MicroeconomiaFormediMercatoAppuntidilezione.GianlucaCasseseDipartimentodi Statistica-Universit` aMilanoBicocca,EdificioU7,stanza2097E-mail address: gianluca.cassese@unimib.itc _DipartimentodiStatistica,Universit`aMilanoBicoccaIndiceElencodellegure viiCalendariodellelezioni ixPrefazione xiParte1. Comportamentoindividuale 1Capitolo1. Preferenze,sceltaedomanda 31. Introduzione 32. Preferenze 33. Assiomi 44. Larappresentazionenumericadellepreferenze 6Capitolo2. Domandaindividuale 91. Ilconsumatore 92. Massimizzazionedeiprotti 123. Minimizzazionedeicosti 13Parte2. IlMercato 15Capitolo3. Equilibriodimercato: concorrenzaperfetta 171. Ilmodellocompetitivo 172. Ilfallimentodellaconcorrenza 19Capitolo4. Equilibriodimercato: ilmonopolio 211. Ilmodellomonopolistico 212. Unapplicazione: ilmodelloKlein-Monti 223. Lasopravvivenzadeimonopoli 274. Discriminazionedeiprezzi 28Parte3. Oligopolio 33Capitolo5. Cournot 351. Ilmodello 352. Ilimitiallacapacit`aproduttiva 37Capitolo6. Stackelberg 391. Variazionicongetturali 40iiiiv INDICECapitolo7. Bertrand 431. Ilmodello 432. Ivincoliallacapacit`aproduttiva 443. Lasceltadellacapacit`a 46Capitolo8. Hotelling 471. Ilmodello 472. Lastrategiadiprezzo 483. Lastrategiadellaqualit`a 494. Collusione 495. Lalocalizzazionepura 516. Molteimprese 51Capitolo9. Ladierenziazionedeiprodotti 531. IlmodellodiDixiteStiglitz 532. IlmodellodiShakedeSutton 54Parte4. CartellieCollusione 57Capitolo10. Lacollusione 591. Ilmodellobase 592. Lafragilit`adeicartelli 613. Lafragilit`adeicartellinelmodellolineare 634. Collusionemultiperiodale 63Parte5. Lentratasulmercato 67Capitolo11. Imercaticontendibili 691. Lacontendibilit`a 692. Lestrategie 703. Lebarrierestrategicheallentrata 72Parte6. Eserciziesoluzioni 73EsercizidalCapitolo1 75EsercizidalCapitolo2 77EsercizidaiCapitoli3e1 81EsercizidalCapitolo5 85EsercizidalCapitolo6 89EsercizidalCapitolo7 93EsercizidalCapitolo8 97EsercizidalCapitolo4 101INDICE vParte7. Testidesame 105Bibliograa 111Elencodellegure3.1 Ladeterminazionedellaquantit`aprodottainconcorrenzaperfetta 173.2 Geometriadeicosti 193.3 Modellolineareeconcorrenzaperfetta 204.1 Ladeterminazionedellaquantit`aprodottainmonopolio 224.2 Ladiscriminazionedeiprezzi 308.1 Laminimizzazionedelmassimodiduefunzioni 5011.1Congurazionenonsostenibile 7011.2Congurazionesostenibile 7111.3Ladomandalineare 8311.4EquilibridiCournot,FusioneeStackelberg 9011.5Lequilibriodelmercato 95viiCalendariodellelezioniGiorno Data Orario Aula ArgomentoMercoled` 4/5 13:30-16:30 U7-17 Introduzione. PreferenzeesceltaGioved` 5/5 10:30-12:30 U7-17 Preferenze,sceltaedomandaVenerd` 6/5 13:30-16:30 U7-16 FunzionedispesaefunzionediprottoMercoled` 11/5 13:30-16:30 U7-17 EsercitazioneGioved` 12/5 10:30-12:30 U7-17 Equilibriodimercato: concorrenzaVenerd` 13/5 13:30-16:30 U7-16 Equilibriodimercato: monopolioMercoled` 18/5 13:30-16:30 U7-17 Oligopolio: CournotGioved` 19/5 10:30-12:30 U7-17 Oligopolio: StackelbergVenerd` 20/5 13:30-16:30 U7-16 Oligopolio: BertrandMercoled` 25/5 13:30-16:30 U7-17 EsercitazioneGioved` 26/5 10:30-12:30 U7-17 Oligopolio: HotellingVenerd` 27/5 13:30-16:30 U7-16 Oligopolio: DierenziazioneMercoled` 1/6 13:30-16:30 U7-17 EsercitazioneVenerd` 3/6 13:30-16:30 U7-16 Oligopolio: Cartelliestabilit`aMercoled` 8/6 13:30-16:30 U7-17 LadecisionedientrataGioved` 9/6 10:30-12:30 U7-17 ImercaticontendibiliVenerd` 10/6 13:30-16:30 U7-16 EsercitazioneEsame: lesamesisvolger`ainformascritta.ixPrefazioneIn queste pagine ho raccolto, con laiuto di Valeria Gattai, gli appunti del corso di Microeconomia (Formedi mercato) impartito al biennio del corso di laurea magistrale in Statistica dellUniversit`a di Milano-BicoccanellA.A. 2008-09.Equantomai opportunospecicarechesi trattadi appunti di lezioneechesonostatiapprontatiesclusivamentealloscopodifornireunadeguatosupportoaglistudenti. Nonhoalcunapretesadi originalit`asenonnellasceltadellefonti dallequali attingere. Lusodi questi appunti non`econsentito(neconsigliato)peraltrenalit`achelapreparazionedellesame. Alcontrariolasegnalazionediqualsivogliaerrore,formaleomateriale,sar`aaccoltacongrandegratitudine.Chiunque, nonostantelaletturadi questenote, avessematuratounqualcheinteresseintellettualepergliargomentidelcorso `esenzaltroincoraggiatoadapprofondiregliargomentitrattatisuqualcunodeitestiriportatiinbibliograa. PerlamiaesperienzailtestodiKreps[3]`eforsequellopi` ucompletoeistruttivo,sebbene indiscutibilmente molto prolisso. Il libro di Green, Mas-Colell e Whinston [1] `e indicato soprattuttoper chi prediliga un approccio pi` u formale e meno intuitivo di quello seguito da Kreps. Il manuale di Varian[5] `e dei tre quello pi` u datato e pi` u semplice: si da gran risalto ai problemi della massimizzazione vincolata edella dualit`a ma `e molto povero in tema di teoria dei giochi. Inne il volume di Polo [4] `e un libro monogracodedicato alla teoria delloligopolio con un livello di formalizzazione molto contenuto ma un forte accento sugliaspettieconomici.Una gran parte del limitato valore di questi appunti sta nel fatto che quasi tutti i capitoli sono corredaticonunpiccolonumerodi esercizi. Lutilit`adegli esercizi stadaunlatonel fattocheessi fornisconounachiaraindicazionedelledicolt`ainsitenellesameeunopportunit`aperprepararsi adovere. Dallaltro, gliesercizi sonospessoparteintegrantedel programmanel sensochefornisconolopportunit`adi approfondirealcuniaspettiodiintrodurnealtri. InognicasoquellichesitrovanoinquestenotesonostatipreparatidaValeriaGattai acui vatuttalamiariconoscenzaperuntaleapportoeperavercontribuitoamigliorarealmenounpoilcontenutodiquestepagine.xiParte1ComportamentoindividualeCAPITOLO1Preferenze,sceltaedomanda1. IntroduzioneNonostante lagrande praticit`adi poter trattare le decisioni di unagente economicosullabase delpresuppostocheeglidispongadiunafunzionediutilit`a,questapropriet`arisultadiciledacomprendereedha, nella storia del pensiero economico, ingenerato la confusione che la teoria neoclassica si fondasse in modopreponderante su di un tale presupposto. Una confusione analoga si `e generata a proposito della funzione diproduzioneche`espessostataconsiderataunautenticoapriori dellateorianeoclassicadellimpresasenzainrealt`aesserlo.La pi` u moderna teoria economica di ispirazione neoclassica, che si sviluppa ad opera di Arrow e Debreu,hamostratocomepossafarsiamenodisupporredataunafunzionediutilit`aodiproduzione. Taliconcettivengonoinfatti sostituiti danozioni pi` uintuitive e generali quali quelladi ordinamentodi preferenzaeinsiemedellepossibilit`aproduttive,rispettivamente.Neiprossimiparagracercheremodiillustrarebrevementetaliconcettiedisviluppareillorocontenutoeconomico.2. PreferenzeCome si `e detto la teoria neoclassica della scelta si basa su di un unico presupposto ossia che lindividuoconsideratodi voltainvoltail consumatore, limpresa, unadatacollettivit`atrovandosi di fronteadueopzionix, ytratuttequelleidealmentedisponibili,trattecio`edauninsiemedatoX,sappiadeciderequalepreferisce. Possiamoimmaginarechelarelazionebinaria ~emergadauntesteettuatosottoponendodivoltainvoltaadundatosoggettodiversecoppiedialternativeeregistrandolapreferenzadichiarata. Intalcasolascritturax ~ y`eunmodosinteticoperdirecheallintervistato `estatasottopostalalternativatraxeyedeglihasceltox.Tuttaviapotremmotrovarcidifrontearispostechenonpossonoessereclassicatecomodamenteutiliz-zandoilcriterio ~. Ineettipossiamopensarechelintervistatorispondadicendocheconoscebenexeyeche le considera perfettamente equivalenti. Oppure potrebbe dire che non sa nulla di x e di ye che pertantononsaprebbeassolutamentecosascegliere. Intalcasodobbiamoconcluderecheyx(echexy)ilchesiscrivepi` ucomodamentecomex _ y. Questo`eunmodosinteticoperscriverechelintervistato,postodifronte alla scelta tra x e ynonha scartato x. Come abbiamo visto le ragioni potrebbero essere molteplici. Sidiceintalcasoche _rappresentaunordinamentodipreferenzainsensodebole. Neicasivistinellesempio,in cui in realt`a si ha tanto x _ yche y _ x scriviamo pi` u sinteticamente x yil che spesso si indica col direchelagenterisultaindierentetraxey.Sebbene risulti perlopi` u equivalente descrivere le preferenze tramite lordinamento forte o quello debole,unadierenzasicoglieper`onellinterpretazionedelconcettodiindierenza.Consideriamodueopzioni,xey,tralequaliilsoggettodanoiintervistatonon `eingradodiesprimerealcunapreferenza, ossianonsascegliere. Intal caso, daquel chesi `edetto, dobbiamoconcluderex y.34 1. PREFERENZE, SCELTAEDOMANDATuttavia nel dire che lagente si dichiara indierente tra x e y vi `e una certa forzatura poiche dirsi indierenteimplicacomunquelacapacit`adicomparareleduealternativementre,nellescluderex ~ yey ~ x,lagentepotrebbeintenderesemplicementedinonessereingradodidarenessunavalutazionerelativatraxey. Sinotiinfattichevalenecessariamentelapropriet`aseguente:(1.1) perognicoppia x, y X siha x _ y, oppure y _ x oppureentrambeCi si riferisceaquestapropriet`adicendochelordinamentodi preferenzadebole _`ecompleto, ossiachesi applicaallinteroinsiemeXdellescelte. Questaprimapropriet`adi completezzanonappartieneinveceallordinamentoforte. Qualialtrepropriet` apossiamoragionevolmenteattendercichesianosoddisfatte?3. AssiomiLateoriaeconomicahasuggeritodiconsiderarequestecondizionirelativamenteallordinamentoforte:(S1)irriessivit`a: nonesistealcunx Xtalechex ~ x(S2)asimmetria: sex ~ yalloranonpu`oaversiy ~ x(S3)transitivit`anegativa: sex, y, z Xex ~ yalloraox ~ zoz ~ y.Utilizzandocomepuntodi partenzalepreferenzeinsensodebole, si consideranoingenereleseguentipropriet`a(oltreallacompletezzagi`avistasopra):(W1)riessivit`a: perognix X,x _ x1;(W2)transitivit`a: z _ xey _ zimplicanoy _ xQuantoalla relazionediindierenza,essasoddisfa lemedesimepropriet`a diquelladipreferenzadebole,ossiariessivit`aetransitivit`a(manoncompletezza).Evidentemente,~`e irriessivase e solose _e sonoriessive; latransitivit`adi _equivale allatransitivit`anegativadi ~. Sidiceche e ~rappresentinolapartesimmetricaelaparteasimmetricadi _,rispettivamente.Questerestrizioni, comunementeindicatecomeassiomi del corrispondentesistemadi preferenze, po-trebberoaprimavistasembrareovviemameritanocomunquequalchecommento. Laprimacondizione`etradizionalmenteconsiderataunacondizionedi consistenza. Percomprenderlaimmaginiamocheessasiaviolata, ossiachevi siaunopzionedi sceltax Xtalechex ~x. Questosignica, intermini del nostrotestimmaginario, cheabbiamodatolamedesimaetichetta, xperlappunto, adueopzioni cheil soggettoinquestioneconsideradierenti al puntodasancireunachiarapreferenzaperlunaversolaltra. QuestopotrebbeadesempioaccadereseavessimoclassicatoduePCsemplicementecomecomputersebbeneirelativi processori appartengano a due generazioni dierenti. In altre parole,una violazione del primo assio-maindicachelaclassicazionedellesceltenoncorrispondeaquellaformulatadalsoggettoche`echiamatoascegliereevi `edunqueunaincongruenzatraicriteridisceltaeettivielanostradescrizionediessi.La propriet`a di transitivit`a `e anchessa signicativa poiche garantisce che le preferenze espresse eettiva-menterappresentinounvalidocriteriodiscelta. Immaginiamochex, y, z Xrappresentinounaviolazionedi tale assioma nel senso che x ~ y, y ~ zma z ~ x. Si ha in tal caso un ciclo nelle preferenze: sottoponendo1Questapropriet`a`einrealt`agi`aimplicitanellacompletezza3. ASSIOMI 5divoltainvoltaunacoppiadialternativaalnostroagenteeconomico,nericeveremmounarispostasemprediversatalecheeglinonsappiadifattoeettuareunasceltadenitivatrax,yez.Non`edicileosservarenellarealt`aunasimile, paradossalesituazione. Poniamoadesempiochevisiauna collettivit`a di tre agenti, a, b e c chiamati a scegliere tra tre opzioni, x, y e zed aventi il seguente sistemaindividualedipreferenze:x y za 1 2 3b 2 3 1c 2 1 3doveil numeroindicatonellatabellacorrispondeallaposizionerelativadellaopzioneindicataincolonnanellordinamentodellepreferenzedellagenteriportatosullariga. Evidentemente,talegruppodiindividuisitrovaindicolt`asedevevotaresecondounaprocedurabinaria. Infatti selaproceduraprevededi votaredapprimatraxeyepoi lopzionevincentecontroz, si avr`acheallaprimavotazioneprevaley(poicheottiene i voti di a e di b), alla seconda prevale zche raccoglie i voti di a e c. Tuttavia se lordine di votazionefossestatoycontrozeilvincentecontroxnelleduevotazionisarebberopassateinsequenzalemozionizex. Dunque,seguendolaprimaprocedurasiapprovalopzionez;seguendoalseconda,lopzionex. Dueesitidiversiperlostessoinsiemedialternative: ilparadossodelvotomaggioritario.Lesempio chiarisce che violazioni dellultimo assioma, quello di transitivit`a, rendono di fatto indecifrabileilprocessodecisionalepoichelesolepreferenzedeldecisore(nellesempiolacollettivit`a)nonsonosucientiaprodurreunadecisioneunivoca. Questasituazioneemergemoltofrequentementenegliesempitrattidallascienzapoliticaeinparticolarenelleteoriadelvoto. UnclassicoteoremachesideveadArrowaermachein una collettivit`a lunico sistema di voto che garantisca lassenza di cicli delle preferenze ed una serie di altrepropriet`achequinoninteressadiscutere `eunsistemanelqualeledecisionisonopresedaunsoloagente,ildittatore. QuestoincredibilerisultatodiArrowhaoriginatounavastaletteraturachesioccupa,tralealtrecose, di come debbano essere disegnate le istituzioni della Comunit`a Europea dopo lallargamento perche siagarantitalecienzadelprocessodecisionale.Altrepropriet`avengonotalvoltaaggiunteaquellegi`aviste. Lapi` uaccettabilesottoilprolodellintui-zioneeconomica `elamonotonicit`a: x, y Xex yimplicanox _ ydellaqualeesisteunaversioneforte:monotonicit`astretta: x, y Xex yex ,= yimplicanox ~ ySpessosi utilizzaunconcettoulterioreperlacui formulazione`eper`onecessariosupporrecheXsiaunospazionormatononsaziet`alocale: sex Xe > 0alloraesistey Xtaleche |x y| ey ~ x.Inoltre `espessoconvenienteintrodurreanchepropriet`atopologiche:6 1. PREFERENZE, SCELTAEDOMANDAcontinuit`a: per ogni x Xgli insiemi Vx y X: y ~xeVx y X: x ~ysonoapertiinX.Questultima propriet`a non ha una facile interpretazione economica, ma `e estremamente utile sotto il proloanalitico,comevedremo.4. LarappresentazionenumericadellepreferenzeCertamenteunmodoassaisemplicedirappresentarelepreferenze `equellodiavereunascalanumerica.Seadesempioleopzionidiscelta-ossiaglielementidiX-sonoredditiocomunquehannounaimmediataquanticazione monetaria, allora `e semplice decidere sulla base del criterio del reddito maggiore. In generale,possiamochiederciseesistaunafunzioneU: X Rtaleche(1.2) x _ y seesolose U(x) U(y), x, y XNon`edicilenotarecheunatalefunzione, seesiste, `eunarappresentazioneanchedellordinamentoforte,nelsensochex ~ y seesolose U(x) > U(y), x, y XInoltre, seesisteunafunzionecomelaUalloralepreferenzeforti soddisfanolepropriet`avisteinpre-cedenza: irriessivit`a, asimmetriaetransitivit`anegativa. Consideriamoorail problemainversoossiadiunordinamento _riessivo, completoetransitivoeci chiediamoseessoammettaunarappresentazionenumerica. Dapprimaconsidereremoilcasospecialeincui _ `eanchemonotonoecontinuo.4.1. Uncasospeciale. ImmaginiamochelospazioXsialineareetalechelimntnx=txperognix Xeogni successione tnnNcheconvergaat inR(questo`eadesempioil casoseX`eunospazionormato). SupporremoinoltrecheXammettaunelementoe Xtalechete ~ t

