Maria Cristina Martin

RICERCA AMERICANA:

Ignoranza matematica incide

sul PIL

per l’1%

Ma che significa

IGNORANZA

in matematica?

O meglio:

Che significa

COMPETENZA

in matematica?

La Matematica è un prodotto culturale

non è un oggetto statico fuori dal tempo

ha una storia ed è in continua evoluzione.

È un prodotto sociale

PERCHÉ LA MATEMATICA È UNA DISCIPLINA DELLA SCUOLA?

no motivazioni funzionali del passatoleggere, scrivere e far di conto

Oggi motivazioni di “linguaggio”:- l’utilità dei suoi processi di pensiero anche per altri campi di

studio- lo sviluppo del pensiero logico, intrinseco alla matematica per

imparare a pensare, a ragionare, ad essere coerenti…

INFOCOMPETENZE

la strutturazione di competenze matematiche consente

di leggere, valutare, selezionare e trattare

le informazioni che oggi sono disponibili in grande

quantità.

Questo può aiutare ad esercitare la propria cittadinanza

attraverso decisioni motivate,

evitando forme di acriticità inconsapevole.

Ogni azione didattica è permeata e guidata dai valori e dalle convinzioni degli insegnanti,

rappresentanti più o meno consapevoli delle proprie appartenenze.

Qualsiasi attività proposta non è asettica e va molto oltre il contenuto esplicito.

Nel percorso di apprendimento di matematica della scuola primaria

è inevitabile che si «imparino» le divisioni.

Ma come è impostato il percorso, le parole scelte dall’insegnante,

le modalità attraverso le quali si propongono

scoperte o regole da memorizzare,

l’interazione con gli altri alunni,

l’incidenza voluta, ignorata o negata degli apprendimenti precedenti,

rendono l’apprendimento di ciascuno molto diverso,

anche per bambini che fanno riferimento

alla stessa offerta formativa.

I bambini impareranno tutti – si spera! – ad eseguire le divisioni,

ma alcuni avranno l’idea che acquisire questa competenza aritmetica significhi

APPLICARE REGOLE determinate da altri, essere passivi, eseguire ordini con perizia.

Altri penseranno che non si apprende se non coinvolgendosi in prima persona,

SPERIMENTANDO ATTIVAMENTE per scoprire regole,

confrontandosi con gli altri per avere preziose informazioni

e si convinceranno che quello che stanno apprendendo non è definitivo,

ma passibile di modifiche in base a nuove informazioni

che porteranno a riformulare la mappa concettuale.

Altri ancora avranno l’idea confusa che stanno imparando a «fare le divisioni»

perché COSÌ SI FA E SI È SEMPRE FATTO, secondo la forza della tradizione

che si riproduce senza una motivazione esplicita.

In un contenitore apparentemente uguale per tutti,

l’idea di mondo, di bambino e di scuola

di ciascun insegnante diventa il filtro

che rende ogni apprendimento unico,

mescolando in ogni caso

gli aspetti didattici con quelli politici,

in particolare per quegli insegnanti

che negano

il VALORE POLITICO

DI OGNI ATTO EDUCATIVO.

Insegnanti tradizionali

VS

Insegnanti moderni

giusto/sbagliato vecchio

sostituito da

giusto/sbagliato nuovo

RACCONTO DEL MONDO ≠ MONDO

PENSIERO RIFLETTENTE

VS

PENSIERO RIFLESSIVO

LA DIDATTICA

sapere saputo DELL’insegnante

sapere insegnato DALL’insegnante

sapere competente dell’apprendente

CURRICOLO PROGETTATO CURRICOLO REALE

Abilità

Indicano le capacità di applicare conoscenze per portare a termine compiti e risolvere problemi.

Nel contesto del Quadro europeo delle qualifiche le abilità sono descritte come:

abilità cognitive (comprendenti l’uso del pensiero logico, intuitivo e creativo)

abilità pratiche (comprendenti l’abilità manuale e l’uso di metodi, materiali, strumenti)

Competenza

Comprovata capacità di utilizzare conoscenze, abilità e capacità personali, sociali e/o metodologiche, in situazioni di lavoro o di studio e nello sviluppo professionale e personale.

