Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 4...

1 2 3 4 5 Idee per il tuo futuro

Matematica.verdecon Maths in English

Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi

4

DERIVATE

Le derivate

Potenze di x Funzioni goniometriche

D k 0 D sen x cos x

D x a ax a 1, a ! 180sen cosx xD oo

or

D x 1 D cos x sen x

xx2

1D , 0x 2 180cos senx xD oo

or

xn x

1D nnn 1

, N0,x n2 ! 1cosx x x1D tg tg22

x x1 1D 2 ( )senx x x1 1Dcotg cotg2

2

Funzioni logaritmiche ed esponenziali Inverse delle funzioni goniometriche

D ax ax ln a, a 2 0 x x11Darctg 2

D ex ex 1x x

1Darccotg 2

,log logx x e1D a a 0x 2 1

xx

1Darcsen 2

ln x x1D , 0x 2

1x

x1Darccos 2

Le regole di derivazione

D[k $ f(x)] k $ f (x)

D[ f(x) g(x)] f (x) g (x)

D[ f(x) $ g(x)] f (x) $ g(x) f(x) $ g (x)

D[ f(x) $ g(x) $ z(x)] f (x) $ g(x) $ z(x) f(x) $ g (x) $ z(x) f(x) $ g(x) $ z (x)

D[ f(x)]a a[ f(x)]a 1 $ f (x), a ! R

( ) ( )( )

f x f xf x1D 2; E

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

g xf x

g xf x g x f x g xD 2

$ $< FD[ f(g(x))] f (z) $ g (x), con z g(x)

D[ f(g(z(x)))] f (u) $ g (t) $ z (x), con t z(x), u g(t)

[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( )( ) ( )lnf x f x g x f x f x

g x f xD ( ) ( )g x g x $< F[ ( )] ( ) , ( )f x f x x f y1D con1 1

R

4

Massimo BergaminiAnna Trifone Graziella Barozzi

Matematica.verdecon Maths in English

Copyright © 2012, 2013 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [9961]www.zanichelli.it

I diritti di elaborazione in qualsiasi forma o opera, di memorizzazione anche digitale su supporti di qualsiasi tipo (inclusi magnetici e ottici), di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche), i diritti di noleggio, di prestito e di traduzione sono riservati per tutti i paesi.L’acquisto della presente copia dell’opera non implica il trasferimento dei suddetti diritti né li esaurisce.

Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,Per le riproduzioni ad uso non personale (ad esempio: professionale, economico, commerciale,strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento strumenti di studio collettivi, come dispense e simili) l’editore potrà concedere a pagamento l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente l’autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superiore al 15% delle pagine del presente volume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate avolume. Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a

Centro Licenze e Autorizzazioni per le Riproduzioni Editoriali (CLEARedi) Corso di Porta Romana, n. 108 20122 Milano e-mail [email protected] e sito web www.clearedi.org

L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, L’editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. consultabile al sito www.zanichelli.it/f_catalog.html. La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 15%, non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo non essendo concorrenziale all’opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.dell’editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui Nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/all’art. 71 - ter legge diritto d’autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: www.zanichelli.it/fotocopie/

Realizzazione editoriale:– Coordinamento redazionale: Marinella Lombardi– Redazione: Isabella Malacari, Elena Meucci– Collaborazione redazionale: Massimo Armenzoni, Parma– Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini– Progetto grafico: Byblos, Faenza– Progetto grafico delle pagine XI-XVI: Roberto Marchetti– Composizione e impaginazione: Litoincisa, Bologna– Ricerca iconografica e realizzazione delle aperture di capitolo, di Realtà e modelli e di Maths in English: Byblos, Faenza– Disegni: Graffito, Cusano Milanino– Correzione di bozze: T2, Bologna

Contributi:– Stesura delle aperture: Daniela Cipolloni (Il prezzo giusto, Un’onda anomala,

Il percorso più breve), Daniele Gouthier (Non può fare più freddo di così!, Dall’alba al tramonto, I risultati dei sondaggi sono attendibili? Una scatola in cartone), Andrea Betti (L’inflazione)

– Stesura delle schede di Esplorazione: Fulvia Baccarani (Uno, cento, mille racconti), Chiara Ballarotti (Un limite da disastro), Chiara Manzini (La topologia dei nodi, Frattali), Elisa Menozzi (Chi è il padre del calcolo?), Stefania Varano (I chicchi e la scacchiera)

– Stesura dei testi: Daniele Cialdella (Statistica, efficacia, efficienza, qualità)– Stesura dei testi e degli esercizi del Laboratorio di matematica: Antonio Rotteglia – Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti– Revisioni dei testi e degli esercizi: Chiara Ballarotti, Silvana Calabria, Francesca Ferlin, Luca Malagoli, Elisa Menozzi, Monica Prandini– Rilettura dei testi: Marco Giusiano, Emilia Liviotti, Luca Malagoli, Francesca Anna Riccio– Risoluzione degli esercizi: Silvano Baggio, Francesco Benvenuti, Davide Bergamini, Angela Capucci, Elisa Capucci, Lisa Cecconi, Elisa Garagnani, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Cristina Imperato, Francesca Incensi, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Elisa Menozzi, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Daniele Ritelli, Elisa Targa, Ambra Tinti– Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Davide Bergamini, Cristina Bignardi, Francesco Biondi, Silvana Calabria, Lisa Cecconi, Daniele Cialdella, Chiara Cinti, Paolo Maurizio Dieghi, Daniela Favaretto, Francesca Ferlin, Rita Fortuzzi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Mario Luciani, Chiara Lugli, Francesca Lugli, Armando Magnavacca, Elisa Menozzi, Luisa Morini, Monica Prandini, Tiziana Raparelli, Laura Recine, Daniele Ritelli, Antonio Rotteglia, Giuseppe Sturiale, Renata Tolino, Maria Angela Vitali, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago, Lorenzo Zordan – Stesura dei problemi di Realtà e modelli: Daniela Boni, Maria Falivene, Nadia Moretti

Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse Inc.Excel è un marchio registrato della Microsoft CorpCabrì-Géomètre è un marchio registrato della Texas Instruments

L’intera opera è frutto del lavoro comune di Massimo Bergamini e Anna Trifone.Hanno collaborato alla realizzazione di questo volume Davide Bergamini,Enrico Bergamini e Lisa Cecconi.

Realizzazione eBook:

Coordinamento editoriale: Giulia LaffiRedazione: Valentina Franceschi, Isabella Malacari, Elena MeucciCoordinamento: Maria Chiara Montani (chiara comunicazione, Parma)Realizzazione: bSmart srlRevisione: Giulia TosettiStesura e revisione Prove di verifica: Luca MalagoliRealizzazione lezioni in Power Point: Piero Chessa

ZTE

Stesura dei feedback e inserimento: Claudia PiescoCorrezione: Francesca Incensi, Francesca Anna Riccio, Claudia PiescoRevisione: Giulia Tosetti

Videolezioni In pratica

Progettazione: Christian Biasco, Piero ChessaStesura dei testi: Anna Baccaglini-Frank, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Valentina Franceschi, Dany Maknouz, Irene Matuonto, Elena Meucci, Erika Meucci, Ivano MoschettiInterpretazione: Anna Baccaglini-Frank, Enrico Bergianti, Isabella Buono, Matteo Dalle Luche, Erika Meucci, Ivano MoschettiRevisione: Piero Chessa, Roberta Fulci, Erika MeucciRealizzazione: formicablu srl, Bologna

Videolezioni Classroom Language

Interpretazione: Jacopo CastellettiRegia: Francesco AgostiniTesti: Francesco Agostini, Eleonora AnzolaRegistrazione: studio Corrado Frignani, Parma

Maths in English e Maths TalkStesura testi, revisione e recitazione audio: Anna Baccaglini-FrankRealizzazione audio: Marco Boscolo

Copertina:– Progetto grafico: Miguel Sal & C., Bologna– Realizzazione: Roberto Marchetti– Immagine di copertina: Artwork Miguel Sal & C., Bologna

Prima edizione: gennaio 2013

L’impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 169/2008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito www.zanichelli.it, ai sensi del DM 41 dell’8 aprile 2009, All. 1/B.

