Macro Economia: Il Mercato, le funzioni di Domanda e Offerta, il Prezzo di Equilibrio

Appunti del corso di Matematica applicata del triennio turistico dell'ITIS Mattei di Rho.

IL MERCATO

1. La funzione della Domanda

2. La funzione dell’Offerta

3. Il Prezzo di Equilibrio

IL MERCATOConsideriamo una società dove si producono beni materiali o servizi: pensiamo ad esempio a quel che si può acquistare in un supermercato, o nei negozi di abbigliamento, prodotti tecnologici, o appartamenti, capannoni, terreni, automobili (tutti beni materiali) ... o ancora un conto corrente in banca,un’assicurazione sull’auto, una vacanza, un’ora di lezione di sci, tennis... (servizi)

Chi li produce si chiamerà Produttore, chi li vende Commerciante, e chi li acquista Consumatori.

Perciò defniamo MERCATO, il luogo in cui avvengono gli scambi di questi beni, ovvero i consumatori acquistano i beni per mezzo del denaro in quanto ogni bene ha un determinato prezzo.

Esempio: consideriamo il mercato ortofrutticolo, il bene che vogliamo siano lemele

Chiamiamo p il prezzo unitario di acquisto di un bene, in questo caso dunque p = 1,45 €/Kg si riferisce al prezzo di 1 Kg di mele.

Chiamiamo Domanda d la quantità domandata di quel bene a quel prezzo, quindi nel caso del mercato ortofrutticolo la domanda sarebbe quanti kg di

mele sono stati venduti a quel prezzo p.

In generale la Domanda è una funzione della variabile prezzo:

d= f ( p)

nel senso che la quantità domandata di un certo bene dipende dal prezzo di quel bene, ed è una funzione certamente decrescente ovvero la quantità domandata di un certo bene diminuisce al crescere del prezzo perché al crescere del prezzo diminuiscono le persone disposte ad acquistare quel bene(LEGGE DELLA DOMANDA).

Questo grafco qualitativo rappresenta una generica funzione della domanda decrescente, dove si vede che all’aumentare del prezzo da p1 a p2 la

quantità domandata inizialmente d1 diminuisce a d 2 .

Chiamiamo Offerta q la quantità di un bene offerta al mercato, ovvero messain vendita, quindi nell’esempio del mercato ortofrutticolo l’offerta rappresenta la quantità di mele (quanti Kg) reperibili ovvero acquistabili nel mercato.

Anche l’Offerta è una funzione della variabile prezzo:

q= f ( p)

nel senso che la quantità offerta di un certo bene dipende dal prezzo di quel bene, ed è una funzione certamente crescente ovvero all’aumentare del prezzo unitario di un bene aumenta anche la quantità di quel bene che i commercianti cercheranno di mettere sul mercato, ovvero l’offerta. (LEGGE DELL’OFFERTA)

Il grafco qualitativo rappresenta una generica funzione dell’offerta crescente, dove si vede che all’aumentare del prezzo da p1 a p2 la quantità offerta

inizialmente d1 aumenta a d 2 .

Nell’ipotesi in cui un consumatore possa visionare la merce di più commercianti e confrontare i loro prezzi è chiaro che andrà a comprare da quello meno caro.

Immaginiamo che al mercato ortofrutticolo ci siano più agricoltori che abbianomesso in vendita le stesse mele ad esempio le Gala, se uno le ha messe in vendita ad 1 €/Kg un altro a 1,5 €/Kg, un altro a 2 €/Kg... inizialmente tutti andranno a comprare da quello che vende a meno, così gli altri si vedranno costretti ad abbassare il prezzo per non perdere i clienti, e il venditore che stava vendendo a meno deciderà di alzare il suo prezzo, in modo da

incrementare il suo guadagno. Così gradualmente il prezzo raggiungerà l’equilibrio e tutti venderanno allo stesso prezzo, ovvero quello determinato dalla libera concorrenza.

Perciò si dirà che in regime di LIBERO MERCATO, ovvero tanti produttori in competizione, o meglio in libera concorrenza, il prezzo di vendita sarà determinato dalla LEGGE DELLA DOMANDA E DELL’OFFERTA:

Indichiamo con p* il Prezzo di Equilibrio e q* la quantità di merce scambiata (acquistata dai consumatori e venduta dai produttori) al prezzo di equilibrio.

