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Elio GIROLETTI - Università di Pavia, Dip. Fisica nucleare e teorica

ESCLUSIVO USO DIDATTICO INTERNO - Matematica & dintorni

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elio girolettielio giroletti

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PAVIAdip. fisica nucleare e teorica

via Bassi 6, 27100 Pavia, Italy - tel. [email protected] - www.unipv.it/webgiro

matematica & dintorni matematica & dintorni MATEMATICA & FISICA MATEMATICA & FISICA -- elio giroletti elio giroletti -- 20052005

corso propedeuticocorso propedeuticodi di

MATEMATICA E FISICAMATEMATICA E FISICA

Classe Lauree diClasse Lauree diINFERMIERISTICA e OSTETRICIAINFERMIERISTICA e OSTETRICIA


• Introduzione • Simboli e linguaggio matematico• Proporzioni, potenze e notazione scientifica• Logaritmi• Equazioni di I° e II° grado• Sistemi di riferimento• Angoli, superfici e volumi• Percentuali• Funzioni lineari, esponenziali, trigonometriche

Lucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETTLucidi di D. SCANNICCHIO e P. MONTAGNA, rivisti da E. GIROLETTII



2

CL-INF/OST - PROPEDEUTICO – Matematica - 2003

TESTO CONSIGLIATO TESTO CONSIGLIATO PER IL PER IL

CORSO PROPEDEUTICOCORSO PROPEDEUTICO

Montagna P, Panzarasa A, Dalla matematica alla fisica: Dalla matematica alla fisica: richiami di matematica e richiami di matematica e semplici esercizi di fisica tra semplici esercizi di fisica tra scuola superiore e universitscuola superiore e universitàà,,ed. CLU, Pavia, 2003


FisicaFisica e e MedicinaMedicinaPerchPerchèè la la fisicafisica in in ambitoambito medico?medico?

Scienza = disciplina basata su fatti sperimentaliScienza esatta = scienza in grado di associare un errore

alle proprie previsioniEs. FISICA MEDICINA ASTROLOGIASCIENZA SI SI NOSCIENZA ESATTA SI NO NO

Fisica = dalla stessa causa discende stesso effettoMedicina = stessa causa può produrre diversi effettiIl “ponte” tra le due scienze è dato dalla statistica.Es. E’ impossibile prevedere la durata della vita (effetto) di un paziente affetto datumore (causa)E’ possibile stabilirne la probabilità di sopravvivenza sulla base dell’analisi statisticadi molti altri pazienti con lo stesso tumore.


MetodoMetodo scientificoscientifico

Metodo scientifico(sperimentale - galileiano)

•Elaborazione della teoria•Uso della matematica•Analisi statistica dei dati

•Esperimento riproducibilein ogni tempo e in ogni luogo

•Valutazione dell’errore



3


Matematicalinguaggio della Scienza

[Il libro della natura][Il libro della natura]…… non si può intendere se prima non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua, e conoscere i non si impara a intender la lingua, e conoscere i caratteri, necaratteri, ne’’ quali quali èè scritto. scritto. Egli Egli èè scritto in lingua matematica, e i caratteri scritto in lingua matematica, e i caratteri sonsontritriaangolingoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i , cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi quali mezzi èè impossibileimpossibile intenderne umanamente intenderne umanamente parola; senza questi parola; senza questi èè un aggirarsi vanamente per un aggirarsi vanamente per un oscuro un oscuro laberintolaberinto. .