Zanichelli garantisce che le risorse digitali di questo volume sotto il suo controllo saranno accessibili, a partire dall’acquisto dell’esemplare nuovo, per tutta la durata della normale utilizzazione didattica dell’opera. Passato questo periodo, alcune o tutte le risorse potrebbero non essere più accessibili o disponibili: per maggiori informazioni, leggi my.zanichelli.it/fuoricatalogo

File per diversamente abili L’editore mette a disposizione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motori o con disturbi specifici di apprendimento i file pdf in cui sono memorizzate le pagine di questo libro. Il formato del file permette l’ingrandimento dei caratteri del testo e la lettura mediante software screen reader. Le informazioni su come ottenere i file sono sul sito www.zanichelli.it/diversamenteabili

Suggerimenti e segnalazione degli erroriRealizzare un libro è un’operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L’esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Per segnalazioni o suggerimenti relativi a questo libro scrivere al seguente indirizzo:

[email protected]

Le correzioni di eventuali errori presenti nel testo sono pubblicate nel sito www.online.zanichelli.it/aggiornamenti

Zanichelli editore S.p.A. opera con sistema qualità certificato CertiCarGraf n. 477 secondo la norma UNI EN ISO 9001:2008

III

SOMMARIO

Problemi e modelli della probabilità XI

La matematica indispensabile XV

CAPITOLO 11LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ1. Le funzioni reali di variabile reale 738 767

ESPLORAZIONE Logaritmi e decibel 743

2. Le proprietà delle funzioni e la loro composizione 744 777

3. Le successioni numeriche 752 786

4. Alcuni tipi di successioni 753 787

5. Le progressioni aritmetiche 755 788

6. Le progressioni geometriche 758 791

ESPLORAZIONE I chicchi e la scacchiera 761

LABORATORIO DI MATEMATICA Le funzioni e le loro proprietà 763

■ Realtà e modelli 794

■ Verso le competenze 795

■ Didattica su misura 799

CAPITOLO 12I LIMITI1. La topologia della retta 802 840

ESPLORAZIONE La topologia dei nodi 806

2. La definizione di ( )lim f x lx x0

="

807 843

3. La definizione di ( )lim f xx x0

3="

815 847

4. La definizione di ( )lim f x lx

="3

820 849

5. La definizione di ( )lim f xx

3="3

823 852

6. Primi teoremi sui limiti 825 857

7. Il limite di una successione 829 858

8. I teoremi sui limiti delle successioni 831 860

LABORATORIO DI MATEMATICA I limiti delle funzioni 834



SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

Chi stabilisce qual è il prezzo «giusto»?

� La risposta a pag. 762

Perché il termometro non può scendere sotto lo zero assoluto?


III_VII_VER_v4_3572.indd III 20-02-2012 17:12:15

Bergamini, Trifone, Barozzi MATEMATICA.VERDE - Volume 4 © Zanichelli 2013 con Maths in English

SOMMARIO

IV

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO 13LE FUNZIONI CONTINUE E IL CALCOLO DEI LIMITI1. Le operazioni sui limiti 870 903

2. Le forme indeterminate 876 909

3. I limiti notevoli 881 915

4. Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto 883 923

5. Le funzioni continue 886 924

6. I punti di discontinuità di una funzione 889 927

ESPLORAZIONE Un limite da disastro 892

7. Gli asintoti 893 931

8. Il grafico probabile di una funzione 896 935

LABORATORIO DI MATEMATICA Le funzioni continue 898




CAPITOLO 14LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE E I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE1. La derivata di una funzione 946 987

2. La retta tangente al grafico di una funzione 951 994

3. La continuità e la derivabilità 954 998

ESPLORAZIONE Frattali 956

4. Le derivate fondamentali 957 999

5. I teoremi sul calcolo delle derivate 959 1000

6. La derivata di una funzione composta 964 1007

7. La derivata di [f(x)]g(x) 966 1011

8. La derivata della funzione inversa 968 1012

Applicazioni delle derivate alla geometria analitica 1021

9. Le derivate di ordine superiore al primo 969 1027

10. Il differenziale di una funzione 969 1028

11. I teoremi sulle funzioni derivabili 972 1031

12. Le applicazioni delle derivate alla fisica 977 1042

LABORATORIO DI MATEMATICA Le derivate 981




Come si stabilisce la potenza di un sisma?


Se l’inflazione diminuisce vuol dire che i prezzi calano?


III_VII_VER_v4_3572.indd IV 20-02-2012 17:12:16


V

SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO 15LO STUDIO DELLE FUNZIONI1. Le funzioni crescenti e decrescenti e le derivate 1052 1086

2. I massimi, i minimi e i flessi 1053 1090

3. Massimi, minimi, flessi orizzontali e derivata prima 1058 1092

4. Flessi e derivata seconda 1063 1102

5. Massimi, minimi, flessi e derivate successive 1066 1106

6. I problemi di massimo e di minimo 1069 1113

7. Lo studio di una funzione 1072 1126

ESPLORAZIONE Chi è il padre del calcolo? 1079

LABORATORIO DI MATEMATICA Lo studio delle funzioni 1081




CAPITOLO 16LE FUNZIONI DI DUE VARIABILI1. Le disequazioni in due incognite e i loro sistemi 1162 1200

2. La geometria cartesiana nello spazio 1167 1204

3. Le funzioni di due variabili 1175 1214

4. Le derivate parziali 1181 1218

5. Il differenziale 1185 1221

6. I massimi e i minimi 1187 1223

7. I massimi e i minimi vincolati 1193 1225

LABORATORIO DI MATEMATICA La geometria analitica dello spazio

con Wiris 1196



CAPITOLO 17LA STATISTICA1. I dati statistici 1234 1263

2. Gli indici di posizione centrale 1238 1264

3. Gli indici di variabilità 1242 1268

4. I rapporti statistici 1247 1271

5. L’interpolazione statistica 1249 1276

6. La dipendenza, la regressione, la correlazione 1250 1278

LABORATORIO DI MATEMATICA La regressione 1259




Come bisogna tagliare un qua-drato di cartone per avere il contenitore più capiente di tutti?


Quante ore di luce abbiamo oggi?


Quanto sono attendibili i risul-tati dei sondaggi?