Nel contesto del Quadro europeo delle qualifiche le competenze sono descritte in termini di:

responsabilità

autonomia

PERRENOUD

l’approccio per competenze richiede lo sviluppo di schemi logici di mobilitazione delle conoscenze.

…non l’assimilazione di conoscenzema la pratica

La costruzione di competenze

richiede una piccola “rivoluzione culturale”

da una logica dell’insegnamento

ad una logica dell’allenamento

Competenze chiave

Sono le 8 competenze raccomandate dal Parlamento Europeo nel 2006.

1. Comunicazione nella madrelingua;2. Comunicazione nelle lingue straniere;3. Competenza matematica e competenze di base in scienza e tecnologia;4. Competenza digitale;5. Imparare a imparare;6. Competenze sociali e civiche;7. Spirito di iniziativa e imprenditorialità;8. Consapevolezza ed espressione culturale

Conoscenze

Sono il risultato dell’assimilazione di informazioni attraverso l’apprendimento. Le conoscenze sono un insieme di fatti, principi, teorie e pratiche relative ad un settore di lavoro o di studio. Nel Quadro europeo delle qualifiche le conoscenze sono descritte come:

conoscenze teoriche

conoscenze pratiche

Curricolo

Il curricolo è l’insieme di esperienze di

apprendimento, intenzionalmente organizzate e

concretamente attuate nelle singole istituzioni

scolastiche, al fine di raggiungere gli obiettivi e le

finalità prefissate con i piani di studio presenti che

pongono in relazione gli ordinamenti nazionali e

contesto in cui opera la scuola attraverso

l’autonomia locale

Disciplina

La disciplina  è un campo di conoscenza avente concetti dati e

termini propri.  A scuola si è sempre parlato di materie per

indicare l’organizzazione dei contenuti selezionati all’interno

di un sapere, ossia nozioni trasmesse dall’insegnante con il

supporto dei libri di testo.

La disciplina di studio mette in evidenza invece l’attività del

soggetto che apprende, il modo in cui progressivamente

acquisisce i punti di vista, le modalità di indagine e gli specifici

linguaggi dei diversi campi del sapere.

la matematica è un insieme di strutture? un insieme di fatti e strumenti?

un corpo unificato e statico di conoscenze?una disciplina in continuo mutamento?

la scienza dei numeri e delle figure? aspetti algoritmici, linguistici, estetici?

DISAMBIGUARE…

sintassi struttura

ortografia scrittura corretta

semantica significante e significato

CONCETTI SEGNIcontenuto semantico significanti

SIMBOLIsegni grafici usati per

valori o grandezze

GLI ERRORI CHE ORIGINE HANNO?

aspetto semantico sintattico ortografico

SU QUALE ASPETTI DEL LINGUAGGIO LAVORIAMO QUANDO…

facciamo fare tanti esercizi sulle operazioni

chiediamo di disporre le operazioni sul foglio a 3 quadretti di distanza tra loro

definiamo concetti utilizzando i colori per evidenziare le parole chiave

lavoriamo con i modelli (solo uno o molteplici)

usiamo le rappresentazioni insiemistiche per i numeri

facciamo le equivalenze

calcoliamo perimetri ed aree

Inno all’irregolarità

Vantaggi e svantaggi di modelli e strumenti

Ruolo fondamentale del controesempio

Molteplicità di esempi del concetto

L’errore è costitutivo della conoscenza acquisitaBrousseau

E mormoriamo alla vita intellettuale nel suo insieme: errore tu non sei un male

Bachelard

Collis, A, Brown, J.S, Newman, S.E

1) l’apprendista osserva la competenza esperta al lavoro e poi la imita (modeling)2) il maestro assiste il principiante , ne agevola il lavoro, interviene secondo le necessità, dirige

l’attenzione su un aspetto, fornisce feedback (coaching) 3) il maestro fornisce un sostegno in termini di stimoli e di risorse, reimposta il lavoro

