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MISURARE PER MIGLIORARE LE COMPETENZE MATEMATICHE

STRUMENTI PER UNA VALUTAZIONE OGGETTIVA DI MATE-MATICA: SCUOLA ELEMENTARE E PASSAGGIO ALLA SCUOLA MEDIAI.C. "D. M. TUROLDO" TORINO

Ringraziamenti:Si ringraziano gli insegnanti dell'Istituto Comprensivo "D. M. Turoldo" di Torino, che hanno collaborato:

Carla Arduino, Lidia Barbero, Carla Bosticco, Giovanni Corvetto, Daniela Damilano, Giu-liana Del Giudice, Laura Girard, Teresa Granato, Maria Marciante, Graziella Mattiassich,Liliana Palermo, Gelsomina Panarelli, Paola Pecchiura, Eugenia Pitton, Valeria Poma,Susanna Reschiggian, Agnese Spoladore, Mirella Torasso, Elda Viganò.

Un ringraziamento particolare all'Ispettore Tecnico, Sovrintendenza Scolastica per il Piemon-te, Silvana Mosca che, con precedenti Progetti di Sperimentazione, ha offerto un significativocontributo alla crescita professionale degli insegnanti della ex Direzione Didattica "G. Leo-pardi", dal 1995 I. C. "D. M. Turoldo" di Torino e all'insegnante Marina Gilardi, utilizzatasugli stessi Progetti.

Quaderni pubblicati dall'Ufficio Scolastico Regionale per il Piemonte del MIUR

Direttore: Luigi CatalanoDirettore Editoriale: Michele Tortorici

Coordinamento Progetti: Antonio d’ItolloCoordinamento Scientifico: Ferdinando Arzarello, Alessandro Militerno.

Editing: Servizio per la Comunicazione dell'Ufficio Scolastico Regionale per il Piemonte

Il presente quaderno potrà essere riprodotto per l’utilizzo da parte delle scuole per le attività diformazione del personale direttivo e docente. Esso non potrà essere riprodotto per essere utiliz-zato parzialmente o totalmente per altre pubblicazioni o per usi diversi da quelli sopraindicati.

Edizione fuori commercio

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INDICE

PRESENTAZIONE Ferdinando Arzarello pag. 7

INTRODUZIONE Alessandro Militerno pag. 9

PREMESSA Bruna Balostro Trucchi pag. 11

COMITATO TECNICO SCIENTIFICO pag. 13

PARTE I Emilia Bulgarelli e Claudia Giunipero

• Contesto e motivazione pag. 17• Percorso di costruzione e modalità di utilizzo

delle prove oggettive di Matematica pag. 18• Fase 1: la costruzione pag. 19• Fase 2: la somministrazione pag. 21• Fase 3: i risultati pag. 22• Autovalutazione pag. 23• Allegato pag. 29

PARTE II Emilia Bulgarelli

• Elementi di prova di matematica per la scuola elementare pag. 33• Numero pag. 36• Spazio e figure pag. 48• Le relazioni pag. 62• Dati e previsioni pag. 70• Argomentare e congetturare pag. 75• Misurare pag. 82• Risolvere e porsi problemi pag. 92

PARTE III Emilia Bulgarelli

• Prova oggettiva di matematica "Leggere e capire: M4",per la classe 4a elementare pag. 105

BIBLIOGRAFIA pag. 157

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PRESENTAZIONEdi Ferdinando Arzarello

La matematica rappresenta - com'è universalmente riconosciuto - uno dei pilastrifondamentali per la formazione del giovane. Essa, tuttavia, è spesso poco amata,soprattutto per l'immagine negativa che ne danno i mass-media. Ciò avviene mentrenella società di oggi la richiesta di formazione matematica è sempre più diffusa edavvertita in tutti i Paesi. Significativa a questo proposito è la risoluzione approvataall'unanimità nel 1997, in cui la Conferenza generale dell'UNESCO così si esprime:"… considerata l'importanza centrale delle matematica e delle sue applicazioni nelmondo odierno nei riguardi della scienza, della tecnologia, delle comunicazioni, del-l'economia e di numerosi altri campi; consapevole che la matematica ha profonderadici in molte culture e che i più importanti pensatori per migliaia di anni hanno por-tato contributi significativi al suo sviluppo, e che il linguaggio e i valori della mate-matica sono universali e in quanto tali ideali per incoraggiare e realizzare la coope-razione internazionale; si sottolinea il ruolo chiave dell'educazione matematica, inparticolare al livello della scuola primaria e secondaria sia per la comprensione deiconcetti matematici, sia per lo sviluppo del pensiero razionale". In questo panorama,è importante che le scuole e gli insegnanti si attrezzino opportunamente per giunge-re a una conoscenza scientifica ed esauriente del livello e delle modalità secondo cuii loro allievi capiscono la matematica. Ciò pone il problema della valutazione, comeelemento inestricabilmente intrecciato con la didattica, cioè con le conoscenze e leabilità specifiche degli allievi e con i metodi opportuni perché le acquisiscano, in unprocesso di crescita che inizia subito dalla nascita, si sviluppa con la scuola materna,elementare e media e viene consolidato nel ciclo secondario. Il lavoro che viene qui presentato, come illustrato nel volume, è frutto dell'attivitànell'ambito di un progetto di ricerca-azione sull'insegnamento della matematica in uncurriculum verticale (scuola materna, elementare e media); la ricerca è stata condot-ta negli ultimi tre anni in 16 Istituti Comprensivi del Piemonte e ha coinvolto, oltreagli insegnanti delle scuole, l'Università, la Direzione Regionale e l'IRRE Piemonte.Per informazioni dettagliate è sufficiente consultare il sitohttp://utenti.lycos.it/turold. Gli Istituti Comprensivi del progetto hanno concordato diassumere e di sperimentare la proposta curricolare offerta dall'Unione MatematicaItaliana (UMI; il curricolo è reperibile al sito: (www.dm.unibo.it/~umi) e di utilizza-re, per la realizzazione, sia materiali elaborati dall'UMI, sia materiali già prodotti oda produrre nel corso della ricerca-azione dalle scuole e messi in rete tramite il sitodi servizio del progetto. Il curricolo dell'UMI è centrato sulle conoscenze e abilitàessenziali per la "matematica del cittadino". È infatti articolato su quattro nucleitematici (il numero; lo spazio e le figure; le relazioni; i dati e le previsioni), caratte-rizzanti i contenuti dell'educazione matematica nell'età considerata, e su tre nuclei

