MECCANICA COMPUTAZIONALEpeople.dicea.unifi.it/lsalv0/didattica/Capitolo 2.pdfCorso di Meccanica...

1

Università degli Studi di FirenzeDipartimento di Ingegneria CivileCorso di Meccanica Computazionale

Claudio BorriLuca Salvatori

(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 1/42

MECCANICA COMPUTAZIONALEMECCANICA COMPUTAZIONALE


Capitolo 2

Metodo diretto della rigidezza

Rev. 31 maggio 2006



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 2/42

Argomenti trattati nel capitolo 2

Idealizzazione e discretizzazione

Rigidezza dell’elemento biella (ricavata per via diretta)

Trasformazione di coordinate (locali-globali)

Assemblaggio

Applicazione delle condizioni al contorno

Soluzione

Calcolo variabili secondarie

2



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 3/42

Idealizzazione e discretizzazione(operata dall’utente)

collegamenti

membrature

vincoli

Struttura reale

Struttura idealizzata ediscretizzata

[figure per gentile concessionedel Prof. C. Felippa]



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 4/42

Scomposizione della struttura(teoria del metodo)

Struttura discretizzata

Rimozione di carichi e vincoli

Scomposizione in singoli elementi

Singolo elemento generico

3



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 5/42

Soluzione della struttura(eseguita dal programma)

corrente sup.

corrente inf.montanti e diagonaliFormazione dei singoli

elementi (in coordinate locali)

Rappresentazione in coordinate globali

Assemblaggio (ripristino della congruenza)

Applicazione di vincoli e carichi

Soluzione



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 6/42

L’approccio del FEM è generaleed è lo stesso per tutti i tipi di elemento

Vediamo il metodo passo passo utilizzando elementi semplici!

biella 2D

2 nodi

4 GdL

continuo 3D tri-cubico

64 nodi

192 GdL

4



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 7/42

Struttura “reale”

Sezioni scatolari 0.10 x 0.10 m (s=5 mm)(A = 2.0x10-3 m2)

Acciaio(E = 2.1x10+8 kN/m2)

EA = 420 MN

100 kN



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 8/42

Modello idealizzato

Ipotizziamo di poter:

• trascurare la terza dimensione

• trascurare i momenti agli incastri (struttura reticolare)

• trascurare il peso proprio

• considerare vincoli ideali

5



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 9/42

Numerazione di nodi ed elementi

313322211

Secondo nodo

Primo nodo

Elemento

elemento 2elemen

to 1

elemento 3

nodo 1

nodo 2

nodo 3

Tabella di incidenza



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 10/42

Definizione di sistema di riferimento globale e dei gradi di libertà nodali della struttura

sistema di riferimentoglobale

Y

X

V2y

V2x

V1y

V1x

V3y

V3x

1

1

2

2

3

3

x

y

x

y

x

y

VVVVVV

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

V

vettore degli spostamenti nodali della struttura (parametri

lagrangiani di spostamento)

6



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 11/42

Definizione dei carichi nodaliA ciascun grado di libertà corrisponde un’azione che è quella che compie lavoro con il relativo spostamento generalizzato: traslazioni

rotazioni

“altro”

forze

momenti

ciò che compie lavoro con “altro”

P2y

P2x

P1y

P1x

P3y

P3x

vettore dei carichi nodali della struttura

1

1

2

2

3

3

x

y

x

y

x

y

PPPPPP

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

P



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 12/42

Singolo elemento in coordinate globali

p(1)2y ,v

(1)2y

p(1)2x ,v(1)

2x

p(1)1y ,v

(1)1y

p(1)1x ,v

(1)1x

Y

X

( )

( )

( )

( )

( )

11

1111

2

12

x

y

x

y

v

v

v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

v ( )

( )

( )

( )

( )

11

1111

2

12

x

y

x

y

p

p

p

p

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

p

7



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 13/42

Relazione fra carichi e spostamenti a livello di elemento

Per ogni elemento dobbiamo ricercare una relazione fra carichi espostamenti.

