MATEMATICA 8

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El material didáctico Guía para el Profesor, Matemática 8, Proyecto Bicentenario, para Octavo año de Educación Básica, es una obracolectiva, creada y diseñada por el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección de

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

Coordinación Científico-Matemática: Gabriel Moreno Rioseco

Edición: Ángela Baeza PeñaMarcia Villena Ramírez

Colaboradora: Valeria Sáez Gómez

Autora: María Antonieta Santis Ávalos

Corrección de estilo: Isabel Spoerer Varela Astrid Fernández Bravo

Documentación: Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNA

Con el siguiente equipo de especialistas:

Coordinación Gráfica: Carlota Godoy Bustos

Diseño y diagramación: Mariela Pineda Gálvez

Cubierta: La Práctica S.P.A.

Producción: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

© 2009, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones. Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile). PRINTED IN CHILE. Impreso en Chile por Quebecor World S.A.ISBN: 978 - 956 - 15 - 1523 - 9 Inscripción N° 177.5722.535.

www.santillana.cl [email protected].

SANTILLANA® es una marca registrada de Grupo Santillana de Ediciones, S.L. Todos los derechos reservados.

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6Uni

dad

5Uni

dad

4Uni

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3Uni

dad

2Uni

dad

| 3 |

Índice

Presentación 4

Ejes del proyecto Bicentenario

Cuadro comparativo entre OFV y CMO 6

Organización del texto del alumno 10

Organización de la guía para el profesor 12

Planificación de las unidades 14

Números enteros 14

Potencias 32

Transformaciones geométricas 50

Funciones y proporcionalidad 70

Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos 90

Estadística 106

Probabilidad 124

Recursos 142

Solucionario de evaluaciones complementarias 142

Bibliografía 144

7Uni

dad

1Uni

dad

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| 4 |Santillana Bicentenario

El proyecto Bicentenario de Santillana, presenta una propuesta destinada a cubrir todos losrequerimientos del Ministerio de Educación.

Bicentenario, representa una enriquecedora instancia para evocar nuestro pasado y recogerlas experiencias vividas por la nación en doscientos años de vida republicana. A su vez,constituye un espacio abierto de debate y reflexión para crear, innovar y proyectar conliderazgo el futuro que hoy se construye en nuestras aulas.

El material didáctico que constituye esta serie, busca fomentar en los y las estudiantes lacomprensión de la realidad, facilitando la selección de estrategias para resolver problemas ycontribuir al desarrollo del pensamiento crítico y autónomo. Ademas, el currículum de estesector tiene por objetivo aportar al desarrollo de las capacidades de comunicación,razonamiento y abstracción de los alumnos y alumnas, impulsando el desarrollo delpensamiento intuitivo y la reflexión permanente.

La propuesta Editorial contempla el Texto del alumno, un Taller de ejercicios, un Anexo consolucionario, la Guía para el profesor y los Recursos digitales.

Ejes proyecto Bicentenario

1. Incorporación de los ajustes curriculares

La serie Bicentenario ha sido creada acorde a los nuevos ajustes curriculares publicados enjulio de 2008, abordando los nuevos requerimientos relacionados con los ObjetivosFundamentales Verticales y Contenidos Mínimos Obligatorios.

El propósito de esta nueva propuesta para el sector de Matemática es introducir a los y lasestudiantes en la comprensión del mundo que los rodea por medio de relaciones entre losdiversos aspectos de la realidad, basada en el conocimiento proporcionado por esta áreadel conocimiento.

PRESENTACIÓN DEL PROYECTO

Para el alumno(a): Texto del EstudianteTaller de ejerciciosAnexo con solucionario

Para el profesor(a): Guía del Profesor Recursos digitales


| 5 |

Se pretende que todos los alumnos y alumnas logren, en su formación general, unaeducación matemática básica. Esta perspectiva se expresa en los Objetivos Fundamentalesy Contenidos Mínimos Obligatorios orientados hacia un aprendizaje contextualizado delconocimiento matemático.

Así el sector de Matemática se ha reestructurado entorno a cuatro ejes temáticosfundamentales, estos son:

1º Números.

2º Álgebra.

3º Geometría.

4º Datos y azar.

2. Evaluación permanente y explícita

En los textos del proyecto Bicentenario, la evaluación se ha ido desarrollando en diversosmomentos a lo largo de cada una de las unidades con el propósito de obtener informaciónsobre los aprendizajes logrados. En este sentido se entregan evaluaciones diagnósticas, deproceso y finales. Cada evaluación cuenta con su correspondiente pauta de corrección conindicadores, criterios y actividades remediales y de profundización, que permiten atender ala diversidad de aprendizaje de los y las estudiantes.

Los tipos de evaluaciones que encontrará en el texto, se detallan a continuación:

• Evaluación diagnóstica. Se presenta al inicio de cada unidad para identificar losconocimientos previos con los cuales los estudiantes se enfrentarán a los nuevosaprendizajes y permite detectar falencias que pudieran entorpecer el logro deaprendizajes más complejos. Este momento evaluativo, es de carácter formativo.

• Evaluación de proceso. Se desarrolla durante la unidad y, dado su carácter formativo,permitirá al estudiante retroalimentar su desempeño y, al docente, realizar a tiempo lasmodificaciones necesarias para mejorar el logro de los aprendizajes.

• Evaluación final. Su carácter es sumativo, pues entrega información a cerca del nivel delogro alcanzado respecto de los aprendizajes esperados al término de la unidad, dandola posibilidad de reforzar los aprendizajes más débiles.

3. Innovación en el diseño

La propuesta gráfica pone énfasis en los recursos visuales, como infografías, ilustraciones,fotografías, esquemas, entre otros; con el propósito de apoyar la labor docente, al favorecerla construcción de aprendizajes, a partir de la comprensión visual.

4. Incorporación de las TIC

Con el objetivo de responder a la amplia gama de recursos tecnológicos y para atender la cobertura de alfabetización digital, se han introducido nuevos métodos de enseñanza-aprendizaje que contemplan el uso de las TIC como instrumento cognitivo y para la realización de actividades interdisciplinarias y colaborativas.

Los recursos digitales que contempla el proyecto son 3 discos compactos que contienen:el libro del alumno digital, tutoriales que muestran al docente cómo utilizar herramientasdigitales y la guía didáctica en formato PDF.



Par

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proc

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nent

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istem

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ord

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able

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luci

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oble

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éric

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mét

ricos

.•

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ilidad

esqu

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num

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ión

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Estim

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yra

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ble,

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ulta

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cion

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nega

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seg

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y c

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cia

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CM

O


| 7 |

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luci

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itos

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CM

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lexi

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geo

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ricas

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rea

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rmac

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mét

ricas

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entif

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yco

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cion

es t

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s co

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es.

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ient

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y

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fere

ncia

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l cál

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circ

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l círc

ulo

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med

io d

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lígon

os r

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ares

in

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truc

ción

de

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onos

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ción

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s.•

Inve

stig

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n de

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rela

cion

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entr

e lo

s án

gulo

s qu

e se

form

an

al in

ters

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una

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tos

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fere

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unfe

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com

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os.

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ro, á

rea

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lum

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os y

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ncia

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CM

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teriz

ar y

efe

ctua

rtr

ansf

orm

acio

nes

isom

étric

as d

e fig

uras

geom

étric

as e

n el

pla

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reco

noce

r al

guna

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prop

ieda

des

e id

entif

icar

situa

cion

es e

n co

ntex

tos

dive

rsos

que

cor

resp

onde

na

aplic

acio

nes

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acio

nes.

•U

tiliz

ar lo

s co

ncep

tos

depe

rímet

ro d

e un

aci

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ncia

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rcul

o y

volu

men

de

cilin

dro

y co

no e

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reso

luci

ón d

e pr

oble

mas

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div

erso

s co

ntex

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tiliz

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istem

átic

amen

tera

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mie

ntos

ord

enad

osy

com

unic

able

s pa

ra la

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luci

ón d

e pr

oble

mas

num

éric

os y

geo

mét

ricos

.•

Ana

lizar

y a

ntic

ipar

los

efec

tos

en la

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a, e

lpe

rímet

ro, e

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a y

elvo

lum

en d

e fig

uras

ycu

erpo

s ge

omét

ricos

al

intr

oduc

ir va

riaci

ones

en

algu

no(s

) de

sus

ele

men

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s, án

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s).

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cono

cer

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dific

ulta

des

prop

ias

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med

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n de

curv

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izar

mod

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étric

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Dat

os y

aza

r•

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info

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pado

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rval

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prov

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rsas

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tos,

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s al

eato

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con

resu

ltado

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cont

rast

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rimen

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s.

Tra

tam

ient

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rmac

ión

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y gr

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util

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la p

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Lect

ura

y an

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s de

res

ulta

dos

de e

ncue

stas

de

opin

ión.

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a e

inte

rpre

taci

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ein

form

ació

n a

part

ir de

tab

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defre

cuen

cia

con

dato

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rupa

dos

en in

terv

alos

, tom

ados

de

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rsas

fuen

tes

o re

cole

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os m

edia

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expe

rimen

tos

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cues

tas.

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mét

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lisis

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jem

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s, a

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erim

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sal

eato

rios,

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e lo

s re

sulta

dos

son

equi

prob

able

s.•

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ón e

n fo

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ica

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prob

abilid

ad d

e oc

urre

ncia

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ento

en

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xper

imen

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orio

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n un

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ltado

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ando

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gla

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y a

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cion

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unic

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dive

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y

naci

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resu

ltado

s ut

ilizan

do y

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amen

tand

o di

vers

asfo

rmas

de

pres

enta

r la

info

rmac

ión

y re

sulta

dos

del a

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acu

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a

la s

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ión.

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rmul

ació

n y

verif

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ión

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njet

uras

rel

acio

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s co

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lcul

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l vol

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no; c

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el á

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supe

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e de

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ión

y cá

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| 11 |



La guía para el profesor del Texto Matemática 8º, Proyecto Bicentenario, es un material creado por editorial Santillana como apoyo al proceso de enseñanza-aprendizaje para el subsector de Matemática. Esta propuesta de guía incorpora materialconcreto de apoyo a la labor docente, a través de diversos elementos que se desarrollan en el interior de las páginas.

A continuación se describen los tipos de página que encontrará en cada unidad:

Organización de la guía

1. Páginas de inicio

Título de la unidad

Introducción de la unidadDescribe el propósito dela unidad.

2. Esquema de la unidadOrganizador gráfico que muestra losprincipales conceptos tratados en eldesarrollo de la unidad.

3. Sugerencias metodológicas

Información para el docenteEsta sección está destinada a entregar información anexaal docente, de manera de profundizar y complementarla información dada en el texto del alumno.

Actividades complementariasProporciona al docente actividades que pueden serrealizadas antes, durante o después del tratamiento decontenidos y que permiten profundizar o reforzar losconceptos principales abordados en las páginas del texto del estudiante.

Contenidos de la unidadListado de los contenidosdesarrollados en el textodel estudiante.CMOOFV

OFTTiempo estimado

TareaEn esta sección seproponen diversasactividades deprofundización para quelos estudiantes desarrollenlos temas trabajados.


| 13 |

Sugerencias de evaluación Para las evaluaciones de cada unidad del texto del alumno,se presenta una tabla que organiza para cada ítem losindicadores, las preguntas que responden a cada indicador,los criterios de logro, remediales y actividades deprofundización.

Errores frecuentes o posibles dificultadesEsta sección presenta dos instancias de trabajo, una de ellases la relacionada con los errores más comunes en quesuelen incurrir los alumnos y alumnas, proponiendoestrategias para evitar y subsanar estos errores. Y la otra, se relaciona con las posibles dificultades que los y lasestudiantes pueden presentar, donde para superarlas sepresentan remediales e indicaciones útiles.

4. Evaluaciones complementariasCada unidad presenta dos páginas destinadas a evaluarlos contenidos de la unidad mediante preguntas deselección múltiple.

5. Solucionario Entrega las respuestas de las evaluacionescomplementarias de la guía para el profesor.

6. BibliografíaEntrega una serie de recursos bibliográficos que lepermitirán ampliar el contenido de los temas tratadosen cada unidad del texto.


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| 14 |

UNIDAD 1 (14-31):Layout 1 28/1/09 12:01 Página 14

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| 15 |



Esquema de la unidad

Información para el docente

• Los alumnos y alumnas estudiaron números enteros en el curso anterior, sin embargo, serecomienda recordar ejemplos de la vida cotidiana donde es necesario utilizar númerosnegativos, algunos conceptos básicos de orden, el valor absoluto, etc.

• El proyecto presentado en las páginas de inicio promueve el ahorro de energía a través deinformación acerca de las alternativas que existen para la obtención de energía en otras fuentesde recursos naturales y presenta aquí la energía geotérmica. Una de las preguntas del proyectogrupal tiene relación con las ventajas de este tipo de energía, para información del docente unade ellas es que existe menos probabilidades de agotar el yacimiento térmico, puesto que el aguaque sale de los pozos se devuelven a otro conservando una importante cantidad de energíatérmica. Puesto que la cantidad de agua total se mantiene entre los pozos, tampoco se agota elagua del yacimiento. Los residuos contaminantes producidos por este proceso son mínimos yocasionan mucho menos impacto al medio ambiente comparado con otras fuentes energéticascomo el carbón y el petróleo. Por último esta fuente de energía nos permitiría dejar ladependencia de fuentes energéticas del exterior.

Páginas de inicio (Páginas 8 y 9)

Sugerencias metodológicas

NÚMEROS ENTEROS

Orden Valor absoluto Uso de paréntesisOperatoria

Adición

Aplicación en laresolución de problemas

Sustracción Multiplicación División


–1.025

| 17 |

UNIDAD 1 | Números enteros


• Para repasar se puede pedir a los y las estudiantes que realicen las siguientes actividades:

Representa con números y signos las siguientes cantidades involucradas.

1. Debo una cuota de $ 13.500 a una casa comercial.2. En el banco tengo un saldo a favor de $ 1.200.3. Una tortuga marina puede sumergirse 1.200 metros, aproximadamente, bajo el nivel del mar.4. Mi hermanito tienen 39º de fiebre.5. Estacioné mi auto en el tercer subterráneo.6. A lo lejos se ve un velero en el horizonte.

Encuentra el antecesor y sucesor de los siguientes números enteros.

Ubica los siguientes números en la recta numérica.

Da un ejemplo de la vida cotidiana donde sea posible utilizar las siguientes cantidades.

1. –$ 13.5002. –3 ºC3. –1.200 km4. Piso –25. –20%

Número Antecesor Sucesor

0

–13

24

–35

–201

0

–4 6 –9 1 10


Interpretar ycalcular adiciones ysustracciones denúmeros enteros yresolver problemasque involucranestas operaciones.

Representarnúmeros enterosen la rectanumérica ydeterminarrelaciones deorden entre ellos.

5

6

9


¿Qué recuerdo? (Páginas 10 y 11)

IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon

Remediales/sugerencias de profundización

1 B

2 A

3

Alternativa correcta: C

Alternativa D: 436 – 435

2 / 3

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnas através de situaciones de la vida cotidiana identifiquennúmeros enteros y los representen adecuadamente através del signo positivo y negativo.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y alumnaslogren identificar propiedades que se cumplen graciasa los números enteros y que no existen en losnúmeros naturales.

Caracterizar yutilizar losnúmeros enterosdistinguiendo quecon ellos sesolucionanproblemas que noeran posibles deresolver usandonúmeros naturales.

4 A

B

D

–9 < –7 < –4 <

0 <5 < 8

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los y las estudiantes debanubicar números enteros en la recta numérica yordenarlos de menor a mayor y viceversa.

• Realizar ejercicios donde los alumnos y alumnasdeterminen los opuestos de números enteros y su valor absoluto.

8

10

11

7 B

B

322 a. C

Platón

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los y las estudiantesresuelvan adiciones y sustracciones utilizandodiferentes combinaciones de signos.

• Realizar ejercicios donde los alumnos y alumnasdeban resolver problemas de la vida real a través del cálculo de adiciones y sustracciones de númerosenteros.


• Antes de comenzar la unidad los alumnos y alumnas deben repasar los siguientes contenidos:

– Uso de números negativos en la vida diaria.– Orden en números positivos y negativos.– Adición y sustracción de números positivos y negativos.


| 19 |



• En este primer contenido también hay que mencionar que en el conjunto de números enterosexiste el neutro aditivo que no se tenía en los números naturales, y que para este valor tantosu inverso como su valor absoluto es el mismo número.

• Es importante señalar a los y las estudiantes que las distancias son siempre positivas sin importarsu dirección, por lo que, para indicar su sentido es necesario el uso del signo negativo o positivo,por ejemplo, para indicar distancias bajo el nivel del mar. Así como estas distancias, las distanciasen la recta numérica también son siempre positivas.

• El docente puede hacer uso tanto de una recta horizontal como una recta vertical pararepresentar cantidades negativas y positivas, el segundo caso es útil cuando utilizamos modeloscomo el de temperatura bajo y sobre cero, distancias, altura y profundidad, etc.

• Conjeturar con los alumnos y alumnas que el valor absoluto de un número negativocorresponde a su opuesto, mientras que el valor absoluto de un número positivo es el mismo.Analizar con los y las estudiantes el inverso aditivo del 0, como este valor no tiene signo nopodemos usar la definición de la página 12, pero si podemos usar que la suma de un númerocon su inverso es 0, para determinar finalmente que el inverso aditivo de 0 es el mismo.

• La definición formal y algebraica del valor absoluto está dada por:

x = x si x � 0x = – x si x < 0

Comentar esta notación con los alumnos y las alumnas porque les sirve para utilizar el lenguajealgebraico.

Actividades complementarias

Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica.

1. El inverso aditivo de un número entero es igual a su valor absoluto.2. El inverso aditivo del inverso aditivo de un número entero es el mismo número. 3. El inverso aditivo del valor absoluto de un número entero es siempre un número negativo ó 0.4. Al comparar dos números negativos, el menor de ellos será el que posea mayor valor absoluto.5. El inverso aditivo de un número siempre es menor que el número.6. El inverso aditivo de un número es el mismo número pero con signo contrario.7. El 0 siempre es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier positivo.

Completa con los signos =, < ó >, según corresponda.

1. – –a – a 2. –a a 3. – –a –a

Conceptos y relaciones en los números enteros (Páginas 12 y 13)



Errores frecuentes y posibles dificultades

• Es muy posible que los y las estudiantes al verse enfrentados a afirmaciones y conclusionesacerca de los números enteros, verifiquen las propiedades en números negativos y positivos,pero no recuerden verificarlas para 0, lo que provocará que lleguen a conclusiones erróneas,por ejemplo, pueden concluir que el inverso aditivo de un número es el mismo número perocon el signo contrario, lo que no se cumple para el cero ya que no posee signo. Se lerecomienda al docente que para cualquier conclusión o pregunta que se realice a cerca de losnúmeros enteros, siempre verifique y comente el caso del 0.

Adición y sustracción de enteros (Páginas 14 y 15)


• En la adición de números enteros de distinto signo pueden surgir ciertas dificultades oconfusiones en ciertos casos. El utilizar la recta numérica para representar la adición es unabuena decisión porque gráficamente aclara la regla de los signos, pero hay que tener cuidadoen fundamentarlas correctamente; la operación adición en la recta implica siempre un avance,pero si se está sumando un número negativo, se cambia de dirección lo que se traduce en unretroceso. Utilizando esto se puede lograr que los propios alumnos y alumnas deduzcan la reglade los signos en el caso de la adición de enteros y como la sustracción se traduce a una adicióncon el inverso aditivo, es posible abarcar todos los casos.

• Para introducir la sustracción de números enteros es útil presentar ejemplos en que se debacalcular la “diferencia” entre dos números, por ejemplo, la oscilación térmica, distancias entrealtura y profundidad, saldos, etc. Al realizar este tipo de ejercicios los y las estudiantes llegaránsin dificultad al resultado de la sustracción por lo que será más fácil justificar el procedimiento aseguir, incluso ellos mismos(as) guiados por el o la docente podrán deducir el algoritmo.

• El docente debe hacer énfasis en que al traducir un problema que contenga operacionesmatemáticas, los(as) alumnos(as) identifiquen correctamente las sustracciones y las adiciones y,luego se realicen las transformaciones correspondientes para encontrar el resultado.

Errores frecuentes o posibles dificultades

• Para que los alumnos y alumnas logren realizar sustracciones de números enteros, es necesarioque manejen el concepto de inverso aditivo. Se le sugiere al docente repasar y profundizar esteconcepto antes de realizar sustracciones.

• En esta unidad se introduce un elemento que no se utilizaba antes en las operaciones, quecorresponde al paréntesis, el docente debe previamente explicar la función del paréntesis en elcaso de adición y sustracción de números negativos.


| 21 |


• En el caso de la adición de números de distinto signo, los(as) alumnos(as) recuerdan restarambos números pero se equivocan frecuentemente en el signo del resultado. El docente deberemediar estos errores realizando diferentes actividades para que logren practicar el algoritmo,como por ejemplo, utilizar la recta numérica, o bien, algún contexto como el de deuda y haberque sirve para que los(as) alumnos(as), aunque no manejen la regla de signos, logren identificarel signo del resultado de una adición.


En la recta numérica representa las siguientes operaciones, guíate por el ejemplo, en el casode las sustracciones transfórmalas primero a adición y luego represéntala.

5 + (–3)

– Paso 1: ubica el primer sumando en la recta. – Paso 2: avanza la cantidad de veces que indica el valor absoluto del segundo sumando, hacia

la derecha, si es positivo, o hacia la izquierda si es negativo.

1. –5 + (–2)2. 8 + (–9)3. –6 – (–4)4. –7 + 25. –6 – 76. 9 – (–3)7. 10 – 11

Resuelve los siguientes problemas, expresando con los signos correspondientes las cantidadese identificando si la operación a realizar es una adición o una sustracción.

1. Karen debe pagar una cuota de $ 17.000, pero solo tiene $ 15.500. ¿Cuánto le falta?2. La temperatura más alta de la semana fue 5 ºC y la más baja 3 ºC bajo cero, ¿cuál fue la oscilación

térmica de esta semana?3. En un campeonato de fútbol los equipos jugadores al ganar un partido suben un punto, al

empatar quedan igual y al perder bajan un punto. Si el equipo Los toros, ganó 6 partidos empató3 y perdió 7, ¿cuál es su puntaje final?

4. Un buzo logró descender 8 metros bajo el nivel del mar, luego ascendió 3 metros y nuevamentebajó 5 metros, ¿a qué altura o profundidad quedó el buzo?

Da ejemplos numéricos de adiciones y sustracciones de números de distinto signo que entreguenlos siguientes resultados.

1. Suma positiva.2. Suma negativa.3. Suma cero.4. Resta positiva.5. Resta negativa.6. Resta cero.

0 5

0 2 5

Se retroceden 3 lugares



Tareas

En la siguiente lista de números, de mantenerse el patrón, encuentra el número que sigue.

1. … –15, –12, –9, –6, ____2. 12, 6, 0, –6, ___3. –10, –7, –4, –1, 2, ____4. –1, 1, –1, 1, –1, ____


Encuentra el valor que falta en las siguientes expresiones:

1. 12 – x = –12. –8 + z = –23. –4 – y = 84. –4 + x = –7

Multiplicación de un número positivo por un número negativo (Páginas 16 y 17)


• Es bastante simple justificar la regla de los signos cuando la multiplicación se trata de un númeropositivo por otro negativo, ya que es posible llevarlo a la vida cotidiana. El docente podríaintroducir este contenido con situaciones reales, por ejemplo, si no pagamos una cuota mensualdurante 5 meses, el resultado final sigue siendo una deuda, o si bajamos constantemente ciertaprofundidad, al final estaremos bajo el mar, si durante el mes la temperatura baja constantementea partir de 0 ºC por ejemplo, al final de una semana la temperatura será bajo cero. Luego deeste tipo de ejemplos, el alumno(a) podrá deducir que siempre el resultado de unamultiplicación de un número positivo por otro negativo es negativo, y más general posible, lasmultiplicaciones con números de distinto signo dan como resultado un número negativo.


Resuelve los siguientes problemas traduciendo la operación que se debe realizar y expresandocon signos las cantidades involucradas.

1. En Puerto Montt la temperatura mínima de hoy fue –1 ºC, se espera que en los siguientes7 días suba 2 ºC cada día, ¿cuánto subirá en total? ¿a cuánto llegará la temperatura?

2. En la Antártica, en los próximos 5 días la temperatura descenderá 1 ºC y llegará a los 4 ºC,¿cuál es la temperatura de hoy?

3. El 8º A no ha pagado al centro de alumnos la cuota de $ 3.000 en 5 meses. Con la kermessedel sábado anterior juntaron $ 8.000, ¿cuál será el saldo a favor del 8ºA?