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trasversali (argomentare e congetturare, misurare, risolvere e porsi problemi), cen-trati sui processi degli allievi.Si presenta qui un primo risultato del progetto, cioè alcune prove di valutazione uti-lizzate nelle scuole in alcune "classi snodo" per valutare conoscenze e abilità degliallievi nello specifico dei seguenti problemi: il passaggio dal campo di esperienzaall'ambito disciplinare, cioè dalla scuola dell'infanzia alla scuola elementare (1°anno); il passaggio dagli ambiti disciplinari alle discipline vere proprie (2°-5° annodelle elementari); il passaggio alla scuola media. Naturalmente le prove hanno unsenso in quanto inserite nel progetto. D'altra parte, anche delle prove avulse dal con-testo possono essere utili agli insegnanti nell'ambito della loro progettazione didatti-ca, per farsi un'idea sui livelli dei loro allievi e sui problemi didattici che i risultatidelle stesse prove invariabilmente pongono. L'auspicio è che da questo seme qual-cosa di più corposo si possa sviluppare. Le porte del Dipartimento di Matematica dell'Università di Torino sono sempre aper-te per chi voglia inserirsi nei progetti di sperimentazione didattica: basta scrivermiall'indirizzo arzarello@dm.unito.it.

Torino, 12 aprile 2003

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INTRODUZIONEdi Alessandro Militerno

La valutazione, soprattutto quella formativa, permette al docente di realizzare un per-corso a spirale che conduce ad un puntuale adeguamento sempre più proficuo nelladinamica insegnamento/apprendimento; per questo attraverso la presente pubblica-zione si è cercato di portare a conoscenza degli insegnanti taluni elementi utilizzabi-li nella attività didattica. Un insegnamento efficace, infatti, deve poter verificare illivello degli apprendimenti degli allievi.È necessario sottolineare che le prove elaborate e qui esposte non rappresentano unmodello paradigmatico di valutazione, né tanto meno una modalità didattica per l'in-segnamento della matematica.Ciò che attraverso queste pagine si offre agli insegnanti, è uno strumento di lavoro inpiù che potrà essere:- utilizzato nel corso dell'anno scolastico per valutare gli apprendimenti di mate-

matica al termine di una o più unità didattiche, al fine di progettare interventi direcupero ed, eventualmente, di ritarare la programmazione;

- utilizzato quale spunto per costruire le ulteriori prove che, nella pur diffusa rac-colta qui presentata, sono mancanti.

Un apposito Comitato Tecnico Scientifico ha ritenuto, le prove qui presentate, vali-de dal punto di vista scientifico ed utili agli insegnanti, soprattutto in vista dell'ela-borazione del portfolio delle competenze previsto dalla Riforma.Composizione del comitato tecnico-scientifico:- Prof. F. Arzarello Ordinario di Matematica, Università di Torino- Prof. A. Militerno Ispettore Tecnico Direzione MIUR del Piemonte- Prof. R. Barbero Tecnico I.R.R.E. Piemonte- Prof. B. Balostro Trucchi D.S. I.C."D. M. Turoldo" di Torino

La documentazione dell'esperienza che viene qui presentata, è principalmente fruttodell'appassionato lavoro condotto dalla docente Emilia Bulgarelli, che negli ultimitre anni, grazie ad un finanziamento del Ministero, ha potuto collaborare con 15 Isti-tuti Comprensivi della Regione, che avevano l'incarico di condurre unaRicerca/Azione sulla realizzazione del Curricolo di matematica in Piemonte. Nel-l'ambito della R/A si è sperimentata la proposta elaborata dall' U.M.I. (Unione Mate-matica Italiana).

Il gruppo regionale responsabile della R/A è attualmente così composto:- Prof. F. Arzarello, esperto disciplinarista- Prof. A. Militerno, referente Direzione Scolastica Regionale- Prof. B. Balostro Trucchi, D.S. della Scuola capofila- Prof. R. Barbero, tecnico I.R.R.E. Piemonte- Prof. D. Malucelli, D.S.- Ins. E. Bulgarelli, docente

Merita far sapere che alcuni elementi di prova sono stati proficuamente utilizzati perattuare la R/A sul curricolo di matematica. Auspico che gli strumenti che si presentano forniscano suggerimenti utili alla strut-turazione, somministrazione ed utilizzazione di prove oggettive e possano essere distimolo ed esempio agli insegnanti che si pongono il problema della valutazione,come mezzo per il miglioramento degli apprendimenti.