Nelle ipotesi di comportamento lineare questa relazione èesprimibile come:

( ) ( ) ( )e e e= ⋅p k v

Vediamo adesso il caso dell’elemento biella tenendo a mente che per ogni elemento lineare è possibile scrivere una relazione come la precedente e che dunque il procedimento è del tutto generale.

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

11 12 11 1

2 21 22 2 2

1 2

e

e

e ee e e e

e e ee en

e e e e en

e ee e en nn n n n

k k kp v

p k k k v

p vk k k

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 14/42

Proprietà degli elementi e sistemi di riferimento locali

y(1) y(

1)

Y

X

y (2)

x (2)y(3)

x(3)

( ) ( )

( )

1 1

1

420MN

2 2m

E A =

=

( ) ( )

( )

2 2

2

420MN

2 2m

E A =

=

( ) ( )

( )

3 3

3

420MN

4m

E A =

=

8



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 15/42

Rigidezza dell’elemento in coordinate locali

y(e)

x(e)

p(e)1x ,v

(e)1x

p(e)1y ,v

(e)1y

p(e)2x ,v(e)

2x

p(e)2y ,v

(e)2y

N.B. per l’analisi lineare la direzione y(1) è ininfluente

equilibrio

legame

congruenza

( )

( )1

2

ex

ex

p NNp

⎡ ⎤ −⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

N EA ε= ⋅

( ) ( )2 1

e ex xv vε −Δ

= =

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )1 1

2 2

1 11 1

e ee ex x

ee ex x

p vE Ap v

⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )ek

N.B.: la matrice è simmetrica (non è un caso: vedremo perché nel cap. 3)

( ) ( ) ( )e e e=p k v

matrice di rigidezza dell’elemento in coordinate locali



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 16/42

Trasformazione degli spostamenti nodali

p(e)1y ,v

(e)1y

p(e)1x ,v

(e)1x

y(e) x(

e)Y

X

p(e) 1x

,v(e) 1x

p(e) 1y

,v(e) 1y

p(e)2y ,v

(e)2y

p(e)2x ,v(e)

2x

p(e) 2x

,v(e) 2x

p(e) 2y

,v(e) 2y

α

cossin

cs

αα

=⎧⎨ =⎩

1

1 1 1 11

2 2 2 2 2

2

0 00 0

x

x x y yx

x x y x x

y

v

v c v s v vv c sc sv c v s v v v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎫= ⋅ + ⋅ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎡ ⎤⎪ ⇒ =⎢ ⎥⎬ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎪ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎭⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )e e e= ⋅v Q v

9



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 17/42

Trasformazione dei carichi nodali

cossin

cs

αα

=⎧⎨ =⎩

1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

00

00

x x x

y x y x

x x x x

y x y

p c p p cp s p p ps

cp c p p psp s p p

⎫ ⎡ ⎤= ⋅ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ = ⎢ ⎥⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦= ⋅ ⎭ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )Te e e= ⋅p Q p

p(e)1y ,v

(e)1y

p(e)1x ,v

(e)1x

y(e) x(

e)Y

X

p(e) 1x

,v(e) 1x

p(e) 1y

,v(e) 1y

p(e)2y ,v

(e)2y

p(e)2x ,v(e)

2x

p(e) 2x

,v(e) 2x

p(e) 2y

,v(e) 2y

α



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 18/42

Matrici di trasformazioneIl fatto che le matrici di trasformazione siano una la traspostadell’altra può essere provato anche con considerazioni energetiche. Il lavoro fatto dai carichi sugli spostamenti nei due sistemi di riferimento deve essere lo stesso (per brevità di notazione si omette l’apice (e) in tutte le variabili):

si ha:= ⋅v Q v

δ δ= ⋅v Q v

T Tδ δ⋅ = ⋅v p v pAmmesso che:

Sostituendo in (*) e tenendo conto che (AB)T=BTAT, si ha:

( ) ( )T T T T Tδ δ δ 0⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ − ⋅ =v p v Q p v p Q p

(*)

