Matematica (quasi) senza numeri

CARLO MANTEGAZZA

(grazie a Giacomo Ascione per molte figure)

24 Gennaio 2020

Matematica (quasi) senza numeri Il “giro” del cavallo

La mossa delcavallo

Consideriamo uncavallo che partenell’angolo in bassoa sinistra della scac-chiera.Vorremmo tocca-re tutte le caselleuna e una solavolta, muovendo ilcavallo...

UnConsideriamo uncavallo che partenell’angolo in bassoa sinistra della scac-chiera.Vorremmo tocca-re tutte le caselleuna e una solavolta, muovendo ilcavallo...

Consideriamo uncavallo che partenell’angolo in bassoa sinistra della scac-chiera.Vorremmo toccaretutte le caselle unae una sola volta,muovendo il caval-lo...... e poi concludereil “giro” nell’angolodella scacchieraopposto a quello dipartenza.

Consideriamo uncavallo che partenell’angolo in bassoa sinistra della scac-chiera.Vorremmo toccaretutte le caselle unae una sola volta,muovendo il caval-lo...... e poi concludereil “giro” nell’angolodella scacchieraopposto a quello dipartenza.Si può fare? Esi-ste cioè un talepercorso?

Cerchiamo di trova-re qualche proprie-tà del nostro proble-ma, “alleggerendo”la figura... togliamoil cavallo e guardia-mo solo alle caselle“toccate”.

Cerchiamo di trova-re qualche proprie-tà del nostro proble-ma, “alleggerendo”la figura... togliamoil cavallo e guardia-mo solo alle caselle“toccate”.Togliamo anche lefrecce.

Guardiamo il coloredelle caselle “tocca-te”, mossa per mos-sa.

Ad ogni mossa sicambia “colore”.

Alle mosse dispari,siamo sul bianco.Alle mosse pari,siamo sull’arancio-ne.

Per completare ilsuo “giro” il cavallodeve fare 63 mosse,dunque all’ultima,la 63esima, saràsu una casellabianca. Quindi lanostra richiesta cheil cavallo termininell’angolo oppostoa quello iniziale, cheè arancione, non sipuò soddisfare.

Non esiste ilpercorso cercato!

Per completare ilsuo “giro” il cavallodeve fare 63 mosse,dunque all’ultima,la 63esima, saràsu una casellabianca. Quindi lanostra richiesta cheil cavallo termininell’angolo oppostoa quello iniziale, cheè arancione, non sipuò soddisfare.

Non esiste ilpercorso cercato!

Matematica (quasi) senza numeri “Costruire” un cubo

Vorremmo “costruire” un cubo di lato 6 con dei cubetti 1x2x4come nella figura.

Ce ne vogliono 27.Si può fare?

Vorremmo “costruire” un cubo di lato 6 con dei cubetti 1x2x4come nella figura. Ce ne vogliono 27.

Si può fare?

Vorremmo “costruire” un cubo di lato 6 con dei cubetti 1x2x4come nella figura. Ce ne vogliono 27.Si può fare?

Vorremmo “costruire” un cubo di lato 6 con 27 cubetti 1x2x4come nella figura. Si può fare?

Vorremmo “costruire” un cubo di lato 6 con 27 cubetti 1x2x4come nella figura. Si può fare? NO!

Matematica (quasi) senza numeri “Costruire” un quadrato – Un esercizio per voi

Un esercizio per voi

Vorremmo “costruire” un quadrato di lato 6 con delle tesserinea L, come nella figura.

Ce ne vogliono 9.Si può fare?

Matematica (quasi) senza numeri “Costruire” un quadrato – Un esercizio per voi

Un esercizio per voi

Vorremmo “costruire” un quadrato di lato 6 con delle tesserinea L, come nella figura. Ce ne vogliono 9.Si può fare?

Matematica (quasi) senza numeri Deformazioni di superfici

Superfici – Esempi

Si può deformare una sfera in un toro?

Si può deformare una sfera in un toro?Ogni laccio sulla sfera si può “sfilare” senza tagliarlo.

Questo è equivalente a dire che ogni laccio si può deformare aun punto, rimanendo sulla superficie.

