Matematica Per La Musica e Il Suono

A!"160

a Riccardo Bianchini

Stefano Petrarca

MATEMATICAPER LA MUSICA

E IL SUONO

Copyright © MMXARACNE editrice S.r.l.

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via Ra!aele Garofalo, "##/A–B00173 Roma

(06) 93781065

isbn 978–88–548–3643–3

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I edizione: novembre 2010

Indice

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Insiemistica e Logica 151.1 Insiemi e numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.2 Operazioni fra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.5 Insiemi finiti e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.6 Definizione esplicita di insiemi . . . . . . . . . . . . . 191.1.7 Un esempio: l’analisi musicale insiemistica . . . . . . . 201.1.8 Insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.9 Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1.10 Intervalli e geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.11 Esempio: continuum di frequenze e scale musicali . . . 28

1.2 Cenni di Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.1 Connettivi logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2 Tabelle di verita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.3 Alcuni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Funzioni 352.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Tipi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Funzioni trascendenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7 Funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7.1 Basi per i logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7.2 Particolarita della funzione logaritmo . . . . . . . . . 43

5

6 Indice

2.7.3 Scale e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.8 Funzioni di 2 o piu variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.9 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Trigonometria 513.1 Circonferenza goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Misura in radianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Fase di una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5 Periodicita delle funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . 593.6 Coordinate polari e circonferenza generica . . . . . . . . . . . 603.7 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8 Funzioni goniometriche inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.9 Numeri complessi e Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . 673.10 Formule di addizione di archi e rappresentazione in quadratu-

ra di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.10.1 Formule di bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.10.2 Formule di prostaferesi e di Werner . . . . . . . . . . . 71

3.11 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.12 Esercizi applicativi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Successioni 834.1 Successioni finite: calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.1 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.3 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.4 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.2 Operazioni fra matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.3 Matrici particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.4 Schemi di permutazione bidimensionale . . . . . . . . 964.2.5 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.3 Successioni infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3.1 Definizione ricorsiva di una successione (equazioni alle

di!erenze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.2 Successione di Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.3 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.4 Sistemi LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.5 Il campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

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4.6 Legame ingresso-uscita: la convoluzione . . . . . . . . . . . . 1084.7 Cenni sulla stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 Limiti 1115.1 Limiti di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Proprieta dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3 Limiti di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4 Limiti e continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6 Esercizi vari 119

7 Derivate e calcolo di!erenziale 1257.1 Significato e applicazioni delle derivate . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Definizione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2.1 Esempi di derivate di funzioni elementari . . . . . . . 1317.2.2 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3 Teoremi di calcolo di!erenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.3.1 Teorema di Rolle; massimi e minimi relativi . . . . . . 1437.3.2 Teorema di De L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3.3 Concavita, convessita, flessi e derivata seconda . . . . 145

7.4 Studio completo di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.5 Primi cenni sulle equazioni di!erenziali . . . . . . . . . . . . . 1527.6 Cenni sulla derivazione di funzioni di 2 o piu variabili . . . . 1557.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

8 Integrali e calcolo integrale 1598.1 Area di figure curvilinee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.2 Ricerca della primitiva di una funzione . . . . . . . . . . . . . 1618.3 Integrale definito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.4 Integrale indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.5 Integrali immediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.6 Regole e metodi di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.6.1 Metodo di integrazione per sostituzione . . . . . . . . 1668.6.2 Metodo di integrazione per parti . . . . . . . . . . . . 1678.6.3 Altri “trucchi” e suggerimenti . . . . . . . . . . . . . . 168

8.7 Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.8 Esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.8.1 Aree negative e aree nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.8.2 Integrali nella Fisica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8 Indice

8.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9 Analisi di Fourier 1759.1 Sistemi di funzioni ortonormati . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.2 La serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1769.3 Analisi di Fourier e segnali nel tempo . . . . . . . . . . . . . . 1819.4 Formulazione esponenziale della serie di Fourier . . . . . . . . 1869.5 La trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.5.1 Esempi di trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.5.2 Proprieta della trasformata di Fourier . . . . . . . . . 193

9.6 Cenni sulla trasformata discreta di Fourier . . . . . . . . . . . 1949.7 Script Csound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.8 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.9 Applicazioni e problemi dell’analisi di Fourier . . . . . . . . . 212

9.9.1 Reti elettriche lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.9.2 Filtraggio e convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . 2139.9.3 Analisi di particolari forme d’onda periodiche . . . . . 2199.9.4 Problemi inerenti all’applicazione pratica: il leakage . 2209.9.5 Problemi relativi ai segnali campionati: il foldover . . 221

9.10 Cenni sulla trasformata di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 2279.11 Funzioni di trasferimento e diagrammi di Bode (cenni) . . . . 230

9.11.1 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2359.12 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2379.13 Riassumendo... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10 Equazioni di!erenziali 24110.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24110.2 Equazioni ordinarie, lineari, a coe"cienti costanti . . . . . . . 24610.3 Metodi di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

10.3.1 Metodo diretto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24810.3.2 Altri risultati ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . 25310.3.3 Soluzioni tramite la trasformata di Laplace . . . . . . 256

10.4 Esempi di sistemi fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.4.1 Risuonatori meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26010.4.2 Il pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.4.3 Risuonatori elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

10.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.6 Equazioni di!erenziali alle derivate parziali . . . . . . . . . . 26710.7 L’equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.8 Soluzioni dell’equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . 272

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10.8.1 Soluzione secondo Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 27210.8.2 Soluzione con il metodo di D’Alembert . . . . . . . . . 27510.8.3 Interpretazioni fisiche della soluzione di D’Alembert . 27910.8.4 Corde di lunghezza finita e onde viaggianti . . . . . . 28010.8.5 Equivalenza delle soluzioni di Fourier e di D’Alembert 28210.8.6 Equazione d’onda con smorzamento . . . . . . . . . . 284

10.9 Altre equazioni per la Fisica del Suono . . . . . . . . . . . . . 28510.9.1 Equazione della vibrazione di una sbarra . . . . . . . . 28510.9.2 Equazione della vibrazione di una colonna d’aria . . . 28910.9.3 Equazione della vibrazione di una membrana . . . . . 29210.9.4 Equazione della vibrazione di una lastra . . . . . . . . 302

10.10Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30410.11Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