4. En la prueba de lenguaje, el profesor descontó 1 punto por cada 10 faltas de ortografía. Gloriase había sacado un 6,8, ¿cuál fue su nota final si tuvo 20 faltas de ortografía?


| 23 |


Multiplicación de dos números enteros negativos (Páginas 18 y 19)


Completa según el patrón.

1.

2.

En parejas, analicen la siguiente secuencia, luego contesten las preguntas.

(–1) · (–1) · (–1) · (–1) = 1(–1) · (–1) · (–1) = –1(–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) =1(–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1

1. ¿Pueden encontrar algún patrón entre la cantidad de –1 que se multiplicaron y el signo delresultado?

2. ¿Sucederá para cualquier número distinto de uno? 3. Representen sus conclusiones utilizando lenguaje algebraico.


• La regla de los signos para la multiplicación de números negativos es difícil de comprender paralos y las estudiantes, por que ningún modelo de la vida cotidiana sirve para representar estamultiplicación y menos para justificar la regla para el signo del resultado. Por otra parte, losalumnos y alumnas están acostumbrados a relacionar que el producto de dos factores es mayorque cada uno de los factores, no así en el caso de los números enteros (no considerando elvalor absoluto). Para superar esta idea, el docente puede recurrir a ejemplos de productos denúmeros decimales o fracciones en que esto tampoco se cumple y hacer énfasis en quecomprendan el concepto de valor absoluto.

•

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

0

1

–4

2

–8

3 4 5 6

•

–9

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0

0

1

–9

2

–18

3 4 5 6



¿Cómo voy? (Páginas 20 y 21)

IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los y las estudiantes debanordenar números enteros, ubicarlos en la rectanumérica, identificar su valor absoluto y su inversoaditivo.

• Realizar ejercicios donde los alumnos y las alumnasdeban analizar y decidir si las conclusiones conrespecto al orden y las propiedades de los númerosenteros son verdaderas o falsas.

Identificar,comparar yanalizar númerosenteros utilizandoconceptos como el valor absoluto,inverso aditivo yrelación de orden.

2 D

3 B

4 A

2 / 3

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesdeban calcular adiciones y sustracciones de númerosenteros repasando la regla de los signos.

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnasdeban resolver problemas de la vida cotidiana dondela solución sea a partir del cálculo de adiciones osustracciones de números enteros.

• Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as)deban completar patrones aditivos donde lostérminos involucrados sean números enteros.

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnasdeban completar cuadrados mágicos con númerosenteros.

Sumar y restarnúmeros enteros.

5 B

6 A

7 B

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as)deban calcular multiplicaciones de números enterosrepasando la regla de los signos. Realizar ejercicios enlos que los(as) alumnos(as) deban resolver problemasde la vida cotidiana donde la solución sea a partir delcálculo de multiplicaciones de números enteros.

• Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnasdeban completar patrones multiplicativos, donde lostérminos involucrados sean números enteros.

Multiplicarnúmeros enteros yresolver problemasque involucran lamultiplicación denúmeros enteros.

8 C

9

–24 y 5.040,respectivamente.El patrón utilizadoes multiplicar elprimer númeropor (–1), elsegundo por (–2), y asísucesivamente.

10 –84 m


1. ¿Cuál es la media de la temperatura mínima registrada?2. ¿Cuál es el promedio de la temperatura máxima registrada?3. ¿Cuál fue la oscilación térmica media?

Un buzo baja constantemente 6 metros de profundidad, este descenso lo realizó 5 veces y sedemoró 45 minutos.

1. ¿A cuántos metros de profundidad llegó?2. ¿Cuál fue su velocidad media?

En la tabla se muestran las ganancias y pérdidas de una empresa desde el año 2000 al 2008.

1. ¿El saldo de la empresa para el año 2009 es positivo o negativo?2. ¿Cuál fue la ganancia promedio durante estos años?

2006

$ 101.000.000

2007

–$ 67.000.000

2008

$ 12.000.000

2005

–$ 24.000.000

2004

$ 53.000.000

2003

–$ 11.000.000

2002

–$ 8.000.000

2001

$ 32.000.000

Puerto Montt –11 ºC –4 ºC

Puerto Natales –2 ºC 11 ºC

Coyhaique –3 ºC 21 ºC

Chiloé –1 ºC 15 ºC

| 25 |


División de números enteros (Páginas 22 y 23)


• Es importante justificar a los(as) alumnos(as) que la división de números enteros tiene la mismaregla de los signos que la multiplicación, ya que una es la operación inversa de la otra. El docentedebe mostrar a los y las estudiantes que una multiplicación tiene asociada dos divisiones exactas.

• Un buen ejemplo de la vida cotidiana para realizar ejercicios de división de números enteros escalcular el promedio, ya sea de temperaturas bajo cero, la velocidad con que se llega a ciertaprofundidad, etc.


La temperaturas registradas en el sur de Chile fueron las siguientes:

Ciudad

Año

Ganancias o pérdidas

2000

$ 12.000.000

Tº Mínima Tº Máxima

Puerto Montt –2 ºC 12 ºC



Uso de paréntesis (Páginas 24 y 25)


• Antes de comenzar con este contenido realizar ejercicios combinados y recordar con losalumnos y las alumnas el orden de las prioridades de las operaciones en los números naturales.

• El buen uso de la eliminación de paréntesis es imprescindible para posteriormente la resoluciónde ecuaciones y la reducción de términos semejantes.

• La utilización de la calculadora básica es un claro ejemplo de la importancia del orden de lasoperaciones, incluso una calculadora científica necesita el uso de paréntesis para poder llegar aun correcto resultado.


• Existen diferentes dificultades con respecto a la eliminación de paréntesis, por ejemplo, algunosalumnos y alumnas solo cambian el signo del primer valor dentro del paréntesis. Una manerade evitar esto, es indicarle a los alumnos y las alumnas que el signo menos de un paréntesissignifica que el paréntesis está siendo multiplicado por –1. Otra posible dificultad es que los(as)alumnos(as), al traducir un problema al lenguaje matemático, no logren identificar cuál operacióndebe llevar paréntesis como una manera de priorizar las operaciones.


Con una calculadora resuelve los siguientes ejercicios sin olvidar el orden de las operaciones.

1. 13 – 14 · 2 + 8 : 4 – (4 – 2) =

2. 4 + (–12) · 2 + 5 – 8 : 2 =

3. 13 · 6 – 14 : 2 + (–8) =

4. –3 + 8 – (–2) =

5. 12 + (– 8– 6) + –7 – (–9) =

6. 11 – (–2) – 5 – (4 – 3) =

Resuelve el siguiente ejercicio.

{[(3 + 2) – 4 · 8] – [5 – (3 · 6) – 1] : 7}

Determina en cuál(es) de los siguientes casos no es necesario el uso de paréntesis.

1. (3 · 8) +5 – 4 2. 3 · (8 + 5) – 4 3. 3 · 8 + (5 – 4)


| 27 |


Análisis de procedimientos de resolución (Páginas 26 y 27)


• Muchas veces los y las estudiantes no desean aprender más de un método de resoluciónporque afirman que les confunde o que se les olvidará el que aprendieron bien. Es tarea delprofesor mostrarles que los diferentes procedimientos de resolución muchas veces respondena diferentes tipos de ejercicios o problemas, algunos procedimientos de resolución son másadecuados que otros, y por ello, deberá conocer y manejar todos los posibles para que en undeterminado momento pueda decidir cuál de ellos le conviene, y así lograr con éxito elresultado. En el caso de los ejemplos del libro, ¿qué hubiese sucedido si en vez de númerostenemos letras? El procedimiento de Diego sería el más adecuado, de hecho el que siguió Diegoes más recomendable cuando tenemos que reducir expresiones algebraicas y el de Anita paraejercicios numéricos combinados. También existen diferentes criterios para decidir cuálprocedimiento es mejor, por ejemplo, cuál es más simple, cuál es más rápido, cuál aseguramayormente un resultado correcto, en fin.

Ejercicios resueltos (Páginas 28 y 29)


• Es necesario incluir problemas donde los y las estudiantes deban plantear y resolver ecuacionesusando números enteros, ya que en la resolución de problemas por medio de ecuaciones losnúmeros enteros y sus operaciones juegan un rol importantísimo y proveen de herramientasque permiten resolver problemas que anteriormente no era posible.

Estrategias para resolver problemas (Páginas 30 y 31)


• Para el primer ejercicio del “Ahora tú” recomendar a los alumnos y alumnas utilizar la estrategia“empieza por el final”, esta estrategia se puede utilizar en aquellos problemas donde seproporciona el resultado de una serie de pasos y se debe buscar el valor original o intermedio.Para resolver este tipo de problemas se empieza retrocediendo en las operaciones hasta llegaral valor que se busca.



Síntesis (Página 33)


• Revisar con los y las estudiantes el proyecto presentado a principio de la unidad. Comentar yreflexionar con ellos acerca de la importancia de los números negativos en nuestra vidacotidiana, realizarlo con las preguntas que aparecen en estas páginas. También instar a los(as)alumnos(as) que realicen la sección “Trabajo con la información” ya que es una excelenteoportunidad para que relacionen los contenidos vistos en clases con temas de actualidad y demedios de comunicación.

Preguntas tipo SIMCE (Páginas 34 y 35)

Tarea

Lee el siguiente pronóstico del tiempo. (www.simce.cl)

De acuerdo a esta información, ¿qué día se registrará la temperatura más alta?

A. Jueves. C. SábadoB. Viernes. D. Domingo


3

2

| 29 |


¿Qué aprendí? (Páginas 36 a 39)

IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 A

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban representar diversos contextos con númerosenteros. Realizar ejercicios en lo que los alumnos yalumnas deban ordenar números enteros y determinarel inverso aditivo y el valor absoluto de un númeroentero.

• Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as)deban contestar preguntas acerca de las propiedadesde orden, propiedad del inverso aditivo y del valorabsoluto de números enteros.

Caracterizarnúmeros enteros yutilizar conceptoscomo el valorabsoluto, inversoaditivo, y relacionesde orden.

A

C

2 / 3

• Realizar ejercicios en lo cuales los alumnos y lasalumnas deban calcular adiciones y sustracciones de números enteros.

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesdeban resolver un problema de la vida cotidiana através de adiciones y sustracciones de númerosenteros.

Aplicar lasoperaciones de adición ysustracción denúmeros enteros,relacionándolascon situaciones enlas que se utilizan.

4 B

5 C

13158 ºC

y 2.342 ºC

3 / 4

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y lasalumnas deban calcular multiplicaciones y divisionesde números enteros en contextos numéricos comode la vida cotidiana.

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban encontrar el término que falta en unamultiplicación y división de números enteros.

Calcular y utilizarmultiplicaciones ydivisiones denúmeros enteros,analizando susprocedimientos deresolución.

6 B

7 B

8 C

14

3 / 4

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnasdeban resolver operaciones combinadas de númerosenteros aplicando la prioridad de las operaciones.

• Realizar ejercicios en los cuales el alumno y alumnadeban resolver operaciones combinadas incluyendoparéntesis, donde sea necesario eliminar paréntesis y aplicar la prioridad de las operaciones.

Comprender yaplicar lasprioridades de lasoperaciones y usarlos paréntesis pararesolver problemasque requieren deoperacionescombinadas denúmeros enteros.

9 A

10 D

11 –4

12

10 min

–71



Evaluación de la unidad Material fotocopiable

NOMBRE: CURSO: FECHA:

Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.

1. ¿Cómo se expresa segundo subterráneo?

A. 1B. 2C. –2D. 0

2. ¿Cuál es el sucesor de –8?

A. –9B. –7C. 9D. 8

3. ¿Cuál es el inverso aditivo de | –47 |?

A. –47B. 47C. | 47 |D. No tiene.

4. ¿Qué grupo está ordenado de mayor a menor?

A. –27, –28, –30, –31, –29B. –31, –30, –17, –14, –11C. –11, –14, –17, 30, –36D. –27, –30, –31, –35, –36

5. ¿A cuál alternativa no equivale la operación –4 – (–5)?

A. –4 + 5B. 4 – 5 C. 4 + (–5)D. –4 – 5

6. El valor de –8 + 6 es:

A. –2B. 2C. –14D. 14

7. De mantenerse el patrón numérico, ¿cuál es el númeroque sigue en la siguiente secuencia?

15 6 –3 ___

A. 12B. –12C. 6D. –6

8. Una cuenta de ahorro tiene un saldo en contra de$ 12.500. ¿Cuánto se debe depositar para que elmonto quede en la situación opuesta?

A. –$ 12.500B. $ 12.500C. $ 25.000D. –$ 25.000

9. Pedro se encuentra en el séptimo piso y debe iral estacionamiento que se encuentra en el tercersubterráneo. ¿Cuántos pisos recorrerá Pedro?

A. 4 pisos B. 10 pisosC. –4 pisosD. –10 pisos


| 31 |

10. ¿Cuál es el inverso aditivo del producto de –13 y –7?

A. –91

B. 91

C. | 91 |

D. | –91 |

11. ¿Cuál es el valor que falta en la siguiente división? 56 : ____ = –7

A. –7

B. 7

C. –8

D. 8

12. ¿Cuál es el resultado de 3 · 4 – 6 : 3 + (–5)?

A. 5B. –5C. 3D. –3

13. La temperatura en un día ha bajado constantemente2 ºC cada hora. Si después de 7 horas la temperaturaes –5 ºC, ¿cuál fue la temperatura inicial?

A. –9 ºCB. 9 ºCC. –3 ºCD. 3 ºC

14. Un buzo llegó a una profundidad de 21 metros yse demoró 7 minutos, ¿cuántos metros bajó cadaminuto si su velocidad fue constante?

A. –3 mB. 3 mC. 28 mD. –28 m

15. La regla de los signos de la multiplicación y divisiónes la misma porque:

A. solo se pueden realizar divisiones exactas.B. la división es la operación inversa a la

multiplicación.C. la división no tiene inverso.D. no es la misma regla para ambas operaciones.

16. La expresión 8 – [–10 – (5 – 6 – 4)+1] equivale a:

A. –7B. 6C. 8D. 12

17. Si a = –5, b = 3 y c = –1 la expresión a · b – a · c + b · c equivale a:

A. –20B. 12C. –23D. –17

18. El valor de las acciones de una empresa disminuye$ 125 cada día. Si hoy valen $ 6.750, ¿cuánto valdrándentro de 7 días? Encierra la expresión que representael enunciado?

A. 125 · 7 – 6.750B. –125 · 7 + 6.750C. –125 · 7 – 6.750D. 125 · –7 – 6.750



2Pot

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| 32 |


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• En esta unidad se profundizará en las potencias de base racional y exponente entero, con previatransición de base natural a base racional y de exponente natural a exponente entero. Setrabajarán las mismas propiedades vistas en 7º Básico, útiles a la hora de calcular expresionesque involucran potencias. Por último, las aplicaciones y la resolución de problemas no se puedendejar de lado a la hora de trabajar con potencias.



POTENCIAS

De base un número entero yexponente un número natural

Multiplicación y división depotencias de igual base

Multiplicación y división depotencias de igual exponente

Potencia de una potencia

Propiedades

De base un número entero yexponente un número entero

Aplicaciones

Notación científica Crecimiento y decrecimientoexponencial


Medida del lado deltriángulo en potencia.

cm130

cm131

• En las páginas iniciales se introduce el tema con fractales y el conocido copo de nieve. Paracomplementar este inicio de unidad el docente puede llevar a los alumnos y las alumnas a loslaboratorios de computación y utilizar un software geométrico para que los estudiantes realicen,a través de las funciones que posea esta herramienta, una secuencia de pasos que tenga comoobjetivo reproducir el copo de nieve. Se invita a que el docente pueda aprovechar este tipo deherramientas para facilitar la experiencia de la construcción por parte del alumno o alumna, pueses un tanto complicada lograrla solo utilizando papel, lápiz, regla y compás.


• Para complementar el proyecto grupal, se puede presentar a los alumnos y alumnas laregularidad que se da con la medida del lado del triángulo que se va formado en cada etapa.Como esta medida es un número racional, puede servir de introducción para el tratamiento depotencias con base racional.

Completen la siguiente tabla.

| 35 |

UNIDAD 2 | Potencias

Etapa 1a 2a 3a 4a 5a

Medida del lado deltriángulo.

1 cm13

cm19

cm127

cm181


• Si bien en 7º Básico los alumnos y las alumnas revisaron el concepto de potencia y las propiedadesmás importantes, se recomienda que el docente realice un repaso de aquellas propiedades queno siempre se utilizan y, que por lo mismo, son fáciles de olvidar, por ejemplo:

a0 = 1 Ejemplo: (3)0 = 1 a1 = a Ejemplo: (2,4)1 = 2,4 0n = 0 Ejemplo: (0)5 = 0 1n = 1 Ejemplo: (1)–6 = 1 (an)m = an · m Ejemplo: (23)2 = 23 · 2 = 26 = 64


• Es posible que los alumnos y las alumnas confundan las propiedades de multiplicación y divisiónde potencias de igual base con las propiedades de multiplicación y división de potencias de igualexponente, para que el docente lo tenga presente y las ejercite de manera adecuada.



Utilizar potenciasde base 10 paraexpresar grandes o pequeñascantidades.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 5 · 5 · 5 = 125

3 / 4

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban expresar el desarrollo de una potencia ycalcular su valor. Realizar ejercicios en donde a partir del resultado deban expresarlo en potencia.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasa partir de una potencia, expresen el desarrollo deesta y busquen potencias equivalentes, por ejemplo,24 = 42 y luego calculen su valor.

Expresar eldesarrollo de unapotencia y calcularsu valor. 2 0,1 · 0,1 = 0,01

3 5 · 5 · 5 · 5 = 625

4 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001

545, Mult. deP = base

3 / 5

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban aplicar las propiedades de las potencias parafacilitar el cálculo de estas. Primero realizar ejerciciospara la multiplicación de potencias de igual base yluego ejercicios para la división de potencias de igual base.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban aplicar las propiedades de las potencias parafacilitar el cálculo de estas en ejercicios en que secombinen la multiplicación y la división de potenciasde igual base.

Identificar y utilizarpropiedades de laspotencias.

10 7,78 · 108

3 / 4

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban expresar cantidades grandes y pequeñas deuna manera abreviada utilizando potencias de 10.Pedirles que lo realicen dejando un cantidad entera y luego la potencia de 10 y que equivalentemente lohagan dejando una cantidad decimal multiplicada poruna potencia de 10.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasbusquen contextos en donde se utilicen cantidadesmuy grandes y muy pequeñas y que sea necesarioabreviar utilizando potencias de 10.

14 42 = 16 cm2

2 / 3

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban calcular áreas de cuadrados expresándolascomo potencias de 2.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban calcular áreas de cuadrados expresándolascomo potencias de 2 y deban transformar lasunidades de medida.

Aplicar elconcepto depotencia deexponente 2 alcálculo de área.

15 32 · 2 = 18 cm2

16 42 + 22 = 20 cm2

11 1,2 · 10–7

12 25 · 109

13 91 · 10–8

6216, Mult. de

P = base

7210, Mult. de

P = base

8155, Div. de

P = base

933, Div. deP = base


| 37 |


17 23 = 8 cm2

18 33 = 27 cm2

1 / 2

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban calcular volúmenes de cubos expresándolascomo potencias de 3.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban calcular volúmenes de cubos expresándolascomo potencias de 3 y deban transformar lasunidades de medida.

Aplicar potenciasde exponente 3para el cálculo de volumen.


• Es habitual que para contextualizar el concepto de potencia se muestren ejemplos donde labase es 2 ó 3, lo que podría producir un sesgo del concepto y no un enriquecimiento de él. Esun tanto complicado obtener situaciones contextualizadas que sean modeladas por potencias,y por bases distintas a 2 ó 3.

• Como el concepto de potencia ya es conocido por alumnos y alumnas, una manera deprofundizar en este tema, es utilizar expresiones algebraicas, para que así repasen el conceptoy ejerciten la operatoria con álgebra.

• Es importante mencionar la importancia del paréntesis al escribir potencias, por ejemplo: los

alumnos y alumnas deben comprender que no es lo mismo; ( )2

� 2

, porque su desarrollo

es · � y esto da resultados diferentes, � .

• Lo mismo ocurre en el caso de: (2a)2 � 2a2 ya que su desarrollo sería 2a · 2a � 2 · a · a, conun resultado de 4a2 y, el otro 2a2, respectivamente. Es importante que los y las estudiantescomprendan y ejerciten este tipo de ejercicios, para que cuando trabajen con potencias de basenegativa o con expresiones algebraicas, este tipo de actividad no sea un problema.


Expresa como potencia los siguientes productos.

1. m · m · m =

2. e · e · e · e =

3. d2 · d2 · d2 · d2 =

4. 2n · 2n · 2n · 2n · 2n · 2n =

5. a · b · b · b · a · a · c · c · b · a · c =

6. 3 · d3 · d3 =

12

14

1 · 12

12

12

12

12

Concepto de potencia (Páginas 46 y 47)



Expresa como producto.

1. a2 · b2 =

2. a3 · b5 · c2 =

3. 5a4 =

4. (3b)4 =

• Se plantean las siguientes actividades para profundizar con los alumnos y alumnas másaventajados.

Expresa como potencia los siguientes productos.

1. (a + b) · (a + b) · (a + b) =

2. ab · ab · ab · ab =

Expresa como producto.

1. (a + b)5 =

2. b + c3 =


• Respecto al signo del resultado de la potencia según la paridad del exponente (el exponentepuede ser par o impar), trabajar con los alumnos y alumnas el siguiente tipo de desarrollo, queen ocasiones puede facilitar determinados cálculos, por ejemplo:

–a3 = (–a)3 = –(a)3, ya que ya que –a3 = –(a · a · a) = –(a)3 y (–a)3 = –a · –a · –a = –a3

Es importante trabajar con los y las estudiantes, pidiéndoles que remplacen la letra “a” pornúmeros, para que comprueben las igualdades recién revisadas, y saquen sus propias conclusiones.Ayudar a los alumnos y alumnas a generalizar para cualquier exponente impar.

Potencias de base entera y exponente natural (Páginas 48 y 49)


| 39 |



Obtén el valor de las siguientes potencias.

1. (– )2

=

2. ( )2

=

3.2

=–23

–23

23


• Por ahora los alumnos tienen base racional y exponente natural, potencias de exponente enterose verán en unas páginas más adelante, por lo que se le recomienda al docente volver a ver laspropiedades cuando ya se hayan visto potencias de exponente entero para así ejercitar laaplicación de propiedades cuando se tienen exponentes negativos. Por lo tanto, en lasActividades complementarias se agregarán ejercicios de este tipo para que el docente los utilicecuando haya visto potencias de exponente entero.

• Es importante realizar ejercicios donde se apliquen las propiedades de la multiplicación y divisiónde potencias de igual base en expresiones algebraicas y que los alumnos y las alumnas ejercitenla simplificación de estas expresiones aplicando las propiedades.


• Es muy común que los alumnos apliquen la propiedad de multiplicación o división de potenciasde igual base cuando se enfrentan a adiciones o sustracciones, para evitar este error mostrar alos alumnos y las alumnas ejemplos donde se constaten las diferencias.


Simplifica las siguientes expresiones.

1. =

2. =

3. =

4. =24a7b5

–23a2b4

a7

a4

28 · 34 · –25 · 33

–26 · 32 · 25 · 34

–44 · 45

48

Multiplicación y división de potencias de igual base (Páginas 50 y 51)



Expresa como una sola potencia cada una de las siguientes expresiones.

1. 7–5 · 73 =

2. =

3. =

4. a–2 · a3 =

5. =

• La siguiente actividad se propone trabajarla con aquellos y aquellas estudiantes que no presentenmayores complicaciones con ejercicios que contengan expresiones algebraicas.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias.

1. 3a5b7 · 2a2b3 =

2. =

3. =

4. =c–2 · –3c4· 2c6

5c6 · c–2

(2a)6 · (2a)3 · (2a)2

(2a)4 · (2a)

3a3· 7a4

–7a5

c2 · c–5

c–3

–34 · 3–4 · 33

32

8–2

–83


• Se insiste a profesores y profesoras, que el trabajo con las propiedades de las potencias debehacerse tanto con números como con letras para ejercitar la simplificación de expresionesalgebraicas e ir puliendo el camino para las habilidades que se necesitan en contenidosalgebraicos que revisarán desde Primer Año Medio.

Multiplicación y división de potencias de igual exponente (Páginas 52 y 53)


| 41 |



Resuelve los siguientes ejercicios utilizando las propiedades de las potencias.