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PREMESSAdi Bruna Trucchi

Molte istituzioni scolastiche, da alcuni anni, hanno affrontato il problema della valu-tazione delle conoscenze, abilità, competenze degli studenti, non solo ai fini di unavalutazione di prodotto, quanto piuttosto ai fini di una valutazione formativa e di unariorganizzazione delle attività didattiche già programmate, qualora gli esiti dellavalutazione non risultassero soddisfacenti.La tematica della valutazione degli apprendimenti si inserisce in quella più ampiadella valutazione ed autovalutazione d'Istituto.L'I.C. "D. M. Turoldo" di Torino ha, da anni, affrontato il problema, dotandosi distrumenti per valutare l'acquisizione di competenze trasversali e disciplinari dei pro-pri alunni.L'Istituto, capofila di una Rete di scuole, ha elaborato e sta sperimentando il librettopersonale dell'alunno, che si configura come un portfolio che può rappresentare unelemento utile ai docenti, agli studenti, alle famiglie, a condizione di disporre di stru-menti oggettivi di valutazione.Particolare attenzione è stata dedicata alla ricerca ed alla costruzione di prove per lavalutazione degli apprendimenti della Matematica, in quanto l'I.C. "D. M. Turoldo"è scuola capofila di una Rete d'Istituti Comprensivi che partecipano alla R/A sullarealizzazione del curricolo verticale di Matematica.Le prove, utilizzate da anni nelle classi della scuola elementare, che gode di un Pro-getto "Potenziare competenze trasversali" per l'attuazione del quale dispone di duedocenti: Emilia Bulgarelli e Claudia Giunipero, sono ritenute di grande utilità anchenel passaggio all'ordine secondario di primo grado.Il Collegio dei Docenti è consapevole che nel settore della valutazione esistono moltivalidi strumenti, ma ha ritenuto utile, per la propria crescita professionale utilizzar-ne solo alcuni, costruirne e somministrarne altri elaborati autonomamente.Il dibattito, che è scaturito a seguito dei risultati ottenuti ed attentamente e critica-mente esaminati, ha rappresentato per i docenti dell'Istituto un momento forte e signi-ficativo di formazione.

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COMITATO TECNICO SCIENTIFICO

Ferdinando Arzarello

Professore ordinario di Matematica (Dipartimento di Matematica, Università diTorino).Presidente CIIM (Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica)Referente scientifico del GRRA (Gruppo Regionale di Ricerca Azione sui Curricoliverticali di Matematica, negli Istituti Comprensivi).

Alessandro MiliternoIspettore Tecnico Sovrintendenza Scolastica del Piemonte.Referente MIUR Direzione Regionale del GRRA (Gruppo Regionale di RicercaAzione sui Curricoli verticali di Matematica, negli Istituti Comprensivi).

Bruna Balostro Trucchi

Dirigente Scolastico I.C. "D.M. TUROLDO" di Torino.Responsabile, della scuola capofila GRRA (Gruppo Regionale di Ricerca Azione suiCurricoli verticali di Matematica, negli Istituti Comprensivi).

Riccardo Barbero

Tecnico I.R.R.E. Piemonte.Componente del GRRA (Gruppo Regionale di Ricerca Azione sui Curricoli vertica-li di Matematica, negli Istituti Comprensivi).Coordinatore al Seminario di Viareggio 2001, (Intesa MPI - UMI) per l'elaborazionedi "Matematica 2001".

Emilia Bulgarelli

Docente titolare I.C. "D. M. Turoldo" di Torino, utilizzata sul Progetto "Potenziarecompetenze trasversali", già utilizzata sul Progetto "Potenziare e valutare competen-ze matematiche" ex. Art. 3 D.P.R. 419.Componente del GRRA (Gruppo Regionale di Ricerca Azione sui Curricoli vertica-li di Matematica, negli Istituti Comprensivi).Coordinatore al Seminario di Viareggio 2001, (Intesa MPI - UMI) per l'elaborazionedi "Matematica 2001".

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PARTE I

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(1) • "Scuola Territorio Svantaggio: sistema di laboratori." dall'a.s. 1984/'85 all'a.s. 1991/'92.• "La costruzione del sapere matematico e situazioni problema in classe e in laboratorio." dall'a.s. 1993/'94 all'a.s.

1995/'96;• "Potenziare e valutare l'apprendimento matematico." dall'a.s. 1996/'97 all'a.s.1999/'00, all'interno del quale si è

realizzata una collaborazione con il progetto AVIMES (Autovalutazione d'Istituto per il Miglioramento dell'Effica-cia nella Scuola) relativamente alla produzione, somministrazione, correzione ed elaborazione dei risultati diProve oggettive di Matematica per la scuola elementare.

PARTE Idi Emilia Bulgarelli e Claudia Giunipero

Contesto e motivazione

Lo scopo di questa pubblicazione è quello di documentare un'esperienza sulla valu-tazione in Matematica, scaturita all'interno del Progetto "Potenziare competenze tra-sversali" in atto dall'a.s. 2000/'01, il cui obiettivo è quello di promuovere la forma-zione di un cittadino competente, in grado di capire, di attivare un pensiero critico equindi capace di prendere decisioni in modo consapevole. Il Progetto si inserisce in un contesto ricco di stimoli innovativi che hanno caratte-rizzato, negli ultimi vent'anni, le metodologie e le proposte didattiche nelle scuole delex Distretto Scolastico n.151), ed in particolare quelle che ora fanno parte dell'Istitu-to Comprensivo "D. M. Turoldo" di Torino. I processi innovativi messi in atto, dap-prima in situazioni sperimentali, sono diventati poi patrimonio comune della maggiorparte degli insegnanti dell'Istituto.Gli aspetti peculiari delle precedenti esperienze, hanno costituito il tratto basilare diquesto Progetto:- monitoraggio del fenomeno della dispersione scolastica ed interventi mirati al suo

recupero, in stretto collegamento con le risorse del territorio;- costruzione del sapere da parte degli alunni in uno stretto legame tra "fare e pen-

sare", all'interno di un'organizzazione scolastica per laboratori;- continuità fra ordini di scuole (materna/elementare, elementare/medie,

medie/superiori), realizzata sia con specifiche attività didattiche, sia con proget-tualità tra docenti;

- potenziamento e valutazione degli apprendimenti di Matematica e di Lingua ita-liana, attraverso una programmazione formativa basata su dati accertati con proveoggettive di conoscenza.