Galileo Galileo GalileiGalilei


Elaborazione e verificaquantitativa di leggi fisiche

relazione tra grandezze fisiche operazioni algebriche, potenzee loro proprietà,equazioni

Matematicalinguaggio della Scienza

Metodo scientifico =Esperimento

+ Teoria

Osservazione e descrizione quantitativadei fenomeni naturali

Misura di grandezze fisiche

unità di misura, equivalenze,notazione scientifica (potenze di 10)


SimboliSimboli matematicimatematici

a modulo di aa__a media di aa

≈

++ -- :,/:,/ .,x.,x 1.3 1.3 →→ 1,31,3

= uguale

≡ ≠

∝

circa uguale identità non uguale

proporzionale ÷ ordine di grandezza

∞ infinito

> maggiore < minore

» molto maggiore « molto minore

≥ maggiore o uguale ≤ minore o uguale

∅ zero



4



x radice quadrataradice quadrata n x radice ennesimaradice ennesima

!! fattorialefattoriale 3! =13! =1··22··3 =63 =6 0!=10!=1

∆,δ variazione di: variazione di: ∆∆x =xx =x22--xx11 δδx =xx =x22--xx11

∑ sommatoria: sommatoria: xx11+x+x22+x+x33+x+x44++……+x+x1111==∑=

11

1i ix

∏ produttorioproduttorio: : xx1.1.xx2 2 xx3 3 xx4 4 …… xx1111==∏=

11

1iix

∫ dxxf )( integraleintegrale ...14,3=π...718,2

!11

!1...

3211

211

111

1=+=++

⋅⋅+

⋅++= ∑∞

=n nnen. n. neperonepero



221

rmmGF ⋅

=

relazioni, formule, leggirelazioni, formule, leggi……

Uguaglianze tra grandezze fisicheUguaglianze tra grandezze fisicheespresse tramite simboli letterariespresse tramite simboli letterari

Ogni lettera assume un valore numerico Ogni lettera assume un valore numerico che permette di calcolare una qualsiasi che permette di calcolare una qualsiasi grandezza incognitagrandezza incognita……

1

2

2 mGFrm

⋅⋅

=oppureoppure2

21

rmmGF ⋅

=



variazione pressione alle estremitvariazione pressione alle estremitàà di un vasodi un vaso∆∆p =p =(80 (80 –– 120) mm Hg = 120) mm Hg = -- 40 mmHg40 mmHg

pp2 2 =80 =80 mmHgmmHgpp11 > p> p22

QQ

variazione: variazione: ∆∆a=aa=a22--aa11

differenza: differenza: --∆∆a=aa=a11--aa22

pp1 1 =120 =120 mmHgmmHg



5



221

rmmGF ⋅

=

proporzionale aproporzionale a……

21:r

1mF ∝

21r

F ∝

inverso di rinverso di r22

F F èè inversamente proporzionale a rinversamente proporzionale a r22


ProporzioniProporzioni

prodotto dei medi = prodotto degli estremi

a:b = c:d ad = bc

a:b = c:d a = bc/d c = ad/bb = ad/c d = bc/a

Applicazione “quotidiana”: conversione di unità di misura

Nulla di magico: sono solo normali equazioni!


ProporzioniProporzioni ……economicheeconomiche

esempio: lire ↔ euro

dati: 1 euro = 1936,27 lire

X lire : Y euro = 1936,27 lire : 1 euro

eurolireYeuroXlire

127,1936⋅

=lire

euroXlireYeuro27,19361⋅

=

a : b = c : da : b = c : d ad = ad = bcbc



6


ProporzioniProporzioni in in fisicafisica

a : b = c : da : b = c : d ad = ad = bcbc

esempio: mmHg ↔ barie

dati: 1 atmosfera = 760 mmHg =106 barie = 106 Pa

X mm Hg : Y barie = 760 mmHg : 106 barie

bariemmHgYbarieXmmHg 610

760⋅=

mmHgbarieXmmHgYbarie

760106⋅

=


PercentualePercentualeMetodo “comodo” per esprimere variazioni

(aumenti o diminuzioni) rispetto a una situazione nota

1 % = 1/100 = 10-2 = 0,01n % = n/100 = 10-2•n = 0,01•n

““Per millePer mille””: : 1 1 ‰‰ = 0.1%= 0.1%ParteParte per per milionemilione: : 1 1 ppmppm = 0.001= 0.001‰‰

• 3% di 150 = 3•150/100 = 0.03•150 = 3•1.5 = 4.5 • 20% di 1000000 = 0,20 •1.000.000 = 200.000 • 20% di 0,003 = 0,20 • 0,003 = 2 •10-1 • 3 •10-3 = 6 •10-4 = 0,0006• 200% di 1000 = 2 •1.000 = 2.000 (raddoppiare = aumentare del 100% = passare al 200 %)

Es.