11 Probabilita e processi aleatori 30911.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.2 Eventi casuali e probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30911.3 Tipi di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

11.3.1 Eventi composti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31111.3.2 Probabilita condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . 31211.3.3 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

11.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31411.5 Variabili casuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

11.5.1 Distribuzione uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31611.5.2 Distribuzione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 31711.5.3 Distribuzione normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31811.5.4 Significato geometrico della funzione di distribuzione . 31911.5.5 Distribuzione di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.5.6 Variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . 322

11.6 Momenti di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . 32311.6.1 Speranza matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32311.6.2 Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32411.6.3 Altri momenti di ordine 2 e superiori . . . . . . . . . . 32711.6.4 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

11.7 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33311.8 Automi non deterministici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.8.1 Automi deterministici agli stati finiti . . . . . . . . . . 33411.8.2 Rappresentazione della funzione di transizione di stato 33511.8.3 Alcune estensioni del modello . . . . . . . . . . . . . . 33711.8.4 Esempio di automa musicale . . . . . . . . . . . . . . 337

10 Indice

11.8.5 Automi non deterministici . . . . . . . . . . . . . . . . 33811.8.6 Vettori di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33911.8.7 Esempio di automa musicale non deterministico . . . . 340

11.9 Processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34111.9.1 Catene di Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

11.10Applicazioni alla Musica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34711.11Algoritmi per la realizzazione di automi musicali . . . . . . . 34711.12Definizione di Catena di Markov nascosta

(HMM - Hidden Markov Model) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35511.12.1Problemi degli HMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35611.12.2Risoluzione dei problemi degli HMM . . . . . . . . . . 357

11.13Altri tipi di processi stocastici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36211.13.1Medie di insieme e medie temporali . . . . . . . . . . 36311.13.2Processi stocastici stazionari . . . . . . . . . . . . . . 36511.13.3Processi stocastici ergodici . . . . . . . . . . . . . . . 36611.13.4Funzioni di correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 36611.13.5Autocorrelazione e spettro di potenza . . . . . . . . . 37011.13.6 Il rumore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

11.14Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

12 Elaborazione numerica dei segnali 37712.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37712.2 Filtri analogici e filtri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

12.2.1 Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37812.2.2 Tipi di filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37912.2.3 Studio dei filtri nel dominio del tempo . . . . . . . . . 38412.2.4 Convoluzione e risposta impulsiva di un filtro . . . . . 38512.2.5 Equazioni di!erenziali ed equazioni alle di!erenze finite38612.2.6 Filtri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38712.2.7 Progetto di filtri numerici . . . . . . . . . . . . . . . . 38912.2.8 Coe"cienti dei filtri di uso piu comune . . . . . . . . . 39512.2.9 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39912.2.10Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

12.3 La trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40312.3.1 Funzioni generatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40312.3.2 Trasformata z di una successione . . . . . . . . . . . . 40512.3.3 Convergenza della trasformata z . . . . . . . . . . . . 40912.3.4 Rappresentazione con zeri e poli . . . . . . . . . . . . 41112.3.5 Esempi e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41312.3.6 Stabilita dei sistemi discreti . . . . . . . . . . . . . . . 417

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12.3.7 Rapporti con la trasformata di Laplace . . . . . . . . 41812.4 La trasformata discreta di Fourier (DFT) . . . . . . . . . . . 420

12.4.1 DFT e trasformata z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42012.4.2 Caratteristiche e significato della DFT . . . . . . . . . 42112.4.3 Trasformata veloce di Fourier (FFT) . . . . . . . . . . 424

12.5 Filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43312.5.1 Filtri FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43412.5.2 Strutture fondamentali dei filtri FIR e IIR . . . . . . . 43512.5.3 Tecniche di progetto dei filtri FIR . . . . . . . . . . . 441

12.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.7 Cenni sui segnali aleatori discreti . . . . . . . . . . . . . . . . 451

12.7.1 Modelli probabilistici discreti . . . . . . . . . . . . . . 45112.7.2 Il problema della stima e della predizione . . . . . . . 45312.7.3 Le equazioni di Yule-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 45412.7.4 Filtri di Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

12.8 Esercizi e complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45612.9 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

13 Metodi di sintesi 45913.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.2 Sintesi additiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46013.3 Modulazioni (AM, FM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

13.3.1 Modulazione di ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . 46313.3.2 Modulazione di frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . 466

13.4 Distorsione non lineare (Waveshaping) . . . . . . . . . . . . . 48113.4.1 Polinomi di Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 48213.4.2 Non linearita e polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 48313.4.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

13.5 Sintesi sottrattiva, Cross Synthesis, convoluzione . . . . . . . 48713.6 Sintesi granulare, per formanti e Wavelet . . . . . . . . . . . 494

13.6.1 Rappresentazione quantica dei segnali . . . . . . . . . 49513.6.2 La sintesi granulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50813.6.3 La sintesi per formanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51213.6.4 Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

13.7 Linear prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52713.8 Sintesi per modelli fisici (Physical modeling) . . . . . . . . . . 534

13.8.1 Guide d’onda digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53513.8.2 Algoritmo di Karplus-Strong . . . . . . . . . . . . . . 54113.8.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

13.9 Altri metodi di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

12 Indice

13.10Esercizi e conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55213.10.1Esercizi in Csound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55213.10.2Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

14 Appendice A 55514.1 Equazioni di 1o grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

14.1.1 Esercizi (Equazioni di 1o grado) . . . . . . . . . . . . . 55614.2 Sistemi di equazioni e geometria . . . . . . . . . . . . . . . . 559

14.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56414.3 Equazioni di 2o grado e disequazioni . . . . . . . . . . . . . . 564

14.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

15 Appendice B 56915.1 Il numero di Nepero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56915.2 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57115.3 Formule di Eulero (esponenziali complessi) . . . . . . . . . . . 57515.4 Progressioni e serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576

15.4.1 Progressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57615.4.2 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

15.5 Cenni sulle funzioni complesse di variabile complessa . . . . . 57915.6 Regole di derivazione di funzioni piu variabili . . . . . . . . . 582

16 Appendice C 58516.1 Le leggi di Newton e il principio di D’Alembert . . . . . . . . 585

16.1.1 Principio di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . 58616.2 Molle e attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58616.3 Elettricita e magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