Poiché la precedente deve valere per ogni , si ottiene:T= ⋅p Q p

δv

10



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 19/42

Rigidezza dell’elemento in coordinate globali

( ) ( ) ( )e e e= ⋅v Q v

( ) ( ) ( )e e e=p k v

( ) ( ) ( )e e e=p k v

( ) ( ) ( ) ( )Te e e e= ⋅ ⋅k Q k Q

( )( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

e ee

e

c sc c scsc s sc sE Ac sc c scsc s sc s

⎡ ⎤− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

k

N.B.: il cambiamento di coordinate conserva la simmetria della matrice

( ) ( ) ( )Te e e= ⋅p Q pTrasformazioni di coordinate

Eq. di rigidezzain coord. locali



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 20/42

Equazioni di rigidezza in coordinate globali( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 11 1

1 11 1

1 12 2

1 12 2

21

21

22

22

0.5 0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5210 kN0.5 0.5 0.5 0.5mm20.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.50.5210 kN

mm2

x x

y y

x x

y y

x

y

x

y

p v

p v

p v

p v

p

p

p

p

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ − −⎢ ⎥⎢ ⎥ −

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

21

21

22

22

3 31 1

3 31 1

3 32 2

3 32 2

0.5 0.5 0.50.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5

1 0 1 00 0 0 0kN1051 0 1 0mm

0 0 0 0

x

y

x

y

x x

y y

x x

y y

v

v

v

v

p v

p v

p v

p v

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 21/42

Il FEM è un metodo generaleIn seguito vedremo come vengono formulati altri elementi, tenendo a mente che si perviene sempre ad un sistema di equazioni analogo a quello visto per la biella:

Vediamo adesso come ricostituire la struttura originale partendodalle equazioni dei singoli elementi.

Il procedimento è detto “assemblaggio” e come si è detto è del tutto indipendente dal tipo di elemento utilizzato.

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

11 12 11 1

2 21 22 2 2

1 2

e

e

e ee e e e

e e ee en

e e e e en

e ee e en nn n n n

k k kp v

p k k k v

p vk k k

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 22/42

Assemblaggio delle equazioni degli elementi in equazioni della struttura

L’operazione di assemblaggio ha lo scopo di ricostituire la struttura iniziale collegando i singoli elementi.

Le regole dell’assemblaggio sono:

Congruenza degli elementi nei nodi (gli spostamenti in ogni nodo devono essere gli stessi per tutti gli elementi che sono collegati al nodo stesso).

Equilibrio nei nodi (la somma delle forze esercitate da tutti gli elementi che si collegano in un nodo deve eguagliare il carico esterno sul nodo stesso).

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(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 23/42

Assemblaggio: congruenza

Per la congruenza, gli spostamenti di ogni elemento in coordinate globali devono essere uguali agli spostamenti dei corrispondenti nodi della struttura, ciò è esprimibile come:

( ) ( )e e= ⋅v A V

A è detta matrice topologica, ha tante righe quanti sono i gradi di libertà dell’elemento e tante colonne quanti sono i gradi di libertà della struttura. La j-ma riga contiene tutti 0 ed un solo 1 nella colonna del grado di libertà strutturale corrispondente al j-mo grado di libertàdell’elemento.



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 24/42

Assemblaggio: esempio di matrici topologiche

elemento 2elemen

to 1

elemento 3nodo 1

nodo 2

nodo 3

p(1)2y ,v

(1)2y

p(1)2x ,v(1)

2x

p(1)1y ,v

(1)1y

p(1)1x ,v(1)

1x

V2y

V2x

V1y

V1x

V3y

V3x

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

11

1 11

1 2

122

1 32

3

1 1

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

x

x y

y x

yx

xy

y

Vv Vv V

VvVvV

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= ⋅v A V

13



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 25/42

Assemblaggio: matrici topologiche dell’esempio

( )

( )

( )

