258

M E T R I C H E DI A L G E B R E R E A L I D I D I M E N S I O N E D U E

di Igrancesco Amato (*) (Messina)

SUMMARY. We determine the metrics of real algebras As with unit element. These metrics can be classified of elliptic, hyperbolic of parabolic kinds.

I. - G. Vranceanu [I] ha mostrato che a qualunque algebra di numeri

ipercomplessi si pub associate uno spazio a connessione affine costante. Tale

spazio in certi casi pub essere riemanniano e questo 6 sempre vero se l'algebra

6 associativa e commutativa. In tal caso Io spazio 6 riemanniano e senza cur-

vatura, ossia localmente euclideo. Recentemente L. Bassotti e G. Rizza [2] hanno

dato delle propriet/l geometriche per le algebre A~ reali dotate di unit/L Queste

algebre sono associative e commutative, dunque hanno metriche euclidee. In una

nota [3], in corso di stampa, ho trovato, tra l'altro, la metrica per una di queste

algebre e precisamente per quella dei numeri complessi (algebra complessa).

in questa nota voglio determinare le metriche anche per le altre algebre As

dotate di unit~.

2. - Nel lavoro [2] si d/~ la legge di composizione delle algebre in discorso

e una tavola di moltiplicazione equivalente alle formule:

(1) e~l = el, e, e2 : e2e, = e:, e~2 = eel,

dove e assume uno dei tre valori - -1 , 1, 0. [I primo di questi valori ci d/~

(*) Lavoro eseguito nelrambito del G. N. S. A. (3. A. del C. N. R..

METRICHE DI ALGEBRE IIEALI DI DIMENSIONE DUE 2 5 0

I 'algebra dei numeri complessi

Z ~ X l e 1 At- x2e2

per la quale le unith sono 1 ed i-----~---1.

Ricordiamo adessso che data una qua lunque algebra

(2) e i e k = I'~, e,

se tale algebra poss iede un tensore metrico a,j = ajt questo deve essere solu-

zione delle equazioni alle derivate parziali

(3) O a .

Nel easo delle algebre (1) queste si scr ivono

(4)

Ora se poniamo:

(5)

0 att _ 2 a~ O at~ 2 0 X i - - ' 0 X 2 - - a t e '

- - 2 a 1 ~ , O x ~

0 a~2 0 a22 = 2 a ~ 2 , O x ~ - - 2 ~ a t 2 "

ait = a e 2x~ , atg. = b e 2xl , a~2 ~ C e 2x~ ,

ne risulta che a, b, c non d ipendono dalla variabile x ~ e soddisfano le equazioni

(6) Oa c)b Oc Ox ~ - - 2b, - - c-+- Ca, - - 2 z b .

O x ~ c~ x ~

Derivando la seconda di queste equazioni, r ispetto ad x 2, si ha:

a2b = 4~b . (7)

Questa, per r = - 1, ci d/l:

(8) b = A sen 2 x ~ -[- B cos 2 x 2

con A e B costanti arbitrarie.

2 6 0 FRANCESCO AMATO

In ques to caso le (6) ci danno :

c - - a = 2A cos 2 x ~ - - 2 B sen 2 x ~, (9)

c q - a = 2 K ,

dove K 6 una costante. Si t rova cosi la metrica che abbiamo gi~ determinato

nel lavoro [3].

Se r : 1, algebra bireale, l 'equazione (7) ci d/~:

b : A e 2x' + B e - ~ "

e le equazioni (6) ci danno :

c - - a = 2 K ,

c + a = 2 A e 2x' - 2 B e -2x ' ,

e la metrica dello spazio si scr ive:

d s 2 = {[A e 2x' - - B e - ~ " - - k] ( cl x i y + 2 [ A e 2x' + B e - 2x'] d x i cl x ~ -k-

+ [A e 2x' - - B e -~x' + k] (dx~) ~} e 2xl .

S e r = 0, algebra duale, l 'equazione (7) ci dh:

b = m x + n

dove m, n sono delle costanti . In questo caso le equazioni (6) ci d an n o :

a = re(x2) ~ + 2 n x 2 + p, b = m x ~ + n, c = m,

e la metrica si s t r ive :

d s ~" = {[m (x'Z) ~ q - 2 n x ~ -q- p] ( d x t ) ~ q- 2(m x ~ - k n) d x t d x ~ q - m (dx~)21 e 2x' .

I~ interessante osservare che le metriche associate alle algebre A, si pos-

sono classificare in ellittiche (~ = - 1), iperboliche (r = 1) e parabol iche (~ = 0).

Messina, Dicembre 1974.

BIBLIOGRAFIA

[1] (3. Vranceanu, Spazi a connessione affine e le algebre di numeri ipercomplesse, Annali della Scuola Norm. Sup., Pisa, (1958).

[2] L. Bassotti e O. Rizza, Funzioni monogene helle algebre reali di dimensione due e applica-

zioni conformi, Rend. di Matem., Serie VI, Voi. VI, Fasc. 2, Roma (1973). [3] F. Amato, Algebre dei numeri ipercomplessi e trasporto parallelo, Rend. Mat. Univers.

Politecn. Torino, Vol. 33 (1974-75).