eseesoloset > t

echeperognix XentrambigliinsiemiVxeVx(denitipi` usopra)senonvuoticontenganounelementodellaformatepert R. Datalipotesi di monotonicit`aquestasituazionecopreil casoX= Rkconk>0-siprendaecomevettoreunitario. Cerchiamodirappresentarenumericamentelepreferenze _. Naturalmentesi trattadi uneserciziomoltofacilesepercasotutti gli elementi x, ydi Xsonotali percui x y: sar`asucienteporreU(x) = 1qualunquesiax. Consideriamoilcasoincuiviasiaunaqualchecoppiax, y Xtalechex ~ y.Fissiamox Xeconsideriamogliinsiemi(1.3) Tx= t R : te Vx Tx= t R : te VxConsideriamoquegli elementi x Xtali cheTx, Tx ,= . Sottolipotesi chelepreferenzesianocontinue,entrambiquestiinsiemisonoaperti. Infattiset Txvi`eunintornoUditeinclusoinTxeunintornoDdi ttalechet

Dimplicat

e U Txossiat D Tx. Lostessoidenticoargomentosi applicaaTx.Siccomelaretta`econnessa, videveessereunelementotnoninclusoinTx Txedunquetalechete x;inoltre,essendolepreferenzemonotone,vipu`odifattoessereunsoloelementocontalicaratteristiche: losiindichicomet(x). Deniamoquindi(1.4) U(x) =___ se Tx= t(x) se Tx, Tx ,= se Tx= 4. LARAPPRESENTAZIONENUMERICADELLEPREFERENZE 7Si noti che questadenizione nongeneradicolt`aperche il casoTx=Tx=`e equivalente al casoVx= Vx= edimplicax yperogniy Xelabbiamoesclusoinprincipio.Per vericare che la funzione Usia una rappresentazione numerica delle preferenze, consideriamo il casox ~ynel qualenecessariamenteU(x)> eU(y)< . SeU(y)= oU(x)= ladisuguaglianzaU(x) >U(y) `e ovvia; altrimenti osserviamoche U(x)e x ~y U(y)e: per latransitivit`anegativaci`oimplica, U(x)e ~U(y)ee, perlamonotonicit`a, U(x)>U(y). Osserviamochex yimplica, perlatransitivit`anegativa, (Vx=VyeVx=Vyedunque) Tx=TyeTx=Ty: dunqueU(x) =U(y). SequindisihaU(x) > U(y)possiamoescludereilcasoy ~ xcos`comeilcasox yenonrestapertantocheconcludere x ~ y il che conclude la dimostrazione. In altre parole la funzione t : X R `e la rappresentazionenumerica delle preferenze che stavamo cercando. Si noti che tale funzione `e anche continua,poiche linsiemey X:U(y)>U(x)= y X:y ~x`eperipotesiapertocos`come y X:U(y)um. SezN znperqualchen=1, . . . , N 1, si pongauN=un; altrimenti si scelgauN Rcompresostrettamentetraidueestremi(1.5) infun: xn ~ xN, n = 1, . . . , N 1 > supun: xN ~ xn, n = 1, . . . , N 1(doveconvenzionalmentesi poneinf =1esup =0). Non`edicileconcluderechezn ~zmseesoloseun>umeche0 un 1per n, m=1, . . . , N. DeniamolafunzioneV : Z Rimplicitamenteponendo V (xn) = un, n = 1, 2, . . .. Anche in tal caso non `e dicile concludere che V`e una rappresentazionedellepreferenzelimitatamenteaZ. Consideriamooraungenericox Xeponiamo(nuovamenteconlaconvenzioneinf = )(1.6) U(x)

{xnZ:xxn}V (xn)2n8 1. PREFERENZE, SCELTAEDOMANDAPerlatransitivit`aelipotesi circaZ, x ~yseesolose z Z:y ~zz Z:x ~zil cheimplicaU(x)>U(y). Viceversasi ipotizzi chey _x. Alloraz Zex ~zimplicanoy ~zperlatransitivit`anegativaedunque xn Z: x ~xn xn Z: y ~xndunque, perla(1.6), U(y) U(x): dunqueU(x)>U(y)escludechepossaaversi y _xepertantoimplicax ~x. Si noti che0 U(x) 1perognix X.CAPITOLO2DomandaindividualeDatelepreferenzecheassumeremosenzaltroammettereunarappresentazionenumerica `efaciledescri-vereformalmenteil problemadi ogni agenteeconomico, siaessounconsumatore, unimpresaodaltro. Sitrattasemplicementedirisolvereilproblema(2.1) maxxBU(x)doveBcontrassegnalinsiemedellescelteammissibiliperlagente. Seperesempiositrattadiunconsuma-tore, Brappresentalinsiemedi tuttelesceltedi consumocompatibili col suoinsiemedi bilancio. Pi` uingeneraleBdescrivelinsiemedeivincoli aiqualilagentedevesottostarenellesuescelteedi voltainvoltamutacolproblemapresoinesame.1. IlconsumatoreDal punto di vista del consumatore, dato un reddito disponibile Ye i prezzi p Rkdei beni, il problemadarisolvere `e(2.2) V (p, Y ) maxxB(p,Y )U(x) dove B(p, Y ) x Rk+: px Y Talvoltasi ipotizzacheil redditoY provengadadotazioni di beni di cui il consumatoredisporrebbeesogenamente. Intalcasoilvincolodibilancioprendelaformadelladisuguaglianzap(x ) 0.Nella(2.2) abbiamofattoimplicitamente unaserie di ipotesi. Anzituttoche lasceltacoinvolgadeipanieri di kpossibili beni. Secondo, che i consumi di ciascuno di questi beni siano quantit`a positive. Inoltre,circostanzaforseancorapi` usignicativa, abbiamosuppostocheil consumatorenondebbasoggiacereadalcunaltrarestrizionesenonquellaindottadal propriopoteredacquisto. Abbiamocio`efattoastrazionedalfattochesutalunimercatinonsipu`oacquistareunaquantit`aapiacereperlesistenzadiindivisibilit`a,cos` comeabbiamosuppostochelaspesasiaunafunzionelinearedei prezzi, il cheeliminacontratti pi` ucomplicati checontemplanolapossibilit`adi sconti odi tariespeciali. Nel casodi redditodadotazioni, ilvettorex vieneingeneredescrittocomeconsumonetto.Si noti che, qualora le funzioni implicate siano dierenziabili in modo opportuno, allora il problema (2.2)sirisolvemassimizzandolafunzioneLagrageanaseguente(2.3) (x, p, Y, ) = u(x) +(Y px)lacuicondizionidelprimoordinesono(2.4)___0 =uxnpnn = 1, . . . , N0 = (Y px)0 px Y910 2. DOMANDAINDIVIDUALELasoluzionedelsistema(2.4),seesiste,vieneindicatacolsimbolox(p, Y )evienedenominatafunzionedidomanda(oanchefunzionedidomandamarshalliana). Ovviamente(2.5) V (p, Y ) = U(x(p, Y ))elafunzioneV vienedenominatafunzionevaloreoanchefunzionediutilit`aindiretta.Comevedremo, lafunzionedi utilit`aindiretta`eunostrumentopiuttostoimportantepoicheconsenteuna descrizione completa del comportamentodel consumatore in funzione della variabili di mercato. In lineadi principio, sebbene la cosa prospetti in realt`a notevoli dicolt`a pratiche, lutilit`a indiretta potrebbe essereinferita dal comportamento del consumatore sul mercato. Dunque, sempre in linea teorica, la (2.5) potrebbeconsentiredirisaliredallutilit`aindirettaallafunzionediutilit`aoriginaria,U. Glieserciziriportatiallanedi questocapitolorichiedonoesattamentedi esplicitaretalelegame. Il punto, per`o,`echela(2.5)consentedi valutarelutilit`asoloincorrispondenzadellasceltaottimaxenonfornisceinformazioni ulteriori. Setuttavialafunzione (p, Y ) X`e suriettiva ossiase per ogni x Xesiste unacoppia(p, Y ) tale chex = x(p, Y )alloralasciandovariareiprezziedilredditopossiamoricostruirelinterafunzionediutilit`a.Linterpretazionedel moltiplicatorenella(2.4)haunsignicatoeconomicoparticolaresul qualetor-neremo. Infatti datoche, selepreferenzesonononsazie, devevalerenecessariamentepx(p, Y ) =Y(altrimenti vorrebbe dire che unaparte dellacapacit`adi acquistodel consumatore rimane inutilizzata),segueperdierenziazioneN

n=1pnxnY= 1sigiungeallaconclusioneseguente:(2.6)VY=N

n=1uxnxn=xnxnY= N

n=1pnxnY= ossiail moltiplicatorenon`echelutilit`a(indiretta)marginaledel redditoovverolincrementomarginaledellutilit`amassimaconseguibileallaumentaredelreddito.Naturalmenteabbiamosorvolatosutaluniaspettimatematici,primofratuttichelafunzionevaloresiabendenita. Notiamochesei prezzi sonostrettamentepositivi, allorail vincolodi bilancio`euninsiemecompatto. Pertantoselafunzionediutilit`a `econtinua,talemassimoesiste,dunquelaV`edenita. Inoltreselepreferenzesonononsazie,allora `efacilevericarelepropriet`aseguenti:(1) V`eomogeneadigradozeroequasi-convessa1;(2) strettamentecrescenteinY enoncrescenteinp;(3) separatamentecontinuainpperp 0einY perY 0.Lafunzionedi utilit`aindirettanondescrivealtrocheil massimolivellodi utilit`achepu`oraggiungersiperundatolivellodei parametri. Includendoodescludendodallalistadei parametri talunegrandezzesiottengonodiversiconcettidiutilit`aindiretta. Adesempiopotremmodenirelagrandezza(2.7) V (x1, p, Y ) = max_u(x1, y) : y RN1+,N

