o n : x < < x + d x

e , a n a l o g a m e n t e , p e r V z ( x , z + d z ) , C ( x + d x , z ) , C ( x , z + d z ) .

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I l f l u s s o m e d i o ( o p o r t a t a i n m a s s a ) d o v u t o a l l e c o m p o n e n t ic o n v e t t i v e d e l v e n t o è d a t o , q u i n d i , d a :

=

dxdzz

CV

x

CV

dxdzzxVdzzxCdxzxVzxC

dzzdxxVzdxxCdzzxVzxCdsVC

zx

zz

xx

S

)()(

),(),(),(),(

),(),(),(),(

( 4

N e l l ’ i p o t e s i d i f l u i d o i n c o m p r i m i b i l e s i h a :

0

z

V

y

V

x

VVVdiv zyx

( 5

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Pertanto, per campi di vento a divergenza nulla, il termine diflusso è dato da:

= dxdzVz

CVx

Czx

(6

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Il problema della ”chiusura della turbolenza” Il problema della ”chiusura della turbolenza” La K-La K-theorytheory (1/12) (1/12)

In questa In questa primaprima e, per ora e, per ora parzialeparziale, , componente del trasporto di massa componente del trasporto di massa compare solo la velocità media del vento compare solo la velocità media del vento VVii . .

La componente fluttuante del ventoLa componente fluttuante del vento(Vwx, (Vwx, Vwz) Vwz) è responsabileè responsabile della diffusione della diffusione turbolenta.turbolenta.

Ma,Ma, se si introducono tali componenti se si introducono tali componenti stocastiche perstocastiche per V V ee C C nellanella (1 (1, si, si ottiene un ottiene un numero di variabili numero di variabili MAGGIOREMAGGIORE del numero di del numero di equazioni equazioni (termini del tipo <V(termini del tipo <Vwjwj

..CCww>).>).

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Per risolvere tale problema si ricorre alla Per risolvere tale problema si ricorre alla così detta:così detta:– ““Teoria della lunghezza di Teoria della lunghezza di

rimescolamento”rimescolamento” – o, anche: o, anche: “K-“K-theory”theory”..

Essa si basa su Essa si basa su alcune ipotesialcune ipotesi relative relative alla:alla:– struttura del campo dei ventostruttura del campo dei vento– analogie con il meccanismo di diffusione analogie con il meccanismo di diffusione

molecolaremolecolare

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Si consideri un campo di fluido che sia, Si consideri un campo di fluido che sia, in prima approssimazione:in prima approssimazione:– parallelo al piano XYparallelo al piano XY– ed abbia una distribuzione delle ed abbia una distribuzione delle

componenti medie componenti medie VVii del tipo: del tipo:

Vx

z

Vx (z-l)

Vx (z)

Vx (z+l)

l

l

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Si ipotizza che Si ipotizza che questo profilo della questo profilo della velocità mediavelocità media possa dare ragione possa dare ragione anche delle anche delle fluttuazione stocastichefluttuazione stocastiche del del modulo delle velocità, nel senso che:modulo delle velocità, nel senso che:

una particella di fluido, soggetta ad una una particella di fluido, soggetta ad una fluttuazione di velocità fluttuazione di velocità VVwxwx,, esaurisce il esaurisce il suo moto turbolento spostandosi lungo suo moto turbolento spostandosi lungo Z di una lunghezza caratteristicaZ di una lunghezza caratteristica ll..

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Se la particella si porta ad una velocità Se la particella si porta ad una velocità più bassa più bassa VVwxwx,,sviluppando in serie di sviluppando in serie di TaylorTaylor il profilo di velocità ipotizzato, in un il profilo di velocità ipotizzato, in un intorno del punto di ordinata Z, si ottiene:intorno del punto di ordinata Z, si ottiene:

dz

zdVxllzVxzVxVwx )()(

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Analogamente, se la particella si porta Analogamente, se la particella si porta ad una velocità più alta ad una velocità più alta VVw’xw’x,, si ottiene:si ottiene:

Se ore si considerano le differenze di Se ore si considerano le differenze di velocità velocità VVwx wx ee VVw’xw’x come fluttuazioni come fluttuazioni trasversali trasversali istantanee della velocità istantanee della velocità nello strato di livello Znello strato di livello Z, vale a dire:, vale a dire:

dz

zdVxllzVxzVxxVw )()('

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SeSe il profilo delle velocità medie descrive, in il profilo delle velocità medie descrive, in un opportuno intorno dei vari punti, anche un opportuno intorno dei vari punti, anche gli effetti della turbolenza dinamica gli effetti della turbolenza dinamica dell’atmosfera,dell’atmosfera, allora: allora:

dz

dVxlxVwVwxVwx z '

2

1 (7(7

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La lunghezza La lunghezza ll viene detta: viene detta: “lunghezza di “lunghezza di mescolamento”.mescolamento”.

Essa rappresenta Essa rappresenta “il percorso trasversale “il percorso trasversale che un particella di fluido deve compiere che un particella di fluido deve compiere perché la differenza fra la sua velocità perché la differenza fra la sua velocità iniziale e quella del livello finale a cui giunge iniziale e quella del livello finale a cui giunge sia uguale alla fluttuazione media della sia uguale alla fluttuazione media della velocità dovuta alle componenti turbolente velocità dovuta alle componenti turbolente del campo del vento”.del campo del vento”.

