Massimi e minimi relativi e assoluti per lefunzioni di più variabili

Giacomo Palazzi

16 Dicembre 2008

1 Massimi e minimi relativi delle funzioni di duevariabili

I punti di massimo e minimo relativi per una funzione di due variabili si de�nis-cono in modo del tutto analogo a quello delle funzioni di una sola variabile.De�nizione 1. Sia f(x; y) una funzione de�nita in un insieme D e p0(x0; y0)

un punto diD. Si dice che p0 è un punto di massimo relativo per f(x; y), se esisteun intorno circolare H del punto p0 tale che per tutti i punti di D contenutiin H, risulti f(x; y) � f(x0; y0). Si dice invece che p0 è un punto di minimorelativo per f(x; y), se esiste un intorno circolare H del punto p0 tale che pertutti i punti di D contenuti in H, risulti f(x; y) � f(x0; y0).Vediamo ora come si trovino i punti di massimo e minimo relativi per una

funzione. Useremo il risultato seguente.Teorema 1. Se p0(x0; y0) è un punto di massimo o di minimo relativo per

la funzione f(x; y), interno all�insieme di de�nizione D della funzione, e se inesso f(x; y) risulta essere parzialmente derivabile rispetto alle variabili x e y,allora si ha che:

@f(x0;y0)@x = 0

@f(x0;y0)@y = 0

Dunque se f(x; y) ammette derivate parziali prime in tutti i punti interni alsuo insieme di de�nizione D, allora i suoi eventuali punti di massimo e minimorelativi sono da cercare nell�insieme dei punti che annullino simultaneamente lederivate parziali rispetto alle variabili x ed y. In generale queste saranno con-dizioni necessarie, ma non su¢ cienti a¢ nché il punto p0(x0; y0) risulti essere unpunto di massimo o di minimo relativo. Vediamo ora quali altre condizioni deb-bano essere soddisfatte per avere un insieme di condizioni necessarie e su¢ cienti,enunciando il risultato seguente.Teorema 2. Sia f(x; y) una funzione de�nita in un insieme D e p0(x0; y0)

un punto di D. Supponiamo che in un intorno di p0 siano continue sia f(x; y)che le derivate parziali prime e seconde. Sia:

1

H =

"@2f(x;y)@x2

@f(x;y)@x@y

@f(x;y)@x@y

@2f(x;y)@y2

#la matrice delle derivate seconde della funzione f(x; y), cioè la cosiddetta

"matrice hessiana". Il determinante della matrice H è dato da:

jHj =�@2f(x;y)@x2 � @

2f(x;y)@y2

���@f(x;y)@x@y

�2e la quantità H(x; y) = jHj =

�@2f(x;y)@x2 � @

2f(x;y)@y2

���@f(x;y)@x@y

�2si dice "hes-

siano della funzione f(x; y)". Se nel punto p0(x0; y0) si ha che:@f(x0;y0)

@x = 0@f(x0;y0)

@y = 0

allora, se risulta H(x0; y0) > 0,@2f(x0;y0)

@x2 > 0 allora p0(x0; y0) è un punto di

minimo relativo, se H(x0; y0) > 0,@2f(x0;y0)

@x2 < 0 allora p0(x0; y0) è un punto dimassimo relativo, se invece H(x0; y0) < 0 allora p0(x0; y0) non è un punto né dimassimo, né di minimo relativo. Se in�ne H(x0; y0) = 0 allora non si può diresenza ulteriori considerazioni se p0(x0; y0) sia un punto di massimo o di minimorelativo.

Esempio. Troviamo i massimi e i minimi relativi della funzione f(x; y) =2x3 + y3 � 3x2 � 3y.

@f(x;y)@x = 6x2 � 6x = 0

@f(x;y)@y = 3y2 � 3 = 0

Dalla prima equazione si ottengono le soluzioni x = 0, y = 1, _ x = 0,y = �1, mentre dalla seconda x = 1, y = 1, _ x = 1, y = �1. Dunque icandidati punti di massimo e minimo relativo sono (0; 1), (0;�1), (1; 1), (1;�1).

@2f(x;y)@x2 = 12x� 6@2f(x;y)@y2 = 6y@f(x;y)@x@y = 0

Dunque la matrice hessiana risulta essere:

H =

�12x� 6 00 6y

�mentre l�hessiano è H(x; y) = jHj = (12x � 6)6y = 72xy � 36y. Essendo

H(0; 1) = 72(0)(1) � 36(1) = �36 < 0, si ha che (0; 1) non è un punto né dimassimo, né di minimo relativo. Essendo H(0;�1) = 72(0)(�1) � 36(�1) =36 > 0, @

2f(0;�1)@x2 = 12(0)�6 = �6 < 0, si ha che (0;�1) risulta essere un punto

di massimo relativo per f(x; y). Essendo H(1; 1) = 72(1)(1)�36(1) = 72�36 =36 > 0, @

2f(1;1)@x2 = 12(1)� 6 = 12 > 0, si ha che (1; 1) risulta essere un punto di

minimo relativo per f(x; y). In�ne essendo H(1;�1) = 72(1)(�1) � 36(�1) =�72 + 36 = �36 < 0, si ha che (1;�1) non è un punto né di massimo, né diminimo relativo.

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2 Massimi e minimi assoluti delle funzioni didue variabili

Sia f(x; y) una funzione de�nita in un dominio limitatoD ed ivi continua. Allorasi ha che f(x; y) assume sia il massimo che il minimo assoluto. Tali punti sonoda cercare:1. Nell�insieme dei punti di massimo e minimo relativo;2. Nell�insieme dei punti dove la funzione f(x; y) non sia parzialmente deriv-

abile;3. Nell�insieme dei punti di frontiera.Il massimo assoluto è quel punto per cui la funzione f(x; y) assume valore

massimo. Analogamente il minimo assoluto è quel punto per cui la funzionef(x; y) assume valore minimo.

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