1

2

3

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

A

A

V2y

V2x

V1y

V1x

V3y

V3x

elemento 2elemen

to 1

elemento 3nodo 1

nodo 2

nodo 3



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 26/42

Assemblaggio: equilibrioPer l’equilibrio, in ogni nodo il carico nodale esterno deve eguagliare la somma delle azioni dovute agli elementi che si collegano in quel nodo, èdunque possibile scomporre il carico esterno in una somma di contributi dovuti ai singoli elementi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ δe e e e e e e= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅v A V A V v A V

Con ragionamento energetico analogo a quanto fatto per le matrici di rotazione degli elementi si ha:

( )elem

1

Ne

e=

= ∑P P

( ) ( ) ( ) ( )T Tδ δe e e e⋅ = ⋅V P v pSi è visto che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )T T T Tδ =δe e e e e e e e⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅V P V A p P A p

Sostituendo in (*) si ha:

(*)

14



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 27/42

Assemblaggio: rigidezze

( )elem

1

Ne

e=

= ∑P P

( ) ( ) ( )Te e e= ⋅P A p

( ) ( ) ( )e e e=p k v

Ricapitolando si ha:

• equilibrio della struttura:

• relazioni fra grandezze a livello di elemento e a livello di struttura:

• equazioni di rigidezza dell’elemento:

Sostituendo si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )elem elem

T

1 1

N Ne e e e

e e= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑P A k A V K V K V

( )eK K matrice di rigidezza globale della struttura

N.B.: l’assemblaggio conserva la simmetria: K è simmetrica (vedremo perché nel cap. 3)

( ) ( )e e= ⋅v A V



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 28/42

Equazioni risolutive(prima dell’imposizione dei vincoli esterni)

Le equazioni del problema sono dunque espresse in forma matriciale dal sistema di equazioni lineari:

= ⋅P K VGdL

GdL

GdL GdLGdL GdL GdL GdL

11 12 11 1

2 21 22 2 2

1 2

N

N

N NN N N N

K K KP VP K K K V

P VK K K

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

La matrice di rigidezza K è ottenuta come somma dei contributi delle rigidezze dei singoli elementi riportate a livello di struttura.

15



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 29/42

Rigidezza degli elementi a livello di struttura

( )

( )

1

2

0.5 0.5 0.5 0.5 0 00.5 0.5 0.5 0.5 0 00.5 0.5 0.5 0.5 0 0210 kN0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 mm20 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0.5 0.5 0.5 0.52100 0 0.5 0.5 0.5 0.520 0 0.5 0.5 0.5 0.50 0 0.5 0.5 0.5 0.5

− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢⎢ − −

= ⎢ − −⎢⎢ − −⎢

− −⎣ ⎦

K

K

( )3

kNmm

1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 kN1050 0 0 0 0 0 mm1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

K



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 30/42

Rigidezza del sistema( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 3 1 3 1 1 3 311 11 12 12 13 14 13 14

1 3 1 3 1 1 3 321 21 22 22 23 24 23 24

1 1 1 2 1 2 2 231 32 33 11 34 12 13 14

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 21 44 22 23 24

3 3 2 2 2 3 2 331 32 31 32 33 33 34 34

3 3 2 241 42 41 42 4

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k

= + + =

+ +

+ +

+ +=

+ +

+ +

K K K K

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 33 43 44 44

1.7071 0.7071 0.7071 0.7071 1.0000 0.00000.7071 0.7071 0.7071 0.7071 0.0000 0.00000.7071 0.7071 1.4142 0.0000 0.7071 0.7071

1050.7071 0.7071 0.0000 1.4142 0.7071 0.70711

k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

− − −− −

− − −=

− − −−

kNmm

.0000 0.0000 0.7071 0.7071 1.7071 0.70710.0000 0.0000 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥

− −⎢ ⎥⎣ ⎦

16



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 31/42

Assemblaggio: procedura operativaLe matrici topologiche non vengono in pratica utilizzate nei programmi:

Come si osserva dall’esempio è possibile procedere come segue:- si inizializza la matrice di rigidezza della struttura a zero

- per ogni elemento:

- si scrive la matrice di rigidezza k(e) in coordinate globali

- ogni valore kij(e) della matrice di rigidezza dell’elemento viene sommato

alla rigidezza della struttura nella corrispondente posizione (ricavabile dalla tavola di incidenza dei nodi)

Contengono poche informazioni e occupano molta memoria (in un modello con 10,000 GdL la matrice topologica di una biella sarebbe 4x10,000 contenendo tutti 0.0 e solo 4 valori uguali a 1.0).