III_VII_VER_v4_3572.indd V 20-02-2012 17:12:17


SOMMARIO

VI

TEORIA ESERCIZI

CAPITOLO 18IL CALCOLO COMBINATORIO E LA PROBABILITÀ1. I raggruppamenti 1290 1321

2. Le disposizioni semplici 1291 1322

3. Le disposizioni con ripetizione 1293 1324

4. Le permutazioni semplici 1294 1325

5. Le permutazioni con ripetizione 1296 1327

6. La funzione n! 1297 1328

ESPLORAZIONE Uno, cento, mille racconti 1299

7. Le combinazioni semplici 1300 1329

8. Le combinazioni con ripetizione 1301 1331

9. I coefficienti binomiali 1302 1332

10. Gli eventi 1305 1338

11. La concezione classica della probabilità 1306 1338

12. La concezione statistica della probabilità 1309 1342

13. La concezione soggettiva della probabilità 1311 1342

14. L’impostazione assiomatica della probabilità 1312 1343

LABORATORIO DI MATEMATICA Il calcolo combinatorio 1316




CAPITOLO C2COLLEGAMENTI■ LA LOGICA1. I connettivi logici C41 C49

2. Dimostrazioni e schemi di ragionamento C43 C54

3. Variabili e quantificatori C47 C56

■ L’APPROSSIMAZIONE DI UNA FUNZIONE MEDIANTE POLINOMI

1. Le formule di Taylor e Maclaurin C57 C62

2. Le serie di Taylor e Maclaurin C60 C63

■ STATISTICA, EFFICACIA, EFFICIENZA, QUALITÀ1. Il controllo della gestione di prodotti e servizi C65 C70

2. Indicatori di efficacia, efficienza e qualità C67 C71

■ LE MATRICI E I DETERMINANTI1. Le matrici C73 C82

2. Operazioni con le matrici C75 C83

3. I determinanti C79 C87

ESPLORAZIONE Il ranking di Google C81

Come fa un commesso viaggia-tore a stabilire il percorso più breve per raggiungere i suoi clienti?


III_VII_VER_v4_3572.indd VI 20-02-2012 17:12:20


VII

SOMMARIO

TEORIA ESERCIZI

MATHS IN ENGLISH1. Flatland - A Romance of Many Dimensions E2 E3

2. Great Mistakes E4 E5

3. Probability Tree Diagrams E6 E7

MATHS TALK Let’s read the equations E8

XI: fantasista/Shutterstock;

XII: Oleksiy_Mark/Shutterstock;

XIII (a): Alhovik/Shutterstock;

XIV (b): TyBy /Shutterstock;

XIV: IMaster/Shutterstock;

737 (a), 762: Francesco Ridolfi /Shutterstock;

737 (b): Artem Samokhvalov/Shutterstock;

743: Alex Nikada/iStockphoto;

794 (a): Joat/Shutterstock;

794 (b): André Klaassen/Shutterstock;

801, 833 (a): Le Loft 1911/Shutterstock;

806: Mau Horng/Shutterstock;

833 (b): Armin Rose/Shutterstock;

869, 897 (a): Carolina K. Smith, M.D. /Shutterstock; Christopher

Waters/Shutterstock;

892: Anton Bocaling, 2000;

897 (b): A.S. Zain/Shutterstock;

897 (c): Charles Richter analizza un sismogramma a Los Angeles,

1964, California. Los Angeles Times photographic archivi,

UCLA Library. Copyright Regents of the University of

California, UCLA Library;

945, 980: Zimmytws/Shutterstock; Tim Scott/Shutterstock;

956 (a): Mircea Bezergheanu/Shutterstock;

956 (b): Alexis Monnerot-Dumaine, 2007;

1044 (a): Barrawel/Shutterstock;

1044 (b): Lepas /Shutterstock;

1051, 1080 (a): GoodMood Photo/Shutterstock;

1080 (b): Daniele Weber, 2007;

1079 (c): Jamazol/Shutterstock;

1155 (a): Alexander Raths/Shutterstock;

1155 (b): Yuriy Ponomarev/Shutterstock;

1155 (c): Bereda Miroslav/Shutterstock;

1161, 1195 (a): Vasyl Helevachuk/Shutterstock, Andrei Nekrassov/Shutterstock;

1195 (b): disegno di Th omas Trojer, 2004;

1233, 1258 (a): Denis Vrublevski/Shutterstock;

1258 (b): Jose Valdislav/Shutterstock;

1258 (c): James Group Studios/iStockphoto;

1283 (a): Andresr/Shutterstock;

1283 (b): Marcel Jancovic/Shutterstock;

1283 (c): Colour/Shutterstock;

1289, 1315 (a): Bill Lawson/Shutterstock;

1299: Jerry Bauer;

1315 (b): Martin Groetschel, 1977;

1315 (c): Manfred W. Padberg e Giovanni Rinaldi, 1987;

1345 (a): Poznyakov/Shutterstock;

1345 (b): Th umb/Shutterstock;

1345 (c): Perrush/Shutterstock;

1345 (d): Rob Pitman/Shutterstock;

E1: Armagh Observatory, College Hill, Armagh, UK.

FONTI DELLE ILLUSTRAZIONI


VIII

COMPLEMENTI DI MATEMATICAQuesta tabella riassume gli argomenti che le Linee guida propongono di trattare nei diversi indirizzi.

Indichiamo con ✓ gli argomenti che sono nei volumi; con gli argomenti che sono sul sito www.online.zanichelli.it/bergaminiverde

Indirizzo

Argomento

Meccanica,

Mecca-

tronica

ed Energia

Trasporti

e Logistica

Elettronica

ed Elettro-

tecnica

Informatica

e Telecomu-

nicazioni

Grafica

e Comu-

nicazione

Chimica,

Materiali

e Biotecno-

logie

Sistema

Moda

Agraria,

Agro-

alimentare

e Agro-

industria

Costruzioni,

Ambiente

e Territorio

Numeri complessi

� Volume 3, pag. 684✓ ✓ ✓ ✓

Potenze con esponente reale

Logaritmi in base e

� Volume 3, pag. 94✓ ✓ ✓

Derivate parziali

� Volume 4, pag. 1181

� Volume 4S, pag. 1173✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Equazioni differenziali


� Volume 5S, pag. 1553✓ ✓ ✓ ✓

Integrazione definita

in applicazioni della meccanica

Integrali curvilinei

Analisi di Fourier

� Volumetto ε.verde, pag. f138✓ ✓ ✓ ✓

Metodo dei minimi quadrati

� Volume 4, pag. 1251✓ ✓

Curve utilizzate in cinematica

Coordinate logaritmiche

Coordinate polari

� Volume 3, pag. C33✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Luoghi geometrici e loro

equazioni in coordinate

cartesiane, polari e in forma

parametrica

� Volume 3, pagg. 234, 300, 368,

382, C34

✓ ✓

Rappresentazioni grafiche

nello spazio


� Volume 4S, pag. 1167

✓ ✓ ✓ ✓

Trigonometria sferica

Vettori, operazioni

e trasformazioni vettoriali

Costruzione grafica

delle coniche

VIII_X_VER_v4_3572.indd VIII 20-02-2012 17:14:30


IX

Indirizzo

Argomento

Meccanica,

Mecca-

tronica

ed Energia

Trasporti

e Logistica

Elettronica

ed Elettro-

tecnica

Informatica

e Telecomu-

nicazioni

Grafica

e Comu-

nicazione

Chimica,

Materiali

e Biotecno-

logie

Sistema

Moda

Agraria,

Agro-

alimentare

e Agro-

industria

Costruzioni,

Ambiente

e Territorio

Proprietà invarianti

per trasformazioni di figure

nel piano

Scelta in condizioni di certezza

o incertezza

Scorte

Programmazione lineare

PERT

� Volumetto X+Y.rosso,

pagg. 1178, 1195, 1242, 1349,

C33

✓

Capitalizzazione

� Volumetto R.rosso, pag. 386✓

Rendite e ammortamenti

� Volumetto R.rosso, pag. 430✓

Propagazione degli errori

di misura

� Volume 3, pag. C19✓ ✓

Poliedri

Solidi di rotazione



✓

Geometria analitica nello spazio


� Volume 4S, pag. 1167✓

Formalizzazione di problemi

mediante modelli

� Aperture di capitolo

� Realtà e modelli

✓ ✓

Modelli e metodi matematici

discreti

� Aperture di capitolo

� Realtà e modelli

✓

Popolazione e campione

Statistiche, distribuzioni

campionarie e stimatori



✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Verifica di ipotesi


� Volume 5S, pag. 1704✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

Efficacia di un prodotto

o di un servizio

Controllo di qualità

� Volume 4, pag. C65


✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

VIII_X_VER_v4_3572.indd IX 20-02-2012 17:14:30


X

ICONE DELLE COMPETENZE

METODI

Utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente

informazioni qualitative e quantitative.