La percentuale e’ relativa alla grandezza a cui si riferisce.

• 3% di 150 = 4.5 (adimensionale)• 20% di 1000 € = 200 €• Soluzione di una sostanza in acqua al 5% =

in volume: in 1 litro di soluz., 950 cm3 d’acqua e 50 cm3 di solutoin peso: in 1 kg di soluz., 950 g d’acqua e 50 g di soluto

Es.


UsoUso del del calcolocalcolo percentualepercentuale

Nella vita quotidiana: i conti in tasca(tasse, IVA,…)

In laboratorio: errore relativo o percentuale

Misura: a ± ∆aErrore relativo: err = ∆a/aErrore percentuale: err% = (∆a/a)•100

Errore sulla misura di lunghezza: lungh = (63,0 ± 0,5) cmerr = (0,5 cm)/(63,0 cm) = 0,0079err% = err • 100 = 0,79 %

Es.

Prezzo netto (IVA escl.): N = 100 euro Prezzo lordo (IVA compr.): L = 100 euroPrezzo lordo: L = N + 0,20 N Prezzo netto: L = N + 0.20 N = 1.20 N= (1+0,20) N = 1,20 N = 120 euro N = L / 1.20 = 0,8333 L = 83,33 euro

e non N = 0,80 L = 80 euro

Es.



7


Velocità di atletaatleta ((deidei 100 m):100 m): 10 m/s = 10*3,6 km/h = 36 km/hautomobile:automobile: 120 km/h = 120*0,28 m/s = 33,6 m/sluceluce:: 300000 km/s = 3*108 m/s = 3*108*3,6 km/h = 1,08*109 km/h

Velocitàkm/h m/s m/s km/h 1 km/h =1000 m /3600 s =0,28 m/s1m/s =0,001 km /(1/3600) h =3,6 km/hn km/h = n * 0,28 m/s n m/s = n * 3,6 km/h

Fattore di conversione = rapporto tra due unità di misura

ConversioneConversione di di unitunitàà di di misuramisura

Es.


POTENZEPOTENZE

nn

aa 1

=−due definizionidue definizioni 10 =a

mnmn aaa +=

mnm

n

aaa −=

( ) rnrn aa ⋅=

m nmn

aa =

nnn

nn

baba

ba −==

128222222222222 74343 =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== +

es.: potenze di 2es.: potenze di 2

( ) 64222 62323 === ⋅

5,02122

22 143

4

3

==== −−

83,2822 22 323

===

296,027832

32

32 33

3

33

====

−


PotenzePotenze di di diecidieci

Per esprimere numeri molto grandi o molto piccoli si usa:

106 si legge 'dieci alla sesta'è uguale a 1 moltiplicato per 106: 1•1.000.000 = 1.000.000è uguale a 1,0 spostando la virgola a destra di 6 posti

es. 3,5•106 = 3.500.000

10-6 si legge 'dieci alla meno 6' è uguale a 1 diviso per 106: 1/1.000.000 = 0,000001è uguale a 1,0 spostando la virgola a sinistra di 6 posti

es. 3,5•10-6 = 0,0000035

numero di Avogadro NA = 6,022·1023 = 602.200.000.000.000.000.000.000 massa elettrone me = 9,1·10-31 kg = 0,00000000000000000000000000000091 kg

Es.



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NotazioneNotazione scientificascientifica

Vantaggio: le potenze di 10 sono potenze!Le proprietà delle potenze permettono di eseguire velocemente

operazioni complicate, con risultati ben approssimati!

