CONTROLLO IBRIDO DI UN ROBOT A CINEMATICA PARALLELA PER COMPITI DI ASSEMBLAGGIO

Massimo Callegari e Alessandra Suardi

Dipartimento di Meccanica – Università Politecnica delle Marche Via Brecce Bianche – 60131 Ancona, Italy

Sommario La memoria descrive la cinematica di un robot parallelo di concezione innovativa e ne caratterizza le prestazioni dinamiche, in vista della sintesi di un sistema di controllo basato su modello. Viene anche proposto lo schema di un controllore ibrido posizione/forza, verificato in simulazione tramite il ben noto caso di prova dell’assemblaggio di un perno in un foro. L’ambiente di prototipazione virtuale sviluppato è dettagliatamente descritto, per metterne in evidenza gli strumenti utilizzati ed alcune scelte di modellazione particolarmente critiche. Abstract The paper presents the kinematics of a new parallel robot for assembly tasks and characterises its dynamic behaviour, aiming at dynamics shaping by means of a model based control. The algorithm of a hybrid position/force controller is then proposed and assessed through computer simulation, with reference to the well known peg-in-hole test case. The virtual prototyping environment is duly described to evidence the use of the software tools and some critical modelling choices. Parole chiave robot, macchine a cinematica parallela, controllo ibrido posizione/forza, modellazione dinamica, assemblaggio

1. INTRODUZIONE Nell’ambito delle applicazioni industriali i robot paralleli costituiscono ormai una valida e comprovata alternativa alle classiche macchine seriali, soprattutto per quei compiti in cui sono richieste elevate prestazioni in termini di dinamica, precisione o forze applicate al terminale. In realtà, le buone potenzialità sopra elencate, caratteristiche delle macchine a cinematica parallela, sono spesso pagate da possibili complicazioni concettuali, quali una cinematica piuttosto complessa, un elevato accoppiamento dinamico tra le parti in movimento, ecc. Pertanto, alla luce di tali problematiche, risulta sempre più evidente la necessità di un approccio integrato che veda gli aspetti connessi alla progettazione meccanica in continuo confronto/scontro con gli aspetti legati allo sviluppo del sistema di controllo, che non può ormai prescindere da una conoscenza più o meno dettagliata del modello dinamico della macchina stessa.

In questo contesto, la presente memoria discute i risultati di una ricerca sviluppata presso il Dipartimento di Meccanica dell’Università Politecnica delle Marche che ha portato al progetto di un robot parallelo per compiti di assemblaggio, caratterizzato da moti di pura traslazione [1]: vengono evidenziati gli aspetti di modellazione cinematica [2] e dinamica [3], di prototipazione in ambiente multibody e viene descritto lo schema di un controllore ibrido di posizione e forza [4]. Si fa notare a questo riguardo che sono disponibili in letteratura molti importanti contributi per i robot seriali mentre la loro applicazione a macchine ad architettura parallela è a tutt’oggi piuttosto scarsa, probabilmente a causa delle difficoltà nello sviluppo di un soddisfacente modello dinamico [5]. 2. DESCRIZIONE DEL ROBOT Il manipolatore in oggetto appartiene ad una famiglia di architetture cinematiche funzionalmente affini schematizzate in Fig. 1a e convenzionalmente indicate con la sigla 3-RCC: infatti la movimentazione della piattaforma mobile è garantita dalla presenza di 3 gambe cinematicamente

identiche caratterizzate dalla topologia RCC (sequenza coppie: rotoidale-cilindrica-cilindrica). Gli elementi della famiglia e, quindi, il moto che essi realizzano si distinguono in base ai giunti attuati ed alla disposizione degli assi delle coppie: essi presentano comunque 3 gradi di libertà, che in generale portano ad un moto spaziale della piattaforma mobile. Nel caso qui discusso si è assunto di comandare l’allungamento della coppia cilindrica intermedia e di disporre gli assi delle coppie nella configurazione simmetrica mostrata in Fig. 1: la piattaforma mobile risulta allora dotata di 3 gradi di libertà di pura traslazione.

