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MASSIMO COMUN DIVISORE E MINIMO COMUNE MULTIPLO NELLA DIDATTICA

di Luciano Porta

MASSIMO COMUN DIVISORE (MCD):

Cambiando l’ordine delle parole in divisore comune massimo il concetto diventa più chiaro: è un divisore

comune a tutti i numeri dati, il più grande possibile.

L’intersezione di insiemi è il metodo più efficace per comprenderne il significato.

MCD(20, 16, 12)=4 perché:

D(20)={1,2,4,5,10,20} D(16)={1,2,4,8,16} D(12)={1,2,3,4,6,12}

D(20)∩D(16∩D(12)={1,2,4}

MCD(15, 30)=15 perché:

D(15)={1,3,5,15} D(30)={1,2,3,5,6,10,15,30}

D(15)∩D(30)={1,3,5,15}

MCD(4, 9)=1 (quando il MCD=1 i numeri si dicono primi tra di loro)

D(4)={1,2,4} D(9)={1,3,9}

D(4)∩D(9)={1}

Questo metodo è piuttosto laborioso, ma può essere reso più sintetico osservando che il MCD non

supera il minore dei numeri dati e spesso è un suo divisore.

Ritorniamo agli esempi precedenti.

MCD(20, 16, 12)=4 perché:

Considero il minore dei numeri dati, 12 e verifico se gli altri numeri 20 e 16 sono divisibili per 12:

12 NO (se 20 e 16 fossero stati divisibili per 12, il MCD sarebbe stato 12).

Divido 12 per la successione dei numeri naturali a partire da 2. Ogni volta controllo se le divisioni tra i

numeri dati e uno dei numeri della successione è esatta. Se lo è il divisore utilizzato è il MCD dei numeri

dati. Quindi:

12:2=6 NO

12:3=4 SI 4 è il MCD.

MCD(15, 30)=15 perché:

15 SI 15 è il MCD.

MCD(4, 9)=1 perché:

4 NO

4:2=2 NO

4:4=1 SI 1 è il MCD.

minimo comune multiplo (mcm):

Cambiando l’ordine delle parole in multiplo comune minimo il concetto diventa più chiaro: è un multiplo

comune a tutti i numeri dati, il più piccolo possibile (non consideriamo il numero 0).

L’intersezione di insiemi è il metodo più efficace per comprenderne il significato.

mcm(10, 6, 15)=30 perché:

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M(10)={10,20,30,40,50,60, ...} M(6)={6,12,18,24,30,36,42,48,54,60, ...} M(15)={15,30,45,60, ...}

M(10)∩M(6)∩M(15)={30,60, ...}

mcm(14, 7)=14 perché:

M(14)={14, 28, ...} M(7)={7,14,21,28, ...}

M(14)∩M(7)={14,28, ...}

mcm(3, 4)=12 perché:

M(3)={3,6,9,12,15,18,21,24, ...} M(4)={4,8,12,16,20,24, ...}

M(3)∩M(4)={12,24, ...}

Questo metodo è piuttosto laborioso, ma può essere reso più sintetico osservando che il mcm non è mai

minore del maggiore dei numeri dati e spesso è un suo multiplo.

Ritorniamo agli esempi precedenti.

mcm(10, 6, 15)=30 perché:

considero il maggiore dei numeri dati, 15 e verifico se è multiplo anche di 10 e 6.

15 NO (se 15 fosse multiplo degli altri numeri sarebbe il mcm).

Moltiplico 15 per la successione dei numeri naturali partendo da 2. Ogni volta controllo se il prodotto così

ottenuto è multiplo di tutti i numeri dati e in questo caso è il mcm. Quindi:

15*2=30 SI 30 è il mcm

mcm(12, 6, 48)= 48 perché:

48 SI 48 è il mcm.

mcm(3, 4)=12 perché:

4 NO

4*2=8 NO

4*3=12 SI 12 è il mcm.

