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Meccanica delle Vibrazioni

Lo studio del comportamento statico non esaurisce l’analisi di una struttura elastica ed

in particolare di una struttura aerospaziale che, essendo soggetta a forze variabili nel

tempo, subisce spostamenti che dipendono dal tempo oltre che dello spazio.

E’ quindi indispensabile “capire” anche da un punto di vista dinamico la struttura per

essere in grado di comprenderne il comportamento in presenza di carichi che

dipendono dal tempo.

Un problema dinamico è caratterizzato fondamentalmente dalla presenza delle forze

d’inerzia che non intervengono nei problemi della statica.

prof. Renato Barboni 2

Principio di Hamilton A)Moto di una particella.

Per la 2° legge di Newton il moto è retto dalla:

Se la forza esterna è conservativa ponendo:

2V(x, t) 1f (x, t) ; mx

x 2

T

d d0

dt x x dt x x

T V T V

d0

x dt x

L L

tF

t0

J[x, x, t] (x, x, t)dt L

(x,x, t) (x) (x, t) L T VPosto (funzione di Lagrange o potenziale cinetico):

notando che V è indipendente da

dx/dt e T da x:

nella quale riconosciamo l’equazione di Eulero

corrispondente alla stazionarietà del

funzionale, (integrale di Hamilton)

mx(t) f (x, t)


Esempio: Sistema massa-molla

mx kx 0 2x x 0

k

m

2 2mx kxT ; U

2 2

2 2mx kxL T U

2 2

d L L0 T U mx kx 0

dt x x


Principio di Hamilton A)Sistemi discreti non vincolati soggetti a forze conservative.

Per la 2° legge di Newton il moto del sistema è retto dalle:

ricordando la definizione di energia cinetica ed energia potenziale:

N,...,2,1n;....;)t,q,...q,q(f)t(qm N21nnn

N

1

2

nnN21 qm2

1)q,...q,q( T

n

N21

N21nq

)t,q,...q,q(V)t,q,...q,q(f

0qqdt

d

qqdt

d

nnnn

VTVT

n n

d0

q dt q

L L

t1

t0

J[q,q, t] (q,q, t)dt L

(q,q, t) (q) (q, t) T VLPosto (funzione di Lagrange o potenziale cinetico):

notando che V è indipendente da

dq/dt e T da q:

nella quale riconosciamo l’equazione di Eulero

corrispondente alla stazionarietà del funzionale,

(integrale di Hamilton)

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Principio di Hamilton

B)Sistemi elastici continui

soggetti a forze conservative.

(q,q, t) (q) [ (q, t) (q, t)] L T V U

t L1

t 00

J[ , , ', x, t] ( , , ', x, t)dxdt L

0x t

L L L L t

0 0

0

L L

A)Sistemi elastici discreti

soggetti a forze conservative.

( , , , ,..) ( ) L T V U

Equazione di Eulero Lagrange

Le funzioni all’interno del

funzionale dipendono dallo

spazio e dal tempo


Esempio: Vibrazioni assiali della trave

L L

2 2

0 0

L

2 2

0

1 EAT A u dx ; U u dx

2 2

A= ( u Eu )dx

2

T U

u u0 (EA ) ( A ) 0

u x u t u x x t t

L L L

L L t t

0 0 0 0

u uu EA u 0 ; u u 0

u x u t

L L

2 2

2 2

u uEA 0

x t

Energie cinetica Energie elastica

(u,u,u ,x, t)L 2 2A

( u Eu )2

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Principio di d’Alembert

“In ogni istante, in condizioni di quiete o di moto, le forze perdute equilibrano le corrispondenti reazioni vincolari”.

valgono le due seguenti regole pratiche:

1)“Le equazioni della statica per un elemento soggetto a forze attive e vincoli qualsiasi possono essere ricavate dalle corrispondenti equazioni della dinamica ponendo a zero velocità ed accelerazioni”.

2)“Le equazioni della dinamica per un elemento soggetto a forze posizionali e vincoli privi di attrito possono essere ricavate dalle corrispondenti equazioni della statica sostituendo alla forza attiva la forza perduta (o, in maniera equivalente, aggiungendo la forza d’inerzia)”.


