Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 5 Matematica · Il metodo di sostituzione:...

1 2 3 4 5 Idee per il tuo futuro

Matematica.verdecon Maths in English

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

5

INTEGRALI

Integrali immediati delle funzioni fondamentali

, 1x dx x c1 con1

!a

aaa

y cos senx dx x cy

lnx dx x c1y cos x dx x c1 tg2y

e dx e cx xy sen x dx x c1 cotg2y

lna dx aa cx

xy x

dx x c1

1 arcsen2y

sen cosx dx x cyx dx x c1

1 arctg2y

Integrali la cui primitiva è una funzione composta

( ) ( ) ( ) , 1f x f x dx f x c1 con1

!a

aaa6 6@ @y ( )

( ) ( )cos f xf x dx f x ctg2y

( )( ) ( )lnf x

f x dx f x cy ( )( ) ( )sen f x

f x dx f x ccotg2y

( )f x e dx e c( ) ( )f x f xy( )

( ) ( )f x

f x dx f x c1

arcsen26 @y

( ) lnf x a dx aa c( )

( )f x

f xy ( )

( ) ( )f x

f x dx f x c1

arctg26 @y

( ) ( ) ( )sen cosf x f x dx f x cy( )

( ) ( ) ,a f x

f x dx af x c a 0arcsen con2 2 !6 @y

( ) ( ) ( )cos senf x f x dx f x cy( )

( ) ( ) ,a f x

f x dx a af x c a1 0arctg con2 2 !6 @y

Integrazione per sostituzione e per parti

La formula di integrazione per parti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx$y y .

Il metodo di sostituzione: effettuando il cambiamento di variabile ( )x g t , otteniamo

( ) ( ( )) ( )f x dx f g t g t dt$y y .

Matematica.verdecon Maths in English

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

5

Copyright © 2012, 2013 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [9961]www.zanichelli.it

I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi.L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.

Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate avolume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a

Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) Corso di Porta Romana, n. 108 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org

L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/

Realizzazione editoriale:– Coordinamento redazionale: Marinella Lombardi– Redazione: Isabella Malacari, Elena Meucci– Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini– Progetto grafico: Byblos, Faenza– Progetto grafico delle pagine XVII-XXIV e C90-C104: Roberto Marchetti– Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna– Ricerca iconografica e realizzazione delle aperture di capitolo, di Realtà e modelli e di Maths in English: Byblos, Faenza– Disegni: Graffito, Cusano Milanino– Correzione di bozze: T2, Bologna

Contributi:– Idee per il tuo futuro: Laura Mancuso (testi), Barbara Di Gennaro (redazione),

Miguel Sal & C., Bologna (progetto grafico e impaginazione), Sara Colaone (disegni)

– Stesura delle aperture: Andrea Betti (La matematica al servizio della legge), Daniela Cipolloni (La torre Eiffel, Una vela svizzera, Bloccare le email di spam), Daniele Gouthier (Il decadimento radioattivo, Scrivere 1 con infinite cifre, Il prezzo del petrolio)– Stesura delle schede di Esplorazione: Daniele Gouthier (I paradossi di Zenone), Ilaria Pellati (Archimede e gli integrali ante litteram, Prede e predatori, Matematica… tirando i dadi)– Stesura dei testi e degli esercizi del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia – Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti– Revisioni dei testi e degli esercizi: Chiara Ballarotti, Silvana Calabria, Francesca Ferlin, Luca Malagoli, Elisa Menozzi, Monica Prandini– Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Emilia Liviotti, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio– Risoluzione degli esercizi: Silvano Baggio, Francesco Benvenuti, Davide Bergamini, Angela Capucci, Elisa Capucci, Lisa Cecconi, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato, Francesca Incensi, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Elisa Menozzi, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Daniele Ritelli, Elisa Targa, Ambra Tinti– Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Davide Bergamini, Cristina Bignardi, Francesco Biondi, Silvana Calabria, Lisa Cecconi, Chiara Cinti, Paolo Maurizio Dieghi, Daniela Favaretto, Francesca Ferlin, Rita Fortuzzi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Mario Luciani, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Armando Magnavacca, Elisa Menozzi, Luisa Morini, Monica Prandini, Tiziana Raparelli, Laura Recine, Daniele Ritelli, Antonio Rotteglia, Giuseppe Sturiale, Renata Tolino, Maria Angela Vitali, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago, Lorenzo Zordan – Stesura dei problemi di Realtà e modelli: Daniela Boni, Maria Falivene, Paolo Maurizio Dieghi, Nadia Moretti

Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc.Excel è un marchio registrato della Microsoft CorpCabrì-Géomètre è un marchio registrato della Texas Instruments

L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone.Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini,Enrico Bergamini e Lisa Cecconi.

Realizzazione eBook:

Coordinamento editoriale: Giulia LaffiRedazione: Valentina Franceschi, Isabella Malacari, Elena MeucciCoordinamento: Maria Chiara Montani (chiara comunicazione, Parma)Realizzazione: bSmart srlRevisione: Giulia TosettiStesura e revisione Prove di verifica: Luca MalagoliRealizzazione lezioni in Power Point: Piero Chessa

ZTE

Stesura dei feedback e inserimento: Claudia PiescoCorrezione: Francesca Incensi, Francesca Anna Riccio, Claudia PiescoRevisione: Giulia Tosetti

Videolezioni In pratica

Progettazione: Christian Biasco, Piero ChessaStesura dei testi: Anna Baccaglini-Frank, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Valentina Franceschi, Dany Maknouz, Irene Matuonto, Elena Meucci, Erika Meucci, Ivano MoschettiInterpretazione: Anna Baccaglini-Frank, Enrico Bergianti, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Erika Meucci, Ivano MoschettiRevisione: Piero Chessa, Roberta Fulci, Erika MeucciRealizzazione: formicablu srl, Bologna

Videolezioni Classroom Language

Interpretazione: Jacopo CastellettiRegia: Francesco AgostiniTesti: Francesco Agostini, Eleonora AnzolaRegistrazione: studio Corrado Frignani, Parma

Maths in English e Maths TalkStesura testi, revisione e recitazione audio: Anna Baccaglini-FrankRealizzazione audio: Marco Boscolo

Copertina:– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna– Realizzazione: Roberto Marchetti– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna

Prima edizione: gennaio 2013

L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B.

Zanichelli garantisce che le risorse digitali di questo volume sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto dell’esemplare nuovo, per tutta la durata della normale utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo, alcune o tutte le risorse potrebbero non essere più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni, leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo

File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili

Suggerimenti e segnalazione degli erroriRealizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo:

[email protected]

Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate nel sito www.zanichelli.it/aggiornamenti

Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008

III

IDEE PER IL TUO FUTUROChe cosa farò da grande IX

Come funziona l’Università X

Test di ammissione XI

Dove si studia la matematica XII

Verso il lavoro XIII

Curriculum vitae e lettera di accompagnamento XIV

Il colloquio e lo stage XVI

Modelli di crescita e caos XVII

La matematica indispensabile XXI

CAPITOLO 19GLI INTEGRALI1. L’integrale indefinito 1354 1401

2. Gli integrali indefiniti immediati 1357 1402

3. L’integrazione per sostituzione 1362 1412

4. L’integrazione per parti 1363 1418

5. L’integrazione di funzioni razionali fratte 1364 1420

6. L’integrale definito 1370 1432

ESPLORAZIONE Archimede e gli integrali ante litteram 1375

7. Il teorema fondamentale del calcolo integrale 1376 1434

8. Il calcolo delle aree di superfici piane 1380 1440

9. Il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione 1383 1447

10. La lunghezza di un arco di curva e l’areadi una superficie di rotazione 1386 1449

11. Gli integrali impropri 1388 1450

12. Applicazioni degli integrali alla fisica 1391 1454

LABORATORIO DI MATEMATICA Gli integrali definiti 1394

■ Realtà e modelli 1456

■ Verso le competenze 1457

■ Didattica su misura 1463

SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

Perché l’ingegnere Gustave Eiffel diede alla sua opera più famosa proprio quella forma?

� La risposta a pag. 1393

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English

SOMMARIO

IV

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO 20LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI1. Le equazioni differenziali del primo ordine 1466 1491

2. Le equazioni differenziali del tipo ( )y f x=l 1468 1492

3. Le equazioni differenziali a variabili separabili 1469 1494

ESPLORAZIONE Prede e predatori 1472

4. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine 1473 1498

5. Le equazioni differenziali del secondo ordine 1476 1501

6. Applicazioni delle equazioni differenziali alla fisica 1482 1510

LABORATORIO DI MATEMATICA Le equazioni differenziali

con Derive 1486




CAPITOLO 21L’ANALISI NUMERICA1. La risoluzione approssimata di un’equazione 1522 1544

2. L’integrazione numerica 1532 1551

ESPLORAZIONE Matematica… tirando i dadi 1537

LABORATORIO DI MATEMATICA L’integrazione numerica 1539



CAPITOLO 22LA PROBABILITÀ DI EVENTI COMPLESSI1. La probabilità della somma logica di eventi 1562 1581

2. La probabilità condizionata 1564 1583

3. La probabilità del prodotto logico di eventi 1567 1585

4. Il problema delle prove ripetute 1569 1588

5. Il teorema di Bayes 1571 1589

6. I giochi aleatori 1575 1595

LABORATORIO DI MATEMATICA Il calcolo della probabilità 1579




Come si fa a stimare la vita di una scoria radioattiva?