PROBLEMI

Utilizzare le strategie del pensiero razionale negli aspetti dialettici e algoritmici per affrontare situazioni

problematiche, elaborando opportune soluzioni.

MODELLI

Utilizzare i concetti e i modelli delle scienze sperimentali per investigare fenomeni sociali e naturali e per

interpretare dati.

STRUMENTI

Utilizzare le reti e gli strumenti informatici nelle attività di studio, ricerca e approfondimento disciplinare.

STORIA

Correlare la conoscenza storica generale agli sviluppi delle scienze, delle tecnologie e delle tecniche negli

specifici campi professionali di riferimento.

Le Linee guida per gli Istituti Tecnici e Professionali sottolineano alcune competenze importanti al cui

raggiungimento concorre la matematica.

Nel libro, abbiamo indicato con icone alcune sezioni che possono essere utilizzate per il raggiungimento di tali

competenze. Di seguito indichiamo, per ogni icona, la competenza associata.

VIII_X_VER_v4_3572.indd X 20-02-2012 17:14:30


?

XI

Partendo dalle scommesse

@@@IMMAGINE ALLEGATA@@@

Ecco alcuni problemi legati al gioco da cui iniziò l’interesse dei matematici per lo

studio di fenomeni casuali.

I dadi di Firenze Perché nel lancio di tre dadi è più vantaggioso puntare sull’usci-

ta di un 10 invece che sull’uscita di un 9?

Il fenomeno era stato osservato da scommettitori fiorentini e fu spiegato da Ga-

lileo.

Il problema del Cavaliere di Méré Perché se si lanciano 24 volte due dadi per ot-

tenere almeno un 12 (ossia due 6) si ha una probabilità di vincere che è minore

di quella che si ha quando si lancia 4 volte un dado per ottenere almeno un 6?

Basandosi sulle sue osservazioni, il Cavaliere di Méré, accanito giocatore, pose il

problema a Pascal. Nel 1657 Christiaan Huygens, nel suo De ratiociniis in ludo

aleae (Sui ragionamenti nel gioco dei dadi), ispirandosi alla corrispondenza che

Pascal ebbe con Fermat per risolvere il problema, calcolò che la probabilità di

vincere puntando sull’uscita di almeno un 6 su 4 lanci di un dado è leggermente

maggiore di 21

, mentre con 24 lanci di due dadi è di poco minore di 21.

Problemi e modelli della probabilità

Il calcolo della probabilità: una matematica nata dai giochi d’azzardo. Ma la Natura gioca a dadi?

Tentare la fortuna

È attribuita a Tacito la frase:

«La speranza di diventare ricchi è una delle più diffuse cau-se di povertà».

Il calcolo della probabilità nacque da alcuni problemi che i giocatori d’az-zardo posero ai matematici, nella speranza di trarne vantaggio; oggi può farci capire, in modo razionale, che con il gioco accanito non ci si arricchi-sce, ma piuttosto si può cadere in disgrazia.

Per esempio, nel gioco del lotto non ha senso puntare somme sempre più ingenti su numeri «ritardatari», perché ogni estrazione non dipende dalle precedenti. Il matematico Vinicio Villani ha persino proposto che si affi g-gano in tutte le ricevitorie del lotto avvertenze del tipo:

«Diffi date da chiunque vi proponga un metodo sicuro per vincere al lotto».

XI_XIV_VER_v4_3752.indd XI 20-02-2012 17:15:28



XII

● Fra probabilità e statisticaIl Cavaliere di Méré e i giocatori fiorentini avevano basato le loro domande

sull’esperienza, osservando la frequenza delle uscite di particolari eventi. Era un

approccio alla probabilità che in seguito si rivelò decisamente fertile.

Il primo matematico a occuparsene è stato Jakob Bernoulli, il cui manuale, Ars

conjectandi, pubblicato nel 1713, può essere considerato come il primo trattato

di probabilità veramente importante.

L’approccio frequentista è poi diventato fondamentale nelle attività legate alle as-

sicurazioni, in particolare quelle per calcolare le polizze assicurative che stanno

alla base, per esempio, dei sistemi pensionistici e per le quali è necessario cono-

scere l’aspettativa di vita al variare dell’età. John Graunt fornì nel 1662 le prime

tavole di speranza di vita, calcolate a partire da dati provenienti dal registro delle

morti che venne pubblicato a Londra a partire dal 1603.

Oggi ci sono polizze che assicurano contro eventi di svariati tipi (morte, inciden-

ti d’auto, grandine, perdita di bagagli, …): si basano proprio su indagini statisti-

che e sul calcolo della probabilità.

● Applicazioni socialiNel mondo moderno le applicazioni del calcolo delle probabilità sono presenti in

ogni campo della scienza, dall’economia, alla fisica, alla biologia, alla tecnologia.

Per fare un esempio, ecco un problema in campo medico.

Attività Positivo al test! Per avere informazioni sulla diffusione di una malattia, si fanno test diagnostici non invasivi e poco costosi, ottenendo una prima informazione, da sottoporre a verifi che più approfondite nei casi di esito positivo.Supponiamo che si sappia che la probabilità che il test funzioni correttamente nel caso di indi-vidui malati (ossia risulti positivo) sia del 99%, mentre quella che il test funzioni correttamente nel caso di individui sani (ossia risulti negativo) sia del 99,5%. Se si sa anche che la probabilità di avere quella malattia è dello 0,5%, qual è la probabilità che un individuo positivo al test sia davvero malato?

Un modello probabilistico

Una questione di tempi

Il decadimento radioattivo è il fenomeno in cui i nuclei instabili di alcuni elementi chimici si trasformano, mediante emissione di particelle e radiazio-ni, in altri nuclei che a loro volta possono essere stabili o radioattivi.

Il decadimento avviene spesso in tempi molto lunghi. Per descriverne la durata si utilizza il tempo di dimezzamento, ossia il tempo necessario affi nché decada la metà degli atomi di un campione radioattivo. Le scorie radioattive, generate come scarti da un reattore nucleare a fi ssione, con-tengono vari tipi di nuclei che hanno tempi di dimezzamento lunghissimi e sono altamente pericolose per l’uomo. Per questo è necessario metterle in sicurezza in particolari siti e il tempo di stoccaggio da prevedere può arrivare fi no ad alcune centinaia di migliaia di anni.

n-o altamente siti e il tempo di stoccaggio

XI_XIV_VER_v4_3752.indd XII 20-02-2012 17:15:31


XIII

● Nuclei e dadi Consideriamo un numero n molto grande di nuclei di una sostanza radioattiva.

Vogliamo studiare mediante un modello come varia tale numero nel tempo.

Il fenomeno può essere simulato pensando di associare a ogni nucleo un dado e

stabilendo che, dopo ogni lancio simultaneo di n dadi (che rappresentano il nu-

mero di nuclei della sostanza radioattiva), vengano eliminati tutti quelli che pre-

sentano una determinata faccia, per esempio la faccia contrasse-

gnata con il numero 1.

La probabilità che ha un dado di essere eliminato dipende dal

numero di facce del dado stesso: nel caso di dado a sei facce è 16.