(scaffolding)4) il maestro diminuisce progressivamente il supporto fornito per lasciare via via maggiore

autonomia e un crescente spazio di responsabilità a chi apprende (exploration)

Nell’apprendistato cognitivo a queste strategie di base se ne affiancano altre che danno maggior rilievo

ai processi cognitivi e alle strategie metacognitive:

- si incoraggiano gli studenti a verbalizzare (pensare a voce alta) - come ha fatto precedentemente il docente come modello - mentre realizzano l’esperienza;

- li si induce a confrontare i propri problemi con quelli di un esperto, facendo così emergere le conoscenze tacite (facilitazione procedurale)

- li si spinge ad esplorare, porre e risolvere i problemi in forma nuova.

Nell’apprendistato cognitivo la classe è una comunità che apprende.

Rizzolatti e Gallese

sono le basi neurofisiologiche della intersoggettività.

I circuiti neuronali attivati nel soggetto che esegue azioni, esprime emozioni e prova sensazioni vengono automaticamente attivati anche nel soggetto che osserva queste

azioni, emozioni e sensazioni. Questa attivazione condivisa suggerisce un meccanismo funzionale di simulazione incarnata che costituisce la base biologica per la

comprensione della mente altrui.

Confermano scientificamente la modalità interattiva dell’apprendimento sottolineata da Vygotskij.

PRECISIONE CONCISIONE UNIVERSALITÀ

conflittualità tra precisione e concisione

MATEMATICA

ha un codice semiologico proprio (scrittura simbolica con segni artificiali); ha gruppi nominali complessi (nomi con aggettivi o complementi);

ha povertà di verbi e ricchezza di nominalizzazioni.Il codice semiologico è impiantato su un criterio di economia del discorso,

quindi principalmente sulla concisione.

TERMINOLOGIA MATEMATICA

LINGUAGGIO NATURALE

INTUIZIONE

CONFLITTO

SITUAZIONIMATEMATIZZABILI

ORGANIZZAZIONEAUTONOMA DEL

LINGUAGGIO

RIPETIZIONE PAROLE DELLE

INSEGNANTI

M. Fishbein

Ogni volta che necessitiamo di utilizzare certi concetti, facciamo riferimento al modello primitivo,

alla prima volta in cui lo abbiamo incontrato.

A scuola, quindi, il “primo incontro” può aprire portoni o chiudere porte

PRESENTARE I CONCETTI

MATEMATICI ATTRAVERSO DEFINIZIONI

APPRENDERE I SIGNIFICATI DELLE PAROLE CONSISTE NELL’USARLE IN

“SITUAZIONE”

più esempi possibili di “individui” ai quali quel nome comune si adatta

dare un solo esempio per iniziare il rapporto con un

concetto

IL VOCABOLARIO TECNICO UTILIZZATO PUO’ COSTRUIRE DELLE IDEE MATEMATICHE

SUFFICIENTEMENTE RICCHE

NO ALL’IDEA INTUITIVA E BASTA

“altezza” (che quasi tutti gli allievi confondono con un segmento

parallelo ai lati destro e sinistro del foglio)

“perpendicolare” ( che gli alunni confondono con “verticale”)

“trapezio”molti insegnanti lo introducono come quadrilatero costruito tagliando un triangolo con un segmento parallelo alla base.

Questo crea un forte ostacolo quando si presenta il parallelogramma come un caso specifico di trapezio.

ESTENSIONE DEL CONCETTO

CONFUSIONE TRA LE NOZIONI FISICHE E QUELLE MATEMATICHE

La cosa migliore per incentivare un corretto uso del linguaggio matematico

è usare i termini tecnici in modo preciso,

limitando il più possibile il loro numero,

introducendoli con un grande numero di esempi e modelli

e mettendo in discussione gli stereotipi dei bambini

con opportuni modelli che fanno cadere il concetto errato e le errate generalizzazioni.