n=2pnyn Y_nellaqualecio`elaquantit`ax1del bene1`elasciatacostante2. Nel seguitofaremospessoricorsoadunafunzione di utilit`a che, oltre alle quantit`a consumate, include il reddito e/o i prezzi. Un tipo particolarmente1Ossia,sex, y X,V (x) V (y)e [0, 1]alloraV (x + (1 )y) V (x).2Spesso`ecomodorisparmiaresullanotazioneedometteretalunedellevariabili checompaionotragli argomenti dellesuddettefunzioni. Spessolafaremosenzaavvertimentiparticolari(adesempionella(2.9)).1. ILCONSUMATORE 11sempliceditalifunzioni `elaseguente(2.8) V (x1, p, Y ) = V (x1) +YNelleapplicazioni,inoltre,lafunzionediutilit`aindiretta `eparticolarmenteutile,adierenzadellafun-zione di utilit`a tout court, poiche consente di determinare quantit`a quali il massimo prezzo che il consumatoresarebbe disposto a pagare pur di consumare una data quantit`a del bene. Si tratta semplicemente di risolvereperpris1lequazione(2.9) pris1(x1, Y ) sup z R+: V (0, Y ) V (x1, Y z)ossia il prezzo maggiore che il consumatore `e disposto a pagare in unopzione prendere o lasciareche limpresaintendesseproporgli. Questoprezzovienespessoindicatoconlespressioneprezzodiriserva.Abbiamo inoltre sorvolato sulla unicit`a della soluzione della (2.4) che abbiamo dato per scontata parlandodi x(p, Y )comedi funzionedi domanda. Lunicit`a`egarantitaselafunzionedi utilit`asoddisfainoltrelaseguentepropriet`adiconcavit`a:U(x + (1 )y) > U(x) + (1 )U(y) 0 < < 1Intalcasolasoluzione `eunicaevieneindicatacome(2.10) x(p, Y ) argmax U(x) : x B(p, Y )Non `edicileosservarechelafunzionedidomanda `eomogeneadigradozero.Associatoal problemadellamassimizzazione dellutilit`adatoil vincolodi bilanciovi `e quellodellaminimizzazionedellaspesaperdatolivellodiutilit`a,ossia(2.11) e(p, u) minpx : U(x) uLa funzione e viene in genere chiamata funzione di spesa e soddisfa le seguenti propriet`a: Inoltre si dimostranoleseguentipropriet`a:(1) lafunzionee `eomogeneadigrado1neiprezzi;(2) e `estrettamentecrescenteinuenondecrescenteinp;(3) e `econcavainp.`Echiarocheiproblemi(2.2)e(2.11)sonointerdipendenti,o,comesidicetecnicamente,inrelazionedidualit`a. Si noti nuovamentecheselafunzionedi utilit`a`econtinualafunzionedi spesa`enecessariamenteben denita. La soluzione del problema (2.11) viene chiamata funzionedidomandahicksianae indicata conh(p, u)ossia(2.12) h(p, u) argmin px : U(x) uSussistonoalcune importanti relazioni trale funzioni introdotte inquesti paragraquantomenoselepreferenzesonocontinueedi prezzi strettamentepositivi, comesupporremosenzaltro. Inparticolarepossiamoevidenziarequantosegue:(2.13) e(p, u) = ph(p, u)Ci`oseguedirettamentedalpresuppostodellesistenzadelminimonella(2.11).Selepreferenzesonomonotonevaleinoltre(2.14) U(h(p, u)) = u12 2. DOMANDAINDIVIDUALEdalla(2.14)seguonoanche:(2.15) V (p, e(p, u)) = u(2.16) e(p, V (p, Y )) = Ye,inne,(2.17) h(p, V (p, Y )) = x(p, Y )Tuttequesterelazioni chebisognerebbeaverelapazienzadi dimostrareperbene, contengonoalcuneindicazioninelcasochevisiaunsucientegradodidierenziabilit`a.Infatti,dierenziandola(2.15)rispettoaiprezzisiottiene0 =Vpi+VYepiDierenziandola(2.14)etenendocontodellecondizionidelprimoordinedella(2.11)siha0 =k

i=1Uxihipj= k

i=1pihipjj= 1, . . . , kdunqueepi= hi(p, u) +p hpi= hi(p, u)concludiamo(2.18) xi(p, Y ) =epi= V/piV/YQuesta relazione `e meglio nota come legge di Royo identit`a di Roy. Il signicato economico di questa relazionesipu`ocogliereimmaginandodiosservareunaumentoinnitesimodelprezzopi. Percontinuareacomprareesattamentelamedesimaquantit`axi(p, Y )cheacquistavaprimadellaumento,ilconsumatoreavr`abisognodi aumentareil redditodi xidpiunit`a. Naturalmentesepotessedisporredi untaleaumentodel redditoilnostro consumatore potrebbe anche scegliere di spenderlo diversamente e cio`e di non acquistare esattamentelo stesso paniere che comprava prima. Se egli sceglie di modicare i propri acquisti ci`o modicher`a il suo livellodimassimautilit`a. Dunque `elecitoattendersicheunavariazione(dpi, xidpi)accrescalutilit`amassima. Laleggedi Royci dicecheinveceessarester`ainvariataechedunquepossiamofareastrazionedal problemadellasostituzionetraconsumisequestisonosceltiinmodoottimale.2. MassimizzazionedeiprottiIl problema del consumatore descritto pi` u sopra ha una diretta analogia con quello della produzione. Ladierenza`eduplice. Daunlato`eunasceltadeltuttocondivisibilequelladiporrecomefunzionediutilit`adellimpresasemplicementeil protto. Secondariamente, laproduzioneadierenzadel consumosottostaadalcunerestrizioni tecnologichedellequali `enecessariotenereconto. Ossianontuttelecombinazioniproduttivesonotecnicamentefattibili.In genere la produzione pu`o essere vista come un processo di trasformazione di input in output. Dunqueciascun processo produttivo pu`o essere visto come un vettore z Rdin cui talune componenti sono positive erappresentanolequantit`aprodottedelcorrispondentebene;altresononegativeerappresentanolequantit`autilizzate del corrispondente fattore produttivo. Linsieme Zdescrive tutte le combinazioni di input ed3. MINIMIZZAZIONEDEI COSTI 13output chesonofattibili sottoil prolotecnico. Seq Rdrappresentail vettoredei prezzi di input edoutput,allorailprottodellimpresachedecideilpianoproduttivoy Y sar`apariaqy.LeipotesisullinsiemeZdellepossibilit`aproduttivesonotipicamenteleseguenti:(1) sez Zez

zalloraz

Z;(2) 0 Z;(3) sez, z

Ze0 1alloraz + (1 )z

Z.Inoltre, `e consuetudine classicare alcune situazioni interessanti. Si dice che latecnologiapresentarendimentidiscala:(1) noncrescentisez Ze0 1implicanoz Z;(2) costantisez Ze0 implicanoz Z;(3) nondecrescentisez Ze 1implicanoz Z;Inoltre, talvoltail vettorezdi input netti vienedecompostoinduevettori scrivendoz =(x, y) diquantit`apositivex Xey Y cherappresentanorispettivamentegli input egli output del processoproduttivo. Perognilivelloproduttivoy Y`epossibiledenirelinsiemedeirequisitiproduttiviX(y) x X: (x, y) ZLascomposizionedel vettoredi outputnetti corrispondealladecomposizionedel vettoredei prezzi comeq= (w, p)incuiw`eilvettoredeiprezzidegliinputepquellodeiprezzideglioutput.IngenerelinsiemeX(y)soddisfaleseguentipropriet`a:(1) sex X(y)ex

xallorax

X(y);(2) X(y) `econvesso.Ilproblemadellimpresapu`odunquevedersicome:(2.19) (q) maxqz: z Z oequivalentemente (w, p) maxpy wx : (x, y) ZCony(p, w)ex(p, w)indichiamolasoluzionedi(2.19),ossia,(w, p) = py(p, w) wx(p, w)Sottoleipotesifattepi` usopralafunzioneprotto `eomogeneadigrado1,continuaeconvessa.Osserviamoche(q)qi= q z(q)pi+zi(q)=zz=z(q)z(q)qi+zi(q) (2.20)= zi(q)Questorisultato `enotocomelemmadiHotelling.3. MinimizzazionedeicostiAnalogamenteaquantofattoperlateoriadel consumatoreancheperlimpresaesisteunafunzionedispesachequisichiamafunzionedicostoed `edenitacome(2.21) c(y, w) minwx : x X(y)La soluzione della (2.21) viene denominata domanda(condizionale)difattori e si indica con x(w, y). In altritermini,c(w, y) = wx(w, y).14 2. DOMANDAINDIVIDUALEAncheperlafunzionedicostoesisteunarelazionedeltuttosimilealla(2.20)c(w, y)wj= w x(w, y)wj+xj(w, y) = xj(w, y)=cxx=x(w,y)

x(w, y)wj+xj(w, y) (2.22)= xj(w, y)Questorisultato `enotocomelemmadiShepard.Parte2IlMercatoCAPITOLO3Equilibriodimercato: concorrenzaperfetta1. IlmodellocompetitivoLeimpreseconsideranoi prezzi dati, ossiareputanodi nonpoteresercitarealcunainuenzasul livellodeiprezzitramitelepropriedecisionidiinvestimento. Ci`oequivaleasupporrecheilpesodellaproduzioneindividualesultotaledelmercatosianullo. Unmodopermodellaretalesituazione `equellodisupporrechevisiauncontinuumdiimpreserappresentatodalladistribuzioneuniformesullintervallo[0, 1].Ilproblemadellesingolaimpresa `edunqueilseguente:(3.1) maxqpq c(q)Immaginandochelafunzionedicostosiadierenziabileconderivatadc(q) /dq MC(q),lacondizionedelprimoordinediviene:(3.2) p = MC(q)Lacondizione(3.2)si rappresentacomodamenteintermini graci, comenellaFigura3.1sottostantenellaquale simostracome unpunto nelqualevalessep > MC(q)nonpotrebbe certo risultare ottimaleessendovimododi aumentarei protti tramiteunaumentodellaquantit`aprodotta. Sei costi marginali MChannounandamentoinnecrescente,allorauntaleincentivoadaumentarelaquantit`aprodottaporter`aprimaopoiaraggiungerelasoluzioneottimaleqnellaqualep = MC(q).Possiamofarealriguardotreconsiderazioni p q MC 1q0qC *qFigura3.1. Ladeterminazionedellaquantit`aprodottainconcorrenzaperfetta1718 3. EQUILIBRIODI MERCATO: CONCORRENZAPERFETTA(1) la(3.2)nontienecontodelladisuguaglianzaq 0, ossialaconsideraautomaticamenteveraconsegnostretto. Pi` uingeneralelacondizionedelprimoordinedovrebbeessere(3.3) p MC(q) 0 e (p MC(q))q= 0(2) immaginandocheicostimarginalisianounafunzionemonotonadellaquantit`aprodottaeinpar-ticolareche, per viadei rendimenti di scaladecrescenti, dMC(q) /dq >0, alloradalla(3.2) sideduceq= f(p) condfdq=_d2Cdq2_1Echiarochedaquestaespressione, esottoleopportunecondizioni sui costi, si pu`odedurrecheeettivamentelaquantit`aprodottasar`apositiva(3) Il fattocheil prottovengamassimizzatonongarantiscecheil massimolivellodel prottosiaeettivamente positivo. Ineetti nella(3.2) noncompaionoi costi ssi, ossiatutti quei costisostenuti dallimpresa per poter produrre ma indipendenti dalla quantit`a prodotta. Taluni diquesti costi sonoirrecuperabili (sunkcosts) nel sensoche, anchequaloralimpresadecidessediritirarsidalmercato,essirimarrebberounavocedelpassivo. ImmaginateilmercatodelleTLCincui gli operatori possono entrare sul mercato solo pagando una licenza. Una volta fatto ingresso sulmercatotalecostononpotr`api` uvenirerecuperato. Ladecisionediprodurre,allora,nondipendedaquestevoci di costo. La(3.2)pu`oallorainterpretarsi dicendochentantochep>MC(Q)ladecisionedi aumentarelaproduzionedi ununit`ahasensoeconomicopoichelaumentodei costichesegue `epi` uchecoperto dallaumentodeiricavitotali. Dunque,anche seiprottitotalifosseronegativi,aumentarelaproduzioneservirebbearidurreleperdite.Unaltromododiconsiderarequestultimopunto `eilseguente. Seq> 0,allora > 0implica0 AC. Una rappresentazione graca del possibile andamento dei costi `e tracciatanellaFigura3.2La minimizzazione dei costi medi (e dunque lesaurimento del tratto nel quale essi decrescono) viene con-siderato in genere un criterio di ecienza produttiva,nel senso che `e socialmente desiderabile che le impreseriescanoaprodurrealmenoquantonecessarioaraggiungerelascalaottimalediproduzione. Diversamentecitroveremmonellasituazioneparadossalediimpreseche, afrontediunariduzionedeiprezzi, potrebberoaccrescerelaproduzione. Si noti cheseesistonocosti ssi, perchei costi medi sianocrescenti,`esenzaltronecessario che lo siano i costi marginali. Lipotesi che spesso, per ragioni di comodo, faremo di costi marginalicostanti,escludecheunimpresaoperanteinconcorrenzaperfettapossacoprireipropricostissi.Il fattocheinconcorrenzaleimpresepotrebberoinlineadi principioavereprotti negativi, ossiachepossa valereMC(q) < AC(q) `e una situazione problematica sulla quale dovremo tornare in seguito. Peroraosserviamosolocheseancheleimpresenelbrevepreferisconocomunqueprodurre,ex-antenessunadiesseentrerebbemai inunmercatoconquestecaratteristiche. Qual`edunquelaformadi mercatoadeguataadunmercatoincui il livellodelladomanda`etalmentebassodanonconsentireadimpreseconcorrenziali dicoprireilminimodeipropricostimedi?2. ILFALLIMENTODELLACONCORRENZA 19 q AC(q), MC(q) AC(q) MC(q) p a concorrenzFigura3.2. GeometriadeicostiNaturalmente `e sempre possibile aggregare il gran numero di imprese concorrenziali in ununica impresa.`EsucientecostruirelagrandezzaseguenteQ(x) =