MASSIMO COMUN DIVISORE e minimo comune multiplo col metodo della fattorizzazione

Dobbiamo prima affrontare il criterio generale di divisibilità basato sulla fattorizzazione.

Sappiamo che 90 è divisibile per 15 (90:15=6 RESTO 0). Fattorizziamo i due numeri.

90=21*3

2*5

1 15*3

1*5

1

Tutti i fattori del divisore sono presenti nel dividendo con esponente uguale o maggiore.

Affermiamo, senza effettuare la divisione, che 60 è divisibile per 12. E ora presentiamo un altro esempio.

Sappiamo che 300 è divisibile per 50 (300:50=6 RESTO 0). Fattorizziamo i due numeri.

300=22*3

1*5

2 50=2

1*5

2 . Affermiamo, senza effettuare la divisione, che 300 è divisibile per 50.

In entrambi gli esempi osserviamo che i fattori del divisore sono tutti fattori anche del dividendo (non

viceversa) e che nel divisore gli esponenti di questi fattori non sono mai maggiori di quelli presenti

nel dividendo.

Ricordando il significato di MCD (è un divisore comune a tutti i numeri dati, il più grande possibile) e di

mcm (è un multiplo comune a tutti i numeri dati, il più piccolo possibile , non considerando il numero 0),

possiamo esporre il metodo del calcolo di MCD e mcm basato sulla fattorizzazione.

Sia per calcolare il MCD , sia il mcm, fattorizziamo i numeri dati. Per determinare il MCD

consideriamo solo i fattori comuni (considerati una sola volta) a tutti i numeri con l’esponente

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minore tra tutte le fattorizzazioni effettuate. Infine moltiplichiamo le potenze così ottenute. Se non

vi sono fattori comuni i numeri sono primi tra di loro e il MCD è 1.

Per determinare il mcm consideriamo tutti i fattori (considerati una sola volta) sia quelli comuni,

sia quelli non comuni con l’esponente maggiore tra tutte le fattorizzazioni effettuate. Infine

moltiplichiamo le potenze così ottenute.

Essendo: 12=22*3

1 60=2

2*3

1*5

1 24=2

3*3

1

MCD(12, 60, 24)=22*3

1=12 mcm(12, 60, 24)=2

3*3

1*5

1=120

Essendo: 20=22*5

1 40=2

3*5

1

MCD(20, 40)=22*5

1=20 mcm(20, 40)=2

3*5

1=40

Essendo 9=32 4=2

2

MCD(9, 4)=1 (non vi sono fattori comuni) mcm(9, 24)= 22*3

2=36

Ho ideato due originali modelli materiali per determinare il MCD e il mcm col metodo della

fattorizzazione.

Consideriamo ad esempio MCD (72, 60, 84) e mcm (72, 60, 84).

72 = 2 3 * 3

2

60 = 2 2 * 3

1 * 5

1

84 = 2 2 * 3

1 * 7

1

Per il MCD trasformiamo le fattorizzazioni, come nelle figure superiori, in fori su schede in materiale

opaco come cartone. Sovrapponendole solo alcuni fori lasciano passare la luce: consideriamo solo

questi fattori con l’opportuno esponente (fattori comuni col minimo esponente).

Per il mcm trasformiamo le fattorizzazioni, come nelle figure inferiori, in macchie colorate su schede in

materiale trasparente come fogli di nylon. Sovrapponendole tutte le macchie sono visibili in

trasparenza: consideriamo tutti questi fattori con l’opportuno esponente (fattori comuni e non comuni

col massimo esponente). L’analogia tra modello materiale e concetto matematico è molto profonda

e la concretezza del modello che dovrebbe essere non solo pensato, ma anche costruito, rende il

metodo indelebile nella memoria degli studenti. www.webalice.it/lucianoporta i Pitagorici DIDATTICA E DIVULGAZIONE DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE LEZIONI

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