Link Inferiore

Link Superiore

Piattaforma Mobile

Base

Coppia CilindricaIntermedia

Coppia Rotoidale diBase

Coppia CilindricaInferiore

R

C

C

X

Z

Y

(a)

Portale di Sostegno

Base

Piattaforma Mobile

Motore

Giunto RotoidaleGiunto Cilindrico

Giunto Cilindrico

(b)

Fig. 1: descrizione del robot 3-RCC: schema funzionale (a) e modello CAD del prototipo (b) Come è possibile notare dalla Fig. 1b, nella realizzazione del prototipo il giunto cilindrico di estremità è stato sostituito da due accoppiamenti elementari tramite l’introduzione di un pattino, connesso alla gamba da una coppia rotoidale ed alla piattaforma mobile da una prismatica, con assi paralleli. Anche il giunto cilindrico intermedio, che accoppia i 2 membri di ogni gamba, viene in realtà realizzato in modo più complesso per facilitare l’utilizzo di motori brushless rotativi per l’attuazione della macchina. La Fig. 2 mostra che la singola gamba è costituita da 3 membri: il cilindro, solidale allo statore del motore, bascula intorno alla coppia rotoidale che lo collega al telaio e mette in rotazione il rotore del motore (a cui è collegato da una coppia rotoidale) e la vite che è calettata sullo stesso albero; infine, tale vite è accoppiata ad una chiocciola solidale con il pistone, collegato alla piattaforma mobile da una coppia cilindrica.

Utilizzando il Principio dei Lavori Virtuali, sono state ricavate le equazioni della dinamica inversa di tale macchina, poi utilizzate per il dimensionamento dei motori e successivamente per la sintesi del sistema di controllo; nel modello si è trascurata la presenza dei 3 pattini sulla piattaforma mobile, mentre è stato necessario considerare la reale struttura della gamba, a causa della elevata energia cinetica accumulata dalle masse rotanti solidali al rotore del motore (modello del robot a 11 membri, con 1 cilindrica, 2 rotoidali ed 1 elicoidale per ogni gamba).

A causa della struttura parallela della macchina, la dinamica del robot viene espressa direttamente nello spazio cartesiano, con vantaggio degli schemi di controllo basati su modello che verranno introdotti a breve: ( ) F)X(X,AXXMτ XXX −+⋅= &&& (1)

L’eq. (1) esprime le forze generalizzate da applicare al terminale affinché il robot, a cui è applicata una forza esterna F in una assegnata configurazione , abbia velocità e accelerazione rispettivamente pari a e ; sono le coppie ai motori, è la matrice Jacobiana definita come usuale per macchine parallele:

τJτ TX ⋅=X

X& X&& τ ( )dJ( )XdJd && = , e sono rispettivamente

le matrici di massa del manipolatore e il vettore con i contributi dovuti ai termini gravitazionali, centrifughi e di Coriolis espressi nello spazio di lavoro.

XM XA

Pistone/Chiocciola

Vite/Rotore

CoppiaCilindrica

Cilindro/Statore

CoppiaRotoidale

CoppiaElicoidale

CoppiaRotoidale

(a) (b) Fig. 2: particolare funzionale (a) e realizzativo (b) della gamba

L’analisi cineto-statica del manipolatore ha evidenziato buone proprietà che si possono sintetizzare in termini di:

• cinematica diretta ed inversa abbastanza semplici, risolvibili in forma chiusa e caratterizzate da univocità delle soluzioni (con appropriato dimensionamento);

• spazio di lavoro convesso (vedi Fig. 3) e privo di singolarità interne: le singolarità sono disposte in corrispondenza del piano di base (distanza nulla tra la piattaforma mobile e la base) e su un cilindro retto che può essere portato fuori dallo spazio operativo imponendo opportuni vincoli geometrici all’escursione delle guide lineari;

• elevati valori di rigidezza e precisione al terminale, Fig. 4. In corrispondenza del punto isotropico, di coordinate (0, 0, 210 mm), si ha una rigidezza uniforme nelle 3 direzioni spaziali. Al di sopra di tale punto si ha un decremento della rigidezza nelle direzioni x e y a favore di una maggiore rigidezza in z, mentre al disotto il comportamento è l’opposto (uno dei motivi per cui si è scelto di posizionare il terminale attrezzato sotto la piattaforma mobile e di disporre il robot nella configurazione mostrata).

