MATEMATICA 8 NUMERICA · Derivación e integración de funciones v t. Diferenciación numérica de...

Universidad Nacional de Tucumán

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

Y TECNOLOGIA

8

MAGISTER EN

METODOS

NUMERICOS Y

COMPUTACIONALES

EN INGENIERIA

MATEMATICA

NUMERICA

OBJETIVOS

Aprender a usar Matlab para resolverproblemas que involucren el cálculo de

derivadas e integrales

Familiarizarse con los métodos numéricos dediferenciación numérica y de resolución deintegrales en una variable o más variables

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Tema 8Derivación e integración de funciones

v

t

Diferenciación numérica de datos: diferenciasfinitas, uso de fórmulas de interpolación. Estimaciónde derivadas parciales. Integración numérica:planteo general. Integración de datos igualmenteespaciados, fórmulas de Newton-Cotes, aplicaciónmúltiple de las fórmulas de Newton-Cotes,estimación del error de truncación. Extrapolación deRichardson, algoritmo de Romberg. Cuadraturas deGauss. Integración de datos no equi-espaciados.Integrales impropias. Métodos adaptivos de cua-dratura. Integrales múltiples. Funciones de Matlab.

TEMAS

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DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

dv

dt

v

ta

tdt

dva

v

t

b

avdty

y

Diferenciación Integración

La diferenciación es una operación inherentemente afectada por la naturaleza ruidosa de la función, mientras que la integración es todo lo contrario.

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES

La forma “natural” de pensar en el cálculo numérico de la derivada es aplicar la definición:

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APROXIMACIÓN DE DERIVADAS

Diferencia hacia adelante.

O(h)h

)f(x)f(x)(xf' i1i

i

Diferencia hacia atrás

O(h)h

)f(x)f(x)(xf' 1ii

i

Aplicando el Teorema de Taylor y truncando a partir del término de la segunda derivada

i1i

xx

3

33

xx

2

22

xx

i1i

xxh

dx

fd

3!

h

dx

fd

2!

h

dx

dfhxfxf

iii

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Se puede aumentar la precisión tomando más términos en la serie de Taylor

n

ni

(n)3i

(3)2i

ii1i Rhn!

)(xf...h

3!

)(xfh

2!

)(x'f')h(xf')f(x)f(x

h

Rh

n!

)(xf...h

3!

)(xfh

2!

)(x'f'

h

)f(x)f(x)(xf' n1ni

(n)2i

(3)

ii1ii

con lo que se obtiene precisión de 2do orden

...h3!

)(xf

2h

)3f(x)4f(x)f(x)(xf'

2i

(3)

i1i2ii

donde f’’(x) es reemplazada por

)O(hh

)f(x)2f(x)f(x)(x'f'

2

2

1i1i2ii

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)x(f

i-2 i-1 i i+1 i+2

Curva parabólica

)O(h 2h

xfx4fx3fxf

2i1i2ii

Diferencia

hacia adelante

)O(h 2h

xfx4fx3fxf

22-i-1iii

Diferencia hacia atrás

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La mejora de precisión con Diferencias

centradas resulta evidente en forma

gráfica.

)O(h2h

)f(x)f(x)(xf' 1i1i

i

2

Otra alternativa para acrecentar la precisión es emplear la Extrapolación de Richardson.

Para demostrar, reste m. a m. las expansiones

de f(xi+1) y f(xi-1)

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Para encontrar las derivadas de orden 2, se usa la expansión de Taylor y por suma se eliminan los términos en los que aparece la derivada primera.

xf3!

h xf

2!

h xfh xf xf

xf xf

xf3!

h xf

2!

h xfh xf xf

i

3

i

2

ii-1i

ii

i

3

i

2

ii1i

(A)

(B)

(C)

Haciendo (A)-2 (B) + (C) y dividiendo en h2 resulta :

)O(h h

xfx2fxfxf

2

2

-1ii1ii

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Fórmulas con Diferencias Laterales

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Fórmulas con Diferencias Centrales

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APROXIMACIÓN DE DERIVADASDatos no equiespaciados

Introduciendo:

Las diferencias hacia atrás y hacia adelante:

i1i1i

1iii

xxΔx

xxΔx

'f'2

Δx

Δx

)f(x)f(x)(xf' i

i

1iii

'f'

