Bruno D´Amore Epistemologia della

Matematica

Isabella PilanAndrea Dall´O´

Viola Anesin

Boezio

Paolo Dell´Abbaco

Leonardo figlio di Bonaccio (detto Fibonacci)

Pietro Ispano

Aritmetica e ProbabilitàQuanta matematica conosceva Dante?

Quale era la conoscenza matematica dei suoi tempi?

Quali erano le sue fonti?

Anicio Manlio Torquato Severino Boeziofilosofo, 480 - 525Scrisse De consolatione philophiae, pietra miliare dellaFilosofia medievale. Non solo Dante, ma anche Shakespeare, si formanofilosoficamente alla sua scuola.

Dante si riferisce alle riflessioni boeziane sulla caducità dei beni terreni, quando nel Paradiso (X, 124-129) alluderà a Boezio stesso, che l’ha iniziato alla filosofia: Par. X 124-129:

... … … … … … … … …. … …Per vedere ogni ben dentro vi godeL'anima santa, che 'l mondo fallaceFa manifesto a chi di lei ben ode.

Lo corpo, ond'ella fu cacciata, giaceGiuso in Cieldauro; ed essa da

martìro

E da esiglio venne a questa pace. ... … … … … … … … …. … …

Ma Boezio non si occupò solo di filosofia: traduce Euclide e scrive De Institutione Aritmetica. Le scienze del quadrivio sono per Boezio i quattro gradi che portano alla sapienza, la prima delle quali è l’Aritmetica.Egli sostanzialmente traduce il

greco Nicomaco, trattando di numeri primi e di numeri perfetti. La Rithmomachia (battaglia dei numeri) era un gioco da tavolo creato intorno all’anno 1000 da un monaco per aiutare gli studenti ad imparare le sequenze numeriche di Boezio.

Paolo dell’Abbaco

(Prato, 1282 – Firenze, 1374)

Insegna al figlio di Dante.

Introduce la virgola per raggruppare i gruppi di tre cifre nei numeri oltre le migliaia, ma la sua fama di matematico la deve soprattutto alle equazioni algebriche.

Paolo dell’Abbaco, Trattato d’Aritmetica, 47Un signore à un suo fante e mandalo nel giardino per 7 mele e dice: tu troverrai 3 portinai che ciaschuno ti dirà: io voglo la metà di tutte e due più di quelle che tti rimangnono dopo la divixione. Adomando quante che ne cholxe di prima volendo che ne gli rimanexxe sette.c

Pietro Ispano (Papa Giovanni XXI)

(Lisbona, 1210, Viterbo 1277)

Insegna a Dante l’efficacia del metodo euristico nelle scienze.

Muore, sembra, in seguito ad un esperimento con la polvere da sparo, nel palazzo papale di Viterbo: la volta della stanza gli crolla addosso.

E’ l’unico papa posto da Dante in Paradiso.

Si occupa di analisi linguistica, nell’ambito della formalizzazione dell’inferenza. Scrive le Summulae logicales (12 libri) nelle quali è codificata la pratica didattica di usare, a scopo mnemonico, vocali, parole e versi per designare i tipi di proposizione e di sillogismo.

Par. XII 134-135... … … … … … …

Pietro Spano, lo qual giù luce in dodici libelli… …. … …

Leonardo il Pisano, figlio di Bonaccio (Pisa, 1170 – Pisa, 1250)

Scrisse il Liber Abaci, introducendo per la prima volta in Europa le nove cifre (da lui chiamate indiane), assieme al segno 0, i criteri di divisibilità e le regole di calcolo di radicali quadratici e cubici. Introdusse con poco successo la barretta delle frazioni (nota al mondo arabo prima di lui) . E’ famosa la sua serie, detta appunto di Fibonacci.

21

13

              +8         

721

13

              +8         

7

« Ci sono nove figure degli indiani: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste nove figure, e con il simbolo 0, che gli arabi chiamano zephiro, qualsiasi numero può essere scritto, come dimostreremo. » (Liber abaci, inizio del primo capitolo)

Par. XXVIII 91-93:... … … … … … … … …. … …L’incendio suo seguiva ogni

scintilla;ed eran tante, che ‘l numero

loropiù che ‘l doppiar delli scacchi

s’immilla. ... … … … … … … … …. … …

La leggenda di Sissa Nassir: una ricompensa di 1,8447 10 39 chicchi di grano per l’inventore del gioco degli scacchi.Il numero d’angeli nascenti però s’immilla più del doppiar degli scacchi, cresce di 1000 volte ad ogni casella invece che raddoppiare… 10189 angeli!