Qual è stato il segreto della barca a vela Alinghi?


Come si possono bloccare le e-mail di spam?



V

SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO 23LE DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ1. Le variabili casuali discrete e le distribuzioni di probabilità 1602 1629

2. I valori caratterizzanti una variabile casuale discreta 1609 1633

3. Le distribuzioni di probabilità di uso frequente 1613 1637

4. Le variabili casuali standardizzate 1617 1640

5. Le variabili casuali continue 1619 1641

Applicazioni delle distribuzioni in campo tecnologico 1645

LABORATORIO DI MATEMATICA Le distribuzioni di probabilità 1625



CAPITOLO 24GEOMETRIA SOLIDA EUCLIDEA1. Punti, rette, piani e solidi 1658 1682

2. Le aree dei solidi notevoli 1665 1683

3. L’estensione e l’equivalenza dei solidi 1671 1686

4. I volumi dei solidi notevoli 1675 1687

LABORATORIO DI MATEMATICA Problemi di geometria solida 1678




CAPITOLO 25LA STATISTICA INFERENZIALE1. La popolazione e il campione 1698 1739

2. I parametri della popolazione e del campione 1700 1741

3. La distribuzione della media campionaria 1702 1743

4. Particolari distribuzioni campionarie 1706 1745

5. Gli stimatori e le loro proprietà 1711 1750

6. La stima puntuale 1713 1752

7. La stima per intervallo della media 1717 1753

8. La stima per intervallo della differenza fra due medie 1722 1755

9. La stima per intervallo di una percentuale 1724 1757

10. La verifica delle ipotesi 1725 1758

ESPLORAZIONE Statistica inferenziale e medicina 1731

LABORATORIO DI MATEMATICA Le distribuzioni campionarie

con Excel 1733




Come si può riconoscere se una dichiarazione dei redditi non è veritiera?


Che tipo di figure si ottengono sezionando un cubo con un piano?


Ma se il campione non è ben formato?



SOMMARIO

VI

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO �1LE SERIE NUMERICHE1. Che cos’è una serie numerica f2 f29

2. Serie convergenti, divergenti, indeterminate f3 f30

3. Le proprietà delle serie f7 f34

ESPLORAZIONE I paradossi di Zenone f10

4. Il criterio generale di convergenza f11 f35

5. Le serie a termini positivi f13 f38

6. Le serie a termini di segno qualunque f19 f44

7. L’addizione e la sottrazione di due serie f22 f48

8. Il calcolo approssimato della somma di una serie f24 f49

Problemi con le serie f50

■ Verso le competenze f53

■ Didattica su misura f55

CAPITOLO �2LE SERIE DI FUNZIONIE LE SERIE DI POTENZE1. Le successioni di funzioni f58 f100

2. Che cos’è una serie di funzioni f59 f100

3. La convergenza uniforme di una serie di funzioni f62 f103

4. I teoremi sulle serie uniformemente convergenti f64 f105

5. Che cos’è una serie di potenze f68 f110

6. Le serie di potenze convergenti f68 f110

7. La convergenza uniforme di una serie di potenze f72 f114

8. Le formule di Taylor e di Maclaurin f75 f118

9. Lo sviluppo in serie f78 f120

10. Applicazioni degli sviluppi in serie f85 f125

11. Le serie di potenze nel campo complesso f87 f129

LABORATORIO DI MATEMATICA Le serie di Taylor e di Maclaurin

con Derive f92 f92

■ Verso le competenze f131

■ Didattica su misura f134

Quale significato ha la scrittura del numero 1 come numero periodico 0,9999…?

� La risposta a pag. f25

Perché il prezzo del petrolio non può crescere «esponenzial-mente»?

� La risposta a pag. f91


VII

SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO C3COLLEGAMENTI■ INTERMEZZI DI STORIA DELLA MATEMATICA Numeri e infinito C90

Dai numeri alle strutture algebriche C93

Le geometrie C97

Riflettere sui fondamenti C101

■ GLI ALGORITMI1. Che cos’è un algoritmo C105

2. Le strutture degli algoritmi C108

3. Dall’algoritmo al programma C118 C123

LABORATORIO DI MATEMATICA Il metodo delle secanti

con Python C122

MATHS IN ENGLISH1. Platonic Solids E2 E3

2. Isaac Newton E4 E5

3. Archimedes and the Area of a Parabolic Segments E6 E7

MATHS TALK Let’s read the equations E8

Com'è possibile ospitare un nuovo cliente in un albergo al completo, senza mandar via i clienti già presenti?

� La risposta a pag. C92


VIII

ICONE DELLE COMPETENZE

METODI

Utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative.

PROBLEMI

Utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni

problematiche, elaborando opportune soluzioni.

MODELLI

Utilizzare i concetti e i modelli delle scienze sperimentali per investigare fenomeni sociali e naturali e per interpretare dati.

STRUMENTI

Utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e approfondimento disciplinare.

STORIA

Correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie e delle tecniche negli specifici campi professionali di riferimento.

Le Linee guida per gli Istituti Tecnici e Professionali sottolineano alcune competenze importanti al cui

raggiungimento concorre la matematica.

Nel libro, abbiamo indicato con icone alcune sezioni che possono essere utilizzate per il raggiungimento di tali

competenze. Di seguito indichiamo, per ogni icona, la competenza associata.

FONTI DELLE ILLUSTRAZIONIXVII: Dmitriy_Shironosov/Shutterstock;

XX (a): Jean-luc/Shutterstock;

XX (b): Neo_Edmund/Shutterstock;

1353, 1393: Jurie Maree/Shutterstock;

1375: La scuola di Atene, Raff aello;

1456 (a): Cinnamon;

1456 (b): Sekulovski Emilijan /Shutterstock;

1465, 1485 (a): Natalia Lukiyanova/Shutterstock;

1485 (b): Rot Beverly/Shutterstock;

1472: Daniel Hebert/Shutterstock;

1513 (a): Maksymilian Skolik/Shutterstock;

1513 (b): Dudarev Mikhail/Shutterstock;

1513 (c): Danshutter/Shuttestock;

1513 (d): Joachim Wendler/ Shutterstock;

1521,1538 (a) e (b): Team Alinghi, 2005;

1538 (c) e (d): Alfi o Quarteroni, Cmcs – Modelling and Scientifi c Computing;

1561, 1578 (a): Alexey Stiop/Shutterstock;

1596 (a): Kiselev Andrey Valerevich/Shutterstock

1596 (b): Zentilia/Shutterstock

1601, 1624 (a): Marc Dietrich/Shutterstock, Xavier Gallego Morelli/Shutterstock;

1657, 1677 (a): Peter Kirillov/Shutterstock;

1692 (a): Algecireno/Shutterstock;

1692 (b): ChaosMaker/Shutterstock;

1697, 1732 (a): Dean Mitchell/Shutterstock;

1732 (b): il dottor Benijamin McLane Spock visita Karen Anderson, con i suoi 5 gemelli (ottobre 1974). Fonte AP;

1768 (a): www.earthwatch.org;

1768 (b): Risteski Goce/Shutterstock;

C89, C92 (a): Rozbyshaka/Shutterstock;

C89, C92 (b), (c): Lasse Kristensen/Shutterstock;

C94: pcandweb.myblog.it;

C95 (a): Frans Hals, Cartesio. ca. 1649-1700. Parigi, Musée du Louvre;

C95 (b): mathdl.maa.org;

C95 (c): Klaus Wohlfahrt, owpdb.mfo.de;

C96: Vasilij Kandinskij, Improvvisazione 33, 1913. Amsterdam, Stedelijk Museum;

C97: Picsfi ve/Shutterstock;

C100: Bianka Hagge/Shutterstock;

C101: Joan Mirò, Painting, 1927. Parigi, Musée National d’Art Moderne;

C102: Curva del Dragone, iterazione 16. Alexis Monnerot-Dumaine, 2006;

C103: www.paintermagazine.co.uk;

C104 (a): Sashkin/Shutterstock;

C104 (b): Giulia Laffi , 2004;

E1: www.piper-verlag.de;

E5: www.joedodgy.com.au.


IX

1 Tutti i dati sono tratti da una ricerca Isfol con dati relativi al 2010, (l’Isfol, Istituto per lo Sviluppo della Formazione Professionale dei Lavoratori è un ente pubblico di ricerca), e ISTAT del II Trimestre 2011.

2 Rapporto OCSE Education at a Glance 2011.

3 Dati ISTAT del II Trimestre 2011.

4 Dati Confartigianato Imprese Emilia- Romagna, 2010.

www.ideeperiltuofuturo.it

La laurea “paga”. Una recente ricerca Isfol 1 ha mostrato che chi è laureato ha più pos-sibilità di trovare un’occupazione e in media riceve uno stipendio più alto rispetto a chi possiede soltanto un diploma.

Dal momento che i diplomati entrano nel mondo del lavoro prima dei laureati, ini-zialmente il tasso di occupazione per i primi è superiore rispetto a quello dei secondi, ma già prima del compimento dei 30 anni chi possiede una laurea ha più possibilità di trovare lavoro, per arrivare nella fascia 34-44 anni, dove il tasso di occupazione dei laureati supera del 7% quello dei diplomati.