2

Δx

Δx

)f(x)f(x)(xf' 1i

1i

i1ii

Combinando las fórmulas anteriores :

''f'6

ΔxΔx)f(x)f(x

Δx

Δx)f(x)f(x

Δx

Δx

ΔxΔx

1)(xf' 1ii

1ii

i

1ii1i

1i

i

1ii

i

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APROXIMACIÓN DE DERIVADASDatos no equiespaciados

Una alternativa sería usar las fórmulas de interpolación

de Lagrange. Considerando tres puntos xi-1, xi y xi+1,la función de 2do.orden sería:

1i

1i1ii1i

i1ii

1ii1ii

1i1i1i

1i1ii1i

1ii

1i1iii1i1i

yxxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxx

yxLyxLyxLxf

)x)(xx(x

xx2x)f(x

)x)(xx(x

xx2x)f(x

)x)(xx(x

xx2x)f(x(x)f'

i1i1i1i

i1i1i

1ii1ii

1i1ii

1i1ii1i

1ii1i

Y la derivada resulta para cualquier x en el

intervalo [xi-1,xi+1]:

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APROXIMACIÓN DE DERIVADASFunción de Interpolación de Lagrange

Al usar la Función de Interpolación, la expresión es aplicable tanto a datos equi-espaciados tanto como a los no equi-espaciados.

Para datos equi-espaciados vale:

Diferenciado una vez más, se tiene:

que es la expresión obtenida anteriormente

1i2

i1ii2

1i1i1i2

1ii y2h

xx2xy

h

xx2xy

2h

xx2xxf

2

1ii1i1i2i21i2

h

y2yyy

h

1y

h

2y

h

1xf

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DERIVADAS PARCIALES

Para evaluar derivadas parciales se hace una extensión directa de las fórmulas de una variable.

(i-2, j) (i-1, j) (i, j) (i+1, j) (i+2, j)

(i, j+1)

(i, j+2)

(i, j-1)

(i, j-2)

(i+1, j+1)(i-1, j+1)

(i-1, j-1) (i+1, j-1)

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DERIVADAS PARCIALES

121 h

1

x

uu

101 h2

1

x

u u

22

2

xx

x

(i-2, j) (i-1, j) (i, j) (i+1, j) (i+2, j)

(i, j+1)

(i, j+2)

(i, j-1)

(i, j-2)

(i+1, j+1)(i-1, j+1)

(i-1, j-1) (i+1, j-1)

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DERIVADAS PARCIALES

Por ejemplo para evaluar el Laplaciano:

1

|

141

|

1

h

1

uuu

2

yyxx

2

i-1 i i+1

j+1

j

j-1

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DERIVADAS PARCIALES

La derivada cruzada:

i-1 i i+1

j+1

j

j-1

101

|||

000

|||

101

h4

1u

2xy

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DERIVADAS PARCIALES

Diversas fórmulas dedistintos órdenes puedenconseguirse en:

Abramowitz and Stegun.Handbook of Mathematical Functions

Disponible on line en: http://mintaka.sdsu.edu/faculty/wfw/ABRAMOWITZ-STEGUN/toc.htm

http://mintaka.sdsu.edu/faculty/wfw/ABRAMOWITZ-STEGUN/toc.htm

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES

b

af(x)dxI

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

NUMERICA

A partir de datos discretos de f(x)

A partir de la función f(x)

Se trata de encontrar:

b

af(x)dxI

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INTEGRACIÓN NUMÉRICA DE FUNCIONES

A partir de datos discretos de f(x)

La idea es remplazar una función complicada con otra aproximada que sea más fácil de integrar.

)( (x)dxfdxxfIb

an

b

a

Se aproxima f(x) por una línea recta (n=1) pasando a través de (a, f(a)) y (b, f(b)), o por una parábola cuadrática (n=2) a través de tres puntos, o por un polinomio cúbico (n=3) pasando a través de 4 puntos...

- Regla del Trapecio corresponde a f1(x), n=1.- Regla de Simpson de 1/3 corresponde a f2(x), n=2.- Regla de Simpson de 3/8 corresponde a f3(x), n=3.