Le insegnanti utilizzate sul Progetto hanno prodotto unità di lavoro finalizzate alpotenziamento delle competenze trasversali, ed in particolare in merito alla com-prensione di testi di vario genere, in quanto la comprensione è ritenuta prioritaria perla formazione di un cittadino consapevole.Le unità di lavoro predisposte promuovono la messa in atto di abilità cognitive sot-tese al processo della lettura (riconoscere, ricavare, elaborare informazioni e riag-gregarle per ipotizzare e progettare); e potenziano la capacità di analizzare, di inter-pretare e di mettere in relazione dati quantitativi in una situazione problematica, perpoi risolverla con l'utilizzo di modelli e strumenti di tipo matematico.Le attività sulla valutazione si sono focalizzate su conoscenze, abilità e competenze diLingua italiana e di Matematica, considerate strumenti privilegiati per conseguire le meteeducative del progetto stesso e mezzi per far acquisire all'alunno competenze trasversali.

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Alcune prove di accertamento delle conoscenze, abilità e competenze, sono stateindividuate tra quelle in commercio (Test di Matematica per la Scuola dell'Obbligo eProve di lettura MT per la Scuola Elementare - O.S. Organizzazioni Speciali, Firen-ze; Test Prometeo; IEA: International Association for Educational Achievement; …)e tra queste, certe sono state modificate per essere adattate alla pratica valutativa con-solidata nel nostro Istituto.Le stesse insegnanti hanno costruito prove intermedie e finali di Lingua italiana e diMatematica per tutte le classi elementari e di passaggio dalla scuola elementare allascuola media, coniugandole con gli indicatori di Matematica e di Lingua italianaesplicitati nel curriculum d'Istituto ed hanno promosso e coordinato attività connes-se al loro utilizzo.

Percorso di costruzione e modalità di utilizzo delle prove oggettive di Matematica

Tutti gli insegnanti che in questi anni hanno intrapreso questo percorso formativo,hanno constatato un graduale e costante cambiamento rispetto al proprio modo diporsi nel processo di insegnamento-apprendimento. Questo percorso non è mai statoindolore in quanto, implicando la messa in crisi di convinzioni, di modelli e di prati-che consolidate di insegnamento e di valutazione, ha fatto scaturire l'esigenza di uncambiamento per migliorare il processo stesso.L'analisi attenta e puntuale dei risultati e la forte attenzione rivolta all'errore hannofatto sì che la valutazione venisse a far parte integrante dell'azione didattica.Gli insegnanti hanno potuto "mettersi in gioco" e misurarsi sia rispetto al loro gradodi conoscenza degli apprendimenti di ogni alunno e del gruppo classe, sia rispettoalla loro capacità di esprimere giudizi valutativi adeguati. Nel corso di questa esperienza, le prove oggettive non sono mai state imposte e quin-di hanno assunto valore, perché sono diventate strumenti privilegiati di regolazionedella quotidiana pratica didattica. Diversamente, si poteva correre il rischio di utilizzarle solo per compilare la schedadi valutazione quadrimestrale o per "addestrare" gli alunni in vista delle proveINValSI (Istituto Nazionale di Valutazione del Servizio di Istruzione).

In questa sezione intendiamo focalizzare l'attenzione, non tanto sui prodotti elabora-ti, quanto sul processo di crescita della pratica valutativa degli insegnanti dell'I.C."D. M. Turoldo", che queste prove di conoscenza hanno attivato o potenziato.Daremo quindi particolare rilievo alle modalità di costruzione e di utilizzo delleprove stesse, esplicitandone le fasi di lavoro che, a nostro parere, sono risultate piùsignificative rispetto al raggiungimento degli obiettivi del Progetto.

Nella seconda parte della pubblicazione, presentiamo alcuni elementi di prova rela-tivi ai nuclei disciplinari di Matematica, elaborati per le cinque classi elementari e

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(2) Ministère de l'Éducation nationale et de la Culture. Direction de l'évaluation et de la prospective (DEP). Les Dos-siers: Éducation et Formations. Septembre 1992.

nella terza parte, una prova oggettiva completa, prodotta per la classe 4a elementare:"Leggere e capire: M4". Tali materiali costituiscono un'esemplificazione degli strumenti autonomamente ela-borati ed utilizzati per realizzare il Progetto.

Fase 1: La costruzione

È prassi nelle scuole elementari dell'Istituto, come per altro avviene in moltissimealtre scuole, programmare a livello di interclasse le proposte didattiche e concordarele verifiche. Affinché il confronto in merito allo svolgimento delle verifiche nonrimanesse, però, soltanto un racconto generico sui risultati, la nostra prima esigenzaè stata quella di mettere a punto strumenti efficaci che permettessero di confrontaregli esiti di apprendimento in modo puntuale, specifico e affidabile, all'interno delleclassi parallele dell'intero Istituto.In riferimento al curricolo di Matematica di Istituto, dapprima sono state tradotte leindicazioni dei Programmi Ministeriali in obiettivi didattici, successivamente sonostate scelte le conoscenze e le abilità da rilevare in modo puntuale, ed infine sonostati individuati i comportamenti osservabili e misurabili per ogni specifico contenu-to disciplinare.

