7/24/2019 Lunghezza di una traiettoria

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3.2. LUNGHEZZA DI UNA TRAIETTORIA

3.2. Lunghezza di una traiettoria

Una particella si muove nel piano in unorbita descritta da

R(t) =aexcos t+beysin t .

Mostrare che si tratta di unorbita ellittica, calcolare il tempo necessario a percorrereunorbita completa ed esprimere la lunghezza di questultima come integrale definito(senza calcolarlo).

Soluzione

Possiamo riscrivere la legge oraria nella forma

x(t) = a cos t

y(t) = b sin t

da cui seguex2

a2+

y2

b2 =1

che rappresenta una ellisse avente gli assi coincidenti con quelli coordinati, di lunghezza2ae 2b. Il tempo necessario a percorrere una intera orbita chiaramente il periodo diR(t), ossia

T=2

.

Per quanto riguarda la lunghezza, possiamo calcolare la velocit:

V(t) =a sin tex+b cos tey

e integrare il suo modulo nel tempo per un periodo:

=

T0

|V(t)|dt =

T0

a22 sin2 t+b22 cos2 tdt

=

20

a2 sin2 u+b2 cos2 udu

Questo integrale non si esprime in termini di funzioni elementari, a parte il caso banale

a= b (traiettoria circolare) nel quale si trova = 2a.

35 versione del 13 marzo 2015