Dante sapeva fare questi calcoli?

Purg. VI 1-3:... … … … … … … … …. … …Quando si parte il gioco della

zara,colui che perde si riman

dolente,repetendo le volte, e tristo

impara:... … … … … … … … …. … …

Strategia:N prob. % N prob. % 3 1/216 0.46% 11 27/216 12.50% 4 3/216 1.39% 12 25/216 11.57% 5 6/216 2.78% 13 21/216 9.72% 6 10/216 4.63% 14 15/216 6.94% 7 15/216 6.94% 15 10/216 4.63% 8 21/216 9.72% 16 6/216 2.78% 9 25/216 11.57% 17 3/216 1.39% 10 27/216 12.50% 18 1/216

0.46%

La logica è sempre stata considerata, come l’arte del buon ragionamento, parte della filosofia e della scienza, ma in particolare della matematica. Per i primi pensatori,

“logica” era tutto quanto serviva a ragionare in modo giusto, in particolare a

discernere il vero dal falso. Successivamente, da un punto di vista più matematico, la logica ha assunto il ruolo di insegnare a dedurre bene, cioè a ricavare

correttamente (secondo cioè regole “logiche”) le conclusioni dalle premesse. In

tale senso è logico chi è coerente con se stesso

Come si è sviluppato il pensiero filosofico nella Grecia antica per poi passare direttamente al 1600-1700 con

Leibniz.

AristoteleNato: 384 a.C. a Stagira, Macedonia, Grecia Morto: 322 a.C. a Calcide, Eubea, Grecia

Aristotele non fu essenzialmente un matematico, ma diede un importante contributo alla sistemazione della logica deduttiva. Scrisse anche di Fisica: alcune parti del suo Analytica posteriora mostrano un insolita padronanza dei metodi della matematica. Nel 335 a.C. Aristotele fondò una sua scuola, il Liceo, comprendeva oltre l’edificio e il giardino, la passeggiata o perípatos da cui prese il nome.

Zenone di Cizio Nato: 336 a.C. a Cizio, CiproMorto: 264 a.C. ad Atene, Grecia

Zenone e la scuola stoicaFondò la sua scuola nel Portico dipinto (Stoa portico in greco..) ad Atene intorno al 300 a.C.  Lo ricordiamo essenzialmente per due motivi:

fu il fondatore della scuola stoica fu il primo ad utilizzare il termine logica 

Il termine logica, (per Aristotele essa era l’analitica) deriva da logos che significa sia ragione che discorso.

Crisippo può ritenersi l’inventore dei connettivi logici e lo scopritore del

Calcolo proposizionale.

In quasi 2000 anni la logica non fa grandi passi in

avanti rispetto ad Aristotele e

Crisippo.

Gottfried Wilhelm von Leibniz Nato: 1 Lug 1646 a Lipsia (Germania) Morto: 14 Nov 1716 a Hannover ( Germania)

Leibniz formulò un suo sogno nei confronti della Logica:

“Quando sorgeranno delle controversie fra due filosofi, non occorreranno discussioni come non ne occorrono tra due contabili.

Basterà infatti prendere in mano la penna, un foglio di carta e dire: Calcoliamo!!”

Con  Boole e DeMorgan la logica e la matematica divennero strettamente intrecciate.

Par. VI 19-21:... … … … … … … … …. … …

Io li credetti; e ciò che ‘n sua fede era,

vegg’ io or chiaro sì, come tu vediogni contraddizion e falsa e vera.

... … … … … … … … …. … …

LogicaConversione di Giustiniano (482-565) ad opera di Agapito (papa dal 533 al 536): “ciò che io allora accoglievo come materia di fede [la dottrina ortodossa della duplice natura di Cristo], fidando nell’autorità di lui, ora lo vedo con la stessa chiarezza ed evidenza con cui tu intendi che, di due proposizioni che si contraddicono, una è necessariamente vera e l’altra falsa”

“Principio del terzo escluso”: dati due enunciati dei quali uno èla negazione dell’altro (A e non A) uno è vero e l’altro è falso.

Inf. XXVII 112-123:... … … … … … … … …. … …

Francesco venne poi, com’io fu’ morto,per me; ma un de’ neri cherubini

li disse: “Non portar: non mi far torto.Venir se ne dee giù tra’ miei meschiniperché diede il consiglio fraudolente,dal quale in qua stato li sono a’ crini;

ch’ assolver non si può chi non si pente,

né pentere e volere insieme puossiper la contraddizion che nol consente”.