Ogni lancio rappresenta un intervallo di tempo di ampiezza Dt. Il

decadimento dei nuclei della sostanza radioattiva in ogni interval-

lo di tempo Dt viene quindi simulato dall’eliminazione, dopo ogni

lancio, dei dadi contrassegnati con la faccia 1.

È possibile allora compilare una tabella che dopo ogni lancio in-

dichi il numero di dadi rimasti, ossia che indichi il numero di

atomi rimasti al variare del tempo.

Attività Per costruire un foglio elettronico che esegua la simulazione descritta sopra puoi considerare uguale a 600 il numero di dadi iniziali e andare avanti fi no a che il numero di dadi rimasti sia minore di 50. Ecco alcune indicazioni per la realizzazione.

● Se usi Excel, l’istruzione che consente di generare un numero intero casuale da 1 a 6 è:

=INT(CASUALE()*6+1).

CASUALE() genera un numero casuale nell’intervallo [0; 1[ ; prendendo la parte intera della somma tra 1 e il prodotto per 6 di tale numero si ottiene un numero intero maggiore o uguale a 1 e minore o uguale a 6.

● Copiando la formula fi no alla cella A600 si hanno i 600 numeri casuali desiderati.● C’è però un problema: una qualunque azione effettuata in Excel provoca un aggiornamen-

to della funzione casuale che porta a un cambiamento della lista dei 600 numeri casuali generati, come se avvenisse un nuovo lancio dei 600 dadi. Allo scopo di evitare questo in-conveniente si può selezionare la colonna dove si trovano i numeri casuali (in questo caso la colonna A), copiarla e, posizionandosi nella cella B1, incollarla con la funzione INCOLLA SPECIALE avendo l’attenzione di spuntare la voce Valori e poi dare OK. In questo modo la lista dei 600 numeri non cambia più (e a questo punto è possibile eliminare la colonna A ormai inutile).

● Per simulare il decadimento radioattivo, si tratta di far contare al foglio elettronico i numeri uguali a 1. Questo può essere fatto con la funzione CONTA.SE, precisando nel primo argo-mento la zona di foglio da prendere in considerazione (nel nostro caso da A1 ad A600) e nel secondo argomento il numero di cui calcolare la frequenza assoluta (nel nostro caso 1):

=CONTA.SE(A1:A600;1).

La funzione restituisce quanti 1 sono presenti e quindi fornisce il numero Dn di nuclei deca-duti.

● Ora devi proseguire simulando il lancio di (600 - Dn) dadi, con lo stesso procedimento di prima, e continuare poi allo stesso modo fi no a ottenere un numero di dadi inferiore a 50.

● Infi ne riporta in una tabella il numero del lancio t, il numero Dn di dadi decaduti e il numero n di dadi rimasti e fai disegnare a Excel il grafi co della funzione n(t).

� Tabella 1 Una tabella ot-tenuta con la simulazione del lancio di 600 dadi.

t �n n

0 0 600

1 94 506

2 80 426

3 76 350

4 59 291

5 45 246

6 47 199

7 29 170

8 36 134

9 22 112

10 15 97

11 8 89

12 17 72

13 17 55

14 11 44

XI_XIV_VER_v4_3752.indd XIII 20-02-2012 17:15:39



XIV

AttivitàLa nascita del concetto di probabilità. Approfondisci questo tema e sintetizza i risultati della tua ricerca in una presentazione multimediale.

Da leggere:

● Keith Devlin , La lettera di Pascal. Storia dell’equazione che ha fondato la teoria della probabili-tà, Rizzoli, 2008;

● Carla Rossi, La matematica dell’incertezza, Zanichelli, 1999.

Cerca nel Web:

probabilità storia, Aristotele, dadi astragali giochi aleatori, gioco zara

Probabilità e particelle

Nel 1820 Pierre Simon de Laplace, nel suo Théorie analytique des probabilités, scri-veva:

«Noi dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato fu-turo. Un’intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze di cui è animata la na-tura […] abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e dell’atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l’avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi».

Laplace riteneva che il calcolo delle probabilità fosse utile in tutte quelle situazioni in cui è difficile ottenere informazioni molto precise sulle grandez-ze in gioco, ma che sarebbe possibile conoscere con esattezza posizione e velocità di ogni singola particella dell’universo. Nel 1927 Werner Heisenberg enunciava il principio di indeterminazione, affermando che il prodotto delle in-certezze di due grandezze coniugate (per esempio, posizione e quantità di moto) non può essere minore del rapporto fra la costante di Planck e 2r. Nel mondo macroscopico gli effetti di questo principio sono irrilevanti, perché la costante di Planck è molto piccola. Nel mondo atomico e subatomico, invece, le conseguenze sono significative e sorprendenti. Per esem-pio, affermare che non è possibile conoscere con la precisione voluta sia la quantità di moto sia la posizione di una particella, implica che perde significato il concetto di traiettoria. Non ha quindi senso parlare di traiettoria di un elettrone, ma solo di probabilità di trovare l’elettrone in una determinata posizione. A differenza di ciò che affermava Laplace, l’approccio probabilistico non è allora un utile stratagemma per ovviare alla nostra ignoranza, ma una necessità per comprendere la natura del mondo.

XI_XIV_VER_v4_3752.indd XIV 20-02-2012 17:15:57


TESTLA MATEMATICA INDISPENSABILE

XV

LA MATEMATICA INDISPENSABILEanche per entrare all’Università

La compagnia telefonica A calcola il prezzo di ogni telefonata sommando a una quota fissa (scatto alla risposta) di euro 0,15 una tariffazio-ne di 1/4 di centesimo al secondo. La compa-gnia B, invece, fa pagare una quota fissa (scatto alla risposta) pari a euro 0,25 e poi 1/5 di cente-simo al secondo. Qual è la massima durata al di sotto della quale una telefonata risulta meno costosa se effettuata con la compagnia A?

A 3 minuti e 20 secondi

B 3 minuti e 30 secondi

C 2 minuti e 20 secondi

D 2 minuti e 40 secondi

E 3 minuti esatti

(Test di Ingresso, Facoltà di Architettura, MIUR 2008)

Tutte le soluzioni della disequazione xx

32 7

21-+

sono date dall’intervallo:

A 3x 1 . D x25

25

1 1- .

B 3x251 1- . E x

25

1 .

C 3x # .


La sommità di un palo verticale rettilineo di altezza 6 m è collegata con un punto del terreno per mezzo di una fune tesa, in modo che questa formi con la direzione orizzontale un angolo di 30o . Qual è la lunghezza della fune?

A 12 m D 6 2 m

B 18 m E 6 3 m

C 15 m


Sia x un numero reale positivo. Allora 5 log x103

è uguale a:

A 3 log x105 . D 5( 3)log x10 + .

B 5( )log x103. E 8 log x10 .

C 5 log x310 .


1

2

3

4

L’ombra di un campanile è lunga la metà della sua altezza. Detta a la misura dell’angolo for-mato dal Sole sull’orizzonte in quel momento, si può dire che:

A 45 60o o1# a D è notte.

B 60o # a E 03 45o o1# a

C 03 o1a

(Test di Ingresso, Facoltà di Ingegneria, CISIA 2006)

Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, consideriamo le circonferenze c di centro ( );O 0 0= e raggio 2, e cl di centro Ol e raggio 3. Le circonferenze c e cl si interse-cano in due punti. Tra i seguenti punti, quale può essere Ol?

A ( );4 4- - D ;3

113

11b l B (3; 4) E ( );5 2-

C ;129b l


Lanciando tre volte una moneta non truccata, qual è la probabilità che escano tre croci?