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La teoria deve essere completata anche La teoria deve essere completata anche con l’ipotesi che:con l’ipotesi che:

Le fluttuazioni di velocità longitudinali Le fluttuazioni di velocità longitudinali VVwx wx e e trasversalitrasversali VVwz wz siano:siano:– dello stesso ordine di grandezzadello stesso ordine di grandezza– inter-correlate mediante il coefficiente inter-correlate mediante il coefficiente

di correlazionedi correlazione r r

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Con queste assunzioni, dall’equazione Con queste assunzioni, dall’equazione (7(7 sul modulo delle fluttuazioni: sul modulo delle fluttuazioni:

si può derivare lo sforzo tangenzialesi può derivare lo sforzo tangenziale xzxz prodotto da un fluido di densità prodotto da un fluido di densità per per via dalle fluttuazioni turbolente :via dalle fluttuazioni turbolente :

dz

dVxlxVwVwxVwx z '

2

1

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dz

dVx

dz

dVx

dz

dVxlrVwzVwxxz 2

( 8

D o v e , i n a n a l o g i a c o n i l c o e f f i c i e n t e d i v i s c o s i t à m o l e c o l a r e ,v i e n e d e t t o “ c o e f f i c i e n t e d i v i s c o s i t à t u r b o l e n t a c i n e m a t i c a( e d d y v i s c o s i t y ) d e l m o t o t u r b o l e n t o ( > > ) .

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Per il calcolo del flusso dovuto alle Per il calcolo del flusso dovuto alle componenti stocastiche della velocità componenti stocastiche della velocità del vento del vento VVww e della concentrazione e della concentrazione CCww occorre stimare i loro prodotti: occorre stimare i loro prodotti: – VVwxwx ..CCw w ee V Vwzwz ..CCw w

Basandosi sul modelloBasandosi sul modello delladella lunghezza di lunghezza di mescolamento, in maniera analoga alla mescolamento, in maniera analoga alla (8(8 si assume:si assume:

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x

CKCwVwx xx

e z

CKCwVwz zz

(9

d o v e K x x e K z z so n o d e tt i c o e ff ic ie n t i d i d if fu s io n e tu r b o le n ta(e d d y d if fu s iv ity ) .

E ss i r a p p r e se n ta n o g li e le m e n ti d ia g o n a li d e l te n so r e d id if fu s io n e tu r b o le n ta K ij.

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per i termini diffusiviper i termini diffusivi (1/4) (1/4)

P erta n to , il f lu sso m ed io d o v u to a lle co m p o n en ti d iffu siv e èd a to d a :

w =

dsCKdsVCS

jj

S

ww (1 0

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S v i l u p p a n d o i n s e r i e , n e l c a s o b i d i m e n s i o n a l e , c i s i r i c o n d u c ea :

w =

dzdxzz

CK

xx

CK

dxdzzxKdxzxK

dzzdxxKdzzxK

zzxx

xdzzxC

zzzzxC

zz

xzdxxC

xxxzxC

xx

)()(

),(),(

),(),(),(),(

),(),(

( 1 1

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L ’ in t e g r a le d i s u p e r f ic ie d e l la ( 1 0 s i r i s c r iv e , q u in d i , int e r m in i d i in t e g r a le d i v o lu m e ( u t i l i z z a t o n e l lad e s c r iz io n e d e l l ’ e q u a z io n e d i c o n s e r v a z io n e d e l la m a s s as o lo c o n t e r m in i d i f f e r e n z ia l i ) :

w =

V

jj dVCK )( ( 1 2

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Infine, un terzo processo che Infine, un terzo processo che contribuisce al trasporto contribuisce al trasporto d’inquinante nell’atmosfera è d’inquinante nell’atmosfera è rappresentato dalla rappresentato dalla diffusione diffusione molecolaremolecolare..

La legge di FickLa legge di Fick, in maniera , in maniera analogaanaloga alla diffusione turbolenta, alla diffusione turbolenta, descrive tale flusso come:descrive tale flusso come:

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Dove, per semplicità, si è assunto:Dove, per semplicità, si è assunto:– D costanteD costante sul dominio d’integrazione sul dominio d’integrazione– K>>DK>>D

wD =

V

dVCD (13

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Forma differenziale dell’equazione del bilancio di Forma differenziale dell’equazione del bilancio di massamassa

Pertanto, nella sua forma differenziale Pertanto, nella sua forma differenziale completa, completa, l’equazione (1l’equazione (1 di di conservazione della massa diviene:conservazione della massa diviene:

SRCDCKCVt

C

2)()( (14

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Generalizzazione dell’equazione Generalizzazione dell’equazione precedenteprecedente

L’equazione L’equazione (14(14 è applicabile, in linea è applicabile, in linea teorica, teorica, come principio di conservazione,come principio di conservazione, o ogni grandezza dello o ogni grandezza dello Strato di Confine Strato di Confine Planetario (PBL)Planetario (PBL) che possa essere che possa essere espressa come somma di una espressa come somma di una componente mediacomponente media ed ed una stocastica.una stocastica.– TemperaturaTemperatura– Velocità del ventoVelocità del vento– Umidità assoluta...Umidità assoluta...

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Limiti di applicabilità ed assunzioni Limiti di applicabilità ed assunzioni di basedi base

Tale equazione è applicabile alla descrizione Tale equazione è applicabile alla descrizione di quelle situazioni in cui:di quelle situazioni in cui:

Sia applicabile la teoria della lunghezza di Sia applicabile la teoria della lunghezza di mescolamento mescolamento ((K-theoryK-theory) ) (chiusura al I(chiusura al Ioo ordine). ordine).

La scala dei tempi La scala dei tempi TT dei fenomeni sia: dei fenomeni sia:– Maggiore della scala temporale Maggiore della scala temporale TTff delle delle

fluttuazioni turbolente fluttuazioni turbolente (qualche secondo).(qualche secondo).– Minore della scala temporale delle variazioni di Minore della scala temporale delle variazioni di

velocità media del campo di vento nel punto di velocità media del campo di vento nel punto di interesse interesse (qualche minuto).(qualche minuto).

Modelli deterministici per l’inquinamento atmosferico

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