Ioan Balica

Paula Balica

Marius Perianu Citilin StiniciDaniela Stinici

Matematicdcaiet pentru vacanta de vara

Clasa a VI-a

Muttimi

I.1 Relalia dintre un element gi o mutime. Retaliiintre mutlimi

L2 Mu[imi finite. Muttimi infinite

I.3 Operalii cu mutlimi

Divizibititatea numere[or naturaleIL1 Criterii de divizibititaie. Descompunerea numerelor naturale

in produs de puteri de numere prime

II.2 C.m.m.d.c. gi c.m.m.m.c.

III Rapoarte gi proporlii. Procente

IILL Rapoarte

IIL2 Procente

III.3 Propor!ii

5

9

74

II

79

25

33

42

50

IV

III.4 Mdrimi direct propo4ionale. Mdrimi invers proporlionale ...... 58

Mu[!imea numerelor intregiIV.1 Numere intregi. ModutuI unui numirintreg.

Compararea 9i ordonarea numerelor intregi . 72

IV.2 Operalii cu numereintregi . .......... 80

IV.3 Ecualii gi inecualiiin muttimea numerelor intregi .......... 97

IV.4 Probteme carese rezotvi cu ajutorut ecualiilor gi at inecualiitor ,,,... tO4

Mu[!imea numere[or ralionaleV.1 Numere rafionale. ModutuI unui numir ralionat.

Compararea 9i ordonarea numerelor ralionale ... 109

V.2 Operalii cu numere ralionate .... .... . 118

V.3 Ecualiiin muLlimea numeretor ralionate , ,,,,... t34V.4 Probleme care se rezolvd cu ajutorulecualiilor ........... 140

No!iuni geometrice f undamenta[e

VL1 Unghiuri adiacente. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare.Unghiuri opuse [a vArf. Unghiuri in juru[ unui punct ........ t44

VI.2 Paratelism 9i perpendicularitate ..... .. ........ L55

VI.3 Cercul ... !62

VI

VII TriunShiut ...... ....L66

VIII

xProprietdlitetriunghiurilor .... 180

Teste pentru inceputul clasei a VII-aTestutl . ........... 1gBTestul 2 . .......... 191Testut3... ....... 193Testut4 . ..... rg5Testuls . ....... rg7

30

88

9L

93

95

97I.1. Relalia dintre un element ti o mullime. Relalii intre mu$imi

r lntrei coguri q,Crgi Ca avem bile numerotate cain figura urmetoare:

Cog nr. 1 Cog nr. 2 Cos nr. 3

numiru[ 3?

numirul6?

Scrieli toate numerele naturate care:

a sunt cel mult egale cu 6

b sunt cel pulin egale cu 23 gi cel mutt egale cu 31

c au doud cifre, iar suma cifrelor este egalii cu 5.

5

a Cdror coguri te aparline bitacu numirul 2?

Ciror coguri le aparline bita cu

Ciror coguri [e apa(ine bila cu

Scrie!i:

a multimea resturitor posibite ale impirfirii unui numdr naturat ta 7;

b mu4imea resturitor posibile ate impa4irii unui numar natural la 3;

c mullimea resturitor posibite impirlirii unui numir natural [a 1"g;

d mu$imea cifretor din sistemulcu baza 2;

e mu$imea cifretor din sistemul zecimat;

t mu$mile literelor care formeaze fiecare dintre urmetoarele cuvinte: ,,matematice,,; ,,iucerie,.;.ebctricitate'; .marmeladd";

23 567i I34364;50 230 203.mul!imea cifretor din care sunt {ormate numerele:

Sedau muqimite: A=12;3t4t 5h B={1;3;5}; C={3;4;5;6;7}.Pentru fiecare dintre elementete: 1; 2; 5; 6;7, scrieli cirei mutlimiii apa4in gi cereia nu ii apa4in.Hxemplu: 7eB;7eA;7eC.

5

-l

rn.

L

l

5 Urmerind diagramele de mai irs, Fecizali elementele mullimitor A, B gi C:

Enumerali elementele f iecirei mu$imi:

a A = {xlx este numer natural, x < 8};

b 8={xlxeste numar naturat, 2<x<!Ol;

C= {xlx este numer natural, t<x<61;

d D = {xlx este numir natural nenuL,x<2O2OI;

e E = {xlx este numar natural par,x<33};

f F= {xlx este numdr natural, 203 < x < 2O4]i

g G = {xlx este numer natural, 44 < x < 45}.

Scrie!i urmetoarete mut!imi, punand in evidenle proprietelile caracteristice ale elementelor [or:

a A ={0; t;2;3;4i 5i 6Ii

7

--,

b B={0;2;4;6:B}:

c C={1;3i5i7igli

d O=i1;2:4:8ir6i32\i

e E={5; 70; t5; 2Ot 25t 3OI.

Fie A={x e Zl-3 <x < 2}. Scrieli elementele urmatoarelor muqimi:

8 =.{x e 4lx < 0};

f,={xeAlx>O}

D = {x € A lx este numar par};

E=lxeAlx=a+b,a,beAI;

P={xeAlx>1}.