In media tra 25 e 64 anni è occupato il 73,1% dei diplomati e il 79,2% dei laureati.Secondo uno studio OCSE del 2011 i giovani laureati subiscono di più gli effetti della

recente crisi economica rispetto ai loro coetanei con istruzione secondaria inferiore2.

Quali lauree valgono un lavoro? Le lauree “brevi” servono? Le lauree triennali si rive-lano molto utili ai fi ni dell’occupazione: a un anno dal termine degli studi il 42,1% dei laureati triennali lavora, con picchi dell’81,7% per le professioni sanitarie. Tirocini e stages sono determinanti per formare e inserire questi laureati nel mondo del lavoro.I tassi di occupazione più alti si hanno tra i medici, seguiti dai laureati in chimica far-maceutica e ingegneria. In generale sono le discipline di tipo scientifi co – sia a livello di diploma sia a livello di laurea – le più spendibili nel mondo del lavoro, mentre le discipline umanistiche condannano a una diffi cile collocazione sul mercato, anche a fronte di un eccesso di offerta di laureati in questi ambiti.

A Nord c’è più lavoro, ma… A livello nazionale il tasso di disoccupazione è 7,8%, che sale a 27,4% se si considerano solo i giovani (15-24 anni): più alto al Sud (39,2%), meno al Centro (25,3%), più basso al Nord (19,0%). La situazione per le ragazze è più critica: il tasso della disoccupazione femminile, nella fascia 15-24 anni, supera di circa 8 punti percentuali quello maschile (32,3% per le donne, 23,9% per gli uomini), forbice che si mantiene simile nelle diverse zone geografi che: al Nord il tasso è 22,7% per le donne e 16,4% per gli uomini; al Centro è 34,8% per le donne e 18,7% per gli uomini e a Sud è di 44,0% per le donne e 36,0% per gli uomini.

Tuttavia i dati della disoccupazione giovanile non devono scoraggiare chi cerca la-voro: se la disoccupazione giovanile è del 27,4%, vuol dire che una parte non piccola dei giovani che hanno cercato lavoro (il 72,6%) lo ha trovato3. Inoltre i dati variano mol-to da luogo a luogo e anche all’interno di una stessa regione può esservi una grande va-rietà di situazioni. L’Emilia-Romagna è tra le regioni in cui la disoccupazione giovanile incide meno, ma con grandi differenze tra le province: se Bologna nel 2010 raggiunge un tasso di disoccupazione di 29,2%, a Piacenza il valore è più che dimezzato (13,6%)4.

CHE COSA FARÒ DA GRANDE

Idee peril tuo futuro

Sei alla fi ne del tuo percorso scolastico. Che cosa fare adesso? Iscriversi a un corso universitario? Fare uno stage o un corso professionalizzante? Cercare di entrare subito nel mondo del lavoro? Studiare e al contempo lavorare?

Per aiutarti nella scelta ti proponiamo alcuni dati relativi al 2009-2011. È im-possibile dire come saranno le cose tra qualche anno, i tempi recenti ci hanno abituati a cambiamenti anche repentini.


X

Quanto costa l’Università?

Vorrei studiare negli USA

Il mio diploma è riconosciuto in Europa?



http://www.enic-naric.net/

POSSO ISCRIVERMI ALL’UNIVERSITÀ?

Per iscriversi all’Università è necessario il diploma di maturità quinquennale oppure quello quadriennale con un anno integrativo o, in alternativa, un obbligo formativo aggiuntivo da assolvere durante il primo anno di corso.

L’Università italiana offre corsi di studio organizzati in tre cicli:

laurea, di durata triennale (180 crediti formativi in un massimo di 20 esami), al ter-mine della quale si consegue il titolo di Dottore; ad esempio laurea in Tecniche di radiologia medica o in Scienze del comportamento e delle relazioni sociali.

Laurea magistrale, di durata biennale (120 crediti in un massimo di 12 esami), al termine della quale si consegue il titolo di Dottore magistrale; ad esempio laurea in Biotecnologie mediche o in Psicologia clinica.

Dottorato di ricerca e Scuola di specializzazione.

Esistono anche corsi di laurea magistrali a ciclo unico, della durata di 5 (300 crediti in un massimo di 30 esami) o 6 anni (360 crediti in un massimo di 36 esami); ad esem-pio Medicina e Chirurgia.

Per approfondire gli studi si può accedere a master di 1° e di 2° livello e ai corsi di alta formazione.

I crediti formativi universitari (CFU) misurano il carico di lavoro dello studente(1 CFU = 25 ore di impegno; 60 CFU = 1 anno di impegno universitario), compresi lo studio individuale ed eventuali esperienze di apprendistato5. Sono stati introdotti per facilitare il confronto tra i sistemi e i programmi di differenti corsi e Atenei italiani ed europei, e quindi il passaggio da un corso di studio a un altro, oppure da un’Università a un’altra, anche straniera: i CFU sono trasferibili in ECTS (European Credit Transfer and Accumulation System) e quindi riconosciuti nelle Università di tutta Europa.

Tramite i CFU è possibile valutare ai fi ni della laurea anche esperienze quali stages e tirocini. Infi ne i CFU permettono di semplifi care la determinazione dei piani di studio individuali (PSI) che ciascuno studente può modulare su se stesso. In alcuni casi è possibile personalizzare il proprio percorso di studi, inserendo nel piano degli esami da sostenere alcuni corsi non previsti dal piano di studi istituzionale.

Quando si presenta il PSI bisogna rispettare il minimo di crediti obbligatori per ciascun ambito disciplinare previsti dal proprio corso di laurea.

Vorrei studiare in Europa. I cittadini dell’Unione europea (UE) possono studiare, dalla scuola primaria al dottorato di ricerca, in uno dei paesi UE.

Per facilitare questi scambi è stato creato Ploteus, il portale delle opportunità di apprendimento (www.europa.eu/ploteus): programmi di scambio, borse di studio, descrizioni dei sistemi di istruzione e apprendimento dei vari paesi europei, nonché indicazioni dei siti web degli istituti di istruzione superiore, i database dei corsi di for-mazione, le scuole... Attraverso Ploteus è possibile anche avere notizie pratiche, ad esempio su come raggiungere la località e dove alloggiare, sul costo della vita, le tasse, i servizi cui si può accedere.

COME FUNZIONA L’UNIVERSITÀ

5 Regolamento recante norme concernenti l’autonomia didattica degli atenei, Decreto Ministeriale 3 novembre 1999, n.509


XI

TEST DI AMMISSIONE

L’accesso ad alcuni corsi di laurea è fi ltrato da una prova di ammissione, per iscriversi alla quale occorre versare un contributo: sono Medicina e Chirurgia, Odontoiatria e Protesi Dentaria, Medicina Veterinaria, le lauree a ciclo unico fi nalizzate alla formazio-ne in altre Professioni Sanitarie e in Architettura.

Le prove di ammissione comprendono 80 quesiti: una parte di cultura generale e ragionamento logico, una parte sulle materie caratterizzanti i diversi indirizzi univer-sitari.

Ad esempio, per essere ammessi a Medicina bisogna rispondere a 40 quesiti di cul-tura generale e ragionamento logico, 18 di biologia, 11 di chimica e 11 di fi sica e mate-matica.

Il tempo a disposizione è di 2 ore (15 minuti in più per Architettura); ogni risposta corretta fa guadagnare 1 punto, le risposte sbagliate fanno perdere 0,25 punti, mentre le risposte non date valgono 0.

Altre facoltà come Ingegneria, Economia e Scienze Matematiche, Fisiche e Natura-li hanno una prova d’ingresso che può essere orientativa («sono pronto ad affrontare questa facoltà?») o richiedere il superamento di un punteggio minimo; in alcuni casi, lo studente che non la superi può avere dei debiti formativi da recuperare entro il primo anno dall’immatricolazione.

Se in una sede universitaria il numero di posti disponibili è minore del numero degli iscritti, il test può diventare selettivo.

Nel caso del test d’ingresso a Ingegneria, circa un terzo dei quesiti a risposta chiusa è di matematica. Gli argomenti presenti sono: aritmetica, algebra, logica, probabilità e statistica, geometria euclidea, geometria analitica, funzioni, trigonometria. L’analisi non è prevista.

Esistono poi delle prove anticipate di verifi ca delle conoscenze per gli studenti degli ultimi anni delle superiori, che hanno così l’opportunità di avere dei crediti nel mo-mento dell’accesso all’università nelle materie scientifi che.

Puoi metterti alla prova risolvendo i quesiti proposti.

Qui trovi tante informazioni in più e le prove assegnate negli ultimi anni

Qui trovi tante informazioni in più e degli esempi di test

Per saperne di più

http://accessoprogrammato.miur.it

www.cisiaonline.it

www.progettolaureescientifiche.eu

www.testingressoscienze.org

Ingegneria

01 In un piano cartesiano, quale dei seguenti punti è interno al triangolo racchiuso tra le tre rette : 0r y1 = , : 2r y x2 = , : 7r y x3 +-= ?

a P = (3;5) b P = (4;4) c P = (1; -3)

d P = (3;3) e P = (-3;2)

(Prova di ammissione 2007)

02 L’equazione sen x = - x:

a ammette infi nite soluzioni. b se h 02 è una soluzione, allora anche

x h r= + lo è. c non ammette soluzioni. d ammette soltanto una soluzione. e ammette esattamente due soluzioni.