1. (0,8)6 · (2,5)6 =

2. (3 )8

: (5 )8

=

3. (– )5

: ( )5

=

4. ( )4

: (– )4

=

5. (2 )–7

: (2 )–7

=

• Los siguientes ejercicios se proponen para trabajar con aquellos alumnos y alumnas quepresenten menores dificultades en este contenido.

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias.

1. ( )a

· ( )a

· (– )a

=

2. –4a + b : 2a + b=

109

45

34

89

16

16

29

23

34

13

12


• Los alumnos y las alumnas tienden a sumar los exponentes y no a multiplicarlos, como indicaesta propiedad. Por lo que se propone que el docente realice ejercicios en los cuales los y lasestudiantes fundamenten esta propiedad con el desarrollo del ejercicio. Y, luego siganaplicándola sin dificultades.

• Los siguientes ejercicios se proponen para los y las estudiantes que presentan dificultades conesta propiedad.

Potencia de una potencia (Páginas 54 y 55)



Aplica la propiedad “potencia de una potencia” para resolver los siguientes ejercicios.

1. (a2)5 · (a3)4 =

2. (3a5b)4 : (–3a3b2)2 =

3. (an + m)2 =

4. ( )3

=–4n2

2m2


• Como en el curso anterior los y las estudiantes trabajaron el concepto de potencias y laspropiedades, se le recomienda al docente enfatizar en esta evaluación de proceso, en laspotencias de base racional y en particular, bases negativas, que es uno de los contenidos nuevosde esta unidad.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 A

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnastrabajen con potencias de base racional, losdesarrollen y calculen su valor.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasresuelvan problemas de planteamiento de potenciasde base racional y exponente natural, para queposteriormente las desarrollen y calculen su valor.

Comprender elconcepto depotencia.

3 B

1 / 2

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesdeban aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias con igual base racional. Plantear ejercicios combinando ambas operaciones.

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban obtener el valor de los exponentes, en los que se han aplicado las propiedades de multiplicacióny división de potencias de igual base.

Aplicar laspropiedades de la multiplicación y división depotencias de igual base.

4 D

2 C

9 3.125 y 46.656


Calcular lapotencia de una potencia.

| 43 |


5 C

1 / 2

• Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as)deban aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias con base racional e igualexponente. Plantear ejercicios combinando ambasoperaciones.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban obtener el valor de la base, cuociente oproducto, donde se ha aplicado las propiedades de multiplicación y división de potencias de igualexponente.

Utilizar laspropiedades de la multiplicación y división depotencias de igual exponente.

6 D

7 C

1 / 2

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasapliquen la propiedad de la potencia de una potencia,ya sea para encontrar su valor, o para encontrar laexpresión a partir del resultado.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasapliquen la propiedad de la potencia de una potencia para el cálculo de áreas y volúmenes.

8 221cm3


• Para los alumnos y las alumnas es difícil comprender la regularidad del concepto de una potenciacon exponente negativo. Por este motivo se propone al docente plantear, en un inicio, lasiguiente notación cada vez que se plantean expresiones con este tipo de exponente.

Encontrar el valor de una potencia a–n, ( )n

= a–n.


Sigue el siguiente ejemplo, para resolver los ejercicios utilizando potencias de exponente negativo.

( )4

· 75 = 7–4 · 75 = 7–4 + 5 = 71 = 7

1. ( )6

· 38 =

2. ( )2

: 44 =

3. (( )2)–2

=

4. 7–9 · 79=

15

14

13

17

1a

Potencias de exponente entero (Páginas 58 y 59)




• Los alumnos y las alumnas cometen un error muy frecuente, este es “trasladar” el signo del

exponente a la base, es decir, si se pide calcular 3–2, el resultado erróneo es – , o –9.

Una forma de evitar este error es ejercitar este cálculo incluyendo siempre todos los casos es decir:

22 , 2–2 , –22 , –2–2 , (–2)2 , (–2)–2

También se puede incluir lo siguiente:

( )–2

, ( )–2

, –( )–2

• Cuando alumnos y alumnas aplican las propiedades de multiplicación y división de potencias deigual base y se enfrentan a exponentes negativos en variadas actividades, muchas veces tienen

dificultades en la operatoria, por ejemplo, en el ejercicio al restar los exponentes calculan

– 2 – 3 y no transforman la resta en suma, es decir, – 2 – (–3)= –2 + 3

• Lo mismo ocurre cuando se multiplican potencias de igual base, los alumnos y alumnas sabenque deben sumar los exponentes, pero si uno es negativo esta suma se resuelve restando lascantidades, lo que a veces dificulta. Para evitar estos posibles errores, se recomienda quealumnos y alumnas repasen la operatoria con números enteros.

7–2

7–3

19

12

1–2

12


• Resaltar a los alumnos y alumnas que multiplicar por una potencia de 10 con exponentenegativo es equivalente a dividir por esa misma potencia de 10 y exponente positivo. Estoúltimo, lo han ejercitado en años anteriores y por tanto, les facilitará la comprensión.Ejemplos

Multiplicar por una potencia de 10 y exponente negativo 5 · 10–2 = 5 · ( )2 = 5 · = 0,05

Dividir por una potencia de 10 y exponente positivo 5 : 102 = = = 0,05


• Los alumnos y las alumnas tienen dificultades en expresar una cantidad en notación científica,muchas veces determinan el exponente solo fijándose en la cantidad de ceros que tiene elnúmero, lo que es muy mal procedimiento a la hora de representar cantidades pequeñas ennotación científica. Una manera de prevenir este tipo de error es ejercitar con los y lasestudiantes la división y la multiplicación por potencias de 10.

• En el caso de la división por potencias de 10, hacer la equivalencia con la multiplicacióncorrespondiente y su potencia de 10 con exponente negativo.

5100

1102

1100

110

Potencias de base 10 y notación científica (Páginas 60 y 61)


| 45 |



Expresa en notación científica y luego resuelve.

1. 75.000.000.000 · 0,0000005 =

2. 0,00000025 : 0,00000000005 =

El volumen del Sol es de 1.400.000.000.000.000.000.000.000.000 m3.

1. Exprese esta cantidad en notación científica.2. Exprese esta cantidad en notación científica y en cm3.3. Exprese esta cantidad en notación científica y en km3.

Un neutrón tiene un diámetro de 0,000000000000001 m.

1. Exprese esta cantidad en notación científica.2. Exprese esta cantidad en notación científica y en cm.3. Exprese esta cantidad en notación científica y en km.


• Uno de los objetivos de este contenido es trabajar con los alumnos y alumnas el estudio de losnúmeros encontrando regularidades de ellos para generalizar. En estas páginas, lo importante adesarrollar es la capacidad de observación de los distintos términos y el patrón de formaciónde la regularidad, para así construir los términos de esta regularidad numérica.

Otras regularidades de las potencias (Páginas 62 y 63)

Crecimiento exponencial (Páginas 64 y 65)


• El crecimiento exponencial es una de las funciones con la que se pueden modelar variassituaciones de la vida diaria, por lo que es de gran importancia que los alumnos y las alumnaslogren apropiarse de este concepto.

• Por el tipo de trabajo en las actividades es necesario que el docente formalice la ecuaciónexponencial, y así plantear de mejor manera la resolución de los ejercicios presentados,entregando otras herramientas para la resolución de problemas.

• Es importante realizar ejercicios en donde los y las estudiantes puedan relacionar el gráfico conel tipo de crecimiento que posee una variable y comparar con el crecimiento exponencial.

• Comentar con los alumnos y alumnas, que la constante mencionada en la definición del textocorresponde a la base de la potencia involucrada en la expresión que define el crecimientoexponencial.





• En el ejercicio 2, aclarar a los alumnos y alumnas que el factor buscado corresponde a lamultiplicación de los números primos que se multiplican para formar el cuadrado perfecto.



• Comentar con los(as) alumnos(as) que en algunas regularidades numéricas, la posición deltérmino puede corresponder al exponente, pero que en otras, el exponente corresponde alantecesor de la posición del término, como lo muestran los ejercicios resueltos en estas páginas.

Decrecimiento exponencial (Páginas 66 y 67)


• Es importante realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas relacionen el gráfico con el tipode decrecimiento que posee una variable y comparar con el decrecimiento exponencial.

• Comentar con los y las estudiantes, que la constante mencionada en la definición del textocorresponde a la base de la potencia involucrada en la expresión que define el decrecimientoexponencial.

Juegos y Síntesis (Páginas 72 y 73)


• Estas páginas se presentan para que alumnos y alumnas realicen un resumen de lo revisado enla unidad y despejen las dudas que hayan quedado en el trabajo con los contenidos.



• La pregunta 1 corresponde a una ecuación exponencial preguntada en la prueba SIMCE, por loque se le recomienda al docente introducir este concepto previamente (sugerencia planteadaen la página 65).


2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnas identifiquen situaciones de crecimiento ydecrecimiento exponencial indicando el factor decrecimiento o decrecimiento según corresponda.

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesresuelvan problemas que involucren crecimiento odecrecimiento exponencial, determinando el factor y modelando el crecimiento (o decrecimiento).V12

10 330Comprender y utilizar elcrecimiento(decrecimiento)exponencial en la resolución de problemas.

11; ; y ,

116

18

14

12

| 47 |



IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 D

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban expresar multiplicaciones como potencias debase racional y exponente entero, para desarrollarlasy calcular su valor.

• Realizar ejercicios en los que alumnos(as) debanexpresar cantidades como potencias con baseracional y exponente entero.

Comprender ycalcular potenciasde base racional yexponente entero. 2 D

6 D

3 A

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales alumnas y alumnosdeban aplicar las propiedades de las potencias pararesolverlas y obtener su valor.

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesdeban simplificar expresiones y resolver ejercicioscombinados con las operaciones básicas, utilizando las propiedades de las potencias.

Aplicar y analizarlas propiedades delas potencias.

5 C

8 C

4 B

2 / 3

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y las alumnasdeban expresar cantidades en multiplicaciones conpotencias de base 10 y exponente entero.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban utilizar la notación científica para expresarcantidades muy grandes y muy pequeñas, y resolverproblemas que involucren estas cantidades.

Expresar númeroscon potencias de10 y/o notacióncientífica. 7 C

9 C

respectivamente.






1. ¿Cuál es el valor de la siguiente potencia?

A. 1B. –1C. 2D. -–2

2. ¿Cuál de las siguientes relaciones corresponde a unaequivalencia?

A. (0,1)–2 =

B. 10–2 = –

C. 10–2 =

D. (0,1)–2 = –

3. La expresión es equivalente a:

A. 1B. 3C. 9D. –3

4. ¿Cuánto resulta ( )?A. 8B. 2C. –8D. –2

5. “La tierra tiene un volumen de1.070.000.000.000.000.000.000 m3”, esta cantidadexpresada en notación científica corresponde a:

A. 1,7 · 1021

B. 1,07 · 1020

C. 1,07 · 1021

D. 1,07 · 10–20

6. “El peso de un átomo de hidrógeno es de 0,00000000000000000000166 gramos”, esta cantidadescrita en notación científica es:

A. 1,66 · 1023

B. 1,66 · 1021

C. 1,66 · 10–23

D. 1,66 · 10–21

7. “Un año tiene 3,1536 · 107 segundos “. Esta cantidades equivalente a:

A. 31.536.000 segundos.B. 315.360.000 segundos.C. 315.360 segundos.D. 0,0031536 segundos.

8. Si el área de un cuadrado es 94 m2, ¿cuál de lassiguientes medidas no puede ser la medida del lado?

A. 34 mB. 243 mC. 81 mD. 92 m

–42

23

–32 · 37

–38

1100

1100

1100

1100

(–2)2

4

UNIDAD 2 (32-49)6.0 14/9/09 12:03

| 49 |

I II III

9. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalentea 5–2?

A. 25

B. 25–1

C.

D.

10. El gráfico que representa un crecimientoexponencial es:

A. I y IIIB. IIC. IIID. I

11. Si ax decrece exponencialmente, entonces a debeser:

A. un número negativo.B. un número menor que 1.C. 0D. un número positivo.

12. Si 2t define el crecimiento exponencial de unavariable, ¿para qué valor de t se obtiene 256?

A. 7 B. 6C. 8D. 9

13. Si (–125.800)1,45x es un número positivo, los posiblesdígitos para x son:

A. 1 ó 0B. 1, 3, 5, 7, 9C. 0, 2, 4, 6, 8D. No se puede determinar.

Se desea guardar una alfombra cuadrada de lado 8 m enun cajón cuadrado de lado 2 m. Para guardar la alfombraen el cajón se dobla por la mitad sucesivamente.Responde las preguntas 14, 15 y 16.

14. Utilizando potencias, ¿cuál es la expresión de lasuperficie de la alfombra?

A. 25 m2

B. 26 m2

C. 27 m2

D. 28 m2

15. ¿Cómo se expresa como potencia el área de laalfombra doblada solo una vez por la mitad?

A. 29 · 2–1 m2

B. 27 · 21 m2

C. 27 · 2–1 m2

D. 26 · 2–1 m2

16. ¿Cuántos dobleces se necesita hacer para que laalfombra tenga como medida del lado la medidadel lado del cajón?

A. 4 dobleces.B. 5 dobleces.C. 7 dobleces.D. 8 dobleces.

152

125

UNIDAD 2 (32-49)6.0 14/9/09 12:03


3Intr

od

ucc

ión

El c

onte

nido

de

esta

s pá

gina

s es

tá o

rient

ado

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s al

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sos

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plic

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| 50 |


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• Maurits Cornelis Escher (M. C. Escher), artista holandés, fue conocido por sus grabados enmadera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselaciones y mundos. Estepersonaje dedicó muchas de sus obras a teselaciones mediante figuras irregulares, sumando a lacreatividad un concepto intuitivo de la simetría. Sus obras son de interés para muchosmatemáticos debido a la riqueza en transformaciones geométricas que poseen. M. C. Eschertrabaja básicamente con figuras geométricas que rellenan el plano: cuadrado y triánguloequilátero, y con figuras obtenidas a partir de ellas que también rellenan el plano: cuadrados,triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos. Además, trabaja con las redes formadas porestas figuras y sus derivadas. Pero sólo utiliza estas figuras geométricas como punto inicial de susdiseños, va modificando cada una de ellas a su antojo creando una figura patrón que al repetirlaencaja con las demás rellenando el plano sin dejar espacios libres. Para más información visite:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0224-02/ed99-0224-02.html



TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Isometrías Ampliación y reducción

Traslación Rotación

Simetría rotacional

Simetría

Simetría axial

Simetría central

Teselación

Regular

Semirregular


4 / 6

| 53 |

UNIDAD 3 | Transformaciones geométricas

• Para trabajar este tema nos favorece el hecho de que está muy ligado a la expresión artística,por lo que debemos usar esto para motivar a aquellos estudiantes que no les gusta mucho lamatemática pero sí las artes manuales.


• Los alumnos están familiarizados con los ejes de simetría de figuras, por lo tanto para iniciar estaunidad se recomienda al docente comenzar con actividades que refuercen este concepto, porejemplo, la que se muestra a continuación:

Pinta el cuadriculado para formar una figura simétrica.

• Realizar un diseño de un estampado de ropa (o un mosaico)usando figuras geométricas, de modo que no quede ningúnespacio vacío, como en las obras de Escher. (Este podría serun mini proyecto de cada alumno, que lo puede ir mejorandoa medida que transcurra la unidad y de acuerdo a losconceptos que vaya adquiriendo, y al final el docente podríarealizar una exposición o elegir a los tres mejores ypremiarlos).

Clasificar triángulosy cuadriláteros.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1Triángulorectánguloescaleno

2Triángulo

obtusángulo escaleno

3Triánguloacutánguloequilátero

4 Romboide

Rectángulo

6Trapecio

rectángulo

• Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnasdeban clasificar triángulos según la medida de suslados. Realizar ejercicios en los que los(as) alumnos(as)deban clasificar triángulos según sus ángulos. Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y las alumnas deban identificar distintos tipos decuadriláteros.

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban reconocer triángulos dados sus ángulos o lamedida de sus lados, o bien que el dato que faltapara clasificarlo haya que deducirlo o calcularlo.Realizar ejercicios en los que los alumnos y lasalumnas deban reconocer distintos cuadriláteros pero haciendo sutiles las diferencias entre ellos, por ejemplo colocar un cuadrado no en la posiciónconvencional para que logren determinar, con losotros datos dados, si es un cuadrado o un rombo.

5


Realizarconstruccionesgeométricas apartir decondiciones dadas.



• La palabra isometría proviene del griego iso (misma), y metría (distancia). Es muy importantehacer hincapié que las transformaciones isométricas producen figuras congruentes, importanteconcepto que se desarrollará más adelante pero que de alguna manera los alumnos intuyen ycomprenden.

Transformaciones isométricas (Páginas 86 y 87)

7 139º

8 35º

9 86º

10 60º

11 108º

120º12

4 / 6

• Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y lasalumnas deban determinar ángulos incógnitos entriángulos, cuadriláteros y polígonos de más lados,pero regulares.

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban determinar varios ángulos incógnitos entriángulos, cuadriláteros y polígonos de más lados,pero regulares, dando datos numéricos ocaracterísticas de los polígonos.

Calcular medidasde ángulos enpolígonos.

16 –

17 –

18 –

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as)deban construir con regla y compás una recta paralela a otra que pasa por un punto, una rectaperpendicular a otra que pasa por un punto ycuadriláteros cualesquiera.

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y lasalumnas deban construir con regla y compás triángulossegún los lados o ángulos, cuadriláteros de distintotipo como paralelogramos, cuadrados, rectángulos, etc.

13 –

14 –

15 –

2 / 3

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y lasalumnas deban reflejar polígonos convexos conrespecto a una recta, empezando con los polígonosmás usados y luego complicar la figura.

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban reflejar polígonos no convexos y figurascompuestas con respecto a una recta.

Reflejar una figuracon respecto a una recta.


| 55 |



Escribe el mismo número a las parejas de figuras congruentes (una de ellas es el resultado deuna isometría aplicada a la original).

• Para la siguiente actividad se necesitan tijeras y que el docente le entregue a cada alumno elpuzzle y el triángulo modelo. La actividad consiste en armar el puzzle colocando el triángulomodelo en las posiciones convenientes. (En este ejercicio el alumno estará aplicando isometrías encada triángulo para formar el puzzle, el triángulo modelo debe calzar con el puzzle, puede obtenerlode la cola o cara del pajarillo, dependiendo del tamaño en que copiará el puzzle).

En tu cuaderno, pega el puzzle y en una hoja de papel dibuja el triángulo modelo 16 veces yrecórtalos.

Puzzle Triángulo modelo


• De todas las transformaciones isométricas, posiblemente a los alumnos les cueste reconocerisometrías cuando las figuras están rotadas, sobre todo cuando son polígonos convexos. Comono siempre los alumnos podrán manipular las figuras, ya sea recortándolas o girándolas hastaque calcen, un buen ejercicio es enseñarles que ubiquen un punto o un segmento en la figuraoriginal y luego busquen ese punto (o segmento) en la figura transformada, esto les desarrollatambién la abstracción y el sentido de orientación espacial.

Traslación (Páginas 88 y 89)


• Para iniciar este contenido se recomienda recordar a los alumnos cómo ubicar puntos en unacuadrícula, de modo que logren describir desplazamientos en ella.

• Es importante que los alumnos nombren los vértices de los polígonos que trasladarán, tanto eloriginal como el trasladado, detenerse a explicar esta notación.



• Es necesario hacer hincapié en que para trasladar una figura basta con trasladar sus vértices enuna distancia dada.

• Analizar con los alumnos cuáles son los vértices y lados homólogos correspondientes a la figuraoriginal y su imagen. Verificar paralelismo entre los lados e igual distancia entre los vértices.Preguntarles ¿qué pasa con el desplazamiento de la imagen si la distancia es mayor?, ¿y si es menor?

• Un ingenioso invento para realizar traslaciones es el traslatore di Kempe; que es un mecanismode varillas articuladas que forman dos paralelogramos unidos:

Al mover el punto A para formar una figura, esta queda trasladada en el vértice A’.

Traslación con vectores (Páginas 90 y 91)


• La traslación con vectores estudiada aquí es una introducción de lo que se trabajará en 1ºMedio, donde se podrán utilizar las coordenadas cartesianas para la identificación de losvectores. En estas páginas nos limitaremos a describir los vectores identificando su magnitud,sentido y dirección o bien dibujándolos a partir de uno dado; por lo tanto, en este caso, se lesdebe indicar a los alumnos cómo trasladar la figura, para esto es importante que siempretrabajen sobre una cuadrícula, para que puedan reproducir el vector, y colocar el origen de esteen el punto que quieran trasladar.


• Es muy frecuente que los alumnos confundan el concepto de sentido y dirección, ya que muchasveces la palabra dirección es empleada erróneamente para referirse al sentido, por ejemplo,muchas veces se habla de dirección izquierda o derecha y en realidad eso se refiere al sentido.Para evitar este error en los alumnos, repasar la orientación espacial, por ejemplo, describiendodesplazamientos a partir de un punto:

– Paso 1: Sitúese en el punto A.– Paso 2: Avance tres lugares hacia el norte.– Paso 3: Diríjase al oeste dos lugares más. – Paso 4: En dirección diagonal avance en sentido sur cuatro lugares.

Pueden unir los puntos de llegada en cada paso por segmentos para así dibujar la trayectoria.

A´

A


| 57 |



El punto A se trasladó hasta B y, luego, hasta C, ¿Cuál es el vector de traslación “directo”desde A hasta C? Dibújalo.

B

C

A

Traslada la figura a partir del vector AB; la imagen obtenida píntala de color azul. Ahora, la figuraazul trasládala respecto del vector BC; la imagen obtenida píntala de amarillo. ¿Es posibleobtener la figura amarilla a partir de una sola traslación de la figura roja? Si la respuesta esafirmativa, ¿cuál es el vector de traslación?

A B

C

Rotación (Páginas 92 y 93)


• Es importante mencionar que las rotaciones pueden realizarse en el sentido contrario a lasagujas del reloj, en este caso se considera una rotación positiva, o en el sentido de las agujas delreloj, en cuyo caso se considera negativa.

• Es necesario trabajar de manera especial las rotaciones en 90º, 180º y 360º. La primera, porquelos lados de la figura quedan perpendiculares y es algo que los alumnos deberán reconocer almomento en que se les pida identificar el ángulo de rotación, o tendrán que comprobar cuandose les pida rotar una figura en 90º. La segunda, porque también se denomina simetría central(no es necesario mencionar el nombre técnico, ya que aún no se ha tratado este contenido,porque los alumnos se darán cuenta de que es una reflexión) y por lo tanto existe unaequivalencia entre ambas transformaciones. Y, por último, el caso de rotar en 360º esequivalente a la rotación en 0º porque no produce variación en la figura.




Encuentra el ángulo de rotación de las siguientes figuras, con centro de rotación O.


• Mientras más lados tenga la figura, más complejo se hace el procedimiento de transformación,por eso es importante que los alumnos sean ordenados y no se olviden de colocar letras al rotarcada vértice.

A

A

A´

A´


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 C

1 / 2

• Realizar ejercicios en los cuales a partir de una teselaciónlos alumnos y alumnas reconozcan figuras que hansufrido o no isometrías. Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes, a partir de parejas de figuras,reconozcan aquellas que corresponden a la mismafigura pero que una de ellas ha sufrido una isometría.

• Realizar ejercicios en los cuales a partir de unateselación los alumnos y alumnas reconozcan lasfiguras que han sufrido isometrías y de qué tipo (si segiraron o solo se trasladaron). Realizar ejercicios en loque los(as) alumnos(as), a partir de parejas de figuras,reconozcan aquellas que corresponden a la mismafigura pero que una de ellas ha sufrido una isometría(que las diferencias entre las figuras sean muy sutiles).

Identificarisometrías yelementoscorrespondientesen ellas.

2 A


3 C

| 59 |


1 / 2

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban realizar traslaciones de figuras simples a partirde un vector dado.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnas apartir de una figura y su trasladada deban encontrar el vector que produjo la traslación.

Identificartraslaciones y caracterizarmediante vectores.

4 D

5 B

6 A

1 / 2

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban realizar rotaciones de figuras simples a partirde un centro y un ángulo dado; comenzar conángulos simples como 90º y 180º.

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantes, a partir de una figura y su rotada, deban encontrar el centro y el ángulo que produjo la rotación.