17 Riferimenti bibliografici e Indice analitico 593Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

Prefazione

Il progetto di quest’opera e nato grazie all’incitamento del compianto Ric-cardo Bianchini e a lui e dedicata. Agli inizi di questo millennio, chiamatoda Riccardo, ho iniziato la docenza di Elementi di Matematica e Informaticamusicale nell’ambito di quello che, allora, era il triennio sperimentale di Mu-sica elettronica presso il Conservatorio di S. Cecilia a Roma. Data la novitadi un tale insegnamento, Elementi di Matematica, in un Conservatorio, i-stituzione che allora si avviava a essere equiparata all’Universita, subito ci sie resi conto della necessita di fornire agli studenti la possibilita di disporre dimateriale didattico specifico che non era presente sul mercato. Ho iniziatoun lavoro informale aprendo un sito web in cui venivano inserite le lezioniche di volta in volta svolgevo in aula. Alla fine del primo Anno Accademicoci siamo ritrovati con un “pacchetto” corposo di lezioni che, nell’anno suc-cessivo, e stato sistemato diventando la prima parte delle dispense del corsodi Elementi di Matematica; in questa prima parte venivano trattati concettifondanti della Matematica e molti argomenti che fornivano un’applicazionedi semplici modelli matematici alla Musica; ad esempio, oltre all’Insiemisticavenivano trattate le funzioni reali, la Trigonometria, le successioni e i limitioltre a molti esercizi che, in buona parte, fornivano interessanti applicazionimusicali. Nell’anno successivo sono state terminate le dispense del corsoincludendo l’Analisi matematica, ovvero derivate e integrali, e un ricco capi-tolo sull’Analisi di Fourier. E stato a questo punto che ci e venuta l’idea diespandere le dispense per arrivare a un libro di testo con molti altri capitolidi argomenti avanzati, quali equazioni di!erenziali, Calcolo delle probabilita,Elaborazione numerica dei segnali e, per finire, una trattazione completa deiprincipali Metodi di sintesi. Nella sistemazione attuale sono state aggiuntetre appendici contenenti argomenti di base che, nell’intenzione di chi scrive,dovrebbero rendere autosu"ciente la lettura del testo; per eventuali appro-fondimenti, comunque, non manca una ricca bibliografia.Quest’opera e naturalmente destinata agli studenti dei corsi di Musica elet-tronica dei Conservatori ma anche a tutti gli studenti universitari in disci-

13

14 Prefazione

pline tecnico-scientifiche interessati ai modelli matematici del suono e dellaMusica; ovviamente, il testo puo essere letto da chiunque sia interessato,o e semplicemente curioso, alle tematiche trattate dato che non richiedeuna preparazione specifica di base; infatti, nella prima appendice vengonorapidamente esposti argomenti elementari a partire dal calcolo letterale edequazioni di primo grado. Inoltre, la nostra speranza e quella di dare un pic-colo contributo al superamento di quella che potremmo definire “paura dellaMatematica”, tipica della cultura italiana, di cui ancora molti so!rono; uninsegnamento di Matematica in una istituzione come il Conservatorio, oltrea fornire degli strumenti insostituibili al professionista del settore, serve an-che per far “riappacificare” Arte e Scienza, cosa che, ormai, e irrinunciabile.Voglio, infine, ringraziare tutti coloro che, direttamente o indirettamente,hanno contribuito alla lunga gestazione di quest’opera. Naturalmente, ilprimo, e piu sentito, ringraziamento va a Riccardo Bianchini senza il qualenon ci sarebbe stata neanche l’idea di questo libro. Voglio, poi, ringraziaretutti gli studenti che, utilizzando le dispense fino ad oggi, hanno fatto da“cavie” sulla comprensibilita del testo. Un ringraziamento speciale va, poi,a David Barlattani, Domenico De Simone, Patrizia Paciulli, e tanti altri.Infine, voglio esprimere la mia riconoscenza a Giorgio Nottoli che mi ha ap-poggiato in questo mio lavoro.

Stefano Petrarca, 2009

Capitolo 1

Insiemistica e Logica

L’Insiemistica e un’area molto teorica e astratta della Matematica e trat-ta di concetti primitivi e fondanti per la maggior parte delle branche del-la Matematica stessa; essa fornisce un linguaggio comune alle varie teoriematematiche e concetti di base da cui far partire le catene deduttive checostituiscono i teoremi di cui si compone. La teoria degli insiemi, in campomusicale, e stata evocata sorprendentemente nella pitch-class set analysissviluppata originariamente da Allen Forte negli Stati Uniti nei primi anni’70 ed esposta nel libro The Structure of Atonal Music; la parola inglese setusata in contesto matematico si traduce proprio con insieme. Questa teoriaanalitica e stata sviluppata per poter disporre di un metodo per analizzarei lavori atonali non dodecafonici dei compositori della prima meta del Nove-cento e fa uso (in maniera un po’ ingenua, forse) del concetto matematicodi insieme. Gli elementi di questi insiemi, le classi di altezze, costituisconoil fondamento per un metodo di ricerca delle connessioni profonde tra i ma-teriali sonori esposti nei brani atonali. In realta la pitch-class set analysis eun miscuglio di tecniche matematiche che va oltre la semplice applicazionedella teoria degli insiemi ma coinvolge le teorie combinatorie, le successioni,i vettori, le matrici, etc. Dopo le definizioni teoriche, che certo risulterannomolto astratte, saranno descritti con maggior dettaglio alcuni aspetti diquesto metodo analitico in modo da avere un riscontro pratico dei concettiappresi.

15

16 Insiemistica e Logica

1.1 Insiemi e numeri

1.1.1 Insiemi

Diagrammi di Venn Elementi di un insieme

A e B sono insiemi, cioe aggregati primitivi di oggetti di qualsiasi natura.Il simbolo ! sta per appartiene a ...: nella figura, infatti, c e un elementodi A. I diagrammi di Venn, che sono molto usati in questo ambito, sonocomposti da ellissi (che rappresentano gli insiemi) di varie forme, misuree colori combinate fra loro in modo da evidenziare graficamente proprietae relazioni tra insiemi. Quando si vogliono evidenziare singoli elementi diun insieme si inseriscono, anche disordinatamente, all’interno della relativaellisse dei punti contrassegnati da un simbolo. E possibile combinare traloro piu insiemi tramite alcune operazioni di base.