03 A parità di tutte le altre condizioni (mate-riale, rugosità, stato di pulizia, etc.) serve meno quantità di pittura per tinteggiare:

a un cono (circolare retto) di altezza 1 metro e base di raggio 1 metro.

b una sfera di raggio 1 metro. c un cubo di lato 1 metro. d una piramide avente tutte le facce che sono

triangoli equilateri (tetraedro) di lato 1 metro. e un cilindro (circolare retto) di raggio 1 metro e di

altezza 1 metro.


04 Il resto della divisione del polinomio 2x3 - 3x + 2 per il polinomio x - 2 è:

a 8. b -1. c 12. d -8. e -12.



XII

DOVE SI STUDIA LA MATEMATICA

La matematica non si studia solo nel corso di laurea in Matematica, ma la puoi trovare anche a:

Ingegneria,

Economia,

Scienze Statistiche,

Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

(ad esempio nei corsi

di Astronomia, Informatica,

Scienze Biologiche),

Puoi metterti alla prova risolvendo gli esercizi proposti.

01 Disegna il grafi co della funzione defi nita da

y x2 62sen r= -a k.

(Esame di Matematica, Corso di laurea specialistica in Farmacia, Università Sapienza di Roma, 2007)

02 Un investimento mi ha fruttato il 5% di in-teressi. Decido di spendere il 30% di questi interessi per comprare un computer del va-lore di 300 euro. A quanto ammonta il mio investimento?

(Esame di Matematica, Corso di laurea in Scienze Biologiche, Università di Pisa, 2011)

[200 000 euro]

03 Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:

( )f x x e1 x6= +

- ,

( )g x x x x2 3 ln4-= + ,

( )h x x xsen= .

(Esame di Istituzioni di Matematica, Corso di laurea in Biologia, Università di Milano-Bicocca, 2003)

f xx e

x e x

g x x2 1

6

8

;x

x

6

5

3

=+

-

=- x 33ln ;+ +

-

-

l

l̂ ^^

^h h

hh

h x x x x xsenxcos lnsenx= +l^ bh l

[

[

04 Stabilire per quali valori di a e b la funzione

f x a x b x

x x

1 02 0

arctan persen per

1

$= +^ h *

risulta: (i) continua nell’origine; (ii) derivabile nell’origine.

(Esame di Analisi Matematica 1, Corso di laurea in Matematica (e Fisica), Università di Milano-Bicocca, 2003)

i b a ii a b2 2( ) ; ( ) ,rr= =- =-: D

05 Dopo aver determinato il campo di esistenza della funzione

( ) arctan( 1 x )f x 2= - ,

trovarne massimi e minimi relativi e assoluti.

(Esame di Istituzioni di Matematica 1, Corso di laurea in Scienze Ambientali, Università di Bologna-Ravenna, 2004)

[ 0 . ;

1 1 ]

x

x x

p to max assolutoe p.ti min assoluti

=

=- =

06 Calcolare il seguente integrale:

1 ln( 1)e

e dt2

ln2

ln3

tt-y

(si consiglia la sostituzione x et= ).

(Esame di Istituzioni di Matematica 1, Corso di laurea in Scienze Ambientali, Università di Bologna-Ravenna, 2004)

43 3lnb l: D

Chimica Industriale,

Architettura,

Farmacia,

Agraria,

Scienze della Formazione.


XIII

VERSO IL LAVOROVorresti trovare lavoro? Nelle pagine che seguono trovi informazioni su come e dove cercare lavoro, cos’è lo stage, come scrivere un curriculum e una lettera di accompagnamento, come sostenere un colloquio. Sul sito www.ideeperiltuofu-turo.it trovi tante informazioni utili e dettagliate in più per aiutarti nella tua ri-cerca in Italia e all’estero: i centri per l’impiego e i Career days, siti internazionali, una panoramica dei contratti di lavoro e altro ancora.

La ricerca di lavoro in Italia. Per mettere in contatto domanda e offerta di lavoro esisto-no in Italia numerosi soggetti, sia pubblici sia privati, autorizzati dallo Stato a svolgere servizi di intermediazione e collocamento. Sono i Centri per l’impiego (CIP), le Agen-zie per il lavoro, la Borsa continua nazionale del lavoro (BCNL) e il portale «Cliclavo-ro». Anche le scuole secondarie di secondo grado, le Università, i comuni, le associa-zioni dei datori di lavoro e dei lavoratori, i patronati, i gestori di siti internet possono svolgere attività di intermediazione, purché non abbiano fi ni di lucro.

Cercare lavoro tra le pagine dei giornali. Un canale tradizionale ma sempre valido per chi cerca annunci di lavoro è rappresentato da supplementi e inserti delle maggiori testate a diffusione nazionale e dai giornali specializzati; ne segnaliamo alcuni fra i principali:

il supplemento «Tutto Lavoro» del lunedì de «La Stampa»;

le pagine dedicate al lavoro il giovedì da «la Repubblica»;

il supplemento «Corriere lavoro», con la sezione «Trovo Lavoro», del «Corriere del la Sera» del venerdì;

il supplemento «Carriere&Lavoro» de «Il Sole 24 ore» del venerdì tocca temati che relative al nuovo mercato del lavoro attraverso inchieste e dossier, e fornisce strumenti e notizie utili per cambiare mestiere e migliorare la propria carriera.

Fra i giornali specializzati:

il settimanale «Trova Lavoro» con annunci dall’Italia e dall’estero e una selezione dei concorsi tratti dalla Gazzetta Uffi ciale;

«Walk on Job» , un bimestrale distribuito gratuitamente in 41 città italiane, che dà spazio al mondo del lavoro e della formazione, con inchieste, interviste, notizie e opportunità prima e dopo la laurea;

il mensile «Bollettino del Lavoro».

Cercare lavoro online. Accanto alla versione cartacea dei supplementi dei giornali, si trova anche la versione online, col vantaggio di consentire un aggiornamento continuo degli annunci, l’inserimento immediato del proprio curriculum in apposite banche dati, di inviare direttamente la propria candidatura in risposta alle offerte di lavoro, di ricevere gli annunci sulla propria e-mail.

Tra le versioni online segnaliamo «Job24» de «Il Sole 24 ore» e «MioJob» de «la Re-pubblica». Tra i più importanti (e seri) siti per la ricerca di lavoro indichiamo Monster (www.monster.it) e Infojobs (www.infojobs.it). Da consultare è anche il sito www.con-corsi.it, che informa sui concorsi pubblici banditi in Italia. Per quanto riguarda i social network professionali si segnalano Linkedin (www.linkedin.com) e Xing (www.xing.com) che, oltre a funzionalità come “fi nd job” offrono la possibilità di entrare a far par-te di gruppi di discussione utili alla crescita professionale.

LA TOP TEN DEI LAVORI IN ITALIA

Non hai un’idea precisa di cosa vorresti fare? Alcune fi gure professionali sono molto ricercate in Italia, ecco la top ten dei profi li lavorativi più ricercati in Italia nel 2011, secondo il quotidiano “Il Sole 24 Ore”.

1) Farmacista

2) Progettista settore metalmeccanico

3) Infermiere

4) Addetto consulenza fi scale

5) Sviluppatore software

6) Progettista meccanico

7) Educatore professionale

8) Addetto logistica

9) Disegnatore tecnico Cad-Cam

10) Fisioterapista

(Fonte: Union Camere-Excelsior 2011)


Vuoi cercare lavoro all’estero?


XIV

CURRICULUM VITAE E LETTERA DI ACCOMPAGNAMENTO

www.europassitalia.it

Scarica il CV Europass

Il Curriculum Vitae. Quando si è alla ricerca di un lavoro, prima o poi arriva il momen-to di inviare (per posta ordinaria o per e-mail) il proprio Curriculum Vitae (CV) e una lettera di accompagnamento alle aziende per le quali si desidera lavorare, sperando di essere chiamati per un colloquio.

Il CV è la carta di identità professionale del candidato e deve indicare l’iter formati-vo, le conoscenze e le competenze di chi si propone per ottenere un impiego.

Si comincia sempre dai dati anagrafi ci, per un’inquadratura iniziale, e dai contatti (indirizzo, numero di telefono, cellulare, e-mail...), per poi passare in rassegna le prece-denti esperienze lavorative e le varie tappe della propria istruzione/formazione, dalla più recente alla più lontana nel tempo.

Altre informazioni indispensabili riguardano la padronanza di una o più lingue stra-niere e le competenze tecniche; conviene anche mettere in rilievo le capacità relazio-nali e organizzative, se si posseggono.

Per quanto riguarda altre informazioni personali, è meglio inserire solo quelle che possono essere apprezzate dalla specifi ca azienda cui è indirizzato il CV.

Infi ne, non bisogna mai dimenticare di autorizzare il trattamento dei dati personali, facendo riferimento al d. lg. 196/2003.

Un CV effi cace sarà completo, chiaro e soprattutto breve (due pagine di solito sono suffi cienti): bisogna tenere conto che chi lo legge è abituato a valutarne decine tutti i giorni e apprezzerà il fatto di trovare subito le informazioni che gli interessano.

Meglio selezionare solo le aziende che più si avvicinano al proprio profi lo profes-sionale e scrivere per ciascuna una lettera di accompagnamento mirata.

I portali che si occupano di selezione del personale solitamente danno la possibilità di compilare CV online, secondo modelli prestabiliti; oppure si può preparare da soli il CV e poi caricarlo sul sito su cui ci si vuole pro-porre.