Spazio di lavoro I:vmax=0.6 ms-1 amax=10 ms-2

Spazio di lavoro II:vmax=0.6 ms-1 amax=0.9 ms-2

Spazio di lavoro III:vmax=0.2 ms-1 amax=0.5 ms-2

Fig. 3: Spazio di lavoro sezionato nelle regioni operative di massime, medie e minime prestazioni

Fig. 4: mappe di rigidezza sul piano xy a quota z=0,21 m

Lo studio dinamico e l’ottimizzazione della struttura sono stati condotti attraverso l’ausilio del modellatore CAD Solid Edge e del pacchetto Matlab, evidenziando prestazioni dinamiche relativamente povere all’estremità dello spazio di lavoro in relazione alla elevata variabilità degli accoppiamenti inerziali e alla relativamente elevata massa della piattaforma mobile. In Fig. 5 viene rappresentato il valore della massima spinta che deve essere sviluppata sulle 3 gambe per garantire le massime prestazioni dinamiche richieste al robot, ovvero velocità pari a 0,6 m/s e accelerazione pari a 10 m/s2: come si vede ai limiti dello spazio di lavoro e per quote z decrescenti si hanno prestazioni degradanti che richiedono forze di attuazione crescenti.

(a) (b) (c) Fig. 5: forze richieste all’attuatore per quote pari a 300 mm (a), 200 mm (b), 100 mm (c)

Per non sovradimensionare il sistema di attuazione, sono stati scelti motori brushless in grado di sviluppare coppie continuative di circa 4 Nm e coppie di picco pari a 24 Nm, tuttavia insufficienti a garantire le massime prestazioni richieste in tutto lo spazio di lavoro. Allora si è rivalutata la dinamica del robot, suddividendo lo spazio di lavoro in 3 regioni (facilmente identificabili dal sistema di controllo nello spazio dei giunti) in base alle effettive prestazioni sviluppabili, Fig. 3: nella zona gialla sono garantite ovunque le specifiche di progetto, in quella rossa si hanno velocità massime inalterate con accelerazioni ridotte a circa un decimo ed infine nella zona verde si possono ottenere velocità massime di 0,2 m/s ed accelerazioni di 0,5 m/s2.

Fig. 6: contributi relativi degli elementi della matrice di massa

Il modello a disposizione è stato anche utilizzato per valutare il grado di accoppiamento della dinamica, in vista di possibili semplificazioni del sistema di controllo. Per quanto riguarda la matrice di massa, per esempio, si nota dalla Fig. 6 che nonostante una chiara dominanza diagonale, i termini misti non possono essere trascurati, raggiungendo in alcuni punti un valore pari ad un terzo del valore massimo raggiunto dai primi. Inoltre, se al robot sono richiesti moti a dinamica elevata (nel caso di Fig. 7 la velocità è pari a 2,4 m/s e l’accelerazione vale 15 m/s2), i contributi alle coppie di attuazione dovuti alle accelerazioni centrifughe e di Coriolis sono confrontabili con i contributi inerziali e gravitazionali.

Le prestazioni dinamiche risultanti fanno sì che il robot 3-RCC si presti essenzialmente per applicazioni di natura quasi statica o comunque per cmpiti a basse velocità, dove si richiedano elevate forze di interazione con l’ambiente. Inoltre dall’analisi condotta risulta evidente come da un punto di vista controllistico ci si debba necessariamente orientare verso un sistema di controllo basato su modello che attraverso l’inversione della dinamica riesca a compensare e potenziare le carenze intrinseche del sistema.

(a) (b)

Fig. 7: contributi dovuti ai termine inerziale, di velocità e gravitazionale sui giunti 1 (a) e 3 (b) 3. DESCRIZIONE DEL SISTEMA DI CONTROLLO Date le considerazioni effettuate nel paragrafo precedente, le applicazioni che meglio si prestano alle caratteristiche dinamiche del manipolatore sono alcune operazioni meccaniche (es. sbavatura, fresatura, ecc.) e l’assemblaggio di parti. In ogni caso sarà necessario proporre gli opportuni schemi di controllo per le fasi di moto libero e per quelle di interazione con l’ambiente.

