Metodi innovativi per la caratterizzazione degli ADC · si avr a ancora una caratteristica a...

Scuola Politecnica e delle Scienze di BaseCorso di Laurea in Ingegneria Informatica

Elaborato finale in Misure per l’automazione e la produzioneindustriale

Metodi innovativi per lacaratterizzazione degli ADC

Anno Accademico 2015/2016

Relatrice: Annalisa Liccardo

Candidato: Alessio D’elenamatr. N46/1446

Indice

1 Introduzione 1

2 Generalita sulla conversione analogico-digitale 2

2.1 Pregi dei segnali digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Operazione di conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Caratterizzazione dei parametri di un ADC 7

3.1 Caratterizzazione dinamicai di un ADC . . . . . . . . . . . 7

3.2 Valutazione degli errori presenti in un ADC . . . . . . . . . 10

3.3 Valutazione dell’ENOB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Convertitore Flash 16

5 Problematiche e metodi proposti per lo standard IEEE 19

5.1 Criticita del modello IEEE standard 1241-2010 . . . . . . . 19

5.2 Approccio proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.3 Test simulativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.4 Test sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Valutazione dell’incertezza dei segnali dinamici campionati

da un ADC 27

6.1 Metodo proposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 Test sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bibliografia 34

ii

Capitolo 1

Introduzione

I segnali che nascono dalla maggior parte dei fenomeni fisici sono ti-

picamente variabili con continuita sia nel tempo che nelle ampiezze. Af-

finche questi segnali possano essere elaborati dai sistemi digitali risultano

necessarie opportune operazioni di conversione. Il circuito capace di ta-

le conversione e il convertitore analogico-digitale ADC (Analog to Digital

Converter) che, come suggerisce il nome, ha come ingresso un segnale

analogico e lo converte in un segnale discreto sia nelle ampiezze che nei

tempi. L’ente incaricato della caratterizzazione degli ADC e l’IEEE (Insti-

tute of Electrical and Electronics Engineers) che ha proposto lo standard

1241-2010 per definire la terminologia, caratteristiche tecniche e metodi di

prova per la misurazione delle prestazioni di un ADC. Lo standard e stato

scritto per i produttori e gli utilizzatori di ADC per l’uso in applicazioni

statiche e dinamiche. In questo elaborato si cerchera di analizzare pregi e

difetti degli ADC, soffermandosi sulla caratterizzazione dinamica propo-

sta dalla norma 1241-2010 presentando dei metodi innovativi per la loro

caratterizzazione.

1

Capitolo 2

Generalita sulla conversione

analogico-digitale

La conversione analogico-digitale e l’attivita svolta da un ADC per

convertire un segnale analogico in una sequenza temporale di campioni, i

quali appunto costituiscono un segnale digitale.

2.1 Pregi dei segnali digitali

A differenza dei segnali analogici, i segnali digitali godono di alcune

proprieta:

1. Maggiore reiezione ai disturbi. Poiche il segnale analogico e una

funzione continua, puo assumere infiniti valori, percio il rumore che

si sovrappone al segnale altera inevitabilmente le sue componenti.

Invece i segnali digitali possono assumere solamente un numero di

valori finito separati da una ”soglia”, se il rumore non ha ampiezza

sufficiente al superamento della soglia il segnale risulta non alterato.

2. Possono essere elaborati piu facilmente. Per elaborare un segnale

analogico si deve inevitabilmente ricorrere ad amplificatori operazio-

nali, i quali pero effettuano semplici operazioni di somma, sottrazio-

ne, ecc. Per effettuare operazioni piu piu avanzate bisogna costruire

circuiti di enorme complessita. I segnali digitali invece possono es-

sere elaborati in modo facile e veloce dai microprocessori che non

richiedono la costruzione di circuiti complessi.

2

Capitolo 2. Generalita sulla conversione analogico-digitale

3. Possono essere memorizzati in maniera piu fedele e stabile. I segnali

digitali possono essere memorizzati con estrema facilita su memorie

RAM oppure memorie di massa.

2.2 Operazione di conversione

Al fine di convertire un segnale analogico in un segnale digitale, quindi

in una sequenza di bit, il convertitore ADC effettua essenzialmente due

fasi: la fase di ”Campionamento” e la fase di ”Quantizzazione”. Nella fase

di campionamento (fase di sample) si acquisiscono in determinati intervalli

di tempo Tc, che rappresentano il periodo di campionamento, dei campio-

ni del segnale. Il numero dei campioni e la distanza che li serarano sono

scelti in modo da restituire una corretta rappresentazione del segnale in

esame. Durante il periodo di campionamento e preferibile che il segnale

rimanga costante poiche i convertitori hanno bisogno di un certo tempo

per effettuare la conversione, tale fase prende il nome di Hold(tenuta). La

fase di campionamento e la fase di tenuta sono effettuate da determinati

circuiti detti ”Sample and Hold(S/H)” .

Fig. 1: Circuito Sample End Hold

L’interruttore del circuito S/H e pilotato da un senale di clock di periodo

Tc. L’inizio della conversione parte con il comando di Start Of Conver-

sion(SOC) che chiude l’interruttore permettendo al condensatore di ca-

ricarsi fino al valore assunto dal segnale. Per permettere la carica del

condensatore in tempi brevi la relativa costante di tempo τ = RC viene

dimensionata in modo da risultare molto piccola rispetto alla dinamica del

3


segnale. Dopo un tempo pari a 5 o 6 volte la costante di tempo, l’inter-

ruttore viene aperto permettendo al condensatore di rimanere carico per

tutto il tempo di hold, durante il quale l’ADC preleva il segnale ai capi del

condensatore e lo converte in numerico. Il valore della frequenza di cam-

pionamento, che ricordiamo essere l’inverso del periodo di campionamen-

to, viene scelto in modo tale da rispettare il ”teorema Nyquist-Shannon o

Teorema del campionamento”, il quale impone che la frequenza di campio-

namento deve essere maggiore o uguale a due volte la frequenza del segnale

in ingresso

fc ≥ 2fi

Se il teorema di campionamento non e soddisfatto si verifica il fenomeno

dell’Aliasing , cioe si ottiene una sovrapposizione delle repliche del segnale

originario modificando lo spettro e quindi il relativo contenuto informativo.