1.1 Insiemi e numeri 17

1.1.2 Operazioni fra insiemi

Unione Intersezione

Inclusione Complemento (es. 1)

Complemento (es. 2) Prodotto cartesiano

Nei diagrammi di Venn soprastanti sono mostrate le operazioni fondamentaliche si possono e!ettuare fra insiemi; sotto ogni grafico viene mostrato ilsimbolo corrispondente all’operazione descritta. Nel primo caso (Unione)l’insiemeC e costituito dagli elementi diA e dagli elementi diB. Nel secondocaso (Intersezione) l’insieme C e formato solo dagli elementi comuni ad Ae B. Nel terzo, C e contenuto in A e, quindi, e costituito da alcuni elementidi A; C viene anche chiamato sottoinsieme di A. Nel quarto e quinto caso(Complemento) l’insieme C e costituito dagli elementi di A che non fannoparte di B (nell’es. 2, A viene chiamato insieme universo). Nel sestocaso (Prodotto cartesiano) l’insieme C e formato da coppie distinte dielementi di A e di B.


1.1.3 Alcune definizioni

Insieme vuoto Applicazione fra insiemi

Un insieme che non ha elementi viene definito insieme vuoto; ad esempiol’interserzione di due insiemi che non hanno elementi in comune e un insiemevuoto (v. figura). Si dice che esiste un’applicazione f fra gli insiemi A e Bquando e definita una legge che associa un elemento a ! A ad un elementob ! B.

1.1.4 Quantificatori

Nella trattazione che seguira si fara molto uso di simbolismi compatti perindicare concetti molto comuni nelle teorie matematiche. Il primo e quellodi esistenza: ad es., di un numero, una proprieta, o, comunque, un oggettomatematico qualsiasi; il secondo e quello di totalita: molto spesso una pro-prieta di un’entita matematica e vera se e verificata per tutti gli oggetti chead essa si riferiscono. Per indicare operativamente questi due concetti si u-sano i quantificatori . Il primo, il quantificatore esistenziale, definisce unaproposizione in cui si a!erma che esiste almeno un oggetto dotato di unacerta proprieta; nell’esempio mostrato nella tabella sottostante si a!ermache esiste almeno un x appartenente all’insieme A. Il secondo, il quantifi-catore universale, definisce una proposizione in cui si a!erma che tuttauna categoria di oggetti gode di una certa proprieta (ad es. tutti gli x cheappartengono ad A).

Esistenziale Universale"x ! A #x ! A

Esiste un x appartenente all’insieme A Per ogni x appartenente all’insieme A

1.1.5 Insiemi finiti e infiniti

Molto spesso e utile conoscere quanti elementi possieda un insieme e se ques-ta quantita sia finita o no. Si definisce cardinalita il numero di elementi


di un insieme. Per determinare, in maniera ingenua, la cardinalita di uninsieme basta contare i suoi elementi; se il conteggio ha un termine alloral’insieme e finito; se non e possibile enumerare manualmente gli elementidell’insieme perche non si raggiunge mai un limite superiore allora l’insiemee infinito; ad esempio, per l’insieme dei numeri naturali dell’esperienzaquotidiana, 1,2,3,... non puo esistere un limite superiore: infatti se per as-surdo esistesse un tale numero N , per definizione e costruzione stessa dinumero naturale esisterebbe anche N+1, N+2, .... che contraddice l’ipote-si di partenza. In quest’ultimo caso e ancora possibile parlare di cardinalitadell’insieme anche se riferita a una quantita infinita: si definisce, a questoscopo, il concetto di potenza, ovvero l’entita dell’infinito che risulta dallaproprieta dell’insieme a cui si riferisce. Due insiemi si dicono equipotentise hanno la stessa potenza. L’insieme dei numeri naturali ha la cosiddet-ta potenza del numerabile; l’insieme dei punti che formano una retta (oanche solo un segmento) ha la cosiddetta potenza del continuo che e mag-giore della potenza del numerabile (da questo si intravede una gerarchia trainfiniti). Piu rigorosamente, un insieme e infinito se esiste un suo sottoin-sieme ad esso equipotente. Per definizione, un sottoinsieme B dell’insiemeA e costituito da elementi di A: pertanto, se A e finito e con cardinalitaN, il sottoinsieme B avra una cardinalita minore di N. Se, invece, l’insiemee infinito, ad es. l’insieme dei numeri naturali (che si indica con il simbolo

), possiamo costruire un suo sottoinsieme B, ad es. l’insieme dei numerinaturali pari, ad esso equipotente: infatti, B gode delle stesse proprieta

di poiche, se proviamo a fissare un limite superiore per B, ad es. K,vedremo subito che possiamo sempre avere K + 2, K + 4, K + 6, etc.

1.1.6 Definizione esplicita di insiemi

Un insieme e individuato dai suoi elementi e, quindi, e importante conoscerela loro natura. La maniera piu semplice di definire un insieme e racchiu-dere in una coppia di parentesi gra!e una lista di tutti gli elementi che locompongono (v. tabella sottostante); questa metodologia e possibile solo sesi tratta di un insieme finito. Se non e possibile o e scomodo eseguire taleelencazione, un insieme puo essere definito evidenziando una sua proprieta.In questo contesto il simbolo $ indica e definito ..., mentre il simbolo :significa tale che ...


Per elencazione Per proprietaA $ {DO,RE,MI,FA,SOL,LA,SI} A $ {x: x e una nota della scala di DO maggiore}

B $ {1, 2, 3, 4, 5, 6} B $ {x: x ! ; x < 7}

1.1.7 Un esempio: l’analisi musicale insiemistica

Date le sue caratteristiche, cui accenneremo tra poco, questo metodo analiti-co si applica a sistemi musicali dotati di un numero finito di elementi dacombinare; in particolare l’ambito di indagine e limitato alle altezze in uncontesto temperato e con intervalli minimi equalizzati. Il contesto a cui,ovviamente, Allen Forte pensava era quello della scala temperata occiden-tale che divide l’ottava in 12 intervalli uguali (i semitoni). Nulla vieta diestendere il metodo a sistemi basati su divisioni arbitrarie dell’ottava in nintervalli purche equalizzati.Il metodo analitico consiste nel cercare le relazioni profonde che legano fraloro insiemi di classi di altezze (pitch-class set) diverse. Una classe dialtezze e una nota della scala temperata definita indipendentemente dall’ot-tava di appartenenza; ad esempio, l’accordo