3.1 Controllo di Posizione In Fig. 8 è rappresentato lo schema di un controllo Computed Torque, ben noto ai ricercatori in robotica: il controllo di posizione viene garantito da un anello proporzionale-derivativo, con compensazione della dinamica e disaccoppiamento totale delle equazioni. Il comportamento in ciclo chiuso del sistema risulta dalla composizione delle equazioni della dinamica diretta del robot, da quelle della dinamica inversa (implementate nel controllore) e dall’asservimento PD, ottenendo una dinamica dell’errore descritta da un sistema del secondo ordine.

Fig. 8: schema del controllo Computed Torque

L’anello più esterno, che realizza il servo PD, ha equazione: (2) ddp XeKeKu &&& +⋅+⋅=dove e sono le matrici diagonali dei guadagni proporzionale e derivativo mentre è l’accelerazione desiderata. Sostituendo in (1) il modello di inversione della dinamica:

pK dK dX&&

( ) ( )[ ] (3) XX,AuXMJτ XXT &+⋅⋅= −e tenendo conto della (2), si può ricavare la già menzionata relazione lineare che esprime la dinamica dell’errore di posizione: 0KK pv =⋅+⋅+ eee &&& (4)

Si noti che il controllo di posizione poteva essere condotto tanto nello spazio cartesiano quanto in quello dei giunti: tuttavia, sia per questioni di efficienza computazionale sia perché il medesimo controllo di posizione, come sarà chiarito in seguito, si presta ad essere riadattato al controllo di forza, si è fatto riferimento in questo caso al controllo nello spazio operativo. 3.2 Controllo di forza

Per le operazioni in cui il robot opera in contatto con l’ambiente, dopo alcune prove comparative in simulazione si è scelto di implementare uno schema di controllo ibrido di posizione/forza di tipo implicito [6]. Tale metodo prevede la disponibilità di sensori di forza per la misura delle forze di interazione e calcola il segnale di posizione e velocità corrispondente alla forza desiderata. Si osserva che i controlli di tipo esplicito non utilizzano la ridondanza di informazioni fornite dai sensori di forza e posizione, dal momento che questi ricorrono a matrici di selezione dei canali di controllo, eliminando a priori quei dati che, sebbene raccolti, non si rendono necessari al controllo; questa selezione non è operata, invece, dai controlli di tipo implicito, per cui nei casi in cui sorgano difficoltà nell’identificazione delle forze di contatto, questi ultimi sono caratterizzati da una maggiore robustezza.

Fig. 9: schema di controllo ibrido posizione/forza di tipo implicito

La Fig. 9 mostra lo schema di controllo adottato: il controllo in forza è realizzato mediante un ciclo PI mentre il controllo in posizione è, come nel caso precedente, garantito mediante un ciclo PD. Con considerazioni analoghe alle precedenti, ma tenendo in considerazione anche le forze esterne agenti sul terminale a seguito del contatto con l’ambiente, si ottiene che la dinamica dell’errore è in generale descritta dall’equazione: ( ) 0dtteKeKeKeKe FFiFFpPPpPPdP =⋅⋅+⋅+⋅+⋅+ ∫&&& (5) dove , , e rappresentano le matrici dei guadagni proporzionale e derivativo del ciclo di posizione e dei guadagni proporzionale e integrale del ciclo di forza.

PdK PpK FpK FiK

In generale il compito di un robot che interagisce con l’ambiente viene definito assegnando una terna T(t1,t2,n) detta di vincolo solidale con il terminale ed avente l’asse n perpendicolare alla superficie di contatto e l’asse t1 diretto secondo la direzione dello spostamento. Assumendo istante per istante come riferimento tale terna, le traiettorie di riferimento in posizione sono assegnate lungo le direzioni degli assi t1 e t2, mentre il riferimento in forza è assegnato nella direzione normale n. Ne risulta che l’equazione vettoriale (5) può essere decomposta secondo le 3 direzioni introdotte: 01,1,1, =⋅+⋅+ tPPptPdPdtP ekeke &&& (6) 02,2,2, =⋅+⋅+ tPPptPdPdtP ekeke &&& (7)