Esempio 1: siano date le seguenti funzioni della domanda e dell’offerta di un determinato prodotto

d=300−3 p q=−180+3 p

Determinare il prezzo di equilibrio.

Si tratta di due funzioni lineari ovvero rette, poiché sono polinomi di 1° grado in p.

Per disegnare le rette ci basta trovare due punti per cui passano, ad esempio cerchiamo le intersezioni con gli assi.

Intersezione con asse verticale

domanda: p=0 => d=300

offerta: p=0 => q=−180

Intersezione con asse orizzontale

domanda: d=0 => 0=300−3 p => 3 p=300p=100

offerta: q=0 => 0=−180+3 p => 180=3 p

p=60

rappresentiamo sul piano cartesiano le due funzioni, come mostrato in fgura.

Per determinare il prezzo di equilibrio p* sarà suffciente eguagliare l’equazione della domanda all’equazione dell’offerta:

p* : d=q 300−3 p=−180+3 p => 300+180=3 p+3 p => 480=6 p

p *=80

Per determinare la quantità q* scambiata al prezzo di equilibrio sarà suffciente sostituire il prezzo p* trovato in una delle due equazioni lineari (è indifferente quale)

q*=−180+3⋅80=−180+240=60

Quindi al prezzo di equilibrio di 80€ la quantità di merce scambiata sarà 60 Kg, quintali, litri... (dipende dall’unità di misura della merce considerata)

Compreso lo scopo di questo capitolo vediamo adesso di ampliare la casistica delle funzioni che possono descrivere la domanda e l'offerta.

Esempio 2: Siano date le seguenti due funzioni della domanda e dell'offerta

d=10.000p

q=−100+2 p

determina il prezzo di equilibrio e la quantità offerta a tale prezzo.

La domanda è una funzione iperbolica ( ricordo l'iperbole centrata nell'origine

y=nx

ha due varianti a seconda che il numero al numeratore sia positivo o

negativo:

Quindi in questo esempio la funzione della domanda è come la prima iperbole, ed è suffciente rappresentare solo il pezzo a destra sopra l'asse X.

Per disegnare la funzione dell'offerta, che è invece una retta si procede comenell'esempio precedente determinando le intersezioni di tale retta con gli assi verticale e orizzontale.

Intersezione con l'asse verticale:

p=0 => q=−100

Intersezione con l'asse orizzontale:

q=0 => 0=−100+2 p

=> 2 p=100

=> p=50

Per determinare il prezzo di equilibrio si procede come nell'esempio precedenteeguagliando la domandaall'offerta.

10.000p

= −100 + 2 p => 10.000p

= −100 p + 2 p2

p

Eliminiamo i denominatori, poiché sappiamo per certo che p ≠ 0 e otteniamo

2 p2 − 100 p − 10.000 = 0 ∆ = 10.000 + 80.000 = 90.000

p1,2=100±300

4=

4004

=100= p*

−2004

=−50

il prezzo di equilibrio è 100. L'altro valore, essendo negativo non ci interessa.

Per calcolare la quantità scambiata al prezzo di equilibrio basterà sostituire il valore del prezzo di equilibrio nell'equazione dell'offerta data in partenza:

q*= − 100 + 2⋅100 = −100 + 200 = 100

Esempio 3: Siano date le seguenti due funzioni della domanda e dell'offerta

d=15.000p+3

+2.400 q=−1.200+3 p

determina il prezzo di equilibrio e la quantità offerta a tale prezzo.

Anche questa funzione della domanda è un'iperbole ( ricordo l'equazione generica dell'iperbole traslata

y=a x+bc x+d

per disegnarla occorre individuare gli asintoti

asintoto verticale: x=−dc

asintoto orizzontale: y=ac

studiare il segno della funzione e trovare l'intersezione con l'asse y)

Se facciamo il denominatore comune della funzione della domanda vedremo che assume questa forma standard:

d=15.000p+3

+2.400=15.000+2.400 p+3⋅2.400p+3

=15.000+2.400 p+7.200p+3

= 2.400 p+22.200p+3

Asintoto verticale: p = − 3 Asintoto orizzontale: d = 2.400

Studio del segno:

2.400 p+22.200p+3

≥ 0 N ≥ 0 2.400 p+22.200 ≥ 0 => 2.400 p ≥ −22.200

p ≥ −9,25

D > 0 p > −3

L'iperbole ha dei cambi di segno nel semipiano negativo, e nel semipiano positivo invece resta positiva. Ci interessa disegnarla solo lì, visto che in economia si lavora sui valori di p positivi.