A 0 B 0,3 C 83

D 81

E 38

(Test di Ingresso, Facoltà di Veterinaria, MIUR 2000)

Si considerino le seguenti tre espressioni nume-riche:

1) [ ( )]log s ne 262 r ;

2) [ (26 )]log cos2 r ;

3) [ (26 )]log tg2 r .

Allora:

A la 1) ha significato e la 2) non ha signi-ficato.

B la 1) ha significato e la 3) non ha signi-ficato.

C la 1) e la 2) sono entrambe prive di signi-ficato.

D la 1) non ha significato e la 2) ha signi-ficato.

E la 1) e la 2) hanno entrambe significato.


5

6

7

8

Dati, informazioni e consigli sull’Università e il mondo del lavoro nel sito: www.ideeperiltuofuturo.it

XV_XVI_VER_v4_3252.indd XV 20-02-2012 17:16:59


LA MATEMATICA INDISPENSABILE

XVI

TEST

La condizione cui deve soddisfare il parametro k affinché l’equazione s ne x k4 3= abbia solu-zione è:

A k34

$-

B k34

34

# #- .

C k34

!= .


La disequazione x x3 4# è verificata se e solo se:

A x 0# oppure x 1$ .

B x 1$ .

C x 1#- oppure x 1$ .

D x 0$ .

E x è un numero reale qualunque.


Quale dei seguenti numeri ha logaritmo in base 10 strettamente compreso fra 5 e 7?

A 10 102 4+ D 10 107 4-

B 10 6- - E 10 6-

C 12 345


A parità di perimetro, quale dei seguenti poligo-ni ha l’area massima?

A Un rettangolo con un lato quadruplo del-l’altro.

B Un triangolo equilatero.

C Un esagono regolare.

D Un quadrato.

E Un ottagono regolare.


Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordi-nate (x; y) soddisfano l’equazione

x y 12 2- =

è costituito da:

A un’iperbole.

B una coppia di iperboli.

C una coppia di circonferenze.

D una circonferenza.

E una coppia di rette.


9

10

11

12

13

Indicare tutti e soli i valori del parametro reale a per i quali il seguente sistema ammette solu-zioni reali nelle incognite x e y.

2 3 a

2 3 1

x y

x y

+ =

- =)

A a 12 D a 1$-

B a 1$ E Ogni valore di a.

C a 12-

(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia,

MIUR 2008)

È data l’equazione 3 81x2= . L’insieme di tutte

le sue soluzioni reali è:

A {2}.

B ,2 2- +! +. C ,log log27 273 3- +" ,. D log 273+" ,. E ,ln ln

21

2721

27- +& 0.(Test di Ingresso, Facoltà di Medicina e Chirurgia,

MIUR 2007)

Determinare i valori del parametro reale a (se esistono) per i quali le seguenti rette r e s risul-tano perpendicolari:

( ):r a x a y a4 2 02 + - + + = ,

:s x y a2 3 9 0- + = .

A Per nessun valore di a.

B Per a 1= .

C Per a 1= .

D Per ogni valore di a diverso sia da 0 che da 4.

E Per 3 a 21 1- .


MIUR 2006)

La curva di equazione x y 03 32 =+ - :

A È una parabola con il vertice nel punto ( );3 0 .

B È una parabola con il vertice nel punto ( );0 3 .

C Non interseca la curva x y 3 02 2+ - = .

D Interseca la retta y x 3= - in due punti.

E È una circonferenza con centro sull’asse delle ordinate.


MIUR 2004)

14

15

16

17

. D k34

# .

E non c’è nessuna limi-tazione ai valori di k.

XV_XVI_VER_v4_3252.indd XVI 20-02-2012 17:17:00


LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

IL PREZZO GIUSTO Ogni volta che acquistiamo un prodotto o un servizio, paghiamo

in cambio una certa cifra di denaro.

Chi stabilisce qual è il prezzo «giusto»?

La risposta a pag. 762

MODELLI

11CAPI

TOLO

[numerazione cinese][numerazione devanagari][numerazione araba]


CAPITOLO 11. LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀTEORIA

738

1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Che cosa sono le funzioni

DEFINIZIONE

Funzione

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione da A a B è una

relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale

di B.

Indichiamo una funzione con una lettera minuscola (per esempio f ) e con la

seguente notazione:

:f A B" ,

che si legge: «f è una funzione da A a B».

Se a x A! la funzione f associa By ! , diciamo che y è immagine di x mediante

f e scriviamo:

7: yf x oppure ( )f xy = ,

che si legge «y uguale a f di x».

A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre il

sottoinsieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codomi-

nio.

ESEMPIO

La funzione f� R " R, descritta dalla legge matematica

7x x23

3- + oppure xy23

3=- + ,

associa a ogni valore di x uno e un solo valore di y. Per esempio, per x 4= si ha

y23

3 34$=- + =- .

x è detta variabile indipendente, y variabile dipendente. Spesso, come nell’esem-

pio, una funzione è assegnata mediante un’espressione ana litica, ossia mediante

una formula matematica.

Una funzione può essere anche indicata con un’espressione del tipo f (x; y) = 0, detta forma implicita, mentre y = f (x) è detta forma esplicita. Per esempio, la fun-

zione 3x + 2y - 6 = 0 è la forma implicita di y x23

3=- + .

Esistono funzioni, dette funzioni definite per casi, date da espressioni analitiche

diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.

● Richiamiamo il concetto di funzione limitandoci a considerare le funzioni reali di variabile reale.

● A viene anche detto insieme di partenza e B insieme di arrivo.

● Quando non precise-remo il dominio di una fun-zione, lo considereremo coincidente con R.

● In una funzioney = f (x), x è detta controimmagine di y.

● Queste funzioni vengono anche dette funzioni defi-nite a tratti.


TEORIA

739

ESEMPIO

La funzione valore assoluto è definita nel seguente modo:

y xx x

x x

0

0

se

se 1

$= =

-'

Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l’insieme dei punti

P(x ; y) del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f, ossia dei punti

del tipo P(x ; f (x)). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si

determinano mettendo a sistema l’equazione della funzione con y = 0 (equazione

dell’asse x) o con x = 0 (equazione dell’asse y).

La classificazione delle funzioniLe funzioni esprimibili analiticamente possono essere distinte in funzioni algebri-

che e funzioni trascendenti.

La funzione è algebrica se l’espressione analitica y = f (x) che la descrive contiene

soltanto, nella variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione,

divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice.

Una funzione algebrica può essere:

• razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in par-

ticolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x, la funzione si

dice lineare; se il polinomio in x è di secondo grado, la funzione è detta qua-

dratica;

• razionale fratta se è espressa me-

diante quozienti di polinomi;

• irrazionale se la variabile indipenden-

te x compare sotto il segno di radice.

Se una funzione non è algebrica, si dice

trascendente.

Per una funzione algebrica viene definito il grado della funzione, che è il grado del

polinomio P(x; y), in x e y, che compare nell’espressione analitica in forma impli-

cita della funzione P(x; y) = 0.

● Il grafico di una funzione lineare è una retta, mentre quello di una funzione qua-dratica è una parabola.

� Figura 1

� Figura 2 La classificazione

delle funzioni reali di varia-

bile reale della forma y= f (x)

e alcuni esempi.

y = 5x − 7

algebrichey = ex, y = sen x

y = √⎯⎯⎯⎯ x + 1

FUNZIONI

trascendenti

irrazionalirazionali

fratteintere2x − 1y = ———3x + 2

a. Il grafico di y = – — x + 3.32

y = – —x + 332

O

y

x

y = |x|

y = { x se x ≥ 0–x se x < 0

b. La funzione valore assoluto.

y

xO 1 2

3

2

1

PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE



740

ESEMPIO

La funzione yx

x 12=

- in forma implicita diventa

x y x 1 02 - + = ,

quindi il suo grado è 3.