(8) 0)(,,,, =⋅⋅+⋅+⋅+⋅+ ∫ dttekekekeke FiFinFFpnPPpnPdPdnP &&&Le equazioni (6) e (7) descrivono la dinamica dell’errore in posizione sul piano di contatto,

dove il moto risulta non vincolato: in questo caso la stabilità dell’algoritmo di controllo è garantita dalle usuali relazioni per i parametri kPd e kPp. L’equazione (8) descrive invece l’evoluzione nel tempo dell’errore in posizione e forza lungo la direzione vincolata n; in questo caso il sistema è stabile se se i guadagni dei controllo PD e PI soddisfano le seguenti condizioni:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅< Fp

PpPdFi kK

kkk (9)

dove K è una stima della rigidezza della superficie di contatto. Si noti che quando il robot lavora in condizioni non vincolate il sistema di controllo ibrido ricade nel semplice controllo di posizione CT; inoltre con questo algoritmo si dà priorità al controllo in forza minimizzando l’errore in forza durante il contatto e tralasciando l’errore in posizione: questa caratteristica risulta interessate qualora si verifichino dei contatti non previsti in fase di pianificazione del moto. 4. AMBIENTE DI SIMULAZIONE

Come anticipato precedentemente, il progetto del manipolatore 3-RCC è stato condotto con un approccio che vede integrati gli aspetti relativi alla parte meccanica con quelli inerenti allo sviluppo del sistema di controllo. Pertanto come da un lato l’analisi dinamica del manipolatore ha consentito di giungere alla determinazione delle caratteristiche degli azionamenti, in modo analogo per lo sviluppo del sistema di controllo si è fatto ricorso ad un ambiente di prototipazione virtuale che consentisse una preventiva valutazione delle prestazioni generali della macchina. In particolare risulta necessario che tale ambiente presenti caratteristiche di elevata modularità e interfacciabilità con gli strumenti classici di simulazione del controllo (come ad esempio Matlab e Simulink) e con gli strumenti classici di progettazione meccanica (come il CAD Solid Edge, a sua volta integrabile con pacchetti di analisi FEM), vedi Fig. 10a.

(a) (b)

Fig. 10: ambiente virtuale di progettazione meccatronica (a) e modello multybody (b) A tal fine si è utilizzato il programma Adams, che rappresenta una scelta consolidata per la simulazione multibody: in Fig. 10b si riporta un immagine del modello sviluppato in tale ambiente. L’interfacciamento tra Adams/Control e Matlab/Simulink può essere realizzato secondo modalità differenti a seconda che il modello Adams venga esportato completamente verso l’ambiente Matlab, che avrà quindi in carico l’integrazione del sistema DAE risultante o viceversa; è anche possibile una modalità mista. La gestione della simulazione da parte dell’ambiente Adams è quasi indispensabile qualora si vogliano trattare appropriatamente i fenomeni di contatto; questa soluzione, inoltre, consente di utilizzare appieno i potenti integratori di cui dispone tale pacchetto.

Elementi critici delle simulazioni eseguite sono stati sicuramente la gestione del contatto e l’appropriata modellazione di dissipazioni ed attrito. Sfruttando le funzioni messe a disposizione dagli strumenti utilizzati, si è costruito un modello di impatto; il contatto viene descritto come una molla non lineare smorzata, caratterizata dall’equazione costitutiva non lineare: ( ) ),,( STEP maxmax cdgdt

dggkF en ⋅+⋅= (10)

dove:

• g è un termine (sempre positivo) che indica il grado di penetrazione tra le parti a contatto; • è un coefficiente di non linearità della molla (assunto pari ad 1,5); e•

dtdg è la velocità di penetrazione tra le parti;

• è una funzione prossima al gradino per la modellazione dello smorzamento: esso varia tra un minimo di zero (quando la penetrazione relativa è nulla) ad un massimo pari a quando si ha penetrazione massima tra le parti.

),,( STEP maxmax cdg

maxc maxdPer quanto riguarda l’attrito, è possibile definire i coefficienti delle forze di attrito in

funzione della velocità secondo lo schema riportato in Fig. 11, che consente una gestione efficace sia del fenomeno statico sia di quello dinamico.