Es. 1a

eliminando note ripetute (anche su ottave diverse) e riportando il DO#nell’ottava che contiene le altre due note (in modo che tutte le note sianoraggruppate in una unica ottava), viene ridotto a

Es. 1b

prima di costruire il relativo insieme di classi di altezze.Le note della scala vengono denotate con numeri naturali estesi, cioe ap-partenenti a N%{0} (v. prossimo paragrafo), in modo che il DO corrispondea 0, DO# a 1, RE a 2 e cosı via fino a 11 che rappresenta il SI. Chiariamosubito questo punto con qualche esempio; l’accordo

Es. 2


e rappresentato dall’insieme [0,1,6,7] (nella trattazione originaria di Fortevengono usate le parentesi quadre per indicare un insieme di classi di altezze;in tale contesto verra mantenuta la stessa convenzione). Il frammento

Es. 3

corrisponde all’insieme [0,1,3,5,6,7,9]. Naturalmente, la scala temperata con-sente di trattare l’enarmonia in maniera semplice: pertanto, DO# sara iden-tico a REb, etc. Cio che conta e la distanza in semitoni dal primo elementodell’insieme (0). La scala temperata permette anche di trattare in manieraequivalente insiemi uguali per trasposizione; in altre parole, un certo insiemedi classi di altezze sara invariante rispetto alla trasposizione; in questo caso,la prescrizione e che l’elemento piu piccolo dell’insieme deve essere sempre0; cio significa che si dovranno trasporre le note dell’insieme di una quantitatale che la nota piu bassa sia DO mantenendo inalterati i rapporti intervallariinterni; ad esempio

sara equivalente, per trasposizione, a

e l’insieme risultante sara, nuovamente, [0,1,6,7] che viene, quindi, chiamatoforma primaria (in realta la costruzione della forma primaria e un po’piu complicata ma i dettagli dell’operazione esulano dagli scopi di questoesempio).Nel suo libro, Allen Forte cataloga tutti i possibili insiemi di classi di altezzeraggruppandoli per cardinalita. Le cardinalita significative per l’analisi sonoquelle che vanno da 3 fino a 9 (quando si trattera la matematica combinato-ria sara piu chiaro il motivo di questa scelta); ogni insieme e contraddistintoda una coppia di numeri separati da un trattino: il primo esprime la cardi-nalita dell’insieme, il secondo la posizione all’interno della lista di insiemi diuguale cardinalita. La tabella nella pagina successiva contiene i 208 insiemicatalogati da Forte, divisi in categorie relative alla cardinalita.Cosı come sono definite le classi di altezze vengono introdotte le classi di


intervalli: anche in questo caso si opera una drastica riduzione tenendo an-che conto del disordine con cui sono costruiti gli insiemi di classi di altezze;in questo caso, ad esempio, un intervallo di quinta (FA-DO = 7 semitoni)diventa indistinguibile dal suo rivolto (DO-FA = 5 semitoni) poiche formatocon le stesse classi di altezze. Le classi di intervalli possibili sono dunque 6 seimponiamo la regola che tra i 2 rivolti si sceglie sempre l’intervallo formatodal numero minore di semitoni.Ogni forma primaria di un insieme di classi di altezze ha un suo contenuto in-tervallare che viene esplicitato dal cosiddetto vettore intervallare: questoe formato da 6 cifre giustapposte ognuna delle quali, in una posizione de-terminata dall’ampiezza dell’intervallo (la prima posizione per i semitoni,la seconda per i toni interi, la terza per le terze minori, etc.), esprime ilnumero di occorrenze del relativo intervallo all’interno dell’insieme di clas-si di altezze considerato. Ad esempio, il solito [0,1,6,7] contiene i seguentiintervalli: 2 semitoni, una quarta, 2 tritoni, una quinta (che, per la regolaesposta precedentemente, diventa una quarta): il suo vettore intervallaresara, dunque, (200022).Due distinti insiemi di classi di altezze si dicono z-correlati se condividonolo stesso vettore intervallare, cioe se, pur essendo diversi, hanno lo stessocontenuto intervallare. Per indicare che un insieme e z-correlato si pone una’z’ dopo il trattino che, nell’identificatore dell’insieme, separa la cardinalitadalla posizione nell’elenco. Ad esempio [0,1,3,7] e z-correlato con [0,1,4,6](la dimostrazione di questo e altri esempi presenti nella tabella degli insiemiviene lasciata come esercizio).


Agli insiemi di classi di altezze e possibile applicare le operazioni fra insiemigenerici che abbiamo gia visto precedentemente (unione, intersezione, com-plemento, inclusione, etc.) per ottenere nuovi insiemi correlati. Vediamoqualche esempio:

• l’insieme dell’esempio 1b (3-5 $ [0,1,6]) e in relazione di inclusionecon quello dell’es. 2 (4-9 $ [0,1,6,7]); cioe, 3-5 & 4-9, il che stabilisce


una correlazione molto forte tra i due insiemi;

• l’intersezione tra l’insieme 7-28 $ [0,1,3,5,6,7,9] dell’es. 3 e quellodell’es. 2 (4-9) e di nuovo l’insieme 4-9 $ [0,1,6,7] = 7-28 ' 4-9;

• l’unione fra gli insiemi 3-11 $ [0,3,7] (la triade minore) e 3-5 $ [0,1,6]e l’insieme 5-19 $ [0,1,3,6,7] = 3-11 % 3-5;

• il complemento dell’insieme 5-1 $ [0,1,2,3,4] rispetto l’insieme uni-verso U $ [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] e [5,6,7,8,9,10,11] che, opportuna-mente trasposto, diventa 7-1 $ [0,1,2,3,4,5,6] = U \ 5-1.