¡¡ Y HAY OTRAS MAS !! SON LAS FORMULAS DE NEWTON-COTES

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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes

)x(fc)x(fc)x(fc

)x(fcdx)x(f

nn1100

i

n

0i

i

b

a

a = x0 x1 b = xnxn-1x

f(x)

La evaluación de la función resulta como una suma ponderada de la función f(x):

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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio

Aproximar el área debajo de f(x) por un trapecio.

)x(f)x(f2

h

)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f

10

1100i

1

0i

i

b

a

a = x0 b = x1x

f(x)

L(x)

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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio

El valor numérico de la integral es:

El error de truncación vale entonces:

y por lo tanto será pequeño si b-a es pequeño

3))((12

1abf''Et

.

))((''12

1

2

))()(()( 3

ba

abfbfaf

abI

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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla Simpson de 1/3

Se aproxima la función f(x) a una parábola.

)x(f)x(f4)x(f3

h

)x(fc)x(fc)x(fc)x(fcdx)x(f

210

221100i

2

0i

i

b

a

a = x0 x1

x

f(x)

b = x2h h

L(x)

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Usando la Función de Interpolación de Lagrange:

f(x) pasa a través de 3 puntos:

a,f(a); (b+a)/2,f((b+a)/2); b,f(b)

La integral numérica resulta: tEbf

bafaf

hI

)]()

2(4)([

3

2

),(90

)4(5

abh

bafh

Et

y el Error de Truncación:

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Se aproxima la función f(x) con un polinomio cúbico

)x(f)x(f3)x(f3)x(f8

h3

)f(xc)f(xc)f(xc)f(xc)x(fcdx)x(f

3210

33221100i

3

0i

i

b

a

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

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Igual que en el caso anterior, usando la

Función de Interpolación de Lagrange

5

(4)

, 3

3 ( ), .

80

t

b ah

hE f a b

tEbf

hafhafafh

I

)](

)2(3)(3)([8

3

El Error de Truncación es del mismo orden, a pesar de usar polinomio de un grado mayor

)x(f)xx)(xx)(xx(

)xx)(xx)(xx(

)x(f)xx)(xx)(xx(

)xx)(xx)(xx(

)x(f)xx)(xx)(xx(

)xx)(xx)(xx(

)x(f)xx)(xx)(xx(

)xx)(xx)(xx()x(L

3

231303

210

2

321202

310

1

312101

320

0

302010

321

y se encuentra el valor de la integral:

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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton Cerradas

b

a

NN221100 ]fa...fafafh[ad

Nf(x)dx

N d a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 Error

1 2 1 1 O(h2)

2 6 1 4 1 O(h4)

3 8 1 3 3 1 O(h4)

4 90 7 32 12 32 7 O(h6)

5 288 19 75 50 50 75 19 O(h6)

6 840 41 216 27 272 27 216 41 O(h8)

7 17280 751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 O(h8)

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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes Abiertas

Las Fórmulas de Newton-Cotes presentadas, incluyen los puntos extremos y se las conoce como Fórmulas Cerradas. Existen también las Fórmulas Abiertas de Newton-Cotes, como la del Punto Medio

)(f24

)ab()

2

ba(f)ab(

)x(f)ab(dx)x(f

3

m

b

a

a bx

f(x)

xm

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Usando una aproximación lineal

)(f108

)ab()x(f)x(f

2

abdx)x(f

3

21

b

a

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h

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Usando una función parabólica

)(f23040

)ab(7

)x(f2)x(f)x(f23

abdx)x(f

5

321

b

a

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

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INTEGRACIÓN NUMÉRICAFórmulas de Newton-Cotes

¿Cómo Mejorar la precisión del resultado?

Reglas compuestas.Aplicación múltiple de las fórmulas Newton-Cotes

Algoritmo de Romberg

Extrapolación de Richardson

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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla del Trapecio (Aplicación múltiple)

Se aproxima el área debajo de f(x) por dos o más trapecios.

)x(f)x(f2)2f(x)f(x2)f(x2

h

)f(x)f(x2

h)f(x)f(x

2

h)f(x)f(x

2

h

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

n

1n

2

1

1

0

a=x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h b=x4

n

abh

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La precisión mejora a medida que se toman más segmentos (intervalos menores)

0

1

2

3

4

5

6

7

3 5 7 9 11 13 15

Dos segmentos

0

1

2

3

4

5

6

7

3 5 7 9 11 13 15

Cuatro segmentos

0

1

2

3

4

5

6

7

3 5 7 9 11 13 15

Más segmentos …

0

1

2

3

4

5

6

7

3 5 7 9 11 13 15

Tres segmentos

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Dividiedo el intervalo b-a en n segmentos. h = (b-a)/n.

x0= a, x1 = a + h, …., xi = a + i h,… …, xn = b.