Si può deformare una sfera in un toro?Ogni laccio sulla sfera si può “sfilare” senza tagliarlo.

Questo è equivalente a dire che ogni laccio si può deformare aun punto, rimanendo sulla superficie.

Il toro non ha questa proprietà.

Per “sfilare” o deformare a un punto il laccio disegnato sopra,ad esempio, bisogna tagliarlo.

La risposta è NO!

È facile convincersi che la proprietà che tutti i lacci si possanosfilare dalla superficie si mantiene per deformazione (senzatagli). La sfera ce l’ha e il toro NO, dunque non si possonodeformare uno nell’altro.

Di nuovo abbiamo un invariante del “sistema” che stiamoconsiderando, dove in questo caso le “mosse” sono ledeformazioni.

La risposta è NO!

Poincaré e la Topologia

Sebbene vari risultati che og-gi chiamiamo “topologici” era-no stati trovati in precedenza,è con Henri Poincaré (1854–1912), l’ultimo universalista, chela topologia (Analysis Situs) as-sume una forma moderna.In particolare, per le superfici oper spazi più complessi, Poin-caré introduce il concetto fon-damentale di semplice connes-sione che è esattamente la pro-prietà che tutti i lacci si possanodeformare a un punto.

Matematica (quasi) senza numeri Il problema delle crêpes

Mamma Benedetta ha due figlie Anna e Maria che amano lecrêpes, sia dolci che salate. È molto brava e riesceregolarmente a farle perfettamente circolari e di “altezza”uniforme, anche se non dello stesso raggio.

Salata

Una volta sul piatto, taglia le due crêpes in modo da dividereognuna in due parti della stessa quantità (area), per dareesattamente la stessa quantità di dolce e salata alle due figlie.

Mamma Benedetta ha due figlie Anna e Maria che amano lecrêpes, sia dolci che salate. È molto brava e riesceregolarmente a farle perfettamente circolari e di “altezza”uniforme, anche se non dello stesso raggio.

Salata

Benedetta, che conosce la matematica, sa che può farlo con unsingolo taglio.

Infatti, considerando (in rosso) i centri delle duecirconferenze bordi delle crêpes e tracciando (in blu) la rettaper tali centri, si ha ovviamente il taglio cercato.

Salata

Benedetta, che conosce la matematica, sa che può farlo con unsingolo taglio. Infatti, considerando (in rosso) i centri delle duecirconferenze bordi delle crêpes

e tracciando (in blu) la rettaper tali centri, si ha ovviamente il taglio cercato.

Salata

Benedetta, che conosce la matematica, sa che può farlo con unsingolo taglio. Infatti, considerando (in rosso) i centri delle duecirconferenze bordi delle crêpes e tracciando (in blu) la rettaper tali centri, si ha ovviamente il taglio cercato.

Salata

Un giorno, viene distratta nel farle e non le riescono circolari,ma un po’ deformate (comunque sempre di “altezza” uniforme).Benedetta vuole sempre dividere ognuna di esse in due partidella stessa area, cosa che appare chiaramente più difficile chein precedenza.

Dolce Salata

Abbiamo dunque trovato che c’è sempre un taglio verticale perogni crêpe che la divide in due parti di stessa area.

Dolce Salata

In realtà, con lo stesso ragionamento, concludiamo che c’è untale taglio per qualunque “direzione” di taglio scegliamo.

Dolce Salata

A questo punto, risolto il primo problema, Benedetta si chiedese c’è un singolo taglio che divida ognuna delle due crêpe indue parti di stessa area (come per i due cerchi).

La risposta è dunque SI!

Dolce Salata

A questo punto, risolto il primo problema, Benedetta si chiedese c’è un singolo taglio che divida ognuna delle due crêpe indue parti di stessa area (come per i due cerchi).

La risposta è dunque SI!

Dolce Salata

Matematica (quasi) senza numeri Combinatoria geometrica

Triangoli monocolori

Coloriamo a caso tutti i punti del piano di blu o rosso. Esistesempre un triangolo equilatero monocolore, cioè con i tre verticidello stesso colore, tutti e tre blu o tutti e tre rossi?

Sembra una domanda da Settimana Enigmistica!

B B B B

Grazie della vostra attenzione

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