{i:MCi(qi)=x}qiLafunzioneQpu`oessereinterpretatacomefunzionedi oertaaggregataodi mercatopoichemisuralaquantit`acomplessivamenteprodottadatuttequelleimpresei cui costi marginali sonopari axossiachesoddisfanola(3.2) incorrispondenzadi unprezzoapari ax. Questacostruzione`e tuttaviaunamerarappresentazione di comodo poiche il mercato pu`o ben vedersi come ununica impresa ma nelle proprie sceltequestaimpresa `einconsapevoledellimpattoesercitatosulmercato.1.1. Concorrenzanel modellolineare. Consideriamoilcasoincuiladomanda(inversa)edicostiabbianoformalineare,ossia(3.4) p = ABq c(q) = F+cq con A > cQuesto semplice modello ci servir`a per numerosi esempi. Applicando i risultati visti precedentementeotteniamoossia(3.5) p = c, q=AcB, = Fdove qindica qui la quantit`a complessivamente prodotta dallinsieme di tutte le imprese. Se le imprese sonotutteidenticheedistribuiteuniformementesullintervallo[0, 1]alloraqcoincideancheconlaquantit`adallasingolaimpresa.IlmodellolineareelequilibriodiconcorrenzasirappresentanointerminigracinellaFigura3.32. IlfallimentodellaconcorrenzaIl risultatoprecedentesi pu`oleggereancheinnegativo. Seladomandadi mercato`eparticolarmentecontenutatalecio`edanonpotercoprireil minimodei costi medi leimpreseinconcorrenzaperfettasono20 3. EQUILIBRIODI MERCATO: CONCORRENZAPERFETTA q p A c Bc A BA Figura3.3. Modellolineareeconcorrenzaperfettadestinateadavereprottinegativiossianon`epossibilenellungoperiodofornirequeldeterminatobeneincondizioni concorrenziali. Il modellocompetitivorichiededunqueunadimensionedel mercatosuciente-menteampiarispettoallascalatecnicaeciente. Seadesempiolatecnologiaproduttivaimplicasseelevaticosti ssi edunquerichiedesseampi volumi di produzioneperpotercoprirei costi medi, lassazionedelprezzoalcostomarginalepotrebbenonconsentireprottipositivi. Questasituazionesiadattaabbastanzabeneamercaticaratterizzatidagrandiimmobilizzazioni,qualileretiditrasmissionedeidati(tipicamentelatelefonia).Immaginiamocheil singoloconsumatorepossaacquistareal pi` uunaunit`adel beneinquestioneechelasuafunzionediutilit`a(indiretta)siadeltipoU(x) = u +bx +dy u, b, d > 0dovex 0, 1eyrappresentailredditoresiduodelconsumatore. Seilprezzodivendita `epalloralutilit`aconseguitadelconsumatoreacquistandoilbeneammontaau +b +d(y p);seinvecenonlacquistalasuautilit`a`eu + dy. Ladisponibilit`aadeettuarelacquisto`eequivalentealladisuguaglianzadp b. Seadesempiofosseb/d > MCalloraiconsumatorisarebberodisponibiliapagareunprezzopi` uelevatodiquellodi concorrenza ossia sarebbero ben felici di avere un mercato non concorrenziale purche in grado di garantirelaproduzionedelbeneadunprezzononsuperioreab/d.CAPITOLO4Equilibriodimercato: ilmonopolio1. IlmodellomonopolisticoAdierenzadel mercatoconcorrenziale, inunasituazione di monopoliolimpresa`e consapevole dipoterinuenzareil prezzodei beni asecondadellaquantit`acheessadecidedi produrre. Inaltreparole,`econsapevolecheil prezzodi mercatosi formasullabasedi unafunzionedel tipop(q)laquale`edettaingenerefunzionedi domandainversa. Perfunzionedi domandasi intendeinfatti ingenerelarelazioneq= q(p): supporremochetalerelazionepossasempreinvertirsi.Limpresamonopolisticadecideillivellodellapropriaproduzionesullabasedelcriterio(4.1) maxqp(q)q c(q)Alsolito,supponendochelafunzionedidomandasiadierenziabilesiottienelacondizione(4.2)dpdqq +p MC(q) 0 conuguaglianzase q> 0Immaginandochevalgaq> 0siottienequindiMC= p_1 +dpdqqp_= p[1 +p] = p_1 +1q_dovep=dpdqqp`elelasticit`adel prezzorispettoallaquantit`aeq=dqdppqquelladellaquantit`arispettoalprezzo. Dunquesiconcludeche(4.3) pmon=MC1 +1q=pcp1 +1q> pcpLultimadisuguaglianzadiscendeq< 1aldifuoridellaqualela(4.3)nonhasensocompiutomatemati-camente. Infatti,ilcasoq 1nonconsentediricavareunasoluzionebenfatta. Percapirlo,supponiamocheq= 1.`Efacilecapirecheintalecasodevenecessariamenteaversi q=kp1, ossiapq=k. Dunquei ricavi totali sonocostanti; conq> 1i ricavi costanti sonounafunzionecrescentedei prezzi edunqueunafunzionedecrescentedellaquantit`a. Dunqueunadecisionediaccrescerelaquantit`anonsoloaccresceicosti(nellamisuraincui,comesupponiamo,MC 0)maancheriduceiricavi: converr`aalloraallimpresaridurreilpropriolivelloproduttivontantochenonsiabbiaq< 1.Dalla(4.3) notiamoinoltrecheinmonopolioil livellodei prezzi `esuperioreaquellodi concorrenzae dunque quellodellaproduzione inferiore. Inoltre i protti dellimpresasonosenzadubbiosuperiori aquelli conseguiti inconcorrenza. Nel casoadesempiodi costi lineari del tipoC(q)=cq + F, i protti delmonopolistaammontanoacq|p|1|p| Fmentreinconcorrenzasarebberoparia F. Inparticolareiprezziedi protti di monopoliosi avvicinanoaquelli di concorrenzaquantopi` uelevata`e, intermini assoluti,lelasticit`adellaquantit`aossiaquantopi` uridottaquelladiprezzo.2122 4. EQUILIBRIODI MERCATO: ILMONOPOLIO q p A c Bc A BA BA2 Bc A2 2c A+ Figura4.1. Ladeterminazionedellaquantit`aprodottainmonopolio1.1. Monopolionelcasolineare. Consideriamo il caso in cui la domanda (inversa) di mercato abbiaformalineare, trattatonel paragrafo1.1condomandaecosti comenella(3.4). Applicandoi risultati vistiprecedentementeotteniamolacondizionedelprimoordine0 = A2Bq cossia(4.4) q=Ac2B, p =A+c2, =1B_Ac2_2FSi notachelaquantit`aprodotta`elamet` adi quellaprodottainconcorrenzaechei prezzi sonosuperiori.Inoltre,pervalorinumericiragionevoli,iprottisonopositiviancheinpresenzadicostissi.NellaFigura4.1vieneillustratolequilibriomonopolisticonelcasolineare2. Unapplicazione: ilmodelloKlein-MontiValuteremooralapplicazionedel modellomonopolisticonellambitodi unmercatospecico, ossiailmercatodel credito. Il monopolista`e inquestocontestolabanca. Inparticolare labancaesercitauncospicuopoteredimercatosuduemercaticontemporaneamente: quellodelcreditoequellodeidepositi. Cichiediamoinchemodoquestomodellosiaingradodispiegareitassiattiviepassividellabanca.2.1. Il prottodellabanca. Lattivit`adellabancasi pu`oriassumereinmodomoltosinteticonelseguentemastrinodelcontocapitale:Passivo AttivoDepositi(D) Prestiti(L)Capitale(K) Titoli(B)Riserve(Re)2. UNAPPLICAZIONE: ILMODELLOKLEIN-MONTI 23Naturalmente, ciascunadellevoci del contocapitalesar`aremunerataaduntassocorrispondente: in-dichiamoconrDil tassosui depositi, conrLquellosui prestiti, conrquellosui titoli econquellosullariservaobbligatoria. `eimportantedistingueretrariservaliberaedobbligatoria: unadatapercentualekdeidepositideveobbligatoriamenteesseredetenutadallabancasottoformadiriserva,mentrelarimanenteparte viene accantonata per decisione autonoma della banca ed `e remunerata al tasso di mercato, r. DunqueRe = kD +RedoveRe`elariservalibera.Si osservi inoltre che nella maggior parte dei casi, limportanza relativa del capitale rispetto alla raccolta`edavveroassaimodestodimodochepossiamosemplicareulteriormenteponendoK= 0.(4.5) D = Re +B +L ossia (1 k)D = Re +B +LConsiderando inoltre che la raccolta dei depositi e lerogazione dei prestiti implica alcuni costi operativi,lespressionedelprottodellabancadiviene: = kD(1 +) + (B +Re)(1 +r) +L(1 +rL) D(1 +rD) C(L, D)ossia,tenendocontodella(4.5),(4.6) = D[k + (1 k)r rD] +L(rLr) C(L, D)La banca mira a massimizzare i protti data la domanda di prestiti e loerta di depositi. In particolare,le imprese richiedono fondi a seconda del tasso prevalente cos` come i risparmiatori orono depositi a secondadel tassoal qualequesti sonoremunerati. Lecorrispondenti funzioni di comportamentopossonopertantoscriversicomeD = D(rD) e L = L(rL)laprimafunzionecrescenteelasecondadecrescente. AssumiamoinoltrecheD

=dDdrD,= 0 e L

=dLdrL,= 0Nellamassimizzazionedelprottoabbiamodunquelecondizionidelprimoordine:0 =rD= D

[k + (1 k)r rD] D CDD

(4.7)0 =rL= L

(rLr) +L CLL

(4.8)Osserviamochesottolenostreipotesila(4.7)ela(4.8)possonoriscriversicome:CD= k + (1 k)r rDrDDrDD

= k + (1 k)r rD_1 +1D_eCL= rLr +rLLrLL

= rL_1 +1L_r24 4. EQUILIBRIODI MERCATO: ILMONOPOLIOossia(4.9) rD=k + (1 k)r C

D1 +1De rL=r +C

L1 +1LdoveabbiamopostoC

D= C /D,C

L= C /LeL=rLL

Le D=rDD

Dossialelasticit`adelleduefunzioniL(rL)eD(rD)rispettivamente.Dunque il nostro semplice modello ci fornisce indicazioni piuttosto precise sulla struttura dei tassi bancariattivi epassivi edel corrispondentedierenzialeospread. Cerchiamodi evidenziareli aspetti di maggiorrilievo.Anzitutto, come `e bennoto dalla teoria del monopolio/monopsonio, i tassi vengono ssati tramitelapplicazionediuncoecientedimark-upsuicostimarginalideiprestitiediuncoecientedimark-downsui ricavi marginali dei depositi. Lentit`adi tali coecienti dipendedallarelativaelasticit`adellafunzionedi domanda odoerta dunque, inultima analisi, dal grado di concorrenzialit`a dei mercati. Quantomaggiore`elelasticit`asuunodei duemercati, tantominorerisulter`aessereil coecienteapplicatoossiatantopi` uil corrispondentetassosi avviciner`aai relativi costi marginali. Per il mercatodei depositi, ilricavomarginale, astraendodai costi operativi, consistenel tassomediosulleriservebancarie(liberaedobbligatoria),k +(1 k)r;parimenti,ilcostomarginaleperilmercatodeiprestiticonsisteprincipalmenteneltassosuititoli.Insecondoluogoi duemercati, quellodei prestiti equellodei depositi, sonoquasi del tuttoautonomilunodallaltro. Seinfatti 2C /DL=2C /LD=0comeperaltro`eeconomicamenteplausibilealloranonvi `enessunterminenel valoredi equilibriodi unodei duetassi chedipendadallaltro1. Seadesempio la banca subisse un innalzamento dei costi relativi alla erogazione del credito, il tasso sui depositi nonnerisentirebbe. Parimenti, uninnalzamentodel coecientedi riservaobbligatoria, k, lascerebbeinvariatoil tassopraticatoalleimprese. Lunicacomponentecheinuenzaentrambi i tassi bancari, enellastessadirezione, risultaessereil tassosui titoli. Uninnalzamentodi questotasso, dovutoadesempioadunapoliticamonetariarestrittiva,determinaunpi` uelevatotassodiinteressetantosuidepositichesuiprestiti,sebbenelospreadtraiduetassiaumentiinquantorDr=1 k1 + 1 /D r non ha senso economicamente, osserviamo che remunerando la riserva obbligatoria al tasso di mercato,ladistinzionetrariservelibereeobbligatoriasarebbeininuentedalpuntodivistadeiprottidellabanca(comesivedechiaramentedalla(4.6))edunquenonavrebberilevanzaainidelladeterminazionedeitassi.1Questa caratteristica verr` a meno nel paragrafo successivo, una volta abbandonata lipotesi di massimizzazione del protto2. UNAPPLICAZIONE: ILMODELLOKLEIN-MONTI 252.2. Il mercato dei prestiti e dei depositi. Proviamo ora ad analizzare il comportamento della ban-caladdoveilsuoobiettivoprimariononsialamassimizzazionedelprotto. Ineetti,lamodernaeconomiadellimpresasuggerisceconchiarezzachelobiettivodelprottomassimo `epi` uverosimileladdovelammini-strazioneelapropriet`adellimpresacoincidanopoiche`elazionistaavolervederemassimizzatoilvaloredimercato della propria partecipazione. Diversamente, laddove propriet`a e controllo siano chiaramente separa-ti, gli amministratori si preoccupano del livello del protto solo nella misura in cui esso risulti eccessivamentebasso. In tal caso, infatti, gli azionisti potrebbero cedere le proprie quote e limpresa potrebbe essere scalata(e dunque il managementrimosso) ovvero gli azionisti potrebbero essi stessi promuovere la sostituzione degliamministratori2. Moltospessogli amministratori miranoamassimizzarelimportanzadel proprioruololaqualesiidenticaconlaquotadimercatodellimpresa.Per tradurrequestasempliceconsiderazioneintermini del nostromodello, labancapotrebbeessereinteressataadespandereilvolumedelcreditoerogato, purfacendosalvounlivellominimodelprotto. Inaltritermini,indicandocon(rL, rD)lafunzionedelprottodescrittanella(4.6),ilproblemadivieneoramaxrL,rDL(rL) sottoilvincolo (rL, rD) 0dovecon0abbiamoindicatounasogliaminimadiprotti,esogenamentessata.Dal punto di vista matematico si tratta di un problema di massimizzazione vincolata che si pu`o arontarecolmetododeimoltiplicatoridiLagrangeossiarisolvendoilseguenteproblemamaxrL,rD,0L(rL) +((rL, rD) 0) sottoilvincolo ((rL, rD) 0) = 0Lecondizionidelprimoordinesonopertanto0 = L