El área bajo f(x) aproximada por n trapecios es

)(ξ'f'n

1)(ξ'f' y xξx

)(ξ'f'12n

a)(b

)(ξ'f'12n

a)(b)h(ξ'f'

12

1E

)]f(x2f(b)[f(a)2

hII

n

1i

iii1i

2

3

n

1i

i3

33

i

n

1i

t

1n

1i

i

n

1i

i

Reducción del Error de Truncación en un factor de aproximadamente 1/n2

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INTEGRACIÓN NUMÉRICARegla de Simpson de 1/3 (Aplicación múltiple)

Se utiliza aproximaciones cuadráticas por tramos (una por cada dos intervalos).

a=x0 x2x

f(x)

x4h hxn-2h

b=xn

n

abh

…...

hx3x1 xn-1

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Se divide el intervalo b-a en n, número par de segmentos

)f(x)4f(x)2f(x

)4f(x)2f(x)4f(x

)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x)f(x3

h

)f(x)4f(x)f(x3

h

)f(x)4f(x)f(x3

h)f(x)4f(x)f(x

3

h

f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

n1n2n

12i2i-12i

43210

n1n2n

432210

x

x

x

x

x

x

b

a

n

2n

4

2

2

0

MA

GIS

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UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


)f(x)4f(x)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x

)2f(x)4f(x)2f(x)4f(x)f(x3

hf(x)dx

n1n2n12i2i-12i

43210

b

a

MA

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TE

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N M

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N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


La expresión general para n intervalos (n+1 puntos)

3n

)f(x)f(x2)f(x4)f(x

a)(bI

2n

2,4,6j

nj

1n

1,3,5i

i0

El error de truncación resulta:

)(ξfn

2)(ξf

)(ξf180n

a)(b )(ξf

2

n

90n

a)(b

)(ξf90n

a)(b)h(ξf

90

1E

n/2

1j

j

(4)(4)

(4)

4

5(4)

5

5

n/2

1j

j

(4)

5

55

j

(4)n/2

1j

t

Reducción del Error de Truncación en un factor de aproximadamente 1/n4

MA

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CO

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UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Similar a la anterior, pero se emplean aproximaciones cúbicas por tramos (una por cada tres intervalos).

Siguiendo un procedimiento análogo a la anterior, se llega a una expresión:

Y el Error de Truncación:

2 3

0 1

1,4,7 3,6,9

( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) ( )8

n n

i i i n

i i

b aI f x f x f x f x f x

n

)(

t fn

a)(bE

4

4

5

80

MA

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CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICACombinación de las reglas de Simpson

Si en número de puntos no es par ni múltiplo de 3 no se puede aplicar ninguna de las dos Reglas de Simpson.

En este caso la Regla de Simpson de 3/8 se aplica a los últimos tres puntos y la otra a los puntos previos.

5 segmentos

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IC

OS

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CO

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CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAError en la

integración con formulas de

Newton-Cotes

Se analizaron los Errores de Truncación

y se vio que aumentando el número

de segmentos se acrecienta la

precisión. Pero esto tiene un límite:

el Error de Redondeo

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración con Segmentos no equi-espaciados

Los métodos anteriores se basan en datos equi-espaciados en la abscisa. En la práctica puede nodisponerse de datos en intervalos regulares.Para esos casos existen algunas alternativas:

Aplicar la Regla del Trapecio a cada segmento

Si es posible, usar selectivamente las Reglas de Simpson de 1/3 y 3/8.

Encontrar datos equi-espaciados a partir de una Función de interpolación adecuada

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NA

LE

S E

N IN

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAExtrapolación de Richardson

La Extrapolación de Richardson permite mejorar la precisión del cálculo. Requiere conocer en forma analítica función a integrar.

Consiste en la aplicar en forma sucesiva de la regla del Trapecio (o la de Simpson).