Oh me dolente! come mi riscossiquando mi prese dicendomi: “Forsetu non pensavi ch’ io loico fossi”!

... … … … … … … … …. … …

Logica

…

assolvere non si può chi non si pente,

e non è possibile pentirsi peccando volontariamente

…

Narrata la vicenda di Guido da Montefeltro, convinto a peccare gravemente dal papa Bonifacio VIII.

Lo sventurato frate francescano, ex grande condottiero, Guido, narra a Dante la sua tragedia. Il papa lo convince al tradimento ma lo rassicura assolvendolo in anticipo. Guido si lascia convincere, pecca, e poi, anni dopo, muore.

Logica“Assolver non si può chi non si pente” significa che: “Ogni assolto è un pentito”; in termini di insiemi, se A è l’insieme degli assolti (validamente) e P quello dei pentiti: A Ì P :

“Né pentere e volere insieme puossi” significa che: “Nessun pentito è un peccatore volontario”; se con V indichiamo l’insieme dei peccatori consapevoli, abbiamo: P Ì VC (cioè P è incluso nel complementare di V):

Se ne deduce, con un banale sillogismo, che A Ì VC (V, cioè che l’insieme degli assolti è incluso nel complementare dei peccatori volontari o, meglio, che nessun assolto può essere un peccatore volontario.In modo più esplicito, se g è un elemento di A, allora è anche elemento di VC, cioè non è elemento di V.

BoezioBoezio

EuclideEuclidemaestri maestri d’abacod’abaco

AristoteleAristotele ArchimedeArchimede

Siamo nell’ultimo canto della Divina Commedia. Al termine del suo viaggio ultraterreno Dante di fronte al mistero della Trinità sperimenta la limitatezza della mente umana proprio come accade al geometra che studia il cerchio. In questo contesto il problema della quadratura si trasfigura nel rapporto uomo-divino per trovare una similitudine, una misura di paragone.

brisone

Dante sottintende “con riga e compasso” perché era a conoscenza della questione o perché cade in errore ?

Dante aveva letto Archimede?E se non lo aveva letto, conosceva i suoi

calcoli per sentito dire ?Accettava la misura di 22/7 molto diffuso al

tempo?E se afferma che tale rapporto non esiste,

come si misurano le bolge in Inf. XXIX 7-9Come mai non accetta il valore di Л suggerito

da Boezio?

Si sta discutendo se c’è contraddizione tra la sapienza perfetta di Adamo e di Cristo e la Sapienza di Adamo. Due esempi palesi di qualche cosa di falso perché contraddicono alla necessità logica.•Dalla fisica: è impossibile ci sia un moto primo, perché se c’è un moto allora c’è necessariamente una causa•Dalla geometria: è impossibile esista un triangolo inscritto in una circonferenza che non sia rettangolo perché se un triangolo è inscritto in una semicirconferenza allora questo è necessariamente rettangolo.

Dante incontrando il suo avo Cacciaguida gli dice di vederlo così elevato, così in alto con il suo spirito che egli riesce a vedere le cose del futuro così come le menti umane vedono con assoluta certezza che non possono esserci in un triangolo due angoli ottusi ( Euclide, teorema XVII , I libro degli Elementi, citato 17 volte in Aristotele)

Siamo nel Purgatorio, Dante procede, accompagnato da Virgilio, verso Occidente e la luce del sole cadente gli batte sul volto; ma ad un tratto una nuova luce, decisamente più abbagliante, si aggiunge: è la luce che proviene dall'angelo della mansuetudine che si fa incontro ai pellegrini per farli salire al girone superiore. La luce è così intensa che non è sufficiente schermarsi gli occhi con le mani, occorre girare la vista da un'altra parte.Ma, pur essendo luce riflessa, non è solare: è la luce che emana direttamente Dio a colpire, come raggio riflesso.

… Da questa obiezione può liberarti un esperimento, se una volta o l'altra tu lo vorrai provare, che è come una sorgente da cui traggono vita e vigore le vostre arti (le scienze umane).Dovrai prendere tre specchi; due li porrai alla stessa distanza da te, e l'altro, più lontano, incontrerà il tuo sguardo in mezzo agli altri due.

Rivolto verso di essi, fa' in modo che alle tue spalle ti stia un lume che illumini i tre specchi e ritorni a te riflesso da tutti.

Benché l'immagine del lume nello specchio più lontano non si estenda tanto in grandezza, vedrai però che risplenderà ugualmente.