La prima fase del lavoro è stata quindi quella di estrapolare dal curricolo le compe-tenze da accertare in ogni ambito disciplinare: Problemi, Aritmetica, Geometria eMisura, Logica, Probabilità e Statistica. (A titolo esemplificativo si riportano qui diseguito parti della sezione del curricolo riguardanti Aritmetica, relative alla classe1a e 3a elementare. C.f.r. Allegato 1)Sono stati poi predisposti gli elementi di prova, in modo che il numero degli item perla competenza individuata fosse adeguato: generalmente non sono stati inferiori a tre,né superiori a nove.Nell'elaborazione di ogni elemento di prova è stata posta un'attenzione particolarealla scelta dei contesti in cui calare le richieste di prestazione degli alunni, affinchérisultassero vicini alle loro esperienze, interessanti e motivanti all'esecuzione delcompito, senza essere troppo scontati. Il legame con la realtà è stato infatti un ele-mento che ha caratterizzato la metodologia di lavoro applicata nelle classi, oltre adaver favorito la motivazione all'apprendere, in quanto ha dato un senso alle cono-scenze matematiche oggetto di studio, che non si è esaurito o consumato soltantoall'interno della comunità scolastica. Un criterio che ha guidato la costruzione deglielementi di prova, è stato quello di variare le difficoltà in relazione ai contenuti disci-plinari, intrecciati con i livelli diversi di competenza. In particolare ci si è riferiti aiseguenti livelli tassonomici2): "applicare una tecnica, utilizzare una conoscenza, rice-vere ed interpretare un'informazione, analizzare una situazione ed organizzare unprocedimento, dare un senso ad un risultato o giustificare.".

Una volta individuati i contesti, le competenze e i livelli tassonomici, si è procedutoalla formulazione del testo, della consegna, della domanda, dei distrattori e dellarisposta corretta, relativamente ad ogni elemento di prova.Vogliamo sottolineare la delicatezza di questa fase tecnica di lavoro, che ha richiestoparticolare attenzione, affinché fosse caratterizzata da chiarezza, essenzialità e uni-vocità di interpretazione. Per garantire l'univocità della risposta, si sono utilizzati in gran parte quesiti a sti-molo chiuso e risposta chiusa (con soluzioni obbligate o a scelta multipla su tre oquattro opzioni)3). Le domande, le risposte a scelta multipla e i distrattori, che hanno rispecchiato tipicierrori riscontrati, sono stati formulati con un linguaggio semplice ed essenziale. Ogni domanda ha focalizzato e ha accertato una sola competenza.Si è cercato di curare l'impostazione grafica, utilizzando un tipo di carattere chefavorisse la leggibilità della prova, la concentrazione sul compito e che diversificas-se il testo o la consegna dalla richiesta operativa a cui l'alunno doveva attenersi perfornire la risposta.

Gli elementi di prova sono stati poi assemblati per formare un'unica prova (vediesempio "Leggere e capire: M4", nella parte III di questa pubblicazione).Anche nell'impaginazione si sono rispettati alcuni criteri, che riteniamo possanofavorire la concentrazione degli alunni sul compito. Nel redigere una pagina, abbia-mo tenuto conto del numero degli item, della loro lunghezza, del relativo contenutodisciplinare e del livello tassonomico, evitando ad esempio, che venissero assembla-ti item di Aritmetica e di Geometria nella stessa pagina o che un item superasse unapagina. Nei quesiti a risposta multipla, le risposte corrette sono state collocate inposizioni diverse da un item all'altro.

Nel momento in cui sono stati elaborati gli elementi di prova sono state individuatea priori tutte le risposte accettabili relative ad ogni item. È stato quindi predispostoun foglio di correzione della prova, al fine di garantire l'oggettività anche di questafase di lavoro. È importante infatti, che ogni insegnante correttore non interpreti larisposta, ma si limiti a rilevarne la correttezza, rimandando ad una fase successiva l'a-nalisi qualitativa degli errori.

Si è poi attribuito un punteggio ad ogni item, considerando il loro diverso livello tas-sonomico. Ad esempio ai problemi si sono attribuiti 3 punti, ad altri item, come quel-li relativi la lettura di numeri, si è attribuito 1 punto per tre risposte corrette, ad altriancora 1 punto a ciascuna risposta corretta e 0 punti alle riposte non corrette odomesse. Si è prevista, infine, una griglia quadrettata, in modo che ad ogni colonna corrispon-desse un item ed ad ogni riga il punteggio relativo alle risposte di un alunno.

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(3) Le prove strutturate di conoscenza, G. Domenici, Giunti Lisciani Editori, 1992

Fase 2: La somministrazione

Inizialmente le insegnanti utilizzate sul Progetto hanno svolto il compito di sommi-nistratori e hanno via via formato altri insegnanti affinché potessero condurre inmodo corretto questa delicata operazione, infatti riteniamo che questa fase di lavorosia particolarmente importante."Più lo scopo è di ottenere misure precise, più si deve fare attenzione al modo in cuiviene presentata la prova agli studenti e al modo in cui viene condotto lo svolgimen-to della prova. Il momento dello svolgimento di una prova oggettiva è definita tec-nicamente somministrazione. Questo termine, che in italiano richiama l'uso medico,ci ricorda che si tratta di un'operazione di precisione, infatti per poter effettuare rile-vazioni e ottenere misure attendibili è necessario che lo stimolo sia rigorosamenteunivoco."4)