Identificarrotaciones ycaracterizarmediante sucentro y su ángulode rotación. 7 A

Simetría axial (Páginas 96 y 97)


• Los alumnos tienen menos dificultades para reflejar una figura cuando el eje de simetría esparalelo a los bordes de la hoja donde se encuentra el dibujo; empezar con estos ejercicios.Luego seguir con ejercicios en donde los alumnos deban reflejar figuras en las que el eje desimetría ya no es paralelo a los bordes de la hoja, este tipo de simetrías permite destacar conmayor precisión (ya que no es inmediato como en el caso anterior) los conceptos deperpendicularidad y equidistancia como propiedades que definen la simetría. Por último, realizarejercicios donde el eje de simetría esté sobre la figura a reflejar, esto permitirá analizar porejemplo que los puntos que están sobre el eje de simetría quedan fijos y por lo tanto sonimágenes de sí mismos bajo la reflexión.


• Las siguientes actividades se sugieren para profundizar el contenido trabajado en estas páginas.

Resuelve.

1. Corta una hoja de papel en forma de un cuadrado, dóblala por la mitad, ya sea en formavertical, horizontal o diagonal. En una de las mitades, dibuja un motivo cualquiera y recortaambas mitades guiándote por tu bosquejo. Al desdoblar el recorte ¿la figura que quedó essimétrica? Si la respuesta es afirmativa: ¿cuál es su eje de simetría?, ¿es posible encontrar otrosejes de simetría?, ¿de qué dependerá esto último?


2. Construye en tu cuaderno las reflexiones de las siguientes figuras con respecto a los ejes desimetría que están indicados en color rojo.

D


• Mencionar a los alumnos que una simetría central equivale a una rotación en 180º grados dondeel centro de rotación corresponde al centro de simetría.

• Una manera de diferenciar la simetría axial y la simetría central, es que en la primera, el eje desimetría hace el papel de un espejo, por lo que la imagen es un reflejo; en cambio, en la segunda,la imagen queda invertida.

• Los polígonos regulares poseen simetría rotacional, por ejemplo el cuadrado, cada 90º, ocupala misma posición en el plano. En el caso del hexágono regular, cada 60º de rotación.


Construye en tu cuaderno las simetrías centrales de las siguientes figuras con respecto a loscentros de simetría que están indicados en rojo.

Realiza lo siguiente.

1. Corta una hoja de papel de forma cuadrada, dóblala por la mitad en dirección horizontal y luegoen dirección vertical, te quedará un cuadrado más pequeño. Ahora; dobla el cuadrado por ladiagonal, te quedará un triángulo y en este dibuja un motivo sin tocar los vértices del triángulo.Luego, recorta la figura y ábrela, si rotas la figura en ciertos ángulos ¿qué sucede?, ¿qué tipo desimetría tiene la figura?, ¿en qué ángulo?


1. 2. 3.

Simetría central y simetría rotacional (Páginas 98 y 99)

B

A C

E

D

C

AB

E


| 61 |


Construcciones geométricas usando el computador (Páginas 100 y 101)


• Es muy importante que el docente incluya dentro de su práctica pedagógica el uso de la tecnología.Si decide llevar a los alumnos al laboratorio de computación, se recomienda que los alumnos llevenconsigo el texto y sigan los pasos descritos en estas páginas. El docente no debe pretender que todoel grupo curso vaya al mismo ritmo y al mismo tiempo, porque la diversidad de los alumnos no lopermitirá y solo hará que el docente se desgaste innecesariamente. Al contrario, el profesor debe darespacio a los alumnos para que exploren la herramienta geométrica, para lo cual puede solicitar ayudaa los alumnos más aventajados (que probablemente, realizarán la actividad en menos tiempo delprogramado), pídales que monitoreen y respondan consultas de sus compañeros.


• Solicitar a los alumnos que visiten la páginahttp://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/Transform/Index.html, donde podránreforzar los tipos de isometrías trabajados en estas páginas.

Isometrías en el entorno (Páginas 102 y 103)


• Es muy importante que los alumnos logren diseñar composiciones simples a partir de diferentestransformaciones isométricas en el plano. Deben ser capaces de describir y analizar isometríaspresentes en la naturaleza, en el arte, en la arquitectura y en la tecnología. La misma sala declases permite ejemplificar cómo se puede cubrir el plano a través del uso de isometrías de unafigura, por ejemplo, el embaldosado. Un claro ejemplo en la naturaleza es el panal de abejas,donde el plano se cubre a través de un hexágono regular. Pida a los alumnos y alumnas queinvestiguen las razones de por qué las abejas utilizan esa figura para hacer su trabajo y no unpentágono u otro polígono. Indicarles que traten de cubrir la hoja de cuaderno con un pentágonopara verificar si es posible y que traten de identificar otra figura, a parte del cuadrado del piso y elhexágono del panal, que sirva para cubrir una superficie sin dejar espacios en el plano.


Identifica qué tipos de isometrías se utilizaron en las siguientes teselaciones.



Teselaciones regulares y semirregulares (Páginas 104 y 105)


• Comentar con los alumnos el hecho de que las teselaciones son producidas por sucesivasisometrías aplicadas a una figura, y cómo estas están presentes tanto en la naturaleza como enel arte y la arquitectura.

• En el caso de las teselaciones regulares, las producidas por cuadrados se alinean perfectamenteunas con otras. En cambio, cuando se trata del triángulo equilátero o del hexágono, estos debenensamblarse no alineados, es decir, hay que aplicar alguna isometría para ensamblarlos.

• El cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular son los únicos polígonos que puedenformar una teselación regular, porque sus ángulos interiores son divisores de 360º, por lo tanto,siempre cumplirán la condición de que la suma de los ángulos que concurran a un mismo vérticesea este valor.

En el caso de las teselaciones semirregulares existen ocho combinaciones que permiten cubrirel plano, ya que la suma de los ángulos que concurren en un vértice es 360º, y pueden serformadas por triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octágonos regulares ydodecágonos regulares. Existen otras combinaciones también pero que solo permiten cubrir elentorno del punto, es decir, no se pueden extender al resto del plano.Ejemplo:


En grupos de 2 ó 3 integrantes realicen lo siguiente.

1. Dibujen un cuadrado en una hoja de papel y realicen los siguientespasos:

– Paso 1: dividan un cuadrado en cuatro columnas y cuatro filas,luego tracen las diagonales de los cuatro cuadrados del centrocomo muestra la figura:


| 63 |


– Paso 2: marquen las líneas que se muestran en la figura, e identifiquen las cuatro figurasque se formaron

– Paso 3: recorten las cuatro figuras formadas y péguenlas en la posición que se muestra acontinuación

2. ¿Será posible cubrir el plano con esta figura? Si la respuesta es afirmativa, inténtenlo en sus cuadernos.

– Esta figura es llamada “el hueso” en el mosaico de la Alhambra de Granada, investiguen más acercade la residencia real de la dinastía Nazarí, de sus mosaicos, y la presencia de isometría en ellos.

Ampliaciones y reducciones (Páginas 106 y 107)


• Hacer hincapié en que ampliar o reducir figuras no corresponde a una transformación isométricaya que las longitudes varían. Señalar que el ampliar oreducir produce figuras semejantes.

• Deducir junto a los alumnos que si la razón desemejanza k es mayor que 1 la figura se amplia, de locontrario, la figura se reduce. Plantearles preguntas como¿qué sucede si k = 1?, ¿a qué transformación isométricacorresponde?

• También existen homotecias de razón negativa, que,por supuesto, no serán estudiadas en estás páginas,pero para información del docente, son aquellas enque el centro de homotecia queda situado entre lafigura original y su imagen, y la imagen queda invertida,como se muestra en la figura:

B

C

A

O

A´

B´

C´




Identifica la razón de semejanza (k) que se aplicó a la figura roja para obtener la figura azul,respecto al centro O.

1.

2.

• Para profundizar en este contenido, puede sugerir a los estudiantes que visiten la siguientepágina, donde podrán manipular las figuras y ver cómo varía la razón de semejanza.http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm



• En el caso de rotar figuras o segmentos, como lo muestra el ejercicio 2, es muy útil dibujarambas circunferencias como primer paso y luego las rectas indicadas. Las circunferencias adibujar son concéntricas y su centro es el centro de rotación. El radio de cada circunferenciacorresponderá a la distancia entre el centro y los extremos del segmento. En el caso de unafigura, cada radio será la distancia entre el centro y dos vértices cualesquiera pertenecientes ala figura. Hacer notar a los alumnos que los extremos del segmento rotado pertenecen a cadacircunferencia, lo mismo ocurrirá cuando se rote una figura.


| 65 |




• Otra estrategia para ampliar o reducir figuras dada la razón de semejanza y el centro es lasiguiente:

Síntesis (Página 113)


• Evaluar el proyecto presentado al inicio de estas páginas y comentar con los alumnos, a travésde las preguntas planteadas en el libro, los aprendizajes logrados en esta unidad. Si se realizaronotros proyectos relacionados con este tema, este es el momento para evaluarlos. Serecomienda al docente evaluar tanto los conocimientos geométricos aplicados en el proyectocomo el trabajo en grupo y la responsabilidad mostrada al realizarlo.

Se unen todos los vértices con el centro O pormedio de segmentos. Se mide aquel que une O y el vértice A, supongamos que mide 5 cm,entonces se multiplica esta distancia por larazón k, dando como resultado 2,5 y se midedesde O, en el mismo segmento, esta distancia.Se repite lo mismo para cada vértice.

O2, 5 cm

5 cm A

B

C

C´

A´

B´



Resuelve.

1. Una persona quiere hacer un mosaico en su terraza rectangular, usando baldosas con forma detriángulo rectángulo. Las medidas de cada baldosa y de la terraza se muestran en el dibujo queaparece a continuación. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir la superficie total de laterraza? (www.simce.cl)

A. 4B. 6C. 8D. 12

Baldosa

40 cm 120 cm

60 cm

80 cm

Terraza


• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban realizar simetrías de polígonos regulares conrespecto a una recta o a un punto.

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantesdeban determinar el eje de simetría o el centro desimetría a partir de una reflexión dada.

3 / 5

–15

Identificar ycaracterizarsimetrías a partirdel eje o centro de simetría.


11

2


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales los(as) alumnos(as)deban realizar traslaciones sucesivas de polígonosregulares para formar teselaciones en el plano oconstruir un dibujo estructural, reconociendo losvectores que permiten estas transformaciones.

• Realizar ejercicios en los que los y las estudiantes apartir de una traslación de polígonos deban identificarlos vectores de traslación que la produjeron.

Identificar ycaracterizartraslaciones a partir del vectorque las define.

C

–

13 –

Identificar ycaracterizarrotaciones a partir del centrode rotación y elángulo de rotación.

3 D

3 / 4

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban rotar polígonos a partir del centro de rotación enuno de los vértices del polígono y en ángulos usuales.

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban rotar polígonos para formar otras figuras ydeban determinar el centro y el ángulo de rotaciónque lo permitan.

5 B

14 D

16 –

6 C

4 D

7 C

12 D

1

34

2

2. ¿Cuáles de los rectángulos del siguiente dibujo son semejantes entre sí y los lados de cada figuraestán en la razón 2 : 3? (www.simce.cl)

A. Nº 1 y Nº 3B. Nº 3 y Nº 4C. Nº 1 y Nº 2D. Todos


| 67 |


Identificar y realizarampliaciones oreducciones.

9 –

1 / 2

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnasdeban ampliar o reducir polígonos regulares a partirde una razón dada. Realizar ejercicios donde los y lasestudiantes deban componer ampliaciones oreducciones y determinen la razón equivalente que se debe aplicar para realizar las ampliaciones oreducciones de una sola vez.

• Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y alumnasdeban ampliar o reducir polígonos irregulares quecumplan ciertas condiciones, como, por ejemplo, que su superficie tenga cierta área. Realizar ejerciciosen los que dada una composición de ampliaciones o reducciones, los alumnos deban determinar lasrazones de semejanza.

10 –

Identificar y realizarteselaciones.

8 B 1 / 1

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban construir una teselación a partir de traslacionesde polígonos regulares.

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban determinar las transformaciones isométricasequivalentes a las traslaciones que se hicieron paraproducir una teselación.






1. Una transformación geométrica que preserva la formay las medidas de una figura se conoce como:

A. teselación.B. simetría.C. isometría.D. Ninguna de las anteriores.

2. A la estrella gris se le aplicó una traslación, ¿cuál delas alternativas describe esta transformación?

A. 4 lugares hacia el este y 3 hacia el sur.B. 4 lugares hacia el oeste y 3 hacia el sur.C. 3 lugares hacia el oeste y 3 hacia el sur.D. 3 lugares hacia el este y 3 hacia el sur.

3. ¿Cuál de los siguientes vectores produjo la traslaciónde la figura gris?

A. C.

B. D.

4. Para superponer ambas figura se necesita:

A. una simetría.B. una rotación

en 180º.C. una simetría

rotacional.D. una traslación.

5. Si el punto A se rota 180º con respecto al centro O.¿Cuál de las siguientes alternativas no es equivalentea esta transformación?

A. Una simetría centralcon centro O.

B. Una traslación de 4 lugares hacia eloeste y 4 lugareshacia el sur.

C. Una simetría axialcuyo eje de simetría es la recta que pasa por OA.

D. Una traslación de 4 lugares hacia el sur y 4 lugares hacia el oeste.

6. ¿Cuántos grados debe medir el ángulo interior delrombo para formar una flor de seis pétalos sin dejarningún espacio vacío? ¿Cuál transformación se debeaplicar?

A. 60º y se debe reflejar con respecto a cada ladodel rombo.

B. 60º y se debe reflejar con respecto a cadavértice inferior del rombo.

C. 60º y se debe trasladar una unidad hacia laderecha y una unidad hacia abajo seis veces.

D. 60º y se debe rotar 60º con respecto al vérticeinferior, luego en 120º con respecto al mismovértice, 180º, 240º, 300º y 360º.

A

O


| 69 |

7. Dibuja la figura simétrica con respecto a la recta.

8. Dibuja el eje de simetría de esta reflexión:

9. Realiza una simetría central con respecto al centro O.

10. Encuentra el centro O que permitió estatransformación e indica qué tipo de transformaciónse realizó.

11. Reduce la figura en razón con respecto al centro O.

12. Amplía la figura en razón 2 con respecto al centro O.

13

B´

E

DC

B

A

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E´

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O

O



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| 70 |

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UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

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| 71 |

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23




• Los y las estudiantes, en el curso anterior, se familiarizaron con el concepto de variaciónproporcional, trabajando con proporcionalidad directa e inversa, y el porcentaje como unaaplicación. El objetivo de esta unidad es profundizar en estos conceptos, pero ahora trabajandodesde el álgebra. Ya no se hablará de cantidades proporcionales sino de variablesproporcionales, lo que es un paso bastante grande en la abstracción de este contenido.

• El proyecto presentado en las páginas iniciales tiene como objetivo situar a los y las estudiantesen un contexto muy cotidiano y trabajar conjuntamente, con conceptos ligados al tema de estaunidad. La idea es que a través de las ofertas presentadas en la ilustración, los y las estudianteslogren abstraer estos conceptos y traducirlos matemáticamente para poder responder laspreguntas planteadas.



Reparto proporcional

Independientes

Dependientes

No proporcionales

Funciones

Variables

Proporcionales

Directa Inversa

Álgebra yecuaciones

Gráfico

PORCENTAJE

PROPORCIONALIDAD

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

Relacionarmagnitudes paraestablecer unavariación deproporcionalidad.

51211

3 / 5

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban calcular el valor de una razón y el términodesconocido en una proporción utilizando lapropiedad fundamental.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban resolver problemas de variabilidad y buscar un valor, planteando una proporción.

Calcular razones,proporciones y aplicar lapropiedadfundamental de las proporciones.

658

7133

8 x = 500.000

9 x = 42

10 NP

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban identificar si dos variables se relacionanproporcionalmente y cuándo no.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban identificar si dos variables se relacionanproporcionalmente y qué tipo de proporcionalidad es (directa o inversa).

11 P

12 NP

13 P

1 40.000 + A

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesresuelvan ecuaciones aditivas y multiplicativas y en losque las soluciones correspondan al ámbito numéricode los números racionales.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasplanteen ecuaciones, las resuelvan y deban estudiar la pertinencia de las soluciones.

Plantear y resolverproblemasutilizandoecuaciones.

2 5 · L

3 $ 25.000

| 73 |

UNIDAD 4 | Funciones y proporcionalidad


• Antes de comenzar esta unidad el docente deberá repasar, con los y las estudiantes, loscontenidos necesarios para un buen trabajo de esta unidad. Por ejemplo: planteando yresolviendo ecuaciones, obteniendo el valor desconocido en una proporción, identificando sidos variables son proporcionales, calculando porcentajes correspondientes a una cantidad y lacantidad correspondiente a un porcentaje.


Para complementar el proyecto grupal, el docente podría agregar preguntas como las siguientes.

1. En la oferta “Lleve 2 al precio de 1”, ¿a qué porcentaje corresponde el descuento?2. En la oferta “Lleve 5 detergentes y pague 4”, ¿a qué porcentaje corresponde lo pagado?


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


4Ahorró $ 1.667aprox. la primera

semana.

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23



• El concepto de variabilidad y de dependencia son conceptos complejos y exigen un proceso deabstracción para comprenderlos. Una manera de ayudar a esta comprensión podría serejemplificar con situaciones en las cuales las cantidades correspondan a variables conocidas porellos, y sepan cómo pueden variar en sus valores, por ejemplo, situaciones que involucrentiempo, distancias, dinero, etc., (si es situación de dinero, saben que si un artículo cuesta $ x ycompran más artículos tendrán que pagar más dinero). En cuanto a la dependencia de dosvariables, es necesario que los y las estudiantes comprendan claramente este concepto, paraque más adelante, cuando se enfrenten al concepto de función, les sea familiar y facilite lacomprensión de este contenido.

• Al hablar de dependencia, utilizar ejemplos que sean conocidos y utilizados por los alumnos yalumnas; por ejemplo, cantidad de canciones para guardar en un mp3 y el tamaño del archivo,las notas y el promedio. A la hora de decidir cuál de las dos variables depende o no de la otraes necesario que verifiquen la relación que hay entre ellas y comprueben con ejemplosnuméricos. También es importante mencionar ejemplos en los cuales dos variables serelacionen, pero que no exista dependencia.

• Otro punto importante a trabajar es la expresión algebraica o fórmula (en el texto se mencionacomo modelo matemático) que define la relación de dependencia de las variables, para esto esnecesario que el docente repase con las alumnas y alumnos expresiones algebraicas y suvalorización.


• Los y las estudiantes presentan dificultades a la hora de identificar qué variables sonindependientes y cuáles dependientes. Un buen ejercicio es que ellos den ejemplos de variablesque tengan alguna relación de dependencia. Otro buen ejercicio es que el docente les indiquecuáles son las preguntas clave que deben plantear las alumnas y los alumnos acerca de larelación entre las variables, por ejemplo, en las variables “notas y el promedio”: ¿las notasdependen del promedio o el promedio depende de las notas?

Funciones (Páginas 130 a 133)

14 50%

3 / 4

• Realizar ejercicios en los que los alumnos y alumnasdeban resolver problemas calculando la cantidadcorrespondiente a un porcentaje.

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban resolver problemas calculando el porcentajecorrespondiente a una cantidad.

Resolverproblemas einterpretarporcentajes.

15 50%

16 $ 12.500

17 Sí

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

| 75 |


• En el caso de expresar el “modelo matemático” que define la relación de dependencia, losalumnos y las alumnas podrían presentan dificultades, por eso el docente debe indicarlesestrategias para llegar al modelo matemático correcto. Una de estas estrategias puede ser quelos y las estudiantes:

– primero, identifiquen cuál es la variable dependiente y cuál es la independiente; luego, – escriban con palabras qué operación aritmética (sumar, restar, multiplicar, dividir) debe

aplicarse a la variable independiente para obtener la variable dependiente, y finalmente,– traducir esta situación a lenguaje matemático.

• Por otra parte, también les ayuda a los alumnos y las alumnas identificar variables independientesy dependientes a partir del modelo matemático, reconociendo la variable independiente (x)como aquella que se encuentra en la expresión algebraica y la variable dependiente (y) comoaquella a la que se iguala la expresión algebraica. Esto puede llegar a ser mecánico, por lo queel docente debe recomendar que se utilice solo como un recurso secundario.


De las siguientes relaciones de variables, identifica la variable independiente (V.I.) y la variabledependiente (V.D.).

1. El tiempo dedicado a practicar deporte y la cantidad de calorías eliminadas.2. La longitud de la sombra que proyecta una persona y la estatura de esa persona.3. El número de azulejos que se necesitan para embaldosar una superficie y la medida de la superficie.4. Los kW/h consumidos en un mes y el costo de luz a final de mes.

Determina mediante una función que relaciones las variables correspondientes.

1. Un automóvil rinde 10 km por litro de bencina. Si L corresponde a los litros de bencina y D ladistancia recorrida por el automóvil, ¿cuál es la expresión algebraica para el consumo decombustible?

2. El costo de un metro cúbico de agua potable corresponde a $ 311. Si A corresponde a losmetros cúbicos de agua potable utilizados en un mes y C corresponde al total a pagar a fin demes, ¿cuál es la expresión algebraica para el consumo de agua potable de un mes cualquiera?

3. El costo de un pórtico en una autopista es de $ 135 en horario normal y $ 211 en horario punta.Si N es el número de pórticos utilizados por un automóvil en horario normal y P el número depórticos utilizados por el automóvil en horario punta y C el costo total de la autopista, ¿cuál esla expresión algebraica para el costo de la utilización de la autopista?

Completa la tabla según corresponda.

1. P = 3,5V

2. R = T2

V 5 6 7 10 20 100

P

T 5,2 6,4 7,4 10,2 20,4 100,5

R

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23



• Las estrategias de resolución de problemas relacionados con el reparto proporcional se puedengeneralizar con el método de encontrar la constante “k” para cuando se tienen más de dosvariables involucradas. Para este contenido, particularmente, se utilizan las propiedades de lasproporciones relacionadas con la composición y descomposición de ellas (que no sonmencionadas en los textos actuales) como una forma de simplificar el contenido.

Dada la proporción, = donde a ∈ �, b ∈ �, c ∈ �, d ∈ �, b =/ 0 y d =/ 0, se cumplen las

siguientes propiedades:

a. Proporciones equivalentes

= y = y = dc

ba

ca

db

cd

ab

cd

ab

Proporcionalidad directa: constante y gráfico (Páginas 134 y 135)

b. Composición de una proporción

= o = c + d

da + b

bc + d

ca + b

a

c. Descomposición de una proporción

= o = c – d

da – b

bc – d

ca – b

a

d. Composición y descomposición de una proporción

= c + dc – d

a + ba – b

EjemploLa diferencia entre dos números es 90 y están en la razón 5 : 2. ¿Cuáles son los números?Sean p y q los números.

Por enunciado se tiene que p – q = 90 y = .

Aplicando propiedades de las proporciones: = ; lo que es equivalente a = .32

90q

5 – 22

p – qq

52

pq

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

| 77 |


Resolviendo esta ecuación se igualan los productos cruzados: 90 · 2 = q · 3. Entonces, q = 60.Luego, remplazando el valor de q en la expresión p – q = 90, se tiene que p = 150.

Los números son 150 y 60.Para comprobar que sean los números pedidos, – remplazamos en p – q = 150 – 60 = 90.– corroboramos que los números pedidos cumplan con la razón dada: =

• Es importante que los alumnos y las alumnas comprendan que la “variación” que se produce enlas variables es proporcional, es decir, si una variable aumenta “x veces” la otra variable aumentatambién “x veces” o si una variable disminuye “x veces”, la otra también disminuye en “x veces”.

• El docente podría aprovechar esta oportunidad para introducir la función lineal, apoyándose de lagráfica de la proporcionalidad directa, y pincelar conceptos tales como la pendiente de una recta.

15060

52


Resuelve los siguientes problemas.

1. Pedro y Juan están ahorrando para las vacaciones, si el dinero que han juntado está en la razón12 : 7 y Pedro tiene $ 850 más que Juan, ¿cuánto dinero tiene cada uno?

2. Felipe debe cortar dos trozos de tabla de manera. Si las longitudes de los trozos deben estaren razón 3 : 4 y, uno de ellos debe tener 2 cm más que el otro, ¿cuáles son las medidas quedebe tener cada trozo de madera?

3. María tiene dos años menos que Pilar y sus edades están en la razón 7 : 5. ¿Cuáles son las edadesde Pilar y María?

Si A y B son variables directamente proporcionales, obtén los valores que faltan.

x = , y = , z = , m =

A B

3,5 5,6

7 x

y 16,8

17,5 z

m ·· 3

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23



• Es importante mencionar que la estrategia utilizada en este contenido para resolver la proporcióndirecta es usando el modelo matemático del cociente constante y no la “regla de tres” (formarla proporción), como usualmente se realiza. A continuación se presenta una manera de trabajarla regla de tres.

La llamada “regla de tres”, es un procedimiento que proviene de una proporción y su productocruzado, para luego ser resuelta por una ecuación. Utilizando la misma situación de estaspáginas, se tiene lo siguiente.