Nella fase di quantizzazione si definiscono un numero limitato di valori

che il segnale analogico puo assumere. Poiche il segnale analogico puo

assumere in generale valori compresi fra un valore minimo ed uno massimo,

la quantizzazione e ottenuta suddividendo il campo delle ampiezze del

segnale in intervalli. I valori analogici del segnale che cadono entro uno di

questi intervalli di quantizzazione vengono associati ad un preciso valore di

tensione a cui e associato un codice. Quindi con n bit e possibile ottenere

N = 2n livelli di quantizzazione. Definita la tensione di fondo scala(VFS)

come la massima tensione convertibile, con 2n livelli di quantizzazione

si puo dividere l’intera dinamica in ingresso in 2n intervalli piu piccoli

di ampiezza Q chiamati quanti . Il quanto in un generico convertitore

unipolare(la cui dinamica varia tra 0 e VFS) sara pari a Q = VFS2n .

Fig. 2: Esempio convertitore a 4 bit

4


Se si vogliono vedere le prestazioni di un circuito di quantizzazione, la

cosa piu importante da notare e la sua transcaratteristica(o caratteristica

ingresso-uscita). Nel grafico, successivamente riportato, sono rappresentati

sull’asse delle x i valori della tensione da quantizzare e sull’asse delle y il

codice binario in uscita al convertitore. La retta passante per i punti medi

di ogni ”quanto” e denominata ”Retta Interpolatrice”.

Fig. 3: Errore di quantizzazione

Come si puo notare, nella situazione ideale, l’unico errore visibile e

l’errore di quantizzazione(Quantization Uncertainty), cioe una tensione

piu piccola o piu grande del valor medio della pedata viene associata ad

un codice che sovrastima o sottostima il valore della tensione in ingresso.

La caratteristica dell’errore, come da grafico, risulta avere un tipico anda-

mento a dente di sega con pendenza -1. Il valore efficace di tale rumore

sara pari a :

RMSnoise =

√√√√ 1

Q

∫ Q2

−Q2

(−Verrore)2dV =Q√12

dove Q√12

sara proprio il rumore di quantizzazione di un convertitore idea-

le.

Oltre all’errore di quantizzazione, nel caso reale saranno presenti altri fe-

nomeni che modificheranno la retta interpolatrice, come l’errore di offset,

l’errore di guadagno e l’errore di non linearita. L’errore di guadagno andra

5


a variare la pendenza della retta mentre l’errore di offset andra a traslare

verso il basso o l’alto la curva.

Fig. 4: Errori della transcaratteristica

6

Capitolo 3

Caratterizzazione dei

parametri di un ADC

Nel seguente capitolo andremo a valutare, secondo lo Std. IEEE 1241-

2010, le cause di errore che affliggono un ADC, al fine di stimare la

daifferenza di un ADC reale da quello ideale.

3.1 Caratterizzazione dinamicai di un ADC

Caratterizzare dinamicamente un convertitore vuol dire trovare la sua

caratteristica, quindi la sua transcaratteristica, sapendo che in ingresso

vi e un segnale con una sua dinamica. Si procede quindi alla valutazione

delle tensioni di soglia, ovvero quel valore di tensione che separa due codici

successivi.

Per prima cosa si inserisce in ingresso all’ADC un segnale su cui e facile

ragionare ed operare, cioe una rampa lineare. Successivamente, per non

avere aliasing bisogna scegliere una frequenza di campionamento adeguata,

cioe fc ≥ 2fi e si valuta per ogni ingresso il codice che il convertitore

restituisce. Idealmente si dovrebbe avere un numero di occorrenze uguali

per ogni codice, cioe se si acquisiscono M campioni con un convertitore a

n bit dovremmo avere un numero di occorrenze N pari a:

N =M

2n

Nella realta essendo i quanti diversi tra loro anche le occorrenze per ogni

codice saranno diverse tra di loro, inoltre vi e anche una incertezza legata

7

Capitolo 3. Caratterizzazione dei parametri di un ADC

al campionamento della rampa: aumentando la pendenza della rampa di-

minuisce il numero di campioni che si prelevano per ogni codice.

Per ovviare a questo problema si potrebbe pensare di rendere la rampa

periodica, cioe un segnale a ”dente di sega”, ma nella realta tela segnale e

difficilmente rappresentabile.

Il segnale meglio rappresentabile, che e anche quello proposto dallo stan-

dard 1241-2010, e la sinusoide anche perche grazie ai filtri la si puo rendere

piu pura possibile. Campionando con una certa fc la suddetta sinusoide,

si avra ancora una caratteristica a gradino pero mentre con la rampa si

aveva un numero uguali di occorrenze per ogni codice, con la sinusoide il

numero di occorrenze sara diverso. In generale il numero di occorrenze

sara maggiore dove la sinusoide varia di meno, minore dove varia di piu.