+ rL= L

+_L

(rLr) +L CrLL

_(4.10)0 = rD= _D

[k + (1 k)r rD] D CrDD

_(4.11)0 = ((rL, rD) 0) (4.12)Osserviamoanzituttoche, poicheperipotesi, L

>0dalla(4.10)ricaviamolaconclusionechenecessa-riamente > 0edunque,dalla(4.12),che(rL, rD) = 0e,dalla(4.11),che/rD= 0. Pertanto,dalparagrafoprecedentesappiamocherD=k + (1 k)r C

D1 + 1 /DLa(4.10)pertantositrasformanella(4.13) rL=r +C

L11 + 1 /L2Sivedanoatalepropositoleconsiderazionisvoltenellapartediquestenotededicataallacorporategovernance26 4. EQUILIBRIODI MERCATO: ILMONOPOLIOdoveilvaloredellavariabilesicalcolautilizzandola(4.12)3.Osserviamo per paragone con la (4.9) ricavata pi` u sopra, che il tasso sui prestiti sar`a certamente inferiorea quello che consente di massimizzare i protti,ossia che la banca ore uno sconto alle imprese allo scopo diincrementareilpi` upossibileilvolumedeiprestitierogati.Perrenderelanostraanalisiancorapi` ugenerale,supporremochelabancaintendamassimizzaretantoilvolumedeiprestitichedeidepositi. IlproblemaprecedentedivienepertantomaxrL,rD,0L(rL) + (1 )D(rD) +((rL, rD) 0)dove indica il peso relativo del mercato dei prestiti rispetto a quello dei depositi. Si ottengono le condizioniseguenti:0 = L

+ rL(4.14)0 = (1 )D

+rD(4.15)0 = ((rL, rD) 0) (4.16)Nuovamenteosserviamocheinequilibriodeveaversi > 0edunque(rL, rD) = 0. Inoltre,(4.17) rL=r +C

L11 + 1 /Le rD=k + (1 k)r C

D + (1 )11 + 1 /DEvidentemente, il tassodi interessesui depositi `esuperioreaquellorelativoallacondizionedi massimoprotto, cos` comeil tassosui prestiti risultaessereinferiore. Lentit`adelloscostamentorispettoai valoririsultanti dallamassimizzazione del prottodipende dallimportanzaassegnatadallabancaallapropriaposizionesulcorrispondentemercato. Inoltre,adierenzachenelcasoprecedente,ancheinassenzadicostioperativi (dunqueassumendoC=0)i duetassi rDerLrisultanotralorolegati. Infatti dierenziandola(4.16)rispettoarDerLsiottiene:0 =rLdrL +rDdrDdacuisiconcludeinne(secondoilteoremadellafunzioneimplicita)cherLrD= /rD/rL> 0OsserviamoinfatticherDrisultasuperiorealvalorechemassimizzailprotto, dimodoche/rD 0. Uninnalzamento,adesempio,delcoecientedellariservaobbligatoria,riduceiltassosuidepositieconessoquellosuiprestiti.3Naturalmenteper poter calcolareinmodoesplicitosarebbenecessarioconoscereesplicitamentelefunzioni D(rD) eL(rL). Tuttaviapossiamoosservareche, essendoil tassorLinferioreal valorechemassimizzai protti, si ha/rD>0.Pertanto,uninnalzamentodi,determinandounaumentodirD,produceunaumentodeiprotti,ossia/> 0. Inoltre,se0`einferiorealmassimolivellodelprotto,allorapersucientementealto > 0. Pertanto,la(4.12)ammettesempreunasoluzione3. LASOPRAVVIVENZADEI MONOPOLI 273. LasopravvivenzadeimonopoliLateoriatrattatapi` usopra`eperfettamenteadeguataadescriverelequilibriodi unmercatoincuigi`aesistaunmonopolio. Non`einveceadeguataaspiegaredadovenascail monopolioeseessopossasopravvivere nel corso del tempo. La domanda non `e irrilevante poiche la necessit`a di proteggere un mercatomonopolistico dallingresso di altre imprese potrebbe far s` che la politica di mercato seguita dal monopolistasidiscostidaquelladescrittadallateoria.Consideriamo il caso di unimpresa che stia valutando la possibilit`a di entrare in un mercato ad esempioquellodellatelefonianelqualeoperaunmonopolista. Naturalmenteunaquestionecruciale `equellarelativaallareazionedel monopolistaaduneventualeingresso. Sebbenenonabbiaungransensodal puntodivista strategico, immaginiamo che lipotesi sia che la quantit`a prodotta attualmente dal monopolista rimarr`ainvariata anche dopo leventuale ingresso sul mercato di una nuova impresa. Una circostanza nella quale unataleassunzionenon `edeltuttocampataperaria `equellanellaqualelavariazionedelledecisioniproduttiverichiedanounlungoperiododitempoperpoteressereattuate.Poniamodunquecheil monopolista, indicizzatocon0, abbiasceltodi produrrelaquantit`aq0=(A c0)/2Bpropria del caso lineare. Se adesso dovesse entrare una nuova impresa essa si troverebbe ad arontareilseguenteproblemamaxq_A+c02Bq1_q1C1(q1) F1doveF1+ c1q1`elafunzionedi costodellentrante. PonendoA1=A+c02esupponendoA1>c1, si notafacilmentecomeilnuovoentrantesiritrovaadessereasuavoltamonopolistasebbenesoltantoperlaparteresiduadelmercato. Lasoluzioneottimale `epertantodatadaq1=A1c12BSinoticheiprezzisimodicanoorapoichelaquantit`atotaleprodotta `eQ =A+A1c0c12BP=A+c0 + 2c14Diconseguenzaiprottidelvecchiomonopolistadiventanoora0=(Ac0)2+ 2(Ac0)(c1c0)8BFSe si raronta questa grandezza con quella calcolata nella (4.4) non possiamo che concludere che il monopo-lista ha subito delle perdite dallingresso dellimpresa concorrente sul mercato. In eetti tenendo conto delladisuguaglianzaA+c02> c1siconcludeche0 0 si ottieneqex0>AA1B=Ac02BIlprezzodivienepex= c1 + 2_F1Bossialeggermentesuperioreaicostimarginalidelnuovoentrante.Tuttaviaquestasceltanon`eindoloreperilmonopolistapoichegliconsentediconseguireunlivellodelprottoinferiore,paria=(Ac0)(Ac12F1B) (Ac12F1B)2BF0Consideriamoil casoincui c0=c1=B=F1=2, F0=0eA=8. Seil monopolistaseguelaregolaoriginale consegue protti pari a 36/16 = 2, 25; se cerca di ostacolare il nuovo entrante consegue protti paria4.Dunque,iltimoredinuoviconcorrentipotrebbeindurreilmonopolistaadeviaredallamassimizzazionedel protto. Incontriamoqui perlaprimavoltail concettodi concorrenzapotenziale. Sullepolitichediprevenzionedellaconcorrenzapotenzialedovremotornarenelseguito.4. DiscriminazionedeiprezziInquestocapitolocomeintutti i precedenti eintutti i successivi abbiamofattounaimportanteas-sunzione: cheiprezzifosserolineariossiachevenissessatounprezzounitarioindipendentedallaquantit`aacquistata. Cisononumerosiesempidelfattochenonsemprequestapolitica `elamigliore. Essenzialmentetutteletarieprevedonocosti ssi efascedi prezzocosiccheil prezzounitariopagatodai consumatori `edierenteasecondadellaquantit`aacquistata. Siparlaintalcasodidiscriminazionedel prezzo.ImmaginiamochevisianoNconsumatoriecheciascunodiessiabbiaunutilit`aindirettaperilsingolobeneinquestionepariaVn(x, Ynz)denitacomenella(2.7). AmmettiamocheilmonopolistadispongadimolteinformazionieinparticolareconoscaesattamentelefunzioniVnedancheiredditiYneponiamoche contempli la possibilit`a di vendere a ciascun consumatore la quantit`a xn. Naturalmente `e anche in gradodicalcolareilprezzodiriservadiciascunconsumatoreepertanto `eingradodiproporreaciascunoloertaprendereolasciarerappresentatadalprezzodiriserva. Inaltreparole,dirisolvereilproblema(4.18) max_N

n=1znC_N

n=1xn_: Vn(0, Yn) V (xn, Ynzn)_ComeciricordaKreps,lecondizionidelprimoordinediquestoproblemasono:1 = nVnYne MC_N

n=1xn_= nVnxnossia(4.19) MC_N

n=1xn_=Vn/xnVn/YnDunqueil monopolistaagisceinmododauguagliareil rapportotrautilit`amarginaledel consumoedelredditoperogniconsumatoreesistentesulmercato. Talerapportomisurainuncertosensoladisponibilit`aapagaredei consumatori ed`eevidentechesequalcunoavesseunvalorepi` uelevatodi taledisponibilit`a,allorail monopolistatroverebbeconvenientespostarelaproduzioneversodi lui. Ladisponibilit`aapagare4. DISCRIMINAZIONEDEI PREZZI 29dovr`a inoltre uguagliare il costo marginale della produzione per le stesse ragioni per le quali costo marginaleeprezzosiuguaglianoinconcorrenzaperfetta.Ineettic`eunacertaanalogiaconilmercatoconcorrenziale. Inunmercatoconcorrenziale,mettendoinsiemela(2.4),la(3.2)ela(2.6)siottieneMC_N

n=1xn_=Vn/xnVn/Yn= 1dundxn= pQuestorisultatoci portaallaconclusionecheutilizzandounadiscriminazionecompletadel prezzoil mo-nopolistanisce inrealt`anonsoloper accrescere i propri protti ma, sorprendentemente, per produrreesattamente la medesima quantit`a che produrrebbe in concorrenza perfetta. Il punto `e che con prezzi lineariprodurrequantoinconcorrenzanon`eprottevoleperunmonopolista(nonostanteiprezzieccedanoicostimarginali) poiche accrescere la produzione signica abbassare i prezzi non solo dellultima unit`a prodotta maditutteleunit` aprecedenti. Ci`oovviamentenonaccadeseilmonopolistapu`odiscriminareequindivendereadesempiolaquantit`adimonopolioalprezzodimonopolioeleunit`aaggiuntiveaprezzipi` ubassimapursempresuperioriaicostimarginali.Notiamocheinquestocontestoi prezzi sarannoaltamentenonlineari inquantoessi potrannovariaredaconsumatoreaconsumatoreedancheasecondadellequantit`aacquistate. Siparlaintalcasodidiscri-minazione diprezzo delterzo tipo,cio`e appuntodiprezziche possono dipenderetanto dalcriterio oggettivodellaquantit`aacquistataquantodaquellosoggettivodellapersonacheacquista(edellasuadisponibilit`aapagare). Siparlaintalcasodidiscriminazionedeiprezzidel primotipo. Sihadiscriminazionedelsecondotipoallorcheilprezzounitariodierisceasecondadelnumerodiunit`aacquistate;sihadiscriminazionedelterzotipoquandoil prezzounitariopagatonondipendedal numerodelleunit`amanondallidentit`adelconsumatore.Questultimocriterio `einrealt`aspessoproblematicoperchemoltimercati(manontutti)sonoanonimi,ossiailvenditorenonconoscelidentit`adellacquirente. Intalcasolapoliticadiprezzodescrittaimplicita-mentedalla(4.19)nonpu`oessereapplicata. Icasiincui `epossibilediscriminaresullabasedellidentit`adeiconsumatorisonoquelliincuiilproduttore `eingradoditenerebenseparatiidiversimercatisucuiopera,comeladiversicazionedeiprezzidelcinemasullabasedellet`a.Unaillustrazioneassai semplicedelleconclusioni precedenti si hanel casolineare, comerappresentatonellaFigura4.2. Immaginiamochelavenditadelbeneinquestionepossaessereorganizzataconunaseriedi contrattazioni distribuite nel tempo. In eetti non `e insolito vericare che un determinato prodotto vengadapprima oerto sul mercato a certe condizioni di prezzo ma che,ad unoerta successiva,queste condizionivengano riviste al ribasso. Si crea in tal modo una discriminazione dei prezzi in cui consumatori diversi paganoprezzi diversi a seconda del momento in cui eettuano il proprio acquisto. Gracamente, il monopolista vendedapprimalaquantit`aq1=Ac2Brealizzandoi protti 1chenellaFigura4.2sonorappresentati conlareagrigiatratteggiata. Conclusasi questacontrattazione, il monopolistasi trovadi fronteunaquotaresiduadel mercatoche si rappresentaancoracome unadomandalineare dopoaver spostatolasse verticale incorrispondenza del punto q1. Su questa porzione del mercato che ha come intercetta verticale A1=A+c2> c,il monopolista pu`o ancora realizzare protti positivi pari a 2ssando la quantit`a q2=A1c2B=Ac4B. Questoprocessoiterativo`etalepercuiallafasenilmonopolistassalaquantit`aqn=Ac2nB. Complessivamentelaquantit`aprodottaneidiversistadidellacontrattazioneammontaaq=