)()()()( 2211 hEhIhEhII

Donde I es el valor real de la integral e I(h1) es una aproximación basada en un paso h1 e I(h2) es la aproximación basada en un paso h2 = h1 /2.

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NA

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RIA

El Error de Truncación es:

Suponiendo que el valor de la derivada segunda no cambia sustancialmente, se puede aproximar:

''12

2 fhab

E

2

2

1

212

222

2

2

1212

2

2

1

2

1

1

)()()(

)()()()( )(

)(

hh

hIhIhE

hEhIh

hhEhII

h

h

hE

hE

)(3

1)(

3

4

1

)()()()()(

12

2

2

1

21222

hIhII

hh

hIhIhIhEhII

De esta forma se obtiene una estimación más precisa de la integral. De O(h2) se pasa a O(h4):

INTEGRACIÓN NUMÉRICAExtrapolación de Richardson

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración de Romberg

El mecanismo anterior, es aplicable a otras estimaciones también, como por ejemplo, las de las derivadas.

j es el índice relativo al tamaño de los pasos y k es el indicativo del nivel de mejora.

Así para k=1, primer nivel de mejora resulta:

La Fórmula de Extrapolación de nivel múltiple es:

)O(h3

II4I

4j,01,0j

j,1

)O(h14

II4I

22k

k

1kj,1k1,j

k

kj,

El Algoritmo de Romberg consiste en emplear múltiples niveles de extrapolación.

MA

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NA

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICATabla de integración de Romberg

255

256

63

64

15

16

3

4

16/

8/

4/

2/

)()()()()(

43210

3,3,12,2,11,1,10,0,1

0,4

1,30,3

2,21,20,2

3,12,11,10,1

4,03,02,01,00,0

108642

jjjjjjjj IIIIIIII

Ih

IIh

IIIh

IIIIh

IIIIIh

hOhOhOhOhO

kkkkk

BooleSimpsonTrapecio

MA

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICATabla de integración de Romberg

EJEMPLO 9265.52164

0

2 dxxeI x

%00050.0%00168.0%0053.0%0527.0%66.2

95.535525.0

68.521976.57645.0

20.521775.525679.72881

01.521714.522998.56702.121422

95.521684.522468.549941.82407.238474

)()()()()(

43210108642

h

h

h

h

h

hOhOhOhOhO

kkkkk

BooleSimpsonTrapecio

MA

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICACuadratura de Gauss

MotivaciónAcrecentar la precisión minimizando el número de evaluaciones de la función f(x).

Regla del Trapecio

Cuadratura de Gauss

Método que se puede emplear si se conoce en forma analítica a f(x)

MA

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NA

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GE

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RIA


x2x1-1 1

Formula Gauss-Legendre de 2 puntos )f(xc)f(xcI 2211

Observar que la variable x se integra en el

intervalo [-1,1]

MA

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RIA


Se debe encontrar los valores de las constantes c1 y c2 y lasposiciones de la abscisa x1 y x2. El criterio es se obtenga laintegración exacta para:

f (x) = x0, f (x) = x1, f (x) = x2, f (x) = x3

3

1x

3

1x

1c

1c

xcxc0dxx xf(x)

xcxc3

2dxx xf(x)

xcxc0xdxx f(x)

cc21dx 1f(x)

2

1

2

1

3

22

3

1

1

11

33

2

22

2

1

1

11

22

221

1

11

2

1

11

)3

1f()

3

1f(f(x)dxI

1

1

La integral se evalúa con la expresión:

MA

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NA

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GE

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RIA


)f(xc)f(xc)f(xcf(x)dx 332211

1

1

Los parámetros c1, c2, c3, x1, x2, x3 se eligen de modo que el método produzca la “integral exacta” para las funcionesf(x) = x0, x1, x2, x3,x4, x5

Si se emplean 3 puntos, la expresión de cómputo numérico de la integral tiene la forma:

x3x1-1 1x2

x

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NA

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GE

NIE

RIA


3/5x 5/9c

0x 8/9c

3/5x 5/9c

33

22

11

)5

3(f

9

5)0(f

9

8)

5

3(f

9

5dx)x(fI

1

1

La integral se evalúa con la expresión:

MA

GIS

TE

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N M

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OD

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N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