È stata quindi rivolta una particolare attenzione alle "variabili che entrano in giocodurante la presentazione e lo svolgimento di una prova:

a. il rapporto tra chi propone una prova e gli studenti… Per ottenere la collaborazione degli studenti e per attivare la motivazione èutile esplicitare gli obiettivi e il senso del lavoro, presentando la prova come qual-cosa di impegnativo senza nascondere le eventuali difficoltà che essa presenta.Allo stesso tempo occorre evitare che gli studenti percepiscano tale compitocome valutazione delle loro capacità, anziché della competenza acquisita in undeterminato settore in un particolare momento della propria esperienza.…

b. le istruzioni per la prova e la loro presentazionePer la formulazione di istruzioni precise è necessario seguire le seguenti regole:…indicare in modo evidente il tempo necessario allo svolgimento della prova;spiegare in che modo rispondere; fornire un esempio sul modo in cui risponderealla prova, per essere sicuri che gli studenti abbiano compreso quel che devonofare; …chiedere se occorrono chiarimenti prima di procedere allo svolgimentodel compito. …Nel corso della presentazione della prova è necessario inoltre che il sommini-stratore eviti di fare commenti sulla prova, o che aggiunga alle istruzioni consi-derazioni di tipo personale. … Chi somministra un test, quindi, deve imparare aevitare non solo i suggerimenti diretti, ma anche ogni atto comunicativo chepossa essere interpretato come segnale dai ragazzi, quale ad esempio l'annuirementre lo studente indica una risposta per avere una conferma sulle scelte effet-tuate.…

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(4) Per quanto riguarda la somministrazione delle prove si fa esplicito riferimento ai testi: Misurare e valutare le competenze linguistiche, Corda Costa M. e Visalberghi A., 1995, (cap 3, di Salerni A., dapag. 270 a pag. 274 e cap. 6, di Salerni A., da pag. 323 a pag. 328).Lettura e comprensione, Lucisano P. Loescher, 1989 (cap."Come scegliere tra diversi tipi di test").

c. il contesto ambientale in cui si svolge la provaNella fase di svolgimento delle prove è necessario prestare attenzione anche adaspetti di organizzazione dell'aula. …Ad esempio, ha una sua importanza ladisposizione dei banchi e l'ordine sul piano di lavoro. … Per definire un tempoadeguato di esecuzione della prova si consiglia …di prendere come riferimentogli studenti che impiegano un tempo più lungo. … la soluzione migliore è nonstabilire limiti di tempo per l'esecuzione della prova. …

d. il modo in cui avviene lo svolgimento della provaLa prova dovrebbe svolgersi in modo da favorire al massimo la concentrazionedello studente sul compito. … Se per qualsiasi motivo intervenissero fattori didisturbo, chiasso, collaborazione tra studenti, evidentemente i risultati della provanon potrebbero essere utilizzati o confrontati con quelli di studenti che hannolavorato in condizioni ottimali. …".

Riferendoci esplicitamente alla nostra esperienza le prove sono state somministratenella prima parte della mattinata. Il tempo impiegato dagli alunni per completare unaprova è stato compreso tra i 40 e i 90 minuti. Quando un alunno dichiarava di averterminato il proprio lavoro, e di averlo ricontrollato, è stato invitato a dedicarsi all'at-tività individuale ed autonoma, preventivamente organizzata, e della quale l'alunnoera già stato informato.Non tutti gli alunni portatori di handicap hanno effettuato la prova; alcuni di essi sisono dedicati ad un lavoro autonomo e predisposto coerentemente con il loro livellodi acquisizione delle conoscenze, altri sono stati impegnati in attività di laboratoriocondotte dall'insegnante di sostegno.

Fase 3: I risultati

Dopo la somministrazione si è immediatamente passati alla fase della correzionedelle prove su carta, segnando accanto alle risposte errate, non accettabili od omes-se, un segno con una matita colorata, in modo da renderle bene evidenti. (L'opera-zione è risultata relativamente veloce). Sono, quindi, stati inseriti nella griglia i punteggi relativi alle risposte di ogni alunnoper ogni singolo item. L'inserimento dei punteggi nella griglia utilizzando un fogliodi calcolo di Excel, ha velocizzato la loro elaborazione statistica. Sono stati calcola-ti: l'indice di Difficoltà, per ogni item, quello medio per ambiti disciplinari, quellomedio dell'intera prova, il punteggio massimo e minimo raggiunto, la moda, lamedia, la mediana e la deviazione standard5) . Le insegnanti utilizzate sul Progetto,hanno poi elaborato i dati sia per classe, sia per classi parallele dell'Istituto e hannodistribuito i punteggi "grezzi" raggiunti, su una Scala Pentenaria.Dalla somministrazione e correzione su carta, alla restituzione dei risultati è inter-

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(5) Per indicazioni operative e approfondimenti si fa riferimento a:Le prove strutturate di conoscenza, G. Domenici, Giunti Lisciani Editori, 1992

corso un tempo molto breve. Questo passaggio è ritenuto molto importante nel pro-cesso di insegnamento-apprendimento, in quanto gli alunni "si aspettano" un ritornodella prova. Nel restituire loro i risultati si è posta attenzione all'analisi delle prestazioni, alle dif-ficoltà incontrate nel comprendere le consegne e nel soddisfare le richieste dellaprova ed agli errori commessi, cercando di spostare in secondo piano il punteggioraggiunto. Agli insegnanti, invece, la semplice elaborazione statistica realizzata, ha permessoun'analisi immediata dei risultati a livello quantitativo, in quanto è stato subito pos-sibile evidenziare gli item che venivano considerati "a rischio", che hanno avuto,cioè, un indice di Difficoltà medio, a livello di Istituto, che non supera lo 0,5 (il 50%del campione statistico). Su questi item gli insegnanti di classe si sono interrogati,confrontando i risultati della propria classe con quelli delle altre singole classi e conquelli aggregati di Istituto. Gli errori commessi dai singoli alunni sono poi stati raccolti in un'altra griglia, inmodo da evidenziarne la tipologia e sulla base di questi errori sono stati ipotizzatinuovi interventi didattici, mirati al recupero delle difficoltà.Si è passati così da un'analisi di tipo quantitativo ad una più puntuale di tipo qualita-tivo e ciò ha favorito il confronto non solo in merito alla programmazione delle pro-poste didattiche, ma soprattutto in merito alla metodologia, alle difficoltà nell'inse-gnare quel determinato contenuto disciplinare ed alle difficoltà degli alunni nell'im-parare.