Il dominio di una funzionee lo studio del segno

Spesso di una funzione si considera come dominio il sottoinsieme più ampio di R

in cui la funzione può essere definita. In questo caso si parla di dominio naturale

o campo di esistenza della funzione.

ESEMPIO

La funzione

4y x2= -

ha come dominio naturale l’insieme dei valori x per i quali il radicando del-

l’espressione a secondo membro è positivo o nullo, ossia x # - 2 0 x $ 2.

Scriviamo sinteticamente:

x xD 2 2: 0# $- .

Domini delle principali funzioni

Funzione Dominio naturale

Funzioni razionali intere:

y a x a x an nn0 1

1 f= + + +- R

Funzioni razionali fratte:

( )( )

( )yQ xP x

P Qe polinomi= R esclusi i valori che annullano Q(x)

Funzioni irrazionali:

( )y f xn=( ) ,x f x 0R! $# - se n è pari

dominio di f(x), se n è dispari

Funzioni logaritmiche:

( ) ,logy f x a a0 1a 2 != ( ) 0x f xR 2!# -Funzioni esponenziali:

,y a a a0 1( )f x 2 != dominio di f(x)

Funzioni goniometriche:

,sen cosy x y x= =

y xtg=

y xcotg=

, arccosy x y xarcsen= =

,y x y xarctg arccotg= =

R

k2

Rr

r- +& 0kR r- ! +

[ ; ]1 1-

R

● Abitualmente il termine dominio viene anche usato come sinonimo di dominio naturale, in quanto è usuale considerare il dominio naturale come dominio per una funzione.


TEORIA

741

È possibile anche studiare il segno di una funzione y = f (x), ossia cercare per

quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, per quali è nega-

tivo, per quali è nullo.

● I grafici di alcune funzioni

La funzione lineare La funzione quadratica

m = tgα

α

y = mx + q

O

q

y

x

y = ax2 + bx + c

O

y

x

V (– —; – ————)b2a

b2 – 4ac4a

c

La funzione esponenziale La funzione logaritmica

x

y

O

1y = ax

(a > 1)

x

y

O

1

y = ax

(0 < a < 1)

x

y

O 1

y = logax (a > 1)

x

y

O 1

y = logax (0 < a < 1)

La funzione seno La funzione coseno

y = sen x

xO

y

2π

1

1

2πO

y

x

y = cos x

La funzione tangente La funzione cotangente

2π

y = tg x

O x

y

π2— π 3

2—ππ

2– —

O x

y

π2— π 3

2—π 2π

y = cotg x

PARAGRAFO 1. LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

● Per esempio, la funzione y = 2x - 6 risulta positiva per x 2 3, nulla per x = 3, negativa per x 1 3.



742

● I grafici delle funzioni e le trasformazioni geometriche

Le traslazioni

y = f(x − a) + b

y

x

y = f(x)

a

b

O

c. Traslazione di vettore (a; b).a. Traslazione di vettore paralleloall’asse x.

b. Traslazione di vettore paralleloall’asse y.

y

xO

a

y = f(x − a)

y = f(x)

P P'

y

xO

b

y = f(x) + b

y = f(x)

P

P'v"

v"

Le simmetrie

a. Simmetria rispetto all’asse x. b. Simmetria rispetto all’asse y. c. Simmetria centrale rispetto a O.

y = − f(x)

y

x

P

P'

y = f(x)

O

y = f(−x)

y

xO

P' P

y = f(x)

y = − f(−x)

y

x

P'

O

P

y = f(x)

x

y = f(⏐x⏐)

y = f(x)

y

OxO

y

y = ⏐f(x)⏐

y = f(x)

d. Simmetria rispetto all’asse x delle parti del grafico diy = f(x), con y < 0.

e. Per x ≥ 0 il grafico è lo stesso di y = f(x), per x < 0 ilgrafico è il simmetrico rispetto all’asse y di quello chey = f(x) ha per x > 0.

Le dilatazioni

n < 1

a. Dilatazione orizzontale. b. Contrazione orizzontale.

y

xO

y

xO

y

xO

y = nf(x)

y = f(x)

y

xOy = nf(x)

y = f(x)

y = f(x)

y = f�—�xm

m > 1

y = f(x)

m < 1 n > 1

c. Dilatazione verticale. d. Contrazione verticale.

y = f�—�xm

IN PRATICA� Videolezione 39


TEORIA

743

Le scale logaritmicheSono utili per misurare grandezze che variano molto rapidamente, perché permettono di «comprimere» su un intervallo più piccolo i possibili valori di una grandezza (per esempio l’intensità di un suono), ren-dendoli più facili da trattare.

Inoltre, usando i logaritmi, riusciamo a trasformare una dipendenza non lineare in una lineare. Suppo-niamo che una grandezza y dipenda da una grandez-za x secondo la legge

y = ax2,

dove a è una costante positiva. Il grafico di questa leg-ge è una parabola. Passando ai logaritmi e applicando le loro proprietà, otteniamo:

log y = log (ax2) " log y = log a + 2 log x.

Il grafico di questa legge (se consideriamo log x e log y come nuove variabili) è una retta: le due quan-tità dipendono l’una dall’altra in modo lineare.

I decibelIl timpano è una membrana che reagisce a variazioni di pressione. Il suono è un’onda che propagandosi nell’aria produce queste variazioni. L’intensità effet-tiva di un suono è l’energia associata all’onda sono-ra che attraversa un’unità di superficie nell’unità di tempo e si esprime in watt/metro2 (W/m2). Il campo di udibilità è un intervallo di intensità sonore il cui

Cerca nel Web:

logaritmi applicazioni, pH definizione, scala Richter, magnitudo

0 1 2 3 4 5

01 10

log x

x

ESPLORAZIONE

Logaritmi e decibel

ESPLORAZIONE LOGARITMI E DECIBEL

Attività● Fai una ricerca su altre applicazioni della funzione logaritmo.

limite inferiore, o soglia del silenzio, vale 10-12 W/m2 e corrisponde all’incirca al rumore provocato da una zanzara a 3 metri di distanza. La soglia del dolore è invece il limite superiore dell’intervallo. Vale 1 W/m2 ed è la massima intensità sonora che siamo in grado di sopportare: andando oltre, al suono si sostituisce una sensazione di dolore.Il campo di udibilità occupa 12 ordini di grandezza, quindi è comodo rappresentarlo con una scala loga-ritmica. In questa scala l’unità di misura è il decibel (dB). Il livello di intensità percepita IdB misuratoin dB è legato all’intensità effettiva I di un suono in W/m2 da una relazione logaritmica:

logIII

100

dB = ,

dove I0 è la soglia del silenzio (presa come riferimen-to) a cui è attribuito il valore di 0 dB. Questo implica che a una piccola differenza (per esempio 10 dB) tra il livello di intensità di due suoni percepiti, come il fruscio del vento tra le foglie e un mormorio, corri-sponda una grande differenza (di un fattore 10) tra le intensità effettive.

MODELLI

STRUMENTI



744

2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONIE LA LORO COMPOSIZIONE

Le funzioni iniettive, suriettive e biiettive DEFINIZIONE

Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca)

Una funzione da A a B si dice:

• iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;

• suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;

• biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva.