Esempi:

Fk=ku

z

u

F

mu

u x

px

ku F ku F mu

2 2 2

x x2 2 2

d u(x) u(x, t) uAE p 0 AE p 0

dx x t

• massa-molla

• Trave assiale


Moto armonico 1 2x c cos t c sen t

con ,c1,c2, costanti di cui la prima ed almeno una delle altre due non nulle.

Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2, cioè:

cos(t) = cos(t+2) = cos[(t+2/)] x(t)=x(t+2/)=x(t+T).

2T (s)

1f (Hz)

T

1(s ) pulsazione

periodo frequenza

10

Moto armonico

1 2x c cos t c sen t

a è l’ampiezza massima;

(t+) la fase all’istante t;

la fase iniziale a t=0:

2T (s)

1f (Hz)

T

1(s )

1 2c a cos ; c asen

x a(cos cos t sen sen t)

a cos( t )

t

P

a sent

a cost

R=a

x

Moto a velocità angolare costante, di

P su una circonferenza di raggio a.

La frequenza indica il numero di giri

nell’unità di tempo del punto P e si

misura in hertz (Hz: 1 Hz=1 s1 e

corrisponde al moto di un punto che

compie un giro in un secondo).

Il periodo è il tempo impiegato per

percorrere un giro, si misura quindi

in secondi (s).

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Rappresentazione complessa del

Moto armonico x a cos( t ) Re(X)

X ae a t j tj t ( ) cos( ) sen( )

j( t ) j j t j tX ae ae e Ae

Xjdt

dX

d X

dtAe j t

2

2

2

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A)Sistema massa-molla

a)

b)

k

W

x0

x

kx0

W

k(x0+x)

W mw

La molla, sotto il carico statico W,

raggiunge la posizione di equilibrio

x0, dato dall’equazione:

kx0 = W

A seguito del’applicazione di una forza

F(t) e/o di uno spostamento o velocità

iniziale, la massa vibra spostandosi di

x e nascono le forze d’inerzia.

mx kx F 2

0 0

x x F/ m

x(0) x ; x(0) v

0k(x x ) W F mx

Si dice che il sistema compie:

vibrazioni libere se F(t)=0;

vibrazioni forzate se F(t)0.


A1)Vibrazioni libere

2

1 2x x 0 x c cos t c sen t

Le condizioni iniziali governano l’ampiezza e la fase ma NON influenzano la

pulsazione che è una caratteristica del sistema.

Pertanto se F(t)=0, il moto è armonico e caratterizzato da:

un parametro (la pulsazione o periodo T o frequenza f) che dipende solo dalle

caratteristiche m,k del sistema;

da altre quantità, ampiezza e fase, che invece dipendono dalle condizioni iniziali.

1 2 0 1 0

1 2 0 2 0

x(0) c cos( 0) c sen( 0) x c x

x(0) [ c sen( 0) c cos( 0)] v c v /

00

vx x cos t sen t

a

varcsen

a

xarccos;

vxa 00

2

2

02

0


Moto armonico: x0=1,v0=0 00

vx x cos t sen t

Caso a) f1=10Hz, (T1=0,1 sec ; 1=20 sec1);

Caso b) f2=50Hz, (T2=0,02sec ; 2=100 sec1).


A2)Vibrazioni forzate in modo periodico

M

PP;tsenPxxtsenPKxxM 02

0

Max

2

Stat

x 1

x [1 ( ) ]

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Sistema dissipativo: Vibr. libere

Il moto è diverso a seconda del valore del parametro di smorzamento :

• 1)Se = lo smorzamento è detto critico.

• 2)Il sistema è detto sotto-smorzato se <.

• 3)Il sistema è detto sovra-smorzato se >.