Con la consueta valutazione dei processi messi in atto dagli alunni, realizzata attra-verso osservazioni, questionari, colloqui, testi scritti e discussioni, gli insegnantihanno coniugato i risultati delle prove. Per esprimere i giudizi valutativi alla fine diogni quadrimestre, hanno tenuto conto anche dei passaggi relativi al percorso perso-nale di acquisizione delle competenze.

Autovalutazione

Alunni

Poiché gli aspetti metacognitivi assumono un certo rilievo nella metodologia attuatanell'insegnamento della Matematica nelle scuole elementari dell'Istituto, accanto allavalutazione delle competenze disciplinari, le insegnanti hanno ritenuto utile accertarealcuni elementi connessi con la consapevolezza di quanto appreso dagli alunni.Sono stati utilizzati due strumenti: i “5 jolly”, parte finale della somministrazione dellaprova, e un questionario su “Le convinzioni dei bambini sui problemi”. L'attività diautovalutazione “5 jolly” è stata elaborata adattando una proposta rivolta a studenti discuola media e superiore (14-15 anni di età) condotta dall'I.R.R.S.A.E. Toscana6).

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(6) Da: Ma-lì - Tra numeri e parole: attese degli insegnanti, le risposte degli allievi, F. De Michele, L. Nuti, V. Villa-ni - Le Monnier - I.R.R.S.A.E. Toscana - 1999

Nel momento in cui un alunno dichiarava di aver terminato la prova, l'insegnante gliha consegnato 5 jolly dicendogli: "Ora che hai finito il lavoro,ritaglia questi 5 jolly. Dovrai scegliere cinque esercizi che pensi di aver eseguito cor-rettamente, dove sei proprio sicuro di non aver sbagliato. Accanto ad ogni esercizio,incolla un jolly".Per ogni jolly attribuito ad un esercizio completamente corretto è stato assegnato 1punto. In tutti gli altri casi sono stati assegnati 0 punti. La restituzione dei risultati in termini di punteggio, è stata oggetto di una discussio-ne in classe, in cui gli alunni hanno preso consapevolezza, spesso non senza stuporeo perplessità, della loro capacità di autovalutazione in matematica e di quanto aves-sero sopravvalutato le loro competenze. Questa attività ha promosso negli alunni laconvinzione che "non spetta unicamente all'insegnante sentenziare se una risposta ècorretta o meno" e che "…autovalutarsi, diagnosticando lucidamente le proprie lacu-ne permette di correre ai ripari in modo mirato per colmarle" (C.f.r. nota 6).

Il questionario "Le convinzioni dei bambini sui problemi: un confronto fra bravi ecattivi solutori" 7), è stato l'altro strumento utilizzato per individuare quale concettohanno i bambini in merito ai problemi di matematica. (C.f.r. il testo del questionario,qui di seguito). Per la lettura dei risultati, che in questo caso non sono stati espressi in punteggi, èstato utile aggregare le risposte secondo l'area indagata: il concetto di problema, larappresentazione dell'attività di risoluzione dei problemi e la rappresentazione di sécome solutore di problemi matematici.I dati, così aggregati, sono stati oggetto di discussione in classe e sono emersi ele-menti utili a promuovere negli alunni il superamento degli stereotipi relativi al "pro-blema scolastico".Hanno preso consapevolezza del loro modo di porsi di fronte ad un problema e dicome ne percepiscano a priori la difficoltà, rivalutando l'importanza attribuita alragionamento, all'interno dei processi risolutivi; e si sono resi conto inoltre di quan-to le emozioni siano collegate all'attività di risoluzione.

Insegnanti

In questo percorso di utilizzo delle prove oggettive, molteplici sono state le solleci-tazioni dirette o indirette che sono arrivate agli insegnanti ed hanno attivato un pro-cesso di autovalutazione. I momenti significativi sono stati: la previsione dei risultati di ogni alunno, il con-fronto tra le previsioni e i risultati, il confronto tra i risultati conseguiti della propriaclasse con quelli delle classi parallele, la rilevazione e l'analisi degli errori.Fondamentale è stato l'iter di lavoro relativo a questa attività, in cui gli insegnantisono stati protagonisti. Nessuno di loro ha avuto modo di visionare la prova prima

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(7) Adattamento da P. Poli, R. Zan, I disturbi del ragionamento e di apprendimento matematico- Le convinzioni deibambini sui problemi, Armando Editore, Quadrimestrale: Studi di psicologia dell'educazione, Anno XV, n.1-2/1996