Necessitano di pesanti operazioni di moltiplicazione di matrici (e si moltiplica sempre per 0.0 o per 1.0).



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 32/42

Assemblaggio: esempio operativo (elemento 1)

313322211

Secondo nodo

Primo nodo

Elementoelemento 2elemen

to 1

elemento 3

nodo 1

nodo 2

nodo 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 111 12 13 14

1 1 1 121 22 23 24

1 1 1 131 32 33 34

1 1 1 141 42 43 44

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

primo nodo

secondo nodo

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 111 12 13 14

1 1 1 121 22 23 24

1 1 1 131 32 33 34

1 1 1 141 42 43 44

0 0

0 0

0 0

0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

primo nodo

secondo nodo

nodo 1 nodo 2 nodo 3

nodo 1

nodo 2

nodo 3

ElementoStruttura

17



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 33/42


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 111 12 13 14

1 1 1 121 22 23 24

1 1 1 2 1 2 2 231 32 33 11 34 12 13 14

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 21 44 22 23 24

2 2 2 231 32 33 34

2 2 2 241 42 43 44

0 0

0 0

0 0

0 0

k k k k

k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k

k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

313322211

Secondo nodo

Primo nodo


to 1

elemento 3

nodo 1

nodo 2

nodo 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 211 12 13 14

2 2 2 221 22 23 24

2 2 2 231 32 33 34

2 2 2 241 42 43 44

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ElementoStruttura



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 34/42


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 3 1 3 1 1 3 311 11 12 12 13 14 13 14

1 3 1 3 1 1 3 321 21 22 22 23 24 23 24

1 1 1 2 1 2 2 231 32 33 11 34 12 13 14

1 1 1 2 1 2 2 241 42 43 21 44 22 23 24

3 3 2 2 2 3 2 331 32 31 32 33 33 34 34

3 3 2 2 2 3 241 42 41 42 43 43 44

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k k

k k k k k k k

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + ( )344k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

313322211

Secondo nodo

Primo nodo


to 1

elemento 3

nodo 1

nodo 2

nodo 3


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 311 12 13 14

3 3 3 321 22 23 24

3 3 3 331 32 33 34

3 3 3 341 42 43 44

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

ElementoStruttura

18



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 35/42

Applicazione dei vincoli esterni (1/2)

Si è giunti a scrivere le equazioni risolutive nella forma:

1) GdL il cui valore è incognito. Ad essi corrispondono carichi nodali assegnati.

2) GdL il cui valore è assegnato (nullo nel caso di vincoli perfetti, non nullo nel caso di cedimenti vincolari imposti). Ad essi corrispondono reazioni vincolari incognite.

È possibile dividere i GdL della struttura in due gruppi:

= ⋅P K V



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 36/42

Applicazione dei vincoli esterni (2/2)

Sostituendo nella (**) si ottengono le reazioni vincolari incognite.

Dalla (*) è possibile ricavare gli spostamenti incogniti:

Immaginiamo di riordinare i GdL e di raccogliere nei vettori e gli spostamenti liberi e i corrispondenti carichi noti (entrambi di Nlib componenti), nei vettori e gli spostamenti imposti e le corrispondenti reazioni vincolari incognite (entrambi di NGdL-Nlib). Il cappuccio indica le quantità note. Il sistema diviene:

(*)

(**)

1V 1P̂

2V̂ 2P

1 1 11 1 12 211 121

21 222 2 2 21 1 22 2

ˆ ˆˆˆ ˆ

⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ + ⋅⎡ ⎤ ⎪= ⇒ ⎨⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ + ⋅⎣ ⎦ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩

V P K V K VK KPK KP V P K V K V

( ) ( )11 11 1 12 2

ˆ ˆ−= ⋅ − ⋅V K P K V

N.B.: La matrice K11 deve essere non singolare. Ciò accade se la struttura è labile!