n1qn=Ac2B

n112n=AcB30 4. EQUILIBRIODI MERCATO: ILMONOPOLIO q p A c concqBA monq q =1 2q3q123Figura4.2. LadiscriminazionedeiprezziDunquesi giungeancheinquestosempliceesempioallaconclusionecheunmonopolistachediscriminassei prezzi tramiteoertesuccessivenisceper produrrecomplessivamentequantoinconcorrenzaperfetta.Dunque unaformadi mercatomonopolisticainassenzadi discriminazione portaadunequilibrioche`esocialmenteinecientenel sensoche`epossibileaccrescerelaproduzionesenzadanneggiarei consumatoriedaccrescendoiprottidelproduttore.Questa conclusione `e largomento principale per il quale, nella teoria cos` come nella pratica, il monopoliovieneconsideratounsinonimodellinecienzaesi ritienedesiderabilepromuoverelaconcorrenzaladdovepossibile. Listituzionedi autorit`aperlaconcorrenzaeil mercato, adesempionel contestocomunitario,trovagiusticazioneinquestasempliceanalisi.4.1. Discriminazione del primo tipo. Un esempio classico e signicativo di discriminazione del terzotipo`equellonel qualeunmonopolistaallingrossovendeauncertonumerodi monopolisti al dettaglioiquali operano su mercati perfettamente segmentati sui quali possono ben prevalere prezzi del tutto dierenti(adesempiopotrebbetrattarsi di CocaCola edei suoi rivenditori nei diversi paesi)4. Immaginiamochei dettaglianti sianon=1, . . . , Nechesuciascunmercatoal dettaglioprevalgaunadomandalinearedeltipopn=An Bnxn. Il dettagliantenhacosti Cn(xn)=(cn + qn)xndovecn`eil costoproduttivoveroeproprioeqn`eil prezzopagatoal monopolistaallingrosso. Comesappiamodai paragraprecedenti, ilprezzopraticato,laquantit`afornitaeiprotticonseguitisulmercatoaldettagliosaranno(sivedala(4.4))(4.20) xn=Ancnqn2Bn, pn=An +cn +qn2, n=(Ancnqn)24BnPeril monopolistaallingrosso, ladomandainversaprovenientedal mercaton-moammontadunqueaqn=An cn 2Bnxn=A

n B

nxnconAn cn=A

ne2Bn=B

n. Pertanto, egli intender`assareiprezzi, le quantit`a (e dunque i protti del dettagliante) nel modo seguente (immaginando che vi sia un costo4Seguiamoqui[3,pp. 362ess.] abbastanzadavicino.4. DISCRIMINAZIONEDEI PREZZI 31variabilecostantepariac)(4.21) qn=A

n +c2=Ancn +c2xn=Ancnc4Bnn=(Ancnc)216BnSi noti che il monopolistaallingrossodiversicai prezzi trai vari mercati se e solose laquantit`aAncnvariatralunoelaltro. Tuttavia,seeglipu`opraticareprezzilinearipotr`aaccrescereulteriormenteil proprio protto. Il modo pi` u facile di fare ci`o `e di aggiungere al costo unitario ssato come sopra una tassa diconcessioneossia un pagamento sso Fnche ciascun dettagliante dovr`a pagare per il solo fatto di aver dirittoa vendere al dettaglio i suoi prodotti. Ci sono molti esempi nel settore della distribuzione che si avvicinano aquesto esempio. Come verr`a ssato allora Fn?Ovviamente sar`a ilpi` ualto possibile ma dovr`a essere tale dalasciare protti non negativi al dettagliante. Poiche questi ammontano ora a n= (Ancnqn)2/4BnFnsipotr`aallorassareFn=(Ancnqn)24Bnedestrarreintalmodotuttoilprottopossibiledaldettagliante. Intalmodoilprottototaleconseguitodalmonopolistaallingrossosulmercaton-moammonterebbea(qnc)xn +Fn= (qnc)Ancnqn2Bn+(Ancnqn)24BnMassimizzandotaleespressionerispettoaqnsiottiene0 = qn +c2Bnossia qn= cIl fattosorprendentedi questultimorisultato`echeil monopolistaallingrossonisceperpraticareilprezzo di concorrenza al rivenditore al dettaglio. Questo perche ci`o consente di massimizzare le vendite senzadover rinunciare ai protti grazie alla tassa di concessione Fn. Si noti che i protti del dettagliante sono perdenizionenullieilprezzoelaquantit`aaldettagliodiventanooraxn=Ancnc2Bnpn=An +cn +c2cio`egli stessi valori cherisulterebberoseil monopolistaallingrossopotessecommercializzaredirettamenteipropriprodotti.Parte3OligopolioIn precedenza abbiamo trattato i casi della concorrenza perfetta e del monopolio. Si tratta evidentementedicasiestremied `eragionevolepensarechelaquasitotalit`adeimercatisitroviinunaposizioneintermediatrai due. Inparticolare`eragionevolepensarecheleimpresedisponganodi unqualchepoteredi mercatopi` uomenorilevantesebbenesoloincasi specici si trovinoadessereleunicheaprodurre. Edancheintali casi particolari spessonon`econsentitolorodi seguirelepolitichemonopolistichedescrittepi` usoprapoicheimercaticaratterizzatidallapresenzadiunasolaimpresasonospessoattentamenteregolamentatiemonitoratidaspecicheautorit`a.Non `e per`o solo per ragioni di realismo che `e importante abbandonare i due casi polari della concorrenzae del monopolio. Inuncontestooligopolisticosi pone anche unproblemadecisionale per certi aspettinuovo: le decisioni di ciascuna singola impresa non possono prescindere dalle decisioni che ci si attende dalleimpreseconcorrenti. Gli eetti sul prottoindividualedelledecisioni di produzionedipenderannoinfattidalleanaloghedecisionipresedallealtreimprese. Dunqueciascunaimpresa,primadifarelepropriescelte,dovr`aelaborareunaragionevolecongetturacircailcomportamentodelleimpreserivali. Cosasignichicheunacongetturasiaragionevole`enaturalmenteunaquestioneassaicomplessa. Certamente, per`o, possiamodire che `e irragionevole supporre che le altre imprese agiscano senza tenere conto del proprio livello di protto.Inrealt`alequilibriodi mercatoinuncontestooligopolistico`e unanozione assai pi` ucomplessachenei semplici casi dellaconcorrenzaedel monopolioechiamadirettamenteincausai concetti di soluzioneelaborati dallaTeoriadei Giochi eparticolarmenteil concettodi soluzionedovutoaNash. Lapi` uampiaecompletatrattazionedellateoriadei giochi fattaadunlivelloelementaresi trovanel manualedi Kreps[3], al quale senzaltro rimandiamo non avendo modo di approfondire questo tema in poche pagine. Diciamosolochelequilibriodi Nash`eunconcettodi equilibriominimale: si richiedesolamentechenessunodeigiocatori abbiaalcunconcretoincentivo, unavoltanotalasceltadegli altri partecipanti, amodicarelepropriedecisioni. Sitrattadiuncriteriominimaleinduesensi. Primo,percheilconcettodiequilibriohaachefarepersuanaturaconlideachelasituazione, inmancanzadi elementi nuovi, nondebbamodicarsiedunquechei partecipanti nondebbanorivederelepropriedecisioni. Ma`eminimaleanchenel sensochespessonellesituazionianalizzateemergonomoltepliciequilibridiNash. Intalcaso,evidentemente,untaleconcettodiequilibrionon `esucienteaforniredellepredizioniunivocheed `enecessariointrodurreulterioricriteri checonsentanodi selezionareunaparticolaresoluzionerispettoadunaltra. Nei giochi sequenzialiil criteriochepi` ufrequentementeadotteremo`equellodi perfezionenei sottogiochi o, equivalentemente, diconsistenzadinamica.CAPITOLO5CournotIlmodellodiCournot`eunasemplicissimaestensionedlmodellodimonopoliobasatasullipotesicheilmercatosiapopolatodaunnumeronitodi imprese, N. Ciascunadi questeagisceautonomamentedallerimanenti. Evidentemente, nel casoN=1questomodellocoincideconquellodel monopolio, mentreciattendiamocheconN dovrebbeaversilaconvergenzaversoilmodelloconcorrenziale.1. IlmodelloAbbiamodunqueq=

Nn=1qneilproblemadellasingolaimpresadiviene:(5.1) maxqnp_N

n=1qn_qncn(qn)Sinoticheinlineadiprincipioammettiamolapossibilit`achelediverseimpreseabbianodierentistrutturedicosto. Alsolitolacondizionedelprimoordine,intuttosimilealla(4.2), `e:0 = p_1 +dpdqqnp_MCn(qn) +n= p(1 +pn) MCn(qn) +nossia(5.2) p(1 +pn) MCn(qn) 0 e (p(1 +pn) MCn(qn))qn= 0dove abbiamo posto n=qnq, la quota di mercato dellimpresa n-ma. Facciamo senzaltro lipotesi che vi siaproduzione,ossiaq> 0,poicheilcasooppostononrivestegrandeinteresse. Dunque,(5.3) p =MCnn1 +pncon n 0, nn= 0La(5.3)consentedi derivarenumeroseconclusioni, inparticolarecircail rapportotraquestaspecicaformaoligopolisticae,alternativamente,concorrenzaemonopolio.Cominciamocoldeterminarequalisianoleimpresecheproduconoequalino. Ricordandochep< 0eosservandoche0 = nn= nMCnp(n +p2n)siconclude2n=p MCnp[p[nossia(5.4) n=___p MCnp1[p[se p > MCn0 se p MCnDunquevengonoesclusedallaproduzionetutteesolequelleimpresei cui costi marginali minimi risultinosuperiorialprezzossatosulmercato. Inaltreparolenonproduconoquelleimpresechesitroverebberoaldifuoridelmercatoancheinconcorrenzaperfetta. Inoltreunindicatoreosservabiledelpoteredimercato `edatodalparametroPMCnPchemisurailmark-updeiprezzisulcostomarginale.Insecondoluogo, lequoteproduttivedi ciascunaimpresasonodeterminateesclusivamentedai costimarginali: leimpreseconcosti pi` ubassi avrannolaquotamaggiore. Sei costi fosseroi medesimi, allora3536 5. COURNOTnecessariamenten=N1, il pesoeconomicodellasingolaimpresa`epari al suopesocampionario. Inquestultimocasospeciale, ossiadi impreseidentiche, possiamoancheottenerequalcheconclusionecircailruolo del numero di imprese sul meccanismo di mercato. Infatti, il prezzo si avvicina a quello di concorrenza(resp. dimonopolio)quantomaggiore(resp. minore) `eilnumerodelleimpresepresentisulmercato.Inneosserviamochela(5.3)`eperfettamentedenitatrannenel casochevi siaqualchen=1, . . . , Ntalechep< 1n: ilcasop< 1risultapi` uproblematico. Addiritturanelcasodiimpresesimmetriche`esucientechesiavericatalacondizionep> N.Leconclusioni raggiuntecircail livellodei prezzi hanno, ovviamente, unadirettaimplicazionecircalaquantit`aprodotta, datocheladomandadi mercato`eunafunzionedecrescentedei prezzi. Inunmercatocaratterizzatodal comportamentoallaCournot edimpreseidentichesi produceunquantit`acomplessivaintermediatraquellachecaratterizzalaconcorrenzaequellachecaratterizzailmonopolio.1.1. Cournotnelmodellolineare. Sitornialmodellolineareespostonella(3.4). Lacondizionedelprimoordine(5.2)divieneoraABN

n=1qnBqnc = 0ossia,ponendo qn=

j=nqj,(5.5) qn=AB qnc2BLa (5.5) ragura la funzione di reazione dellimpresa n ossia la sua risposta ottimale alle scelte delle impreseconcorrenti.Dunque,(5.6)qn=1N+ 1AcBq =NN+ 1AcBp =1N+ 1A+NN+ 1c n=1B_AcN+ 1_2Dunque laquantit`a`e funzione crescente del numeroNdi imprese e converge allaquantit`aprodottainconcorrenzaperfettaperN ;iprottidecresconoconNetendonoa0.Si noti chelasoluzione`esimileanchenel casochei costi marginali, semprecostanti, possanodieriretraunimpresaelaltra. Infattisommandorispettoansiha0 = NANBq Bq N

n=1cn= NANBq Bq N cdovesi `eposto c = N1

Nn=1cn. Dunqueq=NAN c(N+ 1)Bedanche,qn=A+N( c cn) cn(N+ 1)B=A c(N+ 1)B+ c cnBConcludiamocheciascunaimpresaproduceinmedialaquantit`aA c(N+1)Bpi` uunacomponenteche `ediretta-menteproporzionalea c cnossiaallariduzionedeicostimarginalirispettoalvaloremedio.Calcoliamoquindiiprezziediprottiiqualiammontanorispettivamenteap =A+N cN+ 1n=_A+N( c cn) cnN+ 1_21B Fn2. I LIMITI ALLACAPACIT`APRODUTTIVA 37Iprottisonopositiviseesolose_FnB +cn 1ilproblema `equelloconsuetovistonella(5.2)p[1 +np] = MCnSi noti checi`odenisceimplicitamenteunafunzioneqn(q1). Infatti seq1cresceqndevediminuirepoichealtrimenti si avrebbe una variazione del membro di sinistra rimanendo costante quello di destra. In particolareimmaginandocheil termineppn=dp /dqqnrimangapressochecostante, ogni aumentodi q1inducendoun ribasso del prezzo di mercato, deve accompagnarsi ad una riduzione dei costi marginali e se, come stiamosupponendoinqueste pagine, ci troviamonel trattocrescente ci`osignicaunariduzione dellaquantit`aprodotta. Il leader`e dunque consapevole che un aumento di q1induce una riduzione di qnper n = 2, . . . , N.Indichiamocon q1laquantit`aprodottadatutteleimpresediversedalla1,ossia q1=