del momento della somministrazione. Mentre gli alunni erano impegnati nello svol-gimento della prova gli insegnanti avevano il compito di prevedere il punteggio cheogni alunno avrebbe conseguito, conoscendone il punteggio massimo raggiungibilee visionando per la prima volta la prova. Le previsioni sono state quindi raccolte unitamente agli elaborati degli alunni e resti-tuite agli insegnanti insieme ai risultati.Il successivo momento di confronto delle previsioni con i risultati ottenuti daglialunni si è realizzato in situazione collettiva alla presenza degli insegnanti di area diogni interclasse e di un’insegnante utilizzata sul Progetto, all'interno delle ore dedi-cate alla programmazione.Là dove emergeva discrepanza tra le previsioni e i risultati si è innestata, quasi inmodo automatico, l'esigenza di riflettere su alcuni elementi che entrano in gioco inun processo di comprensione da parte degli alunni. Immediata e spontanea era la reazione degli insegnanti di fronte alla rilevazione diun errore ritenuto "banale": "Io non ho previsto male, perché sono sicura che lo sa,anche se qui ha sbagliato. Ha sbagliato, perché non ha letto bene la consegna!". Dopo questo percorso sulla valutazione di tipo oggettivo, sono scaturite almeno altredue riflessioni: la prima è stata quella di considerare quale attenzione didattica è statadedicata alla comprensione delle consegne: "Quante volte ho lasciato che gli alunnieseguissero autonomamente un esercizio, senza prima averne spiegato la consegna?…; l'altra è stata quella di analizzare le consegne degli esercizi, che normalmentevenivano proposti in classe: "Come erano formulate dal punto di vista linguistico?Erano presenti termini poco noti? L'interpretazione era univoca, chiara ed essenzia-le? Il contesto era conosciuto e non discriminante? …".

L'insieme dei dati emersi, ha attivato un processo di auto-analisi che ha portato gliinsegnanti a ripercorrere la propria progettazione in termini di: contenuti disciplina-ri, metodologia, tipologia di materiale proposto, tempi dedicati ad un contenuto spe-cifico, coinvolgimento e reazioni degli alunni. In certi casi si è potuta così rilevare lanecessità di progettare nuovi interventi didattici o di modificarne altri in atto.

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QUESTIONARIO: Leggi attentamente e metti una sola crocetta per ogni consegna

• Secondo te, perché i problemi di matematica si chiamano proprio problemi?a.� È un nome come un altro per distinguerli: si potevano chiamare anche esercizi.b.� Perché per la mente c'è una situazione difficile da risolvere.c.� Perché se un bambino non riesce a risolverlo, si trova in un problema.d.� Perché descrivono un problema di qualcuno, e ci chiedono di risolverlo.

• Cos'è secondo te un problema di matematica?a.� Un testo in cui ci sono dei numeri e una domanda.b.� Una situazione da risolvere con l'aiuto della matematica.c.� Un esercizio in cui bisogna decidere le operazioni da fare e poi farle.d.� Un esercizio che si fa nell'ora di matematica.

• Ci può essere un problema di matematica senza numeri?� Sì � No

• I problemi di matematica hanno sempre una soluzione?� Sì � No

• Giacomo ha fatto un problema: Si è accorto però di non aver usato un dato eallora decide di rifarlo perché pensa di aver sbagliato. Sei d'accordo con lui?� Sì � No

• È possibile che due compagni risolvano lo stesso problema in due modidiversi, e che abbiano ragione tutti e due?� Sì � No

• Alessandro dice: "Un problema con tante domande è più difficile di un pro-blema con una domanda sola". Sei d'accordo con lui?� Sì � No

• Alice dice: "Un problema con testo corto è più facile di uno con un testolungo". Sei d'accordo con lei?� Sì � No

• Nicola dice: "I problemi con numeri piccoli sono sempre più facili di quellicon numeri grandi". Sei d'accordo con lui?� Sì � No

• Secondo te a cosa serve fare un problema di matematica?a.� Per imparare a fare bene i conti.b.� A niente.c.� Perché la maestra vuol capire chi ha studiato e chi no.d.� Per imparare a ragionare.e.� Perché la maestra vuol capire chi è intelligente e chi no.

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• Secondo te in un problema è peggio fare un errore di calcolo o sbagliare ascegliere le operazioni?a. � Un errore di calcolo.b. � Sbagliare a scegliere le operazioni.c. � È lo stesso.

• Anna, Bruno, Claudio e Debora discutono su come si deve fare un problema,ma non sono d'accordo. Tu, a chi dai ragione?a. � Anna: "In un problema basta guardare bene certe parole e si capisce subito

l'operazione da fare.".b. � Bruno: "Bisogna capire bene la situazione e ragionando capire cosa si deve

fare.".c. � Claudio: "È meglio provare le operazioni che sembrano più adatte ai nume-

ri e alle parole del problema, e poi scegliere quello che torna meglio.".d. � Debora. "Non si può dire cosa si deve fare, dipende dal problema che ti

capita.".

• Quando devi risolvere un problema di matematica cosa fai?a. � Cerchi di ricordarti se ne hai già fatto uno uguale.b. � Cerchi di capire cosa vuole la domanda.c. � Ti fai dire da un compagno l'operazione che ci vuole.d. � Ricopi il testo e riscrivi i dati.

• Marco dice: "Un problema o lo capisci subito o non lo capisci più.". Seid'accordo con lui?

� Sì � No

• Giacomo dice: "I bambini bravi a fare problemi sono quelli più intelligenti".Sei d'accordo con lui?

� Sì � No

• Giovanna dice: "I bambini bravi a fare problemi sono quelli che si impegna-no di più". Sei d'accordo con lei?

� Sì � No

• Alessandro dice: "Ci sono dei bambini che non riusciranno mai a fare i pro-blemi". Sei d'accordo con lui?

� Sì � No

• Cosa provi quando la maestra dice: "Adesso facciamo un problema"?a. � Sei tutto emozionato ma contento.b. � Niente di particolare.c. � Sei emozionato perché non sai se ti riuscirà.d. � Hai una paura tremenda.

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Allegato 1

Istituto Comprensivo "D. M. Turoldo" Torino a.s. 2000/'01AMBITO/DISCIPLINA MATEMATICA: ARITMETICAORDINE DI SCUOLA ELEMENTARE: CLASSI: I - II - III - IV - V

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