Per terminare questa breve trattazione dei fondamenti della pitch-class settheory accenniamo al concetto di complesso (set-complex K) e sottocom-plesso di insiemi (set-complex Kh) e di insieme cardine (nexus set);l’insieme cardine e forse l’oggetto piu importante che si cerca nell’analisidi un brano poiche permette di trovare le relazioni strutturali profonde chelegano parti anche lontane di un’opera; il complesso K e un raggruppamen-to formato da tutti gli insiemi che sono contenuti nell’insieme cardine onel suo complemento mentre il complesso Kh e formato da tutti gli insiemicontenuti sia nell’insieme cardine che nel suo complemento. Vediamo unesempio: l’insieme 3-7 ( [0,2,5] ) fa parte del complesso K imperniato su 8-8([0,1,2,3,4,7,8,9] ) o su 4-8 ( = U \ 8-8 $ [0,1,5,6] ); per rendere evidente talea!ermazione si esegue il mapping , ovvero si traspone e/o si inverte l’insiemefino a trovarlo nell’insieme cardine o nel suo complemento; infatti, se, ad es-empio, trasponiamo 3-7 di un tono otteniamo [2,4,7] & 8-8, ma altresı [2,4,7](& 4-8. Se invece consideriamo l’insieme 3-5 ( [0,1,6] ) vediamo subito che 3-5& 4-8 ( [0,1,5,6] ) e 3-5 & 8-8 se e!ettuiamo il mapping trasponendo 3-5 diun semitono (ottenendo [1,2,7] ): in questo caso 3-5 fa parte del complessoKh imperniato su 8-8. Possiamo vedere queste correlazioni in notazione:


Nei prossimi capitoli si tornera sulla teoria di Forte per esemplificare con-cetti matematici correlati. In ogni caso si rimanda alla bibliografia per unatrattazione approfondita dell’argomento. Per concludere, possiamo dire chela pitch-class set theory non e un tentativo di matematizzare la musica datoche, come si e potuto vedere da questi brevi cenni, tocca solo la superficiedei concetti matematici che impiega; inoltre, per poter condurre un’analisimusicalmente significativa e necessario operare una segmentazione del bra-no da studiare che permetta di individuare gli insiemi dalle cui mutue re-lazioni sia possibile estrarre la sua struttura profonda: e questo e un compitosquisitamente musicale.

1.1.8 Insiemi numerici

Le entita trattate dalle teorie matematiche sono, nella maggioranza dei casi,numeri o oggetti a cui si possono far corrispondere entita numeriche. Pertan-to risulta indispensabile definire tutti i possibili insiemi composti da numeridandone una caratterizzazione chiara e un ambito definito. Il primo e piusemplice insieme numerico e quello dei numeri naturali (v. tabella sotto);questo puo essere caratterizzato molto semplicemente definendo un solo ele-mento e una regola di costruzione: l’unico elemento e il numero 1 e la regolastabilisce che un generico elemento e ottenuto sommando al predecessorel’elemento di partenza (cioe 1). Molto spesso si usa una versione allargata

di comprendente anche l’elemento 0 (introdotto nella Matematica oc-cidentale durante il Medioevo dagli Arabi che, a loro volta, lo presero in

prestito dalla Matematica indiana) e si indica, con ovvio simbolismo, %0.L’insieme dei numeri interi relativi (detti anche semplicemente interi) ecomposto dai numeri naturali, lo 0 e i simboli + e - che, posti davanti alnumero, indicano la sua posizione relativa allo 0; l’insieme degli interi si

indica con ed e, ovviamente, equipotente a .

L’insieme dei numeri razionali (indicato con il simbolo ) e formato datutti i quozienti di divisioni tra coppie di numeri interi; si puo dimostrare

che e equipotente a e, quindi, ha la potenza del numerabile.L’insieme dei numeri irrazionali e formato da tutti i numeri con virgola(non interi) che non possono essere espressi come rapporto tra interi. Il piunoto numero irrazionale e, forse, !; ma anche tutti i risultati non interi del-l’operazione di radice n )ma (n (= 1) sono numeri irrazionali (ad es.

*2);

possiamo, sulla base di questi due esempi, dividere i numeri irrazionali inalgebrici quando provengono dall’applicazione di un’operazione algebrica


(come la radice) e trascendenti quando non esiste nessuna operazione al-gebrica in grado di generarli (come !). Vedremo piu avanti che i numeritrascendenti si ottengono, molto spesso, con un’operazione di passaggio allimite. La cardinalita dell’insieme degli irrazionali e la potenza del continuo.

L’insieme dei numeri reali (indicato con ) e quello che contiene tutti i nu-meri immaginabili, ovvero e definito come l’unione dell’insieme dei numerirazionali con quello degli irrazionali (v. tabella sottostante). La sua potenzae, ovviamente, quella del continuo.Infine, esiste l’insieme dei numeri complessi formato da coppie di numerireali: il primo della coppia viene chiamato parte reale, il secondo parteimmaginaria e si suppone moltiplicato, per definizione, alla cosiddettaunita immaginaria " (" =

*)1).

Naturali Interi

x ! x !$ {x : x = 1, 2, 3, ...} $ {x : x = ...,)2,)1, 0, 1, 2, 3, ...}

Razionali Irrazionali

x ! x ! I$ {x : x = p/q; q (= 0; p, q ! } I $ {x : x (= p/q;x /! }

Reali Complessi

x ! x !

$ % I $ {x : x = a+ "b; a, b ! ; "2 = )1}

E’ ovvio che & & & & .

1.1.9 Intervalli

Un qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerico viene chiamato intervallo;nella maggior parte dei casi si usa questo termine per indicare un sottoin-

sieme di . L’importanza del concetto di intervallo sara piu chiara quandoparleremo di funzioni reali di variabile reale. Un intervallo e caratterizzatoda un limite inferiore e da uno superiore; tutti gli elementi dell’intervallosono compresi tra questi due limiti. Un intervallo si dice aperto quandonon contiene i suoi due limiti (inferiore e superiore); e chiuso quando, in-vece, contiene anche i due limiti; e aperto-chiuso quando contiene il limitesuperiore ma non quello inferiore e chiuso-aperto quando contiene l’infe-


riore e non il superiore. La tabella sottostante mostra anche i simbolismiadottati per rappresentare tali caratterizzazioni.

Aperto ChiusoA $ (a, b) A $ [a, b]

A $ x : x ! ; a < x < b A $ x : x ! ; a ! x ! bAperto-chiuso Chiuso-aperto

A $ (a, b] A $ [a, b)

A $ x : x ! ; a < x ! b A $ x : x ! ; a ! x < b

a, b ! ; ad esempio 3 ! (2, 4]; 2 /! (2, 4].