Nei calcoli scientifici si scrive numeri grandi e piccoli come una cifra (da 1 a 9) seguita eventualmente da puntodecimale e cifre successive, per la potenza di dieci

500 = 5·102 0,05 = 5•10-2

3578 = 3,578•103 0,003578 = 3,578•10-3

10.000 = 104 0,0001 = 10-4

Es.

2897 • 71544 = 207262968 = 2,07•108 (esatto)= (2,897•103) • (7,1544•104) = 2,897 • 7,1544 • (103 • 104)

≅ (3•103) • (7•104) = 3•7 • 107 = 21•107 = 210.000.000 = 2,1•108 (appr.)

Es.


EsponenzialeEsponenziale e e logaritmologaritmo

103 = 1000 log10(1000) = 3Es.

xn =Y n =logx(Y)Logaritmo in base x di Y

è l’esponente a cui bisogna elevare la base xper ottenere come risultato il numero dato Y.

log3(9) = 2 perché 32 = 9 log2(64) = 6 perché 26 = 64loge(e) = 1 perché e1 = e

Es.e = 2,718...e = 2,718... numero di Neperologe = ln logaritmi in base elog10 = Log logaritmi in base 10

logaritmo=funzione inversadell’esponenziale

log10(102) = 2


LOGARITMILOGARITMI

...718,2!

11!

1...321

121

1111

1=+=++

⋅⋅+

⋅++= ∑∞

=n nnen. n. neperonepero

- logaritmi in base 10base 10 : log10N= LogLogN- logaritmi in base ebase e : logeN = lnlnN

Log Log 321,4 =2,507321,4 =2,507 lnln 321,4 =5,772321,4 =5,772

lnln a = a = lnln 1010 ·· Log a = Log a = 2,3052,305 Log aLog aLog a = Log a = Log eLog e ·· lnln a =a = 0,4340,434 lnln aa

defdef.. 1010nn = N= N n = logn = log1010(N)(N)



9


ProprietProprietàà deidei logaritmilogaritmi

log(1000·10) = log(10000) = 4 = 3+1

log(1000/10) = log(100) = 2 = 3-1

log(10002) = log(1000000) = 6 = 2·3= 2·log(1000)

log(1000+10) = log(1010) = 3,0043≠ 4 = 3+1

Es.

Direttamente dalla definizione e dalle proprietà delle potenze:

defdef.. 1010nn = N= N n = logn = log1010(N)(N)

log(N•M) = log(N) + log(M)

log(N/M) = log(N) - log(M)

log(Na) = a•log(N)

Ma:log(N±M) ≠ log(M) ± log(N)


ValoriValori notevolinotevoli deidei logaritmilogaritmi

Per semplicità utilizziamo i logaritmi in base 10. Ma tutte le proprietàvalgono per i logaritmi a qualunque base.

Def. 10n = N n = log10(N)

......loglog1010(100) = 2 (100) = 2 perchperchéé 101022 = 100= 100loglog1010(10) = 1 (10) = 1 perchperchéé 101011 = 10= 10loglog1010(1) = 0(1) = 0 perchperchéé 101000 = 1= 1loglog1010(0,1) = (0,1) = --1 1 perchperchéé 1010--11 = 1/10 = 0,1 = 1/10 = 0,1 loglog1010(0,01) = (0,01) = --2 2 perchperchéé 1010--22 = 1/100 = 0,01 = 1/100 = 0,01 ......loglog1010(0) non esiste(0) non esiste perchperchéé 1010nn non può dare 0non può dare 0loglog1010((--1) non esiste1) non esiste perchperchéé 1010nn non può essere non può essere

negativonegativo

Il logaritmo è definito solo

per numeri positivi.

E’ positivo per numeri >1,

negativo per numeri <1,

nullo per numeri =1.

loge(5) = 1,6094 perché e1,6094 = 5 log10(64) = 1,8062 perché 101,8062 = 64 Es.