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GE

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RIA


Para resolver los problemas en los que los límite deintegración sean a y b, se debe cambiar coordenadaspara pasar de [a,b] a [-1,1]

t2t1a b

1

1

1

1

b

af(x)dx)dx

2

ab)(

2

abx

2

abg(g(t)dt

bt 1x

at1x

2

abx

2

abt

g(t)

MA

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CIO

NA

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GE

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RIA


Parámetros de la Cuadratura de

Gauss-Legendre

Error de truncación

MA

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OS

Y

CO

MP

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CIO

NA

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N IN

GE

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RIA


EJEMPLO 9265.52164

0

2 dtteI t

Transformación de coordenadas

1

1

1

1

4x44

0

t2dx)x(fdxe)4x4(dtteI

2dxdt ;2x22

abx

2

abt

33.3%)( 543936.3477376279.3468167657324.9

)3

44()

3

44()

3

1()

3

1()( 3

44

3

441

1

eeffdxxfI

Fórmula de 2 Puntos (N = 2)

MA

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TE

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OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


9265.52164

0

2 dtteI tEJEMPLO(continuación)

4.8%)( 106689.4967

)142689.8589(9

5)3926001.218(

9

8)221191545.2(

9

5

)6.044(9

5)4(

9

8)6.044(

9

5

)6.0(9

5)0(

9

8)6.0(

9

5)(

6.0446.04

1

1

eee

fffdxxfI

Fórmula de 3 Puntos (N = 3)

MA

GIS

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UM

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IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


9265.52164

0

2 dtteI tEJEMPLO(comparación)

ComparaciónNº de Puntos

Método Integral Error Relativo

2 Trapecio

Cuadratura de Gauss

23847.7

3477.54

348 %

33.0 %

3 Trapecio

Simpson

Cuadratura de Gauss

12142.2

8240.41

4967.11

133 %

58.0 %

4.8 %

4 Trapecio

Cuadratura de Gauss

7288.79

5197.54

39.0 %

0.37 %

MA

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NA

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAOtras Cuadraturas de Gauss

Existen varias cuadraturas, todas en general con laformulación siguiente:

Al incrementar el número n de nodos (x1, x2,... ,xn)se logra aumentar el grado de precisión de laaproximación.

Los nodos son las raíces del n-ésimo polinomioortogonal respecto del producto escalar inducido porw(x) en el intervalo [a,b].

𝑎

𝑏

𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈

𝑖=1

𝑛

𝐴𝑖 𝑓(𝑥𝑖)

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RIA


Fórmula general

Cálculo de los coeficientes a partir

de los respectivos polinomios ortogonales

Error de Truncación

𝑎

𝑏

𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

𝑖=1

𝑛

)𝐴𝑖𝑓(𝑥𝑖 + 𝐸𝑡

𝐴𝑖 =1

𝑃𝑛′ 𝑥𝑖

𝑎

𝑏𝑃𝑛 𝑥

𝑥 − 𝑥𝑖𝑤 𝑥 𝑑𝑥

𝑖 = 1, 2

𝐸𝑡 =𝑓 2𝑛 𝜃

2𝑛 !

𝑎

𝑏

𝑃𝑛2 𝑥 𝑤 𝑥 𝑑𝑥

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NA

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RIA


CUADRATURA INTERVALO FUNCIÓN DE PESO

Gauss-Legendre

Gauss-Chebyshev

Gauss-Jacobi

Gauss-Laguerre

Gauss-Hermite

[-1,1]

[-1,1]

[-1,1]

[0,+∞)

(-∞,+∞)

𝒘 𝒙 = 𝟏

𝒘 𝒙 =𝟏

𝟏 − 𝒙𝟐

𝒘 𝒙 =𝟏

𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟏

𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙

𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙𝟐

MA

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CIO

NA

LE

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

Cuadratura de Gauss-Laguerre

En la tabla, la cifra entre paréntesis(n) significa que debe multiplicarsepor 10n

𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙

MA

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OS

Y

CO

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NA

LE

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RIA


Cuadratura de Gauss-Hermite


𝒘 𝒙 = 𝒆−𝒙𝟐

MA

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Y

CO

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CIO

NA

LE

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GE

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RIA


Cuadratura de Gauss con singularidad logarítmica


𝒘 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙

MA

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OS

Y

CO

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UTA

CIO

NA

LE

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GE

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias

Estas integrales se pueden clasificar en:

1) El Intervalo de integración es infinito (integrales con dominio infinito)

2) El integrando f(x) presenta discontinuidad

3) El integrando f(x) tiene singularidades

Para cada caso se pueden aplicar distintas soluciones

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Dominio infinito

Si el dominio es infinito, las soluciones pueden ser:

Transforma la variable de integración para que el nuevointervalo sea finito. Ejemplo: x = 1/t se transforma elintervalo [a, ∞] en [1/a,0]

Reemplazar los límites infinitos de integración porvalores finitos cuidadosamente elegidos

Utilizar el comportamiento asintótico (si es posible) paraevaluar la "cola“ de la función contribución.

Usar reglas de cuadratura no lineales diseñadas paraintervalos infinitos.

𝒂

∞

𝒇 𝒙 𝒅𝒙 =

1 𝒂

0

−1

𝒕2𝒇1

𝒕𝒅𝒕

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OS

Y

CO

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UTA

CIO

NA

LE

S E

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GE

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RIA


Reemplazar los límites infinitos de integración porvalores finitos cuidadosamente elegidos

Ejemplo

Exacta

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OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

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RIA


Utilizar el comportamiento asintótico (si es posible) paraevaluar la "cola“ de la función contribución.

Y se evalúa para valores de a crecientes hasta alcanzar la tolerancia fijada

Ejemplo cola

MA

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NA

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Usar reglas de cuadratura no lineales diseñadas paraintervalos infinitos

Cuadratura de Gauss-Laguerre

Cuadratura de Gauss-Hermite

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Integrando discontinuo

Aproximando el valor de discontinuidad

Para la integral si es discontinua en 0,

aplicando la definición formal:

Trabajar algebraicamente para eliminar la discontinuidad,cambiando variable si es preciso

Usar reglas de cuadratura que consideran discontinui-dades, o bien, si la discontinuidad está en un punto que norequiere la evaluación del valor de la función

Partiendo el intervalo de integración

hasta convergencia:

MA

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CIO

NA

LE

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GE

NIE

RIA Trabajar algebraicamente para eliminar el efecto

singular, cambiando variable si es preciso

En línea con el anterior, usar la regla de integración delproducto para transformar la integral original

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥𝑎

𝑏−

𝑎

𝑏

𝑓′ 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

Emplear alguna cuadratura que considere explícitamentelas discontinuidades

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales impropias – Integrando singular

Gauss-Jacobi

Gauss-Chebyshev,

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NA

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RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegración adaptiva

La idea es que el integrando debe ser

más evaluado en aquellas zonas en las

que presenta mayores cambios.

La cuadratura adapta-tiva involucra la selec-ción cuidadosa de lospuntos donde la funciónva a ser evaluada, demanera que se puedacalcular la integral conuna precisión especifi-cada realizando el mí-nimo número posible deevaluaciones de lafunción.

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GE

NIE

RIA


La propiedad aditiva de la integración, es la base de laIntegración Adaptiva. Si c es cualquier punto entre a y b:

Si se puede aproximar cada uno de los integrandos de la partederecha con una precisión especificada, la suma de ambosdará entonces el resultado deseado. Si no, se puede aplicarrecursivamente la propiedad aditiva a cada uno de losintervalos [a,c] y [c,b]. De este modo, el algoritmoresultante se adapta automáticamente al integrando, partiendoel intervalo en subintervalos con un espaciado fino en laspartes donde el integrando varía rápidamente y con espaciadosmayores donde el integrando varía lentamente.

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )( )( )(

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S E

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GE

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RIA


Si se combina la Regla compuesta de Simpson, h=(b-a)/2,

f(b)h)4f(af(a)3

hb)S(a,

b][a, η

(ηf90

hf(b)h)4f(af(a)

3

hdx f(x) (4)

5b

a

)

f(b))2

3h4f(ah)f(a

6

hb,

2

baS

h)f(a)2

h4f(af(a)

6

h

2

baa,S

)η(f180

a)(b

16

h

f(b))2

3h4f(ah)2f(a)

2

h4f(af(a)

6

hdx f(x)

(4)4

b

a

con la Regla de Simpson para paso h/2=(b-a)/4:

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Si )η(f(ηf(4)(4) )

b,2

baS

2

baa,Sb)S(a,

15

1

b,2

baS

2

baa,Sdx f(x)

b

a

Entonces, si ε b,2

baS

2

baa,Sdx f(x)

b

a

Buena aproximación de la integral

b,

2

baS

2

baa,S

Si no se alcanza la precisión, se aplica el mismoprocedimiento a los subintervalos [a,(a+b)/2] y[(a+b)/2,b] (tolerancia /2.). Se reitera hastaalcanzar la precisión prefijada.