Valutando l’istogramma delle occorrenze avremo il seguente grafico:

Fig. 5: campionamento della sinusoide ed istogramma delle occorrenze

Per semplificare i calcoli si consideri

meta periodo. Dividendo l’asse delle

tensioni in segmenti pari ai livelli del

convertitore si otterranno le varie peda-

te associate ai vari codici k. Il nume-

ro di campioni che cadono nell’interval-

lo τ , considerando un periodo di cam-

pionamento Tc, sara proprio in nume-

ro di occorrenze in cui si verifica il co-

dice k, quindi il valore dell’istogramma

H(k). Conoscendo tali valori e possibile

calcolare τ come:

τ = TcH(k)

8


cosi e possibile valutare k come:

k = H1Tc +H2Tc +H3Tc + ...+Hk−1Tc

Con la conoscenza di k, le soglie Tk sono facilmente valutabili grazie alla

formula:

Tk = −Fs cos(2π

T

k−1∑i=1

HkTc)

dove T e il periodo del coseno, Fs il valore di fondo scala mentre la som-

matoria∑k−1

i=1 Hk = Hc(k − 1) e chiamata istogramma cumulativo. Il

rapporto TTc

rappresenta il numero di punti per periodo Npp, inoltre essen-

do che si sta campionando solo mezzo periodo, il 2 si omette ed invece di

Npp inseriamo Nc, ovvero i numeri di punti per mezzo periodo, quindi la

formula diventera:

Tk = −Fs cos(π

NcHc(k − 1))

Molto importante e capire come scegliere la frequenza di campionamento.

Come si e detto bisogna rispettare il teorema di Nyquist(o del campio-

namento), quindi se si sceglie un segnale in ingresso di 50MHz si puo

scegliere come frequenza si campionamento 100MHz, ma cosı facendo si

avranno solo due campioni con cui valutare tutte le soglie, cosa impossibile

da fare. Allora la cosa piu ovvia e scegliere una frequenza fc tale che tutti

i codici abbiano almeno un campione. Quindi se si riesce a campionare il

segnale passante per lo zero, cioe dove il segnale varia di meno, allora si

avra sicuramente un campione anche per i successivi codici. Per fare cio il

salto di tensione deve essere minore del Quanto.

Fig. 6: Scelta della frequenza di campionamento

9


Il valore Tc viene dimensionato in base al valore della frequenza del

segnale in ingresso e del numero di campioni del convertitore. Come si

puo osservare in figura il quanto sara pari a :

Q =Vrange

2n

mentre il salto di tensione ∆V sara:

∆V =V range

2nsin(2πfTc)

Poiche il passo ∆V deve essere minore del quanto Q si otterra la seguente

disequazione :

∆V =V range

2nsin(2πfTc) <

Vrange2n

Apportando le opportune semplificazioni e ricordando che poiche Tc << T ,

si puo approssimare il seno con il suo arco ottenendo:

1

2n−1> 2πfTc

ed essendo TTc

= Npp si otterra la seguente disequazione :

Npp > π2n

Generalmente, e buona prassi prelevare Npp non in un solo periodo ma

in piu periodi, inoltre per non prelevare sempre gli stessi campioni, lo

standard 1241-2010 impone che fc ed f devono essere coprimi, cioe senza

fattori comuni tra loro. Per fare cio deve essere verificata la seguente

formula:fcfs

=N

Np= Npp

3.2 Valutazione degli errori presenti in un ADC

Una volta ricavate le soglie reali (Tkr), vediamo di quanto queste di-

scostano da quelle ideali (Tk), in modo da valutare gli errori che affliggono

l’ADC in prova.

Per fare cio si va a graficare su di un piano cartesiano le soglie reali e quelle

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ideali. Interpolando tutti i punti si otterra una retta del tipo:

y = mx+ n

dove m rappresenta l’errore di guadagno mentre n rappresenta l’errore di

offset. Quindi se a tutti i Tkr si sottrae n e si divide per m si ottiene pro-

prio la retta a pendenza unitaria passante per l’origine, trovando cosı i Tkr

compensati Tkc. Le soglie Tkc sono le soglie reali prive di errori di offset e

di guadagno, quindi tutto cio che fa discostare i Tkc dai Tkr e l’errore di

non linearita.

Gli errori di non linearita sono essenzialmente due: la ”non linearita diffe-

renziale ” e la ”non linearita integrale”. La differenza di questi due errori

dipende da come si vuole caratterizzare il convertitore, se in un intorno di

una tensione di riferimento(differenziale) oppure in tutto il suo range di

funzionamento. L’errore di non linearita integrale sara espresso secondo

la formula:

INL(k) =Tkc − Tki

fs100

e fa capire che una generica soglia Tkc differisce dal suo Tkr perche tutte

le soglie precedenti sono diverse dalla loro Tkr.

L’errore di non linearita differenziale invece sara espresso come:

DNL(k) =(Tk+1 − Tk)−Q

Q

cioe una pedata e minore o maggiore di Q , non interessandosi delle altre

pedate , quindi da solo una informazione locale in un certo punto della

caratteristica.

All’atto dell’acquisto di un convertitore, i valori ripostati non saranno

quelli appena enunciati bensı i loro casi peggiori(worst case):

INL = maxINL(k); DNL = RMS[DNL(K)] =

√√√√ 1

N

N∑i=1

DNL2(k)

Nel caratterizzare il convertitore fino ad ora, si e implicitamente ipotiz-

zato che esso non presenti ”errore di non monotonicita” , cioe all’aumentare

del codice aumenta la tensione. Se la transcaratteristica fosse del seguente

tipo allora i ragionamenti fatti fino ad ora non sarebbero piu veri.

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Fig. 7: Caratteristica non monotona

Quindi nasce la necessita di nuovi parametri per valutare le perfomance

di un convertitore, uno di questi e e l’ENOB.