1.1.10 Intervalli e geometria

L’insieme dei numeri reali ( ) puo essere messo in relazione con una retta;

un certo numero reale x ! e rappresentato da un ben determinato puntosulla retta

e viceversa, cioe un punto sulla retta e associato ad un singolo e precisonumero reale; si dice, in questo caso, che esiste una corrispondenza biu-

nivoca fra gli elementi di e i punti sulla retta. Un intervallo e analogoa un segmento; un punto x ! [a, b] e associato a un ben preciso punto in-terno al segmento e, come sempre, viceversa cioe un punto del segmentocorrisponde a uno e un solo numero reale

L’insieme dei numeri complessi (a+ "b ! ) e rappresentabile con un pia-no in cui sia definito un sistema di assi cartesiani (2 rette di riferimentoperpendicolari fra loro che si incontrano in un punto che convenzionalmentesi indica con 0): sulle ascisse (l’asse orizzontale) troviamo la parte reale(a, cioe la parte non moltiplicata per l’unita immaginaria ") mentre sulleordinate (l’asse verticale) troviamo la parte immaginaria (b, ovvero il

fattore che moltiplica l’unita immaginaria "); un numero complesso x ! ,dunque, e rappresentato con un punto sul piano (all’incrocio dei segmenti,perpendicolari fra loro e paralleli agli assi cartesiani, che partono dai puntia e b).


1.1.11 Esempio: continuum di frequenze e scale musicali

La frequenza e una grandezza associata al fenomeno fisico dell’oscillazione;questa e legata al concetto di ciclicita e di ripetizione: l’esempio che megliochiarisce questo concetto e un punto che si muove su una circonferenza;dopo aver percorso l’intera circonferenza il punto si ritrova alla posizionedi partenza per compiere un nuovo giro e cosı via. Ogni giro che e!ettuail punto e un’oscillazione: il numero di volte che il punto percorre un girointero, quindi un’oscillazione, nell’unita di tempo e la frequenza. Sappiamoche i fenomeni acustici (ad es., il suono degli strumenti musicali) sono rap-presentabili in termini di oscillazioni piu o meno complesse; un’importantecaratteristica di queste oscillazioni e proprio la frequenza: ad es., pestandoil DO centrale di un pianoforte otteniamo un’oscillazione, dovuta alla per-cussione della relativa corda, la cui frequenza e circa 261.6 Hz (lo Hertz el’unita di misura della frequenza e si esprime in cicli/secondo). L’altezzadi un suono e legata direttamente alla frequenza della relativa oscillazionee, pertanto, ogni nota e caratterizzata da una certa frequenza; inoltre unanota piu alta di un’ottava di un’altra ha una frequenza esattamente doppiarispetto a quest’ultima. Una scala musicale si costruisce proprio suddividen-do l’ottava in un certo numero di parti: ad es., la scala temperata occidentalesi ottiene dividendo l’ottava in 12 parti ognuna di grandezza perfettamenteidentica alle altre; questo fatto e il risultato di un’astrazione matematicadato che la costruzione delle scale naturali, che non presentano la regolar-ita della nostra scala temperata, dipende, invece, anche da considerazioniacustiche e psicoacustiche. Ogni parte in cui e suddivisa l’ottava e, come sisa, il semitono che e relativo a 2 note contigue della scala; il rapporto tradue note adiacenti della scala e 12

*2 = 1,0594630943592952645618252949463

(la ragione di cio sara piu chiara dopo la lettura dei prossimi capitoli e di

1.2 Cenni di Logica 29

alcuni testi della bibliografia) e il punto di riferimento e il LA3 del diapasonche ha frequenza 440 Hz: tutte le note possibili sono generate da questi soli2 numeri. La tabella sottostante mostra le frequenze (arrotondate) di unascala completa dell’estensione di un’ottava a partire dal LA3

LA3 LA#3 SI3 DO4 DO#4 RE4 RE#4 MI4 FA4 FA#4 SOL4 SOL#4 LA4

440 466 494 523 554 587 622 659 698 740 784 830 880

Forse puo essere piu semplice capire la di!erenza fra un sottoinsieme di e

uno di (che sono intervalli numerici da non confondere con gli interval-li musicali) confrontando scale musicali e ambiti di frequenza: l’intervallo

[440,880] & contiene un numero finito (12) di frequenze diverse mentre

l’intervallo [440,880] & contiene infinite frequenze diverse, cioe quelle del-la scala piu tutte quelle che sono comprese tra queste ultime. La figura quisotto esemplifica questa situazione

(il fatto che il grafico della scala assomigli proprio a una scaletta e solo unacoincidenza?). Comunque, si puo interpretare la coppia di grafici a!ermandoche la scala e una discretizzazione di un ambito frequenziale continuo; oppuresi puo vedere da questo la di!erenza che esiste fra un glissato (come si puoeseguire su un trombone) e una scala (come si puo eseguire su un pianoforte).

1.2 Cenni di Logica

Il campo di indagine della Logica, in particolare della Logica matematica,e costituito da tutte le proposizioni di cui si puo dire se sono vere o false o, intermini piu precisi, di quelle che sono contraddistinte dal fatto di assumereun determinato valore di verita scelto da un insieme di almeno 2 simbolicome {V, F} in cui, convenzionalmente, V sta per Vero e F per Falso. In


questo paragrafo verranno trattate le nozioni piu elementari della disciplinarimandando alla bibliografia per eventuali approfondimenti.Una proposizione logica, intuitivamente, e un’a!ermazione, e!ettuata inun determinato contesto, che puo essere vera o falsa; ad esempio, in un am-bito quotidiano, la proposizione il ca!e e amaro senza zucchero e vera; inambito musicale il violino e uno strumento a corde e vera mentre il trombonee uno strumento a corde e falsa; in ambito matematico l’area del quadratocostruito sull’ipotenusa e uguale alla somma delle aree dei quadrati costruitisui cateti e vera. Molto spesso non e cosı semplice determinare la veritao falsita di un’a!ermazione (come l’ultima proposizione data) e, pertanto,occorre costruire delle catene deduttive basate sul concetto di impli-cazione; data una proposizione logica A possiamo assegnare ad essa unvalore di verita dall’insieme {V, F}: si dice che A implica la proposizione B(e si scrive A + B, o, anche, in ambito non strettamente logico-matematico,A , B) se il valore di verita di B dipende da quello di A (cioe, B e ve-ra se anche A lo e, ma non, necessariamente, viceversa). Ad esempio, leproposizioni A $ sara bel tempo e B $ andro in campeggio possono esserecollegate tramite l’implicazione ottenendo A + B (in Italiano diventerebbe:se sara bel tempo allora andro in campeggio).Gli enunciati e i teoremi che vedremo fanno parte della cosiddetta Algebradi Boole che e la prima sistematizzazione in senso matematico della Logica.I risultati piu clamorosi della Logica matematica si sono avuti nella teoriadella dimostrazione che ha raggiunto il suo apice con l’ormai famosi-sissimo teorema di Godel che stabilisce che nessuna teoria matematicae autosu"ciente, ovvero che in qualsiasi teoria matematica esistono delleproposizioni che non si possono dimostrare in maniera univoca usando soloassiomi e teoremi di quella specifica teoria. Un altro importante risultatodella Logica matematica relativo allo studio dei fondamenti della Matema-tica e la teoria delle macchine di Turing che ha avuto il suo sviluppo piusorprendente nella fondazione dell’Informatica teorica.