Per far ciò occorre una comunicazione molto intensa nelle ore di matematica,

piuttosto che tanti esercizi.

Quando il bambino nella sequenza numerica verbale dice

1, 2, 3, 4, 5, 7, 9…

ha contato?

Se il contare prevede un numero da cui partire,

un successivo,

un nome per ogni numero,

la sequenza considerata è “contare”, perché il bambino ha capito che la successione è senza limiti, anche se non lo dice.

L’unico problema è sul nome del numero, ma ha dimostrato di possedere 2 elementi su 3 del contare!

1. SAPRESTI DIRE COS’È UN NUMERO?

8. √7 è UN NUMERO?

7. √9 è UN NUMERO?

6. ¾ è UN NUMERO?

5. 3,7 è UN NUMERO?

4. 68 è UN NUMERO?

3. A COSA SERVE IL NUMERO?

2. FAI QUALCHE ESEMPIO DI NUMERO

NUMERO

È UN ELEMENTO DI UN INSIEME NUMERICO

Numero matematica numeri-di uso particolare del numero (decimali)

LINGUAGGIO NUMERALE LINGUAGGIO NUMERICO

35 è un numero 35 ha 2 cifre

numero scrittura decimale

“Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre volte della stessa cifra?”

(99) Fattoriali: 9!= 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

999

(9!)(9!)(9!)

SIMBOLISMO ARITMETICOstenografia

/+/ non è più matematico di “più”

Il simbolo è scrittura rapida che riassume un concetto matematico

SEGNI NUMERICIsimboli che composti insieme danno i numeri (le cifre)

SEGNI ORGANIZZATIVI simboli che coordinano fra loro i numeri

OPERATIVI: +, x, -, :,… RELAZIONALI: =, <, >…

L’acquisizione di un simbolo non significa per un bambino l’acquisizione del concetto corrispondente

PRIMA IL CONCETTO, QUANDO SERVE IL SIMBOLO

MAGGIORE O MINORE

46 4 e altre 2

5

07 0 e altri 7

5

GRADUALITÀ DELLO SVILUPPO DI RAGIONAMENTI CORRETTI

gli apprendenti devono essere condotti a organizzare autonomamente il linguaggio,

non a ripetere quello che hanno sentito dall’insegnante.

Le espressioni linguistiche o le sistemazioni “adulte” non conducono gli alunni

a formare un linguaggio adatto a rappresentare idee e concetti, creano invece continui inciampi

nella costruzione dei concetti successivi.

Un corretto uso del linguaggio matematico può rendere possibile

l’uso dei termini tecnici in modo preciso, limitando il più possibile il loro numero,

introducendoli con un grande numero di esempi e modelli mettendo in discussione gli stereotipi dei bambini

con opportuni modelli che fanno cadere il concetto errato e le errate generalizzazioni.

Per far ciò occorre una COMUNICAZIONE molto intensa

nelle ore di matematica, piuttosto che tanti

ESERCIZI.

UNA TRADIZIONE

DURA A MORIRE

LA MATEMATICA È

LA DISCIPLINA DELLA

LIBERTÀ

E DELLA

COERENZA

TRIANGOLI

Isosceli

ScaleniEquilateri

Scaleni

Equilateri

Isosceli

QUADRILATERI

TrapeziParallelogrammi

Rettangoli Rombi

Quadrati

PRIMI

NON PRIMI

0,1

COMPOSTI

PRIMI

I NUMERI PRIMI E COMPOSTI

Un numero si dice PRIMO quando è maggiore di 1 ed ha solo due divisori (se stesso e 1)

Un numero si dice COMPOSTO se è maggiore di 1 e non primo

il numero 1 è primo?

PERCHÉ NO AL NUMERO 1 FRA I PRIMI?

perché non obbedisce alla legge del 2:

negli schieramenti i numeri primi costituiscono solo una riga o una colonna

nella tabella della moltiplicazione compaiono solo 2 voltesono multipli solo di due numeri

A COSA SERVONO?Se ogni numero > di 1 è primo o scomponibile in un prodotto di fattori

primi,i numeri primi sono i mattoni con cui si costruiscono tutti i numeri col cemento che è la moltiplicazione.

