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Dr. Pedro V·squez

UPRM

P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 24

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Valores m·ximos y mÌnimos

Las aplicaciones m·s importantes del c·lculo diferencial se dan en losproblemas de optimizaciÛn, en los cuales se desea obtener lo Ûptimo (lomejor) de algo. Por ejemplo, podemos mencionar:

1 Minimizar los costos de una compaÒÌa que produce un ciertoproducto.

2 Maximizar las ganancias de una empresa.3 Determinar la m·xima aceleraciÛn de una nave espacial.

Los problemas anteriores se reducen a determinar los valores m·ximos ymÌnimos de una funciÛn.


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Observe la siguiente gr·Öca:

El punto m·s alto de la gr·Öca es(3,5), es decir el valor m·s grande

de f es f (3) = 5El punto m·s bajo de la gr·Öca es(6,2), es decir el valor m·s pequeÒo

de f es f (6) = 2


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DeÖniciÛn: Sea c un n˙mero en el dominio D de una funciÛn f . Entoncesf (c) es el:

valor m·ximo absoluto de f en D si f (c) ! f (x) para todo x en D.valor mÌnimo absoluto de f en D si f (c) " f (x) para todo x en D.

f (a) es un mÌnimo absolutof (d) es un m·ximo absoluto

Nota: Los m·ximos omÌnimos absolutostambiÈn se les llamam·ximos o mÌnimos

globales


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En general, si se consideran intervalos que contienen a ciertos n˙meros deldominio se puede determinar m·ximos o mÌnimos en dichos intervalos.Por ejemplo, en la gr·Öca anterior, si se construye un intervalo alrededorde b se puede concluir que f (b) es el mayor valor en dicho intervalo, esese caso se dice que existe un m·ximo local.Similarmente, si se construye un intervalo alrerdedor de a se puede concluirque f (a) es el menor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice queexiste un mÌnimo local.

Lo anterior nos lleva a la siguiente deÖniciÛn:DeÖniciÛn: El n˙mero f (c) es un:

valor m·ximo local de f si f (c) ! f (x) cuando x est· cerca de c .valor mÌnimo local de f si f (c) ! f (x) cuando x est· cerca de c .

De la gr·Öca anterior, podmeos decir que f posee mÌnimos locales en c ye, y m·ximos locales en b y d .


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Ejemplos1. En la siguiente gr·Öca, para cada n˙mero a, b, c , d , r y s, determine sila gr·Öca posee un mÌnimo o m·ximo local y absoluto o ninguno de ellos.


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2. En la siguiente gr·Öca, determine los valores m·ximos o mÌnimosabsolutos de la funciÛn g (x).


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3. Trace la gr·Öca de una funciÛn f continua en [1, 5] y que satisface:tiene un m·ximo absoluto en 5, un mÌnimo absoluto en 2, m·ximo local en3 y mÌnimos locales en 2 y 4.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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4. Trace la gr·Öca de la funciÛn f (x) = sin x , 0 " x < 5π2 e identiÖque

los valores m·ximos y mÌnimos absolutos y locales de f

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y


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5. Trace la gr·Öca de la funciÛn f (x) =!4# x2 si #2 " x < 05# 2x si 0 " x " 2 e

identiÖque los valores m·ximos y mÌnimos absolutos y locales de f

−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y


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Se han discutido ejemplos de funciones donde algunas tienen valoresextremos y otras no. El siguiente teorema da algunas condiciones paraque una funciÛn posea valores extremos:

Theorem

(Teorema del valor extremo) Si f es una funciÛn continua en un intervalocerrado [a, b] , entonces f tiene un valor m·ximo absoluto f (c) y un valormÌnimo absoluto f (d) en algunos n˙meros c y d en [a, b] .

Los diferentes casos del teorema del valor extremo se ilustran en lasiguiente gr·Öca:


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El teorema del valor intermedio indica que una funciÛn continua en unintervalo cerrado tiene un m·ximo y un mÌnimo absoluto, sin embargo nonos indica como hallarlos. Por ejemplo observe la siguiente gr·Öca:

La funciÛn f tiene un mÌnimo localen d y un m·ximo local en c .Observe que en los puntos dem·ximos o mÌnimos las

rectas tangentes parecen tenerpendiente 0, es decir:f 0 (c) = 0, f 0 (d) = 0


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El siguiente teorema, conÖrma las observaciones anteriores:

Theorem

(Fermat) Si f tiene un m·ximo o mÌnimo local en c, y f 0 (c) existe,entonces f 0 (c) = 0.


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DeÖniciÛn: Un n˙mero crÌtico de una funciÛn f es un n˙mero c en eldominio de f tal que f 0 (c) = 0 Û f 0 (c) no existe.

6. Halle los n˙mero crÌticos de:a. f (x) = x3 + 6x2 # 15x


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b. f (p) =p # 1p2 + 4


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c. f (x) = x#2 ln x


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Nota: Si f tiene un m·ximo o mÌnimo local en c , entonces c es unn˙mero crÌtico de f .

Para hallar los m·ximos y mÌnimos absolutos de una funciÛn continua enun intervalo cerrado, se observÛ en los ejemplos, que es un extremo local(en este caso ocurre en un n˙mero crÌtico) u ocurre en un extremo delintervalo. Se sugiere considerar los siguientes pasos para hallar losm·ximos y mÌnimos absolutos de una funciÛn continua en un intervalocerrado [a, b]:

1 Halle los valores de f en los n˙meros crÌticos de f en (a, b) .2 Halle los valores de f en los extremos del intervalo.3 El mayor de los valores en los pasos 1 y 2 es el valor m·ximo absolutoy el menor de los valores es el valor mÌnimo absoluto.


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7. Halle los valores m·ximos y mÌnimos absolutos de f en el intervalo dado:a. f (x) = 5+ 54x # 2x3, [0, 4]


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b. f (x) = x +1x, [0.2, 4]


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c. f (t) = t + cos (t/2) , [π/4, 7π/4]


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d. f (x) = x # ln x3," 12 , 2#


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8. Un objeto con peso W es arrastrado sobre un plano horizontal por unafuerza que act˙a sobre una soga atada al objeto. Si la soga hace un·ngulo θ con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es:

F =µW

µ sin θ + cos θ

donde µ es una constante positiva llamada el coeÖciente de fricciÛn ydonde 0 " θ " π/2. Demuestre que F alcanza su mÌnimo cuandotan θ = µ.


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