19



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 37/42

Soluzione

( ) ( )11 11 1 12 2

ˆ ˆ−= ⋅ − ⋅V K P K V

Si è dunque giunti alla soluzione del problema negli spostamenti:

Nella pratica la matrice di rigidezza non viene invertita esplicitamente.

Il sistema lineare:

11 1 1 12 2ˆ ˆ⋅ = − ⋅K V P K V

viene risolto con algoritmi specifici per sistemi simmetrici come la fattorizzazione di Cholesky o metodi iterativi.



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 38/42

Soluzione dell’esempio (1/2)

( )

1

1

3

1.7071 0.7071 0.7071 0.7071 1.0000 0.00000.7071 0.7071 0.7071 0.7071 0.0000 0.0000

0 0.7071 0.7071 1.4142 0.0000 0.7071 0.7071kNkN 105100 0.7071 0.7071 0.0000 1.4142 0.7071mm0

x

y

y

PP

P

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥ − −⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −⎛ ⎞=⎢ ⎥ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2

3

00

0.70711.0000 0.0000 0.7071 0.7071 1.7071 0.7071

0.0000 0.0000 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 0

x

y

x

VVV

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

V2y

V2x

V1y

V1x

V3y

V3x1

1

00

x

y

VV

==

3

3

00

x

y

PV

==

100kN

2

2

010kN

x

y

PP

== −

20



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 39/42

Soluzione dell’esempio (2/2)

1

2 1 21 1 22 2 22

3

0.7071 0.7071 1.0000 0.2381 0 0.00ˆ 105 0.7071 0.7071 0.0000 0.9115 0 50.00 kN

0.7071 0.7071 0.7071 0.4762 0 50.00

x

y

y

PPP

⎡ ⎤ − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ + ⋅ = − − ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

P K V K V K

( ) ( )1

21

1 2 11 1 12 2 12

3

1.4142 0.0000 0.7071 0 0 0.2381ˆ ˆ 105 0.0000 1.4142 0.7071 100 0 0.9115 mm

0.7071 0.7071 1.7071 0 0 0.4762

x

y

x

VVV

−

−

⎛ − ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

V K P K V K

50 kN 50 kN

1

1

2

2

3

3

00

0.2381mm

0.91150.4762

0

x

y

x

y

x

y

VVVVVV

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 40/42

Calcolo delle variabili secondarie

Dai valori degli spostamenti della struttura è possibile calcolare gli spostamenti nodali di ciascun elemento.

Dalla congruenza interna all’elemento si ricavano le caratteristiche di deformazione.

Dalle equazioni costitutive del singolo elemento si ricavano le caratteristiche di sollecitazione.

21



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 41/42

Variabili secondarie nell’esempio

( )

( )

( )

( )

( )

11

11 11

2

12

01 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0.2381 0

mm mm0 0 1 0 0 0 0.9115 0.23810 0 0 1 0 0 0.4762 0.9115

0

x

y

x

y

v

v

v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A V

( )

( )( ) ( )

11 11

12

0cos 45 sin 45 0 0 0 0

= mm0 0 cos 45 sin 45 0.2381 0.4761

0.9115

x

x

v

v

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ° °⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥° ° −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Q v

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 70.71kNN E A ε= ⋅ = −

( )( )

( )

( ) ( )

( )

1 111 2 1 0

001 1

0.4761mm 0.16832.8284m

x xv vε −Δ −= = = = −

spostamenti globali dell’elemento

spostamenti locali

deformazione assiale

sforzo normale

Consideriamo per esempio l’elemento 1:

Verificabile con un semplicissimo calcolo manuale!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 2: 42/42

Nel prossimo capitolo

Formulazione analitica degli elementi

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