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Meccanica2019-2020

Dinamica del punto materiale

PO

p�

r�

L�

Momento angolare

( )L r p m r v= × = ×� � � � �

×=i

iFr��

)( ×=i

iFr��

=i

iM�

TOTTOT FrM��� ×=

Il momento della risultante è pari alla somma (vettoriale) dei momenti dellecomponenti:

2 1[kg m s ]−Unità di misura:

[Nm]Unità di misura:

FrM��� ×=

PO

F�

r�

M�

Momento della forza (“momento”)

Applico periodicamenteforza tangenziale , di intensità costante,fino a invertire il moto

F�

p�

L�

r�

rL p= � � �

r�

M�

F�

rM F= � � �

Momento Angolare e Momento della ForzaMoto circolare

Dinamica del punto materiale

Teorema del momento angolare

Or�

L�

prL��� ×=

Momento angolare rispetto al polo O:

Variazione del momento angolare:

dL

dt=�

dLr F

dt= �

�� La variazione del momento angolare è pari al momento della forza che agisce sul punto

Teorema del momento angolare

Se il momento della risultante è nulloil momento angolare si conserva

P

p�

F�

costanteL =�

Corollario:

0=M�

Se

M=�

Punto materiale P, quantità di moto

soggetto alla forza

p mv=� �

F�

dr dvmv r m

dt dt

× + ×

� �

� �

drv

dt=�

�

0v mv× =� �

- forza risultante nulla- forza parallela a r

�

dvm F

dt=��

Risultante delle forzeche agiscono su P

Dinamica del punto materiale

Teorema del momento dell’impulso

O Pr�

L�

Mdt

Ld ��

=

=)(

0 0

tL

L

t

LddtM

�

�

��

0( )L t L L= − = ∆� � �

Azione del momento della forza nell’intervallo di tempo t

Variazione finita del momento angolare

Jr��×=

L�

∆=

×=tt

dtFrdtM00

)( ���

Esplicitiamo legame con l’impulso:

JrL��� ×=∆

La variazione del momento angolare è pari al momento dell’impulso

“Teorema del momento dell’impulso”

p�

F�dtMLd

��

=

Analogo al teorema dell’impulso:

0

t

p J F dt∆ = = � ��

0

t

r F dt× ��

≃

Se non varia in modosignificativo nel tempo t

r�

Moti relativi

a) Per due sistemi di riferimento fissi, dopo traslazione/rotazione degli assi? SI (se lo spazio è isotropo e uniforme)

b) Per due sistemi in moto genericol’uno rispetto all’altro?

Vedremo che in generale NON c’èinvarianza delle leggi ella meccanica

x

y

z

O

P

'x

'y

'z

'O

)(' tr�

)(tr�

Relazione dinamica fra posizione, velocità, accelerazione del punto P misurato dai due sistemi di riferimento

Velocità di traslazione

Velocità angolare'Ov�

ω�

Le leggi della dinamica sono indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento?(Invarianza delle leggi fisiche)

Consideriamo sistemi di riferimentoxyz “fisso”

x’y’z’ “in moto”

“fisso”

“in moto”

Moti relativi

Posizione e velocità relativePosizione di P misurata nei due sistemi di riferimento:

''

Or r r= +� � �

''

( ') Odr dr dr

rdt dt dt

ω = + × +

� � �

� �

Velocità di O’ rispetto a O

Vettore velocità angolare per x’y’z’

Pura tralsazione'' Ovvv��� +=0=ω�

0' =Ov�

)'(' rvv���� ×+= ω Pura rotazione

'[ ' ( ')]

Ov v r vω= + × +�� � � �

Caso generale: combinazione di un moto rotatorio e un moto traslatorio

rotazione traslazione

'( )r t�

'x

'y

'z

'O

'Ov�

ω�

x

y

z

O

( )r t�

P

Relazione di PoissonSono dati due sistemi di riferimento, uno fisso e l'altro in rotazione rispettoal primo (attorno a un asse generico);