La incógnita x representa la distancia, en kilómetros, que lleva recorrida en el transcurso de1,5 horas.Para resolver, formamos la proporción correspondiente a la proporcionalidad directa.

= , como es una proporción directa, multiplicamos cruzado.

90 · 1,5 = x · 1135 = x

Luego, en 1,5 horas recorre 135 kilómetros.

11,5

90x

Proporcionalidad directa: modelo matemático (Páginas 136 y 137)

Distancia recorrida (km)

Tiempo utilizado (h)

90 1

x 1,5


• Es bastante común que los y las estudiantes crean que si una variable aumenta y la otra también,estas se relacionan de forma directamente proporcional, y se olvidan de verificar si el cocienteentre las magnitudes es constante. Para evitar este típico error, trabajar con variados ejemplosen que las variables aumentan o disminuyen pero no proporcionalmente. Hacer lo mismo congráficos que correspondan a líneas rectas, pero que no comiencen en el origen, para que nosean directamente proporcionales.

Gráfico que representa unaproporcionalidad directa

Y

X

Gráfico que representa unaproporcionalidad no directa

Y

X

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23


El área (A) de un rectángulo de ancho a cm y largo b cm, se calcula como A = a · b.

1. Si la medida del largo b es constante, ¿de qué manera se relacionan A y a?2. Si la medida del ancho a es constante, ¿de qué manera se relacionan A y b?

La rapidez V de un móvil se calcula como el cociente entre la distancia d y el tiempo t.

1. ¿Qué debería suceder para que la distancia d y el tiempo t fueran variables directamenteproporcionales?

2. Si el tiempo t es constante, ¿de qué manera se relacionan V y d?

Responde.

1. El perímetro P de un cuadrado de lado a cm se calcula como P = 4a cm, ¿cómo se relacionanP y a?

2. El rendimiento de un automóvil es de 10 km por litro de bencina:

a. ¿cómo se relacionan los kilómetros recorridos y los litros de bencina? b. ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

| 79 |


Proporcionalidad inversa (Páginas 138 y 139)


• Un error frecuente es que alumnos y alumnas asuman que una situación se modela con unaproporción inversa solo corroborando que una variable aumenta y la otra disminuye, y nocorroborando que esta variación sea proporcional y comprobando que el producto entre lasmagnitudes sea constante. Para evitar este típico error, trabajar con variadas situaciones en lascuales una variable aumente y la otra disminuya, o viceversa, pero no proporcionalmente.


Si A y B son variables inversamente proporcionales, encuentra los valores que faltan.

x = , y = , z = , m =

A B

2,4 5,4

4,8 x

y 1,8

12 z

m ·: 3

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23


Proporcionalidad inversa: modelo matemático (Páginas 140 y 141)


• Es importante mencionar que la estrategia utilizada, en estas páginas, para resolver problemasde proporcionalidad inversa es el modelo matemático del producto constante entre magnitudesy no la “regla de tres” (formar la proporción) como usualmente se realiza. A continuación sepresenta una manera de trabajar la regla de tres.La llamada “regla de tres para la proporción inversa”es un procedimiento que proviene de unaproporción, para luego ser resuelta por una ecuación. Utilizando el ejercicio 4 de página 141,resolveremos.

En un viaje de estudio se ha arrendado un bus para el transporte. Si van 30 alumnos y cada unodebe pagar $ 1.800, ¿cuánto debería pagar cada uno, si solo asisten 25 alumnos?

La incógnita x representa el dinero que tendrá que pagar cada alumno por el viaje.Para resolver, formamos la proporción correspondiente a la proporcionalidad inversa.

= , la razón se invierte ya que es es una proporción inversa y su producto debe ser

constante.

30 · 1.800 = 25 · x54.000 = 25x x = 2.160

Luego, de asistir 25 alumnos cada uno deberá cancelar $ 2.160.


Responde.

1. La rapidez V de un móvil se calcula como el cociente entre la distancia d y el tiempo t.¿Qué debería suceder para que la distancia V y el tiempo t fueran variables inversamenteproporcionales?

2. Si N es el número de cuotas en que se pagará una deuda D y C el monto de cada cuota, ¿quédebería suceder para que N y C fueran variables inversamente proporcionales?

x1.800

3025

Cantidad de alumnos

Precio por persona ($)

30 1.800

25 x

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

| 81 |



IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

1 / 2

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnosdeban expresar la relación de dos variables con unmodelo matemático e identificar la variabledependiente y la independiente.

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnosdeban resolver problemas en los cuales las variablestienen una relación de dependencia proporcional.

Plantearecuaciones yexpresionesalgebraicas pararelacionar variablesy resolverproblemas.

3 B

2 / 3

• Realizar ejercicios en los que las alumnas y losalumnos deban identificar cuándo dos variables serelacionan directamente proporcional y determinar laconstante de proporcionalidad.

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnosdeban identificar el modelo matemático de variablesque se relacionan directamente proporcional y debanconstruir su correspondiente gráfico.

Aplicarproporcionalidaddirecta pararelacionarvariables,analizando gráficosy constantes deproporcionalidad.

5 A

6 B

1 / 2

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnosdeban identificar cuándo dos variables se relacionanen una proporcionalidad inversa y determinar laconstante de proporcionalidad.

• Realizar ejercicios en donde las alumnas y los alumnosdeban identificar el modelo matemático de variablesque se relacionan inversamente proporcional y debanconstruir su correspondiente gráfico.

Aplicarproporcionalidadinversa pararelacionarvariables,analizando gráficosy constantes deproporcionalidad.

4 A

7 Construirá m25a2

2 C

Variaciones proporcionales y no proporcionales (Páginas 144 a 147)


• Posiblemente, al verificar la proporcionalidad de dos variables los alumnos y alumnas, solo cuestionensi aumentan (o disminuyan), o si una aumenta la otra disminuye (o viceversa), y no verifiquen elmodelo matemático asociado a las situaciones. Para superar esta dificultad se propone al docentepedirles que corroboren siempre, según el tipo de proporción, que el cociente o producto seaconstante, de no ser así, la variación que existe no es proporcional. Lo mismo con los gráficos, si esuna recta no es correcto asumir que corresponde a una proporción directa, y si es una curvahipérbola, tampoco es correcto asumir que el gráfico corresponde a una proporción inversa. Por estoes necesario que el docente muestre a los alumnos y alumnas variables que aumenten (o disminuyan)y que su gráfico sea una recta, pero que las cantidades no sean directamente proporcionales. Lomismo con variables inversamente proporcionales, que al aumentar una, la otra variable disminuya, ysu gráfico corresponda a una curva parecida a la rama positiva de una hipérbola.

de una muralla.

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23



De los siguientes gráficos indique si las variables involucradas se relacionan en forma no proporcional(NP) o proporcional (P), en el caso de que sea esta última indica qué tipo de proporcionalidades y la constante respectiva.

0 5 10 15 20 25 30 35

2

4

6

8

10

12

14

16

18

NP

P Tipo

Constante:

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

NP

P Tipo

Constante:

0 5 10 15 20

5

10

15

20

25

30

35

NP

P Tipo

Constante:

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

NP

P Tipo

Constante:

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

| 83 |


Porcentaje y proporcionalidad (Páginas 148 y 149)


• Es muy importante que los alumnos y las alumnas comprendan que el porcentaje es un casoparticular de una proporción directa, por lo mismo, las mismas estrategias de resolución deproblemas, enseñadas para resolver situaciones de proporcionalidad directa, nos pueden ayudara resolver problemas de porcentaje.

• Se le propone al docente repasar, con los alumnos y alumnas, las distintas formas que se tienenpara el cálculo de un porcentaje:

– una cantidad correspondiente a un porcentaje; – un porcentaje correspondiente a una cantidad; y,– la cantidad correspondiente al 100%.


Recordemos que al vender un objeto, el precio de venta corresponde al precio de costo másla ganancia que se quiere obtener. Según esta información, responde.

1. Para el paseo de curso, Angela y sus amigas decidieron vender completos a la hora del recreo.

a. Si el costo de cada completo es de $ 150, ¿cuál es el precio de venta si se quiere unaganancia del 50%?

b. El 8º Básico A está vendiendo los completos a $ 450. Considerando el precio de costo dichoanteriormente, ¿cuál es el porcentaje de ganancia en este caso?

0 5 10 15 20 25

2

4

6

8

10

12

14

16

18

NP

P Tipo

Constante:

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23


• Las siguientes actividades se proponen para ser trabajadas a modo de profundizar en estoscontenidos.

Responde.

1. La fórmula para el interés simple es I = C · i · t donde, C es el capital invertido, i es la tasaque corresponde a un porcentaje expresado como decimal y t el tiempo en años. Con estainformación contesta las siguientes preguntas:

a. Gustavo ahorra en un banco $ 25.000 mensualmente con un interés simple del 1,2% anual.¿Cuál es el interés mensual obtenido?

b. A causa de la crisis, el interés disminuyó al 0,8% anual, por lo que Felipe aumenta suahorro a $ 28.000, ¿Seguirá obteniendo el mismo interés anterior?

Porcentaje y álgebra (Páginas 150 y 151)


• Es posible que los alumnos y alumnas puedan confundirse cuando el porcentaje sea entregadoen forma de decimal, y no sepan remplazarlo en la proporción o en la expresión algebraica queutilizarán para resolver el problema. Se sugiere al docente repasar con ellos las maneras queexisten de expresar un porcentaje (fracción o decimal) antes de comenzar con los ejercicios.Ejemplos

1. 50% = 0,5

2. 25% = 0,25

3. 75% = 0,75

• Otro error frecuente es que los y las estudiantes creen que al aumentar una cantidad en unporcentaje dado y luego disminuirla en el mismo porcentaje, esta vuelve a la cantidad original. Ejemplo

Cantidad dada 40Porcentaje 25%

La cantidad inicial la aumentamos en el porcentaje dado.40 + 40 · 25% = 40 + 40 · 0,25 = 40 + 10 = 50

La cantidad inicial aumentada en un porcentaje, la disminuimos en el mismo porcentaje.50 – 50 · 25% = 50 – 50 · 0,25 = 50 – 12,5 = 37,5

Como observamos en el ejemplo anterior, no es lo mismo.

34

14

12

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

| 85 |



Resuelve.

1. ¿A cuánto corresponde el 20% del 20% de 100?, ¿es equivalente al 40% de 100?2. ¿A cuánto corresponde el 20% del 10% de 100?, ¿es equivalente al 30% de 100?3. ¿A cuánto corresponde el 10% del 5% de 100?, ¿es equivalente al 50% de 100?4. Si una cantidad aumenta el 10% y luego diminuye el 10%, ¿vuelvo a la cantidad original? Justifica.

Responde.

1. El 200% de 50 es equivalente a multiplicar 50 por

2. El 150% de 10 es equivalente a



Expresa algebraicamente lo pedido.

1. ¿Qué cantidad corresponde al p% de C?2. ¿A qué porcentaje corresponde n si el 100% es C?3. ¿A qué cantidad corresponde el 100% si el p% es n?4. ¿A qué cantidad corresponde un aumento del x%?5. ¿A qué cantidad corresponde una disminución del x%?



• Se propone que el docente pueda utilizar el ejercicio 4, de estas páginas, para que los alumnosy alumnas lo resuelvan usando la estrategia de formar una proporción directa para calcular losporcentajes pedidos.

Trabajo con la información y Síntesis (Páginas 156 y 157)


• Para complementar la síntesis que se realiza en el texto, el docente puede utilizar el esquemaentregado y pedir a los alumnos y alumnas que busquen otras relaciones no especificadas en elesquema, para que lleguen a un resumen más acabado de la unidad. Por ejemplo, el porcentajese relaciona con proporcionalidad directa; álgebra y ecuaciones se relacionan con las variables, etc.

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

3


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 A

2 / 3

• Realizar ejercicios en los cuales las alumnas y alumnosdeban traducir del lenguaje natural a lenguajematemático a través de una expresión algebraica que represente la relación entre dos variables.

• Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnosdeban plantear y resolver problemas donde lasvariables se relacionan proporcionalmente.

Interpretar,plantear y resolverecuaciones querepresentan larelación existenteentre dos variables.

4 A

3 / 4

• Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnosdeban resolver problemas en los cuales el modelo de planteamiento sea proporcionalidad directa.

• Realizar ejercicios en los que alumnas y alumnosdeban analizar cómo varían las variables que serelacionan directamente proporcional.

Reconocerrelaciones deproporcionalidaddirecta entre dosvariables, establecercomparaciones conaquellas que no loson y utilizar elmodelo matemáticoasociado pararesolver problemasy su representacióngráfica.

5 B

10 2005

11

Con el paso de los años unamoneda del paísB equivale a másmonedas del país A.

2 D

B



• El ejercicio número 2 es un ejercicio típico en el cual los alumnos y alumnas no logran contestarcorrectamente. A pesar de que no está relacionado directamente con los contenidos, esteejercicio resume si el alumno o alumna comprende el concepto de reparto equitativo y lodiferencia del reparto proporcional.



• Recordar a alumnos y alumnas el significado de la palabra magnitud, para evitar confusiones enalgunos de los enunciados en donde se menciona

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23

15 V

| 87 |


6 A

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesdeban encontrar la constante de proporcionalidad a partir de los valores de las variables implicadas.

• Realizar ejercicios en los que alumnos y alumnasdeban resolver problemas donde las variables serelacionan en forma inversamente proporcional.

Reconocerrelaciones deproporcionalidadinversa entre dosvariables, establecercomparaciones conaquellas que no loson y utilizar elmodelo matemáticoasociado pararesolver problemasy su representacióngráfica.

8 A

3 / 4

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeterminen el porcentaje que corresponde a unacantidad, dado el 100%.

• Realizar ejercicios en los cuales alumnos y alumnasdeban determinar la cantidad correspondiente a unporcentaje de aumento o disminución y sean capacesde formalizar estas expresiones.

Resolver problemas de cálculo deporcentajes como relación deproporcionalidaddirecta.

9 A

14 p + x · p100

7 B

12Proporcionalidad

inversak = 120

13 No

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23





1. El tiempo de preparación de una prueba y el resultadode esta son variables que se relacionan. La variableindependiente corresponde a:

A. el tiempo de preparación.B. el resultado de la prueba.C. Ninguna de las dos.D. Ambas son variables independientes.

2. Un automóvil rinde 10 kilómetros por litro, ¿cuál esla expresión que representa el rendimiento delautomóvil con respecto a los kilómetros recorridosK y los litros L consumidos?

A. 10 · L = K C. = L

B. = K D. = K

3. El perímetro de un triángulo mide 56 cm. Si suslados están en la razón 2 : 5 : 7, ¿cuál es la medidade cada lado, respectivamente?

A. 9 cm, 21 cm, 26 cmB. 10 cm, 20 cm, 26 cmC. 8 cm, 20 cm, 28 cmD. 7 cm, 22 cm, 27 cm

4. Gonzalo quiere saber el costo de una chaqueta quetiene precio P y que está rebajada en un t%. ¿Quéoperación debe hacer Gonzalo para calcular el costode la chaqueta?

A. P – C. P –

B. 100 (P – Pt) D.

5. El modelo matemático que determina la relaciónentre el costo C por alumno del arriendo de un bus,con respecto al número N de alumnos que pagará,

está dado por: C = , donde las variables C

y N son:

A. directamente proporcionales.B. inversamente proporcionales.C. no son proporcionales.D. Ninguna de las anteriores.

6. Con respecto a la pregunta anterior, si asisten 24 alumnos, es decir, N = 24, ¿cuál sería el costo por cada alumno del arriendo del bus?

A. $ 2.600B. $ 2.400C. $ 2.500D. $ 3.000

7. El modelo matemático que determina la relación entreel costo C por el kilogramo de maní M está dadopor: M · 300 = C, donde las variables C y M son:

A. directamente proporcionales.B. inversamente proporcionales.C. no son proporcionales.D. Ninguna de las anteriores.

60.000N

P – t100

t100

Pt100

L10

10L

10K

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| 89 |

8. A y B son variables inversamente proporcionales,¿cuál es el modelo matemático que determina larelación de A y B según los valores de la tabla?

A. = 26 C. A =

B. A · B = 26 D. A =

9. El porcentaje de asistencia de Jorge disminuyó en un15% debido a que faltó por estar enfermo. Si asistió78,2 días en el semestre, ¿cuántos días correspondena la asistencia completa?

A. 92 díasB. 91 díasC. 93 díasD. 94 días

10. El 50% de un número es p, entonces el 10% de esenúmero es:

A. 5p C.

B. D. 2p

11. Si A y B son variables directamente proporcionales,¿cuál es el modelo matemático que determina larelación de A y B según los valores de la tabla?

A. A · B = 2,5 C. = 10

B. A = D. A = 2,5 B

12. Los siguientes gráficos muestran la relación de lasvariables H (n° de hombres) y M (n° de mujeres)que viajaron en metro durante los años 2005, 2006,2007 y 2008. ¿Cuál de las proposiciones es falsa?

A. En el 2006, por cada hombre, viajó más deuna mujer en metro.

B. En el 2008, por cada mujer, viajó más de unhombre en metro.

C. En el 2005, igual cantidad de hombres que demujeres viajaron en metro.

D. En el 2007, por cada hombre, viajó más deuna mujer en metro.

13. Si p es inversamente proporcional al doble de m, laexpresión algebraica que representa esta relación es:

A. 2pm = q, q es constante

B. = q, q es constante

C. pm = 2

D. pm = q, q es constante

p2m

2,5B

AB

p6

p5

26B

28B

AB

A

B

5,6

5

8

3,5

14

2

7

4

AB

52

4016

62,4

7,53

2005M

HM

H

2007

2006M

HM

H

2008

UNIDAD 4 (70-89)6.0 9/9/09 11:23


5Cir

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• Las páginas iniciales tienen como objetivo identificar formas similares a cuerpos redondos enobjetos que están presentes en situaciones cotidianas, en los cuales se pueden identificarcircunferencias y círculos. Por otra parte, es esencial que, como primera aproximación a lasdefiniciones de estos conceptos, los(as) alumnos(as) reconozcan las diferencias entre ellos.

Tareas

• Pedir a los(as) alumnos(as) que averigüen acerca de la invención de la rueda, como hito históricotrascendental para la humanidad.



Cuerpos redondos

Área

CIRCUNFERENCIA

Cilindro Cono

Elementosprincipales

Perímetro

Número πCuerda

Tangente

Secante

Volumen

Resolución de problemas

Radio

Círculo

Área


| 93 |

UNIDAD 5 | Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos


• Para enfrentar con éxito los contenidos de esta unidad es necesario que los alumnos y alumnasdominen bien el cálculo de áreas y perímetros de polígonos y figuras compuestas por polígonos,así como el cálculo del volumen de cuerpos poliedros. Conviene, por tanto, repasar estasmaterias.


• Recordar a los(as) estudiantes que el concepto de perímetro se define como la medida delcontorno de una figura, de este modo, al realizar el cálculo del perímetro de una circunferenciano apliquen la definición: “la suma de la medida de los lados”, ya que esta solo es factible paralos polígonos.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 A

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanidentificar rectas paralelas y perpendiculares. Realizarejercicios donde los(as) alumnos(as) deban clasificarángulos según sus medidas.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. Realizar ejercicios donde los(as)alumnos(as) deban calcular ángulos interiores yexteriores en polígonos.

Reconocer rectasparalelas yperpendiculares,clasificar y calcularmedida de ángulos.

5 16 cm

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) deban calcular perímetros de polígonos regulares y rectángulos. Realizar ejercicios donde los(as)alumnos(as) deban calcular perímetros en polígonos cóncavos.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular el perímetro a partir de figuras compuestaspor polígonos conocidos. Realizar ejercicios dondelos(as) alumnos(as) deban calcular perímetros desectores achurados de figuras planas.

Calcular elperímetro defiguras planas.

6 14 cm

7 15 cm

2 A

3 B

4 B


13



• Como se mencionó al principio de esta unidad, es importante que los(as) alumnos(as) logrencomprender la diferencia entre la circunferencia y el círculo.

• A pesar de que se habla del centro de la circunferencia, este pertenece al círculo, por lo quesería más adecuado hablar del centro del círculo o del punto que equidista a la circunferencia.

• Mencionar a los(as) alumnos(as) que el diámetro es la cuerda mayor que se puede trazar enuna circunferencia.

El círculo, la circunferencia y sus elementos (Páginas 170 y 171)


• El objetivo principal de este contenido es que los(as) alumnos(as) logren identificar loselementos de una circunferencia y puedan diferenciarlos y caracterizarlos. Se sugiere realizaractividades, en las que a partir de una circunferencia con estos elementos trazados, reconozcancada uno de ellos, y los escriban con su respectiva notación.

• Es interesante que los estudiantes logren comprender, por ejemplo, que una cuerda estácontenida en una recta secante, o que una recta tangente es perpendicular al radio que pasapor el punto de la tangente. En el caso de los sectores circulares, preguntar a los alumnos cuáles el ángulo del sector circular que se forma trazando el diámetro.

• Otro elemento importante de la circunferencia es la corona circular formada por dos circunferenciasconcéntricas, se recomienda mencionarlo de manera complementaria.

Otros elementos de la circunferencia (Páginas 172 y 173)

8 12 cm2

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular áreas de figuras cuadriculadas conociendo lamedida del cuadrado unitario. Realizar ejercicios dondelos(as) alumnos(as) deban calcular áreas de polígonosconocidos y de polígonos regulares de más de 4 lados.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular áreas de figuras compuestas por polígonos y áreas de sectores achurados de figuras planas.

Calcular el área defiguras planas.

9 2 cm2

10 5,5 cm2

11 136 cubitos

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanidentificar cuerpos geométricos como prismas ypirámides.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanreconocer construcciones de cubos según su vistafrontal o lateral.

Reconocer yclasificar prismas y pirámides. 12 24 cubitos

Pirámidecuadrangular

14 Pirámide triángular


| 95 |



Resuelve los siguientes problemas.

1. Júpiter tiene el 71% de la masa total de los planetas del sistema solar, Saturno tiene un 21% yel resto de los planetas, incluida la Tierra, un 8%. Sigue los siguientes pasos para construir elgráfico circular:

Paso 1: Dibuja una circunferencia de un radio el que estimes conveniente y marca su centro.Paso 2: Multiplica cada porcentaje, expresado en decimal, por 360º.Paso 3: Con el transportador, dibuja los sectores circulares correspondientes a los ángulos que

obtuviste en el paso 2.Paso 4: Pinta de diferentes colores los sectores circulares y coloca las etiquetas correspondientes

según la información entregada en el enunciado.

Tareas

• Verifica que al trazar dos circunferencias cualesquiera a partir de una circunferencia inicial, altrazar una recta por los puntos de intersección, esta pasa por el centro de la circunferenciaoriginal. Utilizando regla y compás, sigue los pasos para demostrarlo:

Paso 1: Con el compás, dibuja una circunferencia cualquiera y marca su centro.Paso 2: Con el compás, dibuja una circunferencia con centro en la circunferencia anterior y

radio cualquiera.Paso 3: Con el compás, dibuja otra circunferencia con centro en la circunferencia anterior y

radio igual al anterior de manera que las circunferencias del paso 2 y 3 se intersectenen dos puntos.

Paso 4: Con la regla, traza una recta que pase por los puntos de intersección de las circunferencias del paso 2 y 3. ¿Esta recta pasa por el centro de la circunferencia original? ¿La recta contiene al diámetro de la circunferencia original? Si dibujas otras circunferencias siguiendo los mismos pasos anteriores pero con otro radio, ¿ocurrirá lo mismo? Compruébalo.


• Se recomienda al docente que sitúe al número π dentro de los números irracionales aclarandoque, aunque es un número con infinitas cifras decimales, no corresponde a un decimal periódiconi semiperiódico y, por lo tanto, no es posible expresarlo como una fracción.

Longitud de la circunferencia (Páginas 174 y 175)



• Como actividad de introducción y de deducción del cálculo del perímetro de una circunferencia,crear el siguiente material didáctico: cortar diferentes circunferencias de distintos diámetros encartón corrugado. Distribuir entre los(as) alumnos(as) estas circunferencias y que con un ovillode lana rodeen la circunferencia y corten el trozo de lana que utilizaron para hacerlo. Pedir quemidan con una huincha los trozos de lanas cortados y registren las medidas en una tabla. Porúltimo, que calculen el cociente entre la longitud de cada circunferencia y su diámetro para quededuzcan el valor del número π.