1.2.1 Connettivi logici

Data una o piu proposizioni logiche se ne possono costruire di nuove combi-nando in vario modo quelle di partenza; per far cio occorre usare i connet-tivi logici tra cui quelli fondamentali sono:

• l’operatore non o negazione (l’inglese NOT) e un operatore unario,cioe si applica a una singola proposizione; anteponendo a questa ilsimbolo " , che indica, appunto, la negazione, si otterra una propo-sizione con valore di verita opposto. Ad esempio, data la proposizione


A $ il violino e uno strumento a corde con valore di verita V , applican-do la negazione otterremo una proposizione B = "A (che in italianocorrente si puo tradurre con il violino non e uno strumento a corde)con valore di verita F ;

• l’operatore e (AND) che si indica con il simbolo -; date 2 proposizioniA e B, applicando tale operatore otterremo una nuova proposizione C= A - B che ha un valore di verita V solo se entrambe le proposizionihanno valore V . Ad esempio, date A $ le corde del violino sono 4 e B$ le corde si suonano con l’archetto entrambe con valore di verita V ,allora la proposizione C = A - B (che in un italiano approssimativo sipotrebbe tradurre le corde del violino sono 4 e si suonano con l’archet-to) ha valore di verita V ; se fosse invece B $ le corde si suonano conla coulisse, chiaramente falsa, la proposizione C = A - B avrebbevalore di verita F nonostante A sia vera;

• l’operatore o (OR) che si indica con il simbolo .; date 2 proposizioniAe B, applicando tale operatore si otterra una nuova proposizione C =A . B che ha un valore di verita V se almeno una delle 2 proposizioniha valore V . Ad es., A $ le corde si suonano con la coulisse con valoredi verita F e B $ le corde si suonano con l’archetto con valore di veritaV , A . B avra valore di verita V perche, nonostante B sia falsa, A ecomunque vera (in italiano avremmo le corde si suonano con la coulisseo con l’archetto che, anche se suona un po’ insensata, e perfettamentevalida da un punto di vista logico);

• l’operatore aut (Exclusive-OR) che si indica con il simbolo /; se con-nettiamo 2 proposizioni A e B per mezzo di tale operatore avremo unrisultato con valore di verita V se A e B sono mutuamente esclu-sive, cioe se hanno valori di verita opposti (ovvero, se una e vera l’altradeve essere falsa e viceversa); e il significato della congiunzione latinaautaut (che si usa idiomaticamente anche in italiano per esprimere itermini di una di"cile scelta). Un esempio e l’espressione gergale omangi questa minestra o ti butti dalla finestra.

Si possono applicare a piacere e ripetutamente i connettivi per costruireproposizioni di qualsiasi grado di complessita. Ad es., date A $ le cordedel violino sono 4, B $ le corde si suonano con l’archetto e C $ le cordesi suonano pizzicandole, possiamo costruire la proposizione D = A - (B .C) che ha valore di verita V (e in italiano sarebbe le corde del violino sono4 e si suonano con l’archetto o pizzicandole).


1.2.2 Tabelle di verita

A ogni operatore logico si associa una tabella che riassume completamenteil suo comportamento in funzione dei valori di verita che possono assumerele proposizioni connesse; ad esempio, l’operatore unario negazione avra laseguente tabella di verita:

A "AV FF V

in cui l’ultima colonna contiene i possibili risultati conseguenti all’appli-cazione dell’operatore e le altre contengono una lista dei possibili valori diverita delle proposizioni da connettere; in questo esempio, nella prima colon-na sono presenti i 2 valori che puo assumere la proposizione A, nella secondai corrispondenti valori dopo l’applicazione del connettivo. In altre parole, seA e vera "A e falsa, se A e falsa "A e vera.Vediamo le altre tabelle di verita:Operatore AND

A B A - BV V VV F FF V FF F F

Operatore OR

A B A . BV V VV F VF V VF F F

Operatore XOR

A B A / BV V FV F VF V VF F F


1.2.3 Alcuni teoremi

Vediamo, prima di tutto, alcuni semplici e intuitivi teoremi:

a) ""A = A

b) " A - A = F

c) "A . A = V

d) A - A = A

e) A . A = A

Esistono poi alcuni teoremi che legano fra loro i principali operatori logicie che, quindi, permettono di ridurre il numero di operatori necessari; nevedremo solo alcuni.

1. "A -"B = "(A . B) (Leggi di De Morgan)

2. "A ."B = "(A - B)

(l’uso delle parentesi ha lo stesso senso di quello che ha in Algebra). Dalteorema 1 vediamo che l’operatore OR non e strettamente indispensabile:infatti, negando ambo i membri, otterremo A . B = "(" A - "B) il che si-gnifica che l’operatore OR puo essere espresso in termini di AND e di NOT.Generalizzando, possiamo a!ermare:

qualsiasi operatore logico puo essere rappresentato da un’opportuna com-binazione dei soli connettivi AND e NOT.

Come esempio verra mostrato come esprimere l’OR esclusivo usando soloAND e NOT. A questo scopo costruiamo la tabella di verita della propo-sizione C = "(A - B)

A B CV V FV F VF V VF F V

e quella della proposizione D = A . B


A B A / BV V VV F VF V VF F F

Se connettiamo C e D tramite un AND avremo

A B C - DV V FV F VF V VF F F

che e e!ettivamente la tabella della XOR; essa e rappresentata, dunque,dalla seguente proposizione:

A / B = "(A - B) - (A . B)

Ma, per il teorema 1, sappiamo che A . B = "("A - "B); pertanto

A / B = "(A - B) - "("A - "B)

che, appunto, esprime l’operatore XOR in termini di soli AND e NOT.

Matematica Per La Musica e Il Suono

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