0xx2x0kxxh2xM 2

x ept

p p p2 2

1 2

2 22 0 ,

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1) Se =: smorzamento critico

t)xv(xe)t(x 000

t

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

x(t)

t

f=10Hz

f=50Hz

Smorzamento critico =1

Smorzamento proporzionale alla frequenza naturale di vibrazione =


2) Se <: sotto-smorzato 2 2 2

1,2 1 0p j dove

t t

1 2x(t) e C cos t C sen t Ae cos t

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0,00 0,10 0,20 0,30

x(t)

t

=0,5

T~

=0,1155 s

=0,05

T~

=0,100125 s

=0,25

T~

=0,1033 s

f=10Hz

2T

19

3) Se >: sovra-smorzato 2 2 2

1,2 1 0p dove

1 2 1 2( ) cosh senht t t tx t e c e c e e C t C t

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

f=10Hz

=1,5

=1,25

=1,05

f=50Hz

x(t)

t

20

Sistema dissipativo: Vibr. forzate

2 00

Pmx 2hx kx P sen t x 2 x x Psen t ; P

m

)tsen()(4])(1[

KP)t(x

2222

0

p

2

1

)(1

)(2tan

21

Sistema dissipativo: Vibr. forzate

0

2

4

6

8

10

12

14

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

St

M

x

x

=0

=0,05

=0,1

=0,2

=0,4

=0,8

22

N Gradi di Libertà:Vibrazioni libere

N N T

ij i ji 1 j 1

1 1m q q Q M Q

2 2

T T N N

T

ij i ji 1 j 1

1 1k q q Q K Q

2 2

U U

N,...,2,1n;0qmqkq

L

dt

d

q

LN

1j

nnj

N

1j

nnj

nn

0QMQK

j tQ Y e

2( K M ) Y 0

0MK 2

Problema agli autovalori

Soluzione non banale


N Gradi di Libertà:Esempio

2 2

2 2 3 3

1 1m u m u

2 2 T

2 2 2

1 2 2 3 2 3 3

1 1 1k u k (u u ) k u

2 2 2 U

2 2 1 2 2 2 3

2 2

3 3 2 2 2 3 3

3 3

d0 m u (k k )u k u 0

dt u u

d0 m u k u (k k )u 0

dt u u

L L

L L

1 2 2 2 21

2 2 3 3 32

k k k u um 00

k k k u u0 m

2 2 2 2 2

2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 3

1 1 1 1 1(u,u) m u m u k u k (u u ) k u

2 2 2 2 2L T U

24


n n n nnSoluzione nel tempo: Y (a cos t b sen t)

2

n n( K M ) Y 0

N N

n n n n n nn n

n 1 n 1

Q Y (a cos t b sen t) Y (sen t )

Ad ogni valore caratteristico n2 corrisponde una soluzione

caratteristica (o autovettore) Yn del sistema:

l’integrale generale è dato dalla combinazione lineare di tali soluzioni:

n

YGli autovettori costituiscono una base di vettori ortogonali

25

Esempio k1=k2=k ; m1=m2=m

2 21

3 3

u u2k k m 00

u uk 2k 0 m

2

2 4 2 2

2

2k m km 4mk 3k 0

k 2k m

0 j t 0 j t

2 2 3 3u u e ; u u e

22 2 2 2 1

2

1,2 22

2

k

2mk 4m k 3m k m

3km

m

26

Esempio k1=k2=k ; m1=m2=m

2 1 1 2 2

3 1 1 2 2

u [a cos t bsen t] [ccos t dsen t]

u [a cos t bsen t] [ccos t dsen t]

2 1 1 1 2 2 2

3 1 1 1 2 2 2

u c [ cos t sen t] c [ cos t sen t]

u c [ cos t sen t] c [ cos t sen t]

2

1 11

2

2 22

1kU c primo autovettore

1m

13kU c secondo autovettore

1m

Le costanti a,b,c,d si possono trovare quando sono note le condizioni iniziali

27


sviluppando si ha un polinomio di ordine N in 2 (ovvero 2N in ).

Da tale polinomio, detto polinomio caratteristico, si hanno N valori caratteristici

2 (o autovalori) (non necessariamente di molteplicità uno).