• Al calcular el perímetro de una circunferencia dado su diámetro, los alumnos(as)frecuentemente calculan primero el radio y luego aplican la fórmula del perímetro. Aunque estácorrecto, pierden tiempo al hacer cálculos innecesarios e incrementan la probabilidad deerrores. Es recomendable plantear ejercicios donde deban calcular el perímetro de unacircunferencia, conociendo el radio, o bien el diámetro, para que se acostumbren a utilizar lafórmula con ambos datos.



1. En la proposición “mientras más grande es una circunferencia, mayor es la razón entre superímetro y el diámetro”, determina si es o no correcta y justifica a través de ejemplos.

2. Una pista de carrera tienen la siguiente forma:

Esta formada por una semicircunferencia en cada extremo. Calcula la longitud de la pista si ellargo del rectángulo mide 150 metros y el ancho 50 metros.

3. Como seguramente sabes, una de las especificaciones de una bicicleta es el aro de sus ruedas.Lo más probable es que tú hayas andado en bicicletas aro 26 ó 24. El aro indica la medida enpulgadas del diámetro de la rueda de la bicicleta. Supongamos que viajas en una bicicleta aro26, ¿cuántas vueltas debe dar la rueda para recorrer una cuadra? Para contestar la preguntaconsidera que una pulgada equivale a 2,5 cm, una cuadra mide 100 metros de largo y π esaproximadamente 3.


78,5 5

50,3 4

| 97 |



• Un concepto que puede ayudar a los alumnos a entender la aproximación del área, a través deun polígono, es considerar que el círculo es un polígono de infinitos lados.

• Para que los(as) estudiantes deduzcan la fórmula del área de un círculo, puede realizar lasiguiente actividad utilizando material concreto: pídales que dibujen una circunferencia en unacartulina, que luego la dividan en ocho sectores circulares, los recorten y los peguen como semuestra en la página 176 del texto. Por último, que calculen el área del paralelogramo formadoy lo comparen con el cálculo del área del círculo utilizando la fórmula.


Completa la siguiente tabla y luego responde las preguntas.

1. ¿A qué valor se aproxima el cociente encontrado?, ¿por qué? 2. Si el radio de un círculo aumenta al doble, ¿qué sucede con el área? El cociente entre el área y

el radio al cuadrado ¿también aumenta al doble?

Tarea

Resuelve.

1. Un tablero de dardos tiene un radio de 20 cm y está dividido en 20 sectores circulares, 10 negrosy 10 blancos. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dardo este caiga en un sector negro?Ayuda: para calcular la probabilidad, divide el área total de los sectores circulares negros con elárea total del tablero.


Muchas veces los(as) alumnos(as) se refieren indistintamente a círculo y circunferencia y cometenel error de decir: calcular el área de una circunferencia o el perímetro de un círculo. Es importanteque enfatice en el lenguaje y exija el buen uso de los conceptos. Se recomienda realizar ejerciciosdonde se pida, por ejemplo, determinar el perímetro de una semicircunferencia o el área de unsemicírculo.

Área de un círculo (Páginas 176 y 177)

Área de un círculo (A)

Radio del círculo (r)

Ar2

28,3 3




• Una estrategia para calcular áreas y perímetros de figuras compuestas y sectores sombreados,es que relacionen que al calcular el área de un sector sombreado, se debe calcular la diferenciaentre el área total y el área de lo no-sombreado. En cambio, cuando se debe calcular elperímetro de un sector sombreado se debe sumar el perímetro de la figura total con elperímetro de lo no-sombreado. Mencionar que no consideren esto como una regla o algoritmoy que cada vez que se enfrenten a este tipo de ejercicios analicen el procedimiento másadecuado a cada situación.


• Al enfrentarse a problemas en los cuales deben calcular el perímetro o área de una figuracompuesta o un sector sombreado, deciden encontrar los lados de esta figura y la fórmulacorrespondiente al cálculo de área y perímetro de ella, y no optan por la diferencia de áreas ola suma de contornos, que es el procedimiento más adecuado que deben seguir. Se recomiendatrabajar la abstracción e imaginación para que logren vislumbrar la descomposición de figurasque deben realizar para calcular lo pedido.

Área y perímetro de figuras compuestas (Páginas 178 y 179)


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 F

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancaracterizar los elementos de la circunferencia, ya seacompletando oraciones, determinando la veracidadde proposiciones, y justificando las falsas.

• Realizar ejercicios donde se les plantee a los(as)alumnos(as) situaciones que deban analizar si sonposibles o no con respecto a las propiedades de loselementos del círculo y la circunferencia. Por ejemplo:¿es posible que el diámetro sea un cuerda?, ¿la rectatangente corta al círculo o a la circunferencia? o ¿quéángulo se forma entre el radio y la recta tangente?

Reconocer y distinguirelementos del círculo y lacircunferencia. 2 F

3 V

4 V


Calcular áreas yperímetros defiguras compuestaspor círculos ypolígonos.

| 99 |



• Como introducción a este concepto, se puede comentar que la forma de un cilindro estápresente en muchos objetos usados en la vida cotidiana; puede solicitar a los(as) alumnos(as)que recuerden elementos de sus casas que tengan esta forma, para ayudarlos mencione algunosejemplos: vasos, frascos de vidrio, floreros, tarros, etc. Con estos ejemplos, crear la necesidadde conocer el cálculo de área y de volumen de este cuerpo, preguntándoles, por ejemplo:¿cómo podrían calcular la capacidad de un vaso para saber para cuántos alcanza un bebida delitro?, o ¿cómo calcular el papel necesario para envolver un florero?

• En cuanto a la abstracción de este concepto, así como una circunferencia se puede aproximara un polígono de infinitos lados, un cilindro podría aproximarse a un prisma de infinitas caras.

• El cálculo del volumen de un cilindro puede relacionarse con el cálculo de cualquier prismarecto. Como ya sabemos, el volumen corresponde a la altura multiplicada por el área de la baseque, en el caso del cilindro, es una circunferencia. Esto puede ser de utilidad como una especiede regla nemotécnica.


• La fórmula para el cálculo del área de un cilindro es bastante compleja, por lo que serecomienda promover el procedimiento de la descomposición del cilindro en un rectángulo ydos circunferencias, para esto puede plantear situaciones en las cuales se entreguen como datosalgunas de estas áreas. Así el(la) alumno(a) tendrá una alternativa al uso de la fórmula y podrádeducir el área del cilindro.

Cilindro (Páginas 182 a 185)

5 C

4 / 5

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) calculenperímetros de circunferencias y áreas de círculos.Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular perímetros de figuras compuestas porcircunferencias y polígonos y áreas de figurascompuestas por círculos y polígonos.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular perímetros de figuras compuestas porcircunferencias incompletas (la mitad, un cuarto, trescuartos) haciendo énfasis en que deben agregar losradios que completan la figura además del contornocurvo. Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as)deban calcular áreas de figuras compuestas porcírculos incompletos.

6 C

7 B

8 D

9 3 cm




1. Matías debe vaciar la caja de detergente a un recipiente cilíndrico, pero antes de hacerloquiere saber si cabrá todo el contenido en este. La caja posee 1.000 cc de detergente y elrecipiente cilíndrico tiene una altura de 10 cm y un diámetro de 10 cm. ¿Cabrá el contenidode la caja en el recipiente cilíndrico?


• Una manera de facilitar la integración del cálculo del volumen de un cono es que los(as)alumnos(as) lo relacionen con el del cilindro, para esto puede realizar preguntas, como porejemplo: ¿en que razón están el volumen de un cono y el volumen del cilindro? O bien, plantearejercicios, en los cuales a partir del volumen del cilindro deban calcular el volumen del cono yviceversa.

• En cuanto a la abstracción de este concepto, un cono podría aproximarse a una pirámide deinfinitas caras.


• Puede que los(as) estudiantes apliquen el razonamiento para la deducción del volumen de uncono, tal cual se hizo con el cilindro (como la multiplicación entre la altura y el área de la base),y no dividan este resultado por 3, ya que el cono corresponde a la tercera parte del cilindro.Recordarles la similitud entre los prismas y las pirámides, de igual polígono de base, para que dela misma forma relacionen el cilindro con el cono cuya base sea un círculo de iguales medidasy determinen con éxito el cálculo del volumen.

Cono (Páginas 186 a 189)



• Las medidas de la figura correspondiente al ejercicio resuelto se muestran en las ilustracionesutilizadas en el desarrollo.

• Comentar a los(as) alumnos(as) que el primer paso para resolver el ejercicio es identificar losdistintos cuerpos que están involucrados en la estructura del hotel e identificar si estos sonindependientes unos de otros o si comparten alguna medida.

• Mencionar que, en este caso, solo es necesario considerar el área del manto de cada cuerpo yno considerar las bases tanto de los cilindros como del cono.


| 101 |




• Se recomienda realizar ejercicios de variación de medidas en circunferencias, cilindros y conos,y que los(as) alumnos(as) analicen la variación que se produce en perímetros, áreas yvolúmenes, respectivamente. Pedir que utilicen por lo menos dos estrategias diferentes pararesolver estos problemas, y recomendarles la utilización del álgebra para realizar los cálculos.

Síntesis (Páginas 194 y 195)


• Pedir a los(as) alumnos(as) que incluyan dentro del esquema conceptual al número π. Además,se recomienda incluir preguntas en la síntesis acerca del número π, por ejemplo: ¿cuál es la razónentre la longitud del contorno de una circunferencia y su diámetro?



• Las preguntas tipo Simce están enfocadas al cálculo de áreas y perímetros de figuras compuestaspor cuadriláteros y circunferencias, y sectores de ellos sombreados. Con respecto al contenidode cuerpos geométricos, las preguntas tipo Simce están enfocadas a que determinen loscuerpos de revolución generados al rotar una figura plana.

¿Qué aprendí? (Páginas 198 y 199)


• La evaluación final debe estar enfocada principalmente al cálculo de perímetros y áreas defiguras compuestas por polígonos y circunferencias, circunferencias inscritas en cuadriláteros,semicircunferencias inscritas en cuadriláteros, así como también, figuras compuestas porporciones de circunferencias (un cuarto, tres cuartos, etc.) y cuadriláteros. Para evaluar loscontenidos respectivos a cuerpos redondos, se recomienda al docente enfocar la evaluación enla resolución de problemas contextualizados que involucren el cálculo de áreas de recipientesu objetos con forma de cilindros y conos, así como el cálculo de volúmenes para determinar lacapacidad de recipientes cilíndricos y cónicos.


Total:

13, 14 y 15

Preguntas


IndicadorRespuestascorrectas

¿Qué debo hacer?

1, 2, 5, 10, 11 y 12

/ 6

• Si obtuviste menos de 6 puntos, realiza las actividades 1 a 11 de lapágina 202 para reforzar este contenido.

• Si obtuviste los 6 puntos, realiza las actividades 12 a 14 de la página202 para profundizar tus conocimientos.


• Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 20 y 21 de la página202 para profundizar tus conocimientos.

Calcular el área yel perímetro de uncírculo y figurascompuestas porpolígonos ycírculos.

3, 7 y 8 / 3

Reconocer loselementos de uncilindro y calcularel área de susuperficie yvolumen.

Reconocer loselementos de uncono, calcular elárea de susuperficie y su volumen.

• En el texto del alumno, en la página 200, la información entregada debiera ser la siguiente:

Cuenta las respuestas correctas que obtuviste en la evaluación anterior y clasifica tu resultado deacuerdo a los criterios que se muestran a continuación:

• Rendimiento bajo: entre 0 y 9 respuestas correctas.• Rendimiento medio: entre 10 y 12 respuestas correctas.• Rendimiento alto: entre 13 y 15 respuestas correctas.

Obtuve respuestas correctas lo que implica que mi rendimiento en la evaluación fue

.

Ahora, dirígete a la página 268 y sigue las instrucciones que ahí aparecen.


• Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 27 a 29 de la página203 para profundizar tus conocimientos.4, 6 y 9 / 3

Calcular elvolumen y el áreade la superficie de cuerposcompuestos porcilindros y conos.

• Si obtuviste menos de 3 puntos, realiza las actividades 30 y 31 de lapágina 203 para reforzar este contenido.

• Si obtuviste los 3 puntos, realiza las actividades 32 y 33 de la página203 para profundizar tus conocimientos./ 3


A = 30 π cm2

V = 24 π cm3

A = (10 + ) π cm2

V = 6 π cm

Reconocer loselementos de uncono, calcular elárea de susuperficie y su volumen.

10

| 103 |


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

3 / 5

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) calculenperímetros de circunferencias y áreas de círculos dadosel radio o diámetro de ellas. Realizar ejercicios en dondelos(as) alumnos(as) calculen perímetros y áreas defiguras compuestas por círculos inscritos en polígonos.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular el radio o diámetro de una circunferencia ocírculo a partir del perímetro o área, respectivamente.También realizar ejercicios en que a partir del área deun círculo los(as) alumnos(as) deban determinar elperímetro de la circunferencia respectiva, y viceversa.En el caso de los ejercicios que involucren figurascompuestas por circunferencias y polígonos,complejizarlas inscribiendo círculos incompletos(medio, un cuarto, tres cuartos de círculos) encuadriláteros o triángulos.

Calcular el área yel perímetro de un círculo y figurascompuestas porpolígonos ycírculos.

3 C

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular áreas y volúmenes de cilindros dado el radioy la generatriz. Hacer la variante de entregar el área yla generatriz o el radio y pedir a los(as) alumnos(as)que calculen el volumen, y viceversa.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanresolver problemas contextualizados que involucrencilindros y el cálculo del área y del volumen de este.

Reconocer loselementos de uncilindro y calcularel área de susuperficie yvolumen.

4 C

1 / 2

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular áreas y volúmenes de conos dados el radio yla generatriz. Hacer la variante de entregar el área y lageneratriz o el radio y pedir a los(as) alumnos(as) quecalculen el volumen, y viceversa.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanresolver problemas contextualizados que involucrenconos y el cálculo del área y del volumen de este.

13

Acono = 90 π cm2

Vcono = 100 π cm3

Acilindro = 170 π cm2

Vcilindro = 300 π cm2

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debancalcular el área y el volumen de cuerpos compuestospor conos y cilindros.

• Realizar ejercicios donde los(as) alumnos(as) debanresolver problemas contextualizados que involucrencalcular el área y el volumen de cuerpos compuestospor conos y cilindros.

Calcular el volumeny el área de la superficie de cuerposcompuestos porcilindros y conos. 14

15

6 B

9 B

7 B

8 D

2 B

5 C

A = ( π – 25) cm2

P = 5 π cm

252

11

A = (6 – π) cm234

P = (6 + π) cm12

12A = 21 π cm2

P = 14 π cm

10





Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas. (π � 3,14)

1. El perímetro de una circunferencia cuyo diámetromide 10 cm es:

A. 5π cmB. 10π cmC. 20π cmD. 10 cm

2. El diámetro de un círculo cuya área es 36π cm2 es:

A. 6π cmB. 6 cmC. 12 cmD. 12π cm

3. El número π corresponde a la razón entre:

A. el diámetro de una circunferencia y la longituddel contorno.

B. el diámetro de una circunferencia y su radio.C. la longitud del contorno de una circunferencia y

el radio de ella.D. la longitud del contorno de una circunferencia y

el diámetro de ella.

4. El área de un círculo cuyo perímetro es 16π cm es:

A. 64π cm2

B. 64 cm2

C. 256π cm2

D. 256 cm2

5. Si una circunferencia tiene perímetro 3,14 cm, ¿cuántomide su diámetro, aproximadamente?

A. 1 cmB. 3,14 cmC. 6,28D. π

Dada la siguiente figura:

6. ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada?

A. (13π + 30) cmB. (8π + 20) cmC. (13π + 10) cmD. (13π + 20) cm

7. ¿Cuál es el área de la parte sombreada?

A. (80 + 33π) cm2

B. (100 + 25π) cm2

C. (80 + 25π) cm2

D. (100 + 33π) cm2

D

A

10 cm

8 cmB E

C


| 105 |

8. ¿Cuál de las siguientes redes no corresponde a uncilindro?

A.

B.

C.

D.

9. Si la altura de un tarro de leche condensada es 10 cm,¿cuál es el área de la etiqueta del tarro de leche siel volumen del tarro es 160π cm3?

A. 16π cm2

B. 70π cm2

C. 40π cm2

D. 80π cm2

10. Calcula el volumen del espacio que sobrará alcolocar un sombrero en forma de cono en unacaja cilíndrica cuyo diámetro es igual al del cono ycorresponde a 20 cm y cuya altura es igual a la delcono que corresponde a 24 cm.

A. 1.200π cm3

B. 1.600π cm3

C. 3.200π cm3

D. 2.400π cm3

11. ¿Cuál de las siguientes redes corresponde a uncono?

A.

B.

C.

D.

12. Si la altura de un cono de helado es 4 cm, ¿cuáles el área de la etiqueta del cono, si su volumenes 36π cm3?

A. 15π cm2

B. 24π cm2

C. 30π cm2

D. 48π cm2

13. Cuántas latas de bebida de 350 cc caben en unacaja de largo 70 cm, ancho, 30 cm y alto 50 cm?

A. 250 latas.B. 300 latas.C. 350 latas.D. No se puede calcular.



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Des

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al fr

ente

a t

area

s y

trab

ajos

.

UNIDAD 6 (106-123) :Layout 1 28/1/09 12:13 Página 107




• Antes de trabajar la unidad, se sugiere repasar los siguientes contenidos:

– Frecuencia absoluta y absoluta acumulada.– Frecuencia relativa y relativa acumulada.– Gráficos de diferentes tipos.– Medidas de tendencia central para una lista de datos.



ESTADÍSTICA

Encuestas Datos agrupados Muestras al azar

Frecuencia absoluta

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

Intervalos Media aritmética

Tablas de frecuencia

UNIDAD 6 (106-123) 6.0 9/9/09 11:27


En parejas realicen las siguientes actividades.

La siguiente tabla muestra la masa de 35 alumnos de un curso:

1. Completen la siguiente tabla:

2. Completen la siguiente tabla:

3. A partir de las tablas anteriores contesten las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos alumnos pesan menos de 60 kg?b. ¿Qué porcentaje de los alumnos pesa 60 o menos kilogramos?c. ¿Cuál es el peso de la mayoría de los alumnos?d. ¿La mitad del curso está sobre o bajo los 60 kg?e. ¿Cuál es el peso promedio de los alumnos del curso?

4. Representen los datos de las tablas mediante un gráfico de barras.

57 kg60 kg61 kg61 kg57 kg59 kg58 kg




60 kg59 kg57 kg59 kg58 kg60 kg

| 109 |

UNIDAD 6 | Estadística

57 kg

Peso de los alumnos

57 kg

Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta acumulada

58 kg

59 kg

60 kg

61 kg

Peso de los alumnos

57 kg

Frecuencia relativa

58 kg

59 kg

60 kg

61 kg




IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 D

2 C

3 B

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban construirtablas de frecuencias a partir de la lista de datos.Realizar ejercicios donde los alumnos deban construirla tabla de frecuencias a partir de gráficos de barras ycirculares.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban inferiracerca de los datos reales a partir de tablas defrecuencias. Realizar ejercicios donde los alumnosdeban completar tablas de frecuencias incompletas apartir de los datos totales y los entregados en la tabla.

Comprender los conceptos de frecuenciasabsoluta y relativa.

4

Se identifica el olos valores quepresente (en)mayor frecuencia.

5

Se suman todoslos valores y elresultado sedivide por elnúmero total de valores.

6

Se ordenantodos los valoresy se seleccionael valor central,en caso que lacantidad dedatos sea impar,de lo contrariose promedian los dos datoscentrales.

7Media: 7,2 añosModa: 6 añosMediana: 6 años

4 / 6

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcularla media, la moda y la mediana a partir de una lista dedatos. Incluir en estos ejercicios casos en donde lamoda no sea única, y que la lista de datos sea unnúmero impar o par.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcularla media, moda y mediana a partir de una tabla defrecuencias.

Calcular medidasde tendenciacentral: media,moda y mediana.


Leo y obtengoinformaciónpresente en tablasde frecuencias.

| 111 |



• Es importante mencionar que además de que los alumnos construyan tablas de frecuencias,gráficos y calculen medidas de tendencia central, el objetivo más importante de este ejecurricular es que desarrollen la capacidad de interpretar correctamente datos estadísticos. En losmedios de comunicación diariamente se muestran noticias con grandes titulares donde semalinterpretan resultados estadísticos para favorecer el sensacionalismo de la noticia, nuestrosestudiantes deben ser capaces de tener una actitud crítica frente a estas conclusiones y, porsupuesto, que logren encontrar aquellos errores o interpretaciones distorsionados.

• Para la sección Practica de este contenido, es necesario definir lo que es una población y unamuestra, y cuándo una muestra es representativa de la población. A partir de los ejemplos queden los alumnos, comentar acerca de cuáles muestras serían representativas y cuáles no, y cuáldebiera ser su tamaño. También es recomendable hacer una distinción entre los distintos tiposde variables que existen para realizar un estudio (cuantitativas y cualitativas) y ejemplificar cadauna procurando que los alumnos logren identificarlas.

• Para complementar la Síntesis, se puede mencionar que los estudios estadísticos nos permiteninferir, a partir de una muestra, acerca de la población. Un buen estudio estadístico nos permiteestudiar a un grupo pequeño y obtener conclusiones extensibles al resto de la población, sinnecesidad de tener que entrevistar a todos los individuos. Muchas veces, por ejemplo, en el áreade la salud, existen muy pocos casos que poseen alguna enfermedad en estudio o estánrepartidos por todo el mundo y no es posible localizarlos. El desarrollo de esta área de lamatemática nos entrega herramientas donde podemos inferir y predecir el comportamiento devariables que nos permiten tener conocimiento de nuestra naturaleza y, muchas veces, teneruna mejor calidad de vida.

Estadística y análisis de la información (Páginas 208 y 209)

10Educación básicaincompleta.

11 1.848.589 personas

12 Sí

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizarla información entregada en una tabla de frecuenciasy deban sacar conclusiones al respecto.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban inferir a partir de la tabla de frecuencias, comportamientosde la población.

8Media: 1,75 litrosModa: no hay.Mediana: 1,75

9

Media: 74,375 kgModa: 67 kg y74 kgMediana: 74 kg




• Como complemento a este contenido inicial comentar con los alumnos las diferencias entrecenso y encuestas, aclarando que el censo se realiza sobre el total de la población, mientras queuna encuesta sobre una muestra. Comentar también las dificultades de trabajar sobre el totalde la población y, por lo mismo, lo necesario que la muestra sea representativa de ella.

En grupos de tres integrantes realicen lo siguiente.

Si quisieran realizar un estudio acerca de la obesidad infantil de niños de su edad,

1. ¿cuál sería la población objetivo?2. Si no es posible entrevistar a toda la población, ¿cuál creen que sería una muestra

representativa de ella?3. ¿Qué datos necesarios para determinar la obesidad recolectarían?4. ¿Cómo redactarían las preguntas de una encuesta para realizar este estudio?


• A los alumnos les dificulta leer tablas y gráficos y mucho más sacar información de estas. A pesarde que es un contenido que está incluido desde los primeros niveles de la educación básica,muchos de los alumnos con dificultades en matemática, llegan a Cuarto año Medio sin sercapaces de interpretar una tabla de doble entrada. Una manera de corregir esta dificultad esque se acostumbren a leer y a poner los títulos en tablas y gráficos. Para el trabajo con tablasde datos es importante que realicen ejercicios donde trabajen en ellas como si fuera una matrize intersecten filas y columnas buscando información. En el caso de los gráficos, es importanteque ejerciten el asignar nombres a los ejes y, si es pertinente, la unidad de medidacorrespondiente, también un buen ejercicio es que decidan qué tipo de escala es la másadecuada en ciertos gráficos según las variables involucradas.


Responde las siguientes preguntas.

1. En un censo poblacional ¿qué gráfico es el más adecuado para representar los datos?2. Si en una encuesta se quiere saber cuántos alumnos menores de 15 años fuman, ¿qué

frecuencia corresponde interpretar?, ¿qué gráfico utilizarías para presentar la información?3. Si en una encuesta se quiere saber el deporte favorito de los alumnos de 8º Básico, ¿qué

indicador necesitas buscar?


| 113 |



• La organización de los datos en intervalos es relevante a la hora de realizar un estudioestadístico. A pesar de que los intervalos son construidos a partir de los datos, al definir losintervalos debemos olvidarnos de los datos originales, porque muchas veces literalmente sepierden o porque son una gran cantidad de datos que es muy engorroso manipularlos, inclusocon un software estadístico. Es conveniente comentar con los alumnos que una de las ventajasde agrupar los datos en intervalos, se relaciona con facilitar el cálculo y la representación gráficade estos, pero una gran desventaja es que disminuye la precisión de las estimaciones, porque yano estamos trabajando sobre los datos originales sino sobre intervalos que representan elconjunto de datos.