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA

INTEGRACIÓN NUMÉRICAIntegrales Dobles

b

a

d

cRdxdy)y,x(fdA)y,x(fI

0p,]b,a[x);x(Ipdy)y,x(fpI i

i

iii

i

d

cii

0q],d,c[y;)y,x(fq)x(I jj

j

jiji

La situación más simple es si la región de integración es un rectángulo (límites constantes en las dos variables).

Considerando la integral exterior:

Donde:

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


q'*Z*p)y,f(xqpI jiji

n

i

m

j1 1

La situación más simple es si la región de integración es un rectángulo (límites constantes en las dos variables).

p y q son los vectores de los coeficientes de la regla particular que se aplica, por ejemplo:

]1,2,...,2,2,1[2

hp Regla del Trapecio

]1,2,4,2,...,2,4,2,4,1[3

kq Regla de Simpson

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Ejemplo de los pesos para el caso de aplicar la Regla de Simpson en abscisas y Trapecio en ordenadas

Z es la matriz con los valores de la función f

q'*Z*p)y,f(xqpI jiji

n

i

m

j1 1

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Si los límites no son constantes:

b

a

xd

xc

b

a

xd

xcdxdyyxfIdxdyyxf

)(

)(

)(

)(),( ),(

Primero se aproxima para cada xi, la integral el intervalo [c(xi), d(xi)], usando un mismo número de intervalos.

Luego, usando los valores anteriores, evaluar la integral exterior.

i j

ijiiji yxfqpI ),(

MA

GIS

TE

R E

N M

ET

OD

OS

N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA


Por ejemplo:

Se usa para evaluar la integral de y 7 puntos.

Se toman 13 puntos para x

5.0

1.0

x

x

xy dxdye2

3

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

3x

2x

MA

GIS

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R E

N M

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N

UM

ER

IC

OS

Y

CO

MP

UTA

CIO

NA

LE

S E

N IN

GE

NIE

RIA

FUNCIONES DE MATLAB

quad (integral en las nuevas versiones)Computa la integral definida de una función f(x)

Sintaxisq = quad(fun,a,b)q = quad(fun,a,b,tol)[q,fcnt] = quad(fun,a,b,...)

AlgoritmoUsa un algoritmo adaptivo que toma como base la Regla Simpson empleando por defecto una tolerancia absoluta de 10-6

quadl (integral en las nuevas versiones)Computa la integral definida mediante un algoritmo recursivo de alto orden (Cuadratura de Lobatto).

SintaxisSímil anterior

AlgoritmoCudratura adaptiva de Gauss-Lobatto. Tolerancia absoluta por

defecto de 10-6 (http://www.inf.ethz.ch/personal/gander).

MA

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ER

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OS

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CO

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CIO

NA

LE

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FUNCIONES DE MATLAB

dblquad (integral2 en las nuevas versiones)Computa la integral sobre de una función f(x,y) con límites constantes

Sintaxisq = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)

AlgoritmoUtiliza la funcion quad para la evaluación de las integrales según x y según y

triplequad (integral3 en las nuevas versiones)Simil anterior para integrales triples

Sintaxistriplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)

Diferenciación numérica de datos: diferenciasfinitas, uso de fórmulas de interpolación. Estimaciónde derivadas parciales. Integración numérica:planteo general. Integración de datos igualmenteespaciados, fórmulas de Newton-Cotes, aplicaciónmúltiple de las fórmulas de Newton-Cotes,estimación del error de truncación. Extrapolación deRichardson, algoritmo de Romberg. Cuadraturas deGauss. Integración de datos no equi-espaciados.Integrales impropias. Métodos adaptivos de cua-dratura. Integrales múltiples. Funciones de Matlab.

TEMAS

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MATEMATICA 8 NUMERICA · Derivación e integración de funciones v t. Diferenciación numérica de...

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