Ad ogni valore caratteristico 2 corrisponde una soluzione caratteristica (o

autovettore) Yn definita a meno di una costante moltiplicativa.

Le proprietà [K], [M] (simmetriche, definite positive) garantiscono poi:

a)che gli autovalori risultano reali, per cui ad ogni 2 corrisponde due numeri

reali .

b)che è sempre possibile (indipendentemente dalla molteplicità dell’autovalore)

trovare N autovettori Yn linearmente indipendenti, definiti a meno di una

costante moltiplicativa.

c)che la matrice [Y] degli N autovettori Yn gode della seguente proprietà di

ortogonalità:

0MK 2

T T* *K Y K Y ; M Y M Y

Problema di autovalori generalizzato

Matrici diagonali


Dinamica libera delle vibrazioni assiali

della trave

0t

)t,x(u

x

)t,x(uAE

2

2

2

2

u(x, t) T(t)X(x) 2AE X (x) T(t)costante =

X(x) T(t)

2

2 2

T T 0

AEX X 0 X X 0

AE

22

tsenbtcosa)t(T

xsencxcosc)x(X 21

0C)(A

Il parametro (legato alla pulsazione ) non è noto.

Nello studio della dinamica libera le condizioni agli estremi

sono omogenee; quindi occorre trovare le soluzioni non

banali di un sistema omogeneo dove assume il significato

di valore caratteristico.

Sistema omogeneo nelle incognite c1,c2 ottenuto imponendo

le condizioni agli estremi alla X(x).


Problema di autovalori

AE

22 0C)(A

Per ogni n-esimo valore di n per cui A()= 0, si trova una soluzione non banale

c1, c2; di tali due costanti solo una può essere determinata quindi la soluzione

Xn(x)=c1 cosnx + c1 cosnx è nota a meno di una costante.

Il parametro n, che in termini matematici è un autovalore, nel caso presente è

sinonimo di pulsazione n; la corrisponde soluzione Xn, che in termini

matematici è un’autofunzione, rappresenta la “forma” lungo x secondo cui la

struttura vibra ed è detta modo.

Non si confonda il modo con la deformata conseguente all’applicazione di un

carico px, ; infatti:

la deformata è soluzione di un problema non omogeneo che indica “forma”

e “valore univoco” dello spostamento;

il modo indica solo “forma” mentre il valore è definito a meno di una costante.

I modi di vibrazione di un continuo godono della proprietà di ortogonalità:

L L

n m n m

0 0

X X 0 per m n ; X X 0 per m n

30

Dinamica libera delle vibrazioni

flessionali della trave 4 2

4 2

w(x, t) w(x, t)EI 0

x t

4 2

IV 4 4 AL x dX X 0 ; con ; ; []'

EI L d

j tw(x, t) X(x)e

1 2 3 4w c sen c cos c senh c cosh

0C)(A

Condizioni agli estremi omogenee

31

Trave appoggiata su entrambi gli estremi

34

Modi trave incastro libera Modi trave appoggiata

Modi membrana circolare

35

Modi e frequenze flessionali della trave

36

nodi

Condizioni iniziali

I modo flessionale 1

II modo flessionale 2

III modo flessionale 3

Gli autovalori sono le frequenze con le quali la trave può vibrare anche se non c’è forzante; gli autovettori sono le deformate che la trave assume in corrispondenza di ogni frequenza naturale. Se la trave vibra alla frequenza naturale i, la corrispondente deformata è necessariamente proporzionale all’autovettore (la ‘forma’ della deformata della trave non cambia nel tempo ). In generale la legge di moto di un corpo libero contiene tutte e solo le frequenze naturali e la deformata è costituita da una combinazione lineare dei modi propri del sistema

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Dinamica libera delle vibrazioni

flessionali della piastra appoggiata

Dcon;0)y,x(W)y,x(W

2444

x x

y x

W 0 W 0x 0 ; x a

M 0 M 0

W 0 W 0y 0 ; x b

M 0 M 0

b

ynsen

a

xmsena)y,x(W

M

1m

N

1n

mn

222

4

mnb

n

a

m

22

2

mnb

n

a

mD

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