La lettera di accompagnamento (o cover letter) va preparata con mol-ta attenzione perché serve a convincere il selezionatore a prendere in considerazione l’offerta di lavoro e quindi a esaminare il CV.

La forma deve essere curata e corretta, per dimostrare un buon livello di istruzione.

La lettera di accompagnamento è una e-mail (o una lettera) dalla quale devono emergere in maniera sinteti-ca (dieci righe al massimo) le motivazioni del candidato, le competenze, i titoli, le esperienze che rendono la per-sona adatta per quel posto di lavoro.

Sintetici sì, ma non vaghi o generici: l’impegno nello scrivere la lettera sta proprio nel risultare sinceri, con le idee chiare ma anche aperti a varie possibilità.

La lettera deve far capire che si conosce, anche se dal di fuori, l’azienda e che se ne comprendono le necessità. Per avere queste informazioni è necessario visitarne il sito in-ternet ma anche, ad esempio, cercare e, se si può, speri-mentare i prodotti di quell’azienda. In questo modo sarà più facile mettersi dal punto di vista dell’azienda stessa, capire quali competenze potrebbero essere utili e pun-

tare su quelle.

Lt

f

pc


XV

CURRICULUM VITAE E LETTERA DI ACCOMPAGNAMENTO

Una lettera di accompagnamento. Carla è diplomata in Servizi per l’agricoltura e lo sviluppo rurale. Ha sfruttato un periodo di lavoro part-time in un call center per avere il tempo di cercare un corso di formazione che faccia al caso suo. Dopo ha frequentato un corso della Regione di 180 ore in Sicurezza alimentare.

Nel frattempo visita i siti di varie aziende della zona in cui abita e ne indi-vidua alcune cui decide di inviare il CV.

La ditta dove vorrebbe lavorare è “La Mozzarella”, che produce latte e deriva-ti. Nel sito si insiste sulla qualità dei pro-dotti unita al rispetto dell’ambiente.

A chi vuole lavorare per “La Moz-zarella” è richiesta personalità, grinta e condivisione dei valori dell’azienda. Con una telefonata Carla verifi ca che il responsabile della sicurezza alimentare è il dott. Biancolatte.

Ecco la lettera di accompagnamento scritta da Carla.

Le possibilità di essere valutati crescono se la busta che contiene lettera e CV, o l’e-mail, è indirizzata al direttore del settore nel quale vorremmo lavorare e non generica-mente all’impresa o, ad esempio, all’uffi cio delle risorse umane. In questo caso bisogna fare accurati controlli per essere certi di scrivere correttamente il nome, il titolo di stu-dio, la posizione che ricopre la persona a cui indirizziamo la lettera ed essere sicuri che effettivamente lavori ancora lì.

a

a

Egr. dott. Biancolatte,

ho frequentato l’Istituto professionale per i Servizi per l’agricoltura e lo sviluppo rurale

di A… diplomandomi con 96/100. Di recente ho seguito un corso di specializzazione

della Regione B… in Sicurezza alimentare, che verteva sulle moderne tecniche di analisi

degli alimenti.

Il vostro nome, che conosco sin da piccola, per me è sinonimo di serietà e af dabilità

e condivido l’obiettivo di puntare sulla qualità e la sostenibilità della produzione e

sul rispetto per l’ambiente; mi è sempre piaciuta l’idea di lavorare nell’area della

produzione e del controllo alimentare, e in particolare nella produzione dei latticini

che apprezzo molto, pertanto vi chiedo gentilmente di informarmi riguardo alla vostra

disponibilità.

Le porgo i miei più cordiali saluti,

Carla Bianchi

Offerta di collaborazione

[email protected]


XVI

IL COLLOQUIO E LO STAGE

Il colloquio. La strategia per la buona riuscita di un colloquio di lavoro comincia nel momento in cui si viene contattati. Innanzitutto è importante rispondere subito e con gentilezza alla convocazione (che sia arrivata per telefono, lettera o e-mail) e presen-tarsi puntuali all’appuntamento.

Per evitare ritardi, conviene informarsi bene su come raggiungere la sede del collo-quio e partire con largo anticipo, così da non arrivare trafelati all’incontro.

Il successo di un colloquio dipende anche da una serie di informazioni che sarà stato possibile raccogliere sull’azienda e utilizzare a proprio vantaggio. Ad esempio, per decidere quale sia l’abbigliamento più adatto, uno sguardo allo stile dell’azienda è consigliato. Basterà poi adattare questo stile al proprio e alla posizione alla quale si aspira. Se, ad esempio, cerchiamo lavoro in banca potrebbe essere una buona idea non mettere i jeans, se si tratta di un’azienda di grafi ca che ha uno stile giovane e casual i jeans andranno benissimo. Conoscere l’azienda per la quale si desidera lavorare è importante anche per mostrare in maniera mirata le competenze di cui si dispone, nonché interesse e sintonia con quella specifi ca linea imprenditoriale.

Quando ci si trova di fronte alla persona incaricata della selezione bisogna mostrarsi sicuri e determinati senza essere spavaldi o sbruffoni. Non conviene mentire a propo-sito delle esperienze lavorative precedenti o essere disonesti riguardo alle proprie ca-pacità: prima o poi si verrà scoperti, magari nel momento meno opportuno... È invece importante mostrarsi positivi, disponibili a imparare e a risolvere problemi.

I reclutatori rivolgono al candidato una serie di domande, a volte prevedibili, che possono riguardare la sfera personale (ad esempio: “Da quanto tempo cerca lavoro?”...) o la sfera professionale: sia sulle esperienze passate (ad esempio: “Mi parli del suo cur-riculum”, “Perché ha scelto proprio quel corso di studi?”...), sia sul lavoro per cui si è a colloquio (ad esempio: “Cosa sa della nostra azienda?”, o anche “Perché dovremmo assumerla?”).

Alcune aziende preparano un colloquio di gruppo, per osservare in che modo i can-didati interagiscono tra loro, collaborano, affrontano alcune situazioni critiche che si-mulano quelle reali. In questi casi il consiglio è di non essere eccessivi: la cosa migliore è mostrare senso pratico e capacità di mediare e partecipare o guidare il gruppo verso la soluzione del problema.

Lo stage (tirocinio formativo o internship). Si tratta di un’esperienza professionale utile per chi si avvicina al mondo del lavoro per la prima volta, per accrescere le proprie competenze e arricchire il Curriculum Vitae, anche perché è diffi cile trovare un impie-go senza avere precedenti esperienze.

Lo stage non rientra nelle tipologie di lavoro subordinato poiché è obbligatoria per il tirocinante solo un’assicurazione in caso di infortunio (e non lo stipendio).

Per quantifi care l’utilità dello stage è stato creato il sistema dei crediti formativi, ossia un punteggio che il giovane studente guadagna

nel corso del suo tirocinio e che può spendere ai fi ni forma-tivi: di diploma, per gli studenti del quinto anno di scuola

media superiore; di esame o di laurea, per gli universi-tari.

Un’esperienza di stage può anche arrivare a sostitu-ire un esame universitario: è suffi ciente certifi care che

l’esperienza svolta durante lo stage va a integrare le conoscenze acquisite nell’arco degli studi, comple-tandole e arricchendole.


E se mi fanno una domanda assurda?


Quanti batteri?

Fissato un intervallo di tempo Dt costante, determiniamo il numero di batteri

dopo 1, 2, 3… intervalli Dt dall’istante iniziale. Possiamo così «contare» anche il

tempo e il numero di batteri con i numeri naturali, cioè in modo discreto. Così

nella formula precedente Dt = 1; chiamato nt il numero di batteri all’istante t,

abbiamo

nt+1 - nt = knt " nt+1 = nt + knt " nt+1 = (1 + k) nt

e, se conosciamo n0, possiamo trovare la successione n1, n2, n3, …

La successione del numero dei batteri è ottenuta in modo ricorsivo, ossia fornendo

il primo termine e la legge che dato un termine fornisce il suo successivo.

Siamo in un laboratorio di bio-logia e stiamo coltivando una colonia di batteri. Come varia il

numero di batteri al passare del tem-po? Per costruire un modello che ri-sponda alla domanda, facciamo l’ipo-tesi semplifi catrice che il tasso netto di crescita della popolazione batterica sia costante e positivo. Un modello di questo tipo è detto malthusiano.In tal caso, la variazione Dn del nu-mero di batteri nel tempo Dt è di-rettamente proporzionale al nume-ro n di batteri presenti, con costante di proporzionalità il tasso netto k di crescita:

tn

DD

= kn, con k costante.

Il tasso netto di crescita è la differenza tra il tasso di natalità e quello di mor-talità.

?Può una formula matematica nascondere una situazione caotica?

Modelli di crescita e caos

XVIIBergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 5 © Zanichelli 2013 con Maths in English


XVIII

AttivitàPer studiare il modello malthusiano, in un foglio elettronico inserisci: nella cella A1 l’etichetta tempo e in B1 l’etichetta popola-zione; in E2 il numero n0 di batteri presenti all’istante iniziale; in F2 il valore di k; in A2 il numero 0 e in A3 la formula �A2�1, da copiare fino a A22; in B2 la formula �E2 e in B3 la formula �(1�$F$2)*B2, copiando-la fino alla cella B42.Rappresenta graficamente i dati relativi alle due colonne ottenute.Per ottenere il grafico della figura, abbiamo considerato n0 = 1000 e k = 0,5. La crescita è di tipo esponenziale: alla ventesima osservazione il numero di batteri ha già superato i 3 000 000. Modificando i parametri contenuti nelle celle E2 e F2 ottieni altre successioni e quindi simula-zioni di crescita di diverse popolazioni.