LOGARITMILOGARITMI

0

10)(IILogdecibel =σ

pHpH = Log [H= Log [H++]]

esempiesempi

[H[H++] = 10] = 10--77 pHpH = = --77[H[H++] = 10] = 10--55 pHpH = = --55

712

5

0

102102102

⋅=⋅⋅

= −

−

II

dBLogLogLogdecibel 73)73,0(10)102(1010210)( 77 =+=+=⋅=σ



10


LOGARITMILOGARITMI

{ }{ }i

em s

sZFRTV ln=

esempiesempi

=)(ClmV { }{ } 4

120ln10264

120ln96487

31031,8ln 3−°

⋅−=−

⋅==

i

e

ss

ZFRT

=⋅=⋅−= −− 033,0ln10264

120ln1026 33

( ) mVV 9010904,31026 33 −=⋅−=−⋅−= −−

?? 30 ???? 30 ??


Equazioni: cosa sono

Relazioni di uguaglianza tra due membritutto ciò che è a 1o membro (numeri, dimensioni, unità di misura)

deve essere uguale a tutto ciò che è a 2o membro

a

b

A

Area di un rettangolo:A = ab= (50 cm)·(1 m)

= 50 cm·m (da evitare!)= 50 cm·100 cm = 5000 cm2

= 5000 cm = 0,5 m·1 m = 0,5 m2

= 0,5 m

a = 50 cm, b = 1 m

EquivalenzeEquivalenze + + controllocontrollo dimensionaledimensionaleEquazione = relazione di uguaglianza tra due membri

verificata per particolari valori di una variabile incognitaax + b = 0 x = -b/a

NO!

NO!

Es.


EQUAZIONI e EQUAZIONI e soluzionisoluzioni

aacbbx

242

1−+−

=

IIII°° grado grado →→ axax2 2 + + bxbx + c = 0+ c = 0

ammette ammette duedue soluzionisoluzioni

aacbbx

242

2−−−

=

abx −

=

II°° grado grado →→ axax + b = 0+ b = 0

ammette ammette unauna soluzionesoluzione

042 ≥− acbdeterminante =∆ =



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Equazioni: come si risolvono

Sommando (sottraendo) una stessa quantità a entrambi i membriMoltiplicando (dividendo) per una stessa quantità entrambi i membri

il risultato non cambia

2x = 6 x=32x + 4 = 6 + 4 2x + 4 = 10 x=32x · 5 = 6 · 5 10x = 30 x=3

Metodo di risoluzione:Equazione: ax+b =0 ax + b = 0ax + b – b = 0 – b ax = -bax/a = -b/a x = -b/a

2x - 6 = 02x – 6 + 6 = 0+6 2x = 62x/2 = 6/2 x = 3

…e da qui derivail metodo di risoluzione:

Es.

Es.

x/3 + 1/4 = 0x/3 + ¼ - ¼ = 0 – ¼ x/3 = - ¼x/3 • 3 = (- ¼) • 3 x = -3/4

Es.

Proprietà:


SISTEMI di EQUAZIONISISTEMI di EQUAZIONI

=++=++

00

hdycxkbyax

LINEARELINEARE

==

0),(0),(

yxgyxf

NON LINEARENON LINEARE(funzioni di grado superiore al 1(funzioni di grado superiore al 1°°))

soluzionesoluzioneanaliticaanalitica

soluzione graficasoluzione grafica(vedi rappresentazione grafica delle funzioni)(vedi rappresentazione grafica delle funzioni)

esempiesempi


SistemiSistemi di di riferimentoriferimento

Sistemi Sistemi cartesianicartesiani: assi x,y,z tra loro : assi x,y,z tra loro perpendicolariperpendicolari

Quale sistema di riferimento usare? Dipende dalle caratteristiche geometriche e di simmetriadel problema.

Criterio generale: semplicità (= minor complicazione possibile!)

cartesiano non cartesiano (inutile?...) automobile, bicicletta

peso che cadescatola cubicafascio raggi X...

ruota, pallagiostraTerra, Sole, pianetionde elettromagneticheatomi, cellule...

tubi, impianti idraulicicondotti elettricivasi sanguignibottiglie, bombolesiringhe, fiale, flebo

Es.