n2qn. Illeader`eingradodi conoscerelafunzione q1= q1(q1). Dunqueil suoproblemadi massimizzazionedel prottodaluogoallaseguentecondizionedelprimoordine(6.1) MC1= p +dp /dq[1 +d q1 /dq1]q1= p[1 +p(1 + (1 1) q1)]dove q`elelasticit`adellasommadellaquantit`aprodottadallealtreimpreserispettoallasceltaproduttivadelleader. Dunque(6.2) p =MC11 +p(1 + (1 1) q1)0.1. Il modellolineare. Ancheperquestomodellopossiamocalcolarelasoluzionenelsemplicecasodi unmodellolineare. Comeabbiamovistonella(5.5)apagina36, laquantit`aottimaledaprodurreperifollowersammontaaqn=Ac2B12 qnn = 2, . . . , N3940 6. STACKELBERGSommandorispettoan = 2, . . . , Nsiottiene q1= (N 1)Ac2B12N

n=2 qn= (N 1)Ac2B12N

n=2(q qn)= (N 1)Ac2B12((N 1)q q1)= (N 1)_AcBq_= (N 1)_AcBq1 q1_=N 1N_AcBq1_ossiaq= q1 +q1=N 1NAcB+q1NPersostituzioneotteniamolespressionedellafunzionedelprottodelleader,1=_AN 1N(Ac) BNq1c_q1=1N(Ac Bq1)q1dacuisiricavalacondizionedelprimoordineseguente:0 = Ac 2Bq1ossiaq1=Ac2BInaltreparoleilleader produceesattamentelamedesimaquantit`adelmonopolistaedunqueassaipi` udelfollowerilqualeproduceinveceqn=1NAc2BComplessivamentesihainoltreq=2N 1NAc2B, p =A+ (2N 1)c2N, 1=_Ac2_21BN, n=_Ac2N_21BI protti del leadere dei followersvanno paragonati con quelli ottenuti nella (5.6) per il modello di Cournotnel caso lineare. Si osserva facilmente che il leaderfa protti pi` u elevati mentre il followerpi` u ridotti; inoltreiprottidelleadersonocomunquepariaquellidelmonopolistamadivisiperN.1. VariazionicongetturaliLa condizione del primo ordine (6.1) ricavata sopra consente una interessante generalizzazione. In fondointutti i modelli visti noralavariabilediscriminanteriguardalareazionecheleimpresesi aspettanodapartedelleimpreseconcorrenti quandoessemodicanolapropriaquantit`aprodotta. Possiamoriferirci atale grandezza come variazionecongetturalee indicarla con f(q1). In tal caso la condizione del primo ordinedellimpresa1 `esemplicemente(6.3) MC1= p +p

(1 +f

)q11. VARIAZIONI CONGETTURALI 41Nel modellodi Stackelberglavariazione congetturale pu`oessere calcolataesattamente dallafunzioni direazionidelleimpresefollower. Impreseoperantiinconcorrenzaperfettaimmaginanochelaquantit`acom-plessivamente prodotta muti al variare della propria produzione,dunque f

= 1. Nel caso di monopolio edanche in quello diCournot,le imprese non considerano diavere inuenza sulle scelte produttive altrui,dun-quef

= 0. Innenelcasodicollusionechetratteremotrabreve,possiamosupporref

= q1/q1ottenendoquindilacondizioneMC1= p +p

q.Lapplicazionedellateoriadeigiochiaimodellidioligopolionascedaldesideriodinonlasciareindeter-minatelavariazionicongetturalimadifornire,piuttosto,unadeguataspiegazione.CAPITOLO7BertrandIl modello di Bertrand `e per molti versi un modello classico. Non tanto per il realismo delle ipotesi quantopiuttostoperleconclusioniassainettecheessoconsentediraggiungereeiproblemi cheessesollevano. Inpoche parole il modellodi Bertrandaermache insituazioni speciche lapresenzadi unnumeroassailimitatodiimprese,anchesolo2, `esucienteperottenereunacongurazionediequilibrioidenticaaquellaconcorrenzialevistaprecedentemente. Inparticolareil livellodel prottosi riduceai minimi ediviene, inpresenzadi costi ssi pernonegativo. Lelementocrucialedi questomodello`eladupliceipotesi per laqualeleimpresehannounampiacapacit`aproduttiva,essendociascunaingradodiservirelinteromercato,lavariabilestrategica`eil prezzoei beni sonotraloroomogenei. Il mercatodei servizi telefonici rispondeabbastanzabeneaquesteipotesi.1. IlmodelloImmaginiamo il caso estremo in cui vi siano due sole imprese sul mercato e che esse producano il medesimobene,ovvero che gliagenticonsiderino le due produzionicome perfettamente omogenee. La variabile prezzo`edunquediscriminanteperi consumatori. Inparticolareladomandaq1del beneprodottodallimpresa1dipender`adaiprezzipraticatidalledueimpresenelmodoseguente:q1(p1, p2) =___q(p1) se p1< p20 se p1> p212q(p1) se p1= p2Lipotesi che incasodi prezzi identici le imprese si dividanoequamente il mercato`e naturalmente unasemplicazionedeltuttoirrilevante.Immaginiamopercomodit`acheicostimarginalidelleimpresesianocostantidimodocheci(qi) = Fi +ciqiPer identicare lequilibrio di Nash dobbiamo considerare vari scenari e valutare se in ciascuno di essi sussistaomenolincentivoperleimpreseacomportarsi inmododiverso. Consideriamolecosedal puntodi vistadellimpresa1.(1) p1 c1. Inquestasituazionequantopi` ulimpresaproducequantopi` uessaperde. Isuoi prottiinfatti ammontano a 1= F1(c1p1)q1dove q1`e la quantit`a eventualmente prodotta dallim-presa1. Iprottisarannodunquesemprenonsuperioria F1illivellochesiconseguescegliendop1= c1cherisultapertantolasceltaottima;(2) c1 p2. Inquestocasolimpresa1sser`ap1=c1. Infatti intal modocoprei costi marginali e,qualorap2= c1,siprendemet`adelmercatomentresep2< c1nonriescecomunqueacompetere;(3) p2> c1. Intalcasolimpresahamercatosolosessaunprezzointermediotrap2ec1,adesempio12(p2+c1): esso garantisce comunque la copertura dei costi marginali (dunque non implica perdite)e,nelcasop2> c1,consentediaccaparrarsilinteromercato.4344 7. BERTRANDMettendo insieme i tre casi esaminati non `e dicile rendersi conto che lunico intervallo di prezzi ragionevoliperlimpresa1 `ec1< p1< p2sep2> c1oppurep1= c1;parimentiilprezzodellimpresa2verr`aatrovarsinellintervalloc2

pnunpn1un1unun1= mnedunqueseesoloselagente `esucientementericco.Osserviamoche, comesarebbeovvioaspettarsi, unastrutturadei prezzi nellaqualepn pn+1nonavrebbealcunsensoeconomicopoichelascerebbelimpresan-masenzamercatoalcunopotendosi avereunmaggior livellodi utilit`aadunprezzoinferiore2. Restringiamoalloralattenzioneastrutturedei prezzistrettamentecrescentirispettoallaqualit`a. Parimentipossiamolimitarciaconsiderareilcasoincuimn>mn1poiche nel casooppostom>mn1implicherebbe m>mn: gli unici consumatori disponibile ascegliere il bene n1 contro il bene n2 sarebbero tuttavia pi` u inclini ad acquistare il bene n anziche n1edancheintalcasononcisarebbemercatoperilbenen 1.Venendo alla massimizzazione del protto dobbiamo osservare che in questo modello produrre una qualit`asuperioreconsenteunvantaggioossiadi indurre, col ribassodel proprioprezzo, ancheil ribassodel prezzodellimpresacheproducelaquantit`aimmediatamenteinferiore. Portandotalestrategiaallimite,leimpresedi maggior qualit`a possono giungere ad escludere quelle di qualit`a inferiore. Immaginiamo che le imprese nonsopportinoalcuntipodicostieconsideriamoanzituttolecondizionidelprimoordinedellimpresaleader,laqualecontasudiunsegmentodimercatoparia(mN, b]edhapertantoprottipariaN= pNb mNb aDaquestasiderivalacondizionedelprimoordineseguente:0 =b pN1(1 rN) 2pNrNb adacuiasuavoltasiottienelasoluzione(9.8) pN=12b(uN uN1) +pN1uN1uNSinotichepN 12b(uN uN1) +buN1uN=12bParimenti,limpresadiqualit`anavr`aprottiparian= pn

___mn+1mnb amn amn+1ab amn+1 a > mn0 mn+1< aIl latodi destrarappresentaladomandaper i beni di qualit`an. Evidentemente, se mn+1 m 0 e dunque qn= 0. Le altre imprese infatti non sono sucientemente ecienti per poterprodurrepoichelospostamentodellaproduzionedalleimpreseconalti costi aquelleconcosti pi` ubassidi perseaccresceil prottocollettivo. Questasituazioneparticolarerendeevidentequalesiail problemadella suddivisione dei protti allinterno dei cartelli. Poiche ad alcune imprese potrebbe essere chiesto di nonprodurreaatto,aqualetitolopotrebberoquestepartecipareallaspartizionedeiprotti?C`edaattendersiinfatticheladistribuzionedeiprottiavvengainragionedelcontributoallaproduzione.Si osservi che se venisseroescluse dal cartellole imprese concosti marginali pi` uelevati le quantit`aprodottedalleimpreserimanenti continuerebberoasoddisfarela(10.2)sei prezzi rimanesseroinvariati allivellodatodalla(10.3). Tuttaviaperquellivellodeiprezzipotrebberoesserviimpresetalichep > MCi>MC. Perqueste, inassenzadi costi ssi rilevanti, produrreunaquantit`apositiva`ecomunqueredditizio.Tuttavia, laproduzionedi impresemenoecienti modicherebbeil prezzoeabbasserebbei protti ancheperleimpreseecienticonsorziateinuncartelloperipotesi.Dunque,sebbenesiainverosimilecheimpresechenonpartecipanoallaproduzionedelcartelloricevanounaquotaproporzionale dei protti totali, tuttavianon`e verosimile neppure che queste possanoessereesclusesenzalcuncosto. Potrebbeinfatti vericarsi il casocheai prezzi ssati dal cartelloqualcunadelleimpreseesclusedalcartelloabbiaincentivoaprodurrealterandointalmodolecondizionidelmercato. Intal casoperconvincereleimpresemenoecienti arimanerefuori dal mercato`enecessariocheessesianodebitamenteremunerate.Inne, si torni al problema (10.1). Si noti che il problema si pu`o riscrivere in modo equivalente nel modoseguente(10.5) maxq0p(q)q min{q10,...,qn0:

Nn=1 qn=q}N

n=1Cn(qn)ossianelmodo(10.6) maxq0p(q)q C(q)doveabbiamodenito(10.7) C(q) = min{q10,...,qn0:

Nn=1 qn=q}N

n=1Cn(qn)Daquestariscritturaimpariamocheilproblemaarontatodalleimpresechepartecipanoaduncartellosi suddivide naturalmente in due problemi distinti. Il primo, come determinare la quantit`a complessivamenteprodotta, `edeltuttoanalogoaquellodelmonopolista. Unavoltastabilitalaquantit`aaggregata,siponeilproblemadicomeminimizzareilcostocomplessivonecessarioperprodurretalequantit`a,ossiailproblema(10.7). Dunque, laquotaproduttivaassegnataaciascunaimpresarisponde soloedunicamente adunproblemadiminimizzazionedeicosticomplessivi,ossiadiecienza.2. LAFRAGILIT`ADEI CARTELLI 61Siosservichelecondizionidelprimoordinedella(10.7)sono___MCn +n= nqn= 0(q

Nn=1qn) = 0dacuisiricavailvaloredelmoltiplicatore,paria=

Nn=1MCnqnqossiaallamediadeicostimarginali,ponderataperlaquantit`aprodottadallesingoleimprese.1.1. Collusionenel modellolineare. Poniamoci unavoltadi pi` unel contestodel modellolinearevistonelparagrafo1.1nelqualelafunzionedidomandaedicostohannolaforma(3.4).Consideriamo due tipi di imprese, luna con costi c1qe c2qrispettivamente, con c2> c1. Per semplicarelecosesupponiamochevi siaunasolaimpresaper ciascunodei duetipi. Comesi `evistopi` usopralasoluzionedicollusione `eidenticaaquelladimonopolio(adeccezionedeicostissi),dunqueq2= 0, q= q1=Ac12B, p =12(A+c1), m=1B_Ac12_2Dunque limpresa 2 rimane essenzialmente fuori dal mercato. Dobbiamo per`o immaginare che essa partecipicomunqueagli utili. Infatti seledueimpreseoperasseroindividualmentesi avrebbe, secondoil modellodiCournot,(10.8) q1=A2c1 +c23B, q=2Ac2c13B, p =A+c2 +c13, C1=1B_A2c1 +c23_2Osserviamo che la quantit`a prodotta `e superiore nel caso le due imprese agiscano separatamente e dunqueiprottiinferiori. Infatti_A2c1 +c23_2+_A2c2 +c13_2_Ac1c23_2_Ac12_2Limpresa1 `edunquedisponibileapagareallimpresa2unammontarepariamin 1B_A2c2 +c13_2purchequestasiastengadalparteciparealmercato. Contemporaneamente,limpresa2sadipoterchiedereallimpresa1noamax 1B__Ac12_2_A2c1 +c23_2_Traquestidueestremi,min< max,sisvolgelatrattativatraledueimprese.2. Lafragilit`adeicartelliSebbene i cartelli rappresentinounasoluzione eciente al problemadi come allocare laproduzioneallinternodiundeterminatoinsiemediimpreseoperantisullostessomercato,tuttavianon `eunasoluzionenel sensodi Nash. Ci`opraticamentesignicachenon`evericatalacondizioneperlaquale, datelesceltedegli altri componenti il cartello, lasingolaimpresahaincentivoamodicarelepropriescelte. Inaltreparole, nonostante lecienza, le imprese partecipanti ad un cartello hanno un incentivo a violare gli accordiproduttivi.62 10. LACOLLUSIONEConsideriamoinfatti il casodi costi identici (dunquetutteleimpreseproducono). Ricordiamodalla(10.1)cheiprezziammontanoap =MC1 +pRicalcolandoillivelloottimaledellaproduzioneperlasingolaimpresasiottienelacondizioneseguentedelprimoordine:(10.9) p[1 +pn] MC> p[1 +p] MC= 0Ci`o signica che in corrispondenza dellequilibrio collusivo esiste un forte incentivo per le imprese che parte-cipanoalcartelloadaccrescerelaproduzione. Laragionestanuovamentenelfattoche,laddoveprevalgailcriteriodelprottoindividuale,nasconodelleesternalit`a: ilcartellononaccrescelaproduzionepoichetieneconto del complessivo impatto di tale decisione sui prezzi ma la singola impresa riversa parte di tale impattosui protti dellerimanenti impreseedunquedalladecisionedi accrescerelaproduzionesopportauncostoassaiminore,proporzionatoallapropriaquotadimercato.Laformazione di cartelli `e dunque unelementoproblematicoper lateoriaeconomica, unasortadiparadosso. Enonsolonelcasoincuialcuneimpresesianomenoecientidialtre, vistoinprecedenza. Diqualistrumentidevedotarsiuncartelloperpoterbilanciaregliincentiviindividualiaromperegliaccordi?Si noti cheil problemahaunaportataassai pi` uampiaericadenel vastocapitolodei beni pubblici.Laccordo collusivo considerato qui non `e diverso da molte situazioni nelle quali esiste un benecomuneed uncostoindividualeche `enecessariosostenereanchetalebenesiaresodisponibile. Lesempiopi` uevidente `equellonelquale,datoilcontributocnsostenutodallindividuon-mo,lammontaredelbenefornito`epariaN1