● Risorse limitateL’ipotesi che è alla base del modello di crescita malthusiana può aver senso fin

quando il numero di individui di una popolazione è piccolo rispetto alle risorse

messe a disposizione dall’ambiente. Una popolazione di batteri può però raggiun-

gere dimensioni tali da far sì che fattori limitanti, come per esempio la scarsità di

sostanze nutritive nell’ambiente circostante, non possano essere più trascurate.

Modifichiamo allora il nostro modello, avanzando l’ipotesi, più realistica, che il

sovraffollamento dia luogo a carenze di cibo e spazio vitali, tali da provocare un

aumento delle morti proporzionale al numero di individui presenti. Detto m il

tasso di mortalità e n il numero di individui presenti, abbiamo:

m = p $ n, con p costante.

Ricordando che k è la differenza tra il tasso di natalità (che indicheremo con r) e

quello di mortalità m = p $ n, la legge di formazione di nt+1 diventa:

nt+1 = (1 + k)nt " nt+1 = (1 + r - p $ nt)nt " nt+1 = (1 + r )nt - p $ nt2

Il modello di crescita che si ottiene, detto di crescita logistica, fu proposto dal

biologo e matematico belga Pierre Verhulst nel 1837.

Attività Per studiare il modello logistico, costrui-sci un foglio elettronico analogo a quello dell’Attività precedente, ma in F2 inserisci il valore di r, in G2 quello di p e in B3 la for-mula �(1+$F$2)*B2-$G$2*B2^2. Per ottenere il grafi co della fi gura, abbiamo posto: n0 = 10, r = 0,8, p = 0,006.La curva ha un andamento «a S» e si sta-bilizza piuttosto velocemente sul valore di 133 individui.


XIX

● Se il modello è continuoFinora abbiamo ragionato pensando sia il tempo sia il numero di batteri come va-

riabili discrete. Ma se il numero n0 di batteri inizialmente presenti è molto grande,

possiamo sostituire la variabile discreta n con la variabile continua x, scrivendo

l’equazione differenziale:

dtdx

kx= ,

in cui dtdx

è la derivata della funzione x = x(t). Se la condizione iniziale è

x(0) = n0 e k è costante, con gli strumenti che imparerai a usare in questo anno di

studio sarai in grado di trovare la soluzione:

x(t) = n0 $ ekt,

una funzione esponenziale il cui andamento ricalca pienamente quello del grafico

che abbiamo ottenuto per il modello (discreto) malthusiano.

Se il modello è logistico, la funzione continua è più complessa e il suo andamento

dipende dal rapporto pr

, legato alla potenzialità riproduttiva della popolazione e

alle cause che ne determinano la mortalità all’aumentare del numero di individui.

Riportiamo il grafico nel caso in cui pr

n2 02 . Puoi osservare che, all’aumentare

del tempo, la curva tende a coincidere con la retta di equazione ypr

= .

Anche in questo caso, c’è corrispondenza con i risultati che abbiamo ottenuto nel

modello discreto logistico. In particolare, 133 è proprio il numero naturale che

meglio approssima il rapporto fra r e p: ,

,, ...

pr

0 0060 8

133 33= =

● Piccole variazioni, strani cambiamenti Se esaminassimo più a fondo il modello continuo di crescita logistica, potremmo

osservare che l’evoluzione del numero di individui della popolazione sarebbe sem-

pre caratterizzata da un valore asintotico ben preciso anche quando la condi-

zione 2pr

n02 non è soddisfatta.

Ci aspetteremmo qualcosa di simile anche nel discreto, ma le cose non stanno così.

Attività Nel foglio che hai costruito per il modello logistico discreto fai alcune prove facendo variare il valore di r tra 1 e 3, aumentando anche il numero di osservazioni, per esempio copiando le formule fi no alle celle A102 e B102. Qui di seguito abbiamo riportato le fi gure che si ottengono rispettivamente per r = 2; r = 2,5; r = 2,9; r = 3.

Notiamo che fi no a determinati valori di r è possibile individuare regolarità signifi cative, ma al tendere di r a 3, l’evoluzione della popolazione è sempre più caotica.

batteri

O tempo

y = –rp

modello logistico continuo



XX

AttivitàCaos deterministico e modelli dinamici. Affronta questo tema con una breve presentazione multimediale.

Da leggere:

● Gian Italo Bischi e altri, Sulle orme del caos, Bruno Mondadori, Milano, 2004.● Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri, Torino, 2010.● James Gleick, Caos, Rizzoli, Milano, 2000.● Angelo Vulpiani, Determinismo e caos, Carocci, Roma, 2004.

● Caos deterministicoNell’attività precedente, abbiamo osservato che:

● per variazioni molto piccole di un parametro, si sono ottenuti cambiamenti

molto grandi dei risultati;

● un’equazione, con caratteristiche di non linearità ma comunque ben determi-

nata e non necessariamente complicata, può generare dei risultati con carat-

teristiche di disordine.

In casi simili si è soliti parlare di caos deterministico.

La ricerca matematica in questo campo si basa sull’ipotesi che se da un lato i

comportamenti caotici di certi fenomeni pongono limitazioni evidenti alla loro

prevedibilità, dall’altro fenomeni complessi e apparentemente disordinati, come

l’andamento delle azioni in Borsa o il tempo meteorologico, potrebbero essere

descritti da leggi deterministiche.

Cerca nel Web:

caos deterministico, modelli dinamici discreti, effetto farfalla

Farfalle e tornadi

Un sistema caotico è caratterizzato dalla proprietà di avere un’evoluzione parti-colarmente sensibile alla variazione dei

valori dei suoi parametri signifi cativi: due sistemi caotici che partono da condizioni iniziali che diffe-riscono anche di pochissimo possono evolvere in modo completamente diverso. Il metereologo e matematico Edward Lorenz diede di questo fatto un’immagine suggestiva. Il titolo di una sua confe-renza del 1972 suonava così: «Il battito di ali di una farfalla in Brasile può essere causa di un tornado in Texas?». Da allora, per i fenomeni caotici, si parla anche di effetto farfalla e la metafora è sfruttata nei giornali, nei libri e nei fi lm.


TESTLA MATEMATICA INDISPENSABILE

XXI

LA MATEMATICA INDISPENSABILEanche per entrare all’Università

La derivata della funzione ( ) lnf x x x5 2= + (con ln logaritmo in base e) è:

A x5 2+ .

B x2

.

C lnx

x52

+ b l .

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia,

MIUR 1997)

1 Il sistema

0x y a

x y b

2 2+ + =

- =) con a, b R!

A ha sempre due soluzioni.

B ha infinite soluzioni per ogni valore di a e di b.

C ha soluzioni solo se a e b sono positivi.

D ha soluzioni solo se a e b sono negativi.

E può avere soluzioni se a è negativo.


MIUR 2002)

In una classe 10 ragazzi praticano il calcio, 10 la pallacanestro e 10 il nuoto. Si sa che un solo ragazzo pratica i tre sport, mentre tutti gli altri ne praticano uno solo. Da quanti ragazzi è for-mata la classe?

A 30 B 29 C 28 D 27 E 32

(Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 1999)

Trovare l’affermazione che nega il seguente enunciato:

«Ogni numero pari più grande di 2 è som-ma di due numeri primi».

A I numeri dispari non sono somma di due primi.

B Ci sono numeri dispari che non sono som-ma di due numeri primi.

C Sommando due numeri composti, non si ottengono numeri pari.

D Sommando due numeri primi, non sempre si ottiene un numero pari.

E Esiste un numero pari maggiore di 2 che non si può scrivere come somma di due numeri primi.


Data ( )f x x x3 1= + - , ( )f x2 vale:

A 2 6 1x x+ - . D x x2 3 1+ - .

B 2 6 2x x+ - . E 2 6 1x x2 + - .

C x x2 3 1+ - .


MIUR 2004)

5

6

7

8

D x

52

+ .

E nessuna delle risposte precedenti.

La funzione y AxB= , con A e B numeri positi-vi, è equivalente alla funzione:

A logy AB x= .

B ( )lny

ABx

= .

C lny ABx1

= b l.

D log log log logy A x B= + + .

E nessuna delle risposte precedenti è corretta.


MIUR 1997)

Quale delle seguenti affermazioni è sbagliata?

A Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa.

B Una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine.

C Una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse delle y.

D Alcune relazioni sono funzioni.

E La funzione logaritmica è iniettiva.


MIUR 2001)

Il treno che effettua l’ultima corsa della metro-politana è costituito da tre vagoni e trasporta in tutto tre passeggeri. Se i passeggeri hanno scelto il proprio vagone in maniera del tutto casuale, con quale probabilità nessuno dei vagoni è vuoto?

A 92

B 41

C 31

D 21

E 91


2

3

4

Dati, informazioni e consigli sull’Università e il mondo del lavoro nel sito: www.ideeperiltuofuturo.it


LA MATEMATICA INDISPENSABILE

XXII

TEST

Data la funzione y x x 14 2= - - , si può affer-mare che:

A la variabile indipendente è y.