}}}

coord.cartesiane

coord.sferiche

coord.cilindriche



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SistemiSistemi di di riferimentoriferimento22--dimensionidimensioni

y

xO

P(x1,y1)

y1r

θx1

Ogni punto è univocamente determinato da:2 coordinate: P(x,y) - P(r,θ)

==

θθ

sincos

1

1

ryrx

21

21

2 yxr +=


SistemiSistemi di di riferimentoriferimento33--dimensionidimensioni

y

xO

P(x1,y1 ,z1)

y1

r

φ

x1

θ z1z

Ogni punto è univocamente determinato da:3 coordinate: P(x,y,z) - P(r,θ,φ)


MisuraMisura deglidegli angoliangoli

Lunghezza di una circonferenza:c = 2π r

Lunghezza di un arco di circonferenza:a = α r

Rapporto arco/circonferenza=a/c = αr/2πr = α/2πα = arco/raggio = misura dell’angolo in radianti

α

ra

2π

c

y

x



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QUANTO VALE 1 RADIANTE?QUANTO VALE 1 RADIANTE?

"81,44'175729578,5723601

°=°=°⋅

=π

x

1 radiante : x gradi = 21 radiante : x gradi = 2ππ : 360: 360°°

0,29578° : Y’ = 1° : 60’ →Y=17,74680’0,74680’ : Z” = 1’ : 60” → Z=44,81”

angolo giro = 360° = 2π radianti


FunzioneFunzione

Funzione = relazione univoca tra due variabili

Rappresentazione delle funzioni sistemi di riferimento

y=y=f(xf(x))

y=f(x) la grandezza y dipende dalla grandezza x: come?

definire la funzione y=f(x) significa stabilire come varia la variabile dipendente y al variare della variabile indipend. x.


persona data di nascita SINO

persona targa auto NOSI

x = n y = n SI, invertibilex = n y = n2 SI, non invertibilex = n y = √n NO

FunzioneFunzione

Una relazione di dipendenza e’ una funzione, f(x), seper ogni valore della variabile indipendente x

esiste uno e un solo valore della variabile dipendente y

x x

y y

SI NO

? ?

Es.Una funzione e’ invertibile sea ogni valore della variabiledipendente y corrisponde uno e un solo valore della variabileindipendente x. In pratica, se e’ semprecrescente o decrescente.



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QualeQuale funzionefunzione??

Problema operativo: interpretare e generalizzare un dato sperimentale

Metodo:1) Effettuare una serie di misure di laboratorio2) Disporle in grafico (x=var.indip., y=var.dip.) 3) Cercare la funzione

che meglio descrive la relazione tra y e x4) Determinare i parametri di tale funzione

nella particolare situazione in esameTutto questo normalmente lo fa un computer,

ma solo se correttamente impostato.


QualeQuale funzionefunzione??

y

x

NO(dipende…)

Per determinare una funzionee i suoi parametri

bisogna rispettare i “vincoli”dei dati sperimentali

(es. limiti a valori grandi o piccoli,punti o regioni “non fisiche”,

zeri o valori particolari)utilizzando tutte

le informazioni disponibili

Attenzione: impostazioni e approssimazioni diverse portano a funzionidiverse per un’ unica legge fisica. Bisogna quindi tener presenti

i limiti di validita’ del procedimento.

Principali funzioni di uso comune “in laboratorio”:• polinomi y = anxn+an-1xn-1 +…+a2x2+a1x1+a0• esponenziali y = aebx

• trigonometriche y = asin(bx), acos(bx)


vastavasta classeclasse di di fenomenifenomeni fisicifisici (e (e delladella vita vita quotidianaquotidiana))

Tempo = Tempo = variabilevariabile indipendenteindipendenteparametroparametro del del motomoto

FunzioniFunzioni dipendentidipendenti daldal tempotempo

• Moti: s=s(t), v=v(t), a=a(t)

• Oscillazioni: s(t) = A sin(ωt)

• Decadimenti: n(t) = n0 e-λtpolinomi

f.esponenziale

f.trigonometriche



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ProporzionalitProporzionalitàà direttadiretta e e inversainversa

Retta 11oo gradogrado Iperboleproporz.diretta proporz.inversay raddoppia al raddoppiare di x y si dimezza

y

x

y = K•xy/x = K = cost

y

x

y = K/xy•x = K = cost

In fisica:s = v•t PV=k P=k/Vλ = c•T λν = c λ = c/νF = m•a ∆V = R•I

Es.