Realiza las siguientes actividades.

En la siguiente tabla se muestra la distribución de sueldos de 45 personas de la empresa ART.

1. ¿Cuántas personas reciben un sueldo inferior a $ 300.000?2. ¿Cuántas personas reciben entre $ 150.000 y $ 600.000?3. ¿Cuáles tramos reciben más de $ 600.000?4. ¿En cuáles de los tramos se encuentra el 50% de los empleados?5. ¿Entre qué montos se encuentra la mayoría de los empleados?6. ¿Cuánto es lo mínimo que puede ganar un trabajador en esta empresa?, ¿y lo máximo?

Lectura de tablas con datos agrupados (Páginas 210 y 211)

Tramo

A

Nº de personas Sueldo ($)

3 1.100.000 – 1.200.000

900.000 – 1.000.000

700.000 – 800.000

500.000 – 600.000

300.000 – 400.000

150.000 – 250.000

B 2

C 5

D 15

E

F

13

7


Peso ideal según estatura por sexo


Tareas

En la siguiente tabla se muestra los intervalos de estatura y peso ideal por sexo. Con estainformación realiza las siguientes actividades.

1. Entrevista a 10 de tus compañeros y pregúntales acerca de su estatura y peso, identificando sies hombre o mujer.

2. De acuerdo a los datos entregados por tus compañeros, construye una tabla de frecuenciasabsolutas de acuerdo a los intervalos de estatura.

3. Construye una tabla de frecuencias absolutas, pero ahora contabilizando aquellos alumnosque según su estatura poseen el peso “ideal”.

4. Compara ambas tablas, ¿existe mucha diferencia entre ellas? Si es así, calcula la diferencia paracada intervalo. Si las diferencias son muy grandes, ¿qué significa esto?


Analiza el siguiente gráfico que muestra la cantidad de latas de bebida que consume unapersona al mes y contesta las preguntas dadas a continuación.

1. ¿A cuántas personas en total se entrevistaron en el estudio?2. ¿Cuál es el rango de bebidas que consume la mayoría de las personas entrevistadas?3. ¿En cuál de estos intervalos te ubicarías tú?

Estatura

1,48 m a 1,51 m

Peso hombres Peso mujeres

48 kg a 51 kg 46 kg a 47 kg

48 kg a 50 kg

51 kg a 52 kg

53 kg a 54 kg

55 kg a 56 kg

1,52 m a 1,55 m 52 kg a 55 kg

1,56 m a 1,59 m 56 kg a 59 kg

1,60 m a 1,63 m 60 kg a 63 kg

1,64 m a 1,67 m 64 kg a 67 kg

00 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20

Nº

de p

erso

nas

Nº de latas de bebida

2

4

6

8

10


| 115 |



• La cantidad de intervalos adecuados para cierta cantidad de datos es muy difícil de determinar.En la literatura se sugiere utilizar de 3 a 5 intervalos, lo cual dependerá del tipo de variable quese está usando y de la cantidad de datos. Se puede tener como criterio que la cantidad deintervalos a usar debe permitir que no queden intervalos sin elementos. Otro criterio podría serque el valor de la amplitud sea un número acorde a los datos; por ejemplo, si los datos sonenteros correspondientes a una variable discreta, la amplitud debería ser un número entero, porlo tanto, la cantidad de intervalos para dividir el rango tendría que ir de acuerdo a eso, etc.


• Las posibles dificultades que se pueden presentar al agrupar datos, tiene relación con datoscuyos valores son decimales, primero porque el cálculo del rango y de la amplitud secomplejizan y no es inmediato fijar los límites de cada intervalo. Por ejemplo, si el primerintervalo es de 0 a 1,95, el siguiente intervalo ¿dónde empieza en el 1,96 ó en el 2? En este tipode situaciones, recomendar a los alumnos que observen los datos o el tipo de variable enestudio y elijan el que sea acorde a ellos, porque la idea es que los intervalos a utilizarrepresenten y conserven las características de los datos originales.


Realiza las siguientes actividades.

1. Completa los intervalos, sabiendo que el rango de los datos es 59,4.

2. En un estudio acerca de la masa de 200 bebés al nacer, se sabe que el recién nacido que hapesado menos logró una masa corporal de 2 kg 300 g y el bebé que logró la mayor masa fuede 4 kg 100 g. Determina el rango de los datos y construye tres intervalos, determinando laamplitud de cada uno de ellos. (Expresa la masa mediante número decimales).

Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados (Páginas 212 y 213)

Intervalos

60 a

Frecuencia absoluta

23

70 a 5

a 21

a 12

a 17

a 82


11 a 15

1 a 5

6 a 10

22 21 44

28 12 2

3 16 2

En la tabla se muestra una lista con la cantidad de abdominales realizados, en un minuto, por losalumnos de un curso.

1. Organiza los datos, utilizando 5 intervalos. 2. Construye una tabla con la frecuencia absoluta y relativa de acuerdo a los intervalos que construiste.3. ¿Qué intervalo de abdominales puede realizar la mayoría del curso?4. ¿Cuál es la cantidad máxima de abdominales que puede realizar el 50% del curso?

Representa los datos de las siguientes tablas con un gráfico de barras.

1. Se realizó un estudio para saber cuánto tiempo una persona se dedica a navegar por Internet.Se entrevistó a 100 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes datos:

2. Se realizó un estudio acerca de cuántos libros al año lee una persona según su edad. Se entrevistóa 150 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes resultados:

31 a 60 min 32

61 a 90 min 12

91 a 120 min 11

121 a 150 min 18


Tiempo en internet

0 a 30 min

Nº de personas

27

50514651604755

45404835585851

45393860495547

50495550604855

553,95149515848

EdadesLibros

6 a 12 años (niño) 13 a 19 años (joven) 20 a 26 años (adulto joven)


| 117 |



IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 A

4 / 6

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizaruna tabla de datos agrupados y deban identificar si los datos de una variable pertenecen a una columna,una fila o el cruce de ellas.

• Realizar ejercicios donde los alumnos interpreten la información entregada en una tabla de datosagrupados y saquen sus propias conclusiones, sin preguntas previamente entregadas.

Leer e interpretarinformaciónpresente en tablas con datosagrupados.

2 C

3 D

4 B

5 D

6

CAlternativa D: el porcentaje deniños entre 5 y 14 años quetrabaja entre 1 y 48 horas esmayor que el delos niños entre 15 a 17 años.

7

2 / 3

• Realizar ejercicios donde a partir de una lista de datoslos agrupen en intervalos y determinen la frecuenciaabsoluta y relativa.

• Realizar ejercicios donde deban proponer unavariable en estudio y una característica a analizar, querecopilen los datos necesarios y luego construyan unatabla con datos agrupados y concluyan acerca de lacaracterística en estudio.

Construir tablas de frecuencias condatos agrupados.

8

9

Media aritmética para datos agrupados (Páginas 216 y 217)


• Como ya se ha dicho anteriormente, el trabajo con datos agrupados provoca perdida deinformación ya que no se usan los datos originales, sino, representantes de estos, por esto, esmuy importante que la marca de clase utilizada sea realmente representativa de los datos.Muchas veces al promediar los extremos de los intervalos nos resultan valores con muchosdecimales y que “no se parecen” a los datos originales. Esto obviamente tiene relación con laelección de los intervalos; en esos casos, es posible aproximar la marca de clase para así obtenerun valor realmente representativo de los datos.



• Muchas veces ocurre que se realizan ejercicios donde los alumnos, a partir de los datos construyenintervalos y calculan la marca de clase, y este valor no pertenece a los datos originales. El alumnopodría (o debería) preguntarse por qué se usa ese valor para calcular la media si ni siquiera esparecido a los datos originales, o por qué se usan los intervalos si están los datos originales. Unasencilla manera de evitar estas contradicciones es usar solo tablas con datos agrupados y nopresentar los datos originales, y también volver a recordar que el uso de intervalos es paramanipular gran cantidad de datos, lo que no es posible incluir en los ejemplos planteados.

• En la literatura muchas veces se habla de la marca de clase como el punto medio del intervaloy es muy común que los alumnos tiendan a restar los extremos, en vez de sumarlos. Por estoes muy acertado que se hable de promedio, porque es más sugerente y de ese modo realizaránla operación correcta.



1. Se realizó un estudio para saber cuánto tiempo dedica una persona a navegar por Internet. Seentrevistó a 100 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes datos. Calcula lamarca de clase para cada intervalo y el promedio de tiempo que las personas de dedican anavegar por Internet.

2. Se realizó un estudio acerca de cuántos libros al año lee una persona según su edad. Seentrevistó a 150 personas de manera aleatoria y se obtuvieron los siguientes resultados. Calculala marca de clase para cada intervalo de libros y el promedio de libros que lee un niño, un joveny un adulto joven, representando a cada uno con una edad promedio.

M. de clase • frecuencia


31 a 60 min

61 a 90 min

91 a 120 min

121 a 150 min

Tiempo en internet

0 a 30 min

Marca de clase

32

12

11

18

Nº de personas

27

11 a 15

1 a 5

6 a 10

21 21 44

27 12 2

1 16 2

16 a 20 1 1 2

Edades

Libros 6 a 12 años (niño)

Marca de clase13 a 19 años

(joven)20 a 26 años(adulto joven)


| 119 |


• Las siguientes actividades pueden ser utilizadas para profundizar los contenidos trabajados enestas páginas.

Usando las marcas de clase de los estudios presentados anteriormente, indica:

1. El mínimo.2. El máximo.3. El rango.4. La moda.5. En el caso del tiempo dedicado a Internet, ¿cuál sería la mediana?

Información al docente

• Comentar a los alumnos que existen fórmulas más precisas para calcular la mediana y la modaen datos agrupados, pero que por el momento el procedimiento utilizado en estas páginas esuna manera para identificar, aproximadamente, estos indicadores cuando se tienen datosagrupados.

Muestras ala azar (Páginas 218 y 219)


• Entre las razones para realizar un muestreo están: el ahorro económico del estudio, la rapidezde la recolección de datos y la escasez de recursos físicos, económicos y humanos. Sin embargo,algunos inconvenientes pueden ser: que la muestra no sea suficientemente representativa de lapoblación, llevando a obtener conclusiones erróneas; en ocasiones la población es muypequeña, y en consecuencia, cualquier falla de la muestra escogida puede provocar erroressignificativos en la interpretación y análisis de los datos.

• En ocasiones, la población se encuentra dividida de manera natural, por ejemplo, en gruposétnicos, familias, comunas, etc. En este caso, una muestra debe contemplar toda la variedad dela población, lo cual se denomina “muestreo por conglomerado”.

Tarea

Resuelve.

1. Se desea determinar la población total de aves que hay en una localidad. Para realizar el estudio,se capturó a 50 aves y se les marcó con un chip en sus alas, dejándolas en libertad. A los pocosdías se capturó a otro grupo de 25 aves, de las cuales 10 tenían el chip. ¿Cuál es la poblaciónaproximada de aves de la localidad?

UNIDAD 6 (106-123) 6.0 14/9/09 13:05




• El ejercicio relacionado con las medallas obtenidas por los países en los juegos olímpicos es unclaro ejemplo de la pérdida de información que se produce cuando se agrupan los datos, ya queen la tabla pedida en el ejercicio 6, no habrá registro del tipo de medalla obtenida por los países.Comentar esto con los alumnos.


Utilizar la tabla de las medallas presentada en la página 221 y realizar los siguientes ejercicios.

1. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de oro con los intervalos queestimes conveniente.

2. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de plata con los intervalos queestimes conveniente.

3. Construye una tabla de frecuencias para el total de medallas de bronce con los intervalos queestimes conveniente.



• Las estrategias para resolver problemas relacionados con el manejo de la información, requierede habilidades enfocadas a la reflexión y análisis de los datos obtenidos, además se debeninterpretar y organizar los resultados de manera simple y comprensible para cualquier personaque acceda a esa información. Si comparamos con la resolución de problemas en otros ámbitos,en la estadística no basta con obtener una solución y comprobar si es correcta, aquí se requierede inferencia y obtención de conclusiones que es posible proyectar a toda una población enestudio.



• Se recomienda hacer un breve repaso a partir de las preguntas presentadas en la Síntesis y pedira los alumnos que realicen la sección Trabajo con la información, y a continuación presenten losresultados obtenidos.


| 121 |


2


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

1 / 2

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban interpretarinformación entregada en una tabla con datosagrupados.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcular a partir de la tabla con datos agrupados, frecuenciasabsolutas o relativas de algún intervalo.

Leer e interpretarinformaciónpresente en tablas con datosagrupados. D

5 / 9

• Realizar ejercicios en donde los alumnos a partir deuna lista de datos construyan intervalos de maneraadecuada a la variable en estudio.

• Realizar ejercicios en donde los alumnos además deconstruir los intervalos deban completar la tabla defrecuencias absolutas y relativas.

Construir tablas de frecuencias condatos agrupados.

7 –

8 –

9 –

10 –

11 –

12 –

13 –

14 –

15 –

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los alumnos, a partir de losintervalos, calculen la marca de clase y determinen lamedia aritmética.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban calcularun promedio ponderado a partir de las ponderacionesy los datos involucrados.

Calcular einterpretar lamedia aritméticapara datosagrupados ypromedioponderado.

3 C

4 B

5 B

6 C

Ejercicios de refuerzo y profundización (Páginas 232 y 233)


• Se recomienda realizar ejercicios para que los alumnos repasen la aproximación de decimales.






A partir de la información presentada en la siguientetabla, responde las preguntas l a 9.

La siguiente tabla muestra las edades de los niños yjóvenes que hacen deporte en un club los sábados.

1. ¿Cuántos niños y jóvenes realizan deporte en elclub los sábados?

A. 36 niños y jóvenes.B. 42 niños y jóvenes.C. 40 niños y jóvenes.D. 41 niños y jóvenes.

2. ¿Cuántos niños que realizan deporte tienen entre 1 y 10 años?

A. 1 niño.B. 5 niños.C. 6 niños.D. 7 niños.

3. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los jóvenes entre16 y 25 años?

A. C.

B. D.

4. ¿Qué porcentaje de las personas que asisten al clubson mayores de 15 años?

A. 60%B. 85%C. 40%D. 15%

5. ¿Qué porcentaje de las personas que asisten al clubson menores o tienen 15 años?

A. 60%B. 85%C. 40%D. 15%

6. ¿Cuál es la marca de clase del tercer intervalo?

A. 12 años.B. 13 años.C. 11 años.D. 12, 5 años.

7. ¿Entre qué edades se encuentra la mayoría de losjóvenes que van al club?

A. 11 a 15 años.B. 6 a 10 años.C. 16 a 20 años.D. 21 a 25 años.

Edad

1 a 5 años

Frecuencia absoluta

1

6 a 10 años 5

11 a 15 años 10

16 a 20 años 18

21 a 25 años 6

18402440

6403640


| 123 |

8. Si la marca de clase del último intervalo es 23 años,esto quiere decir:

A. que todos los jóvenes de ese intervalo tienenalrededor de 23 años.

B. que la mayoría de los jóvenes que pertenecena ese intervalo tienen 23 años.

C. que si elegimos al azar a un integrante de eseintervalo tendrá 23 años

D. que representamos ese intervalo con estevalor para calcular la media aritmética.

9. ¿Cuál es el promedio de edad de los niños y jóvenesque van al club los sábados?

A. 17 años aprox.B. 14 años aprox.C. 15 años aprox.D. 16 años aprox.

10. El promedio final de María si sus notas son, es:

A. 5,1 aprox.B. 5,0 aprox.C. 5,2 aprox.D. 5,3 aprox.

11. Si las ponderaciones de una asignatura son 15%los controles, 30% la prueba final y un 55% elexamen podemos concluir que:

A. todas las notas tienen la misma ponderación. B. las notas que tienen mayor importancia son

los controles.C. la nota que tiene mayor importancia es la del

examen.D. La nota que tiene mayor importancia es la

nota final.

A partir de la siguiente información responde laspreguntas 12 a 14.

Andrés visitó a los alumnos de un 8º Básico. Luego,registró el número de hermanos que tenía cada alumnopara realizar un estudio:

12. ¿Cuál es el rango de los datos?

A. 8B. 7C. 6D. 9

13. Si tuvieras que organizar la información en datosagrupados ¿cuál de los siguientes intervalos elegirías?

A. 1 a 2; 2 a 3; 3 a 4; 4 a 5; 5 a 6; 6 a 7B. 0 a 2; 3 a 5; 6 a 8C. 0 a 2; 2 a 4; 4 a 6; 6 a 8D. 1 a 3; 4 a 6; 7 a 9.

14. ¿Cuál es el intervalo de cantidad de hermanos másfrecuente en los alumnos del 8º?

A. 0 a 2B. 1 a 3C. 1 a 2D. 3 a 5

Ponderación 20% 45% 35%

Notas 6,1 4,2 5,7

6212510

4550525

0433312

4278327

1

1

6

4

8

4413210



7Pro

bab

ilid

ad

| 124 |

Intr

od

ucc

ión

El o

bjet

ivo

de e

sta

unid

ad e

s de

sarr

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noc

ión

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UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

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UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29




• Georges Louis Leclerc (1707-1788), conocido mayormente por conde de Buffón, fue un grannaturalista y autor de la Historia Natural, obra compuesta por treinta y seis volúmenes. Noobstante de su afición a las ciencias naturales, fue electo en la Academia de Ciencias de Parísgracias a su discurso sobre el cálculo de probabilidades, tema en el que él se sentía fuerte. Esconocido en matemáticas por el problema clásico de la aguja de Buffon; se trata de lanzar unaaguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manerauniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja,la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/pi.

• Kart Pearson (1857-1936) es considerado el fundador de la ciencia estadística, desarrolló lafórmula de cálculo de la correlación. Su contribución más famosa a la estadística es la prueba x2

aplicable en muestras de gran tamaño. Fundó la revista especializada en estadística Biométrika, ycontribuyó de manera notable a elevar el prestigio de la estadística como un instrumento degran valor para el método científico.



INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Probabilidad como frecuencia relativa

Resultadosequiprobables

Regla de Laplace Espacio muestral

Probabilidad a prioriProbabilidad a posteriori

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

• John Kerrich fue un matemático que luego de ser recluido en un campo de Jutland durante laII Guerra Mundial se dedicó a experimentar la teoría de la probabilidad, lanzando 10.000 vecesuna moneda. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Kerrich llegó a la conclusión de que cuando se realiza un gran número de lanzamientos eltamaño de la diferencia entre el número real de caras y el número esperado (la mitad tiende aser muy grande en términos absolutos, pero comparado con el número de lanzamientos, esbastante pequeña. Esta se conoce como la ley de los promedios. Kerrich indicó la ecuación parael número de caras que es igual a la mitad del número de lanzamientos más un error aleatorio,a medida que se aumenta el número de lanzamientos, el error aleatorio se hace mayor, perocomparado con el número de lanzamientos se hace cada vez más pequeño.

• Pierre Simon Laplace (1749-1827) destaca por sus investigaciones sobre el cálculo deprobabilidades, en 1812 publicó su “Teoría analítica de las probabilidades”, obra que supone laintroducción de los recursos del análisis en el estudio de los fenómenos aleatorios, como, porejemplo, el cálculo de probabilidades a través del cociente entre los casos favorables y los casostotales. También dedujo el método de los mínimos cuadrados y a él le corresponde el méritode haber descubierto y demostrado el papel desempeñado por la distribución normal en lateoría matemática de la probabilidad. Sus aportaciones en este campo pueden resumirse en dos:por un lado la creación de un método para lograr aproximaciones de una integral normal; porotro su descubrimiento y demostración de lo que ahora se llama el teorema central del límite.Destacó en gran medida en el denominado cálculo integral y diferencial aportando con ladenominada transformada de Laplace, transformación que hace corresponder a una función devariable real f(t), definida en todo el campo de los números reales, una nueva función L(f), llamadatransformada de Laplace. Esta transformada tiene aplicaciones muy interesantes, como la resoluciónde ciertas ecuaciones diferenciales, y el estudio de problemas con condiciones de contorno.

| 127 |

UNIDAD 7 | Probabilidad

Nº de lanzamientos

10

Nº de caras

4

20 10

Diferencia Nº de lanzamientos

600

Nº de caras

700

Diferencia

–1

0

312

368

12

18

30 17 8002 413 13

40 21 9001 458 8

50 25 1.0000 502 2

60 29 2.000–1 1.013 13

70 32 3.000–3 1.510 10

80 35 4.000–5 2.029 29

90 40 5.000–5 2.533 33

100 44 6.000–6 3.009 9

200 98 7.000–2 3.516 16

300 146 8.000–4 4.034 34

400 199 9.000–1 4.538 38

500 255 10.0005 5.067 67

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29



• Antes de comenzar esta unidad se recomienda hacer un breve repaso de los conceptosestudiados anteriormente, tales como, tablas de frecuencia absoluta y relativa, probabilidadasociada a la frecuencia relativa, y medición de la probabilidad como un número entre 0 y 1,haciendo hincapié en sus diferentes maneras de representarla, ya sea como fracción, decimal oporcentaje.

• Una buena manera de comenzar la unidad es preguntar a los alumnos qué entienden porexperimento probabilístico o mejor dicho, cuándo un experimento es al azar. Darles ejemplosde diferentes experimentos y que ellos identifiquen aquellos que son al azar. En aquellos queciertamente son al azar preguntar cuáles son los posibles resultados a obtener, y en los que nolo son, preguntar cuál es el resultado determinado por el experimento.


Los siguientes datos son las preferencias en cuanto al uso de tiempo libre de 30 jóvenes entre13 años y 15 años. Observa y luego responde.

1. Organiza la información en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.2. Expresa en la misma tabla las frecuencias relativas en fracción, decimal y porcentaje.3. Si le preguntáramos a un joven entre 13 y 15 años en qué prefiere para usar su tiempo libre

¿qué es más probable que nos conteste?, ¿cuál sería la probabilidad aproximadamente?


• Es posible que los alumnos confundan un experimento aleatorio y un suceso, para evitar esto,recuérdeles la definición de cada uno, dando ejemplos y enfatizando en las diferencias.

• Es muy usual que se utilice “posible” como sinónimo de “probable”; mencionar a los alumnosque cuando preguntamos si algo es posible la respuesta es “sí” o “no”, cuando preguntamos sialgo es probable, la respuesta solo tiene sentido si es un valor, es decir, la probabilidad es lamedida de “cuánto” es posible o no un suceso.


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UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

1

5 A

1 / 2

• Realizar ejercicios donde los alumnos a partir de losresultados de un suceso determinen la frecuenciarelativa y la traduzcan a probabilidad de ocurrencia.

• Realizar ejercicios donde los alumnos dada lafrecuencia de un suceso respondan preguntas deanálisis en donde deban calcular diferentesprobabilidades a partir de la frecuencia relativa.

Determinar lafrecuencia relativacon que ocurre un suceso y usarla para asignarprobabilidades.

y

Expresar einterpretarprobabilidadescomo un númeroentre 0 y 1, como fracción o porcentaje.

| 129 |


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


2 40%

3

6 D

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquenexperimentos probabilísticos de otros que no lo sony que analicen los posibles resultados a través de losdatos obtenidos del experimento.

• Realizar ejercicios donde los alumnos estimenprobabilidades a partir de experimentos probabilísticos.

Realizar y analizarexperimentosprobabilísticos para obtener datos empíricos de sus resultados.

4 0,25

7 C

1 / 2

• Realizar ejercicios donde dada la frecuencia absolutade ciertos sucesos puedan determinar el total,encontrar la frecuencia relativa y expresarla enfracción, decimal y porcentaje.

• Realizar ejercicios donde los alumnos, dada lafrecuencia relativa (expresada como fracción, decimal o porcentaje), respondan preguntas deanálisis donde deban interpretar qué significa estafrecuencia en términos probabilísticos.

25

35

35


• Los alumnos intuyen y comprenden el concepto de probabilidad en el sentido práctico, pero ala hora de definir la probabilidad de un evento se confunden. Es recomendable comenzarcomentando acerca de los experimentos o fenómenos aleatorios, referirse a conceptos comoel azar o la suerte, dando paso al origen de este concepto, cómo surge, cuáles son lasmotivaciones para desarrollar una teoría que incluso tiene distintas corrientes de estudio.

• Como introducción a la probabilidad, se recomienda definir lo que es un experimentoprobabilístico y luego plantear el concepto de suceso, como un evento particular de esteexperimento, por ejemplo, si el experimento aleatorio consiste en sacar una bolita de una urna,un suceso sería sacar una bolita de cierto color. En el caso de los resultados posibles, quemuchas veces se confunde con sucesos, serían todos los tipos de bolitas que tiene la urna.

