Metodo numerico di Metodo numerico di EuleroEulero

Prof. MessinaProf. Messina

Il suo genio non ha uguali né simili

“Eulero calcolava senza sforzo apparente proprio come gli uomini respirano e le aquile volano nel vento”. Francois Arago

L’equazione differenziale stabilisce una L’equazione differenziale stabilisce una relazione tra la variabile relazione tra la variabile indipendente t, la funzione incognita indipendente t, la funzione incognita y(t)y(t) e le sue derivate. e le sue derivate.

Lo studio di un sistema si riconduce Lo studio di un sistema si riconduce quasi sempre allo studio di una quasi sempre allo studio di una equazione differenziale. equazione differenziale.

Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine Risolvere una equazione differenziale del 1°ordine data nella forma data nella forma ::

derivata della funzione incognitaderivata della funzione incognita

Ingresso del sistemaIngresso del sistema

Uscita del sistemaUscita del sistema funzione incognita funzione incognita

Significa trovare la funzioneSignifica trovare la funzione u(t) u(t) che sostituita che sostituita nell’equazione rende uguale a nell’equazione rende uguale a vvinin(t)(t) l’espressione a l’espressione a sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il sinistra del segno di uguaglianza, qualunque sia il valore di valore di tt..

)()()(

tvtudt

tduin

Costante di tempo

Questo metodo consente di sostituire l’equazione Questo metodo consente di sostituire l’equazione differenziale con una equazione di differenziale con una equazione di differenze differenze finitefinite in un determinato in un determinato intervallo di tempointervallo di tempo..

Il metodo più semplice per risolvere una Il metodo più semplice per risolvere una equazione differenziale di 1° ordine è il equazione differenziale di 1° ordine è il metodo di Eulero.metodo di Eulero.

t

u

dt

tdu

)( ii uuu 1

n

ttt

f 0

Intervallo in corrispondenza del quale si vuole calcolare il valore approssimato della la funzione incognita

Numero di parti con cui si vuole dividere l’intervallo considerato

Per cuie

Dove u u ii è il valore dell’uscita nell’istante generico (nell’istante generico (ii) ) e u u i+1i+1 il valore

per l’istante successivo. l’istante successivo.

Il numero di istanti di tempo in cui Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscitasi valuta il valore dell’uscita

Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata Con tale metodo si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è calcolato in un punto è approssimativamente approssimativamente uguale al valore uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è t è piccolo e finito.piccolo e finito.

P1

u P0 t

u(t)

t t0 t1 t2 t3 t4

t

u

u1

u0

Se Se i=0 i=0 allora:allora:

ttii = = tt00

tt0 0 + + t = t = tt11

tt11 + + t = t = tt22

tt22 + + t = t = tt33

tt3 3 + + t t = = tt44

Come detto:Con il metodo di Eulero si può affermare che il valore della derivata calcolato in un punto è approssimativamente uguale al valore del rapporto incrementale quando l’intervallo di tempo t è piccolo e finito.

Sostituiamo ora nella equazione differenziale originaria il Sostituiamo ora nella equazione differenziale originaria il simbolo della derivata con quello delle differenze finite. simbolo della derivata con quello delle differenze finite.

)()()(

tvtudt

tduin )()(

)(tvtu

t

tuin

Si sceglie il passo t - normalmente circa 10 volte minore della costante di tempo t .

t

ttn

f

0 Dove Dove ttff è l’istante finaleè l’istante finale

e e tt0 0 l’istante inizialel’istante iniziale

Originaria Differenze finite

Il numero di istanti di tempo in cui si valuta il valore dell’uscita è dato da:

ii uuu 1

iniii vu

t

uu

1)()()(

tvtudt

tduin

Dove:Dove:

uiui è il valore dell’uscita è il valore dell’uscita nell’istante generico (nell’istante generico (ii))

ui+1ui+1 l’istante successivo l’istante successivo

Si sostituisce a u

Si ottiene quindi:Si ottiene quindi:

)()()(

tvtut

tuin

uuii sarà sarà uu00

u u i+1i+1 sarà sarà uu11

E se consideriamo i = 0E se consideriamo i = 0

iiin ut

uvu

i

1

Da cui

iiin

i utuv

u

1

Uscita istante successivoUscita istante precedente

Costante di tempo

Intervallo di tempoDetto anche “Passo”

Valore di ingresso

Ora si può stilare una tabella, con Excel, nella quale si calcolano i valori dell’ Ora si può stilare una tabella, con Excel, nella quale si calcolano i valori dell’ uscita del sistema per gli istanti di tempo definiti in base alle condizioni iniziali.uscita del sistema per gli istanti di tempo definiti in base alle condizioni iniziali.

Supponiamo di voler studiare un sistema con Supponiamo di voler studiare un sistema con = 50s = 50s e e VVii = 10 = 10 nell’intervallo di temponell’intervallo di tempo 0-100s0-100s e di aver scelto come passo e di aver scelto come passo t =t = 5s5s si si ottiene un numero di istanti di tempo pari a : ottiene un numero di istanti di tempo pari a :

200

t

ttn f

AA B C

11 ii t u(t)

2 0 0 0

3 1 5 1

4 2 10 1,9

21 20 20 …

Nella prima colonna inseriamo il valore del pedice (i), nella seconda colonna gli istanti di tempo in cui si vuole studiare l’uscita u(t) con Passo 5s e nella terza colonna si inserisce la formula dalla quale si ottiene il valore della u(t) nel corrispondente istante.

= = 1

La formula viene inserita nella cella La formula viene inserita nella cella C3C3 e e poi trascinata fino alla cella poi trascinata fino alla cella C21C21

00

1 utuv

u i

0550

010

11

2 utuv

u i

Una volta ottenuti tutti i valori assunti dall’uscita del sistemaUna volta ottenuti tutti i valori assunti dall’uscita del sistemanell’intervallo specificato 0 – 100s possiamo tracciare i graficinell’intervallo specificato 0 – 100s possiamo tracciare i graficirelativi alla risposta del sistema in funzione del tempo e relativi alla risposta del sistema in funzione del tempo e analizzarne analizzarne il risultato.il risultato.

CARICA DI UN CONDENSATORE

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

0 100 200 300 400t[s]

vc

[v]

vc[v]