-9,25 -3

+ +

x = - 3 è l'asintoto verticale e si trova nel semipiano negativo, perciò non ci interessa.

L'asintoto orizzontale invece è d = 2.400 e questo invece ci serve per disegnare correttamente l'iperbole.

Disegniamo la funzione dell'offerta. Si tratta di una retta perciò come sempre si trovano le intersezioni con gli assi.

Intersezione con l'asse verticale: p=0 => q=−1200

Intersezione con l'asse orizzontale:

q=0 => 0=−1200+3 p => 3 p=1200 => p=400

Per trovare il prezzo di equilibrio si eguaglia la domanda all'offerta:

2.400 p+22.200p+3

= −1.200+3 p => 2.400 p+22.200p+3

=(−1200+3 p)⋅( p+3)

p+3

elimino i denominatori

2.400 p+22.200 = −1.200 p−3.600+3 p2+9 p => 3 p2−3.591 p−25.800=0

p1,2 = 3.591±√3.5912+4⋅3⋅25.8002⋅3

=3.591±√12.895.281+309.6006

=3.591±3.633,856

=

p1,2 =−7,14

1.204,14 il valore negativo non lo consideriamo, il prezzo di equilibrio

è p *=1.204,14

Troviamo anche la quantità scambiata al prezzo di equilibrio: basta sostituire il valore del prezzo di equilibrio nell'equazione dell'offerta.

q*=−1.200+3⋅1.204,14=2.412,42

Esempio 4: Siano date le seguenti due funzioni della domanda e dell'offerta

d=−0,8 p2+100 p+4.000 q=−300+2 p

In questo esempio la funzione della domanda è una parabola, perché si trattadi un polinomio di 2° grado.

(ricordo l'equazione generica della parabola y=a x2+b x+c

Per disegnarla occorre trovare le intersezioni della curva con l'asse x, se ci sono, il vertice e l'intersezione con l'asse y)

Intersezioni con l'asse orizzontale: −0,8 p2+100 p+4.000=0

cambiamo i segni e diventa: 0,8 p2−100 p−4.000=0

∆ = 10.000 – 4·0,8·(–4.000) = 10.000 + 12.800 = 22.800

p1,2=100±1511,6

=156,87

−31,87 una intersezione si trova nel semipiano negativo

per trovare il vertice o si usa la formula V (−b2 a

;−4 a

) oppure si può fare la

media dei due valori e poi sostituire o anche usare la seconda formula... è indiferente.

pV=156,87−31,87

2=62,5 dV=

−22.8004⋅0,8

=7.125

V(62,5 ; 7.125)

Rispetto alle funzioni della domanda fnora trattate questa sembra insolita perché non è tutta decrescente come abbiamo studiato in teoria.

In verità l'idea che la funzione della domanda sia solo decrescente è una approssimazione un po' grossolana della realtà, ma ci sono dei beni per i quali l'andamento in funzione del prezzo non è tutto decrescente.

Pensiamo ad esempio a dei beni di lusso: per questi beni funziona un diversofenomeno, la gente desidera acquistarli perché sono uno status symbol ed ostentandoli si può manifestare la propria ricchezza. Perciò più sono costosi, più diventano un “Must Have” ovvero sono ricercati e acquistati.

∆

Questa logica non regge però all'infnito e raggiunto un dato prezzo limite (il vertice della parabola appunto) la domanda ritorna a comportarsi come spiegato in teoria, ovvero al crescere del prezzo diminuisce la quantità venduta, perché sempre meno persone possono permetterselo.

Determiniamo il prezzo di equilibrio nel solito modo: domanda = offerta

−0,8 p2+100 p+4.000=−300+2 p => 0,8 p2−98 p−4.300=0∆= 9.604 +13.760 = 23.364

p1,2=98±152,85

1,6=

−34,3

156,78 allora il prezzo di equilibrio è p *=156,78

e la quantità domandata a tale prezzo è q*=−300+2⋅156,78=13,56