ESEMPIO

+1

3

–1

4

y

xO 2

3

y

xOy = – x2 + 4

a. La funzione y = 2x – 1 è sia iniettivasia suriettiva perché a ogni valorescelto sull’asse y corrisponde un valore(suriettiva) e un solo (iniettiva) valoresull’asse x. La funzione è quindibiiettiva.

b. La funzione y = – x2 + 4 è suriettivase si considera come insieme Bquello degli y tali che y ≤ 4, ma non èiniettiva perché, scelto nel codominioun y diverso da 4, esso è l’immaginedi due valori distinti di x.

–112—

y = 2x – 1

Le funzioni crescenti, le funzioni decrescenti, le funzioni monotòne

DEFINIZIONE

Funzione crescente

Una funzione y = f (x) di dominio

D 3 R si dice crescente in senso

stretto in un intervallo I, sottoinsie-

me di D, se comunque scelti x1 e x2

appartenenti a I, con x1 1 x2, risulta

f (x1) 1 f (x2).

y

xDx1 x2

f(x2)f(x1)

I

f(x1) < f(x2)

f: D " � D ⊆ �

⇒I ⊆ D

x1 < x2∀ x1, x2 ∈ I,

● In modo equivalente, possiamo dire che una fun-zione è iniettiva se a ele-menti distinti di A corri-spondono elementi distinti di B, ossia

x1 ! x2 & f (x1) ! f (x2).

� Figura 3


TEORIA

745

ESEMPIO

La funzione y = x 2 - 4 è crescente nell’intervallo I = [0; + �[ .

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x 1) 1 f (x 2) con

f (x 1) # f (x 2), otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato, o

anche non decrescente.

ESEMPIO

La funzione

( )y f x

x x

x

x x

1

1 1

2 3

3

se

se

se

1 1

#

$

= =

-

*è crescente in senso lato in R (figura 5).

DEFINIZIONE

Funzione decrescente

Una funzione y = f (x) di dominio

D 3 R si dice decrescente in senso

stretto in un intervallo I, sottoinsie-

me di D, se comunque scelti x1 e x2

appartenenti a I, con x1 1 x2, risulta

f (x1) 2 f (x2).

Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f (x 1) 2 f (x 2) con

f (x 1) $ f (x 2), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o

anche non crescente.

In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiun-

gere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto.

DEFINIZIONE

Funzione monotòna

Una funzione di dominio D 3 R

si dice monotòna in senso stretto

in un intervallo I, sottoinsieme di

D, se in quell’intervallo è sempre

crescente o sempre decrescente in

senso stretto.

y

xDx1 x2

f(x2)

f(x1)

I

f(x1) > f(x2)

f: D " � D ⊆ �

⇒I ⊆ D

x1 < x2∀ x1, x2 ∈ I,

FUNZIONECRESCENTE

FUNZIONE MONOTÒNA

FUNZIONEDECRESCENTE

● Si può anche dire che la funzione è debolmente cre-scente.

● In questo caso la funzione si può anche dire debol-mente decrescente.

● Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato.

� Figura 5 Un esempio di

funzione crescente in senso

lato in R.

� Figura 4 Un esempio di funzione crescente

per x $ 0.

PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

y

O x

−4

2−2

y = x2 − 4

I = [0; +�[

y

xy = x

31

1y = 1

I = ] −�; +� [ = �

y = x − 2



746

Una funzione f monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. Infatti, se f è

monotòna in senso stretto, allora per ogni x1 ! x2 si ha f (x1) 1 f (x2) oppuref (x1) 2 f (x2); quindi risulta f (x1) ! f (x2), cioè f è iniettiva.

ESEMPIO

La funzione seny x= è monotòna in senso stretto nell’intervallo 2

;2

r r-; E

e in tale intervallo è iniettiva. Invece, la stessa funzione non è monotòna in

0; r6 @, dove non è iniettiva.

Le funzioni periodiche DEFINIZIONE

Funzione periodica

Una funzione y = f (x) si dice pe-

riodica di periodo T, con T 2 0, se, per qualsiasi numero k intero,

si ha:

f (x) = f (x + kT).

In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo.

ESEMPIO

y = sen x e y = cos x sono funzioni periodiche di periodo 2r .

y = tg x e y = cotg x sono funzioni periodiche di periodo r.

Le funzioni pari e le funzioni dispari DEFINIZIONE

Funzione pari

Indichiamo con D un sottoinsie-

me di R tale che, se x ! D, allora

- x ! D. Una funzione y = f (x) si

dice pari in D se f (- x) = f (x) per qualunque x appartenente a D.

ESEMPIO

La funzione y = f (x) = 2x 4 - 1 è pari perché, sostituendo a x il suo opposto

- x , si ottiene ancora f (x):

f (- x) = 2(- x)4 - 1 = 2x 4 - 1 = f (x).

In generale, se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente sol-

tanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.

Verifica invece che la funzione y = f (x) = 2x 4 - x non è pari perché, sostituendo

a x il suo opposto - x, non si ottiene f (x).

f(x)x

y

f(x) = f(x + kT), ∀ k ∈ �

xT

x + Tf(x + T)

f(−x) = f(x)

f: D " � D ⊆ �

∀ x, −x ∈ D ⇒

● Se f è periodica di periodo T, allora non è iniettiva, perché x ex + kT hanno la stessa immagine.

● Se una funzione è perio-dica di periodo T, essa lo è anche di periodo 2T, 3T, 4T, … Il periodo minore è anche detto periodo principale ed è quello che di solito è con-siderato come periodo della funzione.


TEORIA

747

Se una funzione è pari, il suo grafico

è simmetrico rispetto all’asse y . Infat-

ti, se il punto P(x ; y) appartiene al

grafico, vi appartiene anche il punto

P l(- x ; y). Pertanto, le coordinate di

P l, pensate come (x l; y l), soddisfano

le equazioni della simmetria rispetto

all’asse y :

x x

y y

=-

=

l

l)

DEFINIZIONE

Funzione dispari

Indichiamo con D un sottoinsie-

me di R tale che, se x ! D, anche

- x ! D. Una funzione y = f (x) si

dice dispari in D se f(- x) = - f(x)per qualunque x appartenente a D .

ESEMPIO

La funzione y = f (x) = x 3 + x è dispari perché, sostituendo a x il suo oppo-

sto - x, si ottiene - f (x):

f (- x ) = (- x)3 + (- x) = - x 3 - x = - (x 3 + x) = - f (x).

Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della

x con esponente dispari è una funzione dispari.

Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine degli

assi. Infatti, se il punto P(x ; y) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto

P l(- x ; - y).

Pertanto le coordinate di P l, pensate come (x l; y l), soddisfano le equazioni della

simmetria centrale avente come centro l’origine:

x x

y y

=-

=-

l

l)

● Una funzione che non sia pari non è necessariamente dispari (e viceversa).Per esempio, la funzione y = f (x) = x 2 + x non è né pari né dispari. Infatti:

f (- x) = (- x)2 + (- x) = x 2 - x ! - f (x) / ! f (x).

f(−x) = −f(x)

f: D " � D ⊆ �

∀ x, −x ∈ D ⇒

x

y

O a− a

f(a)f(− a)

∀a ∈ D, f(a) = f(−a)

y = f(x)

y

O xa−a f(a)

f(−a)

∀a ∈ D, f(a)=−f(−a)

● Verifica che la funzione y = f (x) = x 3 + 1 non è dispari perché sostituendo a x il suo opposto - x non si ottiene - f (x).

� Figura 6 Il grafico di una

funzione pari è simmetrico

rispetto all’asse y.

� Figura 7 Il grafico di una funzione dispari è

simmetrico rispetto all’origine.

PARAGRAFO 2. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

● -f (x) = - x 2 - x .


Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 4...

Documents

Transcript of Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 4...