Velocità di Slittamento

Coe

ffici

ente

diat

trito

Fig. 11: coefficiente di attrito in funzione della velocità di slittamento 5. RISULTATI DELLE SIMULAZIONI Il comportamento in ciclo chiuso dell’intero sistema è stato verificato in simulazione in diverse condizioni operative. Per quanto riguarda il controllo di posizione in particolare sono state condotte varie prove mettendo in relazione i risultati qui ottenuti con quelli del tradizionale controllo PID: i parametri dei controllori sono stati tarati in modo tale che le coppie di attuazione richieste fossero comunque compatibili con le prestazioni dei motori utilizzati. Di seguito sono riportati i risultati di due diversi casi nei quali maggiormente si evidenzia l’effetto della compensazione dinamica del controllo basato su modello.

Nel primo caso si è supposto che il robot si sposti verticalmente da un punto iniziale m a un punto finale ( 52,0001 =P ) ( )15,0002 =P m, seguendo una traiettoria rettilinea percorsa

con velocità a profilo trapezoidale (vmax=1 m/s, amax=10 m/s2), Fig. 12. Come si vede dai grafici comparativi di Fig. 13, lo schema di controllo Computed Torque, anche se presenta sovraeleongazioni maggiori, è in generale caratterizzato da migliori comportamenti per quanto riguarda tempi di assestamento, presenza di oscillazioni ed errori di regime, dimostrando una migliore reattività.

Fig. 12: profili di velocità ed accelerazione nel caso di massime prestazioni

(a) (b)

Fig. 13: errori di posizione (a) e coppie erogate dai motori (b) in funzione del tempo

Nel secondo caso si prende in considerazione un movimento più ampio, così da valutare il comportamento del sistema ai limiti dello spazio di lavoro, Fig. 14; in particolare si è assunto di decomporre il moto complessivo secondo due tratti lineari sempre percorsi con un profilo trapezoidale di velocità (vmax=0,5 m/s, amax=3,8 e 1,8 m/s2 nei 2 tratti rispettivamente): dapprima si porta il robot in una configurazione prossima alla zona di singolarità (z=0,10m), poi il robot si muove sul piano orizzontale fino a portarsi vicino al limite dello spazio di lavoro.

(a) (b)

Fig. 14: Traiettorie di posizione (a) e profili di velocità (b) dei due tratti di moto

(a) (b)

Fig. 15: errori di posizione (a) e velocità (b) in funzione del tempo

Fig. 16: andamento temporale delle coppie erogate dai motori

Anche in questo caso il controllore Computed Torque dimostra migliori prestazioni per quanto riguarda gli errori di regime ed i tempi di riposta, Fig. 15: ciò è maggiormente evidente in prossimità dei punti singolari.

Relativamente al controllo ibrido di forza/posizione, questo è stato verificato tramite varie simulazioni di moto vincolato, al variare dei parametri più significativi dell’ambiente e del controllo; poi si è fatto riferimento alla classica operazione di assemblaggio “peg-in-hole” con un piolo a geometria cilindrica, in modo da evitare problemi di orientazione relativa del perno rispetto alla sede di incastro, non gestibili in assenza di un quarto asse di rotazione. Si è assunto che il foro fosse dotato di smussatura lineare con inclinazione di 45° e ampiezze variabili tra 1,5 e 3 mm; perno e foro hanno un diametro nominale di 20 mm ed altezza di 80 mm, con errori di orientamento dapprima nulli e poi di 1°; il gioco diametrale è stato variato tra 0,08 mm e 0,4 mm ed è stata richiesta una forza di contatto pari a 10 N. Il problema, come noto, è complicato dalla possibile insorgenza di fenomeni di wedging e jamming, per cui è stato anche sviluppato un programma, da utilizzare off-line, per la pianificazione delle operazioni di assemblaggio, seguendo l’approccio di Nevins e Whitney [7-8].