Nn=1xn,la media dei contributi di tutti i partecipanti. Possiamo allora immaginare che la funzione diutilit`adellindividuoennesimosiaUn(x1, . . . , xN) = b

Nn=1xnNcxnDovendosceglierequantocontribuire,siterr`acontodellacondizionebN cDunque anche se il benecioconseguitodal bene pubblicoammontaab >c pu`obendarsi il casoinvalgab 1Dunquelincentivoadeviare, commisuratoal rapporto1/1crescequantepi` usonoleimpresecoinvoltenelcartello.4. CollusionemultiperiodaleConsideriamoorauncontestonelqualeledecisioniproduttivedebbanoessereripetuteadogniperiodot = 1, . . . , T. Ilprottointertemporaleconseguitodallimpresaammontaa(10.10) (T) =T

t=1t(1 +r)tdove t`e il protto conseguito in ogni singolo periodo e r `e il tasso di interesse che supporremo costante neltempo. Lobiettivo dellimpresa `e dunque il valore attuale del usso di protti futuri. Poniamo = (1+r)1.Lesistenzadi unaseriedi periodi futuri, ossiadellaripetizionedel gioco, modicaleconclusioni rag-giunteprecedentementepercheora, adierenzadelgiocouniperiodale, leconseguenzedelleazionicorrentipotrebberoaversineiperiodisuccessivi. Seadesempiounimpresaviolagliaccordidicartellopotrebbeneiperiodisuccessivisubirecostichenonsicolgononellambitodiunsoloperiodo.Consideriamoadesempiolastrategiacosiddettatit-for-tat oanchetriggerstrategy. Limpresaseguelastrategiacollusivantantochenonsi vericaunaviolazioneelaabbandonainfavoredel criteriodellamassimizzazione del protto individuale appena si verica una violazione. Ci chiediamo se giocare una similestrategiasiaunequilibriodiNash.Larispostadipendedalladuratadelgioco,inparticolaredalfattochelorizzontesianitoomeno. Se`enito, larisposta`enegativacome`efacilecomprenderedal seguenteragionamento. Il giocochesi giocanellultimoperiodo`eatuttiglieettiungiocouniperiodale,dunqueseanchenessunaimpresahaviolatoipatti precedentemente, senzaltrolofarannotuttenellultimoperiodo. Il penultimoperiodo, essendonotolesitodel giocoinquellosuccessivo, `eanchessoassimilabileadungiocouniperiodaleepertantonessunaimpresa ha incentivo a rispettare i patti. Ragionando in questo tipico procedimento allindietro si giunge alla64 10. LACOLLUSIONEconclusionecheleimpresenonrispetterebberomai laccordodi cartello. Ineetti questocomportamentosleale`e unequilibriodi Nashpoiche, se perseguitodatutte le altre imprese, nessuna, individualmenteconsiderata, avrebbeinteresseacomportarsi diversamente. Dunqueanchenel contestomultiperiodalealcollusionenon `eunequilibriodiNashseilgiocosiripeteunnumeronitodivolte.Consideriamoorailcasodelgiocodiduratainnita,incuilafunzioneobiettivo `edunque(10.11) =

t=1ttLadierenza,rispettoalcasoconorizzontenitoconsideratoinprecedenza,stanelfattochenonesisteoraun periodo nale nel quale le azioni delle imprese sono prive di conseguenze successive e dunque il problemanonpu`ovedersicomelasommaditantigiochiuniperiodali. Pervericaresegiocarelatriggerstrategysiaunequilibriodi Nash, identichiamotredistinti livelli di prottouniperiodale. Il prottodi collusione, dideviazione e individualistico, , e rispettivamente. Si noti che, dallanalisi precedente, corrispondeallequilibrio di Cournot, a quello di collusione e a quello conseguito violando laccordo che viene invecerispettatodaglialtri. Naturalmente,comeabbiamogi`avisto, > > .Immaginiamochetutteleimpresegiochinolatriggerstrategy evalutiamoseadunasingolaimpresarisulticonvenienteallontanarsidalleregoledelcartelloadunaqualchedatafutura,T. Intalcaso,noalladataTnessunohaancoradeviatoequindiilprottoconseguito `equellocooperativo;alladataTlimpresarompegliaccordiconseguendoilprottoperriceveredaT+ 1inpoi,causalastrategiagiocatadaglialtri. Dunquet=___per t < T per t = Tper t > Tdacuisiottiene1, = T1 +T+ T+11 =1 +T1 [() ()]Larispostastadunquenel segnodellagrandezza( ) ( )laqualesi interpretacomeilguadagnonettoscontatodiunadeviazionedagliaccordidicartello. Inparticolareilprottointertemporale`efunzionecrescentediTseesolose(siricordiche< 1)(10.12) x

2.Si mostri che queste preferenze sono asimmetriche e negativamente transitive ma nonammettono unarappresentazionenumerica.Soluzionedellesercizio2. Anzituttox1>x

1escludex1=x

1edunqueescludex

~x. Daltronde, anchex1= x

1ex2> x

2escludetantox

1> x1chex?2> x2edunquenuovamenteescludex

~ x. Lordinamento`edunqueasimmetrico. Poniamochex ~ yechezsiaarbitrario. Alloraosihax1> y1nelqualcasodevevalereanchez1>y1(edunquez ~y)oppurez1y2nelqual casodeveancheaversi oz1>y1(edunquez ~y)oppurez1z2(edunqueancorax ~z)oppurez2>y2(edunqueancoraz ~y). Tuttavia`e7576 ESERCIZI DALCAPITOLO??evidentechequestoordinamentononpu` ocontenereunsottoinsiemenumerabileedenso. Perogni x RconsideriamounnumerorazionalerxtalecheU(x, x) < rx< U(x, x + 1)Datochelepreferenzesonolessicograche,allorarx> ryseesolosex > yilcheimplicacheadognix Rcorrispondaunoedunsolonumerorazionalerxossiachevisiaunarelazionebiunivocatra Reirazionali,ilche `eimpossibileinquanto `enotoche Rnon `enumerabile.EsercizidalCapitolo2Esercizio3. ,[5,p. 118]Unconsumatorehaunafunzionediutilit`aindirettadeltipo:V (p1, p2, Y ) =Yminp1, p2(1) Qualesar`alafunzionediutilit`adiquestoconsumatore?(2) Qualesar`alafunzionedispesa?(3) Qualesar`alafunzionedidomanda?Soluzionedellesercizio3.ScriviamopiuttostoV (p, Y ) =___Yp1se p1< p2Ypse p1= p = p2Yp2se p1> p2Notiamocheper p1 ,=p2lafunzione`edierenziabilesiarispettoaY cheap1eap2. Si pu`opertantoutilizzare la relazione nota come leggediRoy(2.18) per determinare la funzione di domanda di ciascuno deiduebeni:xi(p, Y ) = V (p, Y ) /piV (p, Y ) /Yi = 1, 2Siottienepertanto:x1(p, Y ) =___Yp1se p1< p2? se p1= p = p20 se p1> p2x2(p, Y ) =___Yp2se p1> p2? se p1= p = p20 se p1< p2Inaltri termini linteroredditovienespesonel benemenocostoso. Gi`adaquestaformulazioneverbaleemergecomeil consumatoresiadel tuttoindierentetrai duebeni masi limiti aconsiderarei rispettiviprezzi.Lafunzionedispesasiottienedalla(2.15)ponendoe(p, u)minp1, p2= uedunquee(p, u) = uminp1, p2Perquelcheconcernelafunzionediutilit`adiretta, osserviamochexi(p, Y )non`edenitaperp1=p2mentreinognialtrasituazionevalelarelazioneminp1, p2 =Yx1 +x27778 ESERCIZI DALCAPITOLO??Poicheinogni casoconpreferenzenonsaziep1x1+ p2x2=Y si vedefacilmentechetalerelazionevaleinrealt`aperognicoppiadiprezzipositivi. DunqueconcludiamoV (p, Y ) =YY/(x1 +x2)= x1 +x2esiccomeV (p, Y ) =U(x1, x2) possiamocongetturarecheU(x1, x2) =x1+ x2siaunapossibilerappre-sentazionedellepreferenze. Ineetti, sesostituiamoil vincolodi bilancio(consegnodi uguaglianza)nellafunzionediutilit`aotteniamox1_1 p1p2_+Yp2Laderivatarispettoax1`esemprecrescente(risp. decrescente)seesolosep1p2)il cheportaallasceltadimassimizzarelaspesainx1ponendougualea0laquantit`aacquistatadix2.Esercizio4. ,ibidemConsideratelafunzionediutilit`aindiretta:V (p1, p2, Y ) =Yp1 +p2(1) Qualisonolefunzionididomanda?(2) Qual `elafunzionedispesa?(3) Qual `elafunzionediutilit`adiretta?Soluzionedellesercizio4.Siprocedecomenelcasoprecedente,perdeterminarelafunzionedidomandadiciascunodeiduebeni:xi(p, Y ) = V (p, Y ) /piV (p, Y ) /Y= Y/(p1 +p2)21/(p1 +p2)=Yp1 +p2i = 1, 2Notiamo implicitamente che V (p, Y ) /Y > 0 e che dunque le preferenze dovranno essere monotone. Inoltre,sfruttandola(2.15)siconcludechelafunzionedispesaavr`alaformaseguentee(p, u) = (p1 +p2)uConsideriamoil casodi preferenzecontinue, prendiamoil redditoper datoescriviamopn2=2nepn1=1 2n. Evidentemente, pn1+ pn2=1edunquelaquantit`adomandatadei duebeni rimaneinvariataalvariaredei prezzi epari aY . Poniamoyn1=Y 2n, yn2=Y+pn1pn22neyn=(yn1, yn2). Evidentementepn1yn1+ pn2yn2=Y . Siccomeil panierex`eil miglioretraquelli chesoddisfanoil vincolodi bilanciosi hax _ yn;inoltreyn(Y, Y+ 1) > (Y, Y ). Nerisulta,selepreferenzesonocontinue,che(Y, Y+ 1) (Y, Y )edunquecheU(x1, x2) =minx1, x2`eunapossibilerappresentazionedellepreferenze. Non`edicilevericarecheineetti `equestoilcaso.Esercizio5. ,[3,p. 91-2]Consideratelafunzionedidomandamarshallianaseguente:xi(p1, p2, Y ) =Ypi + 2pji, j= 1, 2, i ,= jedassumetecheilpanierex1(p, Y ), x2(p, Y )siastrettamentepreferitoadognialtroxtalechepx Y .(1) Qual `elafunzionediutilit`adiretta?(2) Qualilepreferenze?ESERCIZI DALCAPITOLO?? 79Soluzionedellesercizio5.Ancheinquestocasositrattadirisaliredallafunzionedidomandamarshallianaallafunzionediutilit`a. NuovamentefacciamousodelladenizioneEsercizidaiCapitoli3e1Esercizio6. Considerateunmercatocaratterizzatodafunzionedidomandalinearedeltipo: q=a bp,doveqindicalaquantit`acomplessivamenteprodottaepil prezzo. Lunicaimpresapresentesul mercatopresentacostimarginali(emedi)costantiepariac.(1) Determinateilprezzoelaquantit`adequilibrioedoriteneunarappresentazionegraca.(2) Calcolate lelasticit`a della domanda al prezzo (intesa come numero positivo). Come varia lelasticit`aalvariaredelparametrob?(3) Spiegateselequilibriodimonopolio,dicuialpunto1),cadeneltrattoelasticooanelasticodellacurvadidomanda. Questorisultatohavalenzagenerale?Perche?Soluzionedellesercizio6.(1) Ilmonopolistarisolveilseguenteproblemadimassimizzazione4:maxp(p c)(a bp)dacuisiricavanolecondizionidiprimoordineperilprezzo:a bp b(p c) = 0eilprezzodequilibriodimonopolio:p =a +bc2b=A+c2con B= b1, A = a/bche, sostituitonellafunzionedi domanda, consentedi ricavarelaquantit`aoertasul mercatodalmonopolista:q=a bc2=Ac2Bc