B la funzione è fratta.

C la funzione è intera e di sesto grado.

D la funzione è intera e di quarto grado.

E ( )y x 12 2= - .

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 1998)

Si consideri una corona circolare di raggio

esterno R e raggio interno rR3

= , e sia A la sua

area. Se il raggio esterno rimane invariato e il raggio interno raddoppia, l’area della corri-spondente corona circolare è uguale a:

A A8

5. D A

83

.

B A4

3. E A

4.

C A2

.

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2001)

Se la diagonale di un quadrato è uguale al dia-metro di un cerchio, dividendo l’area del cer-chio per l’area del quadrato si ottiene:

A 2r

. D 3r

.

B 3r

. E r.

C 2r

.


L’equazione log x41

161 = ha soluzione:

A x21

=- . D x41

= .

B x 4= . E x21

= .

C x 2= .


Una sfera con raggio di 2 cm e un cilindro cir-colare retto con raggio di base di 2 cm hanno lo stesso volume. Allora l’altezza del cilindro è di:

A 4 cm. D 38

cm.

B 32

cm. E 6 cm.

C 34

cm.


9

10

11

12

13

Il grafico dell’area A di un triangolo in funzione dell’altezza h e con base costante, è dato da:

A D

B E

C


La metà di 21 50b l è uguale a:

A 41 25b l . D

21 25b l .

B 21 51b l . E

21 49b l .

C 41 50b l .


Qual è il più piccolo tra i seguenti numeri?

A 2 10- C 10 2- E 201

B 2000

1 D

10002


Fissato nel piano un sistema di riferimento car-tesiano ortogonale Oxy, si consideri la retta r di equazione

yx

32 1

=-

+.

La retta passante per il punto di coordinate(1; 1) e perpendicolare a r ha equazione:

A yx

32 1

=+

. D yx

23 1

=-

.

B yx

32 5

=--

. E yx

23 1

=+

.

C yx

32 5

=-

.


14

15

16

17

O h

A

O h

A

O h

A

O h

A

O h

A


TESTLA MATEMATICA INDISPENSABILE

XXIII

La funzione inversa di ( )f xx

x2 3=

- è espres-

sa dall’equazione:

A xy2

3=

-. D x

y

y2 3=

-

- +.

B xy

y

2 3=

-. E x

y 23

=-

.

C xy

y3 2=

-.


Un triangolo rettangolo, avente cateti di lun-ghezza rispettivamente 1 cm e 2 cm, viene fatto ruotare di un giro completo una volta intorno al cateto minore, generando un cono C1, e una volta intorno al cateto maggiore, generando un altro cono C2. Quale delle seguenti affermazioni è esatta?

A Il volume di C1 è il doppio del volume di C2.

B Il volume di C1 è la metà del volume di C2.

C Il volume di C1 è il quadruplo del volume di C2.

D Il volume di C1 è uguale al volume di C2.

E Il volume di C1 è un quarto del volume di C2.


Data la funzione seny x= ristretta all’interval-

lo ;2 2r r

-: D, la funzione inversa è:

A x yarcsen= . D senx y=- .

B sen

xy

1= . E secx y= .

C x yarcsen=- .


Fissato nel piano un sistema di riferimento car-tesiano ortogonale Oxy, quale delle seguenti è l’equazione di una circonferenza?

A x y xy2 1 02 2+ - - =

B ( ) ( )x y1 2 1 02 2- - - - =

C x y 1 02 2+ + =

D 4 3 4x x y y5 1 02 2- + - - =

E x y 1 04 4+ - =


18

19

20

21

Due numeri hanno somma 7 e prodotto 4

45.

Quanto vale la somma dei loro quadrati?

A 2

53 B

453

C 2

37 D 104 E 44


Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette solu-zioni reali nelle incognite x e y.

2 1x y a

x y3 2

+ = -

- =*

A a 5$ D a 52

B a 12 E Ogni valore di a.

C a 1$


La curva di equazione yx

7 1=-

+ ha il gra-

fico contenuto nel:

A 1° e 3° quadrante.

B 1° e 2° quadrante.

C 2° e 3° quadrante.

D 3° e 4° quadrante.

E 1° e 4° quadrante.

(Test di Ingresso, Facoltà di Odontoiatria, MIUR 2000)

Quale fra gli insiemi seguenti rappresenta il

dominio della funzione 1ln

yx

ex

=-

?

A Insieme dei numeri reali.

B Insieme dei numeri razionali.

C 0; 1 1;, 3+5 5? ? .

D ; 03- 5? .

E Insieme vuoto.


Quale fra le seguenti funzioni ha il grafico sim-metrico rispetto all’origine degli assi?

A y xx

3315 $= -

B y x x52

2617 5 $= - +

C 7y x x 14 2= - +

D 4y x x2= + +

E 4y x x2= + +


22

23

24

25

26


LA MATEMATICA INDISPENSABILE

XXIV

TEST

Essendo x e y due variabili reali, la funzione

y x 1= -

A non è definita per 1 x 11 1- .

B è definita solo per x 1$ .

C è definita solo per x 1# .

D è sempre definita e positiva.

E è positiva in ogni punto del suo dominio.


L’equazione x x2 2 02 + + = :

A ammette due soluzioni reali distinte.

B non ammette né soluzioni reali né soluzioni complesse.

C ammette una sola soluzione reale.

D ammette due soluzioni complesse coniu-gate.

E ammette una soluzione reale e una soluzio-ne complessa.

Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, siano c e cl le due circonferenze di equazioni x y 92 2+ = e ( 1)x y 12 2- + = , rispettivamente. Quante sono le rette tangenti comuni a c e cl?

A Due. D Nessuna.

B Infinite. E Più di due, ma in numero finito.

C Una.


La retta tangente al grafico della funzione

y x3 13= -

nel punto di ascissa x31

= ha pendenza

A 3. B 31

. C 1. D 1- . E 0.

Se una funzione f(x) è definita e continua in tut-ti i punti di un intervallo chiuso [a; b], allora, per x appartenente ad [a; b]:

A f(x) assume almeno una volta tutti i valori compresi tra f(a) e f(b).

B f(x) assume una sola volta tutti i valori com-presi tra f(a) e f(b).

C f(x) non può assumere valori non compresi tra f(a) e f(b).

D f(x) si annulla in almeno un punto dell’in-tervallo [a; b].

E nessuna delle risposte precedenti è cor-retta.

27

28

29

30

31

La funzione reale di variabile reale ( )y f x= sia derivabile nel punto x0. Allora:

A f(x) è continua in x0.

B f(x0) è diversa da 0.

C il limite per x che tende a x0 di f(x) è diverso da 0.

D la tangente al grafico di f(x) nel punto x0 non è orizzontale.

E nessuna delle precedenti risposte è cor-retta.

La funzione reale di variabile reale

yxx

112

=+-

A è definita per tutti i numeri reali.

B in x 1=- ha un asintoto verticale.

C per x che tende a 1- non ammette limite finito.

D per x che tende a 1- ammette limite diver-so da 0.

E per x che tende a 3+ tende a un limite finito.

Fissato nel piano un sistema di riferimento car-tesiano ortogonale Oxy, l’insieme delle soluzio-ni (x; y) del sistema

1xy

x y

2

=)

A è formato da due soli punti.

B è una retta.

C è una coppia di semirette.

D è una semiretta.

E è un segmento.


Se la derivata della funzione reale y = f(x) nel punto x0 è nulla, allora:

A nel punto x0 la funzione f(x) ammette un massimo relativo.

B nel punto x0 la funzione f(x) ammette un minimo relativo.

C nel punto x0 la funzione f(x) è nulla.

D nel punto x0 la funzione f(x) non può ammettere né un massimo né un minimo relativi.

E nel punto x0 la tangente al grafico di f(x) è orizzontale.

32

33

34

35


LA TORRE EIFFEL È il simbolo di Parigi, uno dei monumenti più romantici e conosciuti del mondo. Fu costruita per l’Esposizione universale del 1889 in commemorazione del centenario della Rivoluzio-ne francese. La sua struttura in ferro forgiato è alta 312 metri e fino al 1930 è stata la costruzio-ne più alta del mondo.

Perché l’ingegnere Gustave Eiffel die-de alla sua opera più famosa pro-prio quella forma?

La risposta a pag. 1393

GLI INTEGRALI

MODELLI

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]19CAPI

TOLO


CAPITOLO 19. GLI INTEGRALITEORIA

1354

1. L’INTEGRALE INDEFINITO

Le primitiveSappiamo che l’operazione di derivazione, quando è possibile, associa a una fun-

zione un’altra funzione, la sua derivata, che è unica.

Vogliamo ora affrontare il problema inverso della derivazione: data una funzione,

esiste una funzione la cui derivata sia uguale alla funzione data? Per esempio, data

f(x) = 2x, ci chiediamo se esiste una funzione F(x) la cui derivata è 2x. Una funzione

di questo tipo viene detta primitiva di f(x).

DEFINIZIONE

Primitiva di una funzione

Una funzione F(x) si dice primitiva della funzione f(x) definita nell’inter-

vallo [a; b] se F(x) è derivabile in tutto [a; b] e la sua derivata è f(x).

La primitiva di una funzione non è unica. Poiché F(x) = x 2 ha come derivata 2x,

allora x 2 è una primitiva di 2x. Osserviamo però che anche x 2 + 1, x812 - e in ge-

nerale x 2 + c (con c costante reale) hanno come derivata 2x, quindi esistono infi-

nite primitive di 2x.