I risultati mostrano che l’architettura di controllo proposta è in grado di portare a termine il compito garantendo sempre il contatto tra le parti, sebbene nel punto di attraversamento della smussatura la forza di contatto non sia mantenuta. La Fig. 17 mostra infatti le forze di contatto e le coppie di attuazione nel caso di allineamento degli assi: i massimi di forza e coppia si hanno in corrispondenza dei bordi della sede.

(a) (b) Fig. 17: forze di contatto (a) e coppie di attuazione (b) (assenza di disallineamento)

La Fig. 18, invece, si riferisce al caso in cui sia presente un disallineamento di 1° tra l’asse del perno e quello della sede, con risultati analoghi al caso precedente; nel caso in cui il perno sia

montato su un supporto di rigidezza angolare pari a 50 Nm/rad, l’assemblaggio risulta facilitato: infatti l’angolo di inclinazione del perno, Fig. 19, si mantiene sempre al di sotto della soglia di wedging e le forze di contatto soddisfano comunque la condizione di jamming.

(a) (b) Fig. 18: forze di contatto (a) e coppie di attuazione (b) (disallineamento di 1°)

Fig. 19: Inclinazione del perno (disallineamento di 1°, perno cedevole)

6. CONCLUSIONI

Ad oggi sia per motivi legati alle crescenti prestazioni dinamiche che si richiedono alle macchine seriali sia anche per ragioni strettamente legate alla struttura innovativa di nuove macchine a cinematica parallela, si rende sempre più necessaria una metodologia di progettazione capace di coniugare tanto gli aspetti legati al lato strettamente meccanico quanto quelli legati all’integrazione e progettazione del sistema di controllo. Tale nuova metodologia ha per fine ultimo l’effettiva realizzazione di un ciclo di prototipazione integrata e porta con sè vantaggi e problematiche di natura teorica e pratica: nella presente memoria si sono evidenziati i metodi ed i risultati di tale approccio nel caso della progettazione di un robot a cinematica parallela innovativa, noto come 3-RCC.

Sono stati dapprima discussi gli aspetti legati alla cinematica ed alla dinamica, sottolineando le buone caratteristiche cinematiche del concetto 3-RCC, che si concretizzano in elevata rigidezza e precisione, semplicità di implementazione degli algoritmi risolutivi e in uno spazio di lavoro convesso; d’altra parte, sono state evidenziate prestazioni dinamiche abbastanza scarse, che fanno sì che la macchina sia adatta ad applicazioni di forza in condizioni quasi-statiche. Al fine di compensare le limitazioni delle prestazioni dinamiche del robot è stato sviluppato un controllo basato su modello sia per il moto libero sia per il moto vincolato: entrambi gli schemi sono stati verificati mediante simulazioni in un ambiente di progettazione virtuale, che ha consentito un progressivo miglioramento sia del progetto meccanico sia del sistema di controllo.

7. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] M. Callegari, C.B. Carini, M. Scocco. Progetto di un robot parallelo a cinematica

innovativa per operazioni di assemblaggio, in Atti del XVI Congresso AIMETA di Meccanica Teorica e Applicata, Ferrara, 9-12 Settembre 2003.

[2] M. Callegari, M. Tarantini. Kinematic Analysis of a Novel Translational Platform, ASME Journal of Mechanical Design, Vol. 125, No. 2, June 2003, 308-315.

[3] M. Callegari, M. Bastianelli. Dynamics Modelling and Control of the 3-RCC Translational Platform, IEEE/ASME Transactions on Mechatronics (considered for publication)

[4] M. Callegari, A. Suardi. On the force-controlled assembly operations of a new parallel kinematics manipulator, in Proc. IEEE Mediterranean Conf. on Control and Automation, Rhodes, June 18-20, 2003, IV06-02

[5] Merlet J.P. Force-feedback control of parallel manipulators, in Proc 1988 IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, Philadelphia, U.S.A., April 24-29, Vol. 3, 1988; 1484-1489.

[6] Siciliano B., Villani L. Robot Force Control, Kluwer. 1999

[7] J.L. Nevins, D.E. Whitney. Concurrent Design of Products and Processes, McGraw-Hill Company, New York, 1989

[8] D.E. Whitney. Quasi-Static Assembly of the Compliantly Supported Rigid Parts, ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Vol. 104, No. 1, 1982, 65-77.