'( ')

dk dkk

dt dtω= + ×

� �

��

Generico vettore nei due sistemi:

ω�Velocità angolare:

sistema rotante'k�

k�

sistema fisso,

'( )

Or t�

Velocità (derivata della posizione) misurata nei due sistemi

v�

Moti relativi

Accelerazione relativaAccelerazione (derivata della velocità) misurata nei due sistemi di riferimento

'' ( ') ' 2 'Od

a a a r r vdt

ωω ω ω= + + × × + × + ×�

� � �� � � � � �

x

y

z

O

P

'x

'y

'z

'O

'( )r t�

( )r t�

'( )

Or t�

v�

Accelerazione di Coriolis'2 vaC��� ×≡ ω

)'(' ' rvvv O����� ×++= ω'

( ')dk dk

kdt dt

ω= + ×� �

��Relazione di Poisson

Ct aaaa���� ++= '

Possiamo scrivere l’accelerazione come somma di tre componenti:

'( ') '

t O

da a r r

dt

ωω ω≡ + × × + ×�

� �� � � �

Accelerazione di trascinamento

0=ω� '' Oaaa��� +=Se x’y’z’ non è in rotazione:

'( ')

dv dvv

dt dtω= + × +

� �

� � +dt

vd O '�

'' ( ') ' ( ') ( ')Od

a a v a r v rdt

ωω ω ω ω= + × + + × + × + × ×�

� � � �� � � � � � �

'' ( ')

d drr r

dt dt

ω ω ω × + × + ×

� �

� �� �

Moti relativi

Sistemi di riferimento inerziali

'' ( ') ' 2 '

O

da a a r r v

dt

ωω ω ω= + + × × + × + ×�

� � �� � � � � �'a�=

Se l’accelerazione di P è nulla in S0, lo sarà anche in S1

Anche S1 è inerzialeIdentificato un sistema inerziale S0, tutti i sistemi in moto rettilineo uniforme rispetto a S0 sono inerziali

Non è possibile stabilire con misure dinamiche se uno di essi è in quiete o in moto

Relatività Galileiana

“Sistema inerziale”

Consideriamo un altro sistema di riferimento S1 in moto rettilineo uniforme rispetto a S0, non rotante

S0 = Sistema di riferimento in cui valga la legge d’inerzia

x

y

z

O

S0

v�P

Per ogni punto materiale P non soggetto a forze: costantev =�

'x

'O

'y

'zS1

'Ov�0=ω�0' =Oa

�

La legge della dinamica si applica con gli stessi valori di forza e accelerazione amF

�� =

' 'a a ma ma= =� � � �

0ta =�

0C

a =�

Dico dunque che se, delle due parti del mondo suddette, quella superiore fosse oggi mossa di moto diurno, come è, e quella inferiore no, e domani avvenisse, al contrario, che a muoversi di moto diurno fosse quella inferiore, e l'altra, ossia il cielo, no, (…) noi non potremmo affatto percepire questo mutamento, ma tutto sembrerebbe essere a modo, per quanto riguarda ciò, oggi e domani. E a noi sembrerebbe sempre che la parte in cui ci troviamo fosse in quiete e l'altra sempre in moto, così come a un uomo che si trovi su una nave in movimento sembra che a muoversi siano gli alberi fuori della nave.

E similmente se un uomo fosse in cielo, supposto che esso fosse moto di moto diurno, e se quest'uomo, portato in volta dal cielo, vedesse chiaramente la terra e percepisse distintamente i monti, le valli, i fiumi, le città e i castelli, gli sembrerebbe che la terra fosse mossa di moto diurno, così come sembra del cielo a noi che siamo in terra... »

Moto relativo« … Se un uomo si trova su una nave chiamata A, la quale sia mossa di moto regolare, velocemente o lentamente, e se quest'uomo non vede altro che un'altra nave chiamata B, la quale si muova con moto esattamente uguale a quello di A, nella quale egli si trova, dico che sembrerà a quest'uomo che nessuna delle due navi si muova. E se A è immobile e B si muove, gli sembrerà che a muoversi sia B; e se A si muove e B è immobile, ancora gli sembrerà che A sia immobile e che B si muova...

Nicola d’Oresme (1323 – 1382)

Traité o Le livre du ciel et du monde

« Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti.

Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, rattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d’incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte.

Relatività Galileiana

Galileo Galilei (1564 - 1642)

“Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano”

E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione l’esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all’aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell’aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati… »

Moti relativi

Sistemi di riferimento inerzialiSe il sistema S1 non è inerziale?

0≠ω�0' ≠Oa�

e/o

Ct amamamam���� ++= '

In S0 vale amF�� =

Ct aaaa���� ++= '

'' ( ') ' 2 '

O

da a a r r v

dt

ωω ω ω= + + × × + × + ×�

� � �� � � � � �

Ct amamFam���� −−='

Ct FFF���

−−=

“Forza vera” “Forze apparenti”Non corrispondono a interazioni fisiche reali (4 forze fondamentali)

La forza effettivamente applicata al punto non è proporzionale all’accelerazione osservata

In sistemi non-inerziali la legge di Newton non è più valida

La descrizione del moto di P in un sistema non-inerziale deve tenere conto della presenza di forze apparenti indotte dall’accelerazione e/o rotazione del sistema

Ca�

ta�

In un sistema inerziale le forze apparenti sono nulle

Relazione di Poisson

'( ')

dr drr

dt dtω= + ×

� �

� �

Vettore posizione nei due sistemi:

ω�Velocità angolare relativa: (costante)

sistema rotanter�

sistema fisso 'r�

'( )r t�

'( )

Or t�

'x

'y

'z

'O

'Ov�

ω�

x

y

z

O

( )r t�

P

v�

sistema fisso

sistema rotante

, ,x y zu u u� � �

' ' ', ,x y zu u u� � �

versori fissi

versori rotanti

' 'Odr d d

v r rdt dt dt

= = + =�

� � �

' ' 'O O Ox y z

dx dy dzu u u

dt dt dt= + + +� � �

'' '' ' '

' ' '' ' '

yx zx y z

dudu dudx dy dzu x u y u z

dt dt dt dt dt dt

+ + + + + +

�� �

� � �

'' '' ' ' ' '

yx zO

dudu duv v x y z

dt dt dt

= + + + +

�� �

� �

Relazione di Poisson

Velocità angolare dei versori

La velocità angolare è la stessa per tutti e tre gli assi del sistema rotante: ω�

' ' ' 'O O x O y O zr x u y u z u= + +� � � �

' ' '' ' ' 'x y zr x u y u z u= + +� � � �

= 0 per pura rotazione

' 'Or r r= +� � �

Dobbiamo dimostrare che questo termine è 'rω= ×� �

du du

dt dt

φ⊥=

�

�Intuitivamente… Derivata del versore:

'( )r t�

'( )

Or t�

'x

'y

'z

'O

'Ov�

ω�

x

y

z

O

( )r t�

P

v�

sistema fisso

sistema rotante

, ,x y zu u u� � �

' ' ', ,x y zu u u� � �

versori fissi

versori rotanti

x x x xx x y y z z

du du du duu u u u u u

dt dt dt dt

= ⋅ + ⋅ + ⋅

� � � �

� � � � � �

xx

duu

dt⊥

�

�

x x xy y z z

du du duu u u u

dt dt dt

= ⋅ + ⋅

� � �

� � � �

Relazione di Poisson

yxy x

duduu u

dt dt⋅ = − ⋅

��

� �

y y y

x x z z

du du duu u u u

dt dt dt

= ⋅ + ⋅

� � �

� � � �

z z zx x y y

du du duu u u u

dt dt dt

= ⋅ + ⋅

� � �

� � � �

Analogamente:

x zz x

du duu u

dt dt⋅ = − ⋅� �

� �

y zz y

du duu u

dt dt⋅ = − ⋅

� �

� �

Analogamente:

xq

yq

zq

Definiamo il vettore che ha come componenti i tre termini indipendenti: q�

, , y z x

z x y

du du duq u u u

dt dt dt

= ⋅ ⋅ ⋅

� � �

� � � �

0x yu u⋅ =� �

0yx

y x

duduu u

dt dt⋅ + ⋅ =

��

� �

( ) 0x yd

u udt

⋅ =� �

Dimostriamo che:yx z

dudu dux y z r

dt dt dtω+ + = ×

�� �

� � (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità)

Dimostriamo che coincide con il vettore velocità angolare

q�

ω�

, , y z x

z x y

du du duq u u u

dt dt dt

= ⋅ ⋅ ⋅

� � �

� � � �

O

x

y

z

ω�

yω�

zω�

xω�

x x y y z zu u uω ω ω ω= + +� � � �

xz

d

dt

θω =

Consideriamo la componente lungo l’asse z:

Dimostriamo che q ω= ��

La derivata del versore è data da: xu�

x xy

du du

dt dt

θ=�

�

x xy y y

du du u u

dt dt

θ⋅ = ⋅�

� � �xd

dt

θ=

xz y z

duq u

dtω= ⋅ =

�

�

Quindi posso scrivere

zω=

xdθConsideriamo rotazione antioraria vista dalla punta del vettore ω�

zq

Analogamente per e xω yωQuindi abbiamo che q ω= ��

Per la velocità angolare si ha:

Relazione di Poisson

Dimostriamo che:yx z

dudu dux y z r

dt dt dtω+ + = ×

�� �

� � (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità)

( )x y zxu yu zuω= × + +� � � �

( ) ( ) ( )x y zx u y u z uω ω ω= × + × + ×� � �� � �

Consideriamo il primo termine.Dimostriamo che: x

x

duu

dtω= ×

�

� �

x zz x

du duu u

dt dt⋅ = − ⋅� �

� �

0 x zx x y y x zdu du

u u u u u udt dt

ω × = + ⋅ − ⋅

� �

� � � � � � �

x x xy y z z

du du duu u u u

dt dt dt

= ⋅ + ⋅

� � �

� � � � xuω ×� �

Analogamente: yy

duu

dtω= ×

�

� �z

z

duu

dtω= ×

�

� �

( )1, 0, 0xu =�

, , y xz

z x y

du duduq u u u

dt dt dtω = = ⋅ ⋅ ⋅

� ��

� � � � �

x x zy y x z

du du duu u u u

dt dt dt

= ⋅ − ⋅

� � �

� � � �

xx

duu

dtω= ×

�

� �

Relazione di Poisson

Dimostriamo che:yx z

dudu dux y z r

dt dt dtω+ + = ×

�� �

� � (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità)

( )y z z y xa b a b a b u× = − +�

� �

( )x y y x za b a b u+ −�

( )z x x z ya b a b u+ −�

( ) ( ) ( )x y zx u y u z uω ω ω= × + × + ×� � �� � �

' ' 'Ov v rω= + + ×�� � �'' '

' ' ' ' 'yx z

O

dudu duv v v x y z

dt dt dt

= + + + +

�� �

� � �

(NB: re-introduciamo gli apici)

'rω= ×� �

' ( ')v v rω= + ×�� � �Caso di pura rotazione:

'( ')

dr drr

dt dtω= + ×

� �

� �

In generale:'

( ')dk dk

kdt dt

ω= + ×� �

��

Relazione di Poisson

rω= ×� �

r= �

xx

duu

dtω= ×

�

� � y

y

duu

dtω= ×

�

� � zz

duu

dtω= ×

�

� �

( )x y zxu yu zuω= × + +� � � �

Relazione di Poisson

Dimostriamo che:yx z

dudu dux y z r

dt dt dtω+ + = ×

�� �

� � (NB: abbiamo tolto gli apici per semplicità)