FunzioneFunzione linearelineare: la RETTA: la RETTA

y = y = axax + b+ b

x

y

0

bb

--b/ab/a

x=0x=0 →→ y=by=by=0y=0 →→ x=x=--b/ab/a

y = y = axax (passa per origine)(passa per origine)

y = ax+b dove b<0y = ax+b dove b<0


FunzioneFunzione linearelineare: la RETTA: la RETTA

a = coefficiente angolarea = coefficiente angolare

x

y

0

y = ay = a3 3 xx

aa22 aa11 < a< a22 < a< a33aa11

aa33

θ

x=1x=1θ=arctg a

y = ay = a2 2 xx

y = ay = a1 1 xx



16


ProporzionalitProporzionalitàà quadraticaquadratica

Parabola 2o grado Iperbole quadr.proporz.diretta proporz.inversay quadruplica al raddoppiare di x y si riduce a un quarto

In fisica:s = ½ a t2 Fg = - G • m1m2 / r2

T = ½ m v2 Fe = K • q1q2 / r2

Es.

y

x

y = K•x2

y/x2 = K = costy

x

y = K/x2

y•x2 = K = cost


FunzioneFunzione ESPONENZIALEESPONENZIALE

funzione esponenziale con base afunzione esponenziale con base a

x

y

0

a > 1a > 1

y = y = aaxx

0 < a < 10 < a < 1


FunzioneFunzione ESPONENZIALEESPONENZIALE

e = 2,718e = 2,718……

x

y

0

B > 0B > 0

y = y = AAeeBBxx

B < 0B < 0

funzione esponenziale con base efunzione esponenziale con base e



17


FunzioneFunzione esponenzialeesponenziale

y = 1x = 1.-2 -1 0 1 2 x

y100

10

1

.

.

y = 10x

y = 10y = 10xx

• definita per ogni valore di x• sempre positiva• =1 per x=0• sale “velocissima” per x>0• scende “lentissima” per x<0

Utile in tanti processi in cui si devono considerare grandezze positive fortemente variabili.

Rappresentazione semilogaritmica:un intervallo = es. 0-1 100-101 = 1-10un ordine di grandezza (potenza di 10) 1-2 101-102 = 10-100

2-3 102-103 = 100-1000


FunzioneFunzione logaritmicalogaritmica

y = logy = log1010xx

• definita solo per x>0• >0 per x>1• =0 per x=1• <0 per x<1• sale “lentissima” per x>1• scende “velocissima” per x<1

x1 10 100

y

210

-1-2

.y = log10x..

Funzione inversa (“specchiata” lungo la retta y=x) dell’esponenziale:y = log x 10y = x

y

xy=x y=log10x

y=10x


ilil decibel, dB decibel, dB

=

0

log10xxdB

ScalaScala logaritmicalogaritmica, , ilil belbelAlexander Bell (coAlexander Bell (co--inventoreinventore del del telefonotelefono) ) Decibel, dB: 0,01 Decibel, dB: 0,01 belbelusatousato non solo per non solo per ilil suonosuonoProprietProprietàà del dB: del dB:

xx00 = = livellolivello di di riferimentoriferimento ((definitodefinito sempresempre) ) se x = xse x = x00 →→dB=0dB=0se x = 10 xse x = 10 x00 →→dB=10 dB=10 se x = 100 xse x = 100 x00 →→dB=20 dB=20 se x = 2 xse x = 2 x00 →→dB=3dB=3Log (a/b) = Log (a/b) = log(alog(a) ) -- log(blog(b) )