In generale, se una funzione f (x) ammette una primitiva F(x), allora ammette

infinite primitive del tipo F(x) + c, con c numero reale qualunque. Infatti, poiché

la derivata di una costante è nulla:

[ ( ) ] ( ) ( ),F x c F x f x cD R6 !+ = =l .

Viceversa, se due funzioni F(x) e G(x) sono primitive della stessa funzione

f (x), allora le due funzioni differiscono per una costante,

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 0F x G x F x G x f x f xD - = - = - =l l ,

e perciò

F(x) - G(x) = c.

Concludiamo quindi che:

se F(x) è una primitiva di f (x), allora le funzioni F(x) + c, con c numero reale

qualsiasi, sono tutte e sole le primitive di f (x).

� Figura 1 Ogni funzione del tipo y = x 2 + c

ha per derivata 2x, quindi è una primitiva di

y = 2x.y = x2

y = x2 + 1

y = x2 � ––18

y = x2 + c

...

y = 2x

infinite primitive

derivata

● Se F(x) = x2, alloraFl(x) = f (x) = 2x.

● Per un corollario del teorema di Lagrange, se una funzione ha come derivata 0 in un intervallo, allora, in tale intervallo, è costante.


TEORIA

1355

● Poiché tutte le primitive di una funzione f(x) sono funzioni del tipo F(x) + c, geometrica-mente sono rappresentate da infinite curve piane ottenute dal grafico di F(x) mediante una traslazione verticale di vettore v (0; c); a ogni valore di c corrisponde una curva.

L’integrale indefinitoRiprendiamo l’esempio della funzione f(x) = 2x. Diamo all’insieme delle sue primi-

tive x2 + c, con c numero reale qualunque, il nome di integrale indefinito di f(x) = 2x

e usiamo questa scrittura:

x dx x c2 2= +y .

DEFINIZIONE

Integrale indefinito

Si chiama integrale indefinito della

funzione f(x), e si indica con

( )f xy dx, l’insieme di tutte le pri-

mitive F(x) + c di f(x), con c nu-

mero reale qualunque.

Nella scrittura ( )f xy dx la funzione f(x) è detta funzione integranda e la variabile

x variabile di integrazione.

ESEMPIO

L’integrale indefinito di cos x è l’insieme delle

primitive di cos x, cioè sen x + c. Scriviamo:

cos senx dx x c= +y .

● Dalla definizione precedente, poiché

DF(x) = f (x), segue che ( ) ( )f x dx f xD =9 Cy .

Questo significa che l’integrazione indefinita agisce come operazione inversa della deriva-zione.

�f(x) dx = F(x) + c

D[F(x) + c] = f(x)

� Figura 2 Funzioni i cui grafici sono

traslati di un vettore del tipo (0; c). Tutte le

funzioni hanno la stessa derivata perché

nei punti con la stessa ascissa hanno tan-

gente parallela.

g

y

xxO

F(x)F(x) + c1F(x) + c2F(x) + c3

c1

� Figura 3

�cos x dx = sen x + c

D[senx + c] = cosx

� Figura 4 L’integrazione

di una funzione agisce come

operazione inversa della

derivazione.f(x)

derivazione

integrazione

primitivadi f’(x) f’(x) derivata

di f(x)

● La primitiva F(x) che si ottiene per c = 0 si chiama primitiva fondamentale.

● Il simbolo ( )f x dxy si

legge «integrale indefinito di f(x) in dx».

PARAGRAFO 1. L’INTEGRALE INDEFINITO



1356

Una funzione che ammette una primitiva (e quindi infinite primitive) si dice inte-

grabile.

Quali sono le funzioni integrabili? Si può dimostrare che è valido il seguente teo-

rema.

TEOREMA

Condizione sufficiente di integrabilità

Se una funzione è continua in [a; b], allora ammette primitive nello stesso

intervallo.

Tuttavia, non è sempre facile determinare primitive anche di funzioni continue

abbastanza semplici. Per esempio, l’integrale sen

xx

dxy , con x 0! , non è calco-

labile con i metodi che esamineremo in questo capitolo.

Le proprietà dell’integrale indefinito PROPRIETÀ

Prima proprietà di linearità

L’integrale indefinito di una somma di funzioni integrabili è uguale alla

somma degli integrali indefiniti delle singole funzioni:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +6 @y yy .

Infatti, se deriviamo entrambi i membri, otteniamo rispettivamente:

( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g xD + = +6: @ Dy ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g x dx f x dx g x dx f x g xD D D+ = + = +: : :D D Dyy y y .

I due membri hanno la stessa derivata, quindi rappresentano le primitive della

stessa funzione.

ESEMPIO

( )cos cos senx x dx x dx x dx x c x c3 32 2 31 2+ = + = + + +yyy .

Si è soliti scrivere una sola costante c = c1 + c2, per non appesantire la nota-

zione. Pertanto:

( )cos senx x dx x x c3 2 3+ = + +y .

PROPRIETÀ

Seconda proprietà di linearità

L’integrale del prodotto di una costante per una funzione integrabile è

uguale al prodotto della costante per l’integrale della funzione:

( ) ( )k f x dx k f x dx$ $= yy .

● Sappiamo invece che non sempre una funzione continua è derivabile. Per esempio, ci sono funzioni continue con punti ango-losi, e in tali punti non sono derivabili.

● Per brevità, useremo spesso il termine «integrale» al posto di «integrale indefi-nito».


TEORIA

1357

Infatti, se deriviamo entrambi i membri, otteniamo rispettivamente:

( ) ( )k f x dx k f xD $ $=: Dy ;

( ) ( ) ( )k f x dx k f x dx k f xDD $ $= =: :D Dy y .

I due membri hanno la stessa derivata, quindi rappresentano le primitive della

stessa funzione.

ESEMPIO

cos cos senx dx x dx x c4 4 4$= = +yy .

● Le proprietà di linearità si possono esprimere in un’unica formula:

[ ( ) ( )] ( ) ( )c f x c g x dx c f x dx c g x dx1 2 1 2+ = +y y y .

Si dice anche che l’integrale è un operatore lineare.

● Non esistono proprietà riguardanti l’integrale di un prodotto o di un quoziente di funzioni, quindi è necessario studiare per tali casi altri metodi risolutivi.

2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI

Dalle regole di derivazione delle funzioni elementari ricaviamo gli integrali inde-

finiti fondamentali.

L’integrale di x a ( )1!a -

ESEMPIO

x dxx

c3

23

= +y . Infatti, derivando, abbiamo: 3x

cx

xD3

33 3 12+ = =

-; E .

In generale:

,x dx x c1

1con1

!a

a=+

+ -aa+

y .

Infatti, derivando, abbiamo 1

( 1)Dx

c x x1

111 1$

a aa

++ =

++ =

aa a

++ -; E .

Casi particolari

• dx x c= +y ; infatti dx dx x dx x c1 0$= = = +yyy ;

• x dx x c2

2

= +y ;

• x dx x c32 3= +y ;

infatti 1+

x dx x dxx

c x c x c

21

132

322

1 21

23

3= =+

+ = + = +yy .

● Occorre ricordare sempre che

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ).

f x g x dx

f x dx g x dx

g x

f xdx

g x dx

f x dx

e$

!

!

!

y

y y

yy

y

● Per 1a =- la regola non può essere applicata, in quanto il denominatore della frazione sarebbe 0.

PARAGRAFO 2. GLI INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI



1358

Con la regola appena enunciata e le proprietà del paragrafo precedente possiamo

calcolare gli integrali delle funzioni polinomiali o di potenze della x con qualsiasi

esponente (purché diverso da - 1).

ESEMPIO

1. Calcoliamo ( )x x dx2 4 35 - +y .

Applichiamo la prima proprietà di linearità:

( )x x dx x dx x dx dx2 4 3 2 4 35 5- + = - +y yyy .

Applichiamo la seconda proprietà di linearità:

x dx x dx dx x dx x dx dx2 4 3 2 4 35 5$ $ $- + = - + =yyyyy y

2 4 3 2 3x x

x cx

x x c6 2 3

6 2 62$ $ $= - + + = - + + .

2. Calcoliamo x

dx1y .

Scriviamo

-

xx

1 1

21

21

= =

x

,

quindi:

1-

- +

xdx x dx

xc

xc x c x c

1

21

121

2 221 2

121

21

$ $= =- +

+ = + = + = +yy .

L’integrale di x1

Consideriamo ora il caso in cui l’esponente di x sia -1, cioè xx11 =- . Si ha:

lnx dx x c1= +y .

Infatti ][ln x cx

D1

+ = perché:

se , ln lnx x xx

0 D D1

2 = = ;

se 0, ( )( )

( 1)ln lnx x xx x

D D1 1

$1 = - =-

- = .

ESEMPIO

Calcoliamo x

xdx

3 22 +y .

xx

dx xx

dx3 2

322 +

= + =b lyy

3 lnx dxx

dx x x c21

23

22= + = + +yy .

● Nell’argomento del loga-ritmo utilizziamo il valore assoluto perché vogliamo avere una regola valida per

tutto il dominio di x1

e

quindi anche per valori di x negativi.


Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 5 Matematica · Il metodo di sostituzione:...

Documents

Transcript of Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 5 Matematica · Il metodo di sostituzione:...