• En el caso de los sucesos seguros e imposibles, un muy buen ejercicio es que los alumnos denejemplos de ellos, porque muchas veces confunden el concepto de suceso seguro conexperimentos determinísticos y no aleatorios.

Introducción a la probabilidad (Páginas 238 y 239)

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29


• Analizar con los alumnos que el hecho de que las probabilidades sean expresadas de diferentemanera, ya sea como decimal, razón o porcentaje, no tiene que ver con un “capricho”matemático, sino que se relaciona con que la información entregada debe ser lo más clara yentendible. Por ejemplo, si queremos expresar probabilidades muy pequeñas, lo másconveniente es usar decimales, si hablamos de resultados estadísticos donde se ha determinadola probabilidad de que ocurra un suceso, lo más adecuado es que esa probabilidad se expreseen porcentaje y, en el caso de censos o encuestas, es mejor expresarla en razón.

• Es muy importante que los alumnos entiendan que el concepto de probabilidad comofrecuencia relativa no significa que la probabilidad sea una razón, es decir, si la probabilidad deque una persona que fuma desarrolle cáncer pulmonar es ?, esto no significa que de cada dospersonas que fuman una de ellas desarrolló cáncer, es decir, si se entrevista a muchas personasque fuman, aproximadamente la mitad de ellas desarrolló cáncer pulmonar. En conclusión, losalumnos deben tomar el peso de que es necesario la realización de muchos experimentos parapoder determinar la probabilidad de un suceso a través de la frecuencia relativa. Un buenejercicio para dejar claro este concepto es que los alumnos saben que la probabilidad de lanzarun dado y obtener determinado número es un sexto, entonces pedirles que lancen seis veces undado y que anoten cuántas veces les apareció cada número, luego se darán cuenta de que no salióuna vez cada número por lo que no se cumple que la probabilidad sea un sexto. Decirles queaumenten la cantidad de lanzamientos hasta que lleguen aproximadamente a esta probabilidad,esto también les generará un conocimiento relativo de cuál es el número de lanzamientos mínimopara obtener una frecuencia relativa estable y poder determinar la probabilidad.


De los siguientes experimentos, determina cuáles son aleatorios y cuáles no.

1. Al jugar un partido de fútbol, que haya jugadores lesionados.2. Al jugar un partido de fútbol, se cuente el número de goles.3. Al jugar un partido de fútbol, se determine el número de jugadores en la cancha al iniciar el

partido.4. Al jugar un partido de fútbol, se determine el número de jugadores expulsados.5. Al jugar un partido de fútbol, se cuente el número de arqueros en la cancha.6. La duración total de un partido de fútbol.

Da tres ejemplos de sucesos en los siguientes experimentos aleatorios.

1. Se estudia el flujo vehicular en la intersección de las calles Departamental con Vicuña Mackena.2. Se estudia el flujo de personas en un cajero automático.3. Se estudia la cantidad de correos “cadena” que recibe una persona a diario.

Analiza los siguientes sucesos y calcula aproximadamente la posibilidad de que ocurra usando tuintuición para ubicarlos en la recta.

0

Suceso imposible Suceso seguro

1

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

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1. Obtener un número del 1 al 6 al lanzar un dado.2. Obtener una cara al lanzar una moneda.3. Que mañana llueva.4. Obtener 0 al tirar un dado.5. Que mañana converses con un extraterrestre.6. Obtener un número impar al lanzar un dado.

La siguiente actividad se propone para profundizar el contenido trabajado en estas páginas.

Indica para cada caso, cuál es la expresión más apropiada para representar la probabilidad delsuceso (decimal, fracción o porcentaje).

1. La probabilidad de contagiarse de rotavirus.2. La probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado.3. La probabilidad de que no llueva mañana.4. La probabilidad de que en un accidente de tránsito el conductor haya bebido.5. La probabilidad de que dos aviones choquen en vuelo.6. La probabilidad de que un rayo caiga sobre una persona.


Determina la probabilidad de los siguientes sucesos a través de la frecuencia relativa.

1. En una elección presidencial alrededor de 8.200.000 de las 9.432.000 personas en edad de votaracudieron a las urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona en edad de votar acudiera alas urnas?

2. Los voluntarios de bomberos tienen un alto riesgo de sufrir heridas, un estudio realizado a lolargo de un año registró que en cada siniestro, por cada bombero que resultaba herido, cuatrode ellos resultaba ileso. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que un bombero salga herido?Exprésala como porcentaje.

3. En el experimento de lanzar un dado ¿cuántos lanzamientos crees tú se debieran realizar paraobtener a través de las frecuencias relativas la probabilidad de real?, ¿6 veces?, ¿60 veces? ¿600veces?

4. Encontrar la probabilidad de obtener cara o sello al lanzar una moneda es relativamente fácil,lo mismo sucede al lanzar un dado, pero para otros experimentos, encontrar la probabilidadno es tan fácil ¿porqué crees tú que es necesario realizar una gran cantidad de veces unexperimento?, ¿en qué experimentos crees tú que no es posible calcular la probabilidadinmediatamente y es necesario realizar el experimento muchas veces? Da ejemplos.

5. Si realizáramos un experimento muchísimas veces y de antemano conociéramos laprobabilidad de un suceso ¿qué pesarías si los resultados de los experimentos fueran muydiferentes a la probabilidad real?

6. Si tuviéramos que estimar la probabilidad de un suceso a través de su frecuencia relativa, ¿quésería más conveniente, que el total de resultados fueran 10 ó 1.000?

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29


Dada las siguientes ruletas identifica cuál de ellas se ocupó para realizar el experimento queobtuvo los siguientes resultados:

1. Se gana al sacar rojo y se jugó 100 veces y se ganó 25 de ellas.2. Se gana al sacar rojo, se jugó 100 veces y se ganó 58 de ellas.3. Se gana al sacar rojo, se jugo 100 veces y se ganó 36 de ellas.4. Se gana al sacar azul, se jugó 100 veces y se ganó 95 de ellas.5. Se gana al sacar azul, se ganó el 89% de las veces.6. Se gana al sacar rojo, se ganó el 61% de las veces.


• Hasta el momento, los alumnos han intuido sucesos seguros e imposibles y han estimadoprobabilidades a través de la frecuencia relativa. En esta parte de la unidad darán el primer pasopara calcular probabilidades describiendo el espacio muestral de un experimento, en particularde experimentos equiprobables. Cuando se habla de experimentos equiprobables en laliteratura también se menciona esto como juego justo. Al describir el espacio muestral de unexperimento los alumnos tienden a confundir con los resultados posibles de un suceso, recordarque esto último es solo un subconjunto del espacio muestral. También dejar en claro a losalumnos que si bien describir el espacio muestral es muy útil y nos ayuda a aclarar el problema,muchas veces este es demasiado extenso para describirlo; en realidad, para calcular laprobabilidad necesitamos saber cuántos elementos posee este espacio muestral.

• Al describir el espacio muestral de sucesos compuestos, como el lanzar dos dados o dosmonedas, entra en juego la habilidad de contar, para este nivel no se trabajará con sucesoscompuestos más allá de lanzar dos monedas, pero si es algo que el docente debe tener encuenta. Los diagramas de árbol son muy útiles también y es una forma de expresar losresultados posibles.

• Cuando hay que determinar si un experimento es equiprobable o no, es de mucha utilidad usarejemplos geométricos, porque se traduce a comparar áreas equivalentes, algo que los alumnosmanejan muy bien. Ejemplos geométricos pueden ser ruletas, tableros, figuras, etc.


• En el caso de analizar en ruletas o tableros, si los resultados son equiprobables o no, puede quelos alumnos tiendan a determinar que si no existe la misma cantidad de sectores para cada colory piensen que el experimento no es equiprobable. Lo mismo ocurre con el mazo de cartas, esun experimento equiprobable porque existe la misma posibilidad de sacar cualquier carta, pero

Resultados igualmente probables (Páginas 240 y 241)

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

| 133 |


puede que los alumnos concluyan que como no existe la misma cantidad de cartas de cada tipo(por ejemplo, entre reyes y corazones), no es un experimento equiprobable. Se recomiendaaclarar esto, ya que puede ser posible que los alumnos confundan lo que es un experimentoaleatorio (sacar una carta del mazo) de lo que es un suceso (obtener rey o corazón al sacar unacarta del mazo).


En las siguientes ruletas determina cuáles de ellas tienen resultados equiprobables.

Determina cuál de los siguientes sucesos es más probable.

1. Al sacar una carta de un mazo, obtener as o trébol.2. Al lanzar un dado, obtener 6 o número par.3. Al lanzar una moneda sacar cara o sello.

De las siguientes alternativas, identifica cuáles son los resultados posibles de los siguientesexperimentos:

1. Lanzar tres monedas.

A. C – C – C B. C – C – C C. C – C – C D. Ninguna de S – S – S S – S – S S – S – S las anteriores.C – S – C C – S – C C – S – C

S – C – S S – C – SS – S – CC – C – SC – S – SS – C – C

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29


2. Lanzar una moneda y luego un dado.

A. B. C.

C

1

2

3

4

5

6

S

1

2

3

4

5

61

2

3

4

5

6

C

1

2

3

4

5

6


• A cada uno de los resultados posibles de un espacio muestral se le conoce como suceso oevento elemental, los cuales se pueden clasificar en: evento seguro (formado por todos loseventos posibles del espacio muestral); evento imposible (no es probable que ocurra) y eventosmutuamente excluyentes (no pueden ocurrir simultáneamente).

• Un espacio muestral también se simboliza como .

Espacio muestral (Página 242)


• El principio multiplicativo puede ser generalizado a más de dos eventos. Un eficaz método pararesolver situaciones que involucran principio multiplicativo es la utilización de diagramas de árbol.

Tarea

Resuelve.

1. Determina cuántos números pares de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 4.

Principio multiplicativo (Página 243)

S

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

• Realizar ejercicios donde los alumnos calculen laprobabilidad de ocurrencia de un suceso a través de los resultados de un experimento calculando la frecuencia relativa.

• Para profundizar este contenido, realizar preguntas de análisis para que los alumnos tomen conciencia y puedan determinar la cantidad necesaria deexperimentos a realizar para poder estimar una probabilidad.

| 135 |



IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 C

1 / 2

• Realizar ejercicios donde los alumnos expresen la probabilidad como un número entre 0 y 1,entregando información acerca de la probabilidad de un suceso ya sea en porcentaje o fracción.

• Realizar ejercicios donde los alumnos, dada laprobabilidad de un suceso en porcentaje o fracción,determinen la probabilidad de que no ocurra elsuceso y lo expresen como un número entre 0 y 1.Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquencuándo es más apropiado expresar la probabilidadcomo un decimal, fracción o porcentaje.

Interpretarprobabilidades yexpresarlas comoun número entre 0 y 1, comoporcentaje ofracción.

2 D

3 A

3 / 4

Comprender y asignarprobabilidades a través de lafrecuencia relativa de unexperimentoaleatorio.

4 B

5 D

8 0,6

• Realizar ejercicios donde los alumnos determinen si un experimento es equiprobable o no.

• Realizar ejercicios donde los alumnos identifiquen los cambios necesarios a realizar en un experimentopara que sea equiprobable.

6 C

2 / 3

Determinar yanalizar sideterminadossucesos sonequiprobables.

7 D

9 NO


• Es muy importante que los alumnos identifiquen que el número de casos posibles corresponde alos resultados posibles del experimento y que el número de casos favorables corresponde alnúmero de resultados posibles del suceso, que es un subconjunto del total de resultados posibles.

• Aclarar a los alumnos que si la probabilidad de un suceso es esto no quiere decir necesariamente

que el total de los casos son dos y los casos favorables es uno, sino que la fracción pudo ser

simplificada.

12

Regla de Laplace (Páginas 246 y 247)

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29


• Es importante enfatizar en que la regla de Laplace solo es posible aplicar en experimentosequiprobables.


Calcula lo que se pide en cada caso.

1. La probabilidad de sacar una bola roja de una urna es un 25% y en la urna existen además delas rojas 15 bolas azules. ¿Cuántas bolas hay en total?

2. En una urna existen bolas rojas, azules y amarillas, la probabilidad de sacar una bola roja es , la de

3. En una urna existen bolas rojas y azules, la cantidad de bolas rojas es la mitad de la cantidad de

bolas azules y la probabilidad de no sacar roja es . ¿Cuántas bolas hay en total?

4. En una urna existen bolas rojas, amarillas y azules. Si la probabilidad de sacar roja es 0,32, laprobabilidad de sacar azul es 0,51 y la de sacar amarilla es 0,17. ¿Cuántas bolas hay de cadatipo si en total son 500?

Para cada caso indica cuáles son los casos favorables, los casos totales y la probabilidad deque ocurra el suceso.

1. La probabilidad de sacar as en un mazo de cartas (52 cartas en total).2. La probabilidad de sacar mono.3. La probabilidad de no sacar picas.4. La probabilidad de sacar diamante.5. La probabilidad de sacar mono o as.6. La probabilidad de sacar un 7 de corazón.7. La probabilidad de sacar un 7 y que no sea de corazón.


• Las posibles dificultades de este contenido es que los alumnos no logren encontrar el total deresultados posibles, como en este curso se verán sucesos simples solamente, es posible que losalumnos lo logren sin mayores dificultades, pero cuando se trata de sucesos complejos endonde para encontrar el total de resultados se necesita usar métodos de conteo, se complicala resolución. Un buen método para llegar al total de casos posibles es utilizar un diagrama deárbol, es recomendable trabajarlo con alumnos, pero este diagrama sirve solo para una cantidadlimitada de resultados, por lo que es recomendable usar métodos de conteo para generalizar.

27

13

sacar bola azul es y la probabilidad de sacar bola amarilla es . ¿Cuántas bolas hay en total?15

16

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

| 137 |



• Es muy importante hacer notar que la probabilidad a priori es posible de calcular enexperimentos equiprobables y en donde se puede determinar el total de resultados posibles yfavorables. Para el resto de los experimentos, ya sea aquellos no equiprobables o donde no esposible calcular los resultados totales y favorables, podemos aplicar la probabilidad a posterioria través de la frecuencia relativa. En la vida cotidiana esto tiene importancia, porque los sucesosa estudiar muy frecuentemente pertenecen a experimentos no equiprobables, o donde no esposible determinar el total de casos o incluso la cantidad de casos favorables.


Alicia quiere tener tres hijos y desea que no sean del mismo sexo. Realiza lo siguiente:

1. Pinta los casilleros con las combinaciones dehijos que cumplirían el deseo de Alicia.

2. Cuenta los casos favorables y el total de casosposibles.

3. Calcula la probabilidad del deseo de Alicia.

En una urna tenemos los números del 1 al 100. Calcular las siguientes probabilidades.

1. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 3.2. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 5.3. Que al sacar una bolita sea múltiplo de 6.

En la urna tenemos números del 1 al 20. Sigue los pasos para calcular la probabilidad de que alsacar una bolita se obtenga un número que sea múltiplo de 2 y de 5.

1. Pinta los múltiplos de 2.2. Pinta los múltiplos de 5.3. ¿Cuáles se pintaron de ambos colores? Cuéntalos.4. Ahora calcula la probabilidad dividiendo los casos

favorables por el total de bolitas.

Probabilidad a priori y a posteriori (Páginas 248 y 249)

HH

M

MH

M

H

HH

M

MH

M

M

2 420

14

13

15816

1210

9 18

5 11

717

196

31

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29




• En los ejercicios 1 y 3 es importante resaltar que es posible aplicar la regla de Laplace, porquepreviamente se verificó que todos los resultados del experimento son equiprobables.

• En los casos 2 y 4 hacer hincapié en que no es posible calcular la probabilidad a priori porqueno tenemos certeza de que los resultados posibles sean equiprobables, por lo tanto debemosusar la probabilidad a posteriori.



• De las principales estrategias de resolución de problemas, las más adecuadas para problemas deprobabilidad son: organizar la información en una lista, hacer una tabla y hacer un diagrama.



• Es recomendable utilizar las preguntas de la síntesis, para resumir los contenidos trabajados enla unidad y hacer un repaso previo a la evaluación.



Responde.

1. La madre de Roberto lo deja coger un caramelo de una bolsa. Él no puede ver los caramelos.El número de caramelos de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfico.¿Cuál es la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo? (PISA 2003)

A. 10%B. 20%C. 25%D. 50%

0

Rojo

Nar

anja

Am

arillo

Ver

de

Azu

l

Rosa

do

Vio

leta

Caf

é

2

4

6

8

UNIDAD 7 (124-141) 6.0 9/9/09 11:29

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2. En este juego se utiliza una ruleta y una bolsa de canicas. Si la ruleta se para en un número par,entonces el jugador puede sacar una canica de una bolsa. Cuando se saca una canica negra segana un premio. Daniela juega una vez. ¿Cuán probable es que Daniela gane un premio?

A. Es imposible.B. No es muy probable.C. Tiene aproximadamente

el 50% de probabilidad.D. Es muy probable.E. Es seguro.


IndicadorNº de

preguntaRespuesta

Logradocon


1 B

2 / 3

• Realizar ejercicios donde los alumnos calculenprobabilidades a través de la frecuencia relativa y la expresen como fracción, decimal y porcentaje.

• Realizar ejercicios donde los alumnos den ejemplosde sucesos con probabilidad 1, 0 y valores entre.Realizar ejercicios donde los alumnos a través de la frecuencia relativa interpreten probabilidades ycalculen casos totales o casos favorables.

Expresar einterpretarprobabilidades y sus elementos, a través de lafrecuencia relativa,como un númeroentre 0 y 1, como fracción o porcentaje.

2 D

6 B

4 C

3 / 4

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban analizarsi los experimentos son equiprobables o no eindiquen, en los casos que no, qué debiera sucederpara que lo fueran.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban darejemplos de experimentos equiprobables y noequiprobables.

Analizar diferentessituacionesaleatorias en lasque los posiblesresultados puedenser consideradosequiprobables.

5 D

7 C

12

3 A

4 / 5

• Realizar ejercicios donde dados los resultadosposibles deban calcular la probabilidad de ciertossucesos, incluyendo sucesos compuestos.

• Realizar ejercicios donde los alumnos deban decidirqué sucesos tienen mayor probabilidad que otros,siguiendo la regla de Laplace.

Reconocer ycalcular laasignación deprobabilidadesmediante la reglade Laplace.

8 E = {3, 2, p}

9 23

10

11

13

Ambas tienenprobabilidad 0,16

1 4

10

86

2

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1. En el diario matutino apareció un reportaje acerca deun estudio sobre los terremotos, donde se concluíaque cada 20 años, la probabilidad de que ocurra unterremoto es:

A. 3 : 2 C.

B. 1,5 D.

2. La siguiente tabla muestra la frecuencia de los distintostipos de personas que entran en una farmacia en undía, según sexo y edad:

¿Cuál es la probabilidad de que una persona queentra a la farmacia sea joven?

A. C.

B. D.

3. De la tabla anterior, ¿cuál es la probabilidad de queuna persona que entra a la farmacia sea hombre?

A. C.

B. D.

4. De la tabla del ejercicio 2, ¿cuál es la probabilidad deque una persona que entra a la farmacia sea unamujer adulta?

A. C.

B. D. Ninguna de las anteriores.

5. En un estudio se concluyó que el 87% de las personasque dejaron el cigarrillo no murieron de cáncer depulmón. Si del total de personas estudiadasmurieron 4.225 de cáncer de pulmón, ¿cuál fue lacantidad total de personas encuestadas?

A. Falta información adicional.B. 3.675,75 personas.C. 4.225 personas.D. 32.500 personas.

6. Determina cuál de los siguientes experimentos noes equiprobable:

A. Lanzar una moneda y observar si sale cara o sello.B. Lanzar un dado y obtener un número par.C. Apostar a un jugador de lucha libre y ganar.D. Sacar una carta de un mazo y que sea de un

corazón.

7. Si saco una carta de un mazo, cuál de los siguientessucesos son equiprobables:

A. sacar un as o un corazón.B. sacar un rey o una picas.C. sacar un 7 o un as.D. sacar un mono o un as.

Hombre

Mujer

Total

Joven Adulto Anciano Total

13 36 4 53

3100

28100

15100

1528

1353

3653453

53100

43

23

15 29 3 47

28 65 7 100

2965

2947

29100

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8. En una urna existen bolitas de color rojo, azul yamarillo. Si la probabilidad de sacar rojo es 0,3, laprobabilidad de sacar azul 0,4 y la probabilidad desacar amarillo es 0,3, ¿cuántas bolitas azules hay enla urna si en total son 50 bolitas?

A. 20B. 40C. 15D. 30

9. En una ruleta todos los resultados son equiprobables

con probabilidad de ocurrencia .¿Cuántos

resultados posibles tiene la ruleta?

A. 100B. 22C. 21D. No se puede determinar.

10. Se quiere realizar el siguiente experimento: tomar alazar a una persona y preguntarle si es casada o no,¿cuáles son los posibles resultados del experimento?(H: hombre, M: mujer, C: casado, S: soltero)

A. H – M – C – SB. HC – HS – MC – MSC. HC – MSD. HS – MC

11. El nº de posibles resultados al lanzar dosmonedas es:

A. 4 B. 8C. 12D. 16

12. Al jugar en una ruleta dividida en 12, con losnúmeros del 1 al 12, se gana si el número obtenidoes múltiplo de 4, ¿cuáles son los casos favorables?

A. 4B. 4, 8, 12C. 1, 2, 4D. Es un suceso imposible.

13. En el juego Scrabble, hay que sacar una letra deuna bolsa, donde en total hay 100 letras de lascuales 42 son vocales. ¿Cuál es la probabilidad deque al sacar una letra sea una consonante?

A. 42%B. 50% C. 58%D. 68%

14. Al jugar en una ruleta que está dividida en 20 partesiguales, donde la mitad de ellas son rojas, la cuartaparte son negras y el resto blancas, ¿a qué color lejugarías?

A. A cualquiera todos son equiprobables.B. A negro.C. A rojo.D. A blanco.

15. En la misma ruleta anterior cada sector estáenumerado del 1 al 20, empezando por el sectorrojo, luego el negro y por último el blanco. ¿Cuálde las siguientes alternativas elegirías para apostar?

A. múltiplo de 2 negro.B. múltiplo de 5 rojo.C. múltiplo de 6 rojo.D. múltiplo de 2 blanco.

121

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SolucionarioUnidad 1: Números enteros

Unidad 2: Potencias

Unidad 3: Transformaciones geométricas

Unidad 4: Proporcionalidad y porcentajes

1. C2. B3. A4. D5. D6. A7. B8. C9. B

10. A11. C12. A13. B14. A15. B16. D17. C18. B

1. A2. C3. B4. A5. C6. D7. A8. B

9. A10. D11. B12. C13. C14. B15. D16. A

1. C2. D3. C

4. D5. C6. D

1. A2. A3. C4. A5. B6. C7. A

8. C9. A

10. C11. D12. D13. A

FINALES (142-144)6.0 14/9/09 11:50

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Unidad 5: Circunferencia, círculo y cuerpos geométricos

1. B2. C3. D4. A5. A6. D7. C

8. C9. D

10. B11. A12. A13. B

Unidad 6: Estadística

1. C2. C3. B4. A5. C6. B7. C

8. D9. D

10. A11. C12. A13. B14. A

Unidad 7: Probabilidad

1. D2. C3. B4. B5. D6. C7. C8. A

9. C10. B11. A12. B13. C14. C15. D

FINALES (142-144):Layout 1 28/1/09 12:25 Página 143


Bibliografía

Textos

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Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números.Ediciones B S.A., Barcelona, 2000.

Julios, Edgard. Matemáticas rápidas. Norma, Bogotá, 2002.

Manual esencial Santillana: Álgebra. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2007.

Manual esencial Santillana: Estadística, probabilidad yprecálculo. Editorial Santillana, Santiago, Chile, 2007.

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Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994.

Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial AndrésBello, Santiago, Chile, 2002.

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Sitios web

Comisión Nacional de Control de Estupefacientes:www.conace.cl

Dirección Meteorológica de Chile: www.meteochile.cl

Educación: www.educarchile.cl

El paraíso de las matemáticas: www.matematicas.net

El portal de las matemáticas: www.sectormatematica.cl

Geometría: www.geometriadinamica.cl

Grupo de nanociencia de Ivan Schuller: http://ischuller.ucsd.edu

Icarito: www.icarito.cl

Instituto Nacional de Estadísticas: www.ine.cl

Ministerio de Educación: www.mineduc.cl

Ministerio de Salud: www.minsal.cl

OCDE – Pisa: www.oecd.org

Programa Explora Conicyt: www.explora.cl

Real Academia Española de la Lengua: www.rae.es

Servicio Nacional del Consumidor: www.sernac.cl

Simce: www.simce.cl

TIMSS: http://timss.bc.edu

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MATEMATICA 8

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