(I numeri hanno due anatomie: additiva e moltiplicativa)

QUANTI SONO?Infiniti

COME SONO DISTRIBUITI?Secondo “l’ordine che viene dal caos”

NELLO SPECIFICO DELLA GEOMETRIA…

Sembra utile la distinzione tra abilità relative

alla MODELLIZZAZIONE e alla DESCRIZIONE verbale delle figure geometriche.

In questo modo risultano basilari la PERCEZIONE e

la RAPPRESENTAZIONE delle proprietà spaziali,

rispetto alle quali invece la routine didattica attuale è curvata,

come da tradizione, sull’applicazione di formule per risolvere problemi,

privilegiando gli aspetti sintattici e ortografici del linguaggio anziché quelli semantici.

Perché un curricolo verticale?

Etica della cura e della responsabilità

Co-responsabilità educativa

Non scaricare sull’ordine precedente le difficoltà di apprendimento dei singoli

La mancata conoscenza diventa pregiudizio

Conoscere per non essere soli, ma uniti, ciascuno nella sua specificità

Vedere nelle lacune degli apprendenti non una assenza di lavoro degli insegnanti precedenti,

ma un punto di partenza, qualsiasi esso sia

Avendo a disposizione sei fiammiferi, senza piegarli o spezzarli, provate a formare quattro triangoli equilateri

Disegnate quattro linee rette che tocchino i nove punti, senza ripassarci sopra e

senza staccare la penna dal foglio

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Se spendo 90 centesimi per 0,75 hg di cacao,

quanto spendo per 1 hg?

Se spendo 174 centesimi per 0,58 hg di orzo,

quanto spendo per 1 hg?

1,74:0.58= 3

1. Le prime emozioni, positive o negative, sono associate all’insegnante (convinzione delle proposte, piacere e gusto per la disciplina…), alla curiosità per l’argomento, al contesto sociale della classe;

1. il bambino si costruisce le convinzioni su andar bene/andar male in matematica se percepisce il proprio fallimento di fronte alle conoscenze, con ricaduta sull’immagine di sé, per cui l’aspetto fallimentare diventa irreversibile;

1. l’interpretazione fallimentare dell’esperienza matematica è associata al senso di inadeguatezza, alla confusione, alla mancanza di conseguenzialità esplicita nel percorso didattico ed alla percezione di incontrollabilità dei concetti matematici;

1. l’errore è la principale fonte di inadeguatezza; il tempo (troppo veloce e poco agevole) è la principale fonte di confusione, incontrollabilità;

1. queste emozioni generano comportamenti di rinuncia al controllo dei propri processi di pensiero, rinuncia a pensare, risposte a caso

COME INTERVENIRE?

Presentare la matematica come disciplina controllabile, stimolante, dinamica

Incoraggiare l’alunno, giudicando la prestazione e non la persona, sdrammatizzando l’errore e ri-orientandolo.

… CONCRETAMENTE

• Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti

(tanti e diversi da memorizzare)

• Dare tempo, dirigendo l’impegno ed individuando obiettivi realistici

• Riconoscere i piccoli progressi

• Non far uso della didattica implicita,

ma dominare il più possibile l’estensione del concetto prima di affrontarlo

• Individuare tutti gli elementi di un concetto e lavorare su di loro separatamente

prima di lavorare sul concetto completo

(per gli alunni sarà più facile capire e partecipare)

• Aver chiari i nodi concettuali dei percorsi didattici ed i possibili legami

• Non affrontare un argomento se non si è più che convinti di dominarlo correttamente

• Fare attenzione alle domande degli alunni che ci mettono in crisi

(non bloccarle per dimostrare di non essere stati colti impreparati,

ma utilizzarle per sviluppare la propria conoscenza prima ed il percorso didattico poi).