=

=

020

2

log20log10xx

xxdB



18


FUNZIONI FUNZIONI TRIGONOMETRICHETRIGONOMETRICHE

α

r

y

x1

1

-1

-1

rx

ry

0


FUNZIONI TRIGONOMETRICHEFUNZIONI TRIGONOMETRICHE

α

r

y

x1

1

-1

-1

rx

ry

0

Circonferenza centrata nell’originecon raggio r=1(Se r≠1, tutto vale ugualmente“normalizzando” a r=1)

Teorema di Pitagora:rx

2 + ry2 = r2

sen(sen(αα) = ) = rryy/r/rcos(cos(αα) = ) = rrxx/r/r

ordinataascissa

Seno e coseno sono due numeri compresi tra –1 e 1,funzioni di un angolo, tali per cui:

sensen22((αα) + cos) + cos22((αα) = 1) = 1


ValoriValori notevolinotevoli di di senoseno e e cosenocosenoMuovendosi sulla circonferenza unitariain senso antiorariopartendo dal semiasse x positivo:

α α° sen(α) cos(α)

0 0° 0 1π/2 90° 1 0π 180° 0 -13π/2 270° -1 02π 360° 0 1

Quanto valgono il seno e il coseno dell’angolo di 45° (= π/4)?Sono evidentemente uguali: sen(π/4)=cos(π/4), per cui:sen2 (π/4) + cos2 (π/4) = 1 2 sen2 (π/4) = 1

sen2 (π/4) = ½ sen(π/4) = 1/ 2

Es.

α

r

y

x1

1

-1

-1

cos(α)

sen(α)

0



19


FunzioniFunzioni trigonometrichetrigonometriche

αr

y

x1

1

-1

-1

cos(α)sen(α)

0

y y = sen α

y = cos α

ο α180° 360°

+1

–1π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π radianti

270°90°

• periodiche di periodo 2π• definite per ogni valore di x• limitate tra –1 e 1

y = y = sensen xx

y = y = coscos xx



bb

aacc

AA

BB

CC

ββ

αα 9090°°

•• a = c sen a = c sen αα = c cos = c cos ββ•• b = c cos b = c cos αα = c sen = c sen ββ•• tgtg αα = a/b= a/b = sen = sen αα /cos /cos αα•• tgtg ββ = b/a = b/a = sen = sen ββ /cos /cos ββ•• aa22 + b+ b22 = c= c22

applicazioniapplicazioni



•• sensen22 αα + + coscos22 αα = 1 = 1 •• cos (cos (--αα) = ) = cos cos αα• sen (sen (--αα) = ) = --sensen αα•• tgtg ((--αα) = ) = --tgtg αα•• 1/1/tgtg αα = = cotgcotg αα•• 1/sen 1/sen αα = = coseccosec αα•• 1/cos 1/cos αα = = sec sec αα

Applicazioni: RELAZIONI UTILIApplicazioni: RELAZIONI UTILI

se se αα èè MOLTO PICCOLO MOLTO PICCOLO •• cos cos αα ≅≅ 1 1 • sen sen αα ≅≅ αα•• tgtg αα ≅≅ αα



20


ω = pulsazione

ω(t+T) – ωt = 2π ωT = 2π ω = 2πT = 2π ν

Periodo e frequenza

ο ωtt90° 180° 270° 360°

π/2 π 3π/2 2π 5π/2 radianti

+A

–A

tT

Quando un fenomeno si ripeteperiodicamente nel tempo y = A sen ωt α

ν = frequenza1T =

T= periodo


dispense su internetdispense su internetwww.unipv.it/www.unipv.it/webgirowebgiro

elio girolettielio giroletti ..UniversitUniversitàà degli Studi di Pavia degli Studi di Pavia

dip. fisica nucleare e teoricadip. fisica nucleare e [email protected]@unipv.it -- 038298.7905038298.7905

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