I

l

*--

--l

--:

_"-l

l

-l

I

I

-1

I.2. Mu\imi finite. Mu$imi irffi1 Scrieli, dac6 existd, c6te cinci elenente ale mutlimilor:

aN;Rezolvare:

bzi c Z-; dz; e N\2.

Enumerali etementele mutimitor:

" 1={x e V,lt2 i xliA={......, ..'...,......}

u 8={x e xlxlreh

d D={x eZlxi 29i-r8<x<21;

" 5={xezl-slx9i l2x-11 <19};

t r={".zlS.x},

9

c ={x e zllx - rl < 3lilx- 1l <3 <+-3 <x- 1<3 <>

e e={r.zl2'-!.z\tL lx+5 )

|t g={x e Nlx, +x= 2 . (! + 2 + 3 +... + 2O2A)}.

Af la!i cardinatut urmitoarelor mutlimi:

a A=l-!iO;ti2i3:41

c C = {n € Nln 124}

d D={n e xln=2k, k e N, n<15}

e E={n € Nl(3.4)2+3n<29j.}

U 8={neN'ln<2L}

10

lI

I1

.

-_l

---tIl

l__]

---l

-!l

I

l---1

-,.1I

--t--l

I

ll

ll

c in tabetut de mai jos se gesesc informalii privind etevii ctasei a VI-a A dintr-o gcoali, careau participat in acest an gcolar la olimpiade:

Numele elevului Varsta inlltimea

Ratuca L2 ani 1,rtg m

l2ani !,49 m

L2ani 1,50 m

11ani 1,48 m

12 ani t,48 m

L1- ani L,40 m

!2ani 1,48 m

Determina!i elementete urmetoaretor muIimi:A = Mullimea tuturor elevilorB = Mullimea fetelorC = Mut!imea biie!itorD = Mu[imea elevitor care au 12 aniE = lYullimea etevilor care au participat ta doui otimpiadeF= Mullimea etevilor care au initlimea de 1,48 mG = Multimea elevilor btonziH = Mu[imea etevitor care au participat la cel pulin doui otimpiade

Rezolvare:

Cutoarea pirutui olimpiada la care a participat

Brunete Matematice, Fizica

Blond Fizica, Limba engLeze

gaten Limba romane, Limba engteze

gatena Matematice, Biotogie

Btond Fizice, Biologie, Geografie

Brunet Limbaromane,Retigie,Istorie

Btonda Limba romana

Fie muttimea 4 =J z, -+:E:!: -I!, rzt2 t *2L\.^-l- - 5'3' 1L""4'' 3JScrieli 3 submutlimi ale mutlimii A ale ceror elemente sunt numere intregi.

Rezolvare:

11

Se dau mutlimite: A ={n e N'ln<3}9iB = {n e N.12, < 8}.Stabitili dacd mutlimile A gi B sunt egate.

Rezolvare:

Fie mutlimite: A = lx e Zl-3 < x + 5 <3] 9i B={x eDeterminali valoarea de adever a propoziliitor:

a -5 eA;Rezolvare:

b Ac8;

Fie mutlimite: A=l-2;-ri3;5;81; 8={-1;3;5}; C={-2}; D={3; S;8};Completali spa.tiite punctate cu unuI dintre simboturitei ,,c,,i ,,=,'i ,,c,,.a A......8; b 8......4i c C.....,E;

Aflali x e N gtiind ce 12; 3t x; 9l = {2i 3; 7 i 91.

Rezolvare:

Determinali valorile lui{-3; -2; -t; O; t;2;31.Rezolvare:

& pentiu care mullimea l-2; -!; x] este o submutlime a mutlimii

Scrieli toate submutlimite mutlimiiA ={x e Nl 2 <x<4}.Rezolvare:

2l-6 <x < -2\.

c AcB; d {-1;0; UcA.

E ={-21.

d 8......D.

t2

l

A.

lI

lnii

Aratali caA c 8, unde:

1,{ ={x e Nl 10 <x< 15}9i B={x e Nl7<x<14};Rezolvare:

6 4=[x e Nlxdivizor propriu at tui 18 9i A={x € Nl 54 :x};Rezolvare:

c A=l2oi 2r;2,;231Fi B =lx e NlxlS];Rezolvare:

d A ={x € zllx+ 3l <5I ri B = lx e.Zllxl <71;

Rezolvare:

e A = {x € Nl4x + 11> 67} 9i I = {x e N | 7x - 5 > 72};

Rezolvare:

1 / ={x e Nl (x'z- 3)1221 9i B ={x e zllxl<51.Rezolvare;

13

Aftali x astfel incat A = B, daci:

^ A ={2;3i 4; 5} 9i B = {x; 5; 3;4}Rezolvare:

b A={x+1; 3x- 2}9i 8={8; 19};

Rezolvare:

c A = I3'i 24t 43:. 7,\ 9i B = l!6i 2Tt 49: 641.

Rezolvarer

1.3. Operalli cu multlmi

1 Fie mu[imite A, B, C, reprezentate prin diagrama Venn-Euler din figuraaleturati. Scrieli elementele mutlimitor: A, B, C, A u Bt A

^ Bt A\ B;

B\A;AuBwC;A^B^C.Rezolvare:

t4