3.3 Valutazione dell’ENOB

La sigla ENOB, dallo standard 1241-2010, sta per Effective Number

Of Bit e serve per misurare la qualita di un segnale digitalizzato. Esso va-

luta qual e il numero di bit che dovrebbe avere un convertitore ideale per

restituire lo stesso rumore totale del convertitore reale in esame. Come

spiegato in precedenza, nei convertitori ideali, l’errore di quantizzazione

introduce un rumore che varia tra [−Q2 ,

Q2 ]. Nella realta, oltre all’errore

di quantizzazione, si possono affiancare l’errore di offset, guadagno e non

linearita e tutto cio si ripercuote sul numero effettivo di bit utilizzati dal

convertitore. Quindi quello che si fara e valutare i numeri di bit effettivi

utilizzati da un convertitore reale durante un processo di conversione.

Come gia accennato precedentemente, l’errore di quantizzazione in un con-

vertitore ideale sara Q√12

, quindi si puo ipotizzare l’esistenza di un conver-

titore ideale al quale e associato un rumore di quantizzazione uguale al

rumore del convertitore reale. Dunque, fissando il fondo scala del conver-

titore ideale uguale a quello del convertitore reale, si puo porre la seguente

12


uguaglianza per calcolare RMSnoise,reale:

RMSreale > RMSideale ⇒ Qreale > Qideale

grazie alla quale si evince che il numero di bit di un convertitore reale sara

minore di quello ideale. Riscrivendo la relazione del RMSideale si ricavera

che:

RMSnoise,ideale =Q√12

=Fs

2N√

12

da cui si puo risalire al numero di bit come :

N = log2(Fs

RMSnoise√

12)

Quindi non resta che calcolare RMSnoise,reale. Per fare cio, conoscen-

do il segnale di ingresso, si ricavano i codici che restituisce in uscita al

convertitore ed operando il prodotto codice*quanto-nominale si trovano i

campioni di tensione. Si ricostruisce il segnale di ingresso a partire dai

campioni e si fa la differenza tra il segnale in uscita ricostruito meno il

segnale in ingresso, trovandone il valore efficace. Come segnale in ingresso

si sceglie la sinusoide poiche e piu facile da generare in laboratorio. Sa-

pendo la dinamica del segnale in ingresso e sapendo da che punto inizia

l’acquisizione di quest’ultimo su puo applicare la seguente formula:

RMSnoise =

√√√√ 1

M

M∑k=1

(Vk − Vik)2

dove M e il numero di campioni da acquisire, Vk e il vettore di campioni

in uscita al convertitore mentre Vik e quello in ingresso. Tale differenza va

fatta negli istanti di campionamento, poiche solo in tali istanti si conosce il

segnale di uscita, percio anche il segnale di ingresso deve essere noto punto

per punto.

La norma IEEE 1241-2010 propone di utilizzare la procedura di sine fit

per calcolare la Vik come la migliore sinusoide interpolante dei campioni

restituiti dal convertitore. Questa procedura a sua volta adopera l’algorit-

mo dei tre parametri o quattro parametri, a seconda che la frequenza del

segnale e nota o meno. La sinusoide interpolante sara del tipo:

Vi = A cos(2πft+ ϕ) + C0

13


dove C0 e una costante che rappresenta la componente continua, la si

campiona, ricavando che :

Vik = A cos(2πftk + ϕ) + C0

Essendo tk = kTc = kfc

e ricordando che ffc

= 1Npp

si otterra :

Vik = A cos(2π

Nppk + ϕ) + C0

Per la formula di addizione il coseno si riscrive come:

Vik = A cos(2π

Nppk + ϕ) cos(ϕ)−A sin(

2π

Nppk + ϕ) sin(ϕ) + C0

Per comodita si assumera che:

A0 = A cos(ϕ)

B0 = −B sin(ϕ)

βk = sin(2π

Nppk + ϕ)

αk = cos(2π

Nppk + ϕ)

Quindi la funzione finale sara:

Vik = A0αk +B0βk + C0

Bisogna minimizzare lo scarto quadratico medio tra i campioni Vk e Vik:

ε2k =

M∑k=1

(Vk − (A0αk +B0βk + C0))2

dove Vk sono i campioni trovati facendo codice per quanto in uscita. Per

fare cio si deve porre nulla la derivata rispettoA0, B0, C0, da cui si ricavano

le seguenti equazioni:

M∑k=1

Vikαk = A0

M∑k=1

α2k +B0

M∑k=1

αkβk + C0

M∑k=1

αk

14


M∑k=1

Vikβk = A0

M∑k=1

αkβk +B0

M∑k=1

β2k + C0

M∑k=1

βk

M∑k=1

Vik = A0

M∑k=1

αk +B0

M∑k=1

βk + C0M

Da questo sistema si possono ricavare le tre incognite. Valutato Vik si puo

calcolare RMSnoise con la formula enunciata precedentemente:

RMSnoise =

√√√√ 1

M

M∑k=1

(Vk − Vik)2

Fatto cio non resta che valutare l’ENOB come:

ENOB = log2(Fs

RMSnoise√

12)

15

Capitolo 4

Convertitore Flash

Un esempio di convertitore ACD e il convertitore Flash. Essi sono i

convertitori piu veloci, infatti, presentano di conversione dell’ordine dei

nanosecondi. Questi convertitori sono indispensabili per convertire segnali

aventi elevata frequenza. I vantaggi di tali convertitori sono la linearita,

la semplicita di costruzione e la velocita di conversione. Il grandissimo

svantaggio e legato al numero crescente di componenti all’aumentare della

risoluzione. In generale, per creare un ADC Flash con N bit ci vogliono 2N

resistori, 2N−1 comparatori ed una rete di codifica. Di seguito e riportato

il circuito generale di un ADC Flash bipolare.

Il funzionamento di tale convertitore e

molto semplice, ogni comparatore con-

fronta il valore del segnale da convertire

con il relativo potenziale applicato sul

morsetto invertitore. Se la tensione e

maggiore del potenziale allora il conver-

titore produrra un ”1” in uscita, altri-

menti uno ”0”. Successivamente i valo-

ri ottenuti dai convertitori andranno in

ingresso al Decoder che produrra l’usci-

ta codificata. Tale convertitore puo es-

sere costruito con massimo 8-10 bit di

risoluzione, piu di 10 e costoso

costruirlo, inoltre se le resistenze non sono uguali tra loro nasce un pro-

blema di accuracy. Se le resistenze hanno una tolleranza dello 0, 1%, la

risoluzione con 10 bit va ancora bene, altrimenti i quanti risultano sbal-

16

Capitolo 4. Convertitore Flash

lati tra loro. Un altro problema e legato agli amplificatori operazionali,

in quanto all’aumentare di quest’ultimi vi e una riduzione della banda,

poiche un amplificatori operazionali piu una resistenza equivale ad un cir-

cuito passa-basso.

Un altro problema, come si evince dal grafico, e dato dal fatto che se si

preleva un campione dal segnale che ha valore nullo, questo verrebbe as-

sociato sempre ad un valore non nullo positivo o negativo, non vedendo

rappresentato il valore 0. Per ovviare a questo problema si puo usare la

”Quantizzazione silenziata”, cioe si trasla di mezzo quanto la caratteristica

del convertitore. Questo approccio comporta che gli ultimi quanti a de-

stra e a sinistra della caratteristica risulteranno rispettivamente maggiori

e minori di mezzo quanto.

Fig. 8: Quantizzazione

Per realizzare la ”Quantizzazione silenziata ” si sostituisce nel grafico del

convertitore flash la prima resistenza con una di valore 32R e come ultima

una di valore R2 .

17

Capitolo 4. Convertitore Flash

Fig. 9: Convertitore flash con quantizzazione silenziata

18

Capitolo 5

Problematiche e metodi

proposti per lo standard

IEEE

In questo capitolo verranno chiarite le principali problematiche del mo-

dello IEEE Std. 1241-2010 e verranno proposti due approcci risolutivi.

Precisamente, il primo approccio sara indirizzato ai costruttori, mentre il

secondo agli utilizzatori degli ADC.

5.1 Criticita del modello IEEE standard 1241-

2010

Come spiegato precedentemente, l’IEEE std. 1241-2010 permette la

caratterizzazione dell’ADC grazie alle soglie di transizione, che devono es-

sere misurate per mezzo di un istogramma. Valutate le suddette soglie,

grazie alla registrazione e l’elaborazione dei codici in uscita all’ADC, un

ulteriore test ci permette di ricavare gli errori lineari: errore di guadagno

G e l’errore di offset O; e gli errori non lineari εk: errore di non linearita

integrale INLk e errore di non linearita differenziale DNLk. La misura

delle soglie di transizione pero non ci informa circa gli errori casuali dovuti

alla quantizzazione ed al rumore esterno. Percio come accennato prima e

stato introdotto il concetto di rumore totale, il cui valore efficace e usato

per valutare le prestazioni globali dell’ADC, cioe l’ENOB. Il rumore totale

viene definito come eventuali scostamenti tra i livelli nominali ricostruiti

19

Capitolo 5. Problematiche e metodi proposti per lo standard IEEE

dall’ADC e i valori del segnale di ingresso negli stessi istanti, tranne per

le deviazioni causate da errore di guadagno e offset. L’enorme svantaggio

che introduce questa pratica e che essa si basa su di un segnale i cui pa-

rametri sono valutati elaborando gli stessi dati acquisiti dal convertitore

in prova. Questa prassi e atipica, le prestazioni dovrebbero essere eviden-

ziate confrontando i risultati misurati con gli ingressi, la cui conoscenza

dei parametri e data dagli strumenti di taratura. Nel seguito si vedranno

degli approcci innovativi per far fronte ai difetti accennati sopra.

5.2 Approccio proposto

Diversamente dall’IEEE Std. 1241-2010, l’approccio proposto si basa

sui livelli di ricostruzione yk definiti come i valori centrali degli intervalli

delimitati da due soglie successive Tk e Tk+1. I livelli di ricostruzione sono

facilmene caloclabili grazie all’equazione:

yk = Tk +Qk2

dove Qk rappresenta la larghezza del codice Qk = Tk+1−Tk. I nuovi errori

di guadagno G’ e offset O’ sono valutati confrontando i livelli reali rico-

struiti yk con quelli ideali yk,id. Grazie ai livelli di ricostruzione e possibbile

introdurre il concetto di spostamento non lineare δk, che e da considerarsi

coma la controparte degli errori non lineari εk. Gli spostamenti non linea-

ri sono valutati come la differenza tra i livelli di ricostruzione compensati

dagli errori G’ e O’, ed i livelli di ricostruzione ideali

δk =yk −O′

G′− yk,id

Poiche gli errori lineari e non lineari influenzano i livelli di ricostruzio-

ne, devono essere adeguatamente compensati stimando cosi i livelli di

ricostruzione compensati

yk,c = (kQ+ δk)G′ +O′

dove k rappresenta il relativo codice in uscita all’ADC.

Come gia accennato, per ciascun livello di ricostruzione compensato yk,c,

20


il contributo dell’incertezza causato dall’errore di quantizzazione sara:

uQ(yk,c) =Qk√12

Oltre alla valutazione dell’incertezza di ricostruzione, un nuovo parametro

di prestazione puo essere definito facendo la media dell’incertezza di tipo

B sull’intera caratteristica dell’ADC

uQ =

√√√√ 1

2n

2n−1∑k=0

Q2k

12

L’incertezza media di tipo B puo essere utilizzata al posto del valore efficace

del rumore totale come parametro prestazionale, con il vantaggio che e

calcolata esclusivamente mediante le larghezza di codice, contrariamente

al rumore totale che ha un forte legame con il segnale di prova.

5.3 Test simulativo

Il Test di simulazione e stato effettuato su un convertitore mid-tread

ad 8 bit(cioe un convertitore con quantizzazione silenziata) e valutando sia

i parametri definiti in IEEE Std. 1241-2010 (G, O, εk, valore efficace del

rumore totale), sia quelli proposti dal nuovo approccio(G’,O’, δk, media

dell’incertezza di tipo B). I risultati sono espressi in LSB( Least Significant

Bit), cioe il livello piu piccolo che un ADC e in grado di convertire, quindi

il passo di quantizzazione ideale e 1 LSB. I livelli di ricostruzione ideali

assumono valori interi compresi tra -127 a 127, con un range che va da

-127,5 a 127,5. Il convertitore e affetto da un errore di guadagno pari al

2% e di offset pari a 0, mentre la non linearita INL e DNL sono mostrate

in figura.

Fig. 10

21


Tutti i segnali sinusoidali adottati par la simulazione hanno ampiezza

pari a 128 LSB e livello dc (valore del livello in continua) pari a 0. Per

la simulazione sono stati usati M campioni che descrivono tre periodi del

segnale. Il valore del rumore totale, valutato secondo questi parametri, e

presentato in figura, da cui si puo osservare che il suo valore efficace e pari

a 0,402 LSB.

Fig. 11: Rumore valutato secondo IEEE

Grazie alla simulazione e possibile evidenziare sia la differenza tra la

sinusoide di riferimento, ottenuta attraverso la procedura sine-fit e l’in-

gresso x(t), sia la differenza tra i campioni ideali ricostruiti yid(tm) ed i

campioni di ingresso x(t)

Fig. 12: Differenza tra l’ingres-so applicato e il riferimento ottenutoattraverso IEEE Std.1241.

Fig. 13: Differenza tra i livelli diricostruzione ideali ed i campioni iningresso

22


Per dimostrare che l’approccio proposto permette di valutare sepa-

ratamente gli errori di quantizzazione dagli errori sistematici, sono state

effettuate ulteriori simulazioni. In particolare e stato eseguito un test per

la posizione dei codici di transizione utilizando un record di dati pari a 100

relativi a segnali sinusoidali a fase differenti. Successivamente sono stati

recuperati i livelli non compensati e sono stati stimati gli errori lineari,

ottenendo G’= 0,9802 e O’= 0.0000. Anche gli spostamenti non lineari

δk sono stati stimati e si adattano perfettamente all’evoluzione dell’INLk

mostrato precedentemente. Gli errori sistematici che influenzano i livelli di

ricostruzione sono stati corretti per ottenere i livelli compensati ricostruiti

yk,c. Si osservi nella figura sottostante l’incertezza di tipo B dovuta alla

quantizzazione relativa a ciascun livello ricostruito.

Fig. 14: Contributo dell’incertezza di tipo B associata ai livelli di ricostruzionedell’ADC.

Come si puo ben vedere hanno un valore medio pari a 0,289 LSB.

Nella Fif.15 e mostrata la differenza punto-punto tra i livelli ricostruiti

compensati yk,c ed i campioni di ingresso applicati, cioe propio l’errore

di quantizzazione. Fatta eccezione per i picchi dovuti alla saturazione,

la differenza non mostra alcun componente ciclico correlato al segnale di

ingresso.

Combinando gli spostamenti non lineari e gli errori casuali, espressi in

termini di incertezza di tipo B, si produce un valore uguale al valore effi-

cace della differenza tra il segnale in ingresso e i dati di uscita dell’ADC,

cioe vale la seguente identita:

23


Fig. 15: Rumore di quantizzazione valutata secondo il metodo proposto.

√√√√ 1

M

M−1∑m=0

(yid(tm)− x(tm)2 =

√√√√ 1

2n − 1

2n−1∑k=1

(Q2k

12+ δ2k)

che evidenzia che l’approccio proposto e in grado di identificare e separare

i componenti sistematici e casuali che compongono il segnale di errore in

Fig.13.

5.4 Test sperimentale

L’approccio sperimentale e stato eseguito su di un ADC mid-tread ad

8 bit con un range di 10V. La frequenza del segnale di test e di campio-

namento sono state scelte in modo che il loro rapporto sia coprimo, in

particolare la frequenza di campionamento e stata scelta pari a 100kS/s

mentre quella del segnale di test pari a 927,734 Hz con un’ampiezza pari a

10,2 V in modo da stimolare l’intero range dell’ADC. Gli errori di guada-

gno G’ e offset O’ sono riportati nella Tabella sottostante, insieme al valore

massimo assoluto dello spostamento non lineare e la media dell’incertezza

di tipo B.

24


coefficiente di prestazione Valore

Errore di guadagno G’ 0.0130

Errore di offset O’ -25.56 mV

Spostamento non lineare max (|δk|) 33.80 mV

Media del rumore di quantizzazione uQ 11.70 mV

Fig. 16: contributi dell’incertezza di tipo Bdell’ADC in prova

Fig. 17: Stima dello spostamento nonlineare dell’ADC in prova

Poiche la grandezza dell’ incertezza di tipo B dipende dal livello di

ricostruzione, ci si aspetta che l’incertezza della tensione rms, misurata da

uno strumento virtuale costruito intorno all’ ADC, e influenzata dal segna-

le di ingresso, vale a dire dalle incertezze dei livelli ricostruiti stimolati dal

segnale di ingresso. Per dimostrare cio, lo strumento virtuale adottato e

stato utilizzato per misurare il valore efficace di segnali sinusoidali generati

attraverso un calibratore. Le frequenze dei segnali sono state impostate

ad 1 kHz mentre l’ampiezza picco-picco e stata variata da 800mV fino a

10V, con un passo di 80mV. L’ADC e stato configurato in modo da ac-

quisire, con una frequenza di campionamento 100KS/s, 30 record, ognuno

contenente M=2500 campioni. Il valore efficave e stato misurato dai set di

dati ottenuti mediante la modalita di acquisizione media, grazie alla quale

tutto il contributo del rumore esterno e ridotto a valori trascurabili. L’in-

certezza che interessa il risultato ottenuto dallo strumento virtuale sara

:

yrms =

√√√√ 1

M

M−1∑m=0

y2k,c(tm)

25


ottenendo cosı:

u(yrms) =1

yrmsM

√√√√M−1∑m=0

[yk,c(tm)uQ(yk,c(tm))]2

Di seguito e riportato il grafico dell’incertezza associata al valore della

tensione efficace contro l’ampiezza nominale del segnale di ingresso.

Fig. 18: L’incertezza che colpisce il valore efficace contro l’ampiezza del segnale

L’incertezza Q√12M

che si ottiene dalla formula precedente, assumendo

incertezze standard per i dati acquisiti pari alla deviazione standard dell’er-

rore di quantizzazione ideale, e riportata in figura mediante la linea trat-

teggiata. Come si puo notare, l’incertezza valutata secondo il metodo pro-

posto risulta essere dipendente dall’ampiezza del segnale d’ingresso, poiche

e influenzata dai livelli di ricostruzione che si verificano piu frequestemen-

te, diversamente da Q√12M

che risulta essere costante indipendentemente

dal valore del segnale.

26

Capitolo 6

Valutazione dell’incertezza

dei segnali dinamici

campionati da un ADC

Una corretta valutazione dell’incertezza nelle misure richiede l’identifi-

cazione di tutte le possibili fonti, di quantificare il loro contributo specifico,

moltiplicandoli attraverso il modello che descrive il processo di misurazio-

ne. Spesso, il processo di misurazione consiste nell’acquisizione di cam-

pioni di una forma d’onda dinamica effettuata mediante un convertitore

analogico-digitale (ADC), mentre le successive elaborazioni digitale sono

generalmente descritte da un algoritmo. In questo contesto, si dovrebbero

conoscere gli effetti degli errori sistematici introdotti dall’ADC, avendo a

disposizione informazioni sufficienti per quantificare l’errore casuale atte-

so. Purtroppo, questa informazione manca e l’elaborazione dei dati viene

spesso eseguita utilizzando i valori nominali dei livelli di ricostruzione,

che potrebbero includere errori sistematici dovuti alla compensazione del-

l’errore di guadagno e non linearita. Si e gia dimostrato la necessita di

associare i livelli di ricostruzione reali ai codici dell’ADC, piuttosto che

i loro valori nominali. Questo approccio consente di evitare l’inclusione

dei contributi degli errori sistematici dovuti a errore di offset, guadagno

e non linearita nella valutazione dell’incertezza. I livelli di ricostruzione

dell’ADC devono essere valutati periodicamente durante la calibrazione,

che puo essere eseguita utilizzando i metodi forniti in IEEE Std. 1241 del

2010. Diversamente, gli effetti sistematici residui, consistenti nell’errore di

27

Capitolo 6. Valutazione dell’incertezza dei segnali dinamici campionati da unADC

quantizzazione, deve essere rappresentati come un contributo di incertezza

tipo B, poiche non possono essere determinato mediante calibrazione. Ul-

teriori contributi di incertezza associati all’ADC sono dovuti a sorgenti di

rumore interne ed esterne, che dipendono sia dal comportamento dinamico

del segnale sia dalle impostazioni dell’ADC selezionato, come il range, le

condizioni di trigger, e la selezione della frequenza di campionamento. Tali

contributi possono essere affrontati con un metodo di valutazione di tipo

A. Nel seguito l’attenzione si spostera sui contributi aggiuntivi, dimostran-

do che anche se questi contributi non sono interamente quantificati in fase

di taratura, il produttore puo comunque mettere in evidenza nelle schede

tecniche come le condizioni operative reali, definite in termini di intensita

del rumore esterno e impostazioni adottate, impattano sull’incertezza dei

dati campionati.

6.1 Metodo proposto

Il metodo proposto richiede misurazioni ripetute di una segnale di in-

teresse, che dovrebbe essere ripetitivo, ed applicare estimatori statistici di

base. In particolare, si effettuano N procedure di acquisizione del segna-

le, ognuna contenente M campioni, mantenendo inalterato il periodo di

campionamento e i trigger. Per ogni livello di ricostruzione restituito dall’

ADC, viene eseguita una stima della deviazione standard. A tal fine, i

campioni acquisiti sono organizzati in una matrice NxM, tale che il valore

sull’i-esima riga e j-esima colonna rappresentano l’i-esimo campione del

j-esimo record acquisito. Osservando i-esima riga della matrice l’utente

puo rendersi conto degli effetti combinati dall’errore di quantizzazione e il

rumore aggiuntivo causato da fonti interne ed esterne. Il rumore e respon-

sabile della perdita dei codici discreti restituiti dall’ADC intorno al codice

previsto. Questa perdita e evidenziata dall’istogramma riportato sul la-

to sinistro del grafico in Fig19. Grazie all’istogramma delle occorrenze e

possibile fare una stima dei campioni del segnale:

si = s(iTs) =1

N

N∑j=1

yk(i, j)

dove yk(i, j) rappresenta il livello di ricostruzione relativi al codice k, re-

stituito dall’ADC iTs secondi dopo l’evento di trigger. L’istogramma delle

28


Fig. 19: Il rumore e responsabile della perdita dei codici discreti restituitodall’ADC intorno al codice previsto

occorrenze puo anche essere trattato per stimare la deviazione standard,

σi,dei campioni acquisiti iTs secondi dopo l’istante di trigger:

σi =

√√√√ 1

N − 1

N∑j=1

[yk(i, j)− s]2

dove si rappresenta il valore medio, mentre σi rappresenta la deviazione

standard del segnale di ingresso osservabili in un determinato istante di

tempo, utili per stimare il contributo dell’incertezza tipo A che caratte-

rizza i livelli di ricostruzione discreti. Tutte le stime si relative allo stesso

intervallo di quantizzazione per i = 1...M , sono raggruppate in un unico

insieme Yk e associate ad un valore rappresentativo, cioe il livello di ri-

costruzione di tale intervallo, yk. La procedura di clustering permette di

separare l’errore di quantizzazione da quelli casuali, valutato secondo le

formule: σk =

√∑l∈Xk

σ2l

uA,k = σk√S(Yk)

(6.1)

dove S(Yk) e la dimensione del set Yk.

Infine, l’incertezza composta uC,k dei livelli di ricostruzione yk sara dichia-

29


rata secondo:

uC,k =√u2A,k + u2B,k =

√σ2k

S(Yk)+Q2k

12

.

6.2 Test sperimentale

Il test sperimentale e stato condotto su un convertitore mid-thread

Flash ad 8bit con un range di 10V, configurato per eseguire 500 acquisizioni

ripetute del segnale di test. Il segnale risulta essere una sinusoide con un

valore di ampiezza di picco picco pari a 8V ed offset pari a 0. I test sono

stati eseguiti facendo variare la frequenza di campionamento fs dell’ADC

da 100 kS/s fino a 10 MS/s, inoltre, per ogni valore di fs, le prove sono state

eseguite secondo tre diversi valori di frequenza f del segnale di test pari a

fs/100, fs/50, e fs/10. Di seguito sono riportate le deviazioni standard.

Fig. 20: Misure della deviazione standard rispetto ai livelli di ricostruzionedell’ADC con ingresso un’onda sinusoidale

La σk, come si puo vedere dal grafico, e influenzata dal rapporto tra

la frequenza di campionamento e la frequenza del segnale, cioe propio il

numero di punti per ciclo Npc. La sua evoluzione rispetto ai livelli di rico-

struzione, presenta una deviazione standard massima durante il passaggio

dello zero del segnale di ingresso. Questo mette in luce un ulteriore pro-

blema dell’IEEE Std.1241-2010, cioe i livelli di ricostruzione piu stimolati,

considerando una sinusoide come segnale di prova, sono quelli associati

30


ai picchi del segnale, cioe i livelli caratterizzati dalla deviazione standard

piu bassa. Quindi l’evoluzione di σk suggerisce che il suo contributo deve

essere identificato in assenza di sincronizzazione tra l’evento di trigger e

gli istanti di campionamento. In Fig.21 e mostrato un segnale sinusoidale

campionato con un numero di punti per periodo pari a 10.

Fig. 21: Effetto della mancanza di sincronizzazione tra il trigger e gli istanti dicampionamento

I cerchi verdi e le stelle rosse rappresentano rispettivamente i livelli di

ricostruzione ottenuti da due acquisizioni differenti. Poiche il verificarsi del

trigger e il processo di campionamento non sono sincronizzati, gli istanti

di campionamento iTs di ogni acquisizione presentano un ritardo impreve-

dibile dall’evento trigger. I campioni memorizzati dall’ADC nei medesimi

istanti yk(i, 0), yk(i, 0), con un certo ritardo, causano la variazione dei li-

velli di ricostruzione associati all’istante iTs. Come si puo intuire, tale

variazione dipende dalla pendenza del segnale. Maggiore e la pendenza

maggiore sara la variazione dei livelli di ricostruzione. Il caso peggiore si

ha in corrispondenza del passagio per lo zero, la cui variazione puo essere

31


valutata come:

∆yk(i) = A sin(2πfTs) = A sin(2π

Npc)

dove A e l’ampiezza del segnale, F e la frequenza e Ts risulta essere il

massimo ritardo di tempo tra diverse acquisizioni. Quindi la deviazione

standard, σi, associati agli istanti iTi sara:

σi =∆yk(i)√

12

.

E stato condotto un ulteriore esperimento considerando un’onda trian-

golare come segnale di prova effettuando 500 acquisizioni. Le deviazioni

standard di tale segnale sono riportate in Fig.22.

Fig. 22: deviazione standard dell’onda triangolare

La pendenza dell’onda triangolare e costante e pari a 4Af , dove A ed

f sono l’ampiezza e la frequenza del segnale. La differenza massima tra

due livelli di ricostruzione, in un dato istante iTs, sara pari a:

∆yk(i) = 4AfTs =4A

Npc

32


.

33

Bibliografia

[1] Annalisa Liccardo, Dispense del corso Misure per l’Automa-zione e la Produzione Industriale

[2] Annalisa Liccardo, Parameters and methods for ADCstesting compliant with the Guide to the expression oUncertainty in Measurements

[3] Annalisa Liccardo, Evaluating the uncertainty ofdynamicsignals sampled by ADCs

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Metodi innovativi per la caratterizzazione degli ADC · si avr a ancora una caratteristica a...

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