Metodi di Metodi di integrazione integrazione

numerica numerica (ODE+PDE)(ODE+PDE)

Jost von Hardenberg – ISAC-Jost von Hardenberg – ISAC-CNRCNR

Integrazione numerica di Integrazione numerica di equazioni differenzialiequazioni differenziali

Cerchiamo una soluzione (un’approssimazione Cerchiamo una soluzione (un’approssimazione numerica) per un’equazione differenziale ordinaria numerica) per un’equazione differenziale ordinaria p.esp.es

Oppure per equazioni alle derivate parziali, es:Oppure per equazioni alle derivate parziali, es:

date opportune condizioni iniziali e/o al contornodate opportune condizioni iniziali e/o al contorno

Metodi a differenze finiteMetodi a differenze finite Sostituiamo al problema continuo Sostituiamo al problema continuo

una sua rappresentazione su una una sua rappresentazione su una griglia discretizzata (nello spazio e griglia discretizzata (nello spazio e nel tempo):nel tempo):

- Problema ben posto- Consistenza

Rappresentazione Rappresentazione a differenze finite delle a differenze finite delle

derivatederivateOttenibile da:Ottenibile da: Definizione classica derivata prima Definizione classica derivata prima

di una funzione u(x,y) in un punto:di una funzione u(x,y) in un punto:

Espansione in serie di Taylor di Espansione in serie di Taylor di u(x,y) attorno ad un puntou(x,y) attorno ad un punto

Rappresentazione Rappresentazione a differenze finite delle a differenze finite delle

derivatederivateOttenibile da:Ottenibile da: Fit di un polinomio nell’intorno di un Fit di un polinomio nell’intorno di un

punto:punto:

x

ui-1

ui

x-x x+x

ui+1

Integrazione numerica di Integrazione numerica di eq. differenziali ordinarieeq. differenziali ordinarie NB: qualunque ODE di ordine > 1 può essere NB: qualunque ODE di ordine > 1 può essere

scritta come sistema di eq. 1. ordine. Es:scritta come sistema di eq. 1. ordine. Es:

Problema generico:Problema generico:

ODE: Il metodo di Eulero ODE: Il metodo di Eulero

f(y)

t

yn

yn+1

-Metodo accurato al 1. ordine- Poco stabile- Metodo esplicito- Metodo asimmetrico

+ Err.ore Troncamento

ODE: Runge-Kutta 2 ODE: Runge-Kutta 2

k1

t

yn

yn+1

- Metodo accurato al 2. ordine- Buona stabilità- Metodo esplicito- più simmetrico di Eulero

t+tt+t/2

k2

k2

y(t)

ODE: Runge-Kutta 4 ODE: Runge-Kutta 4

k1

t

yn- Metodo accurato al 4. ordine- Buona stabilità- Metodo esplicito

t+tt+t/2

k3k2

y(t)

k2k4

Altri metodiAltri metodi

LeapfrogLeapfrog ……. molti altri metodi . molti altri metodi

esplicitiespliciti Predictor-correctorPredictor-corrector Metodi impliciti (maggiore Metodi impliciti (maggiore

stabilità, non stabilità, non necessariamente necessariamente accuratezza)accuratezza)

PDE, esempi PDE, esempi

Avvezione di uno scalare

Equazione del calore

FT CSNon è stabile!

PDE: Condizioni al PDE: Condizioni al contornocontorno

Condizioni di Dirichlet eg. Condizioni di Dirichlet eg. uu==f f susu Condizioni di von Neumann: Condizioni di von Neumann:

eg: eg: uu//nn==f f oppure oppure uu//ss==gg su su

Condizioni miste e.g: Condizioni miste e.g: uu//nn++kuku==ff

n

s

Analisi di stabilità

D = soluzione discreta (infinita precisione)

N = soluzione numerica (precisione finita)

A = soluzione analitica Err. di discretizzazione = A - D Err. arrotondamento = N – D

Come cresce l’errore di arrotondamento ?

Analisi di stabilità di von Neumann

Seguiamo un piccolo errore : y’=y+nelle equazioni discrete

Eq. lineari (linearizzate) per la crescita dell’errore

Errori rappresentati come modi di Fourier:

Sostituiamo e cerchiamo

Altri metodi:

Griglie staggered Metodi spettrali Metodi impliciti Volumi finiti ….. Metodi per equazioni ellittiche

(rilassamento, multigriglia ….)