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MATLAB. Outline. Indipendenza lineare, basi, sottospazi Esercizi vari. Vettori l.i. I. sono linearmenti indipendenti (l.i.) se Una combinazione lineare dei vettori è nulla se e solo se sono nulli tutti i coefficienti. Vettori l.i. II. - PowerPoint PPT Presentation
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Indipendenza lineare, basi, sottospazi
Esercizi vari
sono linearmenti indipendenti (l.i.) se
Una combinazione lineare dei vettori è nulla se e solo se sono nulli tutti i coefficienti
Vettori l.i. I
mikvkvkvk imm ,,1002211
n1 2, , , mv v v R
Vettori l.i. II
se m=n e i vettori sono l.i. => formano una base di Rn
)(0
)'(
)'(
1
1
111
1111
mnmArangoAk
aav
aa
aa
A
aav
nmmm
nmn
m
n
banale soluzione ha
Esempio 1
l.i. sono se vedere per
con),,span( V Sia
321
321
)021()112()201(
3
vvv
vvv R
v1 = [1 0 2]’;
v2 = [2 1 1]’;
v3 = [1 2 0]’;
A = [v1 v2 v3]
rank(A)
il rango è 3 => i vettori sono l.i. e
formano una base per R3
Esempio 2Dopo aver verificato che i vettori sono una base di R3 esprimere come c.l. dei
)111()101()110()011( vvvv 321
v1 = [1 1 0’]’;
v2 = [0 1 1]’;
v3 = [1 0 1]’;
v = [1 1 1]’;
A = [v1 v2 v3]
rank(A)
il rango è 3 => i vettori sono l.i.
i coefficienti lineari della combinazione si
trovano:k=A\v
)5.0,5.0,5.0(),,( 321 kkk
321 ,, vvvv iv
costruiamo la matrice A le cui colonne sono le componenti dei vettori
i vettori sono l.i. rank(A)=m (m<=n) se sono l.d. => i coefficienti di una loro combinazione
lineare non nulla si trovano risolvendo il sistema Ak=0
Per esprimere un vettore w come c.l. dei vettori della base, si risolve il sistema Ak=w
W = span(v1,v2,…,vm) dim W = rank(A) una base BW di W è costituita dai vettori l.i. di A
n1 2, , , mv v v R
…ricapitolando…
Esercizo 1 Scrivere una funzione di n (n>0) che crei
la matrice A:
per n=7 sia W=span(c1,c2,c3,c4)1. dim(W)=? scrivere una base di W2. dire quali dei seguenti vettori appartiene a W
ed eventualmente scriverne le coordinate rispetto alla base di W trovata:
w1=(0 1 2 0 1 2 3) w2=(1 2 1 2 1 2 1)
212
4324
1212
nnnn
A
Esercizi
Dato W = span(w1,w2,w3) R con:∩
w1=(1 1 0 4), w2=(3 1 2 0), w3=(1 1 1 1), trovare dimW
Dimostrare che i vettori: w1=(1 1 0), w2=(0 1 1), w3=(1 2 1), sono l.d. e scrivereuna c.l. nulla con coefficienti non nulli (hint: usare il comando rref )
Dopo aver dimostrato che:w1=(1 2 5), w2=(2 2 4), w3=(1 1 4), formano una base di R3, esprimere w